\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\ind}{\operatorname{\sf ind}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}} \newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}} \newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Map}{\operatorname{Map}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 13 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm] \small лекция 13: $\6\bar\6$-лемма для поверхностей с четным $b_1$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 14 мая 2012 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Метрики Годушона (повторение)} \определение Пусть $\omega$ - эрмитова форма комплексного эрмитова многообразия $M$, $\dim_\C M =n$. Метрика на $M$ называется {\бф\блуе метрикой Годушона}, если $\6\bar\6 (\omega^{n-1})=0$. \теорема (П. Годушон, 1977) Пусть $(M,\omega)$ -- компактное, комплексное, эрмитово $n$-мерное многообразие. Тогда {\бф \ред существует единственная} (с точностью до постоянного множителя) {\бф \ред положительная функция $\psi \in C^\infty M$ такая, что $\psi\omega$ - метрика Годушона.} Доказательство теоремы Годушона следует из сильного принципа максимума и теоремы об индексе для эллиптических операторов. \невпаге {\бф \блуе Автодуальные формы} \определение Пусть $\eta$ -- 2-форма на 4-мерном ориентированном римановом многообразии $M$. Она называется {\бф\блуе автодуальной}, если $*\eta =\eta$, и {\бф\блуе антиавтодуальной}, если $*\eta = -\eta$. \замечание Автодуальность равносильна условию $\eta \wedge \eta = |\eta|^2\Vol$, где $\Vol$ - форма риманова обьема, а $|\eta|$ евклидова норма на 2-формах, индуцированная римановой структурой. Антиавтодуальность равносильна $\eta \wedge \eta = -|\eta|^2\Vol$ {\бф \пурпле (докажите это)}. \замечание Замена ориентации на {\бф \пурпле $M$ переставляет автодуальные и антиавтодуальные формы.} Из разложения \[ \Lambda^2 M=\Lambda^+ M\oplus\Lambda^- M, \] {\бф \ред получаем $\dim \Lambda^+ M=\dim\Lambda^- M=3$,} где $\Lambda^+ M$, $\Lambda^- M$ -- расслоение автодуальных и антиавтодуальных форм. \невпаге {\бф \блуе Примитивные формы } \определение Пусть $(M, \omega)$ - комплексное эрмитово многообразие, $L_\omega:\; \Lambda^{p,q}(M) \arrow \Lambda^{p+1,q+1}(M)$ оператор внешнего умножения на $\omega$, а $\Lambda_\omega = * L_\omega *$ -- сопряженный оператор. Форма $\eta$ называется {\бф\блуе примитивной}, если $p+q \leq \dim_\C M$, а $\Lambda_\omega(\eta)=0$. \замечание Пусть $M$ -- комплексная эрмитова поверхность, $\xi_1, \xi_2 \in \Lambda^{1,0}(M)$ - ортонормированный базис. Тогда \[ \Lambda_\omega(\xi_1 \wedge \bar\xi_1) =1, \ \ \Lambda_\omega(\xi_2 \wedge \bar\xi_2) =1,\\ \Lambda_\omega(\xi_1 \wedge \bar\xi_2) =0,\ \ \Lambda_\omega(\xi_2 \wedge \bar\xi_1) =0, \] Получаем, что {\бф \пурпле расслоение вещественных примитивных $(1,1)$-форм трехмерно, и порождено формами \[ \1(\xi_1 \wedge \bar\xi_1-\xi_2 \wedge \bar\xi_2,) \ \ \xi_1 \wedge \bar\xi_2 - \1 \xi_2 \wedge \bar\xi_1, \ \ \xi_2 \wedge \bar\xi_1 - \1 \xi_1 \wedge \bar\xi_2. \] } \следствие Пусть $M$ - комплексная эрмитова поверхность. {\бф \ред 2-форма $\eta \in \Lambda^2(M)$ анти-автодуальна тогда и только тогда, когда она имеет тип $(1,1)$ и примитивна.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Метрики Годушона и когомологии $H^1(\calo_M)$ } \определение Пусть $(M, \omega)$ -- компактное комплексное $n$-многообразие с метрикой Годушона, а $\alpha \in \Lambda^{0,1}(M)$ -- $\bar\6$-замкнутая 1-форма. Определим {\бф \блуе степень} \[ \deg \alpha:= \frac{\int_M \6\alpha \wedge \omega^{n-1}}{\int_M \omega^n} \] \замечание Из формулы Стокса и $\6\bar\6\omega^{n-1}=0$ следует, что $\int_M \6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1}=0$ для любой функции $f\in C^\infty M$ {\бф \пурпле (докажите это).