
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Symp}{\operatorname{Symp}}
\newcommand{\Teich}{\operatorname{Teich}}
\newcommand{\Per}{\operatorname{{\cal P}er}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\grad}{\operatorname{\text{\sf grad}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Hess}{\operatorname{Hess}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Map}{\operatorname{Map}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 10 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm]
\small лекция 10: теорема Хана-Банаха и потоки на многообразиях}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 16 апреля 2012
}
\end{center}

\невпаге

{\бф \блуе Пространства Фреше (повторение)}


\определение
{\бф \блуе Локально выпуклое топологическое векторное пространство} это
топологическое векторное пространство, базу топологии
которого составляют выпуклые множества.



\определение
Рассмотрим векторное пространство,
снабженное набором полунорм  $|\cdot|_i$, $i=0, 1, 2, ...$
и топологией, которая задана метрикой вида
$d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty \max(|x-y|_i,2^{-i}).$
Такое пространство называется {\бф \блуе пространством Фреше},
если эта метрика полна (т.е. любая последовательность
Коши в этой метрике сходится).

\замечание
Последовательность точек сходится в
топологии Фреше тогда и только тогда, когда
она сходится во всех нормах $|\cdot|_i$, а базой
топологии Фреше будут бесконечные пересечения
$\epsilon$-шаров вида $\bigcap_{i=0}^\infty B_x(\epsilon_i,|\cdot|_i), $
во всех нормах $|\cdot|_i$ {\бф \пурпле (докажите это).}


\невпаге

{\бф \блуе Потоки на многообразиях (повторение)}


\замечание
Пусть $M$ - многообразие, $B$ - расслоение.
Введем метрику на $M$ и связность с метрикой на $B$. 
Формула 
$|\phi|_{C^k}:= \sup_M \sum_{i=0}^k |\nabla^i\phi|$ задает
норму $C^i$ на пространствах сечений $B$
с компактным носителем. 

\определение
{\бф \блуе $(p,q)$-потоком} на комплексном $n$-мерном 
многообразии называется функционал на
пространстве $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$
 $(n-p, n-q)$-форм с компактным
носителем, непрерывный в одной из $C^i$-\-то\-по\-ло\-гий.

\определение
{\бф\блуе Пространство тест-форм  типа $(p,q)$}
на комплексном многообразии это пространство
$(p,q)$-форм с компактным носителем, снабженное
структурой пространства Фреше, определенной 
по нормам $C^i$.

\замечание
{\бф \ред Потоки суть функционалы на $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$,
непрерывные в топологии тест-форм.}

\замечание
Также {\бф \ред потоки можно рассматривать как  $(p,q)$-\-фор\-мы
с коэффициентами в обобщенных функциях.}

\невпаге

{\бф \блуе Положительные (1,1)-формы и потоки}


\определение
{\бф\блуе Положительная $(1,1)$-форма} -- это вещественная
(1,1)-форма $\alpha$, удовлетворяющая $\alpha(x,Ix) \geq 0$,
для любого вещественного векторного поля $x$.

\определение
Пусть $M$ - комплексное, $n$-мерное многообразие.
$(n-1,n-1)$-поток $\eta$ называется {\бф \блуе положительным}
если $\int_M \eta \wedge \alpha\geq 0$ для любой
положительной $(1,1)$-формы,

\пример
Пусть $C$ -- неособая комплексная кривая на комплексном многообразии.
{\бф\блуе Поток интегрирования} $\alpha \arrow \int_C \alpha$
задает функционал $\Lambda^{1,1}_c(M)\arrow \R$,
{\бф \ред непрерывный в $C^0$-топологии} {\бф \пурпле (проверьте это)}.

\утверждение
{\бф \ред Это положительный, замкнутый поток}.

\доказательство {\бф \пурпле Проверьте это самостоятельно}.
\ендпрооф

\замечание
То же верно и для особых кривых {\бф \ред (докажите)}.


