\documentclass[11pt]{book} \usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig, russlh} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}} \newcommand{\6}{\partial} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} % Версия 1.1. Добавил одну задачу. % Версия 1.2. Немало опечаток найдено и убрано. \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 22.11.2009} \setlength{\headheight}{15pt} \pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2009} \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version} \rhead{{\small Миша Вербицкий}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % equations % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \@addtoreset{footnote}{section} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % listki-new.tex % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\calo{{\cal O}} \def\1{\sqrt{-1}} \def\const{\operatorname{\sf const}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Diff{\operatorname{Diff}} \def\Pic{\operatorname{Pic}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Pos}{\operatorname{{\cal P}os}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\ind}{\operatorname{ind}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] % \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string % \\ \string \hline} }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3} \string & \string \grd \string & \string\grp \string \\ \string \hline} }} \endgroup \theoremstyle{upshape} \newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter] \begingroup \gdef\th@generic{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] }} \endgroup \theoremstyle{generic} \newtheorem{opredelenie}{Определение}[chapter] \newtheorem{ukazanie}[opredelenie]{Указание} \newtheorem{zamechanie}[opredelenie]{Замечание} \renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.} \newcommand{\listok}[2]{% \setcounter{page}{1} \renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil} \renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil} \section*{#2} \refstepcounter{section} \setcounter{section}{#1} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % VEDOMOST GENERATION %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\newwrite\Vedomost %\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm %\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }} \newcommand{\writevedomost}[1]{} \def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}} \def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Chapter % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\chapter}{% \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred} \def\ChapterNumbered[#1]#2{% \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1} \refstepcounter{chapter} { \vspace{\baselineskip} \chaptermark{#2} { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}} } \vspace{\baselineskip} } \newcommand{\ChapterStarred}[1]{% \refstepcounter{chapter} \chaptermark{#1}% \vspace{\baselineskip}} \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}} \newcommand{\следствие}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Следствие \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\пример}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\лемма}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\теорема}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\утверждение}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\упражнение}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Упражнение \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \def\хфилл{\hfill} \def\ноиндент{\noindent} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\задача{\begin{zadacha}} \def\ез{\end{zadacha}} \def\замечание{\begin{zamechanie}} \def\еза{\end{zamechanie}} \def\указание{\begin{ukazanie}} \def\еу{\end{ukazanie}} \def\eu{\end{ukazanie}} \def\определение{\begin{opredelenie}} \def\ео{\end{opredelenie}} \def\eo{\end{opredelenie}} \def\goth{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\goth g}} \def\енум{\begin{enumerate}} \def\ее{\end{enumerate}} \def\ee{\end{enumerate}} \def\итем{\item $\bullet$ % \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } } \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setcounter{chapter}{4} \lhead{{\scriptsize Лекция 5. Выпуклые конуса и пространства Монтеля.}} \chapter{Комплексные поверхности, лекция 5:\\ Выпуклые конусы и пространства \\Монтеля.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Все топологические векторные в этой лекции пространства предполагаются по умолчанию хаусдорфовыми. Базовым полем везде предполагается $\R$. Подробное изложение теории локально выпуклых пространств, пространств Монтеля, рефлексивности и двойственности есть в книге Бурбаки "Топологические векторные пространства". Изложение этого материала в применении к потокам и тест-формам - Andreotti, Aldo; Kas, Arnold, {\em Duality on complex spaces}, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze S\'er. 3, 27 no. 2 (1973), p. 187-263. Если $A\subset V$ подмножество векторного пространства, $\lambda\in \R$ число, $\lambda A$ - множество векторов вида $\lambda a$, где $a\in A$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Ограниченные подмножества} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $V\stackrel \phi \arrow W$ - линейное отображение векторных пространств, а $\nu$ - норма на $W$. Функция $\phi\circ\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$ удовлетворяет всем аксиомам нормы, кроме строгой положительности (она может принимать значение 0). Такая функция называется {\бф полунормой}. Множество \[ B_{\nu, \epsilon}(a):= \{x\in V | \nu(x-a)<\epsilon\} \] называется $\epsilon$-шаром с центром в $a$, заданным полунормой $\nu$. Легко видеть, что оно выпукло. \ео \определение Пусть $\{\nu_\alpha\}$ -- набор полунорм на векторном пространстве $V$. Определим структуру топологического векторного пространства на $V$, где базой окрестностей нуля будут конечные пересечения вида \[ \bigcap_i B_{\nu_i, \epsilon}(0). \] Такая топология называется {\бф заданной набором полунорм}. \ео \упражнение Докажите, что топология, заданная набором полунорм, есть самая грубая топология, в которой эти полунормы непрерывны. \упражнение Докажите, что топология на локально выпуклом топологическом пространстве всегда может быть задана набором полунорм. \определение Пусть $K\subset V$ - подмножество топологического векторного пространства. Мы говорим, что $K$ {\бф ограниченно}, если для каждой окрестности $U\ni 0$ найдется $\lambda>0$ такая, что $\lambda K \subset U$ \ео \упражнение Пусть $V$ векторное пространство с нормой. Докажите, что подмножество $K\subset V$ ограниченно тогда и только тогда, когда норма (как функция на $V$) ограниченна на $K \subset V$ \упражнение Пусть $V$ - локально выпуклое топологическое векторное пространство, с топологией, заданной набором полунорм $\{\nu_\alpha\}$, а $A\subset V$ - любое подмножество. Докажите, что $A$ ограниченно тогда и только тогда, когда все $\nu_\alpha$ ограниченны на $A$. \замечание Ограниченность множеств в топологических векторных пространствах часто называют "ограниченность по фон Нойману". Ее определили фон Нойман и Колмогоров в 1935. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Бочечные пространства и теорема Банаха-Штейнгауза} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Подмножество $A\subset V$ топологического векторного пространства называется {\бф абсорбирующим}, если $\bigcup_{\lambda\in \R}\lambda A=V$. Подмножество $A\subset V$ называется {\бф бочкой} (barrel), если оно абсорбирующее, центрально-симметричное и замкнутое. \ео \пример Открытое, выпуклое множество $U$, содержащее 0, является абсорбирующим. В самом деле, если $\bigcup_{\lambda\in \R}\lambda U$ не содержит $x\in V$, то сходящаяся к нулю последовательность $\{\frac{1}{2^n} x\}$ не пересекается с $U$. Это невозможно, поскольку $U$ открыто. Поэтому замыкание $A$ любого открытого, центрально-симметричного выпуклого множества это бочка. \определение {\bf Бочечное пространство} (barreled space) - это локально выпуклое пространство $V$, такое, что любая бочка $A\subset V$ содержит открытую окрестность нуля. \ео \определение Пространство Бэра - это такое топологическое пространство, которое нельзя разбить в счетное объединение нигде не плотных подмножеств. \ео \замечание Если $V$ -- локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое является пространством Бэра, то $V$ -- бочечное. Действительно, пусть $A\subset V$ -- бочка. Тогда $V = \bigcup_{\lambda=2^n}\lambda A$, значит, $V$ содержит внутреннюю точку $x$. Пусть $U\ni x$ соответствующая окрестность. Выпуклая оболочка множества $U \cup -U$ открыта и содержит 0 (докажите это). \еза \замечание Пространства Фреше (и, следовательно, Банаха) яв\-ляются бочечными. Действительно, каждое полное, непустое метрическое пространство является пространством Бэра (теорема Бэра о категории; докажите ее). \еза \замечание Существует нормированные векторные про\-с\-т\-ран\-с\-т\-ва, которые не являются бочечными. \еза \упражнение Докажите, что счетное объединение бочечных пространств - бочечное. Докажите, что факторпространство бочечного пространства - бочечное. \определение Пусть $V$ - топологическое векторное про\-с\-т\-ран\-с\-тво, а $V^*$ - пространство непрерывных функционалов на $V$. {\бф Слабой топологией} на пространстве $V^*$ называется самая грубая топология, в которой непрерывны отображения $\langle \cdot, x\rangle \arrow \R$, для каждого $x\in V$. {\бф Сильной топологией} на $V^*$ называется топология униформной сходимости на ограниченных подмножествах. \ео \упражнение Пусть $V$ - норменное топологическое векторное пространство. На $V^*$ определена обычная норма \[ \|\alpha\| = \sup_{v\in B_1(0)}|\alpha(v)| \] (супремум $|\alpha|$ на единичном шаре). Докажите, что соответствующая топология на $V^*$ совпадает с сильной топологией, определенной выше. \замечание В банаховом пространстве $V$ справедлива теорема Банаха-Штейнгауза: если некоторый набор функционалов $T\subset V^*$ удовлетворяет неравенству $\sup_{\lambda\in T} |\lambda(x)|<\infty$ для любой точки $x\in V$,\footnote{Другими словами, набор $T$ ограничен в каждой точке $x\in V$.} то набор $T$ ограничен на единичном шаре: $\sup_{\lambda\in T} \|\lambda\|<\infty$. Действительно, пусть $A_t\subset V$ - множество всех $x\in V$ таких, что $\sup_{\lambda\in T} |\lambda(x)|\leq t$. Легко видеть, что $A_t$ - бочка (проверьте), и в силу того, что $V$ бочечное, $A_t$ содержит какую-то окрестность нуля. Значит, $\sup_{\lambda\in T} |\lambda(x)|$ ограниченно на каком-то шаре. \еза Бочечные пространства были изобретены Бурбаки в 1950-м году, с целью обобщения теоремы Банаха-Штейнгауза, которая была обобщена следующим способом. \теорема Пусть $V$ - бочечное пространство, а $T\subset V^*$ - набор функционалов, ограниченный в каждой точке $x\in V$. Тогда $Т$ ограничен на каждом ограниченном множестве $K\subset V$: \[ \sup_{x\in K, \lambda\in T}|\lambda(x)|< \infty. \] {\bf Доказательство:} Рассмотрим множество $A_t\subset V$ - множество всех $x\in V$ таких, что $\sup_{\lambda\in T} |\lambda(x)|\leq t$. Это бочка, значит, она содержит окрестность $U\ni 0$. Поскольку $K$ ограниченно, $\lambda K \subset U$. Поэтому \[ \sup_{x\in K, \lambda\in T}|\lambda(x)|< t\lambda^{-1}. \] \endproof \определение Определим {\bf вариацию} функции $f$ на множестве $S$ как $\sup_{S}f-\inf_{S}f$. Семейство $T$ функций на топологическом пространстве $M$ называется {\бф равномерно непрерывным}, если для каждого $\epsilon>0$ и $a\in M$ найдется окрестность $U\ni a$, на которой вариация всех элементов $T$ ограничена $\epsilon$. \ео \замечание Из теоремы Банаха-Штейнгауза вытекает следующее полезное утверждение. Пусть $T\subset V^*$ семейство функционалов, ограниченных на каждой точке. Тогда $T$ равномерно непрерывно. \еза \замечание Пусть $\{x_i\}$ поточечно сходящаяся, равномерно непрерывная последовательность функций на топологическом пространстве. Тогда $\{x_i\}$ сходится униформно на компактах. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание\label{_B_S_ravnome_na_ko_Zamechanie_} Объединяя два предыдущих замечания, мы получаем, что последовательность ограниченных функционалов на бочечном пространстве, сходящаяся в слабой топологии к $x$, сходится к $x$ равномерно на компактах \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Рефлексивные пространства} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Пусть $V$ -- топологическое векторное пространство, а $V^*$ - двойственное пространство со слабой топологией. Легко видеть, что топология на $V^*$ задана системой полунорм $\{\nu_x\}$, параметризованной точками $x\in V$, вида $\nu_x(\lambda) = |\lambda(x)|$ (проверьте это). Поэтому $V^*$ локально выпукло. \еза \упражнение Пусть $V$ - топологическое векторное пространство с топологией, заданной системой полунорм $\{\nu_\alpha\}$. Докажите, что линейная форма $\lambda$ на $V$ непрерывна тогда и только тогда, когда \[ |\lambda|\leq \sum_i C_i\nu_i \] всюду на $V$, где $\{\nu_i\}$ конечный набор в $\{\nu_\alpha\}$, a $C_i$ - положительные константы. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \лемма\label{_vtoroe_dvo_Lemma_} Пусть $V$ - топологическое векторное пространство. Тогда естественное вложение $V\arrow V^{**}$, где двойственное берется со слабой топологией, является биекцией. \хфилл {\бф Доказательство:} В силу предыдущего замечания, топология на $V^*$ задана полунормами вида $\nu_x(\lambda) = |\lambda(x)|$. Поэтому непрерывность линейной формы $\zeta$ на $V^*$ значит, что эта форма допускает оценку вида \[ |\zeta|\leq \sum_i |\nu_{x_i}|, \] для какого-то конечного набора точек $x_1, ..., x_n\in V$. Поэтому $\zeta$ зануляется на пространстве $W:=\langle x_1, x_2, ...\rangle^\bot\subset V^*$, которое аннигилирует точки $x_1, ..., x_n$. Очевидно, $V^*/W=\langle x_1, x_2, ...\rangle^*$. Поскольку конечномерные пространства удовлетворяют $L^{**}=L$, из этого следует, естественное отображение $\langle x_1, x_2, ...