



\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig, russlh}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\newcommand{\6}{\partial}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


% Версия 1.1. Добавил одну задачу.
% Версия 1.2. Немало опечаток найдено и убрано.

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   22.11.2009}



\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2009} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\calo{{\cal O}}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\const{\operatorname{\sf const}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Diff{\operatorname{Diff}}
\def\Pic{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Pos}{\operatorname{{\cal P}os}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\ind}{\operatorname{ind}}
\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}


\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}{Определение}[chapter]
\newtheorem{ukazanie}[opredelenie]{Указание}
\newtheorem{zamechanie}[opredelenie]{Замечание}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\следствие}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf Следствие \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\лемма}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf Упражнение \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}

\def\хфилл{\hfill}
\def\ноиндент{\noindent}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\goth g}}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{4}
\lhead{{\scriptsize  Лекция 5. Выпуклые конуса и 
пространства Монтеля.}}
\chapter{Комплексные поверхности, лекция 5:\\
Выпуклые конусы и пространства \\Монтеля.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Все топологические векторные в этой лекции
пространства предполагаются по умолчанию
хаусдорфовыми. Базовым полем везде 
предполагается $\R$. 

Подробное изложение теории локально выпуклых пространств,
пространств Монтеля, рефлексивности и двойственности
есть в книге Бурбаки "Топологические векторные 
пространства". Изложение этого материала в применении
к потокам и тест-формам  -  Andreotti, Aldo; Kas, Arnold, 
{\em Duality on complex spaces}, Annali della Scuola Normale Superiore 
di Pisa - Classe di Scienze S\'er. 3, 27 no. 2 (1973), p. 187-263.

Если $A\subset V$ подмножество векторного пространства,
$\lambda\in \R$ число, $\lambda A$ - множество векторов
вида $\lambda a$, где $a\in A$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Ограниченные подмножества}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $V\stackrel \phi \arrow W$ - линейное отображение
векторных пространств, а $\nu$ - норма на $W$.
Функция $\phi\circ\nu:\; V \arrow \R^{\geq 0}$
удовлетворяет всем аксиомам нормы, кроме
строгой положительности (она может принимать 
значение 0). Такая функция называется
{\бф полунормой}. Множество 
\[
B_{\nu, \epsilon}(a):= \{x\in V | \nu(x-a)<\epsilon\}
\]
называется $\epsilon$-шаром с центром в $a$,
заданным полунормой $\nu$. Легко видеть, что оно выпукло.
\ео

\определение
Пусть $\{\nu_\alpha\}$ -- набор полунорм
на векторном пространстве $V$. Определим структуру
топологического векторного пространства на $V$, 
где базой окрестностей нуля будут конечные пересечения вида
\[
\bigcap_i B_{\nu_i, \epsilon}(0).
\]
Такая топология называется
{\бф заданной набором полунорм}.
\ео

\упражнение
Докажите, что топология, заданная набором полунорм,
есть самая грубая топология, в которой эти
полунормы непрерывны.

\упражнение
Докажите, что топология на локально выпуклом
топологическом пространстве всегда может быть
задана набором полунорм.


\определение
Пусть $K\subset V$ - подмножество топологического
векторного пространства. Мы говорим, что $K$ 
{\бф ограниченно}, если для каждой окрестности
$U\ni 0$ найдется $\lambda>0$ такая, что
$\lambda K \subset U$
\ео


\упражнение
Пусть $V$ векторное пространство с нормой. 
Докажите, что подмножество $K\subset V$ ограниченно
тогда и только тогда, когда норма (как функция
на $V$) ограниченна на $K \subset V$

\упражнение
Пусть $V$ - локально выпуклое топологическое
векторное пространство, с топологией,
заданной набором полунорм $\{\nu_\alpha\}$,
а $A\subset V$ - любое подмножество. Докажите, что
$A$ ограниченно тогда и только тогда, когда все
$\nu_\alpha$ ограниченны на $A$.

\замечание
Ограниченность множеств в топологических векторных
пространствах часто называют "ограниченность
по фон Нойману". Ее определили фон Нойман
и Колмогоров в 1935.
\еза


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Бочечные пространства и теорема Банаха-Штейнгауза}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Подмножество $A\subset V$ топологического
векторного пространства называется {\бф абсорбирующим},
если $\bigcup_{\lambda\in \R}\lambda A=V$.
Подмножество $A\subset V$ называется
{\бф бочкой} (barrel), если оно абсорбирующее,
центрально-симметричное и замкнутое.
\ео

\пример
Открытое, выпуклое множество $U$, содержащее 0, является
абсорбирующим. В самом деле, если 
$\bigcup_{\lambda\in \R}\lambda U$ не содержит
$x\in V$, то сходящаяся к нулю 
последовательность $\{\frac{1}{2^n} x\}$ не пересекается с
$U$. Это невозможно, поскольку $U$ открыто.
Поэтому замыкание $A$ любого открытого, центрально-симметричного
выпуклого множества это бочка. 


\определение
{\bf Бочечное пространство}  (barreled space) - это локально выпуклое
пространство $V$, такое, что любая бочка $A\subset V$
содержит открытую окрестность нуля.
\ео

\определение
Пространство Бэра - это такое топологическое
пространство, которое нельзя разбить в счетное
объединение нигде не плотных подмножеств.
\ео

\замечание
Если $V$ -- локально выпуклое топологическое
векторное пространство, которое является
пространством Бэра, то $V$ -- бочечное.
Действительно, пусть $A\subset V$ -- бочка. 
Тогда $V = \bigcup_{\lambda=2^n}\lambda A$,
значит, $V$ содержит внутреннюю точку $x$.
Пусть $U\ni x$ соответствующая окрестность.
Выпуклая оболочка множества $U \cup -U$ открыта и
содержит 0 (докажите это).
\еза

\замечание
Пространства Фреше (и, следовательно, Банаха)
яв\-ляются бочечными. Действительно, каждое
полное, непустое метрическое пространство
является пространством Бэра (теорема Бэра 
о категории; докажите ее).
\еза

\замечание 
Существует нормированные векторные про\-с\-т\-ран\-с\-т\-ва,
которые не являются бочечными.
\еза

\упражнение
Докажите, что счетное объединение бочечных пространств -
бочечное. Докажите, что факторпространство бочечного
пространства - бочечное. 

\определение
Пусть $V$ - топологическое векторное про\-с\-т\-ран\-с\-тво,
а $V^*$ - пространство непрерывных функционалов на $V$.
{\бф Слабой топологией} на пространстве $V^*$ называется
самая грубая топология, в которой непрерывны отображения
$\langle \cdot, x\rangle \arrow \R$, для каждого
$x\in V$. {\бф Сильной топологией} на $V^*$ называется
топология униформной сходимости на ограниченных
подмножествах.
\ео


\упражнение
Пусть $V$ - норменное топологическое векторное пространство.
На $V^*$ определена обычная норма
\[ 
  \|\alpha\| = \sup_{v\in B_1(0)}|\alpha(v)|
\]
(супремум $|\alpha|$ на единичном шаре). Докажите, что
соответствующая топология на $V^*$ совпадает с сильной
топологией, определенной выше.


\замечание
В банаховом пространстве $V$ справедлива
теорема Банаха-Штейнгауза: если некоторый
набор функционалов $T\subset V^*$ удовлетворяет
неравенству $\sup_{\lambda\in T} |\lambda(x)|<\infty$
для любой точки $x\in V$,\footnote{Другими словами, набор $T$
ограничен в каждой точке $x\in V$.} то набор $T$
ограничен на единичном шаре: $\sup_{\lambda\in T}
\|\lambda\|<\infty$. Действительно, пусть 
$A_t\subset V$ - множество всех
$x\in V$ таких, что $\sup_{\lambda\in T} |\lambda(x)|\leq t$.
Легко видеть, что $A_t$ - бочка
(проверьте), и в силу того, что $V$ бочечное, 
$A_t$ содержит какую-то окрестность нуля.
Значит, $\sup_{\lambda\in T} |\lambda(x)|$ ограниченно
на каком-то шаре.
\еза


Бочечные пространства были изобретены Бурбаки
в 1950-м году, с целью обобщения теоремы
Банаха-Штейнгауза, которая была обобщена
следующим способом.