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Хана-Банаха}


\теорема
{\бф \блуе (Теорема Хана-Банаха)}
Пусть $V$ -- локально выпуклое топологическое
векторное пространство, $A\subset V$ - 
открытый выпуклый конус, не содержащий 0,
$W\subset V$ - замкнутое подпространство, а
$\theta_W$ - непрерывный линейный функционал
на $W$, положительный на $W\cap A$. {\бф \ред Тогда на $V$ 
существует непрерывный линейный функционал $\theta$,
такой, что $\theta\restrict A> 0$,
а $\theta\restrict W = \theta_W$. }

\дшаг
Обозначим за $W_0\subset W$ ядро $\theta_W$.
Для доказательства Хана-Банаха, достаточно проверить, 
что {\бф \пурпле существует гиперплоскость 
$H\subset V$, содержащая $W_0$ и не пересекающая $A$.}


{\бф \греен Шаг 2:} Если $\dim V=2$, теорема
Хана-Банаха доказывается явно. В самом деле, 
пересечение $A$ и единичной окружности
{\бф \пурпле составляет открытый сегмент, длиной не больше $\pi$}
(проверьте это), а такой сегмент {\бф \пурпле всегда лежит по одну
сторону от какой-то прямой, проходящей через 0.}


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Хана-Банаха (продолжение)}


{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $V'\subset V$ -- подпространство.
Скажем, что {\бф \блуе "$V'$ удовлетворяет ХБ"}, 
если существует гиперплоскость $H'\subset V'$, не
пересекающая $A\cap V'$, и содержащая $W_0\cap V'$.
Для возрастающего набора $V_\alpha$ подпространств в $V$,
удовлетворяющих ХБ, {\бф \ред их объединение тоже удовлетворяет ХБ}
{\бф \пурпле (берем объединение всех $H_\alpha$, оно не пересекает 
$A$ и содержит $\bigcup_\alpha (V_\alpha\cap W_0)$).}



{\бф \греен Шаг 4:}
Замыкание подпространства, удовлетворяющего ХБ,
тоже удовлетворяет ХБ {\бф \пурпле (проверьте это)}. 



{\бф \греен Шаг 5:}
Пусть  $R'\subset R$, $R\subset V$ -- замкнутое подпространство
коразмерности 1. Предположим, что $R'$ удовлетворяет ХБ.
Тогда в $R'$ есть гиперплоскость $H'$, не
пересекающая $A\cap R'$, и содержащая $W_0\cap R'$.
Проекция $\pi:\; R \arrow R/H'$ переводит $A$ в открытый 
конус в $\R^2$, не содержащий 0 {\бф \пурпле (проверьте
это)}. Если $\pi(W_0\cap R)$ имеет коразмерность 1 в $R/H'$,
возьмем $H^\circ:= \pi(W_0\cap R)$. Если $\pi(W_0\cap R)=0$,
применив шаг 2, мы найдем гиперплоскость
$H^\circ$ коразмерности 1 в $R/H'$, не пересекающую
$\pi(A)$. Тогда $\pi^{-1}(H^\circ)$ не пересекает $A$
и содержит $W_0\cap R$, то {\бф \ред есть $R$ удовлетворяет ХБ.}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Хана-Банаха (окончание)}



{\бф \греен Шаг 5:}
Пусть  $R'\subset R$, $R\subset V$ -- замкнутое подпространство
коразмерности 1. Предположим, что $R'$ удовлетворяет ХБ.
Тогда в $R'$ есть гиперплоскость $H'$, не
пересекающая $A\cap R'$, и содержащая $W_0\cap R'$.
Проекция $\pi:\; R \arrow R/H'$ переводит $A$ в открытый 
конус в $\R^2$, не содержащий 0 {\бф \пурпле (проверьте
это)}. Если $\pi(W_0)$ имеет коразмерность 1 в $R/H'$,
возьмем $H^\circ:= \pi(W_0)$. Если $\pi(W_0)=0$,
применив шаг 2, мы найдем гиперплоскость
$H^\circ$ коразмерности 1 в $R/H'$, не пересекающую
$\pi(A)$. Тогда $\pi^{-1}(H^\circ)$ не пересекает $A$
и содержит $W_0$, то {\бф \ред есть $R$ удовлетворяет ХБ.}

