\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}} \newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}} \newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Map}{\operatorname{Map}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 10 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm] \small лекция 11: Эллиптические операторы и сильный принцип максимума} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 23 апреля 2012 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Векторные поля и дифференциальные операторы} \определение Пусть $R$ - кольцо над полем $k$. $k$-линейное отображение $D$ из кольца $R$ в $R$-модуль (например, в $R$) называется {\бф \блуе дифференцированием}, если оно удовлетворяет правилу Лейбница: $D(xy) = y D(x) + x D(y)$ Очевидно, любое векторное поле задает дифференцирование на кольце $C^\infty(M)$. \замечание {\бф \пурпле Дифференцирования кольца $C^\infty(M)$ кольца гладких функций это векторные поля на $M$.} Это - одно из определений векторного поля. \определение Пусть $R$ - кольцо над полем $k$. {\bf\блуе Дифференциальный оператор порядка $0$} --- это отображение $R\stackrel v \arrow R$, которое $R$-линейно, то есть переводит $r\in R$ в $v(1)r$. Множество таких операторов обозначается $\Diff^0(R)$. Дифференциальный оператор порядка $i>0$ определяется индуктивно: {\бф \блуе $a\in \Diff^i(R)$, если для любого $v\in \Diff^0(R)$, коммутатор $[a, v]$ лежит в $\Diff^{i-1}(R)$.} Мы имеем цепочку вложений \[ \Diff^0(R)\subset \Diff^1(R) \subset \Diff^2(R) \subset ... \] Объединение всех $\Diff^i(R)$ называется {\бф\блуе множеством дифференциальных операторов}. \невпаге {\бф \блуе Дифференциальные операторы на расслоениях} \определение Дифференциальные операторы на кольце $C^\infty M$ называются {\бф\блуе дифференциальными операторами на $М$}, и обозначаются $\Diff^*(M)$. \замечание {\бф \пурпле Это определение равносильно обычному} (whatever it is). \замечание Аналогично определяются {\бф \блуе дифференциальные операторы из модуля $M$ над кольцом $R$ в модуль $M'$ над $R$.} Операторы нулевого порядка - $R$-линейные, операторы $i$-го порядка - такие, коммутатор которых с любым $R$-линейным эндоморфизмом $M$ и $M'$ дает дифференциальный оператор $i-1$-го порядка. \замечание Напомню, что проективный конечно порожденный модуль над кольцом -- это прямое слагаемое свободного модуля. Векторные расслоения на гладком многообразии можно рассматривать как $C^\infty M$-модули, отождествляя расслоение с пространством его сечений. {\бф \блуе Дифференциальные операторы из одного расслоения в другое} можно определить как дифференциальные операторы на соответствующих $C^\infty M$-модулях. \невпаге {\бф \блуе Фильтрованные алгебры} \определение (Возрастающая) фильтрация на векторном прос\-т\-ранстве $V$ есть последовательность подпространств $V_0\subset V_1 \subset V_2\subset ...$ таких, что $\bigcup V_i = V$. {\бф \блуе Фильтрованная алгебра} это алгебра $A$ с фильтрацией $A_0\subset A_1 \subset A_2\subset ...