

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}
\usepackage[matrix,arrow]{xy}
%\usepackage[table]{xcolor}
%\usepackage[T1,T2A]{fontenc}



\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\newcommand{\ver}{{\operatorname{\rm vert}}}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Char}{\operatorname{\sf char}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}


\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Ric}{\operatorname{Ric}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 

   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные поверхности, лекция 1 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные поверхности, \\[15mm]
\small лекция 1: Классы Черна}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/матфак ВШЭ, Москва
\\[2mm] 6 февраля 2012
}
\end{center}

\newpage

{\bf \блуе Градуированные векторные пространства и алгебры}

\определение
{\бф \блуе Градуированное векторное пространство}
есть пространство $V^* =\bigoplus_{i\in \Z} V^i$.

\замечание
Еслу $V^*$ градуировано, пространство эндоморфизмов
$\End(V^*)=\bigoplus_{i\in \Z} \End^i(V^*)$ тоже градуировано,
\[ \End^i(V^*)= \bigoplus_{j\in \Z} \Hom(V^j, V^{i+j}).\]

\определение
{\бф \блуе Градуированная алгебра} (или "градуированная
ассоциативная алгебра") есть алгебра $A^*=\bigoplus_{i\in \Z} A^i$
с умножением, которое совместимо с градуировкой: $A^i \cdot A^j \subset A^{i+j}$.

\замечание
Билинейное отображение градуированных пространств, которое
удовлетворяет $A^i \cdot B^j \subset C^{i+j}$, называется
{\бф\блуе градуированным}, или {\бф \блуе совместимым с градуировкой}.

\замечание
Категорию градуированных векторных пространств
можно определить как {\бф \пурпле категорию векторных пространств
с действием $U(1)$}; весовое разложение определяет градуировку
по формуле $\rho(t)\restrict{A^n}=e^{2\pi \1 nt}$.
Тогда {\бф \пурпле градуированная алгебра есть ассоциативная
алгебра в категории пространств с $U(1)$-действием.}


\newpage 

{\bf \blue Суперкоммутатор}

\определение
Оператор на градуированном пространстве называется
{\бф \блуе четным} ({\бф \блуе нечетным}), если
он сдвигает градуировку на четное (нечетное) число.
{\бф \блуе Четность} $\tilde a$ оператора $a$ есть 0, если он четный,
1 если нечетный. Мы говорим, что оператор {\бф \блуе чистый}
если он четный или нечетный.

\определение
{\бф \блуе Суперкоммутатор} чистых элементов определяется
формулой $\{a,b\} = ab- (-1)^{\tilde a \tilde b}ba$.

\определение 
Градуированная ассоциативная алгебра $A^*$
называется {\бф \блуе суперкоммутативной}, или
{\бф \блуе градуированной коммутативной}, если 
в $A^*$ суперкоммутатор равен нулю.

\пример
{\bf \purple Алгебра Грассмана $\Lambda^* V$ суперкоммутативна.}


\newpage

{\бф \блуе Биалгебры}

\определение
Пусть $A$ -- градуированная
коммутативная, ассоциативная алгебра над полем $k$.
$A$ называется {\бф \блуе биалгеброй}, если $A$ снабжена
морфизмом градуированных алгебр $A\stackrel \Delta\arrow A\otimes_k A$ 
{\бф \блуе ("коумножением")}, причем имеет место
{\бф \блуе условие ассоциативности:} 
$\Delta\otimes \Id_A\circ \Delta =  \Id_A \otimes \Delta \circ \Delta:\; 
A \arrow A\otimes_k A \otimes_k A$. {\бф \блуе
Коединица} биалгебры есть гомоморфизм $k$-алгебр $A \stackrel \epsilon \arrow k$
такой, что $\Delta \circ  (\epsilon\otimes\Id_A)=\Delta \circ (\Id_A \otimes \epsilon)=\Id_A$



\замечание
{\бф \ред Все биалгебры в дальнейшем молчаливо
предполагаются снабженными единицей}.


\замечание
Условие коассоциативности вместе с коединицей
{\бф \пурпле означает просто, что двойственное пространство $A^*$
снабжено структурой алгебры.} Согласованность 
с умножением в $A$ -- то, что {\бф \пурпле структура
алгебры на $A^*$ задается морфизмом $A$-модулей.}

\newpage

{\бф \блуе Примеры биалгебр}


\пример
Пусть $N$ -- пространство, снабженное коммутативной,
ассоциативной операцией $N \times N \stackrel m \arrow N$
(такая структура называется {\бф \блуе структурой коммутативного моноида}).
Тогда {\бф \ред кольцо $k$-значных функций $C(N)$ образует биалгебру,}
где морфизм коумножения индуцируется отображением
$m^* C(N) \arrow C(N\times N)= C(N)\otimes_k C(N)$.

