
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\ind}{\operatorname{\sf ind}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}}
\newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}}
\newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Map}{\operatorname{Map}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 14 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm]
\small лекция 14: теорема Ламари (схема доказательства)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 14 мая 2012
}
\end{center}

\невпаге

{\бф \блуе Метрики Годушона (повторение)}

\определение
Пусть $\omega$ - эрмитова форма комплексного эрмитова
многообразия $M$, $\dim_\C M =n$. Метрика на $M$ называется
{\бф\блуе метрикой Годушона}, если $\6\bar\6 (\omega^{n-1})=0$.

\теорема
(П. Годушон, 1977)
Пусть $(M,\omega)$ -- компактное, комплексное, эрмитово
$n$-мерное многообразие. Тогда {\бф \ред существует
единственная} (с точностью до постоянного множителя)
{\бф \ред положительная функция $\psi \in C^\infty M$ такая,
что $\psi\omega$ - метрика Годушона.}

Доказательство теоремы Годушона следует из
сильного принципа максимума и теоремы об индексе
для эллиптических операторов.

\невпаге

{\бф \блуе Комплексные поверхности с нечетным $b_1$ (повторение)}


\теорема
Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность.
Тогда {\бф \ред $b_1(M)$ четно, если $H^1(\calo_M)$ порождено
антиголоморфными 1-формами, и нечетно в противном случае.}
В первом случае, естественные отображения
\[
H^0(\Omega^1 M) \oplus \overline{H^0(\Omega^1 M)}\arrow H^1(M,\C)
\arrow H^1(\calo_M)\oplus
 \overline{H^1(\calo_M)}.
\]
изоморфизмы, во втором - вложения, с коядром размерности 1.
\ендпрооф


\лемма
{\бф \блуе ($\6\bar\6$-лемма для поверхностей с четным $b_1$).}
Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность
с четным $b_1(M)$, а $\eta\in \Lambda^{1,1}(M)$ -- точная
(1,1)-форма. {\бф \ред Тогда $\eta = \6\bar\6 \psi$, для какой-то
функции $\psi\in C^\infty M$.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Когомологии Ботта-Черна}


\определение
Пространство
\[
H^{1,1}_{BC}(M):= 
\frac{\ker d\restrict{\Lambda^{1,1}(M)}}{\im dd^c\restrict{C^\infty(M)}}
\]
называется {\бф \блуе пространством когомологий Ботта-Черна.}

\упражнение
Используя эллиптические операторы,
{\бф \ред убедитесь, что $H^{1,1}_{BC}(M)$ конечномерно.}


\упражнение
Проверьте, что группа Ботта-Черна когомологий (1,1)-потоков,
определенная таким же образом, как для форм,
{\бф \пурпле изоморфна $H^{1,1}_{BC}(M)$.}


\замечание
Для любого $dd^c$-замкнутого $(n-1,n-1)$-потока $\psi$,
и любой замкнутой $(1,1)$-формы $\alpha$, интеграл
$\int_M \alpha\wedge\psi$
зависит только от класса когомологий $\alpha$
в $H^{1,1}_{BC}(M)$ {\бф \пурпле (проверьте это).}


\невпаге

{\бф \блуе Бочечные пространства}

\определение
Подмножество $A\subset V$ топологического
векторного пространства называется {\бф\блуе абсорбирующим},
если $\bigcup_{\lambda\in \R}\lambda A=V$.
Подмножество $A\subset V$ называется
{\бф\блуе бочкой} (barrel), если оно абсорбирующее,
центрально-симметричное, выпуклое и замкнутое.


\определение
{\bf \блуе Бочечное пространство}  (barreled space) - это локально выпуклое
пространство $V$, такое, что любая бочка $A\subset V$
содержит открытую окрестность нуля.
{\бф \блуе Пространство Бэра} - это такое топологическое
пространство, которое нельзя разбить в счетное
объединение нигде не плотных подмножеств.