\rangle\stackrel\Psi\arrow (V^*/W)^*$ является изоморфизмом. Значит, $\zeta\in\im\Psi$. \endproof \определение Пространства $V$ и $V'$ {\bf находятся в двойственности}, если заданно невырожденное спаривание $B:\; V\times V' \arrow \R$. \ео \замечание Это спаривание не предполагается а приори непрерывным. Например, спаривание между $V$ и $V^*$ с сильной топологией не всегда непрерывно как отображение $V\times V^* \arrow \R$. \еза \определение Пусть $V, V'$ находятся в двойственности. {\бф Полярой} (polar set) подмножества $K\subset V$ называется множество всех $\lambda\in V'$ таких, что $|\lambda|\restrict K\leq 1$. \ео \определение {\бф Окрестность} точки $x$ в топологическом про\-с\-т\-ран\-стве есть подмножество, в котором $x$ внутренняя точка. {\бф Фундаментальная система окрестностей} точки в топологическом прост\-ран\-с\-тве - это такой набор окрестностей $\{A_\alpha\}$, что любая окрестность $x$ содержит какое-то из $A_\alpha$. \ео \пример Поскольку замыкание центральносимметричной, выпук\-лой окрестности нуля является бочкой (см. выше), бочки образуют фундаментальную систему окрестностей в бочечном пространстве. Обратное тоже верно: пространство является бочечным, если бочки образуют фундаментальную систему окрестностей. \замечание Если $V$ - бочечное пространство, а $V^*$ - сопряженное к нему, наделенное сильной топологией, то поляры ограниченных центрально-симметричных подмножеств в $V^*$ являются бочками в $V$, а поляры бочек в $V^*$ - ограниченными подмножествами в $V$ (проверьте это). \еза \замечание Фундаментальная система окрестностей 0 в $V^{**}$, где двойственные пространства взяты с сильной топологией, задается полярами ограниченных подмножеств в $V^*$. В силу предыдущего замечания, прообраз бочки при отображении $V \arrow V^{**}$ - это бочка. Поскольку бочки образуют фундаментальную систему окрестностей в бочечном пространстве, отображение $V \arrow V^{**}$ непрерывно для любого бочечного пространства $V$. \еза \определение Локально выпуклое топологическое пространство называется {\бф рефлексивным}, если естественное отображение $V \arrow V^{**}$ (с сильной топологией оба раза) является изоморфизмом. \ео \замечание Пусть $V$ - пространство с нормой. Пространство $V^*$ является, по построению, полным относительно естественной нормы на $V^*$ (докажите это). Поэтому все рефлексивные норменные пространства банаховы. \еза \замечание Банаховы пространства не всегда рефлексивны. Вложение $V \arrow V^{**}$ является изометрией (выведите это из теоремы Хана-Банаха), но оно может не быть наложением. \еза \задача Докажите, что банаховы пополнения пространства непрерывных функций на прямой с $L^1$ и $L^\infty$-нормой не рефлексивны. \ез \замечание Если $V$ рефлексивно, естественное спаривание $V\times V^* \arrow \R$ (с сильной топологией на $V^*$) непрерывно. В самом деле, оно непрерывно по $V^*$ (по построению), а непрерывность по $V$ следует из того, что аналогичное спаривание $V^*\times V^{**} \arrow \R$ непрерывно по $V^{**}$. \еза \определение Локально выпуклое пространство называется {\бф полурефлексивным}, если естественное спаривание $V\times V^* \arrow \R$ (с сильной топологией на $V^*$) непрерывно. \ео %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание\label{_polurefle_bije_Zamechanie_} Полурефлексивность $V$ равносильна тому, что вложение $V \arrow V^{**}$ -- биекция. Действительно, каждый функционал на $V^*$, непрерывный в слабой топологии, принадлежит $V$ (Лемма \ref{_vtoroe_dvo_Lemma_}). \еза \замечание Легко видеть, что полурефлексивное пространство $V$ рефлексивно тогда и только тогда, когда исходная топология на $V$ совпадает с топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах в $V^*$ с сильной топологией. \еза \замечание\label{_polurefle_dvo_boche_Zamechanie_} Если $V$ полурефлексивно, то поляры ограниченных подмножеств в $V$ замкнуты в $V^*$ с сильной топологией, потому что спаривание $V\times V^* \arrow \R$ непрерывно. Поскольку они абсорбирующие (проверьте), они являются бочками. По определению сильной топологии, эти поляры задают фундаментальную систему окрестностей 0 в $V^*$. Следовательно, $V^*$ с сильной топологией бочечное для любого полурефлексивного пространства $V$. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Пространства Монтеля} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Предкомпактным подмножеством} называется подмножество топологического пространства, замыкание которого компактно. \ео \определение {\бф Пространство Монтеля} это бочечное топологическое векторное пространство $V$, все ограниченные подмножества которого предкомпактны. \ео \задача Пусть $V$ пространство Фреше с топологией, заданной набором норм $\nu_1\leq \nu_2 \leq \nu_3\leq ...$ причем тождественное отображение $(V, \nu_i)\arrow (V, \nu_{i-1})$ компактно. Докажите, что $V$ -- пространство Монтеля. \ез \указание Тождественное отображение \[ (V, \nu_2, \nu_3, ...) \arrow (V, \nu_1, \nu_2, \nu_3, ...)\] является компактным, потому что $(V, \nu_i)\arrow (V, \nu_{i-1})$ компактно. С другой стороны, это отображение - гомеоморфизм, потому что $\nu_1\leq \nu_2$. \пример Тождественное отображение из пространства функций с нормой $C^i$ в пространство функций с нормой $C^{i-1}$ компактно (докажите это). Воспользовавшись предыдущей задачей, выведите из этого, что пространство Фреше тест-функций на многообразии является монтелевым. \замечание В бесконечномерном норменном пространстве единичный шар не может быть компактен ("Теорема Рисса"; докажите это). Поэтому бесконечномерное пространство Монтеля не может быть норменным. \еза \пример Пусть ${\cal F}$ - пространство голоморфных функций на $\C$, с топологией равномерной сходимости на компактах. Тогда ${\cal F}$ - пространство Монтеля (это утверждение называется теорема Монтеля). Действительно, если $f$ голоморфная функция в диске, непрерывная на его границе, то то все производные $f$ в каждой точке внутренности диска ограничены значениями соответствующих интегралов Коши, поэтому все функции на диске, непрерывные и ограниченные на его границе, равномерно непрерывны внутри диска (докажите это). Поэтому предкомпактность ограниченных подмножеств в ${\cal F}$ следует из теоремы Арцела-Асколи (докажите). \замечание Поль Монтель (1876-1975), французский математик, был студентом Лебега и Бореля; его учениками были Анри Картан и Жан Дьедонне. \еза \упражнение Обобщите теорему Монтеля, доказав, что пространство голоморфных функций на комплексном многообразии с топологией равномерной сходимости на компактах является пространством Монтеля \упражнение Докажите, что пространство гармонических функций на римановом многообразии с топологией равномерной сходимости на компактах является пространством Монтеля \замечание Пусть $V$ - монтелевское пространство. Поскольку $V$ бочечное, слабая топология на $V^*$ совпадает с топологией униформной сходимости на компактах (Замечание \ref{_B_S_ravnome_na_ko_Zamechanie_}). Но все ограниченные множества предкомпактны, значит слабая топология на $V^*$ совпадает с топологией униформной сходимости на ограниченных множествах. Значит, сильная топология на $V^*$ эквивалентна слабой (проверьте это). \еза \замечание Из этого сразу следует, что монтелевское пространство $V$ полурефлексивно. Действительно, естественное спаривание $V\times V^* \arrow \R$ (со слабой топологией) непрерывно, по определению слабой топологии. \еза \замечание Полурефлексивность $V$ равносильна тому, что естественное вложение $V\arrow V^{**}$ биективно (Замечание \ref{_polurefle_bije_Zamechanie_}). Поскольку непрерывное биективное отображение из компакта - гомеоморфизм (проверьте), из этого следует, что биекция $V\stackrel\Psi\arrow V^{**}$ гомеоморфизм на ограниченных подмножествах $V$. Поэтому $\Psi$ переводит сходяшиеся последовательности в сходящиеся, а значит, непрерывно (проверьте это). \еза \утверждение Пусть $V$ - пространство Монтеля, $V^*$ его двойственное. Тогда $V^*$ -- тоже пространство Монтеля. \хфилл {\бф Доказательство:} Поскольку $V$ полурефлексивно, $V^*$ с сильной топологией бочечное (Замечание \ref{_polurefle_dvo_boche_Zamechanie_}). По теореме Банаха-Штейнгауза, любое ограниченное подмножество в $V^*$ равномерно непрерывно. Ограниченные функции на $V$ образуют компактное множество в топологии поточечной сходимости, по теореме Тихонова. Из равномерной непрерывности следует, что предел непрерывных функционалов непрерывен, то есть непрерывные линейные функционалы замкнуты в тихоновской топологии.\footnote{Таким же образом доказывается компактность шара в $V^*$ в слабой топологии для любого банахова пространства $V$. Это утверждение называется "теорема Банаха-Алаоглу о компактности ограниченных множеств в $*$-слабой топологии".