\documentclass[11pt]{book} \usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig,russlh} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}} \newcommand{\6}{\partial} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 09.05.2009} \setlength{\headheight}{15pt} \pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2009} \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version} \rhead{{\small Миша Вербицкий}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % equations % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \@addtoreset{footnote}{section} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % listki-new.tex % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\calo{{\cal O}} \def\1{\sqrt{-1}} \def\const{\operatorname{\sf const}} \def\slope{\operatorname{\sf slope}} \def\rk{\operatorname{\sf rk}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Tr{\operatorname{Tr}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Diff{\operatorname{Diff}} \def\Pic{\operatorname{Pic}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Pos}{\operatorname{{\cal P}os}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\ind}{\operatorname{ind}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] % \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string % \\ \string \hline} }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3} \string & \string \grd \string & \string\grp \string \\ \string \hline} }} \endgroup \theoremstyle{upshape} \newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter] \begingroup \gdef\th@generic{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] }} \endgroup \theoremstyle{generic} \newtheorem{opredelenie}{Определение}[chapter] \newtheorem{ukazanie}[opredelenie]{Указание} \newtheorem{zamechanie}[opredelenie]{Замечание} \renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.} \newcommand{\listok}[2]{% \setcounter{page}{1} \renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil} \renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil} \section*{#2} \refstepcounter{section} \setcounter{section}{#1} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % VEDOMOST GENERATION %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\newwrite\Vedomost %\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm %\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }} \newcommand{\writevedomost}[1]{} \def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}} \def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Chapter % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\chapter}{% \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred} \def\ChapterNumbered[#1]#2{% \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1} \refstepcounter{chapter} { \vspace{\baselineskip} \chaptermark{#2} { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}} } \vspace{\baselineskip} } \newcommand{\ChapterStarred}[1]{% \refstepcounter{chapter} \chaptermark{#1}% \vspace{\baselineskip}} \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}} \newcommand{\следствие}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Следствие \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\пример}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\лемма}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\теорема}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\утверждение}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\предложение}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\упражнение}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Упражнение \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \def\хфилл{\hfill} \def\ноиндент{\noindent} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\задача{\begin{zadacha}} \def\ез{\end{zadacha}} \def\замечание{\begin{zamechanie}} \def\еза{\end{zamechanie}} \def\указание{\begin{ukazanie}} \def\еу{\end{ukazanie}} \def\eu{\end{ukazanie}} \def\определение{\begin{opredelenie}} \def\ео{\end{opredelenie}} \def\eo{\end{opredelenie}} \def\goth{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\goth g}} \def\енум{\begin{enumerate}} \def\ее{\end{enumerate}} \def\ee{\end{enumerate}} \def\итем{\item $\bullet$ % \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } } \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setcounter{chapter}{6} \lhead{{\scriptsize Лекция 7: Соответствие Кобаяши-Хитчина и теорема Богомолова. }} \chapter{Комплексные поверхности, лекция 7:\\ Соответствие Кобаяши-Хитчина и теорема Богомолова.