\замечание
Понятие биалгебры есть абстракция этого наблюдения:
эвристически, {\бф \ред биалгебры суть алгебры функций на моноидах}.

\пример
Пусть $N$ -- связное топологическое пространство, 
снабженное непрерывной операцией $N \times N \stackrel m \arrow N$,
задающей на $N$ структуру коммутативного, ассоциативного
моноида. Рассмотрим коумножение
на алгебре когомологий $H^*(N)$, заданное
отображением $m^*:\;  H^*(N) \arrow H^*(N\times N)= H^*(N)\otimes_k H^*(N)$.
{\бф \ред Тогда $H^*(N)$ есть биалгебра} (проверьте это).

\newpage

{\бф \блуе Алгебры Хопфа}



\определение
Биалгебра называется {\бф \блуе алгеброй Хопфа}, если 
она снабжена гомоморфизмом $A \stackrel S \arrow A$ 
{\бф \блуе ("отображением антипода")}, и следующая
диаграмма коммутативна:
 \begin{equation*}
  \xymatrix@C+0.5em@R+0.5em{
  & {A \otimes A} \ar[rr]^{S \otimes \Id} & & {A \otimes A} \ar[dr]^{mult} & \\
  {A} \ar[ur]^{\Delta} \ar[dr]_{\Delta} \ar[rr]^{\varepsilon} & & {k} \ar[rr]^{1} & & {A} \\
  & {A \otimes A} \ar[rr]_{\Id \otimes S} & & {A \otimes A} \ar[ur]_{mult} &
  }
 \end{equation*}
\замечание 
{\бф \пурпле Условие антипода самодвойственно:} 
если $A$ -- алгебра Хопфа, то $A^*$ -- тоже алгебра Хопфа.


\пример
Пусть $N$ -- группа, а $C(N)$ -- пространство
функций на $N$, снабженное структурой биалгебры.
Тогда отображение $n\arrow n^{-1}$ задает на 
$C(N)$ структуру антипода. Мы получили, что
{\бф \ред алгебра функций $C(N)$ на группе есть алгебра Хопфа} (проверьте это).

\пример
Пусть $G$ -- топологическая группа, а 
$H^*(G)$ -- ее алгебра когомологий, снабженная структурой
биалгебры. Рассмотрим отображение $H^*(G) \stackrel S \arrow H^*(G)$,
индуцированное $x \arrow x^{-1}$. {\бф \пурпле Тогда  $H^*(G)$ -- алгебра Хопфа}
(проверьте это).


\newpage

{\бф \блуе $H$-группы}


\определение
{\бф \блуе $H$-группа} есть топологическое пространство $M$, снабженное
непрерывным отображением $M \times M\stackrel \mu \arrow M$, 
{\бф \блуе ("отображением умножения")}, таким, что
ограничение $\mu$ на $M\times\{e\}$
гомотопно тождественному для какого-то $e\in M$
 {\бф \блуе ("гомотопическая единица")}, и 
отображением $M\stackrel \eta \arrow M$ {\бф \блуе ("взятием обратного")},
 удовлетворяющим аксиомам группы {\бф \ред с точностью до гомотопии}.
А именно, имеет место 

* {\бф \блуе гомотопическая ассоциативность}
композиции $\mu\times \Id \circ \mu$ и $\Id\times \mu\circ \mu$
гомотопны как отображения из $M\times M \times M$ в $M$,

\newcommand{\diag}{\operatorname{\sf diag}}

* {\бф\блуе отображение гомотопического обращения}:
композиции $\diag\circ (\eta \times \Id) \circ \mu$ 
и $\diag\circ (\Id \times \eta) \circ \mu$ гомотопны
отображению $M$ в точку.

\замечание
Если не требуется $H$-ассоциативности и наличия
$H$-обратного, $M$ называется {\бф\блуе $H$-пространством}

\пример
Проверьте, что {\бф \ред пространство петель $\Omega(X,x)$ является
$H$-группой.}

\утверждение
Пусть $M$ -- $H$-группа. Тогда алгебра когомологий $H^*(M, k)$ --
{\бф \ред алгебра Хопфа.}


\newpage

{\бф \блуе Структурная теорема для алгебр Хопфа}

Пусть $V^\bullet$ -- градуированное векторное пространство.
Обозначим за \\ $\Sym_{gr}(V)$ тензорное произведение
$\Sym^*(V^\even)\otimes \Lambda^*(V^\odd)$
с естественной градуировкой.
На $\Sym_{gr}(V)$ задана структура градуированной
коммутативной алгебры.