\замечание
{\бф \пурпле Если $V$ -- локально выпуклое топологическое
векторное пространство, которое является
пространством Бэра, то $V$ -- бочечное.}
Действительно, пусть $A\subset V$ -- бочка. 
Тогда $V = \bigcup_{\lambda=2^n}\lambda A$,
значит, $V$ содержит внутреннюю точку $x$.
Пусть $U\ni x$ соответствующая окрестность.
Выпуклая оболочка множества $U \cup -U$ открыта и
содержит 0 (докажите это).


\замечание
Пространства Фреше (и, следовательно, Банаха)
яв\-ляются бочечными. Действительно, {\бф \ред каждое
полное, непустое  метрическое пространство
является пространством Бэра} (теорема Бэра 
о категории; {\бф \пурпле докажите ее}).


\невпаге

{\бф \блуе Монтелевские пространства}


\определение
{\бф\блуе Предкомпактным подмножеством} называется
подмножество топологического 
пространства, замыкание которого компактно.


\определение
Пусть $K\subset V$ - подмножество топологического
векторного пространства (ТВП). Мы говорим, что $K$ 
{\бф\блуе ограниченно}, если для каждой окрестности
$U\ni 0$ найдется $\lambda>0$ такая, что
$\lambda K \subset U$


\определение
{\бф\блуе Компактный оператор} на ТВП есть оператор, переводящий
ограниченные множества в прекомпактные.


\определение
{\бф\блуе Пространство Монтеля} это бочечное
топологическое векторное пространство $V$, все ограниченные
подмножества которого предкомпактны.

\замечание
Иначе говоря, монтелевское пространство есть {\бф \пурпле пространство,
тождественный оператор на котором компактен.}


\невпаге

{\бф \блуе Монтелевские пространства (продолжение)}


\утверждение
Пусть $V$ пространство Фреше с топологией, заданной
набором норм $\nu_1\leq \nu_2 \leq \nu_3\leq ...$
причем тождественное отображение 
$(V, \nu_i)\arrow (V, \nu_{i-1})$
компактно. {\бф \ред Тогда $V$ -- пространство Монтеля.}

\доказательство
{\бф \пурпле Тождественное отображение 
\[ (V, \nu_2, \nu_3, ...) \arrow (V, \nu_1, \nu_2, \nu_3, ...) \]
является компактным, потому что $(V, \nu_i)\arrow (V, \nu_{i-1})$
компактно. } С другой стороны, это отображение -- гомеоморфизм,
потому что $\nu_1\leq \nu_2$. \ендпрооф



\пример
Тождественное отображение из пространства функций
с нормой $C^i$ в пространство функций с нормой $C^{i-1}$
компактно {\бф \ред (докажите это).} 
Выведите из этого, что {\бф \пурпле пространство Фреше 
тест-функций на многообразии является монтелевским.}



\замечание
В бесконечномерном норменном пространстве
единичный шар не может быть компактен
("Теорема Рисса").
Поэтому {\бф \пурпле бесконечномерное пространство Монтеля
не может быть норменным.}


\невпаге

{\бф \блуе Слабая и сильная топология на $V^*$}



\определение
Пусть $V$ - топологическое векторное про\-с\-т\-ран\-с\-тво,
а $V^*$ - пространство непрерывных функционалов на $V$.
{\бф\блуе Слабая топология} на $V^*$ есть
самая грубая топология, в которой непрерывны отображения
$\langle \cdot, x\rangle \arrow \R$, для каждого
$x\in V$. {\бф\блуе Сильная топология} на $V^*$ это
топология униформной сходимости на ограниченных
подмножествах.

\утверждение 
Пусть $V$ -- пространство Монтеля. {\бф \пурпле Тогда сильная 
топология на $V^*$ совпадает с топологией равномерной сходимости
на компактах.}


\утверждение
Пусть $V$ - пространство Монтеля,
$V^*$ его двойственное. {\бф \пурпле Тогда $V^*$ -- тоже пространство
Монтеля.}

\следствие
{\бф \ред Пространство потоков -- монтелевское.}


\невпаге

{\бф \блуе Рефлексивные пространства}

\определение
Локально выпуклое топологическое пространство
называется {\бф \блуе рефлексивным}, если естественное
отображение $V \arrow V^{**}$ (с сильной топологией 
оба раза) является изоморфизмом.


