

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 2 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm]
\small лекция 2: формула Римана-Роха}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 13 февраля 2012
}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Классы Черна (повторение)}


\определение
{\бф \блуе Классы Черна} суть классы $c_i(B)\in H^{2i}(B)$, $i=0,1, 2, ...$, 
определенные для любого векторного расслоения $B$ на клеточном
пространстве $X$, и удовлетворяющие
следующим аксиомам.

1. $c_0(V)=1$.

2. {\бф \блуе функториальность:} если $f:\; X \arrow Y$ непрерывно,
то $f^* c_i(B)= c_i(f^*B)$.

3. {\бф \блуе Формула Уитни:} $c_*(B\oplus B')=c_*(B)c_*(B')$,
где $c_*(B)=\sum_i c_i(B)$ {\бф \блуе ("тотальный класс Черна")}

4. Если $\calo(i)$ -- стандартное расслоение
на проективном пространстве, то $c_1(\calo(1))=[H]$,
где $[H]$ -- фундаментальный класс гиперплоскости, а 
для всех $i>0$, $c_i(\calo(1))=0$.

\определение
{\бф \блуе Характер Черна} расслоения $B$
есть $ch_*(B):=\log(c_*(B))$. Мы считаем $ch_0(B):=\rk(B)$.

\замечание
{\bf \purple Характер Черна аддитивен} (что следует из формулы Уитни):
$ch_*(B\oplus B')=ch_*(B)+ch_*(B')$. Кроме того,
$ch_*(B\otimes B')=ch_*(B)\wedge ch_*(B')$
(это следует из принципа расщепления).

\newpage

{\бф \блуе $K$-группа и характер Черна}

\определение
Пусть $X$ -- алгебраическое многообразие.
Обозначим за $K(X)$ группу, порожденную классами
изоморфизма $[F]$ когерентных пучков $F$ на $X$, и заданную
соотношениями вида $[F_1] + [F_3]=[F_2]$ для
каждой точной последовательности $0 \arrow F_1 \arrow F_2 \arrow F_3 \arrow 0$.
Эта группа называется {\бф \блуе $K$-группой Гротендика} (и еще иногда $K_0$).

\определение
Пусть $F_0 \arrow F_1 \arrow F_2 \arrow ...$ -- комплекс
когерентных пучков. Соответствующий класс в $K(X)$ обозначается
за $[F_*]:= \sum_i (-1)^i [F_i]$. 

\замечание
Если $X$ гладко, любой пучок на $X$ имеет
конечную резольвенту из локально тривиальных
пучков (докажите это). {\бф \пурпле Поэтому в качестве образующих $K(X)$
можно брать комплексы векторных расслоений, а в качестве соотношений -
точные последовательности комплексов.}

\определение
Определим {\бф \блуе характер Черна}
комплекса $F_0 \arrow F_1 \arrow...$ расслоений как 
$\sum_i (-1)^i ch_*(F_i)$. 
{\бф \ред 
Характер Черна задает гомоморфизм колец $K(X) \stackrel {ch_*}\arrow H^\even(X)$}
(проверьте это).

\определение
Определим {\бф \блуе класс Черна} когерентного пучка $F$ как 
$e^{ch_*([F])}$.

\newpage

{\бф \блуе Эйлерова характеристика когерентного пучка}

\определение
{\бф \блуе Эйлерова характеристика} когерентного пучка $F$ есть
число $\chi(F):= \sum_i (-1)^i \dim H^i(F)$.

\утверждение
Для любой точной последовательности пучков \\
$0 \arrow F_1 \arrow F_2 \arrow F_3 \arrow 0$, имеем
$\chi(F_2)= \chi(F_1)+\chi(F_3)$.