\определение
{\бф \блуе Свободная коммутативная} алгебра есть алгебра
полиномов. {\бф \блуе Свободная градуированная алгебра}
есть $Sym_{gr}(V^\bullet)$, где $V^\bullet$ -- градуированное
векторное пространство.


\определение
{\бф \блуе Градуированная алгебра конечного типа}
есть алгебра, градуированная $i \geq 0$, у которой все градуированные 
пространства конечномерны.

{\бф \блуе Теорема Хопфа:} Пусть $A$ есть 
градуированная алгебра Хопфа конечного типа
над полем $k$ характеристики 0. {\бф \ред Тогда $A$ -- свободная
(градуированная) $k$-алгебра. }

\newpage

{\бф \блуе Примитивные элементы в биалгебрах}

\определение
Элемент $x$ биалгебры называется {\бф \блуе примитивным},
если $\Delta(x)= x\otimes 1 + 1\otimes x$.

{\бф \греен Мы сначала докажем теорему Хопфа} для 
алгебр Хопфа, (мультипликативно) порожденных примитивными
элементами. 

\определение
Пусть $A$ -- алгебра Хопфа, $P\subset A$ -- пространство
примитивных элементов. Рассмотрим естественный мультипликативный
гомоморфизм $\Sym_{gr}(P)\stackrel \psi\arrow A$. Говорится, что 
$A$ {\бф \блуе свободна вплоть до степени $k$},
если $\bigoplus^{i \leq k} \Sym_{gr}^i(P)\stackrel \psi\arrow A$
вложение.

\замечание
Из следующей леммы {\бф \пурпле немедленно вытекает теорема
Хопфа, для алгебр, порожденных примитивными элементами.}

\лемма
Пусть $A$ -- алгебра Хопфа, свободная вплоть до степени
$k$. {\бф \ред Тогда $A$ свободна вплоть до степени
$k+1$.}


\newpage

{\бф \блуе Структурная теорема для алгебр Хопфа, порожденных примитивными элементами}

\лемма
Пусть $A$ -- алгебра Хопфа (или даже биалгебра), свободная вплоть до степени
$k$. {\бф \ред Тогда $A$ свободна вплоть до степени
$k+1$.}

\дшаг
Пусть $\{x_i\}$ -- какой-то базис в $P$.
Рассмотрим полиномиальное соотношение степени $k+1$,
$Q(x_1, ..., x_n)=0$, и представим его в виде
полинома от $x_1$ с коэффициентами, которые 
будут полиномами от $x_2, ..., x_n$:
$Q= Q_m x_1^m+ Q_{m-1} x^{m-1}_1 + ... + Q_0$.
Поскольку $\psi:\; \bigoplus^{i \leq k} \Sym_{gr}^i(P)\stackrel \psi\arrow A$
вложение, имеем
\[
\Delta(Q)= Q\otimes 1 + 1\otimes Q + R,
\]
где $R\in {\goth A}:= \left(\bigoplus^{i \leq k} \Sym_{gr}^i(P)\right)\otimes 
\left(\bigoplus^{i \leq k} \Sym_{gr}^i(P)\right)$. 

{\бф \греен Шаг 2:}
Каждый элемент ${\goth A}$ представляется как
сумма мономов вида
 $\lambda\otimes \mu$, где $\lambda, \mu$ -- мономы
от $x_i$. 
Обозначим за 
$\Pi:\; {\goth A} \arrow 
x_1 \otimes \left(\bigoplus^{i \leq k} \Sym_{gr}^i(P)\right)$
проекцию на сумму всех мономов вида $x_1\otimes \mu$.
Поскольку $\Delta(x_i) = x_i\otimes 1 + 1\otimes x_i$,
имеем $\Delta(x_1^m)= (x_1\otimes 1 + 1\otimes x_1)^m$,
{\бф \пурпле что дает $\Pi(\Delta(x_1^m))= m x_1 \otimes x_1^{m-1}$.}

\newpage

{\бф \блуе Структурная теорема для алгебр Хопфа,
порожденных примитивными элементами (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 3:}
Пусть $\Pi(R)= x_1 \otimes R_0$.
Поскольку $Q=0$, его компонента $R_0$ тоже равна нулю.
{\бф \пурпле В силу шага 2,
\[
0 = x_1 \otimes R_0 = \sum_{i=1}^m m x_1^{m-1} Q_m
\]
где $Q_i$ -- полиномы, определенные в шаге 1.
Значит, все $Q_i=0$.}
\ендпрооф

\замечание
На шаге 3 {\бф \ред используется $\Char k=0$.}

\newpage

{\бф \блуе Доказательство теоремы Хопфа}

\определение
{\бф\пурпле Идеал аугментации} $Z$ в алгебре Хопфа есть ядро
отображения коединицы $\epsilon:\; A \arrow k$.

