\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 2 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm] \small лекция 2: формула Римана-Роха} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 13 февраля 2012 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Классы Черна (повторение)} \определение {\бф \блуе Классы Черна} суть классы $c_i(B)\in H^{2i}(B)$, $i=0,1, 2, ...$, определенные для любого векторного расслоения $B$ на клеточном пространстве $X$, и удовлетворяющие следующим аксиомам. 1. $c_0(V)=1$. 2. {\бф \блуе функториальность:} если $f:\; X \arrow Y$ непрерывно, то $f^* c_i(B)= c_i(f^*B)$. 3. {\бф \блуе Формула Уитни:} $c_*(B\oplus B')=c_*(B)c_*(B')$, где $c_*(B)=\sum_i c_i(B)$ {\бф \блуе ("тотальный класс Черна")} 4. Если $\calo(i)$ -- стандартное расслоение на проективном пространстве, то $c_1(\calo(1))=[H]$, где $[H]$ -- фундаментальный класс гиперплоскости, а для всех $i>0$, $c_i(\calo(1))=0$. \определение {\бф \блуе Характер Черна} расслоения $B$ есть $ch_*(B):=\log(c_*(B))$. Мы считаем $ch_0(B):=\rk(B)$. \замечание {\bf \purple Характер Черна аддитивен} (что следует из формулы Уитни): $ch_*(B\oplus B')=ch_*(B)+ch_*(B')$. Кроме того, $ch_*(B\otimes B')=ch_*(B)\wedge ch_*(B')$ (это следует из принципа расщепления). \newpage {\бф \блуе $K$-группа и характер Черна} \определение Пусть $X$ -- алгебраическое многообразие. Обозначим за $K(X)$ группу, порожденную классами изоморфизма $[F]$ когерентных пучков $F$ на $X$, и заданную соотношениями вида $[F_1] + [F_3]=[F_2]$ для каждой точной последовательности $0 \arrow F_1 \arrow F_2 \arrow F_3 \arrow 0$. Эта группа называется {\бф \блуе $K$-группой Гротендика} (и еще иногда $K_0$). \определение Пусть $F_0 \arrow F_1 \arrow F_2 \arrow ...$ -- комплекс когерентных пучков. Соответствующий класс в $K(X)$ обозначается за $[F_*]:= \sum_i (-1)^i [F_i]$. \замечание Если $X$ гладко, любой пучок на $X$ имеет конечную резольвенту из локально тривиальных пучков (докажите это). {\бф \пурпле Поэтому в качестве образующих $K(X)$ можно брать комплексы векторных расслоений, а в качестве соотношений - точные последовательности комплексов.} \определение Определим {\бф \блуе характер Черна} комплекса $F_0 \arrow F_1 \arrow...$ расслоений как $\sum_i (-1)^i ch_*(F_i)$. {\бф \ред Характер Черна задает гомоморфизм колец $K(X) \stackrel {ch_*}\arrow H^\even(X)$} (проверьте это). \определение Определим {\бф \блуе класс Черна} когерентного пучка $F$ как $e^{ch_*([F])}$. \newpage {\бф \блуе Эйлерова характеристика когерентного пучка} \определение {\бф \блуе Эйлерова характеристика} когерентного пучка $F$ есть число $\chi(F):= \sum_i (-1)^i \dim H^i(F)$. \утверждение Для любой точной последовательности пучков \\ $0 \arrow F_1 \arrow F_2 \arrow F_3 \arrow 0$, имеем $\chi(F_2)= \chi(F_1)+\chi(F_3)$. \доказательство {\бф \пурпле Проверьте самостоятельно} (примените длинную точную последовательность когомологий). \ендпрооф \замечание Таким образом, {\бф \ред $\chi$ задает гомоморфизм из $K(X)\stackrel \chi\arrow \Z$.