\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\ind}{\operatorname{\sf ind}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}} \newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}} \newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Map}{\operatorname{Map}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 14 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm] \small лекция 14: теорема Ламари (схема доказательства)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 14 мая 2012 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Метрики Годушона (повторение)} \определение Пусть $\omega$ - эрмитова форма комплексного эрмитова многообразия $M$, $\dim_\C M =n$. Метрика на $M$ называется {\бф\блуе метрикой Годушона}, если $\6\bar\6 (\omega^{n-1})=0$. \теорема (П. Годушон, 1977) Пусть $(M,\omega)$ -- компактное, комплексное, эрмитово $n$-мерное многообразие. Тогда {\бф \ред существует единственная} (с точностью до постоянного множителя) {\бф \ред положительная функция $\psi \in C^\infty M$ такая, что $\psi\omega$ - метрика Годушона.} Доказательство теоремы Годушона следует из сильного принципа максимума и теоремы об индексе для эллиптических операторов. \невпаге {\бф \блуе Комплексные поверхности с нечетным $b_1$ (повторение)} \теорема Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность. Тогда {\бф \ред $b_1(M)$ четно, если $H^1(\calo_M)$ порождено антиголоморфными 1-формами, и нечетно в противном случае.} В первом случае, естественные отображения \[ H^0(\Omega^1 M) \oplus \overline{H^0(\Omega^1 M)}\arrow H^1(M,\C) \arrow H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}. \] изоморфизмы, во втором - вложения, с коядром размерности 1. \ендпрооф \лемма {\бф \блуе ($\6\bar\6$-лемма для поверхностей с четным $b_1$).} Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность с четным $b_1(M)$, а $\eta\in \Lambda^{1,1}(M)$ -- точная (1,1)-форма. {\бф \ред Тогда $\eta = \6\bar\6 \psi$, для какой-то функции $\psi\in C^\infty M$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Когомологии Ботта-Черна} \определение Пространство \[ H^{1,1}_{BC}(M):= \frac{\ker d\restrict{\Lambda^{1,1}(M)}}{\im dd^c\restrict{C^\infty(M)}} \] называется {\бф \блуе пространством когомологий Ботта-Черна.} \упражнение Используя эллиптические операторы, {\бф \ред убедитесь, что $H^{1,1}_{BC}(M)$ конечномерно.} \упражнение Проверьте, что группа Ботта-Черна когомологий (1,1)-потоков, определенная таким же образом, как для форм, {\бф \пурпле изоморфна $H^{1,1}_{BC}(M)$.} \замечание Для любого $dd^c$-замкнутого $(n-1,n-1)$-потока $\psi$, и любой замкнутой $(1,1)$-формы $\alpha$, интеграл $\int_M \alpha\wedge\psi$ зависит только от класса когомологий $\alpha$ в $H^{1,1}_{BC}(M)$ {\бф \пурпле (проверьте это).} \невпаге {\бф \блуе Бочечные пространства} \определение Подмножество $A\subset V$ топологического векторного пространства называется {\бф\блуе абсорбирующим}, если $\bigcup_{\lambda\in \R}\lambda A=V$. Подмножество $A\subset V$ называется {\бф\блуе бочкой} (barrel), если оно абсорбирующее, центрально-симметричное, выпуклое и замкнутое. \определение {\bf \блуе Бочечное пространство} (barreled space) - это локально выпуклое пространство $V$, такое, что любая бочка $A\subset V$ содержит открытую окрестность нуля. {\бф \блуе Пространство Бэра} - это такое топологическое пространство, которое нельзя разбить в счетное объединение нигде не плотных подмножеств. \замечание {\бф \пурпле Если $V$ -- локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое является пространством Бэра, то $V$ -- бочечное.