\теорема
Пусть $V$ - бочечное пространство, 
а $T\subset V^*$ - набор функционалов,
ограниченный в каждой точке $x\in V$.
Тогда $Т$ ограничен на каждом ограниченном
множестве $K\subset V$:
\[ 
   \sup_{x\in K, \lambda\in T}|\lambda(x)|< \infty.
\]
{\bf Доказательство:} 
Рассмотрим множество 
$A_t\subset V$ - множество всех
$x\in V$ таких, что $\sup_{\lambda\in T} |\lambda(x)|\leq t$.
Это бочка, значит, она содержит окрестность $U\ni 0$.
Поскольку $K$ ограниченно, $\lambda K \subset U$.
Поэтому 
\[ 
   \sup_{x\in K, \lambda\in T}|\lambda(x)|< t\lambda^{-1}.
\]
\endproof

\определение
Определим {\bf вариацию} функции $f$ на множестве $S$
как $\sup_{S}f-\inf_{S}f$.
Семейство $T$ функций на топологическом пространстве $M$
называется {\бф равномерно непрерывным},
если для каждого $\epsilon>0$ и $a\in M$
найдется окрестность $U\ni a$,
на которой вариация всех элементов
$T$ ограничена $\epsilon$.
\ео

\замечание
Из теоремы Банаха-Штейнгауза
вытекает следующее полезное утверждение.
Пусть  $T\subset V^*$ семейство 
функционалов, ограниченных на каждой точке. 
Тогда $T$ равномерно непрерывно.
\еза

\замечание
Пусть $\{x_i\}$ поточечно сходящаяся,
равномерно непрерывная последовательность
функций на топологическом пространстве.
Тогда $\{x_i\}$ сходится униформно на компактах.
\еза

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\замечание\label{_B_S_ravnome_na_ko_Zamechanie_}
Объединяя два предыдущих замечания,
мы получаем, что последовательность
ограниченных функционалов на бочечном
пространстве, сходящаяся в слабой топологии
к $x$, сходится к $x$ равномерно на компактах
\еза

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Рефлексивные пространства}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
Пусть $V$ -- топологическое векторное пространство,
а $V^*$ - двойственное пространство со слабой топологией.
Легко видеть, что топология на $V^*$ задана системой 
полунорм $\{\nu_x\}$, параметризованной точками $x\in V$,
вида $\nu_x(\lambda) = |\lambda(x)|$ (проверьте это).
Поэтому $V^*$ локально выпукло. 
\еза

\упражнение
Пусть $V$ - топологическое векторное пространство с
топологией, заданной системой полунорм $\{\nu_\alpha\}$.
Докажите, что линейная форма $\lambda$ на $V$
непрерывна тогда и только тогда, когда
\[
 |\lambda|\leq \sum_i C_i\nu_i
\]
всюду на $V$, где $\{\nu_i\}$ конечный набор 
в $\{\nu_\alpha\}$, a $C_i$ - положительные константы.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\лемма\label{_vtoroe_dvo_Lemma_}
Пусть $V$ - топологическое векторное пространство.
Тогда естественное вложение $V\arrow V^{**}$, где двойственное
берется со слабой топологией,
является биекцией.

\хфилл

{\бф Доказательство:} В силу предыдущего замечания,
топология на $V^*$ задана полунормами вида $\nu_x(\lambda) = |\lambda(x)|$.
Поэтому непрерывность линейной формы $\zeta$ на $V^*$ значит,
что эта форма допускает оценку вида
\[
 |\zeta|\leq \sum_i |\nu_{x_i}|,
\]
для какого-то конечного набора точек $x_1, ..., x_n\in V$.
Поэтому $\zeta$ зануляется на пространстве 
$W:=\langle x_1, x_2, ...\rangle^\bot\subset V^*$,
которое аннигилирует точки $x_1, ..., x_n$.
Очевидно, $V^*/W=\langle x_1, x_2, ...\rangle^*$.
Поскольку конечномерные пространства удовлетворяют
$L^{**}=L$, из этого следует, естественное отображение
$\langle x_1, x_2, ...\rangle\stackrel\Psi\arrow (V^*/W)^*$
является изоморфизмом. Значит, $\zeta\in\im\Psi$.
\endproof


\определение
Пространства $V$ и $V'$ {\bf находятся в двойственности}, 
если заданно невырожденное спаривание $B:\; V\times V' \arrow \R$.
\ео

\замечание
Это спаривание не предполагается а приори непрерывным.
Например, спаривание между $V$ и $V^*$ с сильной топологией
не всегда непрерывно как отображение $V\times V^* \arrow \R$.
\еза

\определение
Пусть $V, V'$ находятся в двойственности.
{\бф Полярой} (polar set) подмножества $K\subset V$
называется множество всех $\lambda\in V'$ 
таких, что $|\lambda|\restrict K\leq 1$.
\ео

\определение
{\бф Окрестность} точки $x$ в топологическом
про\-с\-т\-ран\-стве есть подмножество, в котором
$x$ внутренняя точка.
{\бф Фундаментальная система окрестностей}
точки в топологическом прост\-ран\-с\-тве - это
такой набор окрестностей $\{A_\alpha\}$, что 
любая окрестность $x$ содержит
какое-то из $A_\alpha$.
\ео

\пример
Поскольку замыкание центральносимметричной,
выпук\-лой окрестности нуля является бочкой
(см. выше), бочки образуют
фундаментальную систему окрестностей
в бочечном пространстве. Обратное тоже верно:
пространство является бочечным, если
бочки образуют фундаментальную 
систему окрестностей.


\замечание
Если $V$ - бочечное пространство,
а $V^*$ - сопряженное к нему, наделенное
сильной топологией, то поляры ограниченных
центрально-симметричных подмножеств в $V^*$ являются бочками в $V$,
а поляры бочек в $V^*$ - ограниченными подмножествами в $V$ (проверьте это). 
\еза


\замечание
Фундаментальная система окрестностей 0 в $V^{**}$,
где двойственные пространства взяты с сильной топологией, задается
полярами ограниченных подмножеств в $V^*$.
В силу предыдущего замечания, прообраз бочки при отображении
$V \arrow V^{**}$ - это бочка. 
Поскольку бочки образуют
фундаментальную систему окрестностей
в бочечном пространстве, отображение
$V \arrow V^{**}$ непрерывно для любого
бочечного пространства $V$.
\еза

\определение
Локально выпуклое топологическое пространство
называется {\бф рефлексивным}, если естественное
отображение $V \arrow V^{**}$ (с сильной топологией 
оба раза) является изоморфизмом.
\ео

\замечание
Пусть $V$ - пространство с нормой.
Пространство $V^*$ является, по построению,
полным относительно естественной нормы на $V^*$
(докажите это). Поэтому все рефлексивные
норменные пространства банаховы.
\еза

\замечание
Банаховы пространства не всегда рефлексивны.
Вложение $V \arrow V^{**}$ является изометрией
(выведите это из теоремы Хана-Банаха), но
оно может не быть наложением. 
\еза

\задача
Докажите, что банаховы пополнения пространства 
непрерывных функций на прямой с $L^1$ и $L^\infty$-нормой
не рефлексивны.
\ез

\замечание
Если $V$ рефлексивно, естественное
спаривание $V\times V^* \arrow \R$
(с сильной топологией на $V^*$)
непрерывно. В самом деле, оно непрерывно
по $V^*$ (по построению), а непрерывность
по $V$ следует из того, что 
аналогичное спаривание $V^*\times V^{**} \arrow \R$
непрерывно по $V^{**}$.
\еза

\определение
Локально выпуклое 
пространство называется {\бф полурефлексивным},
если естественное
спаривание $V\times V^* \arrow \R$
(с сильной топологией на $V^*$)
непрерывно.
\ео

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\замечание\label{_polurefle_bije_Zamechanie_}
Полурефлексивность $V$ равносильна тому, что
вложение $V \arrow V^{**}$ -- биекция.
Действительно, каждый функционал на $V^*$,
непрерывный в слабой топологии, принадлежит $V$
(Лемма \ref{_vtoroe_dvo_Lemma_}). 
\еза

\замечание
Легко видеть, что 
полурефлексивное пространство $V$
рефлексивно тогда и только тогда, когда
исходная топология на $V$ совпадает с топологией
равномерной сходимости на ограниченных
подмножествах в $V^*$ с сильной топологией.
\еза


\замечание\label{_polurefle_dvo_boche_Zamechanie_}
Если $V$ полурефлексивно, то
поляры ограниченных подмножеств в $V$ 
замкнуты в $V^*$ с сильной топологией, 
потому что спаривание $V\times V^* \arrow \R$ непрерывно.
Поскольку они абсорбирующие (проверьте),
они являются бочками.
По определению сильной топологии, эти
поляры задают фундаментальную систему
окрестностей 0 в $V^*$. 
Следовательно, $V^*$ с сильной топологией 
бочечное для любого полурефлексивного
пространства $V$.
\еза

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Пространства Монтеля}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
{\бф Предкомпактным подмножеством} называется
подмножество топологического 
пространства, замыкание которого компактно.
\ео

\определение
{\бф Пространство Монтеля} это бочечное
топологическое векторное пространство $V$, все ограниченные
подмножества которого предкомпактны.
\ео

\задача
Пусть $V$ пространство Фреше с топологией, заданной
набором норм $\nu_1\leq \nu_2 \leq \nu_3\leq ...$
причем тождественное отображение 
$(V, \nu_i)\arrow (V, \nu_{i-1})$
компактно. Докажите, что $V$ -- пространство Монтеля.
\ез

\указание
Тождественное отображение 
\[ (V, \nu_2, \nu_3, ...) \arrow (V, \nu_1, \nu_2, \nu_3, ...)\]
является компактным, потому что $(V, \nu_i)\arrow (V, \nu_{i-1})$
компактно. С другой стороны, это отображение - гомеоморфизм,
потому что $\nu_1\leq \nu_2$.  