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Сигнатура и числа Ходжа поверхности} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Обозначим за $h^{p,q}:=\dim H^q(\Omega^p M)$ числа Ходжа многообразия $M$, за $b_i:= \dim H^i(M)$ его числа Бетти. Из аргументов, приведенных в лекции 4, легко получить следующее утверждение (попробуйте доказать его самостоятельно). \hfill \утверждение ("Вырождение спектральной последовательности Фрелихера") Пусть $M$ -- компактная комплексная поверхность. Тогда $b_i = \sum_{p+q=i} h^{p,q}$. \хфилл {\бф Доказательство:} Для $i=1$ это утверждение доказано в лекции 4, для $i=3$ оно следует из двойственности Серра и Пуанкаре. Для $i=2$, оно следует из уже доказанного равенства для $i=1,3$, и выражения \[ c_2(M) = \sum (-1)^{p+q} h^{p,q} = \sum (-1)^{i} b_i. \] которое легко следует из того, что комплекс пучков $(\bigoplus_i \Omega^i(M), \6)$ является резольвентой для тривиального пучка на $M$, а эйлерова характеристика пучка равна эйлеровых характеристике его резольвенты (докажите это). \endproof \замечание Легко видеть, что каждый класс когомологий $\alpha \in H^2(M)$ может быть представлен как сумма замкнутой (2,0)-формы, (1,1)-формы и (0,2)-формы (докажите это). \еза Формула Ходжа для сигнатуры многообразия выводится из формулы индекса Атьи-Зингера, и дает следующее выражение для сигнатуры: \[\tau(M) = \sum_{p,q} (-1)^q h^{p,q}.\] Для некэлерова многообразия, $h^{0,1} = h^{1,0}+1$. что дает $\tau(M) = 2 h^{2,0}- h^{1,1}$. На замкнутых (2,0)- и (0,2)-формах, форма пересечения, очевидно, положительна: \[ \int_M \alpha \wedge \bar\alpha = \int_M |\alpha|^2 \omega^2 \] (в силу соотношений Ходжа-Римана). А поскольку $\tau(M) = 2 h^{2,0}- h^{1,1}$, это значит, что на подпространстве $H^{1,1}(M) \subset H^2(M)$ классов, представленных замкнутыми (1,1)-формами, форма пересечения отрицательно определена. Мы получили следующий полезный факт \hfill \утверждение Пусть $M$ некэлерова комплексная поверхность, а $\alpha\in \Lambda^{1,1}(M)$ - замкнутая (1,1)-форма. Тогда $\int_M \alpha\wedge\bar\alpha \leq 0$, причем равенство возможно, только если форма $\alpha$ точная. \endproof \хфилл Пусть $\theta, \xi\in H^0(\Omega^1 M)$ - голоморфные 1-формы. Тогда $\theta \wedge \bar\xi$ - замкнутая (1,1)-форма, и в силу предыдущего утверждения \[ \int \theta \wedge \bar\xi \wedge \bar\theta \wedge \xi = \int_M |\theta \wedge \xi|^2 \omega^2\leq 0, \] что дает $\theta \wedge \xi=0$. Мы получили \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \следствие \label{_1-formy_prop_Sledstvie_} Пусть $M$ некэлерова комплексная поверхность, а $\theta, \xi\in H^0(\Omega^1 M)$ - голоморфные 1-формы. Тогда $\theta \wedge \xi=0$. \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Поверхности с $b_1 > 1$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для кэлерова многообразия $M$ определено отображение Альбанезе в $b_1(М)$-мерный комплексный тор. Если многообразие $M$ некэлерово, существует аналог этого отображения, который определяется следующим образом. Рассмотрим естественное вложение \[ H^0_d(\Omega^1M)\hookrightarrow H^1(M)\] пространства замкнутых, голоморфных 1-форм в когомологии, и пусть \[ H_1(M) \arrow H^0_d(\Omega^1M)^*\] -- двойственное отображение. Взяв композицию с естественным гомоморфизмом \[ \pi_1(M) \arrow \pi_1(M)/[\pi_1(M), \pi_1(M)] = H_1(M, \Z) \arrow H_1(M), \] получаем гомоморфизм $\pi_1(M)\stackrel \Phi \arrow H^0_d(\Omega^1M)^*$. Пусть $\tilde M\stackrel \pi\arrow $ - накрытие $M$, такое, что $\pi^* \alpha$ точно для любой замкнутой, голоморфной 1-формы. В таком случае, $\pi^* \alpha=d\phi$, где $\phi$ -- голоморфная функция на $\tilde M$. Выберем подпространство $V\subset H^0(\calo_{\tilde M})$ голоморфных функций, таким образом, что дифференциал де Рама \[ d:\; V \arrow \Omega^1(\tilde M) \] отображает $V$ изоморфно на пространство $\pi^* H^0_d(\Omega^1M)$ замкнутых, голоморфных 1-форм, поднятых с $M$. Естественное спаривание задает отображение \begin{equation}\label{_deri_Albanese_Equation_} \tilde M \stackrel a \arrow V^*=H^0_d(\Omega^1M)^*. \end{equation} Это отображение эквивариантно относительно действия группы $\pi_1(M)$, действующей на $H^0_d(\Omega^1M)^*$ по формуле $\gamma(x) = x - \Phi(\gamma)$ (проверьте это). \замечание Мы получили голоморфное отображение \[ M \stackrel {\mathop{Alb}}\arrow H^0_d(\Omega^1M)^*/\Phi,\] где $H^0_d(\Omega^1M)^*/\Phi$ рассматривается как комплексное, собственное, нехаусдорфово многообразие. Это некэлеров аналог отображения Альбанезе. Его дифференциал вычисляется явно по формуле $d\mathop{Alb}(x)= \cntrct x$, где $x\in T_mM$ касательный вектор, а $\cntrct x\in H^0_d(\Omega^1M)^*$ форма, переводящая $\theta \in H^0_d(\Omega^1M)$ в $\langle \theta, x \rangle$. \еза \теорема Пусть $M$ - некэлерова поверхность с $b_1 >1 $. Тогда $M$ допускает эллиптическое слоение. \хфилл {\бф Доказательство. Шаг 1:} Поскольку $b_1 \geq 3$, пространство голоморфных 1-форм на $M$ непусто. Пусть $\Sigma\subset TM$ -- подпучок касательных полей, на которых зануляются все сечения $\Omega^1M$. В силу Следствия \ref{_1-formy_prop_Sledstvie_}, $\Sigma$ имеет ранг 1. {\бф Шаг 2:} Рассмотрим отображение Альбанезе \[ M \stackrel {\mathop{Alb}}\arrow H^0_d(\Omega^1M)^*/\Phi, \] построенное выше. Слои этого отображения компактны, потому что $M$ компактно, и имеют коразмерность 1, потому что лежат в $\Sigma$.\footnote{Это следует из \eqref{_deri_Albanese_Equation_}.} Значит, эти слои -- кривые. Пусть $C$ -- общая кривая в семействе ${\cal S}$ кривых, полученных таким образом. Тогда $(C,C) = (C,C')\geq 0$, где $C'$ - другая кривая в том же семействе. С другой стороны, $(C,C)\leq 0$ для любой некэлеровой поверхности, как доказано в лекции 1. Значит, $(C,C) =0$, и любые две кривые в семействе ${\cal S}$ не пересекаются. База этого семейства собственно отображается на образ $M$ в $H^0_d(\Omega^1M)^*/\Phi$, значит, она компактна. {\бф Шаг 3:} Мы получили, что $M$ расслаивается над кривой, значит, имеет алгебраическую размерность 1. В Лекции 1 доказано, что поверхность, которая имеет алгебраическую размерность 1, обязательно допускает эллиптическое слоение. \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Поверхности класса VII с $b_2=0$.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Факты о поверхностях класса VII, приведенные ниже, доказаны Кодаирой и Инуэ (см. \cite{_Inoue:VII_} и ссылки на работы Кодаиры, которые там содержатся). Доказательства Кодаиры и Инуэ опираются на классификацию Кодаиры комплексных поверхностей. Напомним, что {\бф поверхностью класса VII} называется поверхность размерности Кодаиры $-\infty$ (то есть без сечений плюриканонического класса) и с $b_1=1$. Перечислим вещи, которые сразу вытекают из $b_1=1$, $b_2=0$. в результате применения общих результатов топологии 4-мерных многообразий. Стандартные факты о топологии поверхностей можно найти в "Семинарах Артура Бессе (1978-79)" (\cite{_Besse:4_}) и в чудесном обзоре Тюрина \cite{_Tyurin:obzor_}. Пусть $M$ - поверхность с $b_1=1$, $b_2=0$. Поскольку топологическая эйлерова характеристика $\sum_i (-1)^i \dim H^i(M)$ равна $c_2(M)$, \[ 2b_0 -2 b_1 -b_2= c_2(M)=0. \] Формула Римана-Роха, доказанная в алгебраической ситуации Хирцебрухом, и следующая из формулы Атьи-Зингера для комплексных многообразий, выражает голоморфную эйлерову характеристику \[ \chi(B):=\sum_i (-1)^i \dim H^i(B)\] расслоения $B$ как полином от классов Черна $c_i(B)$ и $c_i(M)$: \[ \chi(B)= \frac{\rk B}{12}(c_1(M)^2+ c_2(M))+ \frac 1 2 c_1(B)c_1(M) + \frac 1 2(c_1(B)^2-2 