
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\ind}{\operatorname{\sf ind}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}}
\newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}}
\newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Map}{\operatorname{Map}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 13 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm]
\small лекция 13: $\6\bar\6$-лемма для поверхностей с четным $b_1$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 14 мая 2012
}
\end{center}

\невпаге

{\бф \блуе Метрики Годушона (повторение)}

\определение
Пусть $\omega$ - эрмитова форма комплексного эрмитова
многообразия $M$, $\dim_\C M =n$. Метрика на $M$ называется
{\бф\блуе метрикой Годушона}, если $\6\bar\6 (\omega^{n-1})=0$.

\теорема
(П. Годушон, 1977)
Пусть $(M,\omega)$ -- компактное, комплексное, эрмитово
$n$-мерное многообразие. Тогда {\бф \ред существует
единственная} (с точностью до постоянного множителя)
{\бф \ред положительная функция $\psi \in C^\infty M$ такая,
что $\psi\omega$ - метрика Годушона.}

Доказательство теоремы Годушона следует из
сильного принципа максимума и теоремы об индексе
для эллиптических операторов.


\невпаге

{\бф \блуе Автодуальные формы}

\определение
Пусть $\eta$ -- 2-форма на 4-мерном ориентированном
римановом многообразии $M$. Она называется {\бф\блуе автодуальной}, если
$*\eta =\eta$, и {\бф\блуе антиавтодуальной}, если
$*\eta = -\eta$.

\замечание
Автодуальность равносильна условию
$\eta \wedge \eta = |\eta|^2\Vol$,
где $\Vol$ - форма риманова обьема, а $|\eta|$
евклидова норма на 2-формах, индуцированная
римановой структурой. Антиавтодуальность
 равносильна 
$\eta \wedge \eta = -|\eta|^2\Vol$
{\бф \пурпле (докажите это)}.

\замечание
Замена ориентации на {\бф \пурпле $M$ переставляет
автодуальные и антиавтодуальные формы.} Из разложения
\[ \Lambda^2 M=\Lambda^+ M\oplus\Lambda^- M,
\]
{\бф \ред получаем $\dim \Lambda^+ M=\dim\Lambda^- M=3$,}
где $\Lambda^+ M$, $\Lambda^- M$ -- расслоение
автодуальных и антиавтодуальных форм.


\невпаге

{\бф \блуе Примитивные формы }

\определение
Пусть $(M, \omega)$ - комплексное эрмитово многообразие,
$L_\omega:\; \Lambda^{p,q}(M) \arrow \Lambda^{p+1,q+1}(M)$
оператор внешнего умножения на $\omega$, а $\Lambda_\omega
= * L_\omega *$ -- сопряженный оператор. 
Форма $\eta$ называется {\бф\блуе примитивной},
если $p+q \leq \dim_\C M$, а $\Lambda_\omega(\eta)=0$.

\замечание
Пусть $M$ -- комплексная эрмитова поверхность, 
$\xi_1, \xi_2 \in \Lambda^{1,0}(M)$ -
ортонормированный базис. Тогда
\[ 
  \Lambda_\omega(\xi_1 \wedge \bar\xi_1) =1, \ \ 
  \Lambda_\omega(\xi_2 \wedge \bar\xi_2) =1,\\ 
  \Lambda_\omega(\xi_1 \wedge \bar\xi_2) =0,\ \ 
  \Lambda_\omega(\xi_2 \wedge \bar\xi_1) =0,
\]
Получаем, что {\бф \пурпле расслоение вещественных примитивных $(1,1)$-форм
трехмерно, и порождено формами
\[
\1(\xi_1 \wedge \bar\xi_1-\xi_2 \wedge \bar\xi_2,) \ \ 
\xi_1 \wedge \bar\xi_2 - \1 \xi_2 \wedge \bar\xi_1, \ \ 
\xi_2 \wedge \bar\xi_1 - \1 \xi_1 \wedge \bar\xi_2.
\]
}
\следствие
Пусть $M$ - комплексная эрмитова поверхность.
{\бф \ред 2-форма $\eta \in \Lambda^2(M)$ анти-автодуальна
тогда и только тогда, когда она имеет тип $(1,1)$
и примитивна.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Метрики Годушона и когомологии $H^1(\calo_M)$  }

\определение
Пусть $(M, \omega)$ -- компактное комплексное $n$-многообразие с метрикой
Годушона, а $\alpha \in \Lambda^{0,1}(M)$ --
$\bar\6$-замкнутая 1-форма. Определим {\бф \блуе степень}
\[
\deg \alpha:= \frac{\int_M \6\alpha \wedge \omega^{n-1}}{\int_M \omega^n}
\]
\замечание
Из формулы Стокса и $\6\bar\6\omega^{n-1}=0$ следует, что 
$\int_M \6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1}=0$
для любой функции $f\in C^\infty M$ 
{\бф \пурпле (докажите это).}
Поэтому $\deg\alpha=0$, если $\alpha$ $\bar\6$-точна.
{\бф \ред 
Мы получили, что $\deg$ задает функционал на группе
когомологий $\bar\6$.}