{\бф \греен Шаг 6:}
Применив лемму Цорна, мы найдем максимальное
подпространство $R'\subset V$, удовлетворяющее ХБ.
В силу шага 4, $R'$ замкнуто. Если есть вектор
$v\notin R'$, положим $R:= R' + \R \cdot v$.
В силу шага 5, ХБ верно для $R$, значит, 
$R'$ не максимально. {\бф \пурпле Мы доказали, что $R'=V$,
значит, ХБ выполнено в $V$.} \ендпрооф



\невпаге

{\бф \блуе Кэлеровы многообразия (повторение)}


\определение
{\бф \блуе Строго положительная (1,1)-форма} --- форма, лежащая
во внутренности положительного конуса.


\замечание
{\бф \блуе Многообразие называется кэлеровым, если
на нем существует строго положительная,
замкнутая форма.} Это одно из определений.

\замечание
Иначе говоря, {\бф \пурпле кэлеровость равносильна тому,
что открытый конус $A$ строго положительных форм
пересекается с линейным пространством  $W$ замкнутых форм.}

\невпаге

{\бф \блуе Замкнутые потоки (повторение)}


\утверждение
{\бф \ред Если поток $\theta$, заданный
на компактном многообразии, зануляется на замкнутых формах,
то он точен.}

\дшаг 
Действительно, 
\[ 0 = 
\int_M \theta \wedge d \alpha= 
(-1)^{\deg \theta} \int_M d\theta \wedge  \alpha,
\]
значит, {\бф \пурпле $d\theta$ зануляется на любой тест-форме, значит,
он равен нулю. }

{\бф \греен Шаг 2:} Класс когомологий $\theta$ 
равен нулю, потому что {\бф \пурпле для ненулевого класса когомологий
существует замкнутая форма $\alpha$
с $\int_M \theta \wedge \alpha\neq 0$}
(в силу двойственности Пуанкаре).
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Потоки, зануляющиеся на замкнутых (1,1)-формах
(повторение)}



\лемма
Пусть $M$ -- компактное комплексное
$n$-мерное многообразие, а $\theta$ -- 
$(n-1,n-1)$-поток, который зануляется
на замкнутых $(1,1)$-формах. 
{\бф \ред Тогда $\theta$ -- $(n-1,n-1)$-часть точного потока
$\tilde \theta$.}

\дшаг
Пусть $V$ -- пространство 2-форм,
с топологией Фреше. Пространство (1,1)-форм 
замкнуто в $V$, пространство замкнутых
форм тоже замкнуто. Пусть $W$ -- подпространство
в $V$, порожденное замкнутыми формами и $(1,1)$-формами.
Оно замкнуто.   Определим функционал $\theta_1$
на $W$ так: на $(1,1)$-формах $\theta_1=\theta$,
на замкнутых формах $\theta_1=0$.

{\бф \греен Шаг 2:}
Применим теорему Хана-Банаха к $W$, построенному выше,
и пустому $A$. Тогда $\theta_1$ 
продолжается до функционала $\tilde \theta$ на $V$.
{\бф \пурпле По построению $\tilde\theta$
зануляется на замкнутых 2-формах, значит,
в силу предыдущего утверждения он точен.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Харви-Лоусона (повторение)}


\теорема
{\бф \блуе (Харви-Лоусон, 1983)}\\ 
Пусть $M$ --  компактное комплексное многообразие.
Тогда следующие утверждения равносильны.
(а) $M$ не допускает кэлеровой метрики. (б) На $M$ существует
ненулевой положительный $(n-1,n-1)$-поток, который является
$(n-1,n-1)$-частью точного.