\пример
Тождественное отображение из пространства функций
с нормой $C^i$ в пространство функций с нормой $C^{i-1}$
компактно (докажите это). Воспользовавшись предыдущей
задачей, выведите из этого, что пространство Фреше 
тест-функций на многообразии является монтелевым.

\замечание
В бесконечномерном норменном пространстве
единичный шар не может быть компактен
("Теорема Рисса"; докажите это).
Поэтому бесконечномерное пространство Монтеля
не может быть норменным.
\еза

\пример
Пусть ${\cal F}$ - пространство голоморфных
функций на $\C$, с топологией
равномерной сходимости на компактах. Тогда
${\cal F}$ - пространство Монтеля 
(это утверждение называется теорема Монтеля).
Действительно, если $f$ голоморфная функция
в диске, непрерывная на его границе, то то все производные 
$f$ в каждой точке внутренности диска ограничены 
значениями соответствующих интегралов
Коши, поэтому все функции на диске, непрерывные
и ограниченные на его границе, равномерно 
непрерывны внутри диска (докажите это).
Поэтому предкомпактность ограниченных
подмножеств в ${\cal F}$
следует из теоремы Арцела-Асколи
(докажите).

\замечание
Поль Монтель (1876-1975),
французский математик, был студентом
Лебега и Бореля; его учениками были
Анри Картан и Жан Дьедонне.
\еза

\упражнение
Обобщите теорему Монтеля, доказав,
что пространство голоморфных функций
на комплексном многообразии с топологией
равномерной сходимости на компактах
является пространством Монтеля

\упражнение
Докажите, что пространство гармонических
функций на римановом многообразии с топологией
равномерной сходимости на компактах
является пространством Монтеля
 
\замечание
Пусть $V$ - монтелевское пространство.
Поскольку $V$ бочечное, слабая топология
на $V^*$ совпадает с топологией
униформной сходимости на компактах 
(Замечание \ref{_B_S_ravnome_na_ko_Zamechanie_}).
Но все ограниченные множества предкомпактны, значит
слабая топология на $V^*$ совпадает с 
топологией униформной сходимости на
ограниченных множествах.
Значит, сильная топология на $V^*$
эквивалентна слабой (проверьте это).
\еза

\замечание
Из этого сразу следует, что 
монтелевское пространство $V$ 
полурефлексивно. Действительно,
естественное спаривание $V\times V^* \arrow \R$
(со слабой топологией) непрерывно, по определению
слабой топологии.
\еза

\замечание
Полурефлексивность $V$ равносильна тому, что
естественное вложение $V\arrow V^{**}$ 
биективно (Замечание \ref{_polurefle_bije_Zamechanie_}).
Поскольку непрерывное биективное отображение
из компакта - гомеоморфизм (проверьте),
из этого следует, что биекция $V\stackrel\Psi\arrow V^{**}$ 
гомеоморфизм на ограниченных подмножествах $V$.
Поэтому $\Psi$ переводит сходяшиеся последовательности
в сходящиеся, а значит, непрерывно (проверьте это).
\еза

\утверждение
Пусть $V$ - пространство Монтеля,
$V^*$ его двойственное. Тогда $V^*$ -- тоже пространство
Монтеля.

\хфилл

{\бф Доказательство:} 
Поскольку $V$ полурефлексивно, $V^*$ с сильной топологией бочечное
(Замечание \ref{_polurefle_dvo_boche_Zamechanie_}).
По теореме Банаха-Штейнгауза, любое ограниченное подмножество в $V^*$ 
равномерно непрерывно. Ограниченные функции на $V$ 
образуют компактное множество в топологии
поточечной сходимости, по теореме Тихонова.
Из равномерной непрерывности следует, что
предел непрерывных функционалов непрерывен,
то есть непрерывные линейные функционалы замкнуты
в тихоновской топологии.\footnote{Таким же
образом доказывается компактность шара в
$V^*$ в слабой топологии для любого банахова
пространства $V$. Это утверждение называется
"теорема Банаха-Алаоглу о компактности ограниченных множеств 
в $*$-слабой топологии".} Поэтому 
любое ограниченное подмножество в $V^*$
предкомпактно. \endproof 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Выпуклые конусы}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Напомним, что {\бф выпуклым конусом} в топологическом векторном
пространстве $W$ называется подмножество $C\subset W$,
которое переводится в себя гомотетиями с положительным
коэффициентом, и замкнуто относительно сложения.
Конус называется {\бф затупленным} (salient),
если он не содержит 0. В дальнейшем все
конуса предполагаются по умолчанию затупленными.

\определение
{\бф Двойственный конус} к конусу $C$ это множество $C^{*}$ всех форм
$\lambda \in W^*$ таких, что $\lambda\restrict {C} >0$.
\ео 

\замечание
Если $A\subset B$ -- два выпуклых конуса, то $B^*\supset A^*$
(проверьте это).
\еза

\замечание
При естественном отображении
$W\arrow W^{**}$, выпуклый конус $C$
вкладывается в $C^{**}$ (проверьте). 
\еза

\замечание
На этом языке теорему Хана-Банаха можно переписать так.
Пусть $C$ - открытый выпуклый конус в топологическом
векторном пространстве, не пересекающий
замкнутого линейного подпространства $A\subset W$.
Тогда в $C^*$ есть вектор $\lambda$, зануляющийся на $A$.
\еза

\замечание
Применив это утверждение к одномерным
подпространствам, получим, что для любого
вектора $w\in W$, не принадлежащего открытому конусу
найдется $\lambda\in C^*$, такой, что $\lambda(w)<0$.
\еза

\замечание
Из этого замечания сразу вытекает следующее наблюдение.
Пусть $W$ рефлексивное пространство, а $C\subset W$ --
открытый выпуклый конус. Тогда $C^{**}$ совпадает с $C$
(проверьте это).
\еза

\замечание
Двойственный конус к открытому выпуклому
конусу не всегда открыт, даже в конечномерной ситуации.
Примером конуса является полупространство, заданное
$\lambda(x)>0$; двойственный к этому конусу конус есть 
луч, порожденный $\lambda$.
\еза


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Выпуклые конусы в пространствах потоков и тест-форм}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Пусть $(M, \omega)$ --
комплексное эрмитово $n$-мерное многообразие.

\замечание
Конус строго положительных $(1,1)$-форм открыт\\ (проверьте это),
а двойственный к нему конус ненулевых положительных 
$(n-1,n-1)$-потоков не открыт.
\еза

\задача
Пусть $\alpha\in D^{n-1,n-1}(M)$ - положительный
поток. Докажите, что в любой окрестности
$\alpha$ найдутся потоки, которые не положительны.
\ез

\замечание Двойственный конус к конусу 
положительных потоков - конус
строго положительных форм. Это следует
из теоремы Хана-Банаха (см. выше).
\еза

Для любого положительного потока $\Xi\in D^{n-1,n-1}(M)$ 
с $\int_M \Xi \wedge \omega \leq C$, и любой
формы $\gamma\in \Lambda^{1,1}(M)$ с $\sup_M |\gamma|< C'$,
имеем
\[
\int_M \Xi \wedge\gamma\leq C C'.
\]
Поэтому положительные потоки, удовлетворяющие
неравенству $\int_M \Xi \wedge \omega \leq C$,
образуют ограниченное, а следовательно - компактное
множество. Это свойство называется {\бф слабой
компактностью для положительных потоков}.