$ такая, что $A_i\cdot A_j\subset A_{i+j}$. \замечание {\бф \пурпле Композиция дифференциальных операторов $i$-го и $j$-го порядка имеет порядок $\leq i+j$} (докажите это). Это задает фильтрацию \[ \Diff^0(R)\subset \Diff^1(R) \subset \Diff^2(R) \subset ... \] на кольце дифференциальных операторов над $R$. \упражнение Пусть $D^i \in \Diff^i(R)$, $D^j \in \Diff^j(R)$ -- дифференциальные операторы. {\бф \пурпле Докажите, что их коммутатор $[D^i, D^j]$ лежит в $\Diff^{i+j-1}(R)$. } \определение Пусть $A= \bigcup_i A_i$ - ассоциативная алгебра с фильтрацией. Определим умножение на $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$ так, что произведение $a \mod A_{i-1}$ и $b \mod A_{j-1}$ дает $ab \mod A_{i+j-1}$. Такая алгебра называется {\бф \блуе присоединенной градуированной алгеброй} фильтрованной алгебры $A$. \невпаге {\бф \блуе Алгебра символов} \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле присоединенная градуированная алгебра к алгебре дифференциальных операторов коммутативна.} \определение Эта алгебра называется {\бф \блуе алгеброй символов дифференциальных операторов}. \теорема $\Diff^i (M)/\Diff^{i-1} (M)$ {\бф \ред изоморфно пространству сечений расслоения $\Sym^i TM$. } {\бф \греен Наборосок доказательства:} Для $i=1$, это утверждение очевидно из явного описания дифференциальных операторов первого порядка (это дифференцирования плюс $C^\infty M$-линейные операторы, а дифференцирования -- это и есть векторные поля). Для $i>1$, нужна индукция. \ендпрооф \упражнение Пусть $R= C^\infty M$. Докажите, что {\бф \пурпле кольцо символов дифференциальных операторов на $M$ изоморфно кольцу функций на $T^*M$, полиномиальных на всех слоях $T^*_xM$}. \определение Пусть $D\in \Diff^i (M)$ - дифференциальный оператор $i$-го порядка. Его {\бф \блуе символ} это его образ в $\Diff^i (M)/\Diff^{i-1} (M)=\Sym^i TM$. Символ это функция на тотальном пространстве кокасательного расслоения $T^*M$, полиномиальная (и однородная степени $i$) на слоях $T^*M$. \невпаге {\бф \блуе Эллиптические операторы} \замечание Все рассуждения о дифференциальных операторах из $C^\infty M$ в себя можно повторить для дифференциальных операторов из расслоения в расслоение. Пространство $\Diff^* ({\cal F},{\cal G})$ является $\Diff^*(M)$-модулем с фильтрацией, и {\бф \ред его присоединенный градуированный модуль изоморфен $\Sym^* TM\otimes \Hom_{C^\infty M}({\cal F},{\cal G})$} {\бф \пурпле (докажите это).} \определение Если $D:\; {\cal F} \arrow {\cal G}$ -- дифференциальный оператор $i$-го порядка на векторных расслоениях, его {\бф \блуе символ} -- сечение векторного расслоения $\Sym^i TM\otimes \Hom({\cal F},{\cal G})$. Мы будем рассматривать $D$ как {\бф \пурпле $\Hom({\cal F},{\cal G})$-значную функцию на $T^*M$, полиномиальную (и однородную степени $i$) на слоях $T^*M$.} \определение Пусть $D:\; {\cal F} \arrow {\cal G}$ -- дифференциальный оператор $i$-го порядка на векторных расслоениях одинакового ранга. Рассмотрим проекцию $\pi:\; \Tot(T^*M) \arrow M$. $D$ называется {\бф \блуе эллиптическим}, если его символ задает изоморфизм $\pi^* {\cal F}\arrow \pi^* {\cal G}$ в каждой точке $\xi\in T^*M$, лежащей вне нулевого сечения $T^*M$. \невпаге {\бф \блуе Эллиптические операторы второго порядка на $C^\infty\R^n$} \пример {\бф \блуе Дифференциальный оператор второго порядка} на $C^\infty\R^n$ записывается в виде \[ D(f)f= af + \sum_i b_i\frac {\6f}{\6x_i} + \sum_{i,j} c_{i,j}\frac {\6^2f}{\6x_i\6x_j} \] где $a$, $b_i$, $c_{i,j}$ -- гладкие функции, а $x_i, i=1, ..., n$ -- координаты. Тогда его символ задается функцией $\xi \arrow \sum_{i,j}c_{i,j}\xi_i\xi_j$, где $\xi=(\xi_1, ..., \xi_n)\in T_x^*\R^n$. {\бф \пурпле Этот оператор эллиптичен, если матрица $c_{i,j}$ положительно или отрицательно определена в каждой точке $\R^n$.