\замечание
Условие коединицы дает $x= \epsilon \otimes \Id_A(\Delta(x))$ и
$x=  \Id_A\otimes \epsilon(\Delta(x))$, то есть 
\[ \Delta(x) = 1\otimes x + x\otimes 1 \mod (Z\otimes Z)
\]

{\бф \греен Доказательство теоремы Хопфа. Шаг 1:}
Рассмотрим фильтрацию алгебры $A$ степенями $Z^i$ идеала
аугментации $Z$, и присоединенную градуированную алгебру
$A_{gr}:=\bigoplus_i Z^i/Z^{i+1}$. {\бф \пурпле 
В силу предыдущего замечания,
$\Delta(Z^p) \subset \bigoplus_{i+j=p} Z^i \otimes Z^j$.}

{\бф \греен Шаг 2:} 
Мы получили, что все операции,
определенные на алгебре Хопфа, совместимы с фильтрацией
степенями $Z$ (проверьте). Значит, {\бф \ред $A_{gr}$ -- тоже алгебра Хопфа}.

{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Алгебра $A_{gr}$ мультипликативно 
порождена $Z^1/Z^2$} (это общее свойство присоединенных градуированных
алгебр по адической фильтрации).


\newpage

{\бф \блуе Доказательство теоремы Хопфа (окончание)}


{\бф \греен Шаг 4:} Поскольку 
$\Delta(x) = 1\otimes x + x\otimes 1 \mod (Z\otimes Z)$,
все элементы $Z^1/Z^2$ примитивны. В силу шага 3,
{\бф \пурпле $A_{gr}$ порождена примитивными элементами.}

{\бф \греен Шаг 5:} По теореме, доказанной выше,
$A_{gr}$ свободно порождена $\{x_i\}$, где $x_i$ -- базис
в пространстве примитивных элементов $A_{gr}$. 
Выберем для каждого из $x_i$ представитель $\tilde x_i$ в $A$.
Поскольку между $x_i$ нет соотношений в $A_{gr}$,
{\бф \ред между $\tilde x_i$ нет соотношений и $A$.}
{\бф \пурпле Осталось доказать, что $\tilde x_i$ порождают $A$.}

{\бф \греен Шаг 6:} 
Размерности градуированных
компонент $A^p$ и $A_{gr}^p$ равны (здесь {\бф \ред идет речь 
о градуировке, которая была изначально задана на $A$
и индуцированной градуировке на $A_{gr}$}). 
Пусть $\{y_i\}$ есть набор мономов в $A_{gr}$, порождающих
заданную компоненту $A_{gr}^p$, а  $\{\tilde y_i\}$ --
соответствующие элементы $A^p$. Тогда
$\{y_i\}$ -- базис в $A_{gr}^p$,
а $\{\tilde y_i\}$ -- линейно независимые
элементы в пространстве $A^p$
той же размерности. Следовательно,
{\бф \ред мономы $\{\tilde y_i\}$ порождают
$A^p$.} \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Применения теоремы Хопфа }


\следствие
 Алгебра $H^*(G, \Q)$ когомологий группы Ли -- {\бф\ред грассманова
алгебра, порожденная нечетномерными образующими.}

\следствие Алгебра $H^*(\Omega M, \Q)$
когомологий пространства петель любого конечного 
клеточного пространства $M$ -- {\бф \ред свободная 
суперкоммутативная алгебра.}


\замечание
Доказательство структурной теоремы {\бф \ред нигде не использует
аксиому антипода.} Таким образом, {\бф \пурпле теорема Хопфа верна
для любой  биалгебры конечного типа}, в частности, {\бф
\ред для алгебры когомологий $H$-пространства.}

\newpage

{\бф \блуе Алгебра когомологий $U(n)$ }

\утверждение
Алгебра когомологий $H^*(U(n),\Q)$ -- {\бф \ред грассманова
алгебра, порожденная образующими в размерностях
$1, 3, 5, ..., 2n-1$.}

\дшаг
Группа $U(n)$ расслоена над $S^{2n-1}$ со слоем $U(n-1)$
(проверьте это). Применив индукцию, мы можем считать, 
что {\бф \пурпле $H^*(U(n-1))$ свободная алгебра с образующими во всех
в нечетных степенях. }

