
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\�����{\small}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}}
\newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}}
\newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Map}{\operatorname{Map}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{%
     {\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ����������� �����������, ������ 10 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ����������� �����������, \\[15mm]
\small ������ 11: ������������� ��������� � ������� ������� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf ���/������ ���, ������
\\[2mm] 23 ������ 2012
}
\end{center}

\�������

{\�� \���� ��������� ���� � ���������������� ���������}

\����������� 
����� $R$ - ������ ��� ����� $k$. $k$-��������
����������� $D$ �� ������ $R$ � $R$-������ (��������, � $R$)
���������� {\�� \���� ������������������}, ���� ���
������������� ������� ��������: $D(xy) = y D(x) + x D(y)$
��������, ����� ��������� ���� ������ �����������������
�� ������ $C^\infty(M)$.


\���������
{\�� \������ ����������������� ������ $C^\infty(M)$ ������ �������
������� ��� ��������� ���� �� $M$.} ��� - ���� ��
����������� ���������� ����.


\�����������
����� $R$ - ������ ��� ����� $k$. {\bf\���� ���������������� ��������
������� $0$} --- ��� ����������� $R\stackrel v \arrow R$, �������
$R$-�������, �� ���� ��������� $r\in R$ � $v(1)r$.
��������� ����� ���������� ������������ $\Diff^0(R)$.
���������������� �������� ������� $i>0$ ������������
����������: {\�� \���� $a\in \Diff^i(R)$, ���� ��� ������ $v\in \Diff^0(R)$,
���������� $[a, v]$ ����� � $\Diff^{i-1}(R)$.}
�� ����� ������� ��������
\[
\Diff^0(R)\subset \Diff^1(R) \subset \Diff^2(R) \subset ...
\]
����������� ���� $\Diff^i(R)$ ���������� {\��\���� ����������
���������������� ����������}.

\�������

{\�� \���� ���������������� ��������� �� �����������}

\�����������
����������������
��������� �� ������ $C^\infty M$ ����������
{\��\���� ����������������� ����������� �� $�$},
� ������������ $\Diff^*(M)$.

\��������� 
{\�� \������
��� ����������� ����������� ��������} (whatever it is).


\���������
���������� ������������ {\�� \���� ����������������
��������� �� ������ $M$ ��� ������� $R$ � ������ $M'$ ��� $R$.}
��������� �������� ������� - $R$-��������, ��������� $i$-��
�������  - �����, ���������� ������� � ����� $R$-��������
������������� $M$ � $M'$ ���� ���������������� �������� $i-1$-�� �������.


\���������
�������, ��� ����������� ������� ����������� ������
��� ������� -- ��� ������ ��������� ���������� ������.
��������� ���������� �� ������� ������������ �����
������������� ���  $C^\infty M$-������, ������������
���������� � ������������� ��� �������. 
{\�� \���� 
���������������� ��������� �� ������ ���������� � ������}
����� ���������� ��� ���������������� ���������
�� ��������������� $C^\infty M$-�������.


\�������

{\�� \���� ������������� �������}


\�����������
(������������) ���������� �� ��������� ����\-�\-������� $V$
���� ������������������ ��������������
$V_0\subset V_1 \subset V_2\subset ...$
�����, ��� $\bigcup V_i = V$.
{\�� \���� ������������� �������} ��� �������
$A$ � ����������� $A_0\subset A_1 \subset A_2\subset ...$
�����, ��� $A_i\cdot A_j\subset A_{i+j}$.


\��������� 
{\�� \������ ���������� ���������������� ���������� $i$-�� � $j$-��
������� ����� ������� $\leq i+j$} (�������� ���).
��� ������ ���������� 
\[
\Diff^0(R)\subset \Diff^1(R) \subset \Diff^2(R) \subset ...
\]
�� ������ ���������������� ���������� ��� $R$.

\����������
����� $D^i \in \Diff^i(R)$, $D^j \in \Diff^j(R)$ --
���������������� ���������. {\�� \������ ��������, ��� �� ����������
$[D^i, D^j]$ ����� � $\Diff^{i+j-1}(R)$. }


\�����������
����� $A= \bigcup_i A_i$ - ������������� ������� � �����������.
��������� ��������� �� $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$ ���, ���
������������ $a \mod A_{i-1}$ � $b \mod A_{j-1}$ ����
$ab \mod A_{i+j-1}$. ����� ������� ���������� {\�� \����
�������������� �������������� ��������} �������������
������� $A$.


\�������

{\�� \���� ������� ��������}



\����������
��������, ��� {\�� \������ �������������� ��������������
������� � ������� ���������������� ����������
������������.}

\�����������
��� ������� ����������
{\�� \���� �������� �������� ���������������� ����������}.