} Действительно, пусть $A\subset V$ -- бочка. Тогда $V = \bigcup_{\lambda=2^n}\lambda A$, значит, $V$ содержит внутреннюю точку $x$. Пусть $U\ni x$ соответствующая окрестность. Выпуклая оболочка множества $U \cup -U$ открыта и содержит 0 (докажите это). \замечание Пространства Фреше (и, следовательно, Банаха) яв\-ляются бочечными. Действительно, {\бф \ред каждое полное, непустое метрическое пространство является пространством Бэра} (теорема Бэра о категории; {\бф \пурпле докажите ее}). \невпаге {\бф \блуе Монтелевские пространства} \определение {\бф\блуе Предкомпактным подмножеством} называется подмножество топологического пространства, замыкание которого компактно. \определение Пусть $K\subset V$ - подмножество топологического векторного пространства (ТВП). Мы говорим, что $K$ {\бф\блуе ограниченно}, если для каждой окрестности $U\ni 0$ найдется $\lambda>0$ такая, что $\lambda K \subset U$ \определение {\бф\блуе Компактный оператор} на ТВП есть оператор, переводящий ограниченные множества в прекомпактные. \определение {\бф\блуе Пространство Монтеля} это бочечное топологическое векторное пространство $V$, все ограниченные подмножества которого предкомпактны. \замечание Иначе говоря, монтелевское пространство есть {\бф \пурпле пространство, тождественный оператор на котором компактен.} \невпаге {\бф \блуе Монтелевские пространства (продолжение)} \утверждение Пусть $V$ пространство Фреше с топологией, заданной набором норм $\nu_1\leq \nu_2 \leq \nu_3\leq ...$ причем тождественное отображение $(V, \nu_i)\arrow (V, \nu_{i-1})$ компактно. {\бф \ред Тогда $V$ -- пространство Монтеля.} \доказательство {\бф \пурпле Тождественное отображение \[ (V, \nu_2, \nu_3, ...) \arrow (V, \nu_1, \nu_2, \nu_3, ...) \] является компактным, потому что $(V, \nu_i)\arrow (V, \nu_{i-1})$ компактно. } С другой стороны, это отображение -- гомеоморфизм, потому что $\nu_1\leq \nu_2$. \ендпрооф \пример Тождественное отображение из пространства функций с нормой $C^i$ в пространство функций с нормой $C^{i-1}$ компактно {\бф \ред (докажите это).} Выведите из этого, что {\бф \пурпле пространство Фреше тест-функций на многообразии является монтелевским.} \замечание В бесконечномерном норменном пространстве единичный шар не может быть компактен ("Теорема Рисса"). Поэтому {\бф \пурпле бесконечномерное пространство Монтеля не может быть норменным.} \невпаге {\бф \блуе Слабая и сильная топология на $V^*$} \определение Пусть $V$ - топологическое векторное про\-с\-т\-ран\-с\-тво, а $V^*$ - пространство непрерывных функционалов на $V$. {\бф\блуе Слабая топология} на $V^*$ есть самая грубая топология, в которой непрерывны отображения $\langle \cdot, x\rangle \arrow \R$, для каждого $x\in V$. {\бф\блуе Сильная топология} на $V^*$ это топология униформной сходимости на ограниченных подмножествах. \утверждение Пусть $V$ -- пространство Монтеля. {\бф \пурпле Тогда сильная топология на $V^*$ совпадает с топологией равномерной сходимости на компактах.