\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig,russlh}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\newcommand{\6}{\partial}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   09.05.2009}



\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny ���, ����� 2009} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  ���� ���������}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\calo{{\cal O}}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\const{\operatorname{\sf const}}
\def\slope{\operatorname{\sf slope}}
\def\rk{\operatorname{\sf rk}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Tr{\operatorname{Tr}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Diff{\operatorname{Diff}}
\def\Pic{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Pos}{\operatorname{{\cal P}os}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\ind}{\operatorname{ind}}
\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}


\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{������}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}{�����������}[chapter]
\newtheorem{ukazanie}[opredelenie]{��������}
\newtheorem{zamechanie}[opredelenie]{���������}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\���������}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf ��������� \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\������}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf ������ \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\�����}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf ����� \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf ������� \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf ����������� \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf ����������� \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf ���������� \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}

\def\�����{\hfill}
\def\��������{\noindent}
\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\������{\begin{zadacha}}
\def\��{\end{zadacha}}
\def\���������{\begin{zamechanie}}
\def\���{\end{zamechanie}}
\def\��������{\begin{ukazanie}}
\def\��{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\�����������{\begin{opredelenie}}
\def\��{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\goth g}}
\def\����{\begin{enumerate}} 
\def\��{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\����{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{6}
\lhead{{\scriptsize  ������ 7: ������������ �������-������� �
    ������� ����������. }}
\chapter{����������� �����������, ������ 7:\\ ������������ �������-������� �
    ������� ����������.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{��������� � ����� ����� �����������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��������� �� $h^{p,q}:=\dim H^q(\Omega^p M)$
����� ����� ������������ $M$, �� $b_i:= \dim H^i(M)$
��� ����� �����.

�� ����������, ����������� � ������ 4, ����� ��������
��������� ����������� (���������� �������� ��� ��������������).

\hfill

\�����������
("���������� ������������ ������������������ ���������")
����� $M$ -- ���������� ����������� �����������.
����� $b_i = \sum_{p+q=i} h^{p,q}$.

\�����

{\�� ��������������:} ��� $i=1$ ��� ����������� ��������
� ������ 4, ��� $i=3$ ��� ������� �� �������������� �����
� ��������. ��� $i=2$, ��� ������� �� ��� �����������
��������� ��� $i=1,3$, � ���������
\[
c_2(M) = \sum (-1)^{p+q} h^{p,q} = \sum (-1)^{i} b_i.
\]
������� ����� ������� �� ����, ��� �������� ������
$(\bigoplus_i \Omega^i(M), \6)$ �������� ������������
��� ������������ ����� �� $M$, � �������� ��������������
����� ����� ��������� �������������� ���
����������� (�������� ���). 
\endproof

\���������
����� ������, ��� 
������ ����� ����������� $\alpha \in H^2(M)$
����� ���� ����������� ��� ����� ���������
(2,0)-�����, (1,1)-����� � (0,2)-�����
(�������� ���). 
\���

������� ����� ��� ��������� ������������
��������� �� ������� ������� ����-�������,
� ���� ��������� ��������� ��� ���������:
\[\tau(M) = \sum_{p,q} (-1)^q h^{p,q}.\]
��� ���������� ������������, $h^{0,1} = h^{1,0}+1$.
��� ���� $\tau(M) = 2 h^{2,0}- h^{1,1}$.
�� ��������� (2,0)- � (0,2)-������,
����� �����������, ��������, ������������:
\[
  \int_M \alpha \wedge \bar\alpha = \int_M |\alpha|^2
  \omega^2
\]
(� ���� ����������� �����-������). � ���������
 $\tau(M) = 2 h^{2,0}- h^{1,1}$, ��� ������,
��� �� ��������������� $H^{1,1}(M) \subset H^2(M)$
�������, �������������� ���������� (1,1)-�������,
����� ����������� ������������ ����������.

�� �������� ��������� �������� ����

\hfill

\�����������
����� $M$ ���������� ����������� �����������,
� $\alpha\in \Lambda^{1,1}(M)$ - ���������
(1,1)-�����. ����� $\int_M \alpha\wedge\bar\alpha \leq 0$,
������ ��������� ��������, ������ ���� ����� $\alpha$ ������.
\endproof

\�����

����� $\theta, \xi\in H^0(\Omega^1 M)$ - �����������
1-�����. ����� $\theta \wedge \bar\xi$ - ���������
(1,1)-�����, � � ���� ����������� �����������
\[
\int \theta \wedge \bar\xi \wedge \bar\theta \wedge \xi
= \int_M |\theta \wedge \xi|^2
  \omega^2\leq 0,
\]
��� ���� $\theta \wedge \xi=0$. �� ��������

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\��������� \label{_1-formy_prop_Sledstvie_}
����� $M$ ���������� ����������� �����������,
� $\theta, \xi\in H^0(\Omega^1 M)$ - �����������
1-�����. ����� $\theta \wedge \xi=0$.
\endproof




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{����������� � $b_1 > 1$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


��� �������� ������������ $M$
���������� ����������� ��������� � $b_1(�)$-������
����������� ���. ���� ������������ $M$ ����������,
���������� ������ ����� �����������, �������
������������ ��������� �������.