} \newpage {\бф \блуе Теорема Римана-Роха-Хирцебруха} \теорема {\бф \блуе (Римана-Роха-Хирцебруха)} Пусть $F$ -- когерентный пучок на гладком компактном многообразии. {\бф \ред Тогда $\chi(F)$ зависит только от классов Черна $c_*(F)$, и выражается через них следующим образом:} \[ \chi(F)=\int_X ch_*(F)\wedge td_*(TX), \] где $td_*(TX)$ обозначает {\бф \блуе тотальный класс Тодда} касательного расслоения $TX$, \[ td_* = 1 + \frac{c_1}{2} + \frac{c_1^2+c_2}{12} + \frac{c_1c_2}{24} + \frac{-c_1^4 + 4c_1^2c_2 + c_1c_3 + 3c_2^2 - c_4}{720} + ... \] \замечание Формально {\бф \блуе класс Тодда можно определить следующим образом:} он удовлетворяет формуле Уитни $td_*(B\oplus B')=td_*(B)td_*(B')$, а для линейного расслоения $L$ с $c_1(L)=\alpha$, имеем $td_*(L)=\frac\alpha{1-e^{-\alpha}}$. \newpage {\бф \блуе Доказательство теоремы Римана-Роха для кривых} В утверждении теоремы Римана-Роха есть две части: (а) то, что $\chi(F)$ зависит только от классов Черна $F$ и (б) явная формула. {\бф \пурпле Я докажу только явную формулу}, для нескольких частных случаев. \теорема {\бф \блуе (Риман-Рох для кривых):}\\ Пусть $F$ -- когерентный пучок на кривой. Тогда \[ \chi(F) = c_1(F) + \rk(F)(1 - g). \] {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Поскольку группа $K(X)$ порождена линейными расслоениями, {\бф \пурпле достаточно проверить формулу для линейного расслоения $L$}. В самом деле, любой когерентный пучок имеет резольвенту из линейных расслоений степени $-d << 0$ (проверьте это). К тому же, $L$ можно выбрать антиобильным. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $l$ -- сечение $L^*$, а $0 \arrow L \arrow \calo_X \arrow C \arrow 0$ -- соответствующая точная последовательность. Если $l$ выбрано достаточно общим, у него нет кратных нулей, и тогда {\бф \пурпле $C$ -- прямая сумма пучков-небоскребов $\calo_X/{\goth m}_x$, сосредоточеных в этих нулях.} {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \ред Осталось доказать Римана-Роха для $\calo_X$ и для пучков-небоскребов.} Для $\calo_X$ $\chi(\calo_X)= 1-g$ по определению $g=\dim H^1(\calo_X)$. Для пучков-небоскребов, $\chi(F)= 1= c_1(F)$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Римана-Рох-Хирцебрух для поверхностей (слабая версия)} \замечание В следующем утверждении и его доказательстве, $c_1(L)$ для линейных раслоений обозначается буквой $L$, а фундаментальный класс дивизора $D$ обозначается $D$. Форма пересечения в $H^2(X)$ обозначается $(A,B)$. \утверждение {\бф \блуе (Риман-Рох-Хирцебрух для линейных расслоений на поверхности; слабая версия):} Пусть $L$ -- линейное расслоение на поверхности $X$ Тогда \[ \chi(L)= \chi(\calo_X)+ \frac{(L-K_X,L)}2,\ \ \ \ (*) \] где $K_X= \Omega^2X$ есть каноническое расслоение. {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $0 \arrow L_1 \arrow L_2 \arrow L_2\restrict{D} \arrow 0$ -- точная последовательность, где $L_i$ -- линейные расслоения, а $D$ -- гладкая кривая рода $g$. {\бф \ред В силу РР для кривых, имеем $\chi(L_1)= \chi(L_2)+ (L_2, D) + (1-g)$} {\бф \греен Шаг 2:} {\бф \пурпле По формуле присоединения, $K_D= K_X \restrict D \otimes ND$, где $ND$ есть нормальное расслоение.