\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \usepackage[matrix,arrow]{xy} %\usepackage[table]{xcolor} %\usepackage[T1,T2A]{fontenc} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}} \newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}} \newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Map}{\operatorname{Map}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 10 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm] \small лекция 10: теорема Хана-Банаха и потоки на многообразиях} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва \\[2mm] 16 апреля 2012 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Пространства Фреше (повторение)} \определение {\бф \блуе Локально выпуклое топологическое векторное пространство} это топологическое векторное пространство, базу топологии которого составляют выпуклые множества. \определение Рассмотрим векторное пространство, снабженное набором полунорм $|\cdot|_i$, $i=0, 1, 2, ...$ и топологией, которая задана метрикой вида $d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty \max(|x-y|_i,2^{-i}).$ Такое пространство называется {\бф \блуе пространством Фреше}, если эта метрика полна (т.е. любая последовательность Коши в этой метрике сходится). \замечание Последовательность точек сходится в топологии Фреше тогда и только тогда, когда она сходится во всех нормах $|\cdot|_i$, а базой топологии Фреше будут бесконечные пересечения $\epsilon$-шаров вида $\bigcap_{i=0}^\infty B_x(\epsilon_i,|\cdot|_i), $ во всех нормах $|\cdot|_i$ {\бф \пурпле (докажите это).} \невпаге {\бф \блуе Потоки на многообразиях (повторение)} \замечание Пусть $M$ - многообразие, $B$ - расслоение. Введем метрику на $M$ и связность с метрикой на $B$. Формула $|\phi|_{C^k}:= \sup_M \sum_{i=0}^k |\nabla^i\phi|$ задает норму $C^i$ на пространствах сечений $B$ с компактным носителем. \определение {\бф \блуе $(p,q)$-потоком} на комплексном $n$-мерном многообразии называется функционал на пространстве $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$ $(n-p, n-q)$-форм с компактным носителем, непрерывный в одной из $C^i$-\-то\-по\-ло\-гий. \определение {\бф\блуе Пространство тест-форм типа $(p,q)$} на комплексном многообразии это пространство $(p,q)$-форм с компактным носителем, снабженное структурой пространства Фреше, определенной по нормам $C^i$. \замечание {\бф \ред Потоки суть функционалы на $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$, непрерывные в топологии тест-форм.} \замечание Также {\бф \ред потоки можно рассматривать как $(p,q)$-\-фор\-мы с коэффициентами в обобщенных функциях.} \невпаге {\бф \блуе Положительные (1,1)-формы и потоки} \определение {\бф\блуе Положительная $(1,1)$-форма} -- это вещественная (1,1)-форма $\alpha$, удовлетворяющая $\alpha(x,Ix) \geq 0$, для любого вещественного векторного поля $x$. \определение Пусть $M$ - комплексное, $n$-мерное многообразие. $(n-1,n-1)$-поток $\eta$ называется {\бф \блуе положительным} если $\int_M \eta \wedge \alpha\geq 0$ для любой положительной $(1,1)$-формы, \пример Пусть $C$ -- неособая комплексная кривая на комплексном многообразии. {\бф\блуе Поток интегрирования} $\alpha \arrow \int_C \alpha$ задает функционал $\Lambda^{1,1}_c(M)\arrow \R$, {\бф \ред непрерывный в $C^0$-топологии} {\бф \пурпле (проверьте это)}. \утверждение {\бф \ред Это положительный, замкнутый поток}. \доказательство {\бф \пурпле Проверьте это самостоятельно}. \ендпрооф \замечание То же верно и для особых кривых {\бф \ред (докажите)}. \невпаге {\бф \блуе Теорема Хана-Банаха} \теорема {\бф \блуе (Теорема Хана-Банаха)} Пусть $V$ -- локально выпуклое топологическое векторное пространство, $A\subset V$ - открытый выпуклый конус, не содержащий 0, $W\subset V$ - замкнутое подпространство, а $\theta_W$ - непрерывный линейный функционал на $W$, положительный на $W\cap A$. {\бф \ред Тогда на $V$ существует непрерывный линейный функционал $\theta$, такой, что $\theta\restrict A> 0$, а $\theta\restrict W = \theta_W$. } \дшаг Обозначим за $W_0\subset W$ ядро $\theta_W$. Для доказательства Хана-Банаха, достаточно проверить, что {\бф \пурпле существует гиперплоскость $H\subset V$, содержащая $W_0$ и не пересекающая $A$.} {\бф \греен Шаг 2:} Если $\dim V=2$, теорема Хана-Банаха доказывается явно. В самом деле, пересечение $A$ и единичной окружности {\бф \пурпле составляет открытый сегмент, длиной не больше $\pi$} (проверьте это), а такой сегмент {\бф \пурпле всегда лежит по одну сторону от какой-то прямой, проходящей через 0.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Хана-Банаха (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $V'\subset V$ -- подпространство. Скажем, что {\бф \блуе "$V'$ удовлетворяет ХБ"}, если существует гиперплоскость $H'\subset V'$, не пересекающая $A\cap V'$, и содержащая $W_0\cap V'$. Для возрастающего набора $V_\alpha$ подпространств в $V$, удовлетворяющих ХБ, {\бф \ред их объединение тоже удовлетворяет ХБ} {\бф \пурпле (берем объединение всех $H_\alpha$, оно не пересекает $A$ и содержит $\bigcup_\alpha (V_\alpha\cap W_0)$).} {\бф \греен Шаг 4:} Замыкание подпространства, удовлетворяющего ХБ, тоже удовлетворяет ХБ {\бф \пурпле (проверьте это)}. {\бф \греен Шаг 5:} Пусть $R'\subset R$, $R\subset V$ -- замкнутое подпространство коразмерности 1. Предположим, что $R'$ удовлетворяет ХБ. Тогда в $R'$ есть гиперплоскость $H'$, не пересекающая $A\cap R'$, и содержащая $W_0\cap R'$. Проекция $\pi:\; R \arrow R/H'$ переводит $A$ в открытый конус в $\R^2$, не содержащий 0 {\бф \пурпле (проверьте это)}. Если $\pi(W_0\cap R)$ имеет коразмерность 1 в $R/H'$, возьмем $H^\circ:= \pi(W_0\cap R)$. Если $\pi(W_0\cap R)=0$, применив шаг 2, мы найдем гиперплоскость $H^\circ$ коразмерности 1 в $R/H'$, не пересекающую $\pi(A)$. Тогда $\pi^{-1}(H^\circ)$ не пересекает $A$ и содержит $W_0\cap R$, то {\бф \ред есть $R$ удовлетворяет ХБ.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Хана-Банаха (окончание)} {\бф \греен Шаг 5:} Пусть $R'\subset R$, $R\subset V$ -- замкнутое подпространство коразмерности 1. Предположим, что $R'$ удовлетворяет ХБ. Тогда в $R'$ есть гиперплоскость $H'$, не пересекающая $A\cap R'$, и содержащая $W_0\cap R'$. Проекция $\pi:\; R \arrow R/H'$ переводит $A$ в открытый конус в $\R^2$, не содержащий 0 {\бф \пурпле (проверьте это)}. Если $\pi(W_0)$ имеет коразмерность 1 в $R/H'$, возьмем $H^\circ:= \pi(W_0)$. Если $\pi(W_0)=0$, применив шаг 2, мы найдем гиперплоскость $H^\circ$ коразмерности 1 в $R/H'$, не пересекающую $\pi(A)$. Тогда $\pi^{-1}(H^\circ)$ не пересекает $A$ и содержит $W_0$, то {\бф \ред есть $R$ удовлетворяет ХБ.} {\бф \греен Шаг 6:} Применив лемму Цорна, мы найдем максимальное подпространство $R'\subset V$, удовлетворяющее ХБ. В силу шага 4, $R'$ замкнуто. Если есть вектор $v\notin R'$, положим $R:= R' + \R \cdot v$. В силу шага 5, ХБ верно для $R$, значит, $R'$ не максимально. {\бф \пурпле Мы доказали, что $R'=V$, значит, ХБ выполнено в $V$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Кэлеровы многообразия (повторение)} \определение {\бф \блуе Строго положительная (1,1)-форма} --- форма, лежащая во внутренности положительного конуса. \замечание {\бф \блуе Многообразие называется кэлеровым, если на нем существует строго положительная, замкнутая форма.