} Поэтому любое ограниченное подмножество в $V^*$ предкомпактно. \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Выпуклые конусы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Напомним, что {\бф выпуклым конусом} в топологическом векторном пространстве $W$ называется подмножество $C\subset W$, которое переводится в себя гомотетиями с положительным коэффициентом, и замкнуто относительно сложения. Конус называется {\бф затупленным} (salient), если он не содержит 0. В дальнейшем все конуса предполагаются по умолчанию затупленными. \определение {\бф Двойственный конус} к конусу $C$ это множество $C^{*}$ всех форм $\lambda \in W^*$ таких, что $\lambda\restrict {C} >0$. \ео \замечание Если $A\subset B$ -- два выпуклых конуса, то $B^*\supset A^*$ (проверьте это). \еза \замечание При естественном отображении $W\arrow W^{**}$, выпуклый конус $C$ вкладывается в $C^{**}$ (проверьте). \еза \замечание На этом языке теорему Хана-Банаха можно переписать так. Пусть $C$ - открытый выпуклый конус в топологическом векторном пространстве, не пересекающий замкнутого линейного подпространства $A\subset W$. Тогда в $C^*$ есть вектор $\lambda$, зануляющийся на $A$. \еза \замечание Применив это утверждение к одномерным подпространствам, получим, что для любого вектора $w\in W$, не принадлежащего открытому конусу найдется $\lambda\in C^*$, такой, что $\lambda(w)<0$. \еза \замечание Из этого замечания сразу вытекает следующее наблюдение. Пусть $W$ рефлексивное пространство, а $C\subset W$ -- открытый выпуклый конус. Тогда $C^{**}$ совпадает с $C$ (проверьте это). \еза \замечание Двойственный конус к открытому выпуклому конусу не всегда открыт, даже в конечномерной ситуации. Примером конуса является полупространство, заданное $\lambda(x)>0$; двойственный к этому конусу конус есть луч, порожденный $\lambda$. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Выпуклые конусы в пространствах потоков и тест-форм} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Пусть $(M, \omega)$ -- комплексное эрмитово $n$-мерное многообразие. \замечание Конус строго положительных $(1,1)$-форм открыт\\ (проверьте это), а двойственный к нему конус ненулевых положительных $(n-1,n-1)$-потоков не открыт. \еза \задача Пусть $\alpha\in D^{n-1,n-1}(M)$ - положительный поток. Докажите, что в любой окрестности $\alpha$ найдутся потоки, которые не положительны. \ез \замечание Двойственный конус к конусу положительных потоков - конус строго положительных форм. Это следует из теоремы Хана-Банаха (см. выше). \еза Для любого положительного потока $\Xi\in D^{n-1,n-1}(M)$ с $\int_M \Xi \wedge \omega \leq C$, и любой формы $\gamma\in \Lambda^{1,1}(M)$ с $\sup_M |\gamma|< C'$, имеем \[ \int_M \Xi \wedge\gamma\leq C C'. \] Поэтому положительные потоки, удовлетворяющие неравенству $\int_M \Xi \wedge \omega \leq C$, образуют ограниченное, а следовательно - компактное множество. Это свойство называется {\бф слабой компактностью для положительных потоков}. \замечание Выражение "слабая компактность" не очень аккуратно, потому что на потоках слабая топология совпадает с сильной. В данном случае "слабая" указывает на теорему Банаха-Алаоглу о $*$-слабой компактности ограниченных подмножеств в слабой топологии. \еза \определение Пусть $A\subset D^{n-1,n-1}(M)$ выпуклый конус. такой, что каждый $\Theta \in A$ удовлетворяет \[ \int_M \Theta\wedge \omega >0. \] Зафиксируем выпуклую, открытую окрестность нуля в потоках, $B\subset D^{n-1,n-1}(M)$, такую, что \[ \forall \Xi\in B, \ \ \left|\int_M \Xi\wedge \omega\right| < 1. \] Такая окрестность существует, потому что функционал $\Xi\arrow \int_M \Xi\wedge \omega$ непрерывен. Зафиксируем $0< \epsilon< 1$. Рассмотрим подмножество $A_\epsilon\subset D^{n-1,n-1}(M)$ состоящее из элементов вида $a+b$, где \[ a\in A, b\in \epsilon t B \text{ а } t:= \int_M a\wedge \omega. \] Мы называем $A_\epsilon$ {\бф $\epsilon$-окрестностью} конуса $A$. \ео \упражнение Докажите, что $A_\epsilon$ - открытый, выпуклый конус, причем \[ \forall\Xi\in A_\epsilon, \ \ \int_M \Xi\wedge \omega> 0. \] \еу \замечание Если $A_\epsilon$ содержит конус положительных потоков, $A_\epsilon^*$ содержится в конусе строго положительных форм. Поскольку $A_\epsilon$ открыт, $A_\epsilon^{**}=A_\epsilon$, а значит, конус $A_\epsilon^*$ непуст. \еза \setcounter{zadacha}{0} \hfill \noindent {\bf \Large Задачи.} \задача Докажите, что счетное объединение возрастающих полурефлексивных пространств полурефлексивно. \ез \задача Докажите, что прямая сумма и декартово произведение любого количества монтелевых пространств - монтелевы. \ез \определение Напомню, что топологическое векторное пространство называется {\бф пространством Фреше}, если оно допускает полную, трансляционно-инвариантную метрику. \ео \задача Докажите, что метризуемое пространство Монтеля является пространством Фреше. \ез \задача Пусть $V$ - бесконечномерное пространство Фреше. Может ли $V$ быть локально компактным? \ез \определение Пучок ${\cal F}$ топологических векторных пространств на локально связном, локально компактном пространстве $M$ называется {\бф пучком Фреше-Монтеля}, если для каждого открытого множества $U\subset M$, $\Gamma(U, {\cal F})$ - пространство Фреше, причем ограничение \[ \Gamma(U, {\cal F})\arrow \Gamma(U', {\cal F})\] является компактным оператором, если замыкание $U'$ в $U$ компактно.\footnote{Это определение введено Гротендиком в 1957-м году.} \ео \задача Докажите, что пучок сечений голоморфного расслоения с топологией равномерной сходимости на компактах является пучком Фреше-Монтеля. \ез \задача[*] Пусть $D$ - эллиптический оператор на многообразии $M$. Докажите, что множество функций $\psi\in\ker D$ с топологией равномерной сходимости на компактах является пучком Фреше-Монтеля. \ез \определение Пучок ${\cal F}$ абелевых групп на топологическом пространстве называется {\бф вычислимым}, если для каждой окрестности $U\ni x$, и для каждого $i>0$ есть открытое подмножество $V\ni x$ такое, что отображение ограничения $H^i(U,{\cal F})\arrow H^i(V,{\cal F})$ равно нулю. \ео \задача Докажите, что пучок вычислим тогда и только тогда, когда его когомологии можно вычислить как прямой предел когомологий комплексов Чеха по множеству покрытий, со структурой фильтрованного множества, определенной измельчениями покрытий. \ез \задача Докажите теорему Гротендика: если ${\cal F}$ -- вычислимый пучок Фреше-Монтеля на компактном многообразии, то когомологии ${\cal F}$ конечномерны. \ез \указание Пусть $\Psi$ - морфизм комплексов Чеха, соответствующий измельчению ${\cal U}'$ покрытия ${\cal U}$ пространства $M$. Предположим, что все карты покрытия ${\cal U}'$ предкомпактны в соответствующих им картах ${\cal U}$. Тогда $\Psi$ компактен. Выведите из этого, что тождественный морфизм на пространстве когомологий $M$ компактен. \еу \замечание Теорема Гротендика доказывает теорему Картана-Серра, которая утверждает, что когомологии когерентных пучков на компактном комплексном многообразии конечномерны. \еза \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \lhead{{\scriptsize Лекция 6. Кэлеровы потоки и $\6\bar\6$-лемма}} \chapter{Комплексные поверхности, лекция 6:\\ Кэлеровы потоки и $\6\bar\6$-лемма.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% В этой лекции $(M, \omega)$ -- комплексное эрмитово $n$-мерное многообразие, обыкновенно поверхность, а $\omega\in \Lambda^{1,1}(M)$ его эрмитова форма, которая предполагается годушоновой, то есть удовлетворяющей $dd^c(\omega^{n-1})=0$. Буквой $d^c:\; \Lambda^p(M) \arrow \Lambda^{p+1}(M)$ обозначается скрученный дифференциал $d^c:= -I\circ d\circ I$. Легко видеть, что $dd^c=-2\1 \6\bar\6$. Изложенное ниже доказательство кэлеровости поверхностей с четным $b_2$ принадлежит Ламари (\cite{_Lamari_}). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Кэлеровы потоки. Теорема Ламари.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Кэлеров поток на комплексном многообразии $(M,I)$ это положительный $(1,1)$-поток $\Xi$ такой, что $\Xi> \omega_1$ для какой-то эрмитовой формы $\omega_1$ на $M$. \ео \определение Пространство \[ H^{1,1}_{BC}(M):= \frac{\ker d\restrict{\Lambda^{1,1}(M)}}{\im dd^c\restrict{C^\infty(M)}} \] называется пространством когомологий Ботта-Черна. \ео \замечание Для любого $dd^c$-замкнутого $(n-1,n-1)$-потока $\psi$, и любой замкнутой $(1,1)$-формы $\alpha$, интеграл \[ \int_M \alpha\wedge\psi \] зависит только от класса когомологий $\alpha$ в $H^{1,1}_{BC}(M)$ (проверьте это). В дальнейшем мы будем, не оговаривая, писать интегралы вида $\int_M [\alpha]\wedge\psi$ для классов $[\alpha]\in H^{1,1}_{BC}(M)$. \еза \замечание Легко видеть, что дифференциал де Рама, ограниченный на $(0,1)$-формы, определяет отображение $d:\; H^1(\calo_M)\arrow H^{1,1}_{BC}(M)$, что определяет точную последовательность \[ H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}\stackrel{d\oplus d}\arrow H^{1,1}_{BC}(M)\arrow H^2(M)\arrow 0 \] (проверьте это). Поэтому группа $H^{1,1}_{BC}(M)$ конечномерна. \еза \упражнение Проверьте, что группа Ботта-Черна когомологий (1,1)-потоков, определенная таким же образом, как для форм, изоморфна $H^{1,1}_{BC}(M)$. \замечание Из этого сразу следует, что любой замкнутый (1,1)-поток когомологичен в $H^{1,1}_{BC}(M)$ гладкой, замкнутой (1,1)-форме. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение\label{_formy_pozi_na_yadre_dd^c_Opredelenie_} Определим подмножество $A$ в $\Lambda^{1,1}(M)$ следующим образом: $A$ есть множество $(1,1)$-форм $\alpha \in\Lambda^{1,1}(M)$ таких, что для некоторого числа $\epsilon_\alpha>0$, и любой положительной, $dd^c$-замкнутой $(n-1,n-1)$-формы $\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$, имеет место неравенство \[ \int_M \alpha \wedge \psi > \epsilon_\alpha\int_M \omega \wedge \psi \] Легко видеть, что это выпуклый конус (проверьте это). \ео %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \лемма\label{_posi_cla_pre_posi_Lemma_} Пусть $\beta$ - (1,1)-форма, лежащая в конусе $A$, определенном выше. Тогда существует обобщенная функция (0-поток) $f\in D^0(M)$ такая, что $\beta+ dd^c f$ -- положительный поток. \hfill {\бф Доказательство. Шаг 1:} Пусть $\Pos_\epsilon$ - открытый конус, полученный в предыдущей лекции как $\epsilon$-окрестность конуса положительных $(1,1)$-потоков. Если $\beta + dd^c D^0(M) \cap \Pos_\epsilon =\emptyset$, по теореме Хана-Банаха найдется форма $\rho\in \Pos_\epsilon^*\subset \Lambda^{n-1,n-1}(M)$ такая, что $\int_M (\beta + dd^c f)\wedge \rho=0$, для любой обобщенной функции $f\in D^0(M)$. Из этого условия сразу следует, что $dd^c\rho=0$ (проверьте это), а из того, что $\Pos_\epsilon^*$ содержится в положительном конусе - что $\rho$ положительна. Мы получили, что $\int_M \beta \wedge \rho=0$ для положительной, $dd^c$-замкнутой формы $\rho$ -- противоречие! Значит, $\beta + dd^c D^0(M) \cap \Pos_\epsilon\neq \emptyset$ для любого $1>\epsilon >0$. {\bf Шаг 2:} Мы получили, что для каждой окрестности нуля $B$ в (1,1)-потоках, при условии \[ \forall \Xi\in B, \ \ \left|\int_M \Xi\wedge \omega^{n-1}\right| < 1. \] найдется поток вида \[ \beta + dd^c f= a+b, \] где $a$ положительный поток, а $b\in \epsilon B$. Поскольку \[ \int_M a\wedge \omega^{n-1} < \int_M \beta\wedge \omega^{n-1}+\epsilon, \] множество $Y_{\epsilon B}$ таких $a$ предкомпактно. Поэтому существует поток вида $\beta + dd^c f$, который принадлежит замыканию $Y_{\epsilon B}$ для всех $B$. Этот поток принадлежит замыканиям всех эпсилон-окрестностей положительного конуса; нетрудно видеть, что замыкание $\epsilon$-окрестности содержится в $2\epsilon$-окрестности, значит $\beta + dd^c f$ содержится во всех $\epsilon$-окрестностях. {\bf Шаг 3:} Поскольку пространство потоков отделимо, а положительный конус в объединении с нулем замкнут, пересечение всех $\epsilon$-\-ок\-рест\-нос\-тей положительного конуса это положительный конус в объединении с нулем. Значит, $\beta + dd^c f$ положительно либо 0. Оно не может быть нулем, потому что $\int_M \beta\wedge \omega^{n-1}>0$. \endproof \hfill %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \утверждение\label{_nef_BC_class_Utverzhdenie_} Пусть $М$ компактное комплексное многообразие, а $[v]\in H^{1,1}_{BC}(M)$ -- класс когомологий. Тогда следующие утверждения равносильны \begin{description} \item[(i)] $[v]$ представим кэлеровым потоком \item[(ii)] $[v]$ удовлетворяет следующему неравенству\footnote{Неравенство \eqref{_posi_on_dd^c_Equation_} означает, что любая гладкая форма, представляющая $[v]$, лежит в конусе $A$, определенном выше.} \begin{equation}\label{_posi_on_dd^c_Equation_} \int_M [v] \wedge \psi > \epsilon\int_M \omega \wedge \psi \end{equation} для некоторого числа $\epsilon>0$, и любой положительной, $dd^c$-\-зам\-к\-ну\-той $(n-1,n-1)$-формы $\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$. \end{description} {\bf Доказательство:} Пусть $v$ -- кэлеров поток, $v> \epsilon \omega$, а $\alpha\in \Lambda^{1,1}(M)$ - любая гладкая форма в том же классе когомологий $[v]\in H^{1,1}_{BC}(M)$. Тогда \[ \int_M \alpha \wedge \psi > \epsilon \int_M \omega \wedge \psi, \] для каждой положительной формы $\psi >0$. С другой стороны, $\int_M v \wedge \psi=\int_M \alpha \wedge \psi$, если $\psi$ $dd^c$-замкнута, потому что $v-\alpha \in \im dd^c$ (проверьте). Пусть, наоборот, $[v]$ удовлетворяет неравенству \eqref{_posi_on_dd^c_Equation_}, а $\alpha$ - гладкая форма, представляющая $[v]$. Применив Лемму \ref{_posi_cla_pre_posi_Lemma_} к $\beta := \alpha-{\frac 1 2}\epsilon \omega$, мы находим положительный поток вида $\alpha-{\frac 1 2}\epsilon \omega+dd^c f$. Тогда поток $\alpha+dd^c f$ является кэлеровым. \endproof \хфилл Обозначим $d^{1,1}:\; D^{2n-3} (M) \arrow D^{n-1,n-1}(M)$ оператор, который ставит в соответствие потоку $\Theta$ $(n-1,n-1)$-часть его дифференциала. При доказательстве теоремы Харви-Лоусона, мы пользовались тем, что аннулятор $\im d^{1,1}$ это $\ker d\restrict{\Lambda^{1,1}(M)}$. В силу рефлексивности, $\im d^{1,1}$ это аннулятор $\ker d\restrict{\Lambda^{1,1}(M)}$, и поэтому $\im d^{1,1}$ замкнут в пространстве потоков. \определение Форма (или поток) $\alpha$ называется {\бф плюригармонической}, если $dd^c \alpha=0$. $(n-1,n-1)$-поток $\Xi$ называется {\бф неф-\-плю\-ри\-гар\-мо\-ни\-чес\-ким,} если $\Xi$ является пределом последовательности положительных, $dd^c$-\-замк\-ну\-тых форм. \ео %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \лемма\label{_nf_pluriha_dual_Lemma_} Пусть $M$ - компактное, комплексное $n$-мерное многообразие, $A$ - конус $(1,1)$-форм, удовлетворяющих неравенству \eqref{_formy_pozi_na_yadre_dd^c_Opredelenie_}, а $B$ - конус неф-плюригармонических $(n-1,n-1)$-потоков. Тогда $A^*=B$. \hfill {\бф Доказательство:} Пусть $K^\circ$ - множество положительных $dd^c$-\-зам\-кну\-тых форм $\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$, удовлетворяющих $\int\omega\wedge \psi =1$, a $K$ - его замыкание в пространстве потоков. Поскольку $K$ ограниченно, а пространство потоков монтелевское, $K$ компактно. Конус, натянутый на $K$, совпадает с конусом $B$ неф-плюригармонических