} \утверждение Пусть $V$ - пространство Монтеля, $V^*$ его двойственное. {\бф \пурпле Тогда $V^*$ -- тоже пространство Монтеля.} \следствие {\бф \ред Пространство потоков -- монтелевское.} \невпаге {\бф \блуе Рефлексивные пространства} \определение Локально выпуклое топологическое пространство называется {\бф \блуе рефлексивным}, если естественное отображение $V \arrow V^{**}$ (с сильной топологией оба раза) является изоморфизмом. \замечание Пусть $V$ - пространство с нормой. Пространство $V^*$ с сильной топологией является, по построению, полным относительно естественной нормы на $V^*$ (докажите это). Поэтому {\бф \пурпле все рефлексивные норменные пространства банаховы.} \замечание Банаховы пространства не всегда рефлексивны. Вложение $V \arrow V^{**}$ является изометрией (выведите это из теоремы Хана-Банаха), но {\бф \пурпле оно может не быть наложением. } \теорема {\бф \ред Пространство потоков рефлексивно.} \замечание Доказательство этой теоремы выводится из монтелевости пространства потоков. \невпаге {\бф \блуе Кэлеровы потоки} \определение {\бф \блуе Кэлеров поток} на комплексном многообразии $(M,I)$ это положительный $(1,1)$-поток $\Xi$ такой, что $\Xi> \omega_1$ для какой-то эрмитовой формы $\omega_1$ на $M$. {\бф \греен Теорема 1:} Пусть $М$ -- компактное комплексное многообразие, а $[v]\in H^{1,1}_{BC}(M)$ -- класс когомологий. {\бф \ред Тогда следующие утверждения равносильны}: (i) $[v]$ представим кэлеровым потоком\\ (ii) $[v]$ удовлетворяет следующему неравенству: \[ \int_M [v] \wedge \psi > \epsilon\int_M \omega \wedge \psi \] для некоторого числа $\epsilon>0$, и любой положительной, $dd^c$-\-зам\-к\-ну\-той $(n-1,n-1)$-формы $\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$. \доказательство Пусть $v$ -- кэлеров поток, $v> \epsilon \omega$, а $\alpha\in \Lambda^{1,1}(M)$ - любая гладкая форма в том же классе когомологий $[v]\in H^{1,1}_{BC}(M)$. Тогда \[ \int_M \alpha \wedge \psi > \epsilon \int_M \omega \wedge \psi, \] для каждой положительной формы $\psi >0$. Поэтому 1 $\Rightarrow$ 2. Доказательство 2 $\Rightarrow$ 1 (с использованием Хана-Банаха) непростое, и я его излагать не буду. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Плюригармонические потоки} \определение Форма (или поток) $\alpha$ называется {\бф \блуе плюригармонической}, если $dd^c \alpha=0$. $(n-1,n-1)$-поток $\Xi$ называется {\бф\блуе неф-\-плю\-ри\-гар\-мо\-ни\-чес\-ким,} если $\Xi$ является пределом последовательности положительных, $dd^c$-\-замк\-ну\-тых форм. {\bf \green ЛЕММА 1:} Пусть $M$ - компактное, комплексное $n$-мерное многообразие, $A$ - конус $(1,1)$-форм $\alpha$, таких, что для некоторого числа $\epsilon_\alpha>0$, и любой положительной, $dd^c$-замкнутой $(n-1,n-1)$-формы $\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$, имеет место неравенство \[ \int_M \alpha \wedge \psi > \epsilon_\alpha\int_M \omega \wedge \psi, \] а $B$ - конус неф-плюригармонических $(n-1,n-1)$-потоков. {\бф \ред Тогда $A^*=B$.} \дшаг Пусть $K^\circ$ - множество положительных $dd^c$-\-зам\-кну\-тых форм $\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$, удовлетворяющих $\int\omega\wedge \psi =1$, a $K$ - его замыкание в пространстве потоков. Поскольку $K$ ограниченно, а пространство потоков монтелевское, $K$ компактно. {\бф \пурпле Конус, натянутый на $K$, совпадает с конусом $B$ неф-плюригармонических потоков.