���������� ������������ ��������
\[ H^0_d(\Omega^1M)\hookrightarrow H^1(M)\] ������������
���������, ����������� 1-���� � �����������, 
� ����� \[ H_1(M) \arrow H^0_d(\Omega^1M)^*\] --
������������ �����������. ���� ����������
� ������������ �������������
\[
\pi_1(M) \arrow \pi_1(M)/[\pi_1(M), \pi_1(M)] = H_1(M, \Z) 
\arrow H_1(M),
\]
�������� ����������� $\pi_1(M)\stackrel \Phi \arrow H^0_d(\Omega^1M)^*$.

����� $\tilde M\stackrel \pi\arrow $ - �������� $M$, �����, ���
$\pi^* \alpha$ ����� ��� ����� ���������, ����������� 1-�����.
� ����� ������, $\pi^* \alpha=d\phi$, ��� $\phi$ -- �����������
������� �� $\tilde M$. 

������� ��������������� $V\subset H^0(\calo_{\tilde M})$
����������� �������, ����� �������, ��� ������������ �� ����
\[
d:\; V \arrow \Omega^1(\tilde M)
\]
���������� $V$ ��������� �� ������������ $\pi^* H^0_d(\Omega^1M)$
���������, ����������� 1-����, �������� � $M$. ������������
���������� ������ ����������� 
\begin{equation}\label{_deri_Albanese_Equation_} 
 \tilde M \stackrel a \arrow V^*=H^0_d(\Omega^1M)^*.
\end{equation}
��� ����������� ������������� ������������ ��������
������ $\pi_1(M)$, ����������� �� $H^0_d(\Omega^1M)^*$
�� ������� $\gamma(x) = x - \Phi(\gamma)$ 
(��������� ���). 

\���������
�� �������� ����������� �����������
\[ M \stackrel {\mathop{Alb}}\arrow H^0_d(\Omega^1M)^*/\Phi,\] ���
$H^0_d(\Omega^1M)^*/\Phi$ ���������������
��� �����������, �����������, �������������
������������. ��� ��������� ������
����������� ���������. ��� ������������
����������� ���� �� ������� $d\mathop{Alb}(x)= \cntrct x$,
��� $x\in T_mM$ ����������� ������, �
$\cntrct x\in H^0_d(\Omega^1M)^*$
�����, ����������� $\theta \in H^0_d(\Omega^1M)$
� $\langle \theta, x \rangle$.
\���

\�������
����� $M$ - ���������� �����������
� $b_1 >1 $. ����� $M$ ��������� �������������
�������.

\�����

{\�� ��������������. ��� 1:}
��������� $b_1 \geq 3$,
������������ �����������
1-���� �� $M$ �������. �����
$\Sigma\subset TM$ -- ��������
����������� �����, �� �������
���������� ��� ������� 
$\Omega^1M$. � ���� ���������
\ref{_1-formy_prop_Sledstvie_},
$\Sigma$ ����� ���� 1.

{\��  ��� 2:}
���������� ����������� ���������
\[ M \stackrel {\mathop{Alb}}\arrow H^0_d(\Omega^1M)^*/\Phi,
\]
����������� ����. ���� ����� ����������� ���������,
������ ��� $M$ ���������, � ����� ������������� 1,
������ ��� ����� � $\Sigma$.\footnote{��� �������
�� \eqref{_deri_Albanese_Equation_}.} ������, ��� ���� --
������. ����� $C$ -- ����� ������ � ���������
${\cal S}$ ������, ���������� ����� �������. �����
$(C,C) = (C,C')\geq 0$, ��� $C'$ - ������ ������
� ��� �� ���������. � ������ �������, $(C,C)\leq 0$
 ��� ����� ����������� �����������, ��� �������� �
������ 1. ������, $(C,C) =0$, � ����� ��� ������ �
��������� ${\cal S}$ �� ������������. ���� ����� ���������
���������� ������������ �� ����� $M$ � $H^0_d(\Omega^1M)^*/\Phi$,
������, ��� ���������. 