\замечание
Резольвента 
$\calo_M\stackrel {\bar\6} \arrow \Lambda^{0,1}(M)
\stackrel {\bar\6} \arrow \Lambda^{0,2}(M)\stackrel {\bar\6} \arrow ...$
пучка $\calo_M$ голоморфных функций
{\bf \red ациклична}, значит, {\bf \purple когомологии $\bar\6$ суть когомологии
$\calo_M$, и $\deg$ задает функционал на $H^1(\calo_M)$.}

\определение
Отображение  $H^1(\calo_M)\stackrel \deg \longrightarrow \C$ 
называется {\bf\блуе степенью} класса когомологий.


\невпаге

{\бф \блуе Метрики Годушона и когомологии $H^1(\calo_M)$ (продолжение) }

\замечание
Напомню, что  $(0,p)$-форма $\eta$ 
называется {\бф\блуе антиголоморфной}, если $\6\bar\eta=0$. 
Степень замкнутой, антиголоморфной (0,1)-формы равна нулю.
{\bf \red Согласно теории Ходжа, на кэлеровом многообразии
каждый класс когомологий $H^1(\calo_M)$ может
быть представлен антиголоморфной, замкнутой формой.}
Поэтому для кэлерова многообразия отображение
$H^1(\calo_M)\stackrel \deg \longrightarrow \C$
равно нулю.


\невпаге

{\бф \блуе Эллиптические операторы, зануляющиеся на константах}

\теорема
Пусть $D$ -- эллиптический оператор второго порядка
на компактном многообразии, зануляющийся на константах.
{\бф \ред Тогда $\coker D$ одномерен.}

\дшаг
На $M$ существует метрика такая, что символ $D$ есть символ 
оператора Лапласа $\Delta$ {\бф \пурпле (докажите это)}.

{\бф \греен Шаг 2:} Поскольку оператор Лапласа автодуален,
$\dim \ker\Delta=\dim\coker \Delta$ {\бф \пурпле (докажите это)}.

{\бф \греен Шаг 3:} Значит, индекс $\Delta$ равен нулю.
{\бф \пурпле По теореме об индексе, индекс зависит только от символа,}
значит $\ind D=0$.

{\бф \греен Шаг 4:} В силу принципа максимума,
любая функция $f\in \ker D$ постоянна. {\бф \пурпле 
Поэтому $\ker D$ одномерный.}

{\бф \греен Шаг 5:} Из шага 3 следует, что $\ind D=0$, {\бф \ред значит $\coker D$
тоже  одномерный.} \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Kогомологии $H^1(\calo_M)$ и эллиптические операторы }


{\бф \греен Теорема 1:}
Пусть $(M, \omega)$ -- компактное 
комплексное $n$-многообразие с метрикой
Годушона. {\бф \ред Для любого класса когомологий 
$[\alpha] \in H^1(\calo_M)$, существует единственный
представитель $\alpha \in \Lambda^{0,1}(M)$
такой, что 
\[
\6\alpha \wedge \omega^{n-1} = \deg [\alpha] \omega^n.\ \ \ \ \ \ \ \ (*)
\]}
\дшаг
Пусть $\alpha_0\in \Lambda^{0,1}(M)$ -- представитель
$[\alpha]$. {\bf \purple Решения (*)
это формы вида $\alpha_0 + \bar\6 f$, удовлетворяющие 
\[
\6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1} = 
 \deg [\alpha] \omega^n- \6\alpha_0 \wedge \omega^{n-1}.\ \ \ \ \ \ \ \ (**)
\]}
{\bf \green Шаг 2:}
Отображение 
$D(f):= \6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1}$
из функций в $(n,n)$-формы -- эллиптический оператор
второго порядка, зануляющийся на константах
{\бф \пурпле (проверьте это).} В силу предыдущей
теоремы, {\bf \red коядро $D$ одномерно.}

{\bf \green Шаг 3:}
Для каждой функции $f\in C^\infty M$,
имеем $\int \6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1}=0,$
потому что $\6\bar\6 (\wedge \omega^{n-1})=0$.
Поскольку коядро $D$ одномерно, {\bf \red его образ
есть множество всех $(n,n)$-форм, удовлетворяющих
$\int_M\alpha=0$.}

{\бф \греен Шаг 4:} Чтобы решить (**), осталось убедиться,
что \[ \int_M\bigg(\deg [\alpha] \omega^n- \6\alpha_0 
   \wedge \omega^{n-1}\bigg)=0
\]
{\бф \пурпле (убедитесь).} \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Антиголоморфные (0,1)-формы и классы когомологий}