\доказательство 
{\бф \пурпле Проверьте самостоятельно}
(примените длинную точную последовательность когомологий).
\ендпрооф

\замечание
Таким образом, {\бф \ред $\chi$ задает гомоморфизм из
$K(X)\stackrel \chi\arrow \Z$.}

\newpage

{\бф \блуе Теорема Римана-Роха-Хирцебруха}

\теорема
{\бф \блуе (Римана-Роха-Хирцебруха)}
Пусть $F$ -- когерентный пучок на гладком компактном многообразии. 
{\бф \ред Тогда $\chi(F)$ зависит только от классов Черна $c_*(F)$, и
выражается через них следующим образом:}
\[ \chi(F)=\int_X ch_*(F)\wedge td_*(TX),
\]
где $td_*(TX)$ обозначает {\бф \блуе тотальный класс
Тодда} касательного расслоения $TX$,
\[ td_* = 
1 + \frac{c_1}{2} + \frac{c_1^2+c_2}{12} + \frac{c_1c_2}{24} + 
\frac{-c_1^4 + 4c_1^2c_2 + c_1c_3 + 3c_2^2 - c_4}{720} + ...
\]
\замечание
Формально {\бф \блуе класс Тодда можно определить следующим
образом:} он удовлетворяет формуле Уитни
$td_*(B\oplus B')=td_*(B)td_*(B')$,
а для линейного расслоения $L$ с $c_1(L)=\alpha$, имеем
$td_*(L)=\frac\alpha{1-e^{-\alpha}}$.

\newpage

{\бф \блуе Доказательство теоремы Римана-Роха для кривых}

В утверждении теоремы Римана-Роха есть две части:
(а) то, что $\chi(F)$ зависит только от классов Черна $F$
и (б) явная формула. {\бф \пурпле Я докажу только 
явную формулу}, для нескольких частных случаев.

\теорема
{\бф \блуе (Риман-Рох для кривых):}\\
Пусть $F$ -- когерентный пучок на кривой. Тогда
\[ \chi(F) = c_1(F) + \rk(F)(1 - g).
\]
{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Поскольку группа $K(X)$ порождена линейными расслоениями,
{\бф \пурпле достаточно проверить формулу для линейного расслоения $L$}. 
В самом деле, любой когерентный пучок
имеет резольвенту из линейных расслоений степени $-d << 0$
(проверьте это). К тому же, $L$ можно выбрать антиобильным.

{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $l$ -- сечение $L^*$, а $0 \arrow L \arrow \calo_X
\arrow C \arrow 0$ -- соответствующая точная
последовательность. Если $l$ выбрано достаточно общим,
у него нет кратных нулей, и тогда {\бф \пурпле $C$ -- прямая
сумма пучков-небоскребов $\calo_X/{\goth m}_x$, 
сосредоточеных в этих нулях.}

{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \ред Осталось доказать Римана-Роха
для $\calo_X$ и для пучков-небоскребов.} Для $\calo_X$
$\chi(\calo_X)= 1-g$ по определению $g=\dim H^1(\calo_X)$.
Для пучков-небоскребов, $\chi(F)= 1= c_1(F)$.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе  Римана-Рох-Хирцебрух для поверхностей (слабая версия)}

\замечание
В следующем утверждении и его доказательстве,
$c_1(L)$ для линейных раслоений обозначается
буквой $L$, а фундаментальный класс дивизора $D$ обозначается $D$.
Форма пересечения в $H^2(X)$ обозначается $(A,B)$.

\утверждение
{\бф \блуе 
(Риман-Рох-Хирцебрух  для линейных расслоений на поверхности; слабая версия):}
Пусть $L$ -- линейное расслоение на поверхности $X$
Тогда 
\[ \chi(L)= \chi(\calo_X)+ \frac{(L-K_X,L)}2,\ \ \ \ (*)
\]
где $K_X= \Omega^2X$ есть каноническое расслоение.

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Пусть $0 \arrow L_1 \arrow L_2 \arrow L_2\restrict{D} \arrow 0$ --
точная последовательность, где $L_i$ -- линейные расслоения,
а $D$ -- гладкая кривая рода $g$. {\бф \ред В силу РР для кривых, имеем
$\chi(L_1)= \chi(L_2)+ (L_2, D) + (1-g)$}

{\бф \греен Шаг 2:}
{\бф \пурпле По формуле присоединения, $K_D= K_X \restrict D \otimes
ND$, где $ND$ есть нормальное расслоение.} С другой стороны,
$g-1 = \deg K_D/2$. Это дает 
$1-g=-(K_X+D,D)/2$.