} Поэтому $\deg\alpha=0$, если $\alpha$ $\bar\6$-точна. {\бф \ред Мы получили, что $\deg$ задает функционал на группе когомологий $\bar\6$.} \замечание Резольвента $\calo_M\stackrel {\bar\6} \arrow \Lambda^{0,1}(M) \stackrel {\bar\6} \arrow \Lambda^{0,2}(M)\stackrel {\bar\6} \arrow ...$ пучка $\calo_M$ голоморфных функций {\bf \red ациклична}, значит, {\bf \purple когомологии $\bar\6$ суть когомологии $\calo_M$, и $\deg$ задает функционал на $H^1(\calo_M)$.} \определение Отображение $H^1(\calo_M)\stackrel \deg \longrightarrow \C$ называется {\bf\блуе степенью} класса когомологий. \невпаге {\бф \блуе Метрики Годушона и когомологии $H^1(\calo_M)$ (продолжение) } \замечание Напомню, что $(0,p)$-форма $\eta$ называется {\бф\блуе антиголоморфной}, если $\6\bar\eta=0$. Степень замкнутой, антиголоморфной (0,1)-формы равна нулю. {\bf \red Согласно теории Ходжа, на кэлеровом многообразии каждый класс когомологий $H^1(\calo_M)$ может быть представлен антиголоморфной, замкнутой формой.} Поэтому для кэлерова многообразия отображение $H^1(\calo_M)\stackrel \deg \longrightarrow \C$ равно нулю. \невпаге {\бф \блуе Эллиптические операторы, зануляющиеся на константах} \теорема Пусть $D$ -- эллиптический оператор второго порядка на компактном многообразии, зануляющийся на константах. {\бф \ред Тогда $\coker D$ одномерен.} \дшаг На $M$ существует метрика такая, что символ $D$ есть символ оператора Лапласа $\Delta$ {\бф \пурпле (докажите это)}. {\бф \греен Шаг 2:} Поскольку оператор Лапласа автодуален, $\dim \ker\Delta=\dim\coker \Delta$ {\бф \пурпле (докажите это)}. {\бф \греен Шаг 3:} Значит, индекс $\Delta$ равен нулю. {\бф \пурпле По теореме об индексе, индекс зависит только от символа,} значит $\ind D=0$. {\бф \греен Шаг 4:} В силу принципа максимума, любая функция $f\in \ker D$ постоянна. {\бф \пурпле Поэтому $\ker D$ одномерный.} {\бф \греен Шаг 5:} Из шага 3 следует, что $\ind D=0$, {\бф \ред значит $\coker D$ тоже одномерный.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Kогомологии $H^1(\calo_M)$ и эллиптические операторы } {\бф \греен Теорема 1:} Пусть $(M, \omega)$ -- компактное комплексное $n$-многообразие с метрикой Годушона. {\бф \ред Для любого класса когомологий $[\alpha] \in H^1(\calo_M)$, существует единственный представитель $\alpha \in \Lambda^{0,1}(M)$ такой, что \[ \6\alpha \wedge \omega^{n-1} = \deg [\alpha] \omega^n.\ \ \ \ \ \ \ \ (*) \]} \дшаг Пусть $\alpha_0\in \Lambda^{0,1}(M)$ -- представитель $[\alpha]$. {\bf \purple Решения (*) это формы вида $\alpha_0 + \bar\6 f$, удовлетворяющие \[ \6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1} = \deg [\alpha] \omega^n- \6\alpha_0 \wedge \omega^{n-1}.\ \ \ \ \ \ \ \ (**) \]} {\bf \green Шаг 2:} Отображение $D(f):= \6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1}$ из функций в $(n,n)$-формы -- эллиптический оператор второго порядка, зануляющийся на константах {\бф \пурпле (проверьте это).} В силу предыдущей теоремы, {\bf \red коядро $D$ одномерно.} {\bf \green Шаг 3:} Для каждой функции $f\in C^\infty M$, имеем $\int \6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1}=0,$ потому что $\6\bar\6 (\wedge \omega^{n-1})=0$. Поскольку коядро $D$ одномерно, {\bf \red его образ есть множество всех $(n,n)$-форм, удовлетворяющих $\int_M\alpha=0$.