} \невпаге {\бф \блуе Плюригармонические потоки (продолжение)} \дшаг Пусть $K^\circ$ - множество положительных $dd^c$-\-зам\-кну\-тых форм $\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$, удовлетворяющих $\int\omega\wedge \psi =1$, a $K$ - его замыкание в пространстве потоков. Поскольку $K$ ограниченно, а пространство потоков монтелевское, $K$ компактно. {\бф \пурпле Конус, натянутый на $K$, совпадает с конусом $B$ неф-плюригармонических потоков.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\alpha$ -- (1,1)-форма, которая удовлетворяет $\int_M \alpha \wedge \psi >0$ для любой $dd^c$-замкнутой, положительной $\psi$. Тогда $\alpha\restrict K>0$, а поскольку $K$ компактно, имеем $\alpha \restrict K>\epsilon$. Это равносильно \[ \int_M \alpha \wedge \psi > \epsilon\int_M \omega \wedge \psi. \] Значит, $\alpha\in A$. {\бф \ред Мы получили, что $B^*\subset A$.} {\бф \греен Шаг 3:} Применив рефлексивность, получим из этого $B=B^{**}\supset A^*$. Вложение $B\subset A^*$ очевидно, ибо элементы $B$ спариваются с элементами $A$ положительно, потому что $B$ -- замыкание множества положительных, $dd^c$-замкнутых форм. Это дает $B=A^*$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Хана-Банаха и кэлеровы потоки} {\бф \греен ТЕОРЕМА 2:} Пусть $M$ - компактное, комплексное $n$-мерное многообразие. Обозначим за $d^{1,1}:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^{1,1} M$ композицию $d:\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^2 M$ и проекции на (1,1)-компоненту. Тогда следующие утверждения равносильны. (i) {\бф \пурпле Любой неф-плюригармоничный $(n-1,n-1)$-поток $\beta\in \im d^{1,1}$ равен нулю. } (ii) {\бф \пурпле На $M$ существует кэлеров поток.} \дшаг Пусть на $M$ существует кэлеров поток $\Xi$, и неф-плюригармоничный поток $\beta\in \im d^{1,1}$, являющийся пределом положительных плюригармоничных форм $\beta= \lim \beta_i$. Обозначим за $[\Xi]$ класс когомологий $\Xi$ в $H^{1,1}_{BC}(M)$. Поскольку $d\Xi=0$, а ядро $d$ аннулирует $\im d^{1,1}$, $\int_M[\Xi]\wedge \beta=0$. {\бф \греен Шаг 2:} По определению кэлерова потока, существует $\epsilon>0$, такой, что $\int_M[\Xi]\wedge \beta_i \geq \epsilon \int \omega\wedge \beta_i.$ Переходя к пределу, получаем $0= \int_M[\Xi]\wedge \beta \geq \epsilon \int \omega\wedge \beta.$ Значит, $\int \omega\wedge \beta=0$. Поскольку $\beta$ -- положительный поток, из этого сразу следует, что $\beta=0$. {\бф \пурпле Мы доказали, что (i) влечет (ii).} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $A$ -- конус в формах, определенный в Лемме 1. Из Теоремы 1 следует, что {\бф \ред $A\cap \ker d\neq 0$ равносильно существованию кэлерова потока.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Хана-Банаха и кэлеровы потоки (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $A$ -- конус в формах, определенный в Лемме 1. Из Теоремы 1 следует, что {\бф \ред $A\cap \ker d\neq 0$ равносильно существованию кэлерова потока.