\замечание
Выражение "слабая компактность" не очень аккуратно,
потому что на потоках слабая топология совпадает с сильной.
В данном случае "слабая" указывает на теорему
Банаха-Алаоглу о $*$-слабой компактности ограниченных
подмножеств в слабой топологии.
\еза

\определение
Пусть $A\subset D^{n-1,n-1}(M)$ выпуклый конус. такой,
что каждый $\Theta \in A$ удовлетворяет
\[
\int_M \Theta\wedge \omega >0.
\] 
Зафиксируем выпуклую, открытую окрестность нуля в потоках,
 $B\subset D^{n-1,n-1}(M)$, такую, что 
\[
\forall \Xi\in B, \ \ \left|\int_M \Xi\wedge \omega\right| < 1.
\]
Такая окрестность существует, потому что
функционал $\Xi\arrow \int_M \Xi\wedge \omega$
непрерывен. Зафиксируем $0< \epsilon< 1$.
Рассмотрим подмножество $A_\epsilon\subset D^{n-1,n-1}(M)$
состоящее из элементов вида $a+b$, где
\[ a\in A, b\in \epsilon t B \text{ а } t:= \int_M a\wedge \omega.
\] Мы называем $A_\epsilon$
{\бф $\epsilon$-окрестностью} конуса $A$.
\ео

\упражнение
Докажите, что $A_\epsilon$ - открытый, выпуклый конус,
причем 
\[ \forall\Xi\in A_\epsilon, \ \ \int_M \Xi\wedge \omega> 0.
\]
\еу

\замечание
Если $A_\epsilon$ содержит конус положительных
потоков, $A_\epsilon^*$ содержится в конусе
строго положительных форм. Поскольку $A_\epsilon$
открыт, $A_\epsilon^{**}=A_\epsilon$,
а значит, конус $A_\epsilon^*$ непуст.
\еза




\setcounter{zadacha}{0}



\hfill

\noindent
{\bf \Large Задачи.}

\задача
Докажите, что счетное объединение возрастающих полурефлексивных пространств
полурефлексивно.
\ез

\задача
Докажите, что прямая сумма и декартово произведение любого 
количества монтелевых пространств - монтелевы.
\ез

\определение
Напомню, что топологическое векторное
пространство называется {\бф пространством Фреше},
если оно допускает полную, трансляционно-инвариантную
метрику.
\ео

\задача
Докажите, что метризуемое пространство Монтеля
является пространством Фреше. 
\ез

\задача
Пусть $V$ - бесконечномерное пространство Фреше.
Может ли $V$ быть локально компактным?
\ез

\определение
Пучок ${\cal F}$ топологических векторных
пространств на локально связном, локально
компактном пространстве $M$ называется 
{\бф пучком Фреше-Монтеля}, если
для каждого открытого множества $U\subset M$, 
$\Gamma(U, {\cal F})$ - пространство Фреше,
причем ограничение \[ \Gamma(U, {\cal F})\arrow \Gamma(U', {\cal F})\]
является компактным оператором, если замыкание $U'$ в $U$ 
компактно.\footnote{Это определение введено Гротендиком 
в 1957-м году.}
\ео

\задача
Докажите, что пучок сечений голоморфного расслоения
с топологией равномерной сходимости на компактах является
пучком Фреше-Монтеля.
\ез

\задача[*]
Пусть $D$ - эллиптический оператор на многообразии $M$.
Докажите, что множество функций $\psi\in\ker D$ с топологией равномерной 
сходимости на компактах является
пучком Фреше-Монтеля.
\ез

\определение
Пучок ${\cal F}$  абелевых групп на топологическом пространстве
называется {\бф вычислимым}, если для каждой окрестности
$U\ni x$, и для каждого $i>0$ есть открытое подмножество 
$V\ni x$ такое, что отображение ограничения 
$H^i(U,{\cal F})\arrow H^i(V,{\cal F})$ равно нулю.
\ео

\задача
Докажите, что пучок вычислим тогда и только тогда,
когда его когомологии можно вычислить как прямой предел
когомологий комплексов Чеха по множеству покрытий,
со структурой фильтрованного множества, определенной 
измельчениями покрытий.
\ез

\задача
Докажите теорему Гротендика:
если ${\cal F}$ -- вычислимый пучок Фреше-Монтеля
на компактном многообразии, то когомологии ${\cal F}$
конечномерны.
\ез

\указание
Пусть $\Psi$ - морфизм комплексов Чеха, соответствующий
измельчению ${\cal U}'$ покрытия ${\cal U}$ пространства 
$M$. Предположим, что все карты покрытия ${\cal U}'$ 
предкомпактны в соответствующих им картах ${\cal U}$.
Тогда $\Psi$ компактен. Выведите из этого, что
тождественный морфизм на пространстве когомологий 
$M$ компактен.
\еу


\замечание
Теорема Гротендика доказывает теорему Картана-Серра,
которая утверждает, что когомологии когерентных
пучков на компактном комплексном многообразии
конечномерны.
\еза


\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\lhead{{\scriptsize  Лекция 6. Кэлеровы потоки и $\6\bar\6$-лемма}}
\chapter{Комплексные поверхности, лекция 6:\\
Кэлеровы потоки и $\6\bar\6$-лемма.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


В этой лекции $(M, \omega)$ --
комплексное эрмитово $n$-мерное многообразие, 
обыкновенно поверхность, а $\omega\in \Lambda^{1,1}(M)$
его эрмитова форма, которая предполагается годушоновой,
то есть удовлетворяющей $dd^c(\omega^{n-1})=0$.
Буквой $d^c:\; \Lambda^p(M) \arrow \Lambda^{p+1}(M)$ 
обозначается скрученный дифференциал 
$d^c:= -I\circ d\circ I$. Легко видеть, что
$dd^c=-2\1 \6\bar\6$.


Изложенное ниже доказательство кэлеровости
поверхностей с четным $b_2$ принадлежит Ламари
(\cite{_Lamari_}).



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Кэлеровы потоки. Теорема Ламари.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Кэлеров поток на комплексном многообразии $(M,I)$ это
положительный $(1,1)$-поток $\Xi$ такой, что $\Xi> \omega_1$
для какой-то эрмитовой формы $\omega_1$ на $M$.
\ео

\определение
Пространство
\[
H^{1,1}_{BC}(M):= \frac{\ker d\restrict{\Lambda^{1,1}(M)}}{\im dd^c\restrict{C^\infty(M)}}
\]
называется пространством когомологий Ботта-Черна.
\ео

\замечание
Для любого $dd^c$-замкнутого $(n-1,n-1)$-потока $\psi$,
и любой замкнутой $(1,1)$-формы $\alpha$, интеграл
\[
\int_M \alpha\wedge\psi
\]
зависит только от класса когомологий $\alpha$
в $H^{1,1}_{BC}(M)$ (проверьте это). В дальнейшем
мы будем, не оговаривая, писать интегралы вида
$\int_M [\alpha]\wedge\psi$ для классов $[\alpha]\in H^{1,1}_{BC}(M)$.
\еза

\замечание
Легко видеть, что дифференциал де Рама, ограниченный на 
$(0,1)$-формы, определяет отображение 
$d:\; H^1(\calo_M)\arrow H^{1,1}_{BC}(M)$,
что определяет точную последовательность
\[
H^1(\calo_M)\oplus
\overline{H^1(\calo_M)}\stackrel{d\oplus d}\arrow
H^{1,1}_{BC}(M)\arrow H^2(M)\arrow 0
\]
(проверьте это). 
Поэтому группа $H^{1,1}_{BC}(M)$ конечномерна.
\еза

\упражнение
Проверьте, что группа Ботта-Черна когомологий (1,1)-потоков,
определенная таким же образом, как для форм,
изоморфна $H^{1,1}_{BC}(M)$.

\замечание
Из этого сразу следует, что любой 
замкнутый (1,1)-поток когомологичен в $H^{1,1}_{BC}(M)$
гладкой, замкнутой (1,1)-форме.
\еза

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\определение\label{_formy_pozi_na_yadre_dd^c_Opredelenie_}
Определим подмножество $A$ в $\Lambda^{1,1}(M)$
следующим образом: 
$A$ есть множество $(1,1)$-форм $\alpha \in\Lambda^{1,1}(M)$
таких, что для некоторого числа $\epsilon_\alpha>0$,
и любой положительной, $dd^c$-замкнутой $(n-1,n-1)$-формы
$\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$, имеет место
неравенство
\[
\int_M \alpha \wedge \psi > \epsilon_\alpha\int_M \omega \wedge \psi
\]
Легко видеть, что это выпуклый конус (проверьте это).
\ео


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\лемма\label{_posi_cla_pre_posi_Lemma_}
Пусть $\beta$ - (1,1)-форма, лежащая в
конусе $A$, определенном выше. Тогда существует обобщенная
функция (0-поток) $f\in D^0(M)$ такая, что $\beta+ dd^c f$ --
положительный поток.