} С другой стороны, $g-1 = \deg K_D/2$. Это дает $1-g=-(K_X+D,D)/2$. \newpage {\бф \блуе Римана-Рох-Хирцебрух для поверхностей (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за $\chi'(L)$ правую часть формулы (*), $\chi'(L):=\chi(\calo_X)+ (L-K_X,L)/2$. В условиях шага 1, имеем $c_1(L_2) = c_1(L_1)+D$, что дает \begin{multline*} \chi'(L_2)-\chi'(L_1)= \frac 1 2 \bigg[(L_2-K_X,L_2) - (L_2-K_X-D,L_2-D)\bigg]= (L_2, D) -(K_X+D,D)/2. \end{multline*} {\бф \греен Шаг 4:} Сравнивая утверждения шага 2 и шага 3, получаем $\chi'(L_2)-\chi'(L_1)=\chi(L_2)-\chi(L_1)$. Значит, {\бф \ред РРХ для $L_2$ равносилен ему же для $L_1$.} {\бф \греен Шаг 5:} Для каждого обильного расслоения $A$, $L\otimes A^{\otimes N}$ имеет гладкие сечения для $N>>0$, что дает точную последовательность $0 \arrow L \arrow L\otimes A^{\otimes N+1} \arrow L\otimes A^{\otimes N+1}\restrict D \arrow 0$. Значит, {\бф \пурпле достаточно доказать (*) для расслоения $L\otimes A^{\otimes N+1}$, которое можно считать очень обильным.} {\бф \греен Шаг 6:} Для очень обильных расслоений $L$, имеем $0 \arrow \calo_X \arrow L \arrow L\restrict D \arrow 0$, где $D$ -- множество нулей общего сечения $L$. Поскольку $D$ гладко, а (*) верна для $\calo_X$, {\бф \ред получаем (*) для $L$.} \ендпрооф \замечание Формула Римана-Роха-Хирцебруха для поверхностей следует из (*) и {\бф \блуе формулы Нетера}: $\chi(\calo_X) = (c_1(X)^2- c_2(X))/12$. \newpage {\бф \блуе Топология 4-мерных многообразий: теорема Фридмана} \определение Симметричная билинейная форма $\eta$ на $V:=\Z^n$ называется {\бф \блуе унимодулярной}, если она задает изоморфизм $V \arrow V^*$, {\бф \блуе четной}, если множество всех $\eta(x,x)$ содержится в $2\cdot\Z$, и {\бф\блуе нечетной} если нет. \замечание {\бф \пурпле Если $M$ - компактное, односвязное 4-мерное многообразие с четной формой пересечения,} то $b_2^+-b_2^-=0 \mod 8$, где $b_2^+$, $b_2^-$ -- число положительных и отрицательных собственных значений. \теорема (Фридман, 1982) {\бф \ред Класс гомотопии компактного односвязного 4-мерного многообразия $M$ однозначно определяется его формой пересечения на $H^2(M, \Z)$, которая унимодулярна.} Более того, такое $M$ существует для любой нечетной унимодулярной формы, и для любой четной формы, удовлетворяющей $b_2^+-b_2^-=0 \mod 8$. Для четных форм пересечения, гомотопическая эквивалентность эквивалентна гомеоморфности. Для нечетных форм пересечения, гомотопическая эквивалентность эквивалентна гомеоморфности на 4-многообразиях, допускающих гладкую структуру. \теорема (Дональдсон, 1986) На гладком компактном односвязном многообразии с нечетной, положительно определенной формой пересечения $\eta$, {\бф \ред она диагонализуется в каком-то целочисленном базисе: $\eta= \sum x_i \otimes x_i$.