} {\бф \греен Шаг 4:} Если на $M$ не существует кэлерова потока, из теоремы Хана-Банаха получаем, что {\бф \пурпле существует $(n-1,n-1)$-поток $\Theta$, который положителен на $A$ и зануляется на замкнутых формах. } Но тогда $\Theta^{1,1}\in B$, то есть $\Theta^{1,1}$ -- неф-плюригармонический поток в силу Леммы 1. Из точности $\Theta$ следует $\Theta^{1,1}\in \im d^{1,1}$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Неф-плюригармонические потоки на поверхности и $dd^c$-лемма} \замечание $dd^c$-лемма для (1,1)-форм утверждает, что любая точная $(1,1)$-форма лежит в образе $dd^c$. Иначе говоря, $dd^c$-лемма говорит, что естественное отображение $H^{1,1}_{BC}(M) \arrow H^2(M)$ является вложением. {\бф \ред На прошлой лекции было доказано, что для поверхности $dd^c$-лемма равносильна четности $b_1(M)$. } \утверждение Пусть $M$ комплексная поверхность с четным $b_1$ (это равносильно $dd^c$-лемме), а $\Xi$ -- неф-плюригармонический, $d^{1,1}$-точный $(1,1)$-поток. {\bf \red Тогда $\Xi$ точен. } \доказательство $\int_M\Xi\wedge\Xi = \int_M\Xi^{1,1}\wedge\Xi^{1,1}+ \int_M\Xi^{2,0}\wedge\Xi^{0,2}$, причем второй интеграл неотрицателен, и зануляется только если $\Xi^{0,2}=0$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Неф-плюригармонические потоки на поверхности и $dd^c$-лемма\\ (продолжение)} Применяя $dd^c$-лемму еще раз, выводим из этого, что $\Xi=dd^cf$, для какой-то обобщенной функции $f\in D^0(M)$. Из формулы Стокса получаем: \[ \int_M \Xi \wedge \omega= \int_M dd^cf \wedge \omega= \int_M f \wedge dd^c\omega=0, \] где $\omega$ -- метрика Годушона. \следствие Пусть $M$ комплексная поверхность с четным $b_1$ (это равносильно $dd^c$-лемме), а $\Xi$ -- неф-плюригармонический, $d^{1,1}$-точный $(1,1)$-поток. {\бф \ред Тогда $\Xi=0$.} \следствие Пусть $M$ комплексная поверхность с четным $b_1$ (это равносильно $dd^c$-лемме). {\бф \ред Тогда на $M$ существует кэлеров поток.} \невпаге {\бф \блуе Регуляризация потоков по Демайи} \замечание Отметим, что {\бф \пурпле для любого набора $\{g_i\}$ голоморфных функций, функция $\log\sum_i(|g_i|^2)$ плюрисубгармонична,} то есть $(1,1)$-поток $dd^c\log\sum_i(|g_i|^2)$ положителен. \определение Пусть $T$ - замкнутый (1,1)-поток, заданный как $T= dd^c \psi$, где $\psi$ - обобщенная функции. Мы говорим, что {\бф \блуе $\psi$ имеет логарифмические полюса,} если $\psi= \lambda\log\sum_i(|g_i|^2)+\psi_0$, где $\psi_0$ -- гладкая функция, а $g_i$ голоморфные. Мы говорим, что $T$ {\бф \блуе имеет логарифмические особенности,} если его можно локально задать в виде $T= dd^c \psi$, где $\psi$ -- функция с логарифмическими полюсами. \теорема (Демайи) Пусть $T$ - положительный, замкнутый $(1,1)$-поток на компактном, комплексном эрмитовом многообразии $(M,\omega)$. {\бф \ред Тогда существует последовательность потоков $T_k$ с логарифмическими особенностями в том же классе когомологий $H^{1,1}_{BC}(M)$, причем $T_k \geq T-\delta_k \omega$, где $\delta_k$ стремится к 0, и $\{T_k\}$ сходится к $T$ в топологии потоков.} \замечание Из этой теоремы сразу вытекает, что $T_k$ кэлеровы потоки, если $T$ кэлеров поток, а $\delta_k$ достаточно маленькие. {\бф \пурпле Поэтому если на многообразии $M$ существует кэлеров поток, на $M$ существует кэлеров поток с логарифмическими особенностями.