\замечание
Пусть $V$ - пространство с нормой.
Пространство $V^*$ с сильной топологией является, по построению,
полным относительно естественной нормы на $V^*$
(докажите это). Поэтому {\бф \пурпле все рефлексивные
норменные пространства банаховы.}



\замечание
Банаховы пространства не всегда рефлексивны.
Вложение $V \arrow V^{**}$ является изометрией
(выведите это из теоремы Хана-Банаха), но
{\бф \пурпле оно может не быть наложением. }


\теорема
{\бф \ред Пространство потоков рефлексивно.}

\замечание Доказательство этой теоремы
выводится из монтелевости пространства потоков.

\невпаге

{\бф \блуе Кэлеровы потоки}

\определение
{\бф \блуе Кэлеров поток} на комплексном многообразии $(M,I)$ это
положительный $(1,1)$-поток $\Xi$ такой, что $\Xi> \omega_1$
для какой-то эрмитовой формы $\omega_1$ на $M$.

{\бф \греен Теорема 1:}
Пусть $М$ -- компактное комплексное
многообразие, а $[v]\in H^{1,1}_{BC}(M)$ -- класс когомологий.
{\бф \ред Тогда следующие утверждения равносильны}:
(i) $[v]$ представим кэлеровым потоком\\
(ii) $[v]$ удовлетворяет следующему
неравенству:
\[
\int_M [v] \wedge \psi > \epsilon\int_M \omega \wedge \psi
\]
для некоторого числа $\epsilon>0$,
и любой положительной, $dd^c$-\-зам\-к\-ну\-той $(n-1,n-1)$-формы
$\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$.

\доказательство
Пусть $v$ -- кэлеров поток, $v> \epsilon \omega$,
а $\alpha\in \Lambda^{1,1}(M)$ - любая гладкая форма в
том же классе когомологий $[v]\in H^{1,1}_{BC}(M)$.
Тогда
\[
\int_M \alpha \wedge \psi > \epsilon \int_M \omega \wedge \psi,
\]
для каждой положительной формы $\psi >0$.
Поэтому 1 $\Rightarrow$ 2. 

Доказательство 2 $\Rightarrow$ 1 (с использованием Хана-Банаха)
непростое, и я его излагать не буду.
\ендпрооф




\невпаге

{\бф \блуе Плюригармонические потоки}


\определение
Форма (или поток) $\alpha$ называется {\бф \блуе плюригармонической},
если $dd^c \alpha=0$.
$(n-1,n-1)$-поток $\Xi$ называется 
{\бф\блуе неф-\-плю\-ри\-гар\-мо\-ни\-чес\-ким,}
если $\Xi$ является пределом последовательности положительных,
$dd^c$-\-замк\-ну\-тых форм.


{\bf \green ЛЕММА 1:}
Пусть $M$ - компактное, комплексное $n$-мерное
многообразие,  $A$ - конус $(1,1)$-форм $\alpha$, таких, что
для некоторого числа $\epsilon_\alpha>0$,
и любой положительной, $dd^c$-замкнутой $(n-1,n-1)$-формы
$\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$, имеет место
неравенство
\[
\int_M \alpha \wedge \psi > \epsilon_\alpha\int_M \omega \wedge \psi,
\]
а $B$ - конус неф-плюригармонических $(n-1,n-1)$-потоков.
{\бф \ред Тогда $A^*=B$.}

\дшаг
Пусть $K^\circ$ - множество положительных $dd^c$-\-зам\-кну\-тых форм
$\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$,
удовлетворяющих $\int\omega\wedge \psi =1$,
a $K$ - его замыкание в пространстве потоков.
Поскольку $K$ ограниченно, а пространство
потоков монтелевское, $K$ компактно. 
{\бф \пурпле Конус, натянутый на $K$, совпадает с конусом
$B$ неф-плюригармонических потоков.}




\невпаге

{\бф \блуе Плюригармонические потоки (продолжение)}

\дшаг
Пусть $K^\circ$ - множество положительных $dd^c$-\-зам\-кну\-тых форм
$\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$,
удовлетворяющих $\int\omega\wedge \psi =1$,
a $K$ - его замыкание в пространстве потоков.
Поскольку $K$ ограниченно, а пространство
потоков монтелевское, $K$ компактно. 
{\бф \пурпле Конус, натянутый на $K$, совпадает с конусом
$B$ неф-плюригармонических потоков.}