c_2(M)). \] Для поверхности с $b_1=1$, $b_2=0$ $c_1(M)=c_1(B)=0$, потому что $H^2(M)=0$. Это дает $\chi(B)=-c_2(B)$. В частности, расслоение голоморфных $i$-форм и тривиальное расслоение имеют нулевую голоморфную эйлерову характеристику. Это позволяет определить числа Ходжа $h^{p,q}=\dim H^q(\Omega^p M)$, следующим образом. В силу двойственности Серра, $h^{p,q}=h^{2-p,2-q}$, а $h^{0,0}=h^{2,2}=1$ потому, что любая голоморфная функция на $M$ - константа. На поверхности, таким образом, есть 4 нетривиальных числа Ходжа \[ h^{1,0}, h^{0,1}, h^{0,2}, h^{1,1}, \] через которые выражаются все остальные. Легко видеть, что $h^{2,0}=0$. В самом деле, голоморфные $(2,0)$-формы замкнуты, а, в силу $b_2(M)=0$, точны, и удовлетворяют $\int_M \alpha\wedge \bar\alpha=\int_M |\alpha|^2\omega^2$ (проверьте это). С другой стороны, интеграл от точной формы $\int_M \alpha\wedge \bar\alpha$ равен нулю по формуле Стокса. В силу того, что $M$ некэлерово, $b_1(M) = 2 h^{1,0}+1$, а $h^{0,1}=h^{1,0}+1$ (выведите это из фактов, доказанных на лекции 4). Мы получаем $h^{1,0}=0$, а $h^{0,1}=1$. Формула Римана-Роха-Хирцебруха дает \[ 0=\chi(\Omega^1M)= h^{1,0}-h^{1,1}+h^{1,0}=-h^{1,1}, \] значит, $h^{1,1}=0$. Мы доказали следующую полезную теорему, принадлежащую Кодаире. \хфилл \теорема Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность с $b_1=1$, $b_2=0$. Тогда все числа Ходжа $M$ равны нулю, кроме \[ h^{0,0}=h^{2,2}=h^{0,1}=h^{2,1}=1. \] Кроме того, $c_2(M)=0$. \endproof Следующее предложение приводится в работе Инуэ со ссылкой на классификацию Кодаиры. С помощью теоремы Бухсдаля-Ламари можно получить прямое доказательство. \предложение Конечное неразветвленное $k$-листное накрытие $\tilde M$ поверхности $M$ без кривых и с $b_1=1$, $b_2=0$ имеет $b_1=1$, $b_2=0$. \хфилл {\бф Доказательство. Шаг 1:} Топологическая эйлерова характеристика такого накрытия выражается по формуле Гаусса-Бонне как интеграл от некоторого полинома от кривизны, значит, $c_2(\tilde M) = k c_2(\tilde M)=0$. Поэтому $b_2(\tilde M) = 2 b_1(\tilde M)-2$. {\бф Шаг 2:} $\tilde M$ не кэлерово. Действительно, кэлерову метрику можно усреднить по группе $\Gamma$ монодромии накрытия, и получить $\Gamma$-\-ин\-ва\-ри\-ант\-ную кэлерову метрику, которая поднимается с кэлеровой метрики на $M$. {\бф Шаг 3:} В начале лекции было доказано, что некэлерова поверхность с $h^{1,0}(\tilde M)>0$ содержит кривые. Поскольку образ кривой при конечном накрытии снова кривая, из этого следовало бы, что $M$ тоже содержит кривые. А коль скоро $\tilde M$ кривых не содержит, имеем $h^{1,0}(\tilde M)=0$ и $b_1(\tilde M)=1$. Поэтому $b_2(\tilde M) = 2 b_1(\tilde M)-2=0$. \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Плоские связности и линейные расслоения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Связность $\nabla:\; B \arrow B\otimes \Lambda^1(M)$ на голоморфном расслоении {\бф согласована с голоморфной структурой}, если ee $(0,1)$-часть $\nabla^{0,1}\; B \arrow B\otimes \Lambda^{0,1}(M)$ зануляется на голоморфных сечениях $B$. В этом случае $\nabla^{0,1}$ обозначается $\bar\6$ и называется {\бф оператором голоморфной структуры}. \ео \определение Пусть $(M, \omega)$ - комплексное, компактное $n$-мерное эрмитово многообразие, а $B$ - голоморфное расслоение на $M$. Для каждой эрмитовой метрики на $B$ определена единственная эрмитова связность $\nabla:\; B \arrow B\otimes \Lambda^1(M)$, $(0,1)$-часть которой зануляется на голоморфных сечениях (докажите это). Такая связность называется {\бф связность Черна} на $B$. \ео \утверждение (Кодаира) Любое голоморфное линейное расслоение $L$ на поверхности $M$ с $b_1=1$, $b_2=0$ имеет единственную плоскую связность, согласованную с голоморфной структурой. \хфилл {\бф Доказательство:} Воспользуемся тем, что группа $H^{1,1}_{BC}(M)$ одномерна, и дифференциал де Рама индуцирует изоморфизм $H^{0,1}(M) \stackrel d \arrow H^{1,1}_{BC}(M)$ (Лекция 6). Значит, для каждой замкнутой $(1,1)$-формы $\Theta$ найдется $\6$-замкнутая $(1,0)$-форма $\alpha$ такая, что $d\alpha=\Theta$. Применим этот аргумент к форме $\Theta$ кривизны связности Черна $\nabla$ на $L$, и пусть $\nabla_1(l) := \nabla(l) - l\otimes \alpha$. Тогда \[ \nabla_1^2=\nabla_1^2 - d \alpha = \Theta-\Theta =0, \] а $(0,1)$-часть $\nabla_1$ такая же, как у $\nabla$, потому что $\alpha$ -- (1,0)-форма. Единственность такой связности мы оставляем как упражнение читателю. \endproof \следствие Пусть $M$ -- комплексная поверхность с $b_1=1$, $b_2=0$. Тогда $\Pic(M)$ изоморфен группе гомоморфизмов $\Hom(\pi_1(M), \C^*)$. \endproof \следствие Пусть $M$ -- поверхность с $b_1=1$, $b_2=0$. Тогда плюриканоническое расслоение $K_M^i$ нетривиально для любого $i\neq 0$. В самом деле, если $K_M^i$ тривиален, монодромия соответствующей плоской связности -- кручение, и после перехода к $i$-листному накрытию, получаем комплексную поверхность $\tilde M$ с $b_1=1$, $b_2=0$ и тривиальным каноническим расслоением. Это невозможно, потому что $h^{2,0}(\tilde M)=0$ (докажите это). \определение Пусть $L$ - линейное расслоение на поверхности с $b_1=1$, $b_2=0$. Оно называется {\бф вещественным}, если при изоморфизме $\Pic(M)\arrow\Hom(\pi_1(M), \C^*)$, линейное расслоение $L$ переходит в вещественнозначный гомоморфизм $\Pic(M)\arrow\Hom(\pi_1(M), \R^*)$. \ео %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Фильтрованные когерентные пучки и теорема Богомолова.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M$ - комплексное многообразие, $F$ -- когерентный пучок. Тогда $F$ называется {\бф фильтрованным}, если существует последовательность когерентных подпучков \[ 0=F_0\subset F_1\subset ... \subset F_n=F, \] причем $\rk F_i/F_{i-1}=1$. \ео \замечание Фильтруемые когерентные подпучки образуют полную, замкнутую подкатегорию в категории когерентных пучков. \еза \замечание На алгебраическом многообразии, все когерентные пучки, очевидно, фильтрованные. \еза \замечание На общей неалгебраической К3-поверхности, \[ H^{1,1}(M)\cap H^2(M, \Z), \ \ H^1(M)=0,\] и, следовательно, все линейные расслоения на ней тривиальны (проверьте это). Из этого легко следует, что каждое стабильное\footnote{О стабильности расслоений, см. чуть ниже.} расслоение на такой поверхности нефильтруемо (проверьте). \еза \замечание На многообразии Калаби-Экмана, любой когерентный пучок является фильтруемым. \еза Кодаира (в середине 1960-х) доказал, что любая поверхность с $b_1=1$, $b_2=0$, на которой существует комплексная кривая, является поверхностью Хопфа (фактором $\C^2\backslash 0$ по $\Z$, которая действует голоморфными автоморфизмами). Инуэ (1974) дал классификацию поверхностей с $b_1=1$, $b_2=0$, без комплексных кривых и с фильтруемым касательным расслоением. Получилось три счетных семейства комплексных поверхностей, параметризованных решениями диофантова уравнения. Эти поверхности называются "поверхностями Инуэ". Богомолов в 1976-м опубликовал доказательство того, что у любой поверхности с $b_1=1$, $b_2=0$ фильтруемое касательное расслоение. Таким образом Богомолов завершил работу по классификации поверхностей с $b_1=1$, $b_2=0$. Доказательство Богомолова не вполне понятное, возможно, даже неправильное, и теорему Богомолова потом много раз передоказывали в 1990-е годы, сначала Ли-Яу-Жень (неправильно), потом Телеман и независимо Ли-Яу-Жень получили правильное доказательство, используя идеи Богомолова и методы калибровочной теории. Следующее вспомогательное утверждение в литературе называется "теорема Бомбьери", см. \cite{_Inoue:VII_}. \hfill \лемма Пусть $M$ - поверхность с $b_1=1$, $b_2=0$, без комплексных кривых, и с нефильтруемым касательным расслоением. Тогда каноническое расслоение $K_M$ вещественно. \hfill {\бф Доказательство. Шаг 1:} Поскольку $\Omega^1M$ не фильтруется, \[ H^0(\Omega^1M \otimes L)=H^0(ТM \otimes L)=0\] для любого линейного расслоения $L$. По формуле Римана-Роха, $\chi(ТM \otimes L)=0$, значит, \[ H^1(\Omega^1M \otimes L)=H^1(ТM \otimes L)=0. \] {\бф Шаг 2:} Если к тому же $L\neq K_M^{-1}, \calo_M$, то $H^0(L)=H^2(L)=0$ в силу того, что на $M$ нет