{\бф \греен Шаг 2:} 
Пусть $\xi_{2n-1}\in H^*(U(n))$ получена
как обратный образ формы объема на сфере.
Написав спектральную последовательность
расслоения $U(n)\arrow S^{2n-1}$, мы убедимся,
что {\бф \пурпле $H^*(U(n))$ свободно порождена образующими
$U(n-1)$ и $\xi_{2n-1}$, если все дифференциалы
$d_i$ спектральной последовательности зануляются на
$\xi_{2n-1}$. }

{\бф \греен Шаг 3:}  Поскольку $U(n)$ свободна,
$d_i(\xi_{2n-1})$ либо нулевой, либо является
линейной комбинацией примитивных классов
в $H^*(U(n-1))$. Последнее невозможно,
потому что $d_i$ отображает четные
классы в нечетные.
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Многообразия Грассмана}


\newcommand{\Gr}{\operatorname{Gr}}
\newcommand{\fun}{{\rm fun}}

\определение
Обозначим за $\Gr(n,m)$ {\бф \блуе многообразие
Грассмана} $n$-мерных плоскостей в $m$-мерном
пространстве над $k$, $k=\C$ или $\R$, и пусть $B_\fun$ обозначает
{\бф \блуе фундаментальное $n$-мерное расслоение над
$\Gr(n,m)$} (над каждой точкой $x\in \Gr(n,m)$
висит соответствующее $n$-мерное пространство $V_x\subset k^m$).

\замечание
Пусть $B_{triv}$ -- тривиальное $m$-мерное
расслоение над грассманианом $\Gr(n,m)$, а $B'_\fun$ --
расслоение, сопоставляющее точке $x\in \Gr(n,m)$
фактор $k^m$ по $V_x$.
Тогда {\бф \пурпле имеет место точная последовательность 
$0 \arrow B'_\fun \arrow B_{triv}\arrow B_\fun\arrow 0$.}

\замечание
Пусть $B$ -- $n$-мерное векторное 
расслоение над топологическим
пространством $X$ такое, 
что $B \oplus B'$ тривиально, для $\dim B'=m-n$.
Отождествив все слои $B \oplus B'$, получим, что
{\бф \пурпле каждая точка $x\in X$ задает плоскость
$\phi(x)$ в $k^m$.}

\утверждение
Пусть $B$ -- $n$-мерное расслоение над пространством $X$ такое, 
что $B \oplus B'$ тривиально, для $\dim B'=m-n$. {\бф \ред
Тогда
существует отображение $\phi:\; X \arrow \Gr(n,m)$
такое, что $\phi^* B_\fun\cong B$.} 


\newpage

{\бф \блуе Грассманиан $\Gr(n, \infty)$}

\определение
Рассмотрим естественные вложения 
\[ \Gr(n,m)\hookrightarrow \Gr(n, m
+1) \hookrightarrow \Gr(n,m+2)\hookrightarrow  ...,
\]
 и пусть {\бф \блуе $\Gr(n):=\Gr(n, \infty)$ обозначает
объединение всех этих пространств} (то есть прямой предел
клеточных комплексов). Это пространство $n$-мерных
плоскостей в $k^\infty$, где $k^\infty$ обозначает
$\bigoplus_{i=0}^\infty k$.

\теорема
Пусть $B$ -- расслоение над многообразием $M$.
{\бф \ред Тогда $B \oplus B'$ тривиально, для какого-то
расслоения $B'$ над $M$.}

\упражнение
Докажите эту теорему самостоятельно
 (доказательство
аналогично теореме Уитни об иммерсии многообразия в $\R^n$).

\утверждение
Пусть $B$ -- $n$-мерное расслоение на многообразии $M$. 
{\бф \пурпле Тогда  существует отображение $\phi:\; M\arrow \Gr(n)$
такое, что $B=\phi^* B_\fun$.} 

\доказательство
Воспользовавшись теоремой о вложении расслоения в
тривиальное, получим тривиализацию $B \oplus B'$,
для какого-то расслоения $B'$ над $M$. Соответствующее
отображение $\phi:\; M \arrow \Gr(n,m)$ построено выше.
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Классифицирующие пространства}


\определение
Пусть $G$ -- топологическая группа, $X$ -- топологическое пространство.
{\бф \блуе Главное $G$-расслоение над $X$} есть
топологическое пространство $E$, снабженное свободным
действием $G$, таким, что $E/G=X$.