{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $\alpha$ -- (1,1)-форма, которая удовлетворяет
$\int_M \alpha \wedge \psi >0$ для любой $dd^c$-замкнутой,
положительной $\psi$. Тогда $\alpha\restrict K>0$,
а поскольку $K$ компактно, имеем $\alpha \restrict K>\epsilon$.
Это равносильно \[
\int_M \alpha \wedge \psi > \epsilon\int_M \omega \wedge \psi.
\]
Значит, $\alpha\in A$. {\бф \ред Мы получили, что $B^*\subset A$.}


{\бф \греен Шаг 3:} Применив рефлексивность, получим из
этого $B=B^{**}\supset A^*$.  Вложение $B\subset A^*$
очевидно, ибо элементы $B$ спариваются с элементами $A$
положительно, потому что $B$ -- замыкание множества
положительных, $dd^c$-замкнутых форм. Это дает $B=A^*$. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Хана-Банаха и кэлеровы потоки}



{\бф \греен ТЕОРЕМА 2:}
Пусть $M$ - компактное, комплексное $n$-мерное
многообразие. Обозначим за $d^{1,1}:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^{1,1} M$ 
композицию $d:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$ и 
проекции на (1,1)-компоненту.
Тогда следующие утверждения равносильны. 
(i) {\бф \пурпле  Любой  неф-плюригармоничный $(n-1,n-1)$-поток
$\beta\in \im d^{1,1}$ равен нулю. } 
(ii)  {\бф \пурпле На $M$ существует кэлеров поток.}

\дшаг
Пусть на $M$ существует кэлеров поток
$\Xi$, и неф-плюригармоничный поток $\beta\in \im d^{1,1}$,
являющийся пределом положительных плюригармоничных
форм $\beta= \lim \beta_i$. Обозначим за $[\Xi]$ класс
когомологий $\Xi$ в $H^{1,1}_{BC}(M)$. Поскольку $d\Xi=0$,
а ядро $d$ аннулирует $\im d^{1,1}$, 
$\int_M[\Xi]\wedge \beta=0$.

{\бф \греен Шаг 2:}
По определению кэлерова потока,
существует 
$\epsilon>0$, такой, что
$\int_M[\Xi]\wedge \beta_i \geq \epsilon \int \omega\wedge \beta_i.$
Переходя к пределу, получаем
$0= \int_M[\Xi]\wedge \beta \geq \epsilon \int \omega\wedge \beta.$
Значит, $\int \omega\wedge \beta=0$. Поскольку $\beta$ --
положительный поток, из этого сразу следует, что
$\beta=0$.  {\бф \пурпле Мы доказали, что (i) влечет (ii).}


{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $A$ -- конус в формах, 
определенный в Лемме 1. Из Теоремы 1 следует, что
{\бф \ред  $A\cap \ker d\neq 0$
равносильно существованию кэлерова потока.}


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Хана-Банаха и кэлеровы потоки (продолжение)}


{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $A$ -- конус в формах, 
определенный в Лемме 1. Из Теоремы 1 следует, что
{\бф \ред $A\cap \ker d\neq 0$
равносильно существованию кэлерова потока.}


{\бф \греен Шаг 4:}
 Если на $M$
не существует кэлерова потока, из
теоремы Хана-Банаха получаем, что
{\бф \пурпле существует $(n-1,n-1)$-поток $\Theta$,
который положителен на $A$ и зануляется на замкнутых формах. }
Но тогда $\Theta^{1,1}\in B$, 
то есть $\Theta^{1,1}$ -- неф-плюригармонический 
поток в силу Леммы 1. Из точности $\Theta$ следует
$\Theta^{1,1}\in \im d^{1,1}$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе
Неф-плюригармонические потоки на поверхности и $dd^c$-лемма}