потоков. Пусть $\alpha$ -- (1,1)-форма, которая удовлетворяет $\int_M \alpha \wedge \psi >0$ для любой $dd^c$-замкнутой, положительной $\psi$. Тогда $\alpha\restrict K>0$, а поскольку $K$ компактно, имеем $\alpha \restrict K>\epsilon$. Значит, $\alpha\in A$ (докажите это). Мы получили, что $A\subset B^*$. Из рефлексивности получаем $A^{**}=A$, что дает $A^*=A^{***}=B^{**}\supset B$. Обратное вложение $B\supset A^*$ очевидно, потому что элементы $B$ получаются как пределы плюригармонических, положительных форм, а с такими формами $A$ спаривается положительно. \endproof \hfill Напомним, что теорема Харви-Лоусона утверждает, что некэлерово многообразие допускает ненулевой положительный поток, который лежит в образе $d^{1,1}$. Следующая теорема, принадлежащая Ламари, дает аналогичный критерий для кэлеровых потоков. Оказывается несуществование кэлерова потока влечет наличие положительного потока, который лежит в образе $d^{1,1}$, и к тому же неф-плюригармоничен. Доказательство целиком идентично доказательству Харви-Лоусона, но вместо конуса положительных потоков используется конус $A$, определенный выше. \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \теорема\label{_nef_ph_Kaehler_curre_Teorema_} Пусть $M$ - компактное, комплексное $n$-мерное многообразие. Тогда следующие утверждения равносильны \begin{description} \item[(i)] На $M$ существует кэлеров поток. \item[(ii)] Любой неф-плюригармоничный $(n-1,n-1)$-поток $\beta\in \im d^{1,1}$ равен нулю. \end{description} {\бф Доказательство. Шаг 1:} Пусть на $M$ существует кэлеров поток $\Xi$, и неф-плюригармоничный поток $\beta\in \im d^{1,1}$, являющийся пределом положительных плюригармоничных форм $\beta= \lim \beta_i$. Обозначим за $[\Xi]$ класс когомологий $\Xi$ в $H^{1,1}_{BC}(M)$. Поскольку $d\Xi=0$, а ядро $d$ аннулирует $\im d^{1,1}$, $\int_M[\Xi]\wedge \beta=0$ (проверьте это). {\бф Шаг 2:} В силу Утверждения \ref{_nef_BC_class_Utverzhdenie_}, существует $\epsilon>0$, такой, что \[ \int_M[\Xi]\wedge \beta_i \geq \epsilon \int \omega\wedge \beta_i. \] Переходя к пределу, получаем \[ 0= \int_M[\Xi]\wedge \beta \geq \epsilon \int \omega\wedge \beta. \] Значит, $\int \omega\wedge \beta=0$. Поскольку $\beta$ положительный поток, из этого сразу следует, что $\beta=0$ (проверьте). Мы доказали, что (i) влечет (ii) {\бф Шаг 3:} Рассмотрим конус $A$ $(1,1)$-форм, удовлетворяющих неравенству \eqref{_formy_pozi_na_yadre_dd^c_Opredelenie_}. Это выпуклый, открытый конус. В силу Утверждения \ref{_nef_BC_class_Utverzhdenie_}, $A\cap \ker d\neq 0$ равносильно существованию кэлерова потока. Если на $M$ не существует кэлерова потока, из теоремы Хана-Банаха получаем, что существует $(n-1,n-1)$-поток $\Theta\in \im d^{1,1}$, который положителен на $A$. В силу Леммы \ref{_nf_pluriha_dual_Lemma_}, это значит, что $\Theta$ - неф-плюригармонический поток. \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Неф-плюригармонические потоки\\ на поверхности и $dd^c$-лемма} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Напомним, что $dd^c$-лемма для (1,1)-форм утверждает, что любая точная $(1,1)$-форма лежит в образе $dd^c$. Иначе говоря, $dd^c$-лемма говорит, что естественное отображение $H^{1,1}_{BC}(M) \arrow H^2(M)$ является вложением. На лекции 4 было доказано, что для поверхности $dd^c$-лемма равносильна четности $b_1(М)$. Переходя к двойственному пространству, мы получаем, что \[ H^{1,1}_{BC}(M)^* \cong \frac{\ker dd^c\restrict{D^{n-1,n-1}(M)}}{d^{1,1}(D^{2n-3}(M))}, \] где $D$ обозначает потоки (докажите это). Если верна $dd^c$-лемма, инъективность $H^{1,1}_{BC}(M) \arrow H^2(M)$ дает сюрьективность двойственного отображения \[ H^{2n-2}(М) \arrow \frac{\ker dd^c\restrict{D^{n-1,n-1}(M)}}{d^{1,1}(D^{2n-3}(M))}. \] Мы получили следующее %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \следствие\label{_dd^c_dual_Sledstvie_} Пусть $\Xi$ - $dd^c$-замкнутый $(n-1,n-1)$-поток на компактном $n$-мерном комплексном многообразии. Предположим, что $(1,1)$-формах на $M$ справедлива $dd^c$-лемма. Тогда существует $2n-3$-поток $\zeta\in D^{2n-3}(M)$ такой, что $\Xi- d^{1,1}\zeta$ замкнуто. \endproof \замечание Если последовательность классов когомологий $\nu_i \in H^{1,1}_{BC}(M)^*$ сходится к нулю, можно выбрать гладкие формы в этих классах, которые будут сходиться к нулю в $C^0$-топологии (или даже в топологии тест-форм; докажите это). Поэтому на многообразии с $dd^c$-леммой, каждый неф-плюригармонический, $d^{1,1}$-замкнутый $(n-1,n-1)$-поток $\Xi$ можно получить как предел положительных форм \[ \Xi= \lim_i \Xi_i, \ \ \Xi_i = a_i + b_i \] где $b_i$ - последовательность гладких, замкнутых $(n-1,n-1)$-форм, сходящихся к нулю в $C^0$-топологии, а $a_i\in \im d^{1,1}$. \еза Пусть $M$ комплексная поверхность с четным $b_1$ (это равносильно $dd^c$-лемме), а $\Xi$ -- неф-плюригармонический, $d^{1,1}$-замкнутый $(1,1)$-поток. Тогда $\Xi$ может быть получен как предел положительных $(1,1)$-форм, $\Xi= \lim_i\Xi_i$, причем \[ \Xi_i = b_i + d^{1,1}(\nu_i) \] а $b_i$ - последовательность гладких, замкнутых $(1,1)$-форм, сходящихся к нулю в $C^0$-топологии. Разложив $\Xi\wedge\Xi$ по типам, получаем: \[ 0\leq \int_M \Xi_i\wedge \Xi_i = \int_M (b_i + d\nu_i)\wedge (b_i + d\nu_i) - 2\int_M \6(\nu_i^{1,0}) \wedge\bar\6(\nu_i^{0,1}). \] Поскольку $\int_M (b_i + d\nu_i)\wedge (b_i + d\nu_i)=\int_M b_i\wedge b_i$, из этого следует \[ \int_M |\6(\nu_i^{1,0})|^2 \omega^2 \leq \int_M b_i\wedge b_i. \] Значит, $\6(\nu_i^{1,0})$ сходится к нулю в $L^2$-норме. Поскольку $L^2$-норма на компакте сильнее $L^1$-нормы, которая, в свою очередь, сильнее топологии на потоках (проверьте), предел $\lim\6(\nu_i^{1,0})$ определен и равен нулю. Следовательно $\Xi= \lim b_i + d\nu_i= \lim d\nu_i$. Поскольку пространство точных потоков замкнуто, из этого следует, что $\Xi$ точен. Мы доказали \hfill \следствие Пусть $M$ комплексная поверхность с четным $b_1$ (это равносильно $dd^c$-лемме), а $\Xi$ -- неф-плюригармонический, $d^{1,1}$-точный $(1,1)$-поток. Тогда $\Xi$ точен. \endproof \хфилл Применяя $dd^c$-лемму еще раз, выводим из этого, что $\Xi=dd^cf$, для какой-то обобщенной функции $f\in D^0(M)$. Получаем из формулы Стокса (проверьте) \[ \int_M \Xi \wedge \omega= \int_M dd^cf \wedge \omega= \int_M f \wedge dd^c\omega=0, \] а значит $\Xi=0$. Мы доказали, что поверхность с четным $b_1$ не допускает ненулевых $d^{1,1}$-точных неф-плюригармонических потоков. По теореме \ref{_nef_ph_Kaehler_curre_Teorema_}, это значит, что на $M$ существует кэлеров поток. \хфилл \теорема Пусть $M$ комплексная поверхность с четным $b_1$. Тогда на $M$ существует кэлеров поток. \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Плюрисубгармонические функции \\и регуляризованный максимум} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $\phi$ - 0-поток (обобщенная функция) на комплексном многообразии, такая, что $dd^c\phi$ -- положительный $(1,1)$-поток. Такая функция называется {\бф плюрисубгармонической} (psh). \ео \пример Пусть $r$ - расстояние до нуля в евклидовой метрике на $\C^n$. Тогда $dd^c r^2$ - обычная кэлерова метрика ма $\C^n$. В частности, функция $r^2$ плюрисубгармонична. \хфилл Приведенные ниже результаты сформулированы для гладких psh-функций, но их можно доказать и для негладких, сглаживая эти негладкие psh-функции сверткой с подходящим ядром. \упражнение Пусть $\mu:\;\R^n \arrow \R$ гладкая функция, выпуклая вниз и неубывающая по всем аргументам, а $\phi_1, ..., \phi_n$ набор гладких плюрисубгармонических функций на $M$. Докажите, что композиция $\mu(\phi_1, ..., \phi_n)$ плюрисубгармонична. \указание Используйте формулу производной композиции \еу \определение Пусть $\mu:\;\R^2 \arrow \R$ гладкая гладкая функция, выпуклая вниз и неубывающая по всем аргументам, причем для $|x-y|\geq\epsilon$, $\mu(x,y)=\max\nolimits(x,y)$, и к тому же $\mu(x,y)=\mu(y,x)$ и $\mu(y+\alpha,x+\alpha)=\mu(x,y)$ для всех $x,y,\alpha\in \R$. Такая функция называется {\бф регуляризованным максимумом}, и обозначается $\max\nolimits_\epsilon(x,y)$ \ео \упражнение Докажите, что регуляризованный максимум существует. \замечание Из предыдущего упражнения сразу следует, что регуляризованный максимум $\max\nolimits_\epsilon(\phi,\phi')$ плюрисубгармоничен, если фун\-кции $\phi$ и $\phi'$ плюрисубгармоничны. \еза \замечание Если $dd^c\phi\geq \epsilon \omega$ и $dd^c\phi'\geq \epsilon \omega$, для какой-то кэлеровой формы $\omega$, то $dd^c\max\nolimits_\epsilon(\phi,\phi')\geq \epsilon \omega$. Действительно, пусть $\omega= dd^c\psi$ (локально, такой $\psi$ существует, потому что локально на каждом многообразии верна $dd^c$-лемма; докажите ее). Тогда \[ \max\nolimits_\epsilon(\phi-\epsilon\psi,\phi'-\epsilon\psi)= \max\nolimits_\epsilon(\phi,\phi')-\psi \] плюрисубгармонична, значит, \[ dd^c\max\nolimits_\epsilon(\phi,\phi') \geq \epsilon dd^c\psi= \epsilon \omega. \] \еза \определение Функция $\phi$ называется {\бф строго плюрисубгармоничной}, если $dd^c\phi-\epsilon \omega$ положительно для эрмитовой формы $\omega$ и $\epsilon >0$. \ео \упражнение Выведите из предыдущего замечания, что регуляризованный максимум строго psh функций снова строго psh. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Кэлеровы потоки и регуляризация} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Чтобы закончить доказательство теоремы о том, что все поверхности с четным $b_1$ кэлеровы, осталось убедиться, что из наличия кэлерова потока на поверхности следует ее кэлеровость. Для этого я прибегну к теореме Демайи о регуляризации положительных потоков, которую я оставлю без доказательства. Набросок доказательства ее можно усмотреть в трудах Демайи, например, тут: \cite{_Demailly:mult_}. \замечание Отметим, что для любого набора $\{g_i\}$ голоморфных функций, функция $\log\sum_i(|g_i|^2)$ плюрисубгармонична, то есть интегрируема, а $(1,1)$-поток $dd^c\log\sum_i(|g_i|^2)$ положителен. \еза \определение Пусть $T$ - замкнутый (1,1)-поток, заданный как $T= dd^c \psi$, где $\psi$ - обобщенная функции. Мы говорим, что $\psi$ имеет логарифмические полюса, если $\psi= \lambda\log\sum_i(|g_i|^2)+\psi_0$, где $\psi_0$ -- гладкая функция, а $g_i$ голоморфные. Мы говорим, что $T$ имеет логарифмические особенности, если его можно локально задать в виде $T= dd^c \psi$, где $\psi$ функция с логарифмическими полюсами. \ео \теорема (\cite[21.4]{_Demailly:mult_}) Пусть $T$ - положительный, замкнутый $(1,1)$-поток на компактном, комплексном эрмитовом многообразии $(M,\omega)$. Тогда существует последовательность потоков $T_k$ с логарифмическими особенностями в том же классе когомологий $H^{1,1}_{BC}(M)$, причем $T_k \geq T-\delta_k \omega$, где $\delta_k$ стремится к 0, и $\{T_k\}$ сходится к $T$ в топологии потоков. \endproof \хфилл \замечание Из этой теоремы сразу вытекает, что $T_k$ кэлеровы потоки, если $T$ кэлеров поток, а $\delta_k$ достаточно маленькие. Поэтому если на многообразии $M$ существует кэлеров поток, на $M$ существует кэлеров поток с логарифмическими особенностями. \еза Из всей теоремы Демайи о регуляризации, нам понадобится только это замечание. \хфилл Пусть теперь $T$ - кэлеров поток с логарифмическими особенностями на поверхности, а $Z$ его особое множество. По определению $Z$ есть множество общих нулей голоморфных функций $g_i$, участвующих в определении логарифмических особенностей. Если $Z$ содержит кривую $C$, локально определенную функцией $g_C$ с простым нулем в неособых точках $C$, в окрестности этой кривой все функции $g_i$ делятся на $g_C$. Поэтому \[ \lambda\log\sum_i(|g_i|^2)= \lambda \log |g_C| + \lambda\log\sum_i(|g_i/g_C|^2). \] Легко видеть, что $dd^c \lambda \log |g_C|=[C]$,\footnote{ Это утверждение называется "формула Пуанкаре-Лелона". Выведите ее из формулы вычетов.} где $[C]$ -- поток интегрирования по кривой $C$, $\alpha \arrow \int_C\alpha$. Поэтому $T=[C]+ T_1$, где $T_1$ тоже кэлеров поток. Будем отщеплять кривые таким образом одну за другой. Действуя индукцией по порядку нулей $g_i$ вдоль $C$ и по количеству кривых в особом множестве $T$, легко убедиться, что этот процесс закончится (проверьте это) на кэлеровом потоке с логарифмическими особенностями, изолированными в точках. \хфилл Чтобы доказать, что поверхность, допускающая кэлеров поток, кэлерова (и тем самым закончить доказательство кэлеровости любой поверхности с четным $b_1(M)$), нам осталось получить следующее утверждение. \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \утверждение Пусть $T$ - кэлеров поток с изолированными особенностями на комплексном многообразии $M$. Тогда в том же классе $[T]\in H^{1,1}_{BC}(M)$ существует кэлеров поток. \хфилл {\bf Доказательство:} Пусть $z_1, z_2, ..., z_n$ - особые точки $T$, а \[ \phi_i=\lambda\log\sum_\alpha(|g_\alpha|^2)+\psi_0\] соответствующие потенциалы, равные $-\infty$ в $z_i$, и определенные в открытых множествах $U_i\subset M$ Выбрав $U_i$ достаточно маленьким, можно предположить, что на нем есть кэлеров потенциал $\psi$, то есть такая функция, что форма $dd^c\psi$ кэлерова. Легко видеть, что для существенно отрицательного $A\ll 0$, функция $\max\nolimits_\epsilon(A+ \psi, \phi_i)$ равна $\phi_i$ вне компактной окрестности $z_i\in U_i$, и гладка всюду на $U_i$. Эта функция плюрисубгармонична (докажите). Заменим $T$ на $dd^c\max\nolimits_\epsilon(A+ \psi, \phi_i)$ внутри $U_i$, оставив его как есть вне $U_i$, Мы получим строго положительный, замкнутый поток, неособый в $U_i$ (проверьте). Повторив эту операцию во всех $z_i$, мы получим кэлерову форму. \endproof \setcounter{zadacha}{0} \hfill \noindent {\bf \Large Задачи.} \задача Пусть $K$ - выпуклый конус в рефлексивном локально выпуклом пространстве. Назовем $K$ рефлексивным, если $K^{**}=K$. Докажите, что открытый конус рефлексивен. \ез \определение Пусть $K\subset V$ --- подмножество векторного пространства $V$. {\бф выпуклый конус, натянутый на $K$} --- множество ненулевых линейных комбинаций элементов из $K$ с положительными коэффициентами. \ео \задача Пусть $K\subset V$ - компактное подмножество в локально выпуклом векторном пространстве, а $K_1$ - выпуклый конус, натянутый на $K$. Докажите, что $K_1^*$ открыт. Будет ли $K_1$ рефлексивен? \ез \задача Пусть $[\alpha]\in H^{1,1}(M)$ -- класс когомологий на $n$-мерном кэлеровом многообразии $M$, а $\Xi$ - $dd^c$-замкнутый $(n-1,n-1)$-поток. Докажите, что интеграл $\int_M \alpha\wedge \Xi$ не зависит от выбора замкнутой (1,1)-формы $\alpha$, представляющей $[\alpha]$. \ез \задача Пусть $[\alpha]\in H^{1,1}(M)$ -- класс когомологий на $n$-мерном кэлеровом многообразии $M$. Докажите, что $[\alpha]$ не представим кэлеровой формой тогда и только тогда, когда существует положительный $dd^c$-замкнутый $(n-1,n-1)$-поток $\Xi$, удовлетворяющий $\int_M [\alpha]\wedge \Xi \leq 0$. \ез \задача Пусть $[\alpha]\in H^{1,1}(M)$ -- класс когомологий на $n$-мерном кэлеровом многообразии $M$. Докажите, что $[\alpha]$ не представим кэлеровым потоком тогда и только тогда, когда существует положительный неф-плюригармонический $(n-1,n-1)$-поток $\Xi$, удовлетворяющий $\int_M [\alpha]\wedge \Xi \leq 0$. \ез \задача Пусть $M$ -- компактная поверхность, а $\eta$ - положительная $(1,1)$-форма