} Это одно из определений. \замечание Иначе говоря, {\бф \пурпле кэлеровость равносильна тому, что открытый конус $A$ строго положительных форм пересекается с линейным пространством $W$ замкнутых форм.} \невпаге {\бф \блуе Замкнутые потоки (повторение)} \утверждение {\бф \ред Если поток $\theta$, заданный на компактном многообразии, зануляется на замкнутых формах, то он точен.} \дшаг Действительно, \[ 0 = \int_M \theta \wedge d \alpha= (-1)^{\deg \theta} \int_M d\theta \wedge \alpha, \] значит, {\бф \пурпле $d\theta$ зануляется на любой тест-форме, значит, он равен нулю. } {\бф \греен Шаг 2:} Класс когомологий $\theta$ равен нулю, потому что {\бф \пурпле для ненулевого класса когомологий существует замкнутая форма $\alpha$ с $\int_M \theta \wedge \alpha\neq 0$} (в силу двойственности Пуанкаре). \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Потоки, зануляющиеся на замкнутых (1,1)-формах (повторение)} \лемма Пусть $M$ -- компактное комплексное $n$-мерное многообразие, а $\theta$ -- $(n-1,n-1)$-поток, который зануляется на замкнутых $(1,1)$-формах. {\бф \ред Тогда $\theta$ -- $(n-1,n-1)$-часть точного потока $\tilde \theta$.} \дшаг Пусть $V$ -- пространство 2-форм, с топологией Фреше. Пространство (1,1)-форм замкнуто в $V$, пространство замкнутых форм тоже замкнуто. Пусть $W$ -- подпространство в $V$, порожденное замкнутыми формами и $(1,1)$-формами. Оно замкнуто. Определим функционал $\theta_1$ на $W$ так: на $(1,1)$-формах $\theta_1=\theta$, на замкнутых формах $\theta_1=0$. {\бф \греен Шаг 2:} Применим теорему Хана-Банаха к $W$, построенному выше, и пустому $A$. Тогда $\theta_1$ продолжается до функционала $\tilde \theta$ на $V$. {\бф \пурпле По построению $\tilde\theta$ зануляется на замкнутых 2-формах, значит, в силу предыдущего утверждения он точен.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Харви-Лоусона (повторение)} \теорема {\бф \блуе (Харви-Лоусон, 1983)}\\ Пусть $M$ -- компактное комплексное многообразие. Тогда следующие утверждения равносильны. (а) $M$ не допускает кэлеровой метрики. (б) На $M$ существует ненулевой положительный $(n-1,n-1)$-поток, который является $(n-1,n-1)$-частью точного. \дшаг Пусть $V$ - пространство вещественных $(1,1)$-\-форм на $M$, с топологией пространства Фреше, $A\subset V$ -- строго положительные $(1,1)$-формы, а $W\subset V$ -- пространство замкнутых $(1,1)$-форм. Если $M$ не кэлерово, то $A\cap W=\emptyset$. По теореме Хана-Банаха {\бф \ред существует непрерывный функционал $\theta$ на $V$, зануляющийся на $W$, и положительный на $A$.} {\бф \греен Шаг 2:} Непрерывные функционалы на $V$ -- это $(n-1,n-1)$-потоки. {\бф \пурпле В силу предыдущей леммы, $\theta$ есть $(n-1,n-1)$-часть точного потока.} {\бф \греен Шаг 3:} Если положительный поток $\theta$ на кэлеровом многообразии $(M, \omega)$ является $(n-1,n-1)$-частью точного потока, то $\int_M \theta \wedge \omega=0$, но в этом случае $\theta=0$ {\bf \purple (проверьте это).} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Прямой образ потока} \определение Пусть $M \stackrel \pi \arrow X$ - голоморфное отображение комплексных многообразий с компактными слоями, $\nu:= \dim_\C M-\dim_\C X$, а $\eta\in D^{p,q}(M)$ -- поток. Определим {\бф \блуе прямой образ потока} $\pi_* \eta\in D^{p-\nu, q-\nu}(X)$ формулой $\int_X \pi_*\eta \wedge \alpha:= \int_M \eta \wedge \pi^*\alpha$, где $\alpha\in \Lambda^{n-p,n-q}(X)$ есть тест-форма, $n=\dim_\C M$. \замечание {\бф \блуе Обратный образ} потока, вообще говоря, не