\определение
{\бф \блуе Классифицирующее пространство}
для топологической группы $G$ есть пространство
$BG$, снабженное главным $G$-расслоением $G_\fun$, тотальное
пространство которого стягиваемо.


\пример
(оставлен в качестве упражнения)
{\бф \ред $Gr(n)$ есть
классифицирующее пространство для $GL(n,k)$.}


\теорема
Пусть $BG$ -- классифицирующее пространство для группы $G$.
Тогда {\бф \ред  классы гомотопии отображений $X \arrow BG$ 
взаимно однозначно соответствуют классам изоморфизма
главных $G$-расслоений:} для каждого $G$-расслоения $Y$
  существует (единственное до гомотопии) отображение
$X \stackrel \phi \arrow BG$ такое, что $\phi^* G_\fun
\cong Y$.

\newpage

{\бф \блуе Классифицирующие пространства (продолжение)}

\теорема
Пусть $BG$ -- классифицирующее пространство для группы $G$.
Тогда {\бф \ред  классы гомотопии отображений $X \arrow BG$ 
взаимно однозначно соответствуют классам изоморфизма
главных $G$-расслоений:} для каждого $G$-расслоения $Y$
  существует (единственное до гомотопии) отображение
$X \stackrel \phi \arrow BG$ такое, что $\phi^* G_\fun
\cong Y$.

\дшаг
Пусть $Y \arrow X$ -- главное $G$-расслоение.
Рассмотрим  произведение $Y \times E$
с диагональным действием $G$ как расслоение
над $X\times E$. {\бф \пурпле Как $G$-расслоение, $Y \times E\arrow
X\times E$ гомотопически эквивалентно $Y\arrow X$.}
Отображение проекции на второй аргумент
дает $X=Y/G \sim (Y \times E)/G\arrow BG$,
что приводит к искомому отображению $X \stackrel \phi \arrow BG$.

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть даны отображения 
$X \stackrel {\phi_i} \arrow BG$, $i=0,1$. Получаем расслоение
$(Y\times \{0,1\})\times E\stackrel {\check\Phi}\arrow 
(X\times \{0,1\})\times E$, факторизация по $G$ и проекция
на второй аргумент дает $\phi_i$.
Поскольку $\phi_i$ индуцирует одно и то же расслоение,
$\check\Phi$ можно продолжить до 
$(Y\times [0,1])\times E\stackrel {\Phi}\arrow (X\times [0,1])\times E$.
Факторизуя 
по $G$ и проектируя на $E/G=BG$, {\бф \пурпле получаем искомую гомотопию
$(Y\times [0,1])\times E\arrow BG$.}
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Классифицирующее пространство для $U(n)$}


Отныне мы будем работать над $\C$, и наше поле $k=\C$.

\теорема \\
{\бф \ред $Gr(n,\C)$ есть
классифицирующее пространство для $U(n)$.}

\дшаг
Пусть $E_n$ -- множество всех последовательностей
$\{x_1, ..., x_n\}\subset k^\infty$ из $n$ 
ортонормированных векторов в $\C^\infty$. Очевидно, 
$E/GL(n)=\Gr(n)$. {\bf \purple 
Осталось убедиться, что $E_n$ стягиваемо.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $Y\arrow X$ локально
тривиальное расслоение, слой которого стягиваем,
и база тоже стягиваема. {\бф \ред Тогда $Y$ стягиваемо}
(докажите это).


{\бф \греен Шаг 3:} Обозначим за $S^\infty\subset \C^\infty$
единичную сферу в $\C^\infty$. {\бф \пурпле Тогда $E_n$ расслоено над
$S^n$ со слоем $E_{n-1}$.} Для доказательства
стягиваемости $E_n$ {\бф \пурпле осталось убедиться, что $S^\infty$ 
стягиваемо, и применить индукцию.} 
\newpage

{\бф \блуе Классифицирующее пространство для $U(n)$ (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 4:} {\бф \пурпле Проще убедиться, что
$\C^\infty\backslash 0$ стягиваемо} (эти пространства, 
очевидно, гомотопически эквивалентны). Выберем в
$\C^\infty$ базис, пронумерованный $\Z^{\geq 0}$.
Рассмотрим отображение $N:\; \C^\infty \arrow \C^\infty$,
переводящее $i$-й вектор базиса в $i+1$-й.
Тогда $t\Id +(1-t) N$ переводит $\C^\infty\backslash 0$ в себя
для любого $t\in \R$. {\бф \ред Это задает гомотопию
тождественного отображения $\Id_{\C^\infty\backslash 0}$ 
и $N$.} 