кривых (проверьте это). По тому же самому аргументу, $H^1(L)=0$. {\бф Шаг 3:} Рассмотрим плоскую связность $\nabla_L$ на $L$; она существует, и единственна, как доказано выше. Пусть $\C(L)$ - пучок локально постоянных относительно связности сечений $L$. Мы получаем такую точную последовательность, где буквы $L, \Omega^1(M)\otimes L K_M \otimes L$ обозначают пучки голоморфных сечений. \begin{equation}\label{_rezolv_C_L_Equation_} 0\arrow \C(L) \hookrightarrow L \stackrel \6\arrow \Omega^1(M)\otimes L \stackrel \6\arrow K_M \otimes L \arrow 0. \end{equation} В этом комплексе, оператор $\6:=\nabla^{1,0}$ определяется из (1,0)-части связности $\nabla_L$ по формуле Лейбница; он переводит голоморфные сечения в голоморфные, потому что $\nabla$ плоская. Если $L\neq \calo_M, K_M, K_M^{-1}$, то когомологии пучков $L, \Omega^1(M)\otimes L, K_M \otimes L$ равны нулю, и этот комплекс является ацикличной резольвентой для $\C(L)$. Поэтому в таком случае $H^i(\C(L))=0$ для всех $i$. {\бф Шаг 4:} Для $L=K_M$, резольвента \eqref{_rezolv_C_L_Equation_} ациклична во всех членах, кроме $L$ (проверьте), значит, $H^i(\C(K_M))=H^i(K_M)$. Мы получаем $H^i(\C(K_M))=\C$ для $i=1,2$, и нулю во всех остальных случаях {\бф Шаг 5:} Двойственность Пуанкаре с коэффициентами в локальной системе дает $H^i(\C(L))\cong H^{4-i}(\C(L)^*)$. Значит, $H^i(\C(K_M^{-1}))=\C$ для $i=2,3$, и нулю во всех остальных случаях {\бф Шаг 6:} Легко видеть, что $\C(K_M)=\C(\bar K_M)$, где $\bar K_M$ это комплексно сопряженное расслоение к каноническому (проверьте это). Из шагов 4 и 5 доказательства следует, что $H^i(\C(K_M))\neq H^i(\C( K_M^{-1}))=0$. Значит, $\bar K_M$ не изоморфно $K_M^{-1}$. Значит, $\bar K_M$ изоморфно $K_M$ (шаг 3). \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Соответствие Кобаяши-Хитчина} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Доказательство соответствия Кобаяши-Хитчина можно найти в книге Люб\-ке-\-Те\-ле\-ма\-на \cite{_Lubke_Teleman:Book_} (см. также \cite{_Lubke_Teleman:Universal_}). Его также называют теорема Дональдсона-Уленбек-Яу, по имени Дональдсона (доказавшего это соответствие для проективных поверхностей) и Уленбек-Яу, чье доказательство работает для любого кэлерова многообразия. Для поверхностей с метрикой Годушона, соответствие Кобаяши-Хитчина доказано Бухсдалем, для комплексных многообразий любой размерности - Ли и Яу (\cite{_Li_Yau_}). В этом разделе $(M,\omega)$ - комплексное эрмитово многообразие, снабженное метрикой Годушона. \замечание Для двух разных метрик $h$ и $h_1$ на $B$, соответствующие формы кривизны для связности Черна соотносятся как \[ \Theta_h = \Theta_{h_1} + \nabla\nabla^c\log(hh_1^{-1}), \] где $\log(hh_1^{-1})$ - сечение $\End(B)$, полученное логарифмированием \\ $\End(B)$-значной функции $hh_1^{-1}$, где $\nabla^c= -I \nabla I$, а $\nabla$ - оператор связности, продолженный по формуле Лейбница до оператора \[ \nabla:\; B\otimes\Lambda^i(M) \arrow B\otimes \Lambda^{i+1}(M). \] Выведите вышеприведенную формулу для кривизны. \еза \замечание Из этой формулы следует \[ \Tr\Theta_h = \Tr\Theta_{h_1} + dd^c\Tr\log(hh_1^{-1}), \] где $\Tr$ -- отображение следа, переводящее $\End(B)$-значные формы в $C^\infty(M)$-значные. Поэтому \[ \int_M \Tr\Theta_h\wedge \omega^{n-1} = \int_M \Tr\Theta_{h_1}\wedge \omega^{n-1}. \] не зависит от выбора $h$. Это число $\deg_\omega B$ называется {\бф степенью} расслоения $B$. \еза \замечание В кэлеровой ситуации, степень является топологическим инвариантом. Для некэлерова многообразия, $\deg_\omega B$ является инвариантом голоморфной структуры на $B$. Для кэлерова многообразия, $\deg_\omega B$ может принимать дискретный набор значений. Для некэлерова многообразия, $\deg_\omega B$ может принимать континуальное множество значений. \еза \упражнение Пусть $F$ - когерентный пучок без кручения на $M$, а $M' \stackrel \psi \arrow M$ - раздутие, для которого $\psi^* F$ гладкое расслоение. Докажите, что \[ \deg_\omega F:=\int_{M'} \Tr\Theta_{\psi^* F}\wedge \psi^*\omega^{n-1} \] не зависит от выбора $\psi$. \определение Пусть $B$ - голоморфное расслоение. Подпучок $F\subset B$ ранга $\rk F< \rk B$ называется {\бф дестабилизирующим}, если $\slope(F) \geq \slope(B),$ где $\slope$ (наклон) пучка определяется формулой \[\slope(F):=\frac{\deg_\omega F}{\rk F}.