\hfill

{\бф Доказательство. Шаг 1:} Пусть $\Pos_\epsilon$ - открытый 
конус, полученный в предыдущей лекции
как $\epsilon$-окрестность конуса положительных $(1,1)$-потоков.
Если $\beta + dd^c D^0(M) \cap \Pos_\epsilon =\emptyset$,
по теореме Хана-Банаха найдется 
форма $\rho\in \Pos_\epsilon^*\subset \Lambda^{n-1,n-1}(M)$ 
такая, что $\int_M (\beta + dd^c f)\wedge \rho=0$,
для любой обобщенной функции $f\in D^0(M)$.
Из этого условия сразу следует, что $dd^c\rho=0$
(проверьте это), а из того, что $\Pos_\epsilon^*$
содержится в положительном конусе - что $\rho$
положительна. Мы получили, что
$\int_M \beta \wedge \rho=0$ для
положительной, $dd^c$-замкнутой формы $\rho$ --
противоречие! Значит, 
$\beta + dd^c D^0(M) \cap \Pos_\epsilon\neq \emptyset$
для любого $1>\epsilon >0$. 


{\bf Шаг 2:} Мы получили, что 
для каждой окрестности нуля $B$ в
(1,1)-потоках, при условии
\[
\forall \Xi\in B, \ \ \left|\int_M \Xi\wedge \omega^{n-1}\right| < 1.
\]
найдется поток вида
\[
\beta + dd^c f= a+b,
\]
где $a$ положительный поток, а $b\in \epsilon B$.
Поскольку 
\[ 
  \int_M a\wedge \omega^{n-1} < \int_M \beta\wedge \omega^{n-1}+\epsilon,
\]
множество $Y_{\epsilon B}$ таких $a$ предкомпактно. 
Поэтому существует поток вида $\beta + dd^c f$,
который принадлежит замыканию $Y_{\epsilon B}$
для всех $B$. Этот поток принадлежит замыканиям
всех эпсилон-окрестностей положительного конуса;
нетрудно видеть, что замыкание $\epsilon$-окрестности
содержится в $2\epsilon$-окрестности, значит
$\beta + dd^c f$ содержится во всех $\epsilon$-окрестностях.

{\bf Шаг 3:} Поскольку пространство потоков отделимо,
а положительный конус в объединении с нулем замкнут,
пересечение всех $\epsilon$-\-ок\-рест\-нос\-тей положительного
конуса это положительный конус в объединении с нулем.
Значит, $\beta + dd^c f$ положительно либо 0. Оно не 
может быть нулем, потому что 
$\int_M \beta\wedge \omega^{n-1}>0$. \endproof

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\утверждение\label{_nef_BC_class_Utverzhdenie_}
Пусть $М$ компактное комплексное
многообразие, а $[v]\in H^{1,1}_{BC}(M)$ -- класс когомологий.
Тогда следующие утверждения равносильны
\begin{description}
\item[(i)] $[v]$ представим кэлеровым потоком

\item[(ii)] $[v]$ удовлетворяет следующему
неравенству\footnote{Неравенство \eqref{_posi_on_dd^c_Equation_}
означает, что любая гладкая форма, представляющая
$[v]$, лежит в конусе $A$, определенном выше.}
\begin{equation}\label{_posi_on_dd^c_Equation_}
\int_M [v] \wedge \psi > \epsilon\int_M \omega \wedge \psi
\end{equation}
для некоторого числа $\epsilon>0$,
и любой положительной, $dd^c$-\-зам\-к\-ну\-той $(n-1,n-1)$-формы
$\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$.
\end{description}

{\bf Доказательство:} 
Пусть $v$ -- кэлеров поток, $v> \epsilon \omega$,
а $\alpha\in \Lambda^{1,1}(M)$ - любая гладкая форма в
том же классе когомологий $[v]\in H^{1,1}_{BC}(M)$.
Тогда
\[
\int_M \alpha \wedge \psi > \epsilon \int_M \omega \wedge \psi,
\]
для каждой положительной формы $\psi >0$.
С другой стороны, $\int_M v \wedge \psi=\int_M \alpha \wedge \psi$,
если $\psi$ $dd^c$-замкнута, потому что $v-\alpha \in \im dd^c$
(проверьте). 

Пусть, наоборот, $[v]$ удовлетворяет неравенству
\eqref{_posi_on_dd^c_Equation_}, а $\alpha$ - гладкая
форма, представляющая $[v]$. 
Применив Лемму \ref{_posi_cla_pre_posi_Lemma_} к 
$\beta := \alpha-{\frac 1 2}\epsilon \omega$,
мы находим положительный поток вида
$\alpha-{\frac 1 2}\epsilon \omega+dd^c f$.
Тогда поток $\alpha+dd^c f$ является кэлеровым.
\endproof


\хфилл

Обозначим $d^{1,1}:\; D^{2n-3} (M) \arrow D^{n-1,n-1}(M)$
оператор, который ставит в соответствие потоку $\Theta$
$(n-1,n-1)$-часть его дифференциала.
При доказательстве теоремы Харви-Лоусона,
мы пользовались тем, что аннулятор
$\im d^{1,1}$ это $\ker d\restrict{\Lambda^{1,1}(M)}$.
В силу рефлексивности, $\im d^{1,1}$ это аннулятор
$\ker d\restrict{\Lambda^{1,1}(M)}$, и поэтому
 $\im d^{1,1}$ замкнут в пространстве потоков.


\определение
Форма (или поток) $\alpha$ называется {\бф плюригармонической},
если $dd^c \alpha=0$.
$(n-1,n-1)$-поток $\Xi$ называется {\бф неф-\-плю\-ри\-гар\-мо\-ни\-чес\-ким,}
если $\Xi$ является пределом последовательности положительных,
$dd^c$-\-замк\-ну\-тых форм.
\ео

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\лемма\label{_nf_pluriha_dual_Lemma_}
Пусть $M$ - компактное, комплексное $n$-мерное
многообразие,  $A$ - конус $(1,1)$-форм, удовлетворяющих
неравенству \eqref{_formy_pozi_na_yadre_dd^c_Opredelenie_},
а $B$ - конус неф-плюригармонических $(n-1,n-1)$-потоков.
Тогда $A^*=B$.

\hfill

{\бф Доказательство:} 
Пусть $K^\circ$ - множество положительных $dd^c$-\-зам\-кну\-тых форм
$\psi\in \Lambda^{n-1,n-1}(M)$,
удовлетворяющих $\int\omega\wedge \psi =1$,
a $K$ - его замыкание в пространстве потоков.
Поскольку $K$ ограниченно, а пространство
потоков монтелевское, $K$ компактно. 
Конус, натянутый на $K$, совпадает с конусом
$B$ неф-плюригармонических потоков.

Пусть $\alpha$ -- (1,1)-форма, которая удовлетворяет
$\int_M \alpha \wedge \psi >0$ для любой $dd^c$-замкнутой,
положительной $\psi$. Тогда $\alpha\restrict K>0$,
а поскольку $K$ компактно, имеем $\alpha \restrict K>\epsilon$.
Значит, $\alpha\in A$ (докажите это). Мы получили, что
$A\subset B^*$.  Из рефлексивности получаем $A^{**}=A$,
что дает $A^*=A^{***}=B^{**}\supset B$. 
Обратное вложение $B\supset A^*$ очевидно, потому что
элементы $B$ получаются как пределы плюригармонических,
положительных форм, а с такими формами $A$ спаривается
положительно.
\endproof
 

\hfill



Напомним, что теорема Харви-Лоусона
утверждает, что некэлерово многообразие 
допускает ненулевой положительный поток,
который лежит в образе $d^{1,1}$. Следующая
теорема, принадлежащая Ламари, дает аналогичный
критерий для кэлеровых потоков. Оказывается
несуществование кэлерова потока влечет наличие
положительного потока, который лежит в образе $d^{1,1}$,
и к тому же неф-плюригармоничен. Доказательство
целиком идентично доказательству 
Харви-Лоусона, но вместо конуса положительных
потоков используется конус $A$, определенный выше.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема\label{_nef_ph_Kaehler_curre_Teorema_}
Пусть $M$ - компактное, комплексное $n$-мерное
многообразие. 
Тогда следующие утверждения равносильны
\begin{description}
\item[(i)] На $M$ существует кэлеров поток.