определен. \определение Для гладкого отображения с компактными слоями, {\бф \пурпле прямой образ гладкой формы - гладкая форма} {\бф \ред (проверьте)}. В такой ситуации определен {\бф \блуе обратный образ потока,} по формуле $\int_M \pi^*\eta\wedge \alpha:=\int_X \eta\wedge \pi_*\alpha$. \замечание Отображение прямого образа {\бф \пурпле переводит положительные потоки в положительные, и коммутирует с дифференциалом де Рама} {\бф \ред (проверьте это)}. \невпаге {\бф \блуе Положительные потоки на многообразии, расслоенном на кривые } {\бф \греен ТЕОРЕМА 1:} Пусть $M \stackrel \pi \arrow X$ - гладкое голоморфное отображение комплексных многообразий, с компактными слоями размерности 1, а $\eta\in D^{n-1,n-1} (M)$ -- поток, такой, что $\pi_* \eta=0$. {\бф \ред Тогда существует обобщенная функция $\psi$ на $M$ такая, что $\eta= \psi \pi^*\Vol_X$, где $\Vol_X$ -- форма объема на $X$.} \дшаг В силу определения для любой $(1,1)$-формы $\alpha$ на $X$, имеем $\int_M\eta\wedge \pi^*\alpha=0$. Для положительного $\alpha$, мера $\eta\wedge \pi^*\alpha$ положительна, значит, $\int_M\eta\wedge \pi^*\alpha=0$ влечет $\eta\wedge \pi^*\alpha=0$, для любой положительной (1,1)-формы $\alpha$ на $X$. Поскольку любая форма может быть представлена в виде линейной комбинации положительных, {\бф \ред из этого следует, что $\eta\wedge \pi^*\alpha=0$ для любой $\alpha\in \Lambda^{1,1}(X)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $x\in M$ а $z_1,..., z_{n-1}, z$ система координат в окрестности $x$, где $z_1, ..., z_{n-1}$ постоянны вдоль слоев $\pi$. Запишем $\eta:= \sum \psi_\alpha dz_\alpha$, где $dz_\alpha$ -- мономы от $dz_i, dz$, а $\psi_\alpha$ обобщенные функции. Мономы $dz_\alpha$ получены из $dz_1\wedge d\bar z_1\wedge dz_2\wedge d\bar z_2\wedge ... \wedge dz_{n-1} \wedge d\bar z_{n-1}\wedge dz\wedge d\bar z$ выкидыванием $dz_i\wedge d\bar z_i$ либо $dz\wedge d\bar z$. {\бф \греен Шаг 3:} В силу шага 1, для всех $i$, $\eta\wedge dz_i\wedge d\bar z_i=0$, то есть $\eta = \psi dz_1\wedge d\bar z_1\wedge dz_2\wedge d\bar z_2\wedge ... \wedge dz_{n-1} \wedge d\bar z_{n-1}$. \ендпрооф %\невпаге % %{\бф \блуе Базисные формы} % %\определение %Пусть $B\subset TM$ есть инволютивное подрасслоение, %например, касательное к слоям $M \stackrel \pi \arrow X$ %{\бф \блуе Базисная форма} для $B$ есть форма $\eta$, %такая, что для любого векторного поля $v\in B$, %имеем $\eta\cntrct v=0$ и $\Lie_v\eta=0$. % %\утверждение Пусть $U\subset M$ открытое множество, %$S$ -- пространство листов $B\restrict U$, %а $\pi:\; U \arrow S$ -- проекция на пространство листов. %{\бф \ред Тогда существует естественная %биекция между $\Lambda^* S$ и пространством %базисных форм на $U$.} % %\упражнение {\бф \пурпле Докажите это.} % %\замечание %По формуле Картана, $\Lie_v\eta= (d\eta)\cntrct v + d(\eta\cntrct v)$, %то есть {\бф \ред %замкнутая формы является базисной, если $\eta\cntrct v=0$.} % % %\теорема %Пусть $M \stackrel \pi \arrow X$ - гладкое голоморфное отображение %комплексных многообразий, с компактными слоями размерности 1, а %$\eta\in D^{n-1,n-1} (M)$ -- замкнутый %поток, такой, что $\pi_* \eta=0$. {\бф \ред Тогда $\eta=\pi^* \psi\Vol_X$, %где $\psi$ -- обобщенная функция.