\�������
$\Diff^i (M)/\Diff^{i-1} (M)$ {\�� \��� ���������
������������ ������� ����������
$\Sym^i TM$. }

{\�� \����� ��������� ��������������:}
��� $i=1$, ��� ����������� �������� ��
������ �������� ���������������� ����������
������� ������� (��� �����������������
���� $C^\infty M$-�������� ���������,
� ����������������� -- ��� � ���� 
��������� ����). ��� $i>1$, �����
��������. \��������


\����������
����� $R= C^\infty M$. ��������, ��� 
{\�� \������ ������ �������� ���������������� ����������
�� $M$ ��������� ������ ������� �� $T^*M$, �������������� ��
���� ����� $T^*_xM$}.


\�����������
����� $D\in \Diff^i (M)$ - ����������������
�������� $i$-�� �������. ��� {\�� \���� ������}
��� ��� ����� � $\Diff^i (M)/\Diff^{i-1} (M)=\Sym^i TM$.
������ ��� �������
�� ��������� ������������ �������������� 
���������� $T^*M$, ��������������
(� ���������� ������� $i$) �� �����
$T^*M$.



\�������

{\�� \���� ������������� ���������}


\���������
��� ����������� � ����������������  ����������
�� $C^\infty M$ � ���� ����� ��������� ���
����������������  ���������� �� ���������� � ����������.
������������ $\Diff^* ({\cal F},{\cal G})$
�������� $\Diff^*(M)$-������� � �����������,
� {\�� \��� ��� �������������� �������������� ������ ���������
$\Sym^* TM\otimes \Hom_{C^\infty M}({\cal F},{\cal G})$}
{\�� \������ (�������� ���).}

\�����������
���� $D:\; {\cal F} \arrow {\cal G}$ -- ����������������
�������� $i$-�� ������� �� ��������� �����������, 
��� {\�� \���� ������} -- ������� ���������� ����������
$\Sym^i TM\otimes \Hom({\cal F},{\cal G})$.
�� ����� �������������  $D$ ��� 
{\�� \������ $\Hom({\cal F},{\cal G})$-�������
������� �� $T^*M$, ��������������
(� ���������� ������� $i$) �� �����
$T^*M$.}


\�����������
�����  $D:\; {\cal F} \arrow {\cal G}$ -- ����������������
�������� $i$-�� ������� �� ��������� ����������� ����������� �����.
���������� �������� $\pi:\; \Tot(T^*M) \arrow M$.
$D$ ���������� {\�� \���� �������������}, ���� ��� ������
������ ���������� $\pi^* {\cal F}\arrow \pi^* {\cal G}$ 
� ������ ����� $\xi\in T^*M$, �������
��� �������� ������� $T^*M$.

\�������

{\�� \���� ������������� ��������� ������� ������� �� $C^\infty\R^n$}


\������
{\�� \���� ���������������� �������� ������� �������} �� $C^\infty\R^n$
������������ � ���� 
\[ D(f)f=  af + \sum_i b_i\frac {\6f}{\6x_i} +
\sum_{i,j} c_{i,j}\frac {\6^2f}{\6x_i\6x_j}
\]
��� $a$, $b_i$,  $c_{i,j}$ -- ������� �������,
� $x_i, i=1, ..., n$ -- ����������. ����� ��� ������ ��������
�������� $\xi \arrow \sum_{i,j}c_{i,j}\xi_i\xi_j$,
��� $\xi=(\xi_1, ..., \xi_n)\in T_x^*\R^n$.
{\�� \������ ���� �������� ����������, ���� ������� $c_{i,j}$
������������ ��� ������������ ���������� �
������ ����� $\R^n$.}

\���������
�� ���������, ���������, ��� 
{\�� \���� ������������� �������� ������� �������}
���� ��������, � �������� ������� $c_{i,j}$
{\�� \��� ������������ ����������}. 


\�����������
�������������
�������� ������� ������� ����������
{\��\���� ��������� �������������},
���� $b_i$ ����������
� �������, ������� �������� $c_{i,j}$
(��� ���������� ������������ ��� ����������
��������� �������������).