{\��  ��� 3:} �� ��������, ��� 
$M$ ������������� ��� ������, ������, 
����� �������������� ����������� 1.
� ������ 1 ��������, ��� �����������, 
������� ����� �������������� ����������� 1,
����������� ��������� ������������� �������.
\endproof



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{����������� ������ VII � $b_2=0$.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����� � ������������ ������ VII, �����������
����, �������� �������� � ���� (��. \cite{_Inoue:VII_}
� ������ �� ������ �������, ������� ��� ����������).
�������������� ������� � ���� ���������
�� ������������� ������� ����������� 
������������.


��������, ��� {\�� ������������ ������ VII}
���������� ����������� ����������� ������� $-\infty$
(�� ���� ��� ������� ������������������ ������)
� � $b_1=1$. 

���������� ����, ������� ����� �������� ��
$b_1=1$, $b_2=0$. � ���������� ���������� �����
����������� ��������� 4-������ ������������. 
����������� ����� � ���������
������������ ����� ����� � "��������� ������ �����
(1978-79)" (\cite{_Besse:4_}) � � �������� ������ ������
\cite{_Tyurin:obzor_}.

����� $M$ - ����������� � $b_1=1$, $b_2=0$. 
��������� �������������� �������� �������������� 
$\sum_i (-1)^i \dim H^i(M)$
����� $c_2(M)$, 
\[ 2b_0 -2 b_1 -b_2= c_2(M)=0. 
\]

������� ������-����, ���������� � �������������� ��������
�����������, � ��������� �� ������� ����-������� ���
����������� ������������, �������� �����������
�������� �������������� \[ \chi(B):=\sum_i (-1)^i \dim H^i(B)\] ���������� $B$
��� ������� �� ������� ����� $c_i(B)$ � $c_i(M)$:
\[
\chi(B)= \frac{\rk B}{12}(c_1(M)^2+ c_2(M))+ \frac 1 2
c_1(B)c_1(M) +  \frac 1 2(c_1(B)^2-2 c_2(M)).
\]
��� ����������� � $b_1=1$, $b_2=0$ 
$c_1(M)=c_1(B)=0$, ������ ��� $H^2(M)=0$. ��� ����
$\chi(B)=-c_2(B)$. � ���������, ���������� 
����������� $i$-����
� ����������� ���������� ����� ������� 
����������� �������� ��������������. 

��� ��������� ����������
����� ����� $h^{p,q}=\dim H^q(\Omega^p M)$, ���������
�������. � ���� �������������� �����, $h^{p,q}=h^{2-p,2-q}$, �
$h^{0,0}=h^{2,2}=1$ ������, ��� ����� ����������� 
������� �� $M$ - ���������. �� �����������, �����
�������, ���� 4 �������������
����� �����
\[
h^{1,0}, h^{0,1}, h^{0,2}, h^{1,1},
\]
����� ������� ���������� ��� ���������.

����� ������, ��� $h^{2,0}=0$. � ����� ����, �����������
$(2,0)$-����� ��������, �, � ���� $b_2(M)=0$, �����, � �������������
$\int_M \alpha\wedge \bar\alpha=\int_M |\alpha|^2\omega^2$
(��������� ���). � ������ �������, �������� 
�� ������ ����� $\int_M \alpha\wedge \bar\alpha$
����� ���� �� ������� ������.

� ���� ����, ��� $M$ ����������,
$b_1(M) = 2 h^{1,0}+1$, � $h^{0,1}=h^{1,0}+1$
(�������� ��� �� ������, ���������� �� ������ 4).
�� �������� $h^{1,0}=0$, � $h^{0,1}=1$.
������� ������-����-���������� ����
\[
0=\chi(\Omega^1M)= h^{1,0}-h^{1,1}+h^{1,0}=-h^{1,1},
\]
������, $h^{1,1}=0$. 


�� �������� ��������� ��������
�������, ������������� �������.

\�����

\�������
����� $M$ - ���������� �����������
����������� � $b_1=1$, $b_2=0$. ����� ��� ����� �����
$M$ ����� ����, �����
\[
h^{0,0}=h^{2,2}=h^{0,1}=h^{2,1}=1.
\]
����� ����, $c_2(M)=0$.
\endproof


��������� ����������� ���������� � ������ ����
�� ������� �� ������������� �������. � �������
������� ��������-������ ����� �������� ������
��������������.

\�����������
�������� ��������������� $k$-�������
�������� $\tilde M$ ����������� $M$ ��� ������ � 
� $b_1=1$, $b_2=0$ ����� $b_1=1$, $b_2=0$. 