} {\бф \греен Шаг 4:} Чтобы решить (**), осталось убедиться, что \[ \int_M\bigg(\deg [\alpha] \omega^n- \6\alpha_0 \wedge \omega^{n-1}\bigg)=0 \] {\бф \пурпле (убедитесь).} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Антиголоморфные (0,1)-формы и классы когомологий} \следствие Пусть $(M, \omega)$ -- комплексная поверхность с метрикой Годушона, а $[\alpha]\in H^1(\calo_M)$ -- класс когомологий с $\deg[\alpha]=0$. {\бф \ред Тогда $[\alpha]$ представляется антиголоморфной формой.} \дшаг Пусть $\alpha \in \Lambda^{0,1}(M)$ - представитель $[\alpha]$, который удовлетворяет $\6\alpha \wedge \omega=0$, $\bar\6\alpha=0$ {\бф \пурпле (он существует в силу предыдущего утверждения). } {\бф \греен Шаг 2:} {\бф \пурпле Тогда $\6\alpha=d\alpha$ -- примитивная (1,1)-форма.} Поскольку примитивные (1,1)-формы антиавтодуальны, имеем \[ 0 = \int_M d\alpha \wedge d\bar\alpha = - \int_M |\Re(d\alpha)|^2 \Vol \] {\бф \ред значит, $d\alpha=0$ всюду на $M$.} \ендпрооф \следствие Для любой поверхности, фактор $H^1(\calo_M)/H^1_a(\calo_M)$ когомологий по пространству $H^1_a(\calo_M)$ антиголоморфных замкнутых форм не более чем одномерный. \невпаге {\бф \блуе Антиголоморфные (0,1)-формы на поверхности} \лемма На поверхности, голоморфные (и антиголоморфные) 1-формы {\бф \ред обязательно замкнуты.} \доказательство Рассмотрим голоморфную 1-форму $\rho \in \Omega^1 M$. Тогда $d\rho$ это точная $(2,0)$-форма. Но $\int_M d\rho \wedge d\bar\rho = \int_M \Vol |d\rho|^2=0$, значит, $d\rho=0$ всюду на $M$. \ендпрооф \утверждение\\ Ненулевая линейная комбинация антиголоморфных и голоморфных 1-форм на компактной поверхности {\бф \ред не может быть точна.} \дшаг Пусть $v$ -- такая линейная комбинация. Тогда $I(v)$ тоже линейная комбинация антиголоморфных и голоморфных 1-форм. {\бф \пурпле В силу предыдущей леммы, $I(v)$ замкнуто.} {\бф \греен Шаг 2:} Если $v$ точно, $v=d\phi$, мы имеем $0= dIv= d^c d\phi$, где $d^c = -I\circ d\circ I$. {\бф \греен Шаг 3:} Эллиптический оператор $\phi \arrow d^c d\phi\wedge \omega$ зануляется на константах {\бф \пурпле проверьте эллиптичность}, и {\бф \пурпле в силу принципа максимума его ядро состоит из констант. } Значит, $\phi=\mathop{const}$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Естественное вложение $H^1(M)\arrow H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}$} \замечание (А) Из предыдущего утверждения следует, что {\бф \ред существует вложение \[ H^0(\Omega^1 M) \oplus \overline{H^0(\Omega^1 M)}\hookrightarrow H^1(M) \]} где $\overline{H^0(\Omega^1 M)}$ обозначает пространство антиголоморфных форм. \утверждение (Б) Для любого компактного комплексного многообразия, {\бф \ред определено естественное вложение \[ H^1(M)\hookrightarrow H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)},\]} переводящее $v$ в $[v^{0,1}]\in H^1(\calo_M)$, ${v^{1,0}}\in\overline{H^1(\calo_M)}$, где $\overline{H^1(\calo_M)}$ обозначает векторное пространство с сопряженной комплексной структурой. \доказательство Для каждой замкнутой формы $v\in \Lambda^1(M)$, (1,0) и (0,1)-части $v$ замкнуты относительно $\6$ и $\bar\6$, что дает классы когомологий $[v^{0,1}]\in H^1(\calo_M)$ и $[\overline {v^{1,0}}]\in H^1(\calo_M)$. Если эти классы равны нулю, то $v = \bar\6\phi_1 + \6\phi_2$. Из $dv=0$ получаем \[ 0 =d(\bar\6\phi_1 + \6\phi_2)= \6\bar\6\phi_1+ \bar\6\6\phi_2= \6\bar\6(\phi_1-\phi_2). \] Оператор $f\arrow \6\bar\6 f\wedge \omega^{n-1}$ эллиптический {\бф \пурпле (проверьте)} и зануляется на констатах; поэтому $\6\bar\6(\phi_1-\phi_2)=0$ влечет $\phi_1-\phi_2=0$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Комплексные поверхности с нечетным $b_1$} \теорема Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность. Тогда {\бф \ред $b_1(M)$ четно, если $H^1(\calo_M)$ порождено антиголоморфными 1-формами, и нечетно в противном случае.