} \невпаге {\бф \блуе Кэлеровы потоки на поверхности и регуляризация} \теорема {\бф \блуе (Формула Пуанкаре-Лелонга)} Пусть $C$ -- дивизор, заданный локально уравнением $g_C=0$. {\бф \ред Тогда $\frac {1}{2\pi}dd^c \log |g_C|=[C]$.} \ендпрооф \утверждение Пусть $T$ -- кэлеров поток с логарифмическими особенностями на поверхности $M$. {\бф \ред Тогда на $M$ существует кэлеров поток $T'$ с изолированными особенностями.} \доказательство Пусть теперь $T$ - кэлеров поток с логарифмическими особенностями на поверхности, а $Z$ его особое множество. По определению $Z$ есть множество общих нулей голоморфных функций $g_i$, участвующих в определении логарифмических особенностей. Если $Z$ содержит кривую $C$, локально определенную функцией $g_C$ с простым нулем в неособых точках $C$, в окрестности этой кривой все функции $g_i$ делятся на $g_C$. Поэтому \[ \lambda\log\sum_i(|g_i|^2)= \lambda \log |g_C|^2 + \lambda\log\sum_i(|g_i/g_C|^2). \] В силу формулы Пуанкаре-Лелонга, $dd^c \lambda \log |g_C|^2=\pi[C]$. Поэтому $T=[C]+ T_1$, где $T_1$ тоже кэлеров поток. Отщепляя кривые одну за другой, рано или поздно получим поток с изолированными особенностями. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Регуляризованный максимум} \упражнение Пусть $\mu:\;\R^n \arrow \R$ гладкая функция, выпуклая вниз и неубывающая по всем аргументам, а $\phi_1, ..., \phi_n$ набор гладких плюрисубгармонических функций на $M$. {\бф \ред Докажите, что композиция $\mu(\phi_1, ..., \phi_n)$ плюрисубгармонична.} \определение Пусть $\mu:\;\R^2 \arrow \R$ гладкая функция, выпуклая вниз и неубывающая по всем аргументам, причем для $|x-y|\geq\epsilon$, $\mu(x,y)=\max\nolimits(x,y)$, и к тому же $\mu(x,y)=\mu(y,x)$ и $\mu(y+\alpha,x+\alpha)=\mu(x,y)$ для всех $x,y,\alpha\in \R$. Такая функция называется {\бф\блуе регуляризованным максимумом}, и обозначается $\max\nolimits_\epsilon(x,y)$ \замечание Из предыдущего упражнения сразу следует, что {\бф \пурпле регуляризованный максимум $\max\nolimits_\epsilon(\phi,\phi')$ плюрисубгармоничен, если $\phi$ и $\phi'$ плюрисубгармоничны.} \невпаге {\бф \блуе Кэлеровы потоки с изолированными особенностями} \утверждение Пусть $T$ - кэлеров поток с изолированными особенностями на комплексном многообразии $M$. {\бф \ред Тогда в том же классе $[T]\in H^{1,1}_{BC}(M)$ существует кэлерова форма.} \дшаг Пусть $z_1, z_2, ..., z_n$ - особые точки $T$, а \[ \phi_i=\lambda\log\sum_\alpha(|g_\alpha|^2)+\psi_0\] соответствующие потенциалы, равные $-\infty$ в $z_i$, и определенные в открытых множествах $U_i\subset M$ Выбрав $U_i$ достаточно маленьким, можно применить локальную $dd^c$-лемму, и получить, что на нем есть кэлеров потенциал $\psi$, то есть такая функция, что форма $dd^c\psi$ кэлерова. {\бф \греен Шаг 2:} Легко видеть, что для $A\ll 0$, функция $\max\nolimits_\epsilon(A+ \psi, \phi_i)$ равна $\phi_i$ вне компактной окрестности $z_i\in U_i$, и гладка всюду на $U_i$. Эта функция плюрисубгармонична в силу свойств {\бф \пурпле регуляризованного максимума.} {\бф \греен Шаг 2:} Заменим $T$ на $dd^c\max\nolimits_\epsilon(A+ \psi, \phi_i)$ внутри $U_i$, оставив его как есть вне $U_i$, Мы получим строго положительный, замкнутый поток, неособый в $U_i$ (проверьте). {\бф \ред Повторив эту операцию во всех $z_i$, мы получим кэлерову форму.} \endproof \end{document}