\item[(ii)] Любой  неф-плюригармоничный $(n-1,n-1)$-поток
$\beta\in \im d^{1,1}$ равен нулю.
\end{description}

{\бф Доказательство. Шаг 1:} Пусть на $M$ существует кэлеров поток
$\Xi$, и неф-плюригармоничный поток $\beta\in \im d^{1,1}$,
являющийся пределом положительных плюригармоничных
форм $\beta= \lim \beta_i$. Обозначим за $[\Xi]$ класс
когомологий $\Xi$ в $H^{1,1}_{BC}(M)$. Поскольку $d\Xi=0$,
а ядро $d$ аннулирует $\im d^{1,1}$, 
$\int_M[\Xi]\wedge \beta=0$ (проверьте это).

{\бф Шаг 2:} В силу Утверждения 
\ref{_nef_BC_class_Utverzhdenie_}, существует 
$\epsilon>0$, такой, что
\[
\int_M[\Xi]\wedge \beta_i \geq \epsilon \int \omega\wedge \beta_i.
\]
Переходя к пределу, получаем
\[
0= \int_M[\Xi]\wedge \beta \geq \epsilon \int \omega\wedge \beta.
\]
Значит, $\int \omega\wedge \beta=0$. Поскольку $\beta$
положительный поток, из этого сразу следует, что
$\beta=0$ (проверьте). Мы доказали, что (i) влечет (ii)

{\бф Шаг 3:} Рассмотрим конус $A$ $(1,1)$-форм, удовлетворяющих
неравенству \eqref{_formy_pozi_na_yadre_dd^c_Opredelenie_}.
Это выпуклый, открытый конус. В силу Утверждения 
\ref{_nef_BC_class_Utverzhdenie_}, $A\cap \ker d\neq 0$
равносильно существованию кэлерова потока. Если на $M$
не существует кэлерова потока, из
теоремы Хана-Банаха получаем, что
существует $(n-1,n-1)$-поток $\Theta\in \im d^{1,1}$,
который положителен на $A$. В силу Леммы \ref{_nf_pluriha_dual_Lemma_},
это значит, что $\Theta$ - неф-плюригармонический поток.
\endproof




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Неф-плюригармонические потоки\\ на поверхности и $dd^c$-лемма}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



Напомним, что $dd^c$-лемма для (1,1)-форм утверждает,
что любая точная $(1,1)$-форма лежит в образе $dd^c$.
Иначе говоря, $dd^c$-лемма говорит, что естественное
отображение $H^{1,1}_{BC}(M) \arrow H^2(M)$
является вложением. На лекции 4 было доказано,
что для поверхности $dd^c$-лемма равносильна
четности $b_1(М)$. 


Переходя к двойственному пространству, мы получаем,
что 
\[ 
  H^{1,1}_{BC}(M)^* \cong 
\frac{\ker dd^c\restrict{D^{n-1,n-1}(M)}}{d^{1,1}(D^{2n-3}(M))},
\]
где $D$ обозначает потоки (докажите это).
Если верна $dd^c$-лемма, инъективность 
$H^{1,1}_{BC}(M) \arrow H^2(M)$ дает
сюрьективность двойственного отображения
\[
H^{2n-2}(М) \arrow 
\frac{\ker dd^c\restrict{D^{n-1,n-1}(M)}}{d^{1,1}(D^{2n-3}(M))}.
\]
Мы получили следующее

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\следствие\label{_dd^c_dual_Sledstvie_}
Пусть $\Xi$ - $dd^c$-замкнутый $(n-1,n-1)$-поток на
компактном $n$-мерном комплексном 
многообразии. Предположим, что $(1,1)$-формах на $M$ справедлива 
$dd^c$-лемма. Тогда существует $2n-3$-поток $\zeta\in D^{2n-3}(M)$
такой, что $\Xi- d^{1,1}\zeta$ замкнуто. \endproof

\замечание
Если последовательность классов когомологий
$\nu_i \in H^{1,1}_{BC}(M)^*$ сходится к нулю,
можно выбрать гладкие формы в этих классах,
которые будут сходиться к нулю в $C^0$-топологии
(или даже в топологии тест-форм; докажите это).
Поэтому на многообразии с $dd^c$-леммой, каждый
неф-плюригармонический, $d^{1,1}$-замкнутый
$(n-1,n-1)$-поток $\Xi$ можно получить как 
предел положительных форм
\[
\Xi= \lim_i \Xi_i, \ \  \Xi_i = a_i + b_i
\]
где $b_i$ - последовательность гладких,
замкнутых $(n-1,n-1)$-форм, сходящихся к нулю в
$C^0$-топологии, а $a_i\in \im d^{1,1}$.
\еза


Пусть $M$ комплексная поверхность с четным
$b_1$ (это равносильно $dd^c$-лемме), а $\Xi$ --
неф-плюригармонический, $d^{1,1}$-замкнутый
$(1,1)$-поток. Тогда $\Xi$ может быть получен
как предел положительных $(1,1)$-форм, $\Xi= \lim_i\Xi_i$,
причем
\[
\Xi_i = b_i + d^{1,1}(\nu_i)
\]
а $b_i$ - последовательность гладких,
замкнутых $(1,1)$-форм, сходящихся к нулю в
$C^0$-топологии. Разложив $\Xi\wedge\Xi$
по типам, получаем:
\[
0\leq \int_M \Xi_i\wedge \Xi_i = 
\int_M (b_i + d\nu_i)\wedge (b_i + d\nu_i) -  
2\int_M \6(\nu_i^{1,0}) \wedge\bar\6(\nu_i^{0,1}).
\]
Поскольку 
$\int_M  (b_i + d\nu_i)\wedge (b_i + d\nu_i)=\int_M b_i\wedge b_i$,
из этого следует
\[
\int_M |\6(\nu_i^{1,0})|^2 \omega^2 \leq \int_M b_i\wedge b_i.
\]
Значит, $\6(\nu_i^{1,0})$ сходится к нулю в $L^2$-норме.
Поскольку $L^2$-норма на компакте сильнее $L^1$-нормы,
которая, в свою очередь, сильнее топологии на потоках (проверьте),
предел $\lim\6(\nu_i^{1,0})$ определен и равен
нулю. Следовательно $\Xi= \lim b_i + d\nu_i= \lim d\nu_i$.
Поскольку пространство точных потоков замкнуто,
из этого следует, что $\Xi$ точен. Мы доказали

\hfill

\следствие
Пусть $M$ комплексная поверхность с четным
$b_1$ (это равносильно $dd^c$-лемме), а $\Xi$ --
неф-плюригармонический, $d^{1,1}$-точный
$(1,1)$-поток. Тогда $\Xi$ точен. \endproof

\хфилл

Применяя $dd^c$-лемму еще раз, выводим из этого,
что $\Xi=dd^cf$, для какой-то обобщенной функции $f\in D^0(M)$.
Получаем из формулы Стокса (проверьте)
\[
\int_M \Xi \wedge \omega= \int_M dd^cf \wedge \omega= 
\int_M f \wedge dd^c\omega=0,
\]
а значит $\Xi=0$. Мы доказали, что поверхность с
четным $b_1$ не допускает ненулевых $d^{1,1}$-точных
неф-плюригармонических потоков. По теореме 
\ref{_nef_ph_Kaehler_curre_Teorema_},
это значит, что на $M$ существует кэлеров поток.


\хфилл

\теорема
Пусть $M$ комплексная поверхность с четным
$b_1$. Тогда на $M$ существует кэлеров поток.
\endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Плюрисубгармонические функции \\и регуляризованный максимум}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $\phi$ - 0-поток (обобщенная функция) на комплексном
многообразии, такая, что $dd^c\phi$ -- положительный $(1,1)$-поток.
Такая функция называется {\бф плюрисубгармонической}
(psh).
\ео

\пример
Пусть $r$ - расстояние до нуля в 
евклидовой метрике на $\C^n$.
Тогда $dd^c r^2$ - обычная кэлерова метрика
ма $\C^n$. В частности, функция $r^2$ 
плюрисубгармонична.

\хфилл


Приведенные ниже результаты сформулированы для
гладких psh-функций, но их можно доказать и для негладких,
сглаживая эти негладкие psh-функции сверткой с подходящим
ядром.

\упражнение
Пусть $\mu:\;\R^n \arrow \R$ гладкая
функция, выпуклая вниз и неубывающая
по всем аргументам, а $\phi_1, ..., \phi_n$
набор гладких плюрисубгармонических функций на $M$.
Докажите, что композиция $\mu(\phi_1, ..., \phi_n)$
плюрисубгармонична.