\дшаг
 Пусть $V$ - пространство 
вещественных $(1,1)$-\-форм на $M$, с топологией пространства 
Фреше, $A\subset V$ -- строго положительные $(1,1)$-формы, 
а $W\subset V$ -- пространство
замкнутых $(1,1)$-форм. Если $M$ не кэлерово, то 
$A\cap W=\emptyset$. По теореме Хана-Банаха {\бф \ред существует непрерывный
функционал $\theta$ на $V$, зануляющийся на $W$,
и положительный на $A$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Непрерывные
функционалы на $V$ -- это $(n-1,n-1)$-потоки.
{\бф \пурпле В силу предыдущей леммы, $\theta$
есть $(n-1,n-1)$-часть точного потока.}


{\бф \греен Шаг 3:} 
Если положительный поток $\theta$ на кэлеровом многообразии 
$(M, \omega)$ является $(n-1,n-1)$-частью точного потока, то 
$\int_M \theta \wedge \omega=0$, но в этом
случае $\theta=0$ {\bf \purple (проверьте это).}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Прямой образ потока}


\определение
Пусть $M \stackrel \pi \arrow X$ - голоморфное отображение
комплексных многообразий с компактными слоями, $\nu:= \dim_\C M-\dim_\C X$, 
а $\eta\in D^{p,q}(M)$ -- поток.  Определим {\бф \блуе прямой образ потока}
$\pi_* \eta\in D^{p-\nu, q-\nu}(X)$ формулой 
$\int_X \pi_*\eta \wedge \alpha:= \int_M \eta \wedge \pi^*\alpha$,
где $\alpha\in \Lambda^{n-p,n-q}(X)$ есть тест-форма,
$n=\dim_\C M$.

\замечание
{\бф \блуе Обратный образ} потока, вообще говоря, не
определен.

\определение
Для гладкого отображения с компактными слоями, 
{\бф \пурпле прямой образ гладкой формы - гладкая форма}
{\бф \ред (проверьте)}. В такой ситуации определен
{\бф \блуе обратный образ потока,} по формуле 
$\int_M \pi^*\eta\wedge \alpha:=\int_X \eta\wedge \pi_*\alpha$.


\замечание
Отображение прямого образа {\бф \пурпле переводит 
положительные потоки в положительные, и коммутирует
с дифференциалом де Рама} {\бф \ред (проверьте это)}.




\невпаге

{\бф \блуе Положительные потоки на многообразии, расслоенном на кривые
}



{\бф \греен ТЕОРЕМА 1:}
Пусть $M \stackrel \pi \arrow X$ - гладкое голоморфное отображение
комплексных многообразий, с компактными слоями размерности 1, а 
$\eta\in D^{n-1,n-1} (M)$ -- 
поток, такой, что $\pi_* \eta=0$. {\бф \ред Тогда существует
обобщенная функция $\psi$ на $M$ такая, что
$\eta= \psi \pi^*\Vol_X$, где $\Vol_X$ -- форма объема на $X$.}

\дшаг
В силу определения
для любой $(1,1)$-формы $\alpha$ на $X$, имеем
$\int_M\eta\wedge \pi^*\alpha=0$. Для положительного
$\alpha$, мера $\eta\wedge \pi^*\alpha$ положительна,
значит, $\int_M\eta\wedge \pi^*\alpha=0$ влечет
$\eta\wedge \pi^*\alpha=0$, для любой положительной
(1,1)-формы $\alpha$ на $X$. Поскольку любая форма
может быть представлена в виде линейной комбинации
положительных, {\бф \ред из этого следует, что $\eta\wedge \pi^*\alpha=0$
для любой $\alpha\in \Lambda^{1,1}(X)$.}

{\бф \греен Шаг 2:} 
Пусть $x\in M$  а 
$z_1,..., z_{n-1}, z$ система координат в окрестности
$x$, где $z_1, ..., z_{n-1}$ постоянны вдоль слоев $\pi$.
Запишем $\eta:= \sum \psi_\alpha dz_\alpha$, где
$dz_\alpha$ -- мономы от $dz_i, dz$, а $\psi_\alpha$
обобщенные функции.  Мономы $dz_\alpha$ получены
из $dz_1\wedge d\bar z_1\wedge dz_2\wedge d\bar z_2\wedge
... \wedge dz_{n-1} \wedge d\bar z_{n-1}\wedge dz\wedge d\bar z$
выкидыванием $dz_i\wedge d\bar z_i$ либо $dz\wedge d\bar z$.