} \newpage {\бф \блуе Топология 4-мерных многообразий: классификация неопределенных форм} \определение Симметричная 2-форма $\eta$ называется {\бф \блуе неопределенной}, если $\eta(x,x) < 0$ и $\eta(y,y)>0$ для каких-то $x$ и $y$. \теорема\\ {\бф \блуе (классификация унимодулярных симметричных билинейных форм):}\\ * Пусть $q$ -- нечетная унимодулярная неопределенная форма. Тогда $q$ {\бф \блуе диагональна:} $q= \sum \pm x_i \otimes x_i$.\\ * Пусть $q$ -- четная унимодулярная неопределенная форма на $V$. {\bf \purple Тогда $(V,q)$ разлагается в ортогональную прямую сумму} подпространств с билинейной формой, которая имеет вид \[\left [ \begin{smallmatrix} 0 &1\\ 1&0 \end{smallmatrix}\right ] \] (такие пространства называются "гиперболическими"), и подпространств $E_{\pm 8}$, изоморфных решетке пересечения корней алгебры $E_8$: \[ \left [ \begin{smallmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{smallmatrix}\right ], \] или такой же решетке с формой пересечения противоположного знака. \newpage {\бф \блуе K3-поверхности} \определение {\бф \блуе K3-поверхность} есть комплексная поверхность с $b_1=0$ и $c_1=0$. \замечание {\бф \ред Все поверхности с $b_1=0$ - кэлеровы} \\ (Бухсдаль-Ламари). {\small Название К3 дано Андре Вейлем в честь Куммера, Кэлера, Кодаиры.} \begin{center}\epsfig{file=Broad_Peak8051m.jpg,width=0.5\linewidth} {\it\color{blue} ``Faichan Kangri is the 12th highest mountain on Earth.''} \end{center} \newpage {\бф \блуе Свойства К3-поверхностей} Пусть $M$ -- К3-поверхность. \утверждение {\бф \ред Каноническое расслоение $K_M$ тривиально.} \доказательство Поскольку $b_1=0$, а $M$ кэлерово, имеем $h^{0,1}=H^1(\calo_M)=0$. Поэтому из экспоненциальной точнпй последовательности $H^1(M, \calo_M) \arrow H^1(M, \calo^*_M) \stackrel {c_1}\arrow H^2(M, \Z)$ получаем, что {\бф \пурпле $K_M$ тривиально} (его класс Черна равен нулю же). \ендпрооф \замечание Теорема Римана-Роха дает $\chi(\calo_M)=2 = \frac {c_2(M)}{12}$, значит, $c_2(M)=24$. Поскольку $c_2(M)$ есть эйлерова характеристика $M$, получаем $b_2(M)=22$. Это дает ромб Ходжа для К3-поверхности: \[\begin{array}{ccccc} &&1&&\\ &0&&0&\\ 1&&20&&1\\ &0&&0&\\ &&1&&\\ \end{array} \] \newpage {\бф \блуе Формула универсальных коэффициентов} \теорема {\бф \блуе (формула универсальных коэффициентов):} Для любого топологического пространства $X$ и любого кольца коэффициентов $A$, \[ 0 \rightarrow H_i(X, \mathbf{Z})\otimes A\rightarrow H_i(X,A)\rightarrow\mbox{Tor}(H_{i-1}(X, \mathbf{Z}),A)\rightarrow 0 \] \утверждение {\бф \ред Когомологии К3 не имеют кручения.} \дшаг Если $H_1(M)$ имеет кручение, то у $M$ есть конечное накрытие. {\бф \пурпле Такое накрытие -- снова К3-поверхность,} то есть его топологическая эйлерова характеристика равна 24. Но эйлерова характеристика $e(\tilde M)$ $n$-листного накрытия $M$ равна $n \cdot e(M)$, так что $n=1$. {\бф \греен Шаг 2:} По формуле универсальных коэффициентов, {\bf \red $H_2(M, \Z)$ не имеет кручения.} По двойственности Пуанкаре, то же верно и в отношении $H^2(M,\Z)$. {\бф \греен Шаг 3:} По формуле универсальных коэффициентов, {\bf \purple $H_3(M, \Z)$ не имеет кручения, значит, $H^2(M,\Z)$ тожe.} \endproof \end{document}