\указание
Используйте формулу производной композиции
\еу

\определение
Пусть $\mu:\;\R^2 \arrow \R$ гладкая
гладкая функция, выпуклая вниз и неубывающая
по всем аргументам, причем для
$|x-y|\geq\epsilon$, $\mu(x,y)=\max\nolimits(x,y)$, и 
к тому же $\mu(x,y)=\mu(y,x)$ и 
$\mu(y+\alpha,x+\alpha)=\mu(x,y)$
для всех $x,y,\alpha\in \R$.
Такая функция называется
{\бф регуляризованным максимумом},
и обозначается $\max\nolimits_\epsilon(x,y)$
\ео

\упражнение
Докажите, что регуляризованный максимум существует.


\замечание
Из предыдущего упражнения сразу следует, что регуляризованный
максимум $\max\nolimits_\epsilon(\phi,\phi')$ плюрисубгармоничен,
если фун\-кции $\phi$ и $\phi'$ плюрисубгармоничны.
\еза

\замечание
Если $dd^c\phi\geq \epsilon \omega$ и 
$dd^c\phi'\geq \epsilon \omega$, для какой-то кэлеровой
формы $\omega$, то $dd^c\max\nolimits_\epsilon(\phi,\phi')\geq \epsilon \omega$.
Действительно, пусть $\omega= dd^c\psi$ (локально, такой
$\psi$ существует, потому что локально на 
каждом многообразии верна $dd^c$-лемма; докажите ее).
Тогда 
\[ \max\nolimits_\epsilon(\phi-\epsilon\psi,\phi'-\epsilon\psi)=
\max\nolimits_\epsilon(\phi,\phi')-\psi
\]
плюрисубгармонична, значит, 
\[
dd^c\max\nolimits_\epsilon(\phi,\phi') \geq \epsilon dd^c\psi= \epsilon \omega.
\]
\еза

\определение
Функция $\phi$ называется {\бф строго плюрисубгармоничной},
если $dd^c\phi-\epsilon \omega$ положительно для
эрмитовой формы $\omega$ и $\epsilon >0$.
\ео

\упражнение
Выведите из предыдущего замечания,
что регуляризованный максимум строго
psh функций снова строго psh.





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Кэлеровы потоки и регуляризация}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Чтобы закончить доказательство теоремы о том, 
что все поверхности с четным $b_1$ кэлеровы, осталось
убедиться, что из наличия кэлерова потока на поверхности
следует ее кэлеровость. Для этого я прибегну к теореме
Демайи о регуляризации положительных потоков,
которую я оставлю без доказательства. 
Набросок доказательства ее можно усмотреть
в трудах Демайи, например, тут:
\cite{_Demailly:mult_}.

\замечание
Отметим, что для любого набора $\{g_i\}$ голоморфных 
функций, функция $\log\sum_i(|g_i|^2)$ плюрисубгармонична,
 то есть интегрируема, а $(1,1)$-поток $dd^c\log\sum_i(|g_i|^2)$
положителен.
\еза

\определение
Пусть $T$ - замкнутый (1,1)-поток, заданный
как $T= dd^c \psi$, где $\psi$ - обобщенная функции.
Мы говорим, что $\psi$ имеет логарифмические полюса,
если $\psi= \lambda\log\sum_i(|g_i|^2)+\psi_0$,
где $\psi_0$ -- гладкая функция, а $g_i$ голоморфные.
Мы  говорим, что $T$ имеет логарифмические
особенности, если его можно локально задать
в виде $T= dd^c \psi$, где $\psi$ 
функция с логарифмическими полюсами. 
\ео


\теорема (\cite[21.4]{_Demailly:mult_})
Пусть $T$ - положительный, замкнутый $(1,1)$-поток
на компактном, комплексном эрмитовом многообразии $(M,\omega)$.
Тогда существует последовательность потоков $T_k$
с логарифмическими особенностями
в том же классе когомологий $H^{1,1}_{BC}(M)$,
причем $T_k \geq T-\delta_k \omega$, где
$\delta_k$ стремится к 0, и $\{T_k\}$ сходится
к $T$ в топологии потоков. \endproof

\хфилл

\замечание
Из этой теоремы сразу вытекает, что
$T_k$ кэлеровы потоки, если $T$ кэлеров поток, а 
$\delta_k$ достаточно маленькие.
Поэтому если на многообразии $M$
существует кэлеров поток, на $M$ 
существует кэлеров поток с 
логарифмическими особенностями.
\еза

Из всей теоремы Демайи о регуляризации,
нам понадобится только это замечание.

\хфилл

Пусть теперь $T$ - кэлеров поток с логарифмическими
особенностями на поверхности, а $Z$ его особое множество.
По определению $Z$ есть множество общих нулей
голоморфных функций $g_i$, участвующих 
в определении логарифмических особенностей.
Если $Z$ содержит кривую $C$, локально
определенную функцией $g_C$ с простым
нулем в неособых точках $C$, в окрестности
этой кривой все функции $g_i$ делятся
на $g_C$. Поэтому 
\[
 \lambda\log\sum_i(|g_i|^2)= 
\lambda \log |g_C| +  \lambda\log\sum_i(|g_i/g_C|^2).
\]
Легко видеть, что $dd^c \lambda \log |g_C|=[C]$,\footnote{
Это утверждение называется "формула Пуанкаре-Лелона".
Выведите ее из формулы вычетов.}
где $[C]$ -- поток интегрирования по кривой
$C$, $\alpha \arrow \int_C\alpha$.
Поэтому $T=[C]+ T_1$, где $T_1$ тоже кэлеров поток.
Будем отщеплять кривые таким образом одну за другой.
Действуя индукцией по порядку нулей $g_i$ вдоль $C$
и по количеству кривых в особом множестве $T$,
легко убедиться, что этот процесс закончится
(проверьте это) на кэлеровом потоке с
логарифмическими особенностями, изолированными в
точках.

\хфилл

Чтобы доказать, что поверхность, допускающая
кэлеров поток, кэлерова (и тем самым закончить
доказательство кэлеровости любой поверхности
с четным $b_1(M)$), нам осталось получить
следующее утверждение.

\хфилл

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\утверждение
Пусть $T$ - кэлеров поток с изолированными
особенностями на комплексном многообразии $M$.
Тогда в том же классе $[T]\in H^{1,1}_{BC}(M)$
существует кэлеров поток.

\хфилл

{\bf Доказательство:} Пусть $z_1, z_2, ..., z_n$ - особые
точки $T$, а \[ \phi_i=\lambda\log\sum_\alpha(|g_\alpha|^2)+\psi_0\]
соответствующие потенциалы, равные $-\infty$ в $z_i$,
и определенные в открытых множествах $U_i\subset M$
Выбрав $U_i$ достаточно маленьким, можно предположить,
что на нем есть кэлеров потенциал $\psi$, то
есть такая функция, что форма $dd^c\psi$ кэлерова.
Легко видеть, что для существенно отрицательного
$A\ll 0$, функция $\max\nolimits_\epsilon(A+ \psi, \phi_i)$
равна $\phi_i$ вне компактной окрестности
$z_i\in U_i$, и гладка всюду на $U_i$.
Эта функция плюрисубгармонична (докажите). 
Заменим $T$ на $dd^c\max\nolimits_\epsilon(A+ \psi, \phi_i)$
внутри $U_i$, оставив его как есть вне $U_i$,
Мы получим  строго положительный,
замкнутый поток, неособый в $U_i$ (проверьте).
Повторив эту операцию во всех $z_i$, мы 
получим кэлерову форму. \endproof









\setcounter{zadacha}{0}



\hfill

\noindent
{\bf \Large Задачи.}

\задача
Пусть $K$ - выпуклый конус в рефлексивном 
локально выпуклом пространстве.
Назовем $K$ рефлексивным, если $K^{**}=K$.
Докажите, что открытый конус рефлексивен.
\ез

\определение
Пусть $K\subset V$ --- подмножество 
векторного пространства $V$. {\бф выпуклый конус,
натянутый на $K$} --- множество ненулевых линейных
комбинаций элементов из $K$ с положительными
коэффициентами.
\ео

\задача
Пусть $K\subset V$ - компактное подмножество
в локально выпуклом векторном пространстве,
а $K_1$ - выпуклый конус, натянутый на $K$.
Докажите, что $K_1^*$ открыт. Будет ли $K_1$
рефлексивен?
\ез