\�������

{\�� \���� ������� ������� ���������}


\������� \\ {\�� \���� 
(strong maximum principle for 
second order elliptic equations; Eberhard Hopf, 1927)} 
����� $M$ -- ������������, �� ����������� ����������,
� $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ -- ���������
������������� �������� ������� �������,
������ $D(f)=0$ ��� ����� ������� $f=const$.
����� $u$ -- ������� �����, ��� $D(u)\geq 0$.
{\�� \��� �����������, ��� $u$ ����� ��������� ��������
� �����-�� ����� $M$.  ����� $u$ -- ���������.}

{\�� \����� ��������������, ��� ������ $D(u)>0$:}
� �����������, �������� $D$ ������������ ���:
\[
D u = \sum_{i,j} A^{ij} u_{ij} +\sum_{i} B^i u_i, 
\]
��� $u_{ij}$ -- ������� ������ �����������
(�������) ������� $u$, $u_i= \frac{\6u}{\6x_i}$,
� $A^{ij}$ -- ������� �� ���������� � ������������
������������ ��������. � ����� $z$ ��������� $u$, ������ �����������
$u$ ����������, ������� ������ ����������� ��������������
����������, � ������� 
$Du\restrict z = \sum_{i,j} A^{ij}u_{ij}\restrict z \leq 0,$
��� ������������ $Du >0$. {\�� \������ ������� ����� ������� 
$u$ �� ����� ����� ���������.} 


\�������

{\�� \���� ������ ������� ���������}

������� ������� ��������� -- ������� �������.
������� � ������ {\�� \���� ������ ������� ���������},
� ����� ������ �� ���� �������.

\�������
{\�� \���� (������ ������� ���������)}\\
����� $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ -- 
������������� �������� ������� �������. 
������ $D(f)=0$ ��� ������� $f=const$.
���������� ������� $\Omega \subset M$,
��������� ������� ���������. {\�� \��� �����
����� ������� ����������� $D(u)\geq 0$
��������� ���������  $\sup_{\Omega} u$ 
�� ������� $\6 \Omega$.}


\��������������
����� $z$ -- �����, ��� $u$ ��������� ���������, 
� $x_i$ -- ���������� � ����������� $U\ni z$,
$U\cong \R^n$. ����������� $z$ � $0\in \R^n$.
������� ������� $\Omega \Subset \R^n$, 
������� ���������� � ���� $B_r(0)$ ������� $r<1$. 
{\�� \������ ���������� ��������, ��� $u(z)=u(v)$ ���
�����-�� ����� $z$ �� $\6 \Omega$.}

{\bf \green ��� 1:} 
���� �� ������� � $u$ ������� $\phi$
����������� $D\phi >0$, {\�� \������ �������� $u + \phi$
����� ������ ����������� �� ������� $\Omega$,}
� ���� �������� �������� ��������� ���  $Du >0$.


\�������

{\�� \���� ������ ������� ��������� (�����������)}

{\bf \green ��� 1:} 
���� �� ������� � $u$ ������� $\phi$
����������� $D\phi >0$, {\�� \������ �������� $u + \phi$
����� ������ ����������� �� ������� $\Omega$,}
� ���� �������� �������� ��������� ���  $Du >0$.

{\bf \green ��� 2:} 
��� ����� ������� $\phi$, ������������ 
�� $\Omega$, � �����, ��� $D\phi >0$, �� ����
$B^i \phi_i<  A^{ij} \phi_{ij}$ ����� �� 
$\Omega$. {\�� \������ � �������� $\phi$ ����� �������
������� $\epsilon e^{c x_1}$,
��� $c$ �������, �����
����������� $A^{1,1} c > |b^1|$}. ����� 
$D(\phi)= A^{1,1} c^2 e^{c x_1} + b^1 c e^{c x_1} >0$.

{\bf \green ��� 3:} ��������� ��������
$u + \epsilon e^{c x_1}$ �����������
�� ������� $\6 \Omega$ ��� ������
$\epsilon>0$, {\�� \��� �� ��������, ��� $\sup_{\Omega} u$ 
����������� �� ������� $\6 \Omega$.} \��������



\�������

{\�� \���� ����� �����}

\�����
{\�� \���� (����� �����)}
�����
\[
D (u) = \sum_{i,j} A^{ij} u_{ij} +\sum_{i} B^i u_i
\] 
������������� �������� �� ��������� 
���� $B \subset \R^n$,
� $u$ -- ������� � $B$ �������, �����, ��� $D(u)\geq 0$.
�����������, ��� $u$ ��������� ��������� �� 
����� $z_0$ ������� $\6 B$, ������ ������ ����
$u< u(z_0)$. {\�� \��� ����� ����������� $u$ �� �����������
������� � ����� $z$ ������������: $\Lie_{\vec r} u>0$. }

{\�� \����� ��������������:}
�����������, ��� ��������� �����������,
��� ��� $B$ ���������, $u\restrict B \leq 0$,
� $u(z_0)=0$. 