\] Расслоение $B$ называется {\бф стабильным}, если в нем нет дестабилизирующих подпучков, и {\бф полистабильным}, если $B= \bigoplus_i B_i$, где все $B_i$ стабильные расслоения с $\slope(B)=\slope(B_1)= \slope(B_2) = ...$ \ео \определение Эрмитова связность на голоморфном расслоении $B$ называется {\бф связностью Янг-Миллса}, если кривизна $\Theta_B$ удовлетворяет $\Lambda\Theta_B = \const \Id_B$, где \begin{equation}\label{_YM_Equation_} \Lambda:\; \Lambda^{1,1}(M)\otimes \End B \arrow \End B \end{equation} оператор, двойственный к $\eta \arrow \eta \wedge \omega$. \ео \замечание Константа из формулы \ref{_YM_Equation_} выражается через наклон $\slope(B)$ как $\const=\frac{1}{(n-1)!}\slope B$ (проверьте это). \еза \теорема (соответствие Кобаяши-Хитчина, см. \cite{_Lubke_Teleman:Book_}, \cite{_Li_Yau_}). Пусть $B$ - голоморфное расслоение над компактным комплексным многообразием с метрикой Годушона. Расслоение $B$ допускает связность Янг-Миллса тогда и только тогда, когда оно полистабильно, причем эта связность единственна \хфилл Доказательство этой теоремы весьма трудно, и мы его приводить не будем. \замечание Метрика Янг-Миллса на стабильном голоморфном расслоении единственна с точностью до константы, на полистабильном - единственна с точностью до константы на каждом из стабильных слагаемых. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Доказательство теоремы Богомолова} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Пусть $M$ комплексная поверхность с нефильтруемым касательным расслоением. Тогда у $TM$ нет никаких подпучков ранга 1, и усповие стабильности выполняется автоматически. Мы получили на $TM$ метрику Янг-Миллса. \утверждение ("L\"ubke vanishing") Пусть $B$ - расслоение нулевой степени на поверхности, причем $c_1(B)=c_2(B)=0$, а $\nabla$ - связность Янг-Миллса. Тогда $\nabla$ плоская. {\бф Доказательство:} Поскольку $\nabla$ - связность Янг-Миллса, ее кривизна $\Theta$ примитивна, то есть ортогональна $\omega$. Проверьте, что для каждой примитивной, ${\goth u}(B)$-значной (1,1)-формы $\Theta$ на $M$, $\Tr(\Theta^2)=-\frac{1}{2}|\Theta|^2\omega^2$ (это проверяется тем же самым вычислением, которое используется в доказательстве соотношений Ходжа-Римана на поверхности в лекции 4). Из формулы Гаусса-Бонне следует, что класс когомологий формы $\Tr(\Theta^2)$ выражается как \[ [\Tr(\Theta^2)]=2 c_2(B) - \frac {\rk B-1} {\rk B} c_1(B)^2. \] Поэтому \[ c_2(B) = -\frac{1}{2}\int_M |\Theta|^2\omega^2, \] а поскольку $c_2(B)=0$, $\Theta=0$. \endproof \замечание Степень касательного расслоения на любом многообразии равна степени ее антиканонического класса (проверьте), значит, $TM\otimes K_M^{-1}$ имеет нулевую степень. \еза Применяя этот аргумент к $TM\otimes K_M$ на поверхности с $b_1=1$, $b_2=0$, и пользуясь $c_2(M)=0$ получаем плоскую унитарную связность на $TM\otimes K_M$. На расслоении $K_M$ есть плоская связность с вещественной монодромией, согласно теореме Бомбьери. Значит, на $TM$ есть плоская связность $\nabla$, монодромия $\Gamma$ которой лежит в $R^{>0}\cdot U(2)$. Поскольку монодромия этой связности действует на каноническом расслоении вещественными растяжениями $\Gamma$ содержится в $R^{>0}\cdot SU(2)$. \замечание Плоская связность $\nabla$ не имеет кручения. В этом легко убедиться, взяв на $M$ локально базис из голоморфных векторных полей. Кручение $T:\; \Lambda^2 TM \arrow TM$ переводит голоморфные поля в голоморфные, потому что $\nabla$ плоская. Значот, $T$ есть голоморфное отображение $K_M^{-1} \arrow TM$. Такое отображение зануляется, потому что $TM$ не фильтрованное. \еза Группа $R^{>0}\cdot SU(2)$ изоморфна $GL(1, {\Bbb H})$, а это значит, что $\nabla$ сохраняет кватернионную структуру на $M$. \определение Пусть на многообразии $M$ задана связность без кручения, сохраняющая операторы $I, J, K \in \End TM$, причем $I, J, K$ удовлетворяют кватернионным соотношениям \[ I^2=J^2=IJK = -\Id_{TM}.