} \замечание По конвенции, считается, что {\бф \блуе эллиптический оператор второго порядка} есть оператор, у которого матрица $c_{i,j}$ {\бф \ред положительно определена}. \определение Эллиптический оператор второго порядка называется {\бф\блуе униформно эллиптическим}, если $b_i$ ограничены в метрике, которая задается $c_{i,j}$ (для компактных многообразий это требование выполнено автоматически). \невпаге {\бф \блуе Сильный принцип максимума} \теорема \\ {\бф \блуе (strong maximum principle for second order elliptic equations; Eberhard Hopf, 1927)} Пусть $M$ -- многообразие, не обязательно компактное, а $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ -- униформно эллиптический оператор второго порядка, причем $D(f)=0$ для любой функции $f=const$. Пусть $u$ -- функция такая, что $D(u)\geq 0$. {\бф \ред Предположим, что $u$ имеет локальный максимум в какой-то точке $M$. Тогда $u$ -- константа.} {\бф \греен Доказательство, для случая $D(u)>0$:} В координатах, оператор $D$ записывается так: \[ D u = \sum_{i,j} A^{ij} u_{ij} +\sum_{i} B^i u_i, \] где $u_{ij}$ -- матрица вторых производных (гессиан) функции $u$, $u_i= \frac{\6u}{\6x_i}$, а $A^{ij}$ -- функция со значениями в положительно определенных матрицах. В точке $z$ максимума $u$, первые производные $u$ зануляются, матрица вторых производных неположительно определена, и поэтому $Du\restrict z = \sum_{i,j} A^{ij}u_{ij}\restrict z \leq 0,$ что противоречит $Du >0$. {\бф \пурпле Поэтому такая функция $u$ не может иметь максимума.} \невпаге {\бф \блуе Слабый принцип максимума} Сильный принцип максимума -- трудная теорема. Сначала я докажу {\бф \блуе слабый принцип максимума}, а потом выведу из него сильный. \теорема {\бф \блуе (Слабый принцип максимума)}\\ Пусть $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ -- эллиптический оператор второго порядка. причем $D(f)=0$ для функции $f=const$. Рассмотрим область $\Omega \subset M$, замыкание которой компактно. {\бф \ред Тогда любое решение неравенства $D(u)\geq 0$ достигает максимума $\sup_{\Omega} u$ на границе $\6 \Omega$.} \доказательство Пусть $z$ -- точка, где $u$ достигает максимума, а $x_i$ -- координаты в окрестности $U\ni z$, $U\cong \R^n$. Отождествим $z$ с $0\in \R^n$. Выберем область $\Omega \Subset \R^n$, которая содержится в шаре $B_r(0)$ радиуса $r<1$. {\бф \пурпле Достаточно доказать, что $u(z)=u(v)$ для какой-то точки $z$ на $\6 \Omega$.} {\bf \green Шаг 1:} Если мы добавим к $u$ решение $\phi$ неравенства $D\phi >0$, {\бф \пурпле максимум $u + \phi$ будет всегда достигаться на границе $\Omega$,} в силу сильного принципа максимума для $Du >0$. \невпаге {\бф \блуе Слабый принцип максимума (продолжение)} {\bf \green Шаг 1:} Если мы добавим к $u$ решение $\phi$ неравенства $D\phi >0$, {\бф \пурпле максимум $u + \phi$ будет всегда достигаться на границе $\Omega$,} в силу сильного принципа максимума для $Du >0$. {\bf \green Шаг 2:} Нам нужна функция $\phi$, определенная на $\Omega$, и такая, что $D\phi >0$, то есть $B^i \phi_i< A^{ij} \phi_{ij}$ везде на $\Omega$. {\бф \пурпле В качестве $\phi$ можно выбрать функцию $\epsilon e^{c x_1}$, где $c$ выбрано, чтобы выполнялось $A^{1,1} c > |b^1|$}. Тогда $D(\phi)= A^{1,1} c^2 e^{c x_1} + b^1 