на $M$, которая является $(1,1)$-частью замкнутой. Докажите, что $\eta$ замкнута. \ез \задача Обозначим за $I$ пространство (1,1)-форм на поверхности, которые являются $(1,1)$-частью замкнутых. Докажите, что $I$ замкнуто, а аннулятор $I$ это пространство точных (1,1)-потоков. \ез \задача Пусть $M$ - некэлерова поверхность. Докажите, что на $M$ есть точный, положительный (1,1)-поток. \ез \указание Выведите из предыдущих задач, что любая строго положительная форма $\omega\in I$ кэлерова, и воспользуйтесь теоремой Хана-Банаха. \еу \определение Комплексное эрмитово $n$-мерное многообразие\\ $(M, \omega)$ называется {\бф взвешенным} (balanced), если $d(\omega^{n-1})=0$. \ео \задача Пусть $M$ - компактное комплексное многообразие, не допускающее взвешенной метрики. Докажите, что на $M$ есть $d^{1,1}$-точный, положительный (1,1)-поток. \ез \задача Пусть $M$ - компактное комплексное многообразие, бирационально эквивалентное кэлерову. Докажите, что $М$ допускает взвешенную метрику. \ез \задача Пусть $M$ - компактное комплексное многообразие, не допускающее КТ-метрики (метрики, которая удовлетворяет $dd^c\omega=0$). Докажите, что на $M$ есть $dd^c$-точный положительный $(n-1,n-1)$-поток. \ез \hfill \noindent {\bf \Large Литература:} {\small \begin{thebibliography}{666} \bibitem[L]{_Lamari_} A. Lamari, { Courrants k\"ahl\'eriens et surfaces compactes,} Ann. Inst. Fourier 49 (1999), 263-285 \bibitem[D]{_Demailly:mult_} Demailly, Jean-Pierre, {\em Analytic methods in algebraic geometry,} Lecture Notes, \'Ecole d'\'et\'e de Math\'ematiques de Grenoble "G\'eom\'etrie des vari\'et\'es projectives complexes : programme du mod\`ele minimal",\\ http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html \end{thebibliography} } \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\section{$L^2$-интегрируемые потоки и теорема Харви-Лаусона} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % %Потоки суть функционалы на формах с компактным %носителем, непрерывные в топологии Фреше на %гладких формах. Локально $L^1$-интегрируемые потоки суть функционалы, %заданные интегрированием с локально $L^1$-интегрируемой формой. %Такие функционалы непрерывны в $C^0$-топологии, %самой сильной из последовательности топологий, %определяющих структуру Фреше на $\Lambda^*(M)$. %Поскольку $M$ компактно, %пространство квадратично-интегрируемых %функций $L^2(М)$ вложено в $L^1_{loc}(M)$ %(проверьте это), формы с коэффициентами в %$L^2(M)$ можно интерпретировать как %потоки на $M$. Пространство таких потоков %обозначается $\Lambda^*(M) \otimes L^2(M)$. %Это гильбертово пространство. % %Аналогичным образом определяется %соболевское пространство $\Lambda^*(M) \otimes L^2_q(M)$ %(подробнее см. в предыдущей лекции). % %\теорема %(Н. Бухсдаль) %Пусть $M$ - поверхность с метрикой Годушона. %Рассмотрим отображение %\[ d^{1,1} \Lambda^1 (M)\otimes L^2_1(M): \; \Lambda^{1,1} % (M)\otimes L^2(M) %\] %которое ставит форме $\psi$ в соответствие $(1,1)$-часть %дифференциала $d\psi$. Тогда образ $d^{1,1}$ %замкнут в $\Lambda^{1,1}(M)\otimes L^2(M)$. % %\хфилл % %{\бф Доказательство:} %Пусть $\{\nu_i\}$ - последовательность гладких %вещественных 1-форм таких, что $\psi_i:=d^{1,1}\nu_i$ %сходится к $\psi\in \Lambda^{1,1}(M)\otimes L^2(M)$. %Пусть $G_{d^*}:\; \Lambda^1 (M)\otimes L^2_1(M)$ %проекция на образ $d^*$, $G_{d^*}= \Delta^{-1}d^*$. %Согласно теории Ходжа, %ядро этой проекции совпадает с ядром $d$ (проверьте это), значит, %$d\nu_i = d( G_{d^*}\nu_i)$, и $d^{1,1}\nu_i=(G_{d^*}\nu_i)d^{1,1}$. %Поэтому мы можем с самого начал предположить, что %$\nu_i$ лежит в образе $d^*$. % %Взяв $(1,0)$ и $(0,1)$-часть $\nu_i$, получим %\[ %\psi_i= d\nu_i - \6\nu_i^{1,0} - \bar\6\nu_i^{0,1}. %\] %Применив соотношения Римана-Ходжа %(\eqref{_Riemann_Hodge_surf_Equation_}) и %формулу Стокса,\footnote{Выведите из нее, что %\[ \int_M\psi_i\wedge\psi_i = - 2 \int_M %\6\nu_i^{1,0}\wedge\bar\6\nu_i^{0,1}= %2 |\6\nu_i^{1,0}|^2.\]} %получим %\[ %|\psi_i|^2= 2 \int_M (\Lambda_\omega\psi_i)^2 \Vol - \int_M %\psi_i \wedge \psi_i = 2|\Lambda_\omega\psi_i|^2 +2 |\6\nu_i^{1,0}|^2. %\] %Поскольку $\psi_i$ ограничено в $L^2$-метрике, %то же верно и про $\6\nu_i^{1,0}$ с $\bar\6\nu_i^{0,1}$. %Мы получили, что $d\nu_i$ ограничено: $|d\nu_i| < C_1$. % %Поскольку %\[ d+d^*:\;\Lambda^* (M)\otimes L^2_1(M): \; \Lambda^*(M)\otimes L^2(M) %\] %эллиптический и первого порядка, %он фредгольмов, и обратим на образе $d^*$ (проверьте это). %Это дает %\[ %(\nu_i)|^2_{L^2_1} \leq C_2(|d\nu_i|^2 + |d^*\nu_i|^2) = %C_2|d\nu_i|^2< C_1 C_2 %\] %для какой-то константы $C_2$. Значит, %последовательность $\{\nu_i\}$ ограничена, %и можно выбрать в ней слабо сходящуюся %подпоследовательность, в силу теоремы %Банаха-Алаоглу. Пусть $\nu$ - предел %этой подпоследовательности. Тогда $d^{1,1}\nu =\psi$, %значит, образ $d^{1,1}$ замкнут. %\endproof % %\замечание %Рассмотрим невырожденное спаривание %\[ \Lambda^{1,1}(M)\otimes L^2(M)\times % \Lambda^{1,1}(M)\otimes L^2(M)\arrow \C %\] %на потоках, переводящее $\eta_1, \eta_2$ в $\int_M \eta_1\wedge %\eta_2$. При этом спаривании, аннулятором оператора %$\im d^{1,1}$ является $\ker d$, %и наоборот (это доказано в ходе доказательства %теоремы Харви-Лоусона). Действительно, поток, %который зануляется на гладких формах вида %$d^{1,1}(\alpha)$, лежит в $\ker d$, %a поток, который зануляется на гладких, %замкнутых формах, лежит в образе %$d^{1,1}$. С другой стороны, %$\ker d\cap \Lambda^{1,1}(M)\otimes L^2(M)$ %замкнут в $L^2$-топологии, в силу теории %Ходжа, а $\im d^{1,1}$ замкнут в силу %только что доказанной теоремы. %\еза % % % %\следствие %Пусть $M$ - некэлерова поверхность. %Тогда существует ненулевой положительный, %$(1,1)$-поток $\eta$ на $M$, который %является $(1,1)$-частью точного, %$L^2$-интегрируемого. % %\хфилл % %{\бф Доказательство:} Доказательство идентично %доказательству Харви-Лаусона, с той лишь разницей, %что теорему Хана-Банаха применяют к пространствам %с $L^2$-топологией, а не с топологией потоков. % %Пусть $A\cap \Lambda^{1,1}_d(M)=\emptyset$, где %$A$ - строго положительные формы, а $\Lambda^{1,1}_d(M)$ %замкнутые $(1,1)$-формы, с $L^2$-топологией. %Тогда, по теореме Хана-Банаха, %существует ненулевой $L^2$-непрерывный функционал $\xi$, %который зануляется на $\Lambda^{1,1}_d(M)$, %и неположителен на $A$. В силу только %что доказанной теоремы, $-\xi$ лежит %в образе $d^{1,1}$. Этот поток положителен, %потому что он положителен на $A$. \endproof % %\замечание %Положительный поток $\xi$, существующий %в силу предыдущего утверждения, на самом %деле точный. Действительно, если %$\tilde \xi = \xi +\xi^{0,2} + \xi^{2,0}$ %вещественный и точный поток, а $\xi^{0,2}$ и $\xi^{2,0}$ %его $(2,0)$ и $(0,2)$-части, то %\[ %0 = \int_M \tilde \xi \wedge \tilde \xi = \int\xi\wedge \xi %+ 2 \int_M \xi^{2,0}\wedge \xi^{0,2} = \int\xi\wedge \xi %+ 2 \int_M |\xi^{2,0}|^2 \Vol, %\] %а поскольку $\int\xi\wedge \xi$ неотрицательно, %из $0=\int_M |\xi^{2,0}|^2 \Vol$ и $L^2$-интегрируемости %следует, что $\xi^{2,0}=0$. %\еза % % %\следствие %Пусть $M$ -- компактная комплексная поверхность, %а $b_1(M)$ четный. Тогда $M$ кэлерова. % % %\хфилл % %{\бф Доказательство:} Пусть $M$ не кэлерова. %Рассмотрим точный, положительный, ненулевой %поток $\xi$, построенный выше на любой некэлеровой поверхности. %В силу $\6\bar\6$-леммы, доказанной для поверхностей %с четным $b_2$, $\xi = \6\bar\6\psi$ для какого-то %потока $\psi$. Тогда %\[ %0 = \int_M \6\bar\6\psi \wedge \omega = \int_M \xi \wedge \omega, %\] %следовательно $\xi =0$. Противоречие! \endproof