{\бф \греен Шаг 5:} Поскольку 
вектор $(1,0,0,0, ...)$ не принадлежит образу $N$, из него
можно спроектировать на аффинное пространство $A=\{ 1/2, t_1,
t_2, ...\}$, получив гомотопию $\Id$ и отображения
$\C^\infty\backslash 0\arrow A$. {\бф \пурпле Поскольку $A$ стягиваемо,
это отображение гомотопно тривиальному.}
\ендпрооф

\замечание
Классы гомотопии главных $U(n)$ расслоений это то же
самое, что классы гомотопии векторных $n$-мерных
расслоений над $\C$ {\бф \ред (проверьте это).}

\следствие
{\бф \ред Классы гомотопии $n$-мерных расслоений суть гомотопические
классы отображения в $\Gr(n)$.}

\замечание
Мы доказали это над $\C$; доказательство над $\R$
остается как упражнение.


\newpage

{\бф \блуе Бесконечномерный грассманиан}

\упражнение
Пусть $X\infty = \bigcup X_i$ -- счетное
объединение стягиваемых клеточных пространств.
{\бф \пурпле Тогда $X_\infty$ тоже стягиваемо.}

\определение
Выберем базис $x_0, x_1, ..., $ в $\C^\infty$,
и пусть $N:\; \C^\infty \arrow \C^\infty$ определено
как выше, $N(x_i) = x_{i+1}$.
Рассмотрим вложение  $Gr(n, \infty)\hookrightarrow Gr(n+1, \infty),$
переводящее подпространство $L\subset \C^\infty$ в 
$\langle x_0, N(L)\rangle$.
Объединение $\bigcup_n Gr(n, \infty)$ называется
{\бф \блуе бесконечномерный грассманиан}, и обозначается
$BU$.

\теорема \\
{\бф \ред $BU$ есть классифицирующее пространство для
$U=\bigcup_n U(n)$.}

\доказательство 
Рассмотрим вложения $E_1\subset E_2 \subset ...$
полученные как выше, $\{\zeta_1, ..., \zeta_m\} \in \C^\infty$
переводится в $\{x_0, N(\zeta_1), ..., N(\zeta_m)\}$,
и пусть $E_\infty$ есть объединение всех $E_i$. По
построению, $BG= E_\infty/U$, значит, {\бф \пурпле достаточно
убедиться, что $E_\infty$ стягиваемо.} Это вытекает из
предыдущего упражнения. \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Стабильная эквивалентность}


\определение
Векторные расслоения $B_1$ и $B_2$ называются {\бф \блуе
стабильно эквивалентными}, если $B_1\oplus U_1 \cong B_2
\oplus U_2$, где $U_i$ -- тривиальные векторные
расслоения.

\теорема
Пусть $X$ -- конечное клеточное пространство. Тогда
{\бф \пурпле классы гомотопии отображений $X \arrow BG$
биективно соответствуют классам стабильной
эквивалентности векторных расслоений.}

\доказательство
Проверьте самостоятельно. \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Когомологии $BU$}

\замечание
В силу периодичности Ботта, $BU=\Omega U$,
значит, {\бф \ред $BU$ есть $H$-группа, и можно применить
теорему Хопфа, чтобы узнать ее когомологии.}
Поскольку для теоремы Хопфа достаточно только
коумножения (и коединицы) в когомологиях,
для того же самого результата {\бф \пурпле достаточно 
построить на $BU$ структуру $H$-пространства.}

\утверждение
Рассмотрим отображение $V:\; \C^\infty \times \C^\infty \arrow \C^\infty$,
переводящее базисные вектора $x_i$ первого пространства в $x_{2i}$,
а базисные вектора второго пространства в $x_{2i+1}$.
Тогда $L, L' \arrow V(L, L')$ {\бф \ред задает структуру
$H$-пространства} на бесконечном грассманиане $BU$.

\доказательство Нечего тут доказывать. \ендпрооф

\следствие\\
{\бф \ред $H^*(BU, \Q)$ -- свободная суперкоммутативная алгебра.}

\замечание
Нетрудно написать клеточное разложение для
грассманиана, все клетки которого {\бф \блуе 
("клетки Шуберта")} будут четными.
Значит, $H^*(BU)$ коммутативна.

\newpage

{\бф \блуе Когомологии $BU$ (продолжение)}

\утверждение
{\бф \ред $H^*(BU, \Q)$ -- свободная полиномиальная алгебра,
порожденная примитивными классами 
$ch_1, ch_2, ...$ во всех четных степенях.}

\доказательство
Рассмотрим фундаментальное расслоение $E\arrow BU$
со слоем $U$. Когомологии $U$ нам ведомы: это
свободная грассманова алгебра, порожденная
образующими во всех нечетных степенях.
Поскольку $E$ стягиваемо, для каждой
образующей $\xi_{2i-1}$ в $H^{2i1}(U)$ должен существовать
класс $ch_{2i}\in H^{2i}(BU)$, который будет
образом соответствующего дифференциала
спектральной последовательности. 