\newpage

{\бф \блуе  Римана-Рох-Хирцебрух для поверхностей (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за $\chi'(L)$ правую часть
формулы (*), $\chi'(L):=\chi(\calo_X)+ (L-K_X,L)/2$.
В условиях шага 1, имеем $c_1(L_2) = c_1(L_1)+D$, что дает
\begin{multline*} \chi'(L_2)-\chi'(L_1)= 
\frac 1 2 \bigg[(L_2-K_X,L_2) - (L_2-K_X-D,L_2-D)\bigg]=
(L_2, D) -(K_X+D,D)/2.
\end{multline*}
{\бф \греен Шаг 4:} Сравнивая утверждения шага 2 и шага 3, 
получаем $\chi'(L_2)-\chi'(L_1)=\chi(L_2)-\chi(L_1)$.
Значит, {\бф \ред РРХ для $L_2$ равносилен ему же для $L_1$.}

{\бф \греен Шаг 5:}  Для каждого обильного расслоения $A$, 
$L\otimes A^{\otimes N}$ имеет гладкие сечения для $N>>0$, что дает точную
последовательность 
$0 \arrow L \arrow L\otimes A^{\otimes N+1}
\arrow L\otimes A^{\otimes N+1}\restrict D \arrow 0$.
Значит, {\бф \пурпле достаточно доказать (*) для расслоения 
$L\otimes A^{\otimes N+1}$, которое можно считать очень обильным.}

{\бф \греен Шаг 6:} Для очень обильных расслоений $L$, имеем
$0 \arrow \calo_X \arrow L \arrow L\restrict D \arrow 0$,
где $D$ -- множество нулей общего сечения $L$. Поскольку
$D$ гладко, а (*) верна для $\calo_X$, {\бф \ред 
получаем (*) для $L$.}
\ендпрооф


\замечание
Формула Римана-Роха-Хирцебруха 
для поверхностей следует из (*) и {\бф \блуе
формулы Нетера}: $\chi(\calo_X) = (c_1(X)^2- c_2(X))/12$.

\newpage

{\бф \блуе  Топология 4-мерных многообразий: теорема Фридмана}

\определение
Симметричная билинейная форма $\eta$ на $V:=\Z^n$ называется
{\бф \блуе унимодулярной}, если она задает изоморфизм $V \arrow V^*$,
{\бф \блуе четной}, если множество всех $\eta(x,x)$ содержится в $2\cdot\Z$,
и {\бф\блуе  нечетной} если нет.

\замечание
{\бф \пурпле Если $M$ - компактное, односвязное 4-мерное многообразие
с четной формой пересечения,} то $b_2^+-b_2^-=0 \mod 8$,
где $b_2^+$, $b_2^-$ -- число положительных и отрицательных
собственных значений.

\теорема
(Фридман, 1982) {\бф \ред Класс гомотопии компактного
односвязного 4-мерного многообразия $M$
однозначно определяется его формой пересечения
на $H^2(M, \Z)$, которая унимодулярна.} Более
того, такое $M$ существует 
для любой нечетной унимодулярной формы, и для любой
четной формы, удовлетворяющей $b_2^+-b_2^-=0 \mod 8$. 
Для четных форм пересечения, гомотопическая эквивалентность
эквивалентна гомеоморфности. Для нечетных
форм пересечения, гомотопическая эквивалентность
эквивалентна гомеоморфности на 4-многообразиях,
допускающих гладкую структуру.


\теорема
(Дональдсон, 1986)
На гладком компактном односвязном многообразии
с нечетной, положительно определенной
 формой пересечения $\eta$, {\бф \ред она диагонализуется
в каком-то целочисленном базисе: $\eta= \sum  x_i \otimes x_i$.}

\newpage

{\бф \блуе  Топология 4-мерных многообразий: классификация
неопределенных форм}

\определение
Симметричная 2-форма $\eta$ называется {\бф \блуе неопределенной},
если $\eta(x,x) < 0$ и $\eta(y,y)>0$ для каких-то $x$ и $y$.