} % %\дшаг %В силу предыдущей теоремы, $\eta= \psi'\Vol_X$, %осталось только убедиться в том, что $\Lie_v \psi'=0$ %для любого векторного поля, касательного к слоям $\pi$. % %{\бф \греен Шаг 2:} Это сразу следует из формулы %$\Lie_v\eta= (d\eta)\cntrct v + d(\eta\cntrct v)$ %и того, что $\Lie_v \Vol_X=0$. \ендпрооф % \невпаге {\бф \блуе Отображения с одномерными слоями} \замечание Пусть $M$ -- многообразие, $\Vol_M$ -- невырожденная форма объема. Тогда {\бф \ред существует биективное соответствие между неотрицательными обобщенными функциями и мерами,} $\psi \arrow \psi\Vol_M$. {\бф \греен УПРАЖНЕНИЕ 1:} Пусть $M \stackrel \pi \arrow X$ - гладкое голоморфное отображение комплексных многообразий, $x\in X$, а $\delta$ -- дельта-функция в $x$. {\бф \пурпле Докажите, что $\pi^*\delta_x \Vol_X$ есть поток интегрирования по слою $\pi^{-1}(x)$. } \теорема Пусть $M \stackrel \pi \arrow X$ - гладкое голоморфное отображение комплексных многообразий с одномерными слоями, $X$ кэлерово, а $M$ некэлерово. {\бф \ред Тогда любой слой $\pi$ гомологичен $(n-1,n-1)$-части точного потока. } \дшаг По теореме Харви-Лоусона, {\bf \purple найдется точный поток $\tilde \theta$ с положительной $(n-1,n-1)$-частью $\theta$.} {\бф \греен Шаг 2:} На кэлеровом $n-1$-многообразии не может быть точного потока с положительной $(n-2,n-2)$-частью. {\bf \red Поэтому $\pi_* \theta=0$.} {\бф \греен Шаг 3:} В силу Теоремы 1, $\theta=\psi\pi^* \Vol_X$, для какой-то неотрицательной обобщенной функции (то есть меры) $\psi$ на $M$. \невпаге {\бф \блуе Отображения с одномерными слоями (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} В силу Теоремы 1, $\theta=\psi\pi^* \Vol_X$, для какой-то неотрицательной обобщенной функции (то есть меры) $\psi$ на $M$. {\бф \греен Шаг 4:} Поскольку $\psi$ неотрицательна, это мера. Значит, вне какого-то подмножества меры нуль в $X$, {\бф \пурпле ограничение $\psi \restrict \pi^{-1}(x)$ корректно определено} (теорема Фубини). {\бф \греен Шаг 5:} $dd^c \tilde \theta= dd^c\theta=0$, то есть $dd^c \psi\wedge \pi^* \Vol_X=0$. Мы получили, что $dd^c \psi\restrict C=0$ для каждой кривой $C$, на которую ограничение $\psi\restrict C$ определено. Значит, {\бф \ред $\psi$ постоянно вдоль слоев $\pi$, и $\theta=\pi^* \psi_0 \Vol_X$, для какой-то обобщенной функции $\psi_0$.} {\бф \греен Шаг 6:} На $X$, поток $\psi_0 \Vol_X$ гомологичен любому $(n-1,n-1)$-потоку $\nu$ с $\int_X \psi_0 \Vol_X=\int_X \nu$. Возьмем в качестве $\nu$ поток $\delta_x \Vol_X$, где $\delta_x$ есть $\delta$-функция, сосредоточенная в $x$. Тогда $\pi^*\delta_x \Vol_X$ гомологичен $\theta$. {\бф \пурпле Но этот поток гомологичен потоку интегрирования вдоль слоя, в силу \\ Упражнения 1.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Некэлеровы поверхности, расслоенные над кривой} \следствие Пусть $M$ - некэлерова поверхность, голоморфно расслоенная над кривой: $M \stackrel \pi \arrow X$ {\бф \ред Тогда общий слой $\pi$ гомологичен нулю.} \дшаг Разрешив особенности, можно считать, что $\pi$ гладко. В силу Упражнения 1, {\bf \purple фундаментальный класс общего слоя $\pi$ пропорционален $\omega_0:=\pi^*\Vol_X$, где $\Vol_X$ -- кэлерова форма на $X$.} {\бф \греен Шаг 2:} Из доказанной выше теоремы следует, что {\бф \ред $\omega_0$ есть (1,1)-часть точного потока.} {\бф \греен Шаг 3:} Поэтому класс когомологий $\omega_0$ в $H^1(\Omega^1 M)$ равен нулю. Значит, {\бф \пурпле $\omega_0 = (d\theta)^{1,1}$, для гладкой формы $\theta$.} {\бф \греен Шаг 4:} Заменив $\theta$ на $\Re\theta$ и воспользовавшись $\Re\omega_0=\omega_0$, мы можем считать, что {\бф \пурпле $\theta$ вещественно и $\omega_0 = (d\theta)^{1,1}$.} {\бф \греен Шаг 5:} Тогда $(d\theta)^{2,0}= \overline{(d\theta)^{0,2}}$, что дает \[ 0 = \int_M d\theta\wedge d\theta= 2 \int_M (d\theta)^{2,0}\wedge (d\theta)^{0,2} = \int_M \left|(d\theta)^{2,0}\right|^2, \] {\бф \ред Мы получили $(d\theta)^{2,0}=0$, значит $\omega_0=d\theta$.} \ендпрооф \end{document}