\�����

{\�� ��������������. ��� 1:} 
�������������� �������� �������������� ������ ��������
���������� �� ������� ������-�����
��� �������� �� ����������
�������� �� ��������, ������,
$c_2(\tilde M) = k c_2(\tilde M)=0$. 
������� $b_2(\tilde M) = 2 b_1(\tilde M)-2$.

{\�� ��� 2:} $\tilde M$ �� ��������. 
�������������, �������� ������� ����� ���������
�� ������ $\Gamma$ ���������� ��������, � �������� 
$\Gamma$-\-��\-��\-��\-���\-��� �������� �������,
������� ����������� � ��������� ������� �� $M$.

{\�� ��� 3:} � ������ ������ ���� ��������, ���
���������� ����������� � $h^{1,0}(\tilde M)>0$ 
�������� ������. ��������� ����� ������ ��� ��������
�������� ����� ������, �� ����� ��������� ��,
��� $M$ ���� �������� ������. � ���� �����
$\tilde M$ ������ �� ��������, �����
$h^{1,0}(\tilde M)=0$ � $b_1(\tilde M)=1$.
������� $b_2(\tilde M) = 2 b_1(\tilde M)-2=0$.
\endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������� ��������� � �������� ����������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
��������� $\nabla:\; B \arrow B\otimes \Lambda^1(M)$
�� ����������� ����������
{\�� ����������� � ����������� ����������}, ���� ee $(0,1)$-�����
$\nabla^{0,1}\; B \arrow B\otimes \Lambda^{0,1}(M)$
���������� �� ����������� �������� $B$.
� ���� ������ $\nabla^{0,1}$ ������������ $\bar\6$
� ���������� {\�� ���������� ����������� ���������}.
\��



\�����������
����� $(M, \omega)$ - �����������, ���������� 
$n$-������ �������� ������������, 
� $B$ - ����������� ���������� �� $M$. ��� ������
��������� ������� �� $B$ ���������� ������������
�������� ��������� $\nabla:\; B \arrow B\otimes
\Lambda^1(M)$, $(0,1)$-����� ������� ����������
�� ����������� �������� (�������� ���). ����� ��������� 
���������� {\�� ��������� �����} �� $B$. 
\��

\�����������
 (�������)
����� ����������� �������� ���������� $L$ �� ����������� $M$ � 
$b_1=1$, $b_2=0$ ����� ������������ ������� ���������, �������������
� ����������� ����������. 


\�����

{\�� ��������������:} 
������������� ���, ��� ������ $H^{1,1}_{BC}(M)$
���������, � ������������ �� ���� ���������� ����������
$H^{0,1}(M) \stackrel d \arrow H^{1,1}_{BC}(M)$
(������ 6). ������, ��� ������ ��������� $(1,1)$-�����
$\Theta$ �������� $\6$-��������� $(1,0)$-����� $\alpha$
�����, ��� $d\alpha=\Theta$. �������� ���� ��������
� ����� $\Theta$ �������� ��������� ����� $\nabla$ �� $L$,
� ����� $\nabla_1(l) := \nabla(l) - l\otimes \alpha$.
�����
\[
\nabla_1^2=\nabla_1^2 - d \alpha = \Theta-\Theta =0,
\]
� $(0,1)$-����� $\nabla_1$ ����� ��, ��� � $\nabla$,
������ ��� $\alpha$ -- (1,0)-�����.
�������������� ����� ��������� �� ��������� ���
���������� ��������. \endproof

\���������
�����  $M$ -- ����������� ����������� � 
$b_1=1$, $b_2=0$. ����� $\Pic(M)$ ��������� ������
������������� $\Hom(\pi_1(M), \C^*)$. \endproof

\���������
����� $M$ -- ����������� � $b_1=1$, $b_2=0$.
����� ����������������� ���������� $K_M^i$
������������ ��� ������ $i\neq 0$.
� ����� ����, ���� $K_M^i$ ���������,
���������� ��������������� ������� ��������� --
��������, � ����� �������� � $i$-�������� ��������,
�������� ����������� ����������� $\tilde M$ �
$b_1=1$, $b_2=0$ � ����������� ������������
�����������. ��� ����������, ������ ���
$h^{2,0}(\tilde M)=0$ (�������� ���).