\следствие
Пусть $(M, \omega)$ -- комплексная поверхность с метрикой Годушона,
а $[\alpha]\in H^1(\calo_M)$ -- класс когомологий с $\deg[\alpha]=0$.
{\бф \ред Тогда $[\alpha]$ представляется антиголоморфной формой.}

\дшаг Пусть $\alpha \in \Lambda^{0,1}(M)$ -
представитель $[\alpha]$, который удовлетворяет 
$\6\alpha \wedge \omega=0$, $\bar\6\alpha=0$ 
{\бф \пурпле (он существует в силу предыдущего 
утверждения). }

{\бф \греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Тогда 
$\6\alpha=d\alpha$ --
примитивная (1,1)-форма.} Поскольку примитивные
(1,1)-формы антиавтодуальны, имеем
\[
0 = \int_M d\alpha \wedge d\bar\alpha = - \int_M |\Re(d\alpha)|^2 \Vol
\]
{\бф \ред значит, $d\alpha=0$ всюду на $M$.} \ендпрооф


\следствие
Для любой поверхности,
фактор $H^1(\calo_M)/H^1_a(\calo_M)$ 
когомологий по пространству $H^1_a(\calo_M)$
антиголоморфных замкнутых форм не более
чем одномерный.

\невпаге

{\бф \блуе Антиголоморфные (0,1)-формы на поверхности}

\лемма
На поверхности, голоморфные (и антиголоморфные)
1-формы {\бф \ред обязательно замкнуты.}

\доказательство 
 Рассмотрим
голоморфную 1-форму $\rho \in \Omega^1 M$.
Тогда $d\rho$ это точная $(2,0)$-форма.
Но $\int_M d\rho \wedge d\bar\rho = \int_M \Vol |d\rho|^2=0$,
значит, $d\rho=0$ всюду на $M$. \ендпрооф


\утверждение\\ 
Ненулевая линейная комбинация антиголоморфных
и голоморфных 1-форм на компактной поверхности
{\бф \ред не может быть точна.}

\дшаг
Пусть  $v$  -- такая линейная комбинация.
Тогда $I(v)$ тоже линейная комбинация антиголоморфных
и голоморфных 1-форм. {\бф \пурпле В силу  предыдущей леммы,
$I(v)$ замкнуто.}

{\бф \греен Шаг 2:} Если $v$ точно, $v=d\phi$, мы имеем
$0= dIv= d^c d\phi$, где $d^c = -I\circ d\circ I$.

{\бф \греен Шаг 3:}
Эллиптический оператор
$\phi \arrow d^c d\phi\wedge \omega$ 
зануляется на константах {\бф \пурпле проверьте эллиптичность},
и {\бф \пурпле в силу принципа максимума его ядро состоит 
из констант. } Значит, $\phi=\mathop{const}$.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Естественное вложение
$H^1(M)\arrow H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}$}


\замечание (А)
Из предыдущего утверждения следует, что {\бф \ред существует вложение
\[
H^0(\Omega^1 M) \oplus \overline{H^0(\Omega^1 M)}\hookrightarrow H^1(M)
\]}
где $\overline{H^0(\Omega^1 M)}$
обозначает пространство антиголоморфных форм.


\утверждение (Б) Для любого компактного комплексного многообразия,
{\бф \ред определено естественное
 вложение \[ H^1(M)\hookrightarrow H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)},\]}
переводящее $v$ в $[v^{0,1}]\in H^1(\calo_M)$, 
${v^{1,0}}\in\overline{H^1(\calo_M)}$, 
где $\overline{H^1(\calo_M)}$ обозначает векторное
пространство с сопряженной комплексной структурой.

\доказательство
Для каждой замкнутой формы $v\in \Lambda^1(M)$,
(1,0) и (0,1)-части
$v$ замкнуты относительно $\6$ и $\bar\6$, что дает
классы когомологий 
$[v^{0,1}]\in H^1(\calo_M)$ и $[\overline {v^{1,0}}]\in H^1(\calo_M)$.
Если эти классы равны нулю, то $v = \bar\6\phi_1 + \6\phi_2$.
Из $dv=0$ получаем
\[
0 =d(\bar\6\phi_1 + \6\phi_2)= \6\bar\6\phi_1+ \bar\6\6\phi_2=
\6\bar\6(\phi_1-\phi_2).
\]
Оператор $f\arrow \6\bar\6 f\wedge \omega^{n-1}$ эллиптический
{\бф \пурпле (проверьте)} и зануляется на констатах;
поэтому $\6\bar\6(\phi_1-\phi_2)=0$ влечет $\phi_1-\phi_2=0$.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Комплексные поверхности с нечетным $b_1$}

\теорема
Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность.
Тогда {\бф \ред $b_1(M)$ четно, если $H^1(\calo_M)$ порождено
антиголоморфными 1-формами, и нечетно в противном случае.}

\дшаг
Рассмотрим вложения
\[
H^0(\Omega^1 M) \oplus \overline{H^0(\Omega^1 M)}\hookrightarrow H^1(M,\C)
\stackrel j \hookrightarrow H^1(\calo_M)\oplus
 \overline{H^1(\calo_M)}.
\]
(утверждения А и Б). Если $H^1(\calo_M)$ порождено
антиголоморфными 1-формами, все эти вложения -- изоморфизмы.