{\бф \греен Шаг 3:} 
В силу шага 1, для всех $i$, 
$\eta\wedge dz_i\wedge d\bar z_i=0$,
то есть $\eta = \psi dz_1\wedge d\bar z_1\wedge dz_2\wedge d\bar z_2\wedge
... \wedge dz_{n-1} \wedge d\bar z_{n-1}$.
\ендпрооф

%\невпаге
%
%{\бф \блуе Базисные формы}
%
%\определение
%Пусть $B\subset TM$ есть инволютивное подрасслоение,
%например, касательное к слоям $M \stackrel \pi \arrow X$ 
%{\бф \блуе Базисная форма} для $B$ есть форма $\eta$,
%такая, что для любого векторного поля $v\in B$,
%имеем $\eta\cntrct v=0$ и $\Lie_v\eta=0$.
%
%\утверждение Пусть $U\subset M$ открытое множество,
%$S$ -- пространство листов $B\restrict U$, 
%а $\pi:\; U \arrow S$ -- проекция на пространство листов.
%{\бф \ред Тогда существует естественная 
%биекция между $\Lambda^* S$ и пространством
%базисных форм на $U$.}
%
%\упражнение {\бф \пурпле Докажите это.}
%
%\замечание
%По формуле Картана, $\Lie_v\eta= (d\eta)\cntrct v + d(\eta\cntrct v)$,
%то есть {\бф \ред 
%замкнутая формы является базисной, если $\eta\cntrct v=0$.}
%
%
%\теорема
%Пусть $M \stackrel \pi \arrow X$ - гладкое голоморфное отображение
%комплексных многообразий, с компактными слоями размерности 1, а 
%$\eta\in D^{n-1,n-1} (M)$ -- замкнутый 
%поток, такой, что $\pi_* \eta=0$. {\бф \ред Тогда $\eta=\pi^* \psi\Vol_X$,
%где $\psi$ -- обобщенная функция.}
%
%\дшаг
%В силу предыдущей теоремы, $\eta= \psi'\Vol_X$,
%осталось только убедиться в том, что $\Lie_v \psi'=0$
%для любого векторного поля, касательного к слоям $\pi$.
%
%{\бф \греен Шаг 2:} Это сразу следует из формулы
%$\Lie_v\eta= (d\eta)\cntrct v + d(\eta\cntrct v)$
%и того, что $\Lie_v \Vol_X=0$. \ендпрооф
%

\невпаге

{\бф \блуе Отображения с одномерными слоями}


\замечание
Пусть $M$ -- многообразие, $\Vol_M$ -- невырожденная
форма объема. Тогда {\бф \ред существует
биективное соответствие между неотрицательными
обобщенными функциями и мерами,} $\psi \arrow \psi\Vol_M$.

{\бф \греен УПРАЖНЕНИЕ 1:}
Пусть $M \stackrel \pi \arrow X$ - гладкое голоморфное отображение
комплексных многообразий, $x\in X$, а $\delta$ -- дельта-функция
в $x$. {\бф \пурпле Докажите, что $\pi^*\delta_x \Vol_X$ есть поток интегрирования
по слою $\pi^{-1}(x)$. }

\теорема
Пусть $M \stackrel \pi \arrow X$ - гладкое голоморфное отображение
комплексных многообразий с одномерными слоями, $X$ кэлерово,
а $M$ некэлерово. {\бф \ред Тогда любой слой $\pi$ гомологичен 
$(n-1,n-1)$-части точного потока. }

\дшаг
По теореме Харви-Лоусона, {\bf \purple найдется точный поток 
$\tilde \theta$ с положительной $(n-1,n-1)$-частью $\theta$.}

{\бф \греен Шаг 2:} На кэлеровом $n-1$-многообразии
не может быть точного потока с положительной $(n-2,n-2)$-частью.
{\bf \red Поэтому $\pi_* \theta=0$.}

{\бф \греен Шаг 3:} В силу Теоремы 1, 
$\theta=\psi\pi^* \Vol_X$, для какой-то 
неотрицательной обобщенной функции 
(то есть меры) $\psi$ на $M$.