c e^{c x_1} >0$. {\bf \green Шаг 3:} Поскольку максимум $u + \epsilon e^{c x_1}$ достигается на границе $\6 \Omega$ для любого $\epsilon>0$, {\бф \ред мы получаем, что $\sup_{\Omega} u$ достигается на границе $\6 \Omega$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Лемма Хопфа} \лемма {\бф \блуе (лемма Хопфа)} Пусть \[ D (u) = \sum_{i,j} A^{ij} u_{ij} +\sum_{i} B^i u_i \] эллиптический оператор на замкнутом шаре $B \subset \R^n$, а $u$ -- гладкая в $B$ функция, такая, что $D(u)\geq 0$. Предположим, что $u$ достигает максимума на точке $z_0$ границы $\6 B$, причем внутри шара $u< u(z_0)$. {\бф \ред Тогда производная $u$ по радиальному вектору в точке $z$ положительна: $\Lie_{\vec r} u>0$. } {\бф \греен Доказательство:} Предположим, для упрощения обозначений, что шар $B$ единичный, $u\restrict B \leq 0$, и $u(z_0)=0$. {\бф \греен Шаг 1:} Рассмотрим неотрицательную на $B$ функцию $v\in C^{\infty}B$, заданную формулой $v(x) = e^{-\alpha |x|^2} - e^{-\alpha},$ где $\alpha >0$ -- вещественное число. Тогда \[ D(v)\restrict x = \alpha^2 e^{-\alpha r(x)^2} \sum A^{ij} x_i x_j + e^{-\alpha r(x)^2}(\alpha \zeta +\xi), \] где $\zeta, \xi\in \C^\infty B$ -- ограниченные функции на $B$, не зависящие от $\alpha$. Поэтому, {\бф \пурпле для достаточно больших $\alpha$, имеет место $D(v) >0$ в области $\Omega=B\backslash B'$,} где $B'\subset B$ -- шар с центром в 0 и радиусом $r_0 <1$. \невпаге {\бф \блуе Лемма Хопфа (продолжение)} {\бф \греен Шаг 1:} Рассмотрим неотрицательную на $B$ функцию $v\in C^{\infty}B$, заданную формулой $v(x) = e^{-\alpha |x|^2} - e^{-\alpha},$ где $\alpha >0$ -- вещественное число. Тогда \[ D(v)\restrict x = \alpha^2 e^{-\alpha r(x)^2} \sum A^{ij} x_i x_j + e^{-\alpha r(x)^2}(\alpha \zeta +\xi), \] где $\zeta, \xi\in \C^\infty B$ -- ограниченные функции на $B$, не зависящие от $\alpha$. Поэтому, {\бф \пурпле для достаточно больших $\alpha$, имеет место $D(v) >0$ в области $\Omega=B\backslash B'$,} где $B'\subset B$ -- шар с центром в 0 и радиусом $r_0 <1$. {\бф \греен Шаг 2:} Для достаточно маленького $\epsilon >0$, имеем $u +\epsilon v < 0$ в $B'$, потому что $u<\delta <0$ в $B'$. Поскольку $v=0$ на границе $B$, из слабого принципа максимума следует, что $u +\epsilon v < 0$ в $\Omega$, и достигает максимума в $z_0$. Значит, {\бф \пурпле производная $\Lie_{\vec r} (u +\epsilon v)\restrict {z_0} \geq 0$.} {\бф \греен Шаг 3:} Вычислением проверяется $\Lie_{\vec r}v\restrict {z_0}<0$, что дает $\Lie_{\vec r} u\restrict {z_0}> 0$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Сильный принцип максимума (доказательство)} \теорема \\{\бф \блуе (strong maximum principle for second order elliptic equations; Eberhard Hopf, 1927)} Пусть $M$ -- многообразие, не обязательно компактное, а $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ -- униформно эллиптический оператор второго порядка, причем $D(f)=0$ для любой функции $f=const$. Пусть $u$ -- функция такая, что $D(u)\geq 0$. {\бф \ред Предположим, что $u$ имеет максимум в какой-то точке $M$. Тогда $u$ -- константа.} \дшаг Пусть локальный максимум функции $u$ достигается в точке $z\in M$, а $Z:= \{ m \in M \ \ | \ \ u(m) = u (z)\}$. Если $u$ не постоянно, то {\бф \пурпле всегда существует шар, внутренность которого не пересекает $Z$, а граница пересекает.} Выберем этот шар таким образом, что $u