{\бф \греен Шаг 2:} Напомню, что
{\bf \блуе степенью} $\bar\6$-замкнутой (0,1)-формы
$\eta$ на многообразии с метрикой Годушона называется
число $\int_M \6\eta \wedge \omega^{n-1}$. 
{\бф \пурпле Любая $\bar\6$-замкнутая (0,1)-форма нулевой степени когомологична
антиголоморфной, как доказано в Теореме 1.}

{\бф \греен Шаг 3:} Следовательно,
если $\deg:\; H^1(\calo_M) \arrow \C$
равен нулю, то вложение
$H^0(\Omega^1 M)\arrow \overline{H^1(\calo_M)}$,
построенное на шаге 1, является изоморфизмом.
В противном случае, последовательность 
\[0 \arrow H^0(\Omega^1 M)\arrow \overline{H^1(\calo_M)}
\stackrel \deg \longrightarrow \C\arrow 0\]
точная.

\невпаге

{\бф \блуе Комплексные поверхности с нечетным $b_1$ (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 4:}
Пусть $[\alpha], [\beta] \in H^1(\calo_M)$, 
$\deg [\alpha]= \overline{\deg[\beta]}$.
Выберем  представители $\alpha, \beta \in \Lambda^{0,1}(M)$
такие, что $d\alpha = \deg[\alpha]\omega$,
$d\beta = \deg[\beta]\omega$ (Теорема 1).
Тогда $d(\alpha-\beta)=0$.
Мы получили, что {\бф \ред образ вложения $H^1(M,\C)
\stackrel j \hookrightarrow H^1(\calo_M)\oplus
 \overline{H^1(\calo_M)}$
лежит в ядре $\deg$.}

{\бф \греен Шаг 5:} 
Каждый класс $[\alpha]\in H^1(\calo_M)$ нулевой степени представляется
антиголоморфной (следовательно, замкнутой) формой.
Значит, {\бф \пурпле образ $j$ -- в точности формы степени 0.}
Мы получили, что {\бф \пурпле $j$ является изоморфизмом,
либо последовательность 
\[
0 \arrow H^1(M) \stackrel j \arrow H^1(\calo_M)\oplus
 \overline{H^1(\calo_M)}\stackrel {\deg} \arrow \C \arrow 0.
\]
точна.}

{\бф \греен Шаг 6:}
В первом случае, $H^1(M)$ четномерно, во втором нечетномерно,
\ендпрооф



\невпаге

{\бф \блуе $\6\bar\6$-лемма для поверхностей с четным $b_1$}

\замечание
В доказательстве кэлеровости комплексных
поверхностей с четным $b_1$, используется
не сама четность, а следующее полезное
свойство поверхностей с четным $b_1$.

\лемма
{\бф \блуе ($\6\bar\6$-лемма для поверхностей с четным $b_1$).}
Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность
с четным $b_1(M)$, а $\eta\in \Lambda^{1,1}(M)$ -- точная
(1,1)-форма. {\бф \ред Тогда $\eta = \6\bar\6 \psi$, для какой-то
функции $\psi\in C^\infty M$.}

\дшаг
Имеем $\eta = d \rho$, значит,
$\eta = \6 \rho^{0,1} + \bar\6 \rho^{1,0}$,
где $\rho^{1,0}$ и $\rho^{0,1}$ - $(1,0)$ и $(0,1)$-части.
Поскольку $\eta$ типа $(1,1)$, имеем
$\6\rho^{1,0}= \bar\6 \rho^{0,1}=0.$

{\бф \греен Шаг 2:}
В силу предыдущего следствия,
$\6$-замкнутая (1,0)-форма является
суммой голоморфной и $\6$-точной,
а $\bar\6$-замкнутая (0,1)-форма является
суммой антиголоморфной и $\bar\6$-точной.
Отбросив антиголоморфные и голоморфные
компоненты, которые не дают вклада в 
$\6 \rho^{0,1} + \bar\6 \rho^{1,0}$, получим
$\rho^{1,0}= \6\psi, \ \ \rho^{0,1}= \bar\6 \phi,$
Следовательно
\[
\eta = \6 \rho^{0,1} + \bar\6 \rho^{1,0}=
\6 \bar\6 \phi- \6 \bar\6\psi.
\]
\ендпрооф



\end{document}