\�����������
����� $L$ - �������� ����������
�� ����������� � $b_1=1$, $b_2=0$.
��� ���������� {\�� ������������},
���� ��� ����������� $\Pic(M)\arrow\Hom(\pi_1(M), \C^*)$, 
�������� ���������� $L$ ��������� � ������������������ �����������
$\Pic(M)\arrow\Hom(\pi_1(M), \R^*)$.
\��






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������������� ����������� ����� � ������� ����������.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $M$ - ����������� ������������,
$F$ -- ����������� �����. ����� $F$
���������� {\�� �������������}, ����
���������� ������������������ ����������� 
���������
\[
0=F_0\subset F_1\subset ... \subset F_n=F,
\]
������ $\rk F_i/F_{i-1}=1$.
\��

\���������
����������� ����������� ��������
�������� ������, ��������� ������������ � ���������
����������� ������.
\���

\���������
�� �������������� ������������, ���
����������� �����, ��������, �������������.
\���

\���������
�� ����� ���������������� �3-�����������,
\[ H^{1,1}(M)\cap H^2(M, \Z), \ \ H^1(M)=0,\] �, �������������,
��� �������� ���������� �� ��� ���������� (��������� ���). 
�� ����� ����� �������, ��� ������ ����������\footnote{� ������������
����������, ��. ���� ����.} ����������
�� ����� ����������� ������������ (���������).
\���

\���������
�� ������������ ������-������, ����� �����������
����� �������� �����������.
\���

������� (� �������� 1960-�) �������, ��� ����� ����������� 
� $b_1=1$, $b_2=0$, �� ������� ����������
����������� ������, �������� ������������ �����
(�������� $\C^2\backslash 0$ �� $\Z$, �������
��������� ������������ ��������������). 
���� (1974) ��� ������������� ������������
� $b_1=1$, $b_2=0$, ��� ����������� ������
� � ����������� ����������� �����������.
���������� ��� ������� ��������� ����������� ������������,
����������������� ��������� ���������� ���������.
��� ����������� ���������� "������������� ����".

��������� � 1976-� ����������� ��������������
����, ��� � ����� ����������� � $b_1=1$, $b_2=0$
����������� ����������� ����������. ����� �������
��������� �������� ������ �� �������������
������������ � $b_1=1$, $b_2=0$. ��������������
���������� �� ������ ��������, ��������, ����
������������, � ������� ���������� �����
����� ��� �������������� � 1990-� ����, ������� 
��-��-���� (�����������), ����� ������� � ���������� 
��-��-���� �������� ���������� ��������������, ���������
���� ���������� �  ������ ������������� ������.

��������� ��������������� 
����������� � ���������� ���������� "������� ��������", ��. 
\cite{_Inoue:VII_}.

\hfill

\�����
����� $M$ - ����������� � $b_1=1$, $b_2=0$, ��� 
����������� ������, � � ������������� �����������
�����������. ����� ������������ ���������� 
$K_M$ �����������.

\hfill

{\�� ��������������. ��� 1:} 
��������� $\Omega^1M$ �� �����������, 
\[ H^0(\Omega^1M \otimes L)=H^0(�M \otimes L)=0\]
��� ������ ��������� ���������� $L$.
�� ������� ������-����, $\chi(�M \otimes L)=0$,
������, 
\[ H^1(\Omega^1M \otimes L)=H^1(�M \otimes L)=0.
\]

{\�� ��� 2:} ���� � ���� �� $L\neq K_M^{-1}, \calo_M$,
�� $H^0(L)=H^2(L)=0$ � ���� ����, ��� �� $M$ ��� ������
(��������� ���). �� ���� �� ������ ���������,
$H^1(L)=0$.

{\�� ��� 3:} ���������� ������� ��������� $\nabla_L$ �� $L$;
��� ����������, � �����������, ��� �������� ����.
����� $\C(L)$ - ����� �������� ���������� 
������������ ��������� ������� $L$. ��
�������� ����� ������ ������������������, ���
����� $L, \Omega^1(M)\otimes L  K_M \otimes L$
���������� ����� ����������� �������.
\begin{equation}\label{_rezolv_C_L_Equation_}
0\arrow \C(L) \hookrightarrow L \stackrel \6\arrow \Omega^1(M)\otimes L \stackrel \6\arrow K_M \otimes L \arrow 0.
\end{equation}
� ���� ���������, �������� $\6:=\nabla^{1,0}$ ������������
�� (1,0)-����� ��������� $\nabla_L$ �� ������� ��������;
�� ��������� ����������� ������� � �����������,
������ ��� $\nabla$ �������.
���� $L\neq \calo_M, K_M, K_M^{-1}$, �� ����������� ������ $L,
\Omega^1(M)\otimes L, K_M \otimes L$ ����� ����, � ����
�������� �������� ���������� ������������ ��� $\C(L)$.
������� � ����� ������ $H^i(\C(L))=0$ ��� ���� $i$.