\невпаге

{\бф \блуе Отображения с одномерными слоями (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:} В силу Теоремы 1, 
$\theta=\psi\pi^* \Vol_X$, для какой-то 
неотрицательной обобщенной функции 
(то есть меры) $\psi$ на $M$.

 {\бф \греен Шаг 4:} 
Поскольку $\psi$ неотрицательна, это мера. Значит,
 вне какого-то подмножества меры нуль в $X$, {\бф \пурпле ограничение
$\psi \restrict \pi^{-1}(x)$ корректно определено}
(теорема Фубини).

 {\бф \греен Шаг 5:} $dd^c \tilde \theta= dd^c\theta=0$,
то есть $dd^c \psi\wedge \pi^* \Vol_X=0$.
Мы получили, что $dd^c \psi\restrict C=0$
для каждой кривой $C$, на которую ограничение
$\psi\restrict C$ определено.
Значит, {\бф \ред $\psi$ постоянно вдоль слоев $\pi$,
и $\theta=\pi^* \psi_0 \Vol_X$, для какой-то
обобщенной функции $\psi_0$.}


 {\бф \греен Шаг 6:} На $X$, поток $\psi_0 \Vol_X$
гомологичен любому $(n-1,n-1)$-потоку $\nu$ с 
$\int_X \psi_0 \Vol_X=\int_X \nu$. Возьмем в качестве
$\nu$ поток $\delta_x \Vol_X$, где $\delta_x$ есть
$\delta$-функция, сосредоточенная в $x$. Тогда
$\pi^*\delta_x \Vol_X$ гомологичен $\theta$.
{\бф \пурпле Но этот поток гомологичен потоку интегрирования
вдоль слоя, в силу \\ Упражнения 1.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Некэлеровы поверхности, расслоенные над кривой}


\следствие
Пусть $M$ - некэлерова поверхность, 
голоморфно расслоенная над кривой:
 $M \stackrel \pi \arrow X$
{\бф \ред Тогда общий слой $\pi$ гомологичен нулю.}

\дшаг 
Разрешив особенности, можно считать, что 
$\pi$ гладко. В силу Упражнения 1, {\bf \purple
фундаментальный класс общего слоя $\pi$
пропорционален $\omega_0:=\pi^*\Vol_X$, где
$\Vol_X$ -- кэлерова форма на $X$.}

 {\бф \греен Шаг 2:}
Из доказанной выше теоремы следует, что
{\бф \ред $\omega_0$ есть (1,1)-часть точного потока.}

{\бф \греен Шаг 3:}
Поэтому класс когомологий $\omega_0$
в $H^1(\Omega^1 M)$ равен нулю. Значит,
{\бф \пурпле $\omega_0 = (d\theta)^{1,1}$, для гладкой
формы $\theta$.} 

{\бф \греен Шаг 4:}
Заменив $\theta$ на $\Re\theta$
и воспользовавшись $\Re\omega_0=\omega_0$,
мы можем считать, что {\бф \пурпле  $\theta$ вещественно
и $\omega_0 = (d\theta)^{1,1}$.}

{\бф \греен Шаг 5:} Тогда
$(d\theta)^{2,0}=
\overline{(d\theta)^{0,2}}$, что дает
\[
0 = \int_M d\theta\wedge d\theta= 2 \int_M (d\theta)^{2,0}\wedge (d\theta)^{0,2}
= \int_M \left|(d\theta)^{2,0}\right|^2,
\]
{\бф \ред Мы получили $(d\theta)^{2,0}=0$, значит
$\omega_0=d\theta$.}
\ендпрооф







\end{document}