\замечание
$dd^c$-лемма для (1,1)-форм утверждает,
что любая точная $(1,1)$-форма лежит в образе $dd^c$.
Иначе говоря, $dd^c$-лемма говорит, что естественное
отображение $H^{1,1}_{BC}(M) \arrow H^2(M)$
является вложением. {\бф \ред На прошлой лекции было доказано,
что для поверхности $dd^c$-лемма равносильна
четности $b_1(M)$. }

\утверждение
Пусть $M$ комплексная поверхность с четным
$b_1$ (это равносильно $dd^c$-лемме), а $\Xi$ --
неф-плюригармонический, $d^{1,1}$-точный
$(1,1)$-поток. {\bf \red Тогда $\Xi$ точен. }

\доказательство $\int_M\Xi\wedge\Xi = \int_M\Xi^{1,1}\wedge\Xi^{1,1}+
\int_M\Xi^{2,0}\wedge\Xi^{0,2}$, причем второй интеграл неотрицателен,
и зануляется только если $\Xi^{0,2}=0$. 
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе
Неф-плюригармонические потоки на поверхности и $dd^c$-лемма\\
(продолжение)}


Применяя $dd^c$-лемму еще раз, выводим из этого,
что $\Xi=dd^cf$, для какой-то обобщенной функции $f\in D^0(M)$.
Из формулы Стокса получаем:
\[
\int_M \Xi \wedge \omega= \int_M dd^cf \wedge \omega= 
\int_M f \wedge dd^c\omega=0,
\]
где $\omega$ -- метрика Годушона.

\следствие
Пусть $M$ комплексная поверхность с четным
$b_1$ (это равносильно $dd^c$-лемме), а $\Xi$ --
неф-плюригармонический, $d^{1,1}$-точный
$(1,1)$-поток. {\бф \ред Тогда $\Xi=0$.}

\следствие
Пусть $M$ комплексная поверхность с четным
$b_1$ (это равносильно $dd^c$-лемме). {\бф \ред Тогда
на $M$ существует кэлеров поток.}


\невпаге

{\бф \блуе Регуляризация потоков по Демайи}

\замечание
Отметим, что {\бф \пурпле для любого набора $\{g_i\}$ голоморфных 
функций, функция $\log\sum_i(|g_i|^2)$ плюрисубгармонична,}
то есть $(1,1)$-поток $dd^c\log\sum_i(|g_i|^2)$
положителен.



\определение
Пусть $T$ - замкнутый (1,1)-поток, заданный
как $T= dd^c \psi$, где $\psi$ - обобщенная функции.
Мы говорим, что {\бф \блуе $\psi$ имеет логарифмические полюса,}
если $\psi= \lambda\log\sum_i(|g_i|^2)+\psi_0$,
где $\psi_0$ -- гладкая функция, а $g_i$ голоморфные.
Мы  говорим, что $T$ {\бф \блуе имеет логарифмические
особенности,} если его можно локально задать
в виде $T= dd^c \psi$, где $\psi$ --
функция с логарифмическими полюсами. 

\теорема (Демайи)
Пусть $T$ - положительный, замкнутый $(1,1)$-поток
на компактном, комплексном эрмитовом многообразии $(M,\omega)$.
{\бф \ред Тогда существует последовательность потоков $T_k$
с логарифмическими особенностями
в том же классе когомологий $H^{1,1}_{BC}(M)$,
причем $T_k \geq T-\delta_k \omega$, где
$\delta_k$ стремится к 0, и $\{T_k\}$ сходится
к $T$ в топологии потоков.}


\замечание
Из этой теоремы сразу вытекает, что
$T_k$ кэлеровы потоки, если $T$ кэлеров поток, а 
$\delta_k$ достаточно маленькие.
{\бф \пурпле Поэтому если на многообразии $M$
существует кэлеров поток, на $M$ 
существует кэлеров поток с 
логарифмическими особенностями.}



\невпаге

{\бф \блуе Кэлеровы потоки на поверхности и регуляризация}


\теорема
{\бф \блуе (Формула Пуанкаре-Лелонга)}
Пусть $C$ -- дивизор, заданный локально уравнением
$g_C=0$. {\бф \ред Тогда $\frac {1}{2\pi}dd^c \log |g_C|=[C]$.}
\ендпрооф