{\�� ��� 4:} ��� $L=K_M$, �����������
\eqref{_rezolv_C_L_Equation_} ��������� �� ����
������, ����� $L$ (���������), ������, 
$H^i(\C(K_M))=H^i(K_M)$. �� ��������
$H^i(\C(K_M))=\C$ ��� $i=1,2$, � ���� �� ����
��������� �������


{\�� ��� 5:} �������������� �������� � ��������������
� ��������� ������� ���� $H^i(\C(L))\cong H^{4-i}(\C(L)^*)$.
������, $H^i(\C(K_M^{-1}))=\C$ ��� $i=2,3$, � ���� �� ����
��������� �������


{\�� ��� 6:}  ����� ������, ��� $\C(K_M)=\C(\bar K_M)$, 
��� $\bar K_M$ ��� ���������� ����������� ���������� � �������������
(��������� ���). �� ����� 4 � 5 �������������� �������, ���
$H^i(\C(K_M))\neq H^i(\C( K_M^{-1}))=0$.
������, $\bar K_M$ �� ��������� $K_M^{-1}$.
������, $\bar K_M$ ��������� $K_M$ (��� 3). 
\endproof






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������������ �������-�������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

�������������� ������������ �������-������� 
����� ����� � ����� ���\-��-\-��\-��\-��\-�� 
\cite{_Lubke_Teleman:Book_} (��. �����
\cite{_Lubke_Teleman:Universal_}). ��� �����
�������� ������� �����������-�������-��,
�� ����� ����������� (����������� ���
������������ ��� ����������� ������������)
� �������-��, ��� �������������� 
�������� ��� ������ �������� ������������.
��� ������������ � �������� ��������,
������������ �������-������� ��������
���������, ��� ����������� ������������
����� ����������� - �� � �� (\cite{_Li_Yau_}). 


� ���� ������� 
$(M,\omega)$ - ����������� �������� ������������,
���������� �������� ��������.

\���������
��� ���� ������ ������ $h$ � $h_1$ �� $B$,
��������������� ����� �������� ��� ��������� ����� 
����������� ���
\[
\Theta_h = \Theta_{h_1} + \nabla\nabla^c\log(hh_1^{-1}),
\]
��� $\log(hh_1^{-1})$ - ������� $\End(B)$,
���������� ����������������� \\ $\End(B)$-������� �������
$hh_1^{-1}$, ��� $\nabla^c= -I \nabla I$, � 
$\nabla$ - �������� ���������, ������������ 
�� ������� �������� �� ��������� 
\[ \nabla:\; B\otimes\Lambda^i(M) \arrow B\otimes
   \Lambda^{i+1}(M).
\]
�������� ��������������� ������� ��� ��������.
\���

\���������
�� ���� ������� �������
\[
\Tr\Theta_h = \Tr\Theta_{h_1} + dd^c\Tr\log(hh_1^{-1}),
\]
��� $\Tr$ -- ����������� �����, �����������
$\End(B)$-������� ����� � $C^\infty(M)$-�������.
������� 
\[
\int_M \Tr\Theta_h\wedge \omega^{n-1} = 
\int_M \Tr\Theta_{h_1}\wedge \omega^{n-1}.
\]
�� ������� �� ������ $h$.
��� ����� $\deg_\omega B$ ���������� {\�� ��������} ���������� $B$.
\���

\���������
� ��������� ��������, ������� ��������
�������������� �����������. ��� ����������
������������, $\deg_\omega B$ ��������
����������� ����������� ��������� �� $B$.
��� �������� ������������, $\deg_\omega B$
����� ��������� ���������� ����� ��������.
��� ���������� ������������, $\deg_\omega B$ 
����� ��������� ������������� ��������� ��������.
\���


\����������
����� $F$ - ����������� ����� ��� ��������
�� $M$, � $M' \stackrel \psi \arrow M$ - ��������,
��� �������� $\psi^* F$ ������� ����������.
��������, ���
\[
\deg_\omega F:=\int_{M'} \Tr\Theta_{\psi^* F}\wedge \psi^*\omega^{n-1}
\]
�� ������� �� ������ $\psi$.

\�����������
����� $B$ - ����������� ����������.
�������� $F\subset B$ ����� $\rk F< \rk B$
���������� {\�� �����������������}, 
���� $\slope(F) \geq \slope(B),$
��� $\slope$ (������) ����� ������������ ��������
\[\slope(F):=\frac{\deg_\omega F}{\rk F}.\]
���������� $B$ ���������� {\�� ����������}, 
���� � ��� ��� ����������������� ���������,
� {\�� ��������������}, ����
$B= \bigoplus_i B_i$, ��� ��� $B_i$ ����������
���������� � $\slope(B)=\slope(B_1)= \slope(B_2) = ...$
\��

\�����������
�������� ��������� �� ����������� ���������� 
$B$ ���������� {\�� ���������� ���-������},
���� �������� $\Theta_B$ �������������
$\Lambda\Theta_B = \const \Id_B$,
��� 
\begin{equation}\label{_YM_Equation_}
  \Lambda:\; \Lambda^{1,1}(M)\otimes \End B \arrow \End B
\end{equation}
��������, ������������ � $\eta \arrow \eta \wedge \omega$.
\��

\���������
��������� �� ������� \ref{_YM_Equation_} ����������
����� ������ $\slope(B)$ ��� $\const=\frac{1}{(n-1)!}\slope B$
(��������� ���).
\���


\�������
(������������ �������-�������, ��. 
\cite{_Lubke_Teleman:Book_}, \cite{_Li_Yau_}).
����� $B$ - ����������� ���������� ���
���������� ����������� �������������
� �������� ��������. ���������� $B$
��������� ��������� ���-������
����� � ������ �����, ����� ��� 
�������������, ������ ��� ��������� �����������

\�����

�������������� ���� ������� ������ ������, � ��
��� ��������� �� �����.

\���������
������� ���-������ �� ���������� ����������� ����������
����������� � ��������� �� ���������, ��
�������������� - ����������� � ���������
�� ��������� �� ������ �� ����������
���������.
\���


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{�������������� ������� ����������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����� $M$ ����������� ����������� � 
������������� ����������� �����������.
����� � $TM$ ��� ������� ���������
����� 1, � ������� ������������ �����������
�������������. �� �������� �� $TM$
������� ���-������. 

\�����������
("L\"ubke vanishing") 
����� $B$ - ���������� ������� �������
�� �����������, ������ $c_1(B)=c_2(B)=0$,
� $\nabla$ - ��������� ���-������. �����
$\nabla$ �������.

{\�� ��������������:}
��������� $\nabla$ - ��������� ���-������,
�� �������� $\Theta$ ����������, �� ����
������������ $\omega$.

���������, ��� ��� ������ �����������,
${\goth u}(B)$-������� (1,1)-����� $\Theta$ �� $M$,
$\Tr(\Theta^2)=-\frac{1}{2}|\Theta|^2\omega^2$ (��� �����������
��� �� ����� �����������, ������� ������������
� �������������� ����������� �����-������ ��
����������� � ������ 4). �� �������
������-����� �������, ��� ����� ����������� �����
$\Tr(\Theta^2)$ ���������� ���
\[ 
 [\Tr(\Theta^2)]=2 c_2(B) - \frac {\rk B-1} {\rk B} c_1(B)^2.
\]
�������
\[
c_2(B) = -\frac{1}{2}\int_M |\Theta|^2\omega^2,
\]
� ��������� $c_2(B)=0$, $\Theta=0$.
\endproof

\���������
������� ������������ ���������� �� ����� ������������
����� ������� �� ����������������� ������ (���������),
������, $TM\otimes K_M^{-1}$ ����� ������� �������.
\���

�������� ���� �������� � 
$TM\otimes K_M$  �� �����������
� $b_1=1$, $b_2=0$, � ��������� $c_2(M)=0$
�������� ������� ��������� ��������� �� $TM\otimes K_M$.
�� ���������� $K_M$ ���� ������� ��������� � 
������������ �����������, �������� ������� ��������.
������, �� $TM$ ���� ������� ��������� $\nabla$,
���������� $\Gamma$ ������� ����� � $R^{>0}\cdot U(2)$.
��������� ���������� ���� ���������
��������� �� ������������ ���������� 
������������� ������������ $\Gamma$
���������� � $R^{>0}\cdot SU(2)$.

\���������
������� ��������� $\nabla$ �� ����� ��������.
� ���� ����� ���������, ���� �� $M$ ��������
����� �� ����������� ��������� �����. ��������
$T:\; \Lambda^2 TM \arrow TM$ ��������� �����������
���� � �����������, ������ ��� $\nabla$ �������.
������, $T$ ���� ����������� �����������
$K_M^{-1} \arrow TM$. ����� �����������
����������, ������ ��� $TM$ �� �������������.
\���

������ $R^{>0}\cdot SU(2)$ ���������
$GL(1, {\Bbb H})$, � ��� ������,
��� $\nabla$ ��������� �������������
��������� �� $M$.  

\�����������
����� �� ������������ $M$ ������ ��������� 
��� ��������, ����������� ���������
$I, J, K \in \End TM$, ������ $I, J, K$
������������� ������������� ������������
\[ I^2=J^2=IJK = -\Id_{TM}.\]
����� $(M, I, J, K)$
���������� {\�� ���������������� �������������.}
\��

\���������
��������� ��� ��������, ����������� ������������� ��������
$I, J, K \in \End TM$, �����������������
�� ���� ���������� ����������. ��� �� �������������
���������� � ����������, ����� $I, J, K$ ����
�������������� ������������ �����������. 
\���


�� �������� ����� �������.