{\�� \����� ��� 1:}
���������� ��������������� �� $B$ �������
$v\in C^{\infty}B$, �������� �������� 
$v(x) = e^{-\alpha |x|^2} - e^{-\alpha},$
��� $\alpha >0$ -- ������������ �����.
�����
\[ 
  D(v)\restrict x = \alpha^2 e^{-\alpha r(x)^2} \sum A^{ij} x_i
  x_j + e^{-\alpha r(x)^2}(\alpha \zeta +\xi),
\]
���  $\zeta, \xi\in \C^\infty B$ -- ������������ ������� �� $B$,
�� ��������� �� $\alpha$.
�������, {\�� \������ ��� ���������� ������� $\alpha$, ����� ����� $D(v) >0$ 
� ������� $\Omega=B\backslash B'$,} ��� $B'\subset B$ --
��� � ������� � 0 � �������� $r_0 <1$.

\�������

{\�� \���� ����� ����� (�����������)}

{\�� \����� ��� 1:}
���������� ��������������� �� $B$ �������
$v\in C^{\infty}B$, �������� �������� 
$v(x) = e^{-\alpha |x|^2} - e^{-\alpha},$
��� $\alpha >0$ -- ������������ �����.
�����
\[ 
  D(v)\restrict x = \alpha^2 e^{-\alpha r(x)^2} \sum A^{ij} x_i
  x_j + e^{-\alpha r(x)^2}(\alpha \zeta +\xi),
\]
���  $\zeta, \xi\in \C^\infty B$ -- ������������ ������� �� $B$,
�� ��������� �� $\alpha$.
�������, {\�� \������ ��� ���������� ������� $\alpha$, ����� ����� $D(v) >0$ 
� ������� $\Omega=B\backslash B'$,} ��� $B'\subset B$ --
��� � ������� � 0 � �������� $r_0 <1$.

{\�� \����� ��� 2:}
��� ���������� ���������� $\epsilon >0$, 
����� $u +\epsilon v < 0$ � $B'$, ������ ���
$u<\delta <0$ � $B'$. ���������
$v=0$ �� ������� $B$, �� ������� ��������
��������� �������, ��� $u +\epsilon v < 0$ 
� $\Omega$, � ��������� ��������� � $z_0$.
������, {\�� \������ �����������
$\Lie_{\vec r} (u +\epsilon v)\restrict {z_0} \geq 0$.}


{\�� \����� ��� 3:} ����������� �����������
$\Lie_{\vec r}v\restrict {z_0}<0$, ��� ���� 
$\Lie_{\vec r} u\restrict {z_0}> 0$. \��������


\�������

{\�� \���� ������� ������� ��������� (��������������)}



\������� \\{\�� \���� 
(strong maximum principle for 
second order elliptic equations; Eberhard Hopf, 1927)}
����� $M$ -- ������������, �� ����������� ����������,
� $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ --
��������� ������������� �������� ������� �������,
������ $D(f)=0$ ��� ����� ������� $f=const$.
����� $u$ -- ������� �����, ��� $D(u)\geq 0$.
{\�� \��� �����������, ��� $u$ ����� ��������
� �����-�� ����� $M$.  ����� $u$ -- ���������.}

\���� 
����� ��������� �������� 
������� $u$ �����������
� ����� $z\in M$, � $Z:= \{ m \in M \ \ | \ \ u(m) = u (z)\}$.
���� $u$ �� ���������, ��
{\�� \������ ������ ���������� ���, ������������ �������� �� ���������� $Z$,
� ������� ����������.} ������� ���� ��� ����� �������, ��� 
$u<u(z)$ ������ $B$.

{\�� \����� ��� 2:}
��������� ����������� $u$ � $z_0$
��������� (�� ����� �����),{\�� \���  ��� ����� �� �����
���� ��������� ��������:} ������������. \��������

\�������

{\�� \���� ������� ��������}


\�����������
����� $\omega$ - �������� ����� ������������ ��������
������������ $M$, $\dim_\C M =n$. ������� �� $M$ ����������
{\��\���� �������� ��������}, ���� $\6\bar\6 (\omega^{n-1})=0$.

\�������
(�. �������, 1977)
����� $(M,\omega)$ -- ����������, �����������, ��������
$n$-������ ������������. ����� {\�� \��� ����������
������������} (� ��������� �� ����������� ���������)
{\�� \��� ������������� ������� $\psi \in C^\infty M$ �����,
��� $\psi\omega$ - ������� ��������.}

�������������� ������� �������� ������� ��
�������� �������� ��������� � ������� �� �������
��� ������������� ���������� (� ��������� ������ �����).



\end{document}