\] Тогда $(M, I, J, K)$ называется {\бф гиперкомплексным многообразием.} \ео \замечание Связность без кручения, сохраняющая кватернионное действие $I, J, K \in \End TM$, восстанавливается по этим операторам однозначно. Для ее существования необходимо и достаточно, чтобы $I, J, K$ были интегрируемыми комплексными структурами. \еза Мы получили такую теорему. \хфилл \теорема Пусть $M$ - комплексная поверхность с $b_1=1$, $b_2=0$, без кривых, и с нефильтруемым касательным расслоением. Тогда $M$ допускает гиперкомплексную структуру. \endproof \хфилл Мы теперь можем доказать теорему Богомолова \хфилл \теорема Пусть $M$ - комплексная поверхность с $b_1=1$, $b_2=0$, и без кривых. Тогда касательное расслоение $TM$ фильтруемо. \хфилл Теорема Богомолова сразу следует из классификации ги\-пер\-ком\-пле\-к\-с\-ных поверхностей (Ch. P. Boyer), которая будет получена в следующей лекции. Из нее следует следует, что любая гиперкомплексная поверхность $M$ - это либо тор, либо К3, либо поверхность Хопфа. Поскольку $M$ некэлерова, это поверхность Хопфа. Но на поверхности Хопфа, которая получена таким образом, есть кривые, что тоже будет доказано. \setcounter{zadacha}{0} \hfill \noindent {\bf \Large Задачи.} \задача Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность с $b_2=0$. Докажите, что любое линейное расслоение на $M$ допускает плоскую связность, совместимую с голоморфной структурой. Будет ли эта связность единственна? \ез \задача Пусть $M$ - поверхность Хопфа вида $\C^2\backslash 0/\Z$, где $\Z$ действует умножением на константу $q\in \C$, $|q|>1$. Для какой-то метрики Годушона на $M$ докажите, что степень голоморфного расслоения может принимать любое вещественное значение. \ез \задача Пусть $B$ - голоморфное расслоение со связностью Янг-Миллса, а $B'\subset B$ подрасслоение. Докажите, что $\slope B' \leq \slope B$, причем из равенства следует, что $B'$ - прямое слагаемое $B$. \ез \указание Воспользуйтесь выражением для второй формы кривизны голоморфного подрасслоения. \еу \задача Пусть $М$ поверхность с $c_1, c_2=0$, и $b_1=x$. Найдите $b_2(M)$. \ез \задача Пусть $М$ поверхность с $c_1=0, c_2=к$, и $b_1=1$. Найдите $b_2(M)$. \ез \задача Пусть $B$ - двумерное расслоение над поверхностью с $b_2=0$, полученное как расширение одномерных. Докажите, что $B$ допускает плоскую связность, совместимую с голоморфной структурой. \ез \задача Пусть $M$ - поверхность с $b_1=1$, $b_2=0$, а $C\subset M$ - гладкая кривая. Докажите, что она эллиптическая. \ез \задача Пусть $M$ -- некэлерова поверхность, гладко расслоенная над эллиптической кривой со слоем эллиптическая кривая (такая поверхность называется {\бф поверхность Кодаиры}). Найдите числа Бетти $M$. \ез \hfill \noindent {\bf \Large Литература:} {\small \begin{thebibliography}{666} \bibitem[B]{_Besse:4_} Артур Бессе (ред.), {\ем Четырехмерная риманова геометрия: семинар Артура Бессе (1978-1979),} изд. Мир, 1985, Москва (библиотека "Колхоз"). \bibitem[I]{_Inoue:VII_} M. Inoue, {\em On surfaces of class VII$_0$,} Inventiones math., 24 (1974), 269-310. \bibitem[LY]{_Li_Yau_} Li, Jun, and Yau, S.-T., {\em Hermitian Yang-Mills connections on non-Kahler manifolds,} in ``Mathematical aspects of string theory'' (S.T. Yau ed.), World Scientific Publ., London, 1987, pp. 560-573. \bibitem[LT1]{_Lubke_Teleman:Book_} L\"ubke, M., Teleman, A., {\em The Kobayashi-Hitchin correspondence}, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1995. x+254 pp \bibitem[LT2]{_Lubke_Teleman:Universal_} L\"ubke, M., Teleman, A., {\em The universal Kobayashi-Hitchin correspondence on Hermitian manifolds}, math.DG/0402341, 90 pages. \bibitem[Ty]{_Tyurin:obzor_} А. Н. Тюрин {\em Алгебро-геометрические аспекты гладкости. 1. Полиномы Дональдсона}, Успехи Математических Наук, 1989, том 44, выпуск 3(267), страницы 93-143. \end{thebibliography} } \end{document}