Что между такими классами нет соотношений, это следует
из теоремы Хопфа. \endproof


\newpage

{\бф \блуе Классы Черна: аксиоматическое определение}


{\бф \блуе Классы Черна} суть классы $c_i(B)\in H^{2i}(B)$, $i=0,1, 2, ...$, 
определенные для любого векторного расслоения $B$ на клеточном
пространстве $X$, и удовлетворяющие
следующим аксиомам.

1. $c_0(V)=1$.

2. {\бф \блуе функториальность:} если $f:\; X \arrow Y$ непрерывно,
то $f^* c_i(B)= c_i(f^*B)$.

3. {\бф \блуе Формула Уитни:} $c_*(B\oplus B')=c_*(B)c_*(B')$,
где $c_*(B)=\sum_i c_i(B)$.

4. Если $\calo(i)$ -- стандартное расслоение
на проективном пространстве, то $c_1(\calo(1))=[H]$,
где $[H]$ -- фундаментальный класс гиперплоскости, а 
для всех $i>0$, $c_i(\calo(1))=0$.



\newpage

{\бф \блуе Характер Черна и классы Черна: явная конструкция}

\определение
Пусть $B$ -- векторное расслоение на $X$, а 
$\phi:\; X \arrow BU(n)\subset BU$ -- соответствующее
отображение. {\бф \блуе $i$-й характер Черна $ch_i(B)$}
есть класс когомологий $ch_i(B) \in H^{2i}(X)$,
полученный как $\phi^*(ch_i)$, где $ch_i$ -- примитивная образующая
$H^*(BU)$, построенная только что.

\определение 
{\бф \блуе $k$-й класс Черна} расслоения $B$
определяется как компонента градуировки $2k$
в сумме $e^{\sum_i ch_i(B)}$. В частности, $c_1(B)=ch_1(B)$.

\замечание 
Классы Черна целые (если выбрать правильную нормализацию $ch_i$).
{\бф \ред Над $\Z$, когомологии $BU$ порождены
классами Черна фундаментального расслоения 
$B_\fun$.}

\замечание
$BU(1)= \C P^\infty$, ибо бесконечномерная
сфера $S^\infty$ расслоена над $\C P^\infty$ со слоем $U(1)$.
Алгебра $H^*(\C P^\infty)$ изоморфна $\C[t]$, где
$t$ есть фундаментальный класс гиперплоскости.

\следствие
Первый класс Черна голоморфного линейного
расслоения $\calo(1)$, полученного из вложения
$X$ в $\C P^n$, равен {\бф \пурпле фундаментальному классу дивизора
гиперплоского сечения.}

\newpage

{\бф \блуе Характер Черна и классы Черна: \\ явная
конструкция (продолжение)}

\замечание
Рассмотрим структуру $H$-пространства на $BU$, построенную
выше: $\mu:\; BU\times BU\arrow BU$. Пусть $B_1, B_2$ -- векторные
расслоения на $X$, полученные из отображений $\phi_i:\; X\arrow BU$.
Тогда 
$B_1 \oplus B_2$ получено из $\phi_1 \times \phi_2\circ \mu:\; X \arrow BU$.
Мы получили, что {\бф \пурпле коумножение в $H^*(BU)$ согласовано
с взятием прямой суммы расслоений.}

\следствие
{\бф \пурпле Характер Черна аддитивен:} $ch_i(B\oplus B')= ch_i(B)+ch_i(B')$.

\доказательство
$\mu^*(ch_i)=1\otimes ch_i + ch_i\otimes 1$, поскольку $ch_i$ примитивны.
Значит, $ch_i(B\oplus B') = 
(\phi\times \phi')(1\otimes  ch_i + ch_i\otimes 1)=\ch_i(B)+ch_i(B')$.
\ендпрооф

\следствие
(формула Уитни)\\
Обозначим за $c_*(B)\in H^*(X)$ тотальный класс Черна
расслоения, то есть $ \sum_{i\geq 0} c_i(B)$, где
$c_0(B)=1$. {\бф \ред Тогда
 $c_*(B\oplus B')=c_*(B)c_*(B')$.}

\доказательство
$e^{a+b}=e^ae^b$.
\ендпрооф



\end{document}