\теорема\\ 
{\бф \блуе (классификация унимодулярных симметричных билинейных форм):}\\
* Пусть $q$ -- нечетная унимодулярная неопределенная форма.
Тогда $q$ {\бф \блуе диагональна:} $q= \sum  \pm x_i \otimes x_i$.\\
* Пусть $q$ -- четная унимодулярная неопределенная форма на $V$.
{\bf \purple Тогда $(V,q)$ разлагается в ортогональную прямую сумму} подпространств
с билинейной формой, которая имеет вид 
\[\left [ \begin{smallmatrix}
0 &1\\
1&0
\end{smallmatrix}\right ]
\]
(такие пространства называются "гиперболическими"), и подпространств
$E_{\pm 8}$, изоморфных решетке пересечения корней алгебры $E_8$:
\[ 
\left [
\begin{smallmatrix}
 2 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 & 0 \\
-1 &  2 & -1&  0 &  0 &  0 &  0 & 0 \\
 0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0 &  0 & -1 \\
 0 &  0 & -1 &  2 & -1 &  0 &  0 & 0 \\
 0 &  0 &  0 & -1 &  2 & -1 &  0 & 0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  2 & -1 & 0 \\
 0 &  0 &  0 &  0 &  0 & -1 &  2 & 0 \\
 0 &  0 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 & 2
\end{smallmatrix}\right ],
\]
или такой же решетке с формой пересечения противоположного знака.



\newpage

{\бф \блуе  K3-поверхности}

\определение
{\бф \блуе K3-поверхность} есть 
комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$.

\замечание
{\бф \ред Все  поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ 
(Бухсдаль-Ламари).

{\small
Название К3 дано Андре Вейлем в честь Куммера,
Кэлера, Кодаиры.}

\begin{center}\epsfig{file=Broad_Peak8051m.jpg,width=0.5\linewidth}

{\it\color{blue} ``Faichan Kangri is the 12th highest mountain on Earth.''}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Свойства К3-поверхностей}

Пусть $M$ -- К3-поверхность. 

\утверждение
{\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.}

\доказательство
Поскольку $b_1=0$, а $M$ кэлерово, имеем $h^{0,1}=H^1(\calo_M)=0$.
Поэтому из экспоненциальной точнпй последовательности
$H^1(M, \calo_M) \arrow H^1(M, \calo^*_M) \stackrel {c_1}\arrow H^2(M, \Z)$
получаем, что {\бф \пурпле $K_M$ тривиально} (его класс Черна равен нулю же).
\ендпрооф

\замечание
Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$,
значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова
характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$.

Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности:
\[\begin{array}{ccccc}
&&1&&\\
&0&&0&\\
1&&20&&1\\
&0&&0&\\
&&1&&\\
\end{array}
\]

\newpage

{\бф \блуе Формула универсальных коэффициентов}

\теорема
{\бф \блуе (формула универсальных коэффициентов):}
Для любого топологического пространства $X$ и любого
кольца коэффициентов $A$,
\[ 0 \rightarrow H_i(X, \mathbf{Z})\otimes A\rightarrow
H_i(X,A)\rightarrow\mbox{Tor}(H_{i-1}(X,
\mathbf{Z}),A)\rightarrow 0
\]

\утверждение
{\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.}

\дшаг
Если $H_1(M)$ имеет кручение, то у $M$ есть конечное
накрытие. {\бф \пурпле Такое накрытие -- снова К3-поверхность,} то есть
его топологическая эйлерова характеристика равна 24. Но 
эйлерова характеристика $e(\tilde M)$ $n$-листного накрытия $M$
равна $n \cdot e(M)$, так что $n=1$. 

{\бф \греен Шаг 2:} 
По  формуле универсальных коэффициентов,
{\bf \red $H_2(M, \Z)$  не имеет кручения.} По двойственности
Пуанкаре, то же верно и в отношении $H^2(M,\Z)$.

{\бф \греен Шаг 3:} По формуле универсальных коэффициентов,
{\bf \purple $H_3(M, \Z)$ не имеет кручения, значит,
$H^2(M,\Z)$ тожe.} 
\endproof

\end{document}