\�����

\�������
����� $M$ - ����������� �����������  � $b_1=1$, $b_2=0$,
��� ������, � � ������������� ����������� �����������.
����� $M$ ��������� ���������������� ���������. \endproof

\�����


�� ������ ����� �������� ������� ����������

\�����

\�������
����� $M$ - ����������� ����������� � $b_1=1$, $b_2=0$,
� ��� ������. ����� ����������� ���������� $TM$
����������.

\�����

������� ���������� ����� ������� �� �������������
��\-���\-���\-���\-�\-�\-��� ������������ (Ch. P. Boyer), 
������� ����� �������� � ��������� ������. �� 
��� ������� �������, ��� ����� ����������������
����������� $M$ - ��� ���� ���, ���� �3, ����
����������� �����. ��������� $M$ ����������,
��� ����������� �����. �� �� ����������� �����,
������� �������� ����� �������, ���� ������,
��� ���� ����� ��������.



\setcounter{zadacha}{0}



\hfill

\noindent
{\bf \Large ������.}

\������
����� $M$ - ���������� ����������� �����������
� $b_2=0$. ��������, ��� ����� ��������
���������� �� $M$ ��������� ������� ���������,
����������� � ����������� ����������.
����� �� ��� ��������� �����������?
\��

\������
����� $M$ - ����������� �����
���� $\C^2\backslash 0/\Z$, ��� $\Z$ ���������
���������� �� ��������� $q\in \C$, $|q|>1$.
��� �����-�� ������� �������� �� $M$ ��������, 
��� ������� ������������ ���������� ����� ���������
����� ������������ ��������.
\��



\������
����� $B$ - ����������� ���������� �� ����������
���-������, � $B'\subset B$ �������������. ��������,
��� $\slope B' \leq \slope B$, 
������ �� ��������� �������, ��� 
$B'$ - ������ ��������� $B$.
\��

\��������
�������������� ���������� ��� ������ ����� ��������
������������ �������������.
\��


\������
����� $�$ ����������� � $c_1, c_2=0$, � $b_1=x$.  ������� $b_2(M)$.
\��

\������
����� $�$ ����������� � $c_1=0, c_2=�$, � $b_1=1$.  ������� $b_2(M)$.
\��

\������
����� $B$ - ��������� ���������� ��� ������������
� $b_2=0$, ���������� ��� ���������� ����������.
��������, ��� $B$ ��������� ������� ���������,
����������� � ����������� ����������.
\��

\������
����� $M$ - ����������� � $b_1=1$, $b_2=0$,
� $C\subset M$ - ������� ������. ��������, ���
��� �������������.
\��

\������
����� $M$ -- ���������� �����������, ������
����������� ��� ������������� ������ �� �����
������������� ������ (����� �����������
���������� {\�� ����������� �������}).
������� ����� ����� $M$.
\��



\hfill

\noindent
{\bf \Large ����������:}
{\small
\begin{thebibliography}{666}



\bibitem[B]{_Besse:4_}
����� ����� (���.), {\�� ������������� �������� ���������:
������� ������ ����� (1978-1979),} ���. ���, 1985, ������ 
(���������� "������").

\bibitem[I]{_Inoue:VII_}
M. Inoue, {\em 
On surfaces of class VII$_0$,} Inventiones math., 24 (1974), 269-310.

\bibitem[LY]{_Li_Yau_} 
Li, Jun, and  Yau,  S.-T.,
{\em Hermitian Yang-Mills connections on non-Kahler
manifolds,} in ``Mathematical aspects of string theory'' 
(S.T. Yau ed.), World
Scientific Publ., London, 1987, pp. 560-573.

\bibitem[LT1]{_Lubke_Teleman:Book_}
L\"ubke, M., Teleman, A., {\em 
The Kobayashi-Hitchin correspondence}, World
   Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, 
NJ, 1995. x+254 pp

\bibitem[LT2]{_Lubke_Teleman:Universal_}
L\"ubke, M., Teleman, A., {\em The universal 
Kobayashi-Hitchin correspondence on Hermitian manifolds},
math.DG/0402341, 90 pages.


\bibitem[Ty]{_Tyurin:obzor_} 
�. �. �����
{\em �������-�������������� ������� ���������. 1. ��������
�����������}, ������ �������������� ����, 1989,  
��� 44,  ������ 3(267), �������� 93-143.






\end{thebibliography}
}
\end{document}