} \дшаг Рассмотрим вложения \[ H^0(\Omega^1 M) \oplus \overline{H^0(\Omega^1 M)}\hookrightarrow H^1(M,\C) \stackrel j \hookrightarrow H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}. \] (утверждения А и Б). Если $H^1(\calo_M)$ порождено антиголоморфными 1-формами, все эти вложения -- изоморфизмы. {\бф \греен Шаг 2:} Напомню, что {\bf \блуе степенью} $\bar\6$-замкнутой (0,1)-формы $\eta$ на многообразии с метрикой Годушона называется число $\int_M \6\eta \wedge \omega^{n-1}$. {\бф \пурпле Любая $\bar\6$-замкнутая (0,1)-форма нулевой степени когомологична антиголоморфной, как доказано в Теореме 1.} {\бф \греен Шаг 3:} Следовательно, если $\deg:\; H^1(\calo_M) \arrow \C$ равен нулю, то вложение $H^0(\Omega^1 M)\arrow \overline{H^1(\calo_M)}$, построенное на шаге 1, является изоморфизмом. В противном случае, последовательность \[0 \arrow H^0(\Omega^1 M)\arrow \overline{H^1(\calo_M)} \stackrel \deg \longrightarrow \C\arrow 0\] точная. \невпаге {\бф \блуе Комплексные поверхности с нечетным $b_1$ (продолжение)} {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $[\alpha], [\beta] \in H^1(\calo_M)$, $\deg [\alpha]= \overline{\deg[\beta]}$. Выберем представители $\alpha, \beta \in \Lambda^{0,1}(M)$ такие, что $d\alpha = \deg[\alpha]\omega$, $d\beta = \deg[\beta]\omega$ (Теорема 1). Тогда $d(\alpha-\beta)=0$. Мы получили, что {\бф \ред образ вложения $H^1(M,\C) \stackrel j \hookrightarrow H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}$ лежит в ядре $\deg$.} {\бф \греен Шаг 5:} Каждый класс $[\alpha]\in H^1(\calo_M)$ нулевой степени представляется антиголоморфной (следовательно, замкнутой) формой. Значит, {\бф \пурпле образ $j$ -- в точности формы степени 0.} Мы получили, что {\бф \пурпле $j$ является изоморфизмом, либо последовательность \[ 0 \arrow H^1(M) \stackrel j \arrow H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}\stackrel {\deg} \arrow \C \arrow 0. \] точна.} {\бф \греен Шаг 6:} В первом случае, $H^1(M)$ четномерно, во втором нечетномерно, \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе $\6\bar\6$-лемма для поверхностей с четным $b_1$} \замечание В доказательстве кэлеровости комплексных поверхностей с четным $b_1$, используется не сама четность, а следующее полезное свойство поверхностей с четным $b_1$. \лемма {\бф \блуе ($\6\bar\6$-лемма для поверхностей с четным $b_1$).} Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность с четным $b_1(M)$, а $\eta\in \Lambda^{1,1}(M)$ -- точная (1,1)-форма. {\бф \ред Тогда $\eta = \6\bar\6 \psi$, для какой-то функции $\psi\in C^\infty M$.} \дшаг Имеем $\eta = d \rho$, значит, $\eta = \6 \rho^{0,1} + \bar\6 \rho^{1,0}$, где $\rho^{1,0}$ и $\rho^{0,1}$ - $(1,0)$ и $(0,1)$-части. Поскольку $\eta$ типа $(1,1)$, имеем $\6\rho^{1,0}= \bar\6 \rho^{0,1}=0.$ {\бф \греен Шаг 2:} В силу предыдущего следствия, $\6$-замкнутая (1,0)-форма является суммой голоморфной и $\6$-точной, а $\bar\6$-замкнутая (0,1)-форма является суммой антиголоморфной и $\bar\6$-точной. Отбросив антиголоморфные и голоморфные компоненты, которые не дают вклада в $\6 \rho^{0,1} + \bar\6 \rho^{1,0}$, получим $\rho^{1,0}= \6\psi, \ \ \rho^{0,1}= \bar\6 \phi,$ Следовательно \[ \eta = \6 \rho^{0,1} + \bar\6 \rho^{1,0}= \6 \bar\6 \phi- \6 \bar\6\psi. \] \ендпрооф \end{document}