\утверждение Пусть $T$ -- кэлеров поток с логарифмическими
особенностями на поверхности $M$. 
{\бф \ред Тогда на $M$ существует кэлеров поток $T'$
с изолированными особенностями.}

\доказательство
Пусть теперь $T$ - кэлеров поток с логарифмическими
особенностями на поверхности, а $Z$ его особое множество.
По определению $Z$ есть множество общих нулей
голоморфных функций $g_i$, участвующих 
в определении логарифмических особенностей.
Если $Z$ содержит кривую $C$, локально
определенную функцией $g_C$ с простым
нулем в неособых точках $C$, в окрестности
этой кривой все функции $g_i$ делятся
на $g_C$. Поэтому 
\[
 \lambda\log\sum_i(|g_i|^2)= 
\lambda \log |g_C|^2 +  \lambda\log\sum_i(|g_i/g_C|^2).
\]
В силу формулы Пуанкаре-Лелонга, $dd^c \lambda \log |g_C|^2=\pi[C]$.
Поэтому $T=[C]+ T_1$, где $T_1$ тоже кэлеров поток.
Отщепляя кривые одну за другой, рано или поздно
получим поток с изолированными особенностями.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Регуляризованный максимум}



\упражнение
Пусть $\mu:\;\R^n \arrow \R$ гладкая
функция, выпуклая вниз и неубывающая
по всем аргументам, а $\phi_1, ..., \phi_n$
набор гладких плюрисубгармонических функций на $M$.
{\бф \ред Докажите, что композиция $\mu(\phi_1, ..., \phi_n)$
плюрисубгармонична.}


\определение
Пусть $\mu:\;\R^2 \arrow \R$ 
гладкая функция, выпуклая вниз и неубывающая
по всем аргументам, причем для
$|x-y|\geq\epsilon$, $\mu(x,y)=\max\nolimits(x,y)$, и 
к тому же $\mu(x,y)=\mu(y,x)$ и 
$\mu(y+\alpha,x+\alpha)=\mu(x,y)$
для всех $x,y,\alpha\in \R$.
Такая функция называется
{\бф\блуе регуляризованным максимумом},
и обозначается $\max\nolimits_\epsilon(x,y)$


\замечание
Из предыдущего упражнения сразу следует, что {\бф \пурпле регуляризованный
максимум $\max\nolimits_\epsilon(\phi,\phi')$ плюрисубгармоничен,
если $\phi$ и $\phi'$ плюрисубгармоничны.}



\невпаге

{\бф \блуе Кэлеровы потоки с изолированными особенностями}


\утверждение
Пусть $T$ - кэлеров поток с изолированными
особенностями на комплексном многообразии $M$.
{\бф \ред Тогда в том же классе $[T]\in H^{1,1}_{BC}(M)$
существует кэлерова форма.}


\дшаг Пусть $z_1, z_2, ..., z_n$ - особые
точки $T$, а \[ \phi_i=\lambda\log\sum_\alpha(|g_\alpha|^2)+\psi_0\]
соответствующие потенциалы, равные $-\infty$ в $z_i$,
и определенные в открытых множествах $U_i\subset M$
Выбрав $U_i$ достаточно маленьким, можно применить
локальную $dd^c$-лемму, и получить, 
что на нем есть кэлеров потенциал $\psi$, то
есть такая функция, что форма $dd^c\psi$ кэлерова.

{\бф \греен Шаг 2:} Легко видеть, что для
$A\ll 0$, функция $\max\nolimits_\epsilon(A+ \psi, \phi_i)$
равна $\phi_i$ вне компактной окрестности
$z_i\in U_i$, и гладка всюду на $U_i$.
Эта функция плюрисубгармонична в силу свойств
{\бф \пурпле регуляризованного максимума.}
 
{\бф \греен Шаг 2:}
Заменим $T$ на $dd^c\max\nolimits_\epsilon(A+ \psi, \phi_i)$
внутри $U_i$, оставив его как есть вне $U_i$,
Мы получим  строго положительный,
замкнутый поток, неособый в $U_i$ (проверьте).
{\бф \ред Повторив эту операцию во всех $z_i$, мы 
получим кэлерову форму.} \endproof






\end{document}