\задача
Пусть $[\alpha]\in H^{1,1}(M)$ -- класс когомологий
на $n$-мерном кэлеровом многообразии $M$, 
а $\Xi$ - $dd^c$-замкнутый $(n-1,n-1)$-поток.
Докажите, что интеграл $\int_M \alpha\wedge \Xi$
не зависит от выбора замкнутой (1,1)-формы $\alpha$,
представляющей $[\alpha]$.
\ез

\задача
Пусть $[\alpha]\in H^{1,1}(M)$ -- класс когомологий
на $n$-мерном кэлеровом многообразии $M$.
Докажите, что $[\alpha]$ не представим кэлеровой формой
тогда и только тогда, когда существует положительный
$dd^c$-замкнутый $(n-1,n-1)$-поток $\Xi$, удовлетворяющий
$\int_M [\alpha]\wedge \Xi \leq 0$.
\ез

\задача
Пусть $[\alpha]\in H^{1,1}(M)$ -- класс когомологий
на $n$-мерном кэлеровом многообразии $M$.
Докажите, что $[\alpha]$ не представим кэлеровым потоком
тогда и только тогда, когда существует положительный
неф-плюригармонический $(n-1,n-1)$-поток $\Xi$, удовлетворяющий
$\int_M [\alpha]\wedge \Xi \leq 0$.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- компактная поверхность, а $\eta$ -
положительная $(1,1)$-форма на $M$, которая
является $(1,1)$-частью замкнутой. Докажите, что
$\eta$ замкнута.
\ез

\задача
Обозначим за $I$ пространство (1,1)-форм на поверхности,
которые являются $(1,1)$-частью замкнутых. Докажите, 
что $I$ замкнуто, а аннулятор $I$ это пространство точных (1,1)-потоков.
\ез

\задача
Пусть $M$ - некэлерова поверхность. Докажите, что
на $M$ есть точный, положительный (1,1)-поток.
\ез

\указание
Выведите из предыдущих задач, что любая
строго положительная форма $\omega\in I$
кэлерова, и воспользуйтесь теоремой Хана-Банаха.
\еу 

\определение
Комплексное эрмитово $n$-мерное многообразие\\
$(M, \omega)$ называется {\бф взвешенным} (balanced),
если $d(\omega^{n-1})=0$.
\ео

\задача
Пусть $M$ - компактное комплексное многообразие,
не допускающее взвешенной метрики. Докажите, что
на $M$ есть $d^{1,1}$-точный, положительный (1,1)-поток.
\ез

\задача
Пусть $M$ - компактное комплексное многообразие,
бирационально эквивалентное кэлерову.
Докажите, что $М$ допускает взвешенную метрику.
\ез

\задача
Пусть $M$ - компактное комплексное многообразие,
не допускающее КТ-метрики (метрики, которая удовлетворяет
$dd^c\omega=0$). Докажите, что на $M$ есть $dd^c$-точный
положительный $(n-1,n-1)$-поток.
\ез







\hfill

\noindent
{\bf \Large Литература:}
{\small
\begin{thebibliography}{666}


\bibitem[L]{_Lamari_} A. Lamari,
{ Courrants k\"ahl\'eriens et surfaces compactes,} 
Ann. Inst. Fourier 49 (1999), 263-285

\bibitem[D]{_Demailly:mult_}
Demailly, Jean-Pierre,
{\em Analytic methods in algebraic geometry,} 
Lecture Notes, \'Ecole d'\'et\'e de Math\'ematiques de
Grenoble "G\'eom\'etrie des vari\'et\'es projectives
complexes : programme du mod\`ele minimal",\\
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html




\end{thebibliography}
}
\end{document}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\section{$L^2$-интегрируемые потоки и теорема Харви-Лаусона}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%Потоки суть функционалы на формах с компактным
%носителем, непрерывные в топологии Фреше на 
%гладких формах. Локально $L^1$-интегрируемые потоки суть функционалы,
%заданные интегрированием с локально $L^1$-интегрируемой формой.
%Такие функционалы непрерывны в $C^0$-топологии, 
%самой сильной из последовательности топологий,
%определяющих структуру Фреше на $\Lambda^*(M)$.
%Поскольку $M$ компактно,
%пространство квадратично-интегрируемых
%функций $L^2(М)$ вложено в $L^1_{loc}(M)$
%(проверьте это), формы с коэффициентами в
%$L^2(M)$ можно интерпретировать как 
%потоки на $M$. Пространство таких потоков
%обозначается $\Lambda^*(M) \otimes L^2(M)$.
%Это гильбертово пространство.
%
%Аналогичным образом определяется
%соболевское пространство $\Lambda^*(M) \otimes L^2_q(M)$
%(подробнее см. в предыдущей лекции). 
%
%\теорема
%(Н. Бухсдаль)
%Пусть $M$ - поверхность с метрикой Годушона.
%Рассмотрим отображение 
%\[ d^{1,1} \Lambda^1 (M)\otimes L^2_1(M): \; \Lambda^{1,1}
%   (M)\otimes L^2(M)
%\]
%которое ставит форме $\psi$ в соответствие $(1,1)$-часть
%дифференциала $d\psi$. Тогда образ $d^{1,1}$
%замкнут в $\Lambda^{1,1}(M)\otimes L^2(M)$.
%
%\хфилл
%
%{\бф Доказательство:}
%Пусть $\{\nu_i\}$ - последовательность гладких 
%вещественных 1-форм таких, что $\psi_i:=d^{1,1}\nu_i$ 
%сходится к $\psi\in \Lambda^{1,1}(M)\otimes L^2(M)$.
%Пусть $G_{d^*}:\; \Lambda^1 (M)\otimes L^2_1(M)$
%проекция на образ $d^*$, $G_{d^*}= \Delta^{-1}d^*$. 
%Согласно теории Ходжа,
%ядро этой проекции совпадает с ядром $d$ (проверьте это), значит,
%$d\nu_i = d( G_{d^*}\nu_i)$, и $d^{1,1}\nu_i=(G_{d^*}\nu_i)d^{1,1}$. 
%Поэтому мы можем с самого начал предположить, что
%$\nu_i$ лежит в образе $d^*$.
%
%Взяв $(1,0)$ и $(0,1)$-часть $\nu_i$, получим
%\[
%\psi_i= d\nu_i - \6\nu_i^{1,0} - \bar\6\nu_i^{0,1}.
%\]
%Применив соотношения Римана-Ходжа 
%(\eqref{_Riemann_Hodge_surf_Equation_}) и
%формулу Стокса,\footnote{Выведите из нее, что
%\[ \int_M\psi_i\wedge\psi_i = - 2 \int_M
%\6\nu_i^{1,0}\wedge\bar\6\nu_i^{0,1}=
%2 |\6\nu_i^{1,0}|^2.\]}
%получим
%\[
%|\psi_i|^2= 2 \int_M (\Lambda_\omega\psi_i)^2 \Vol - \int_M
%\psi_i \wedge \psi_i = 2|\Lambda_\omega\psi_i|^2 +2 |\6\nu_i^{1,0}|^2.
%\]
%Поскольку $\psi_i$ ограничено в $L^2$-метрике,
%то же верно и про $\6\nu_i^{1,0}$ с $\bar\6\nu_i^{0,1}$.
%Мы получили, что  $d\nu_i$ ограничено: $|d\nu_i| < C_1$.
%
%Поскольку 
%\[ d+d^*:\;\Lambda^* (M)\otimes L^2_1(M): \; \Lambda^*(M)\otimes L^2(M) 
%\]  
%эллиптический и первого порядка, 
%он фредгольмов, и обратим на образе $d^*$ (проверьте это).
%Это дает
%\[
%(\nu_i)|^2_{L^2_1} \leq C_2(|d\nu_i|^2 + |d^*\nu_i|^2) =
%C_2|d\nu_i|^2< C_1 C_2
%\]
%для какой-то константы $C_2$. Значит, 
%последовательность $\{\nu_i\}$ ограничена,
%и можно выбрать в ней слабо сходящуюся
%подпоследовательность, в силу теоремы
%Банаха-Алаоглу. Пусть $\nu$ - предел
%этой подпоследовательности. Тогда $d^{1,1}\nu =\psi$,
%значит, образ $d^{1,1}$ замкнут.
%\endproof
%
%\замечание
%Рассмотрим невырожденное спаривание
%\[  \Lambda^{1,1}(M)\otimes L^2(M)\times 
%    \Lambda^{1,1}(M)\otimes L^2(M)\arrow \C
%\]
%на потоках, переводящее $\eta_1, \eta_2$ в $\int_M \eta_1\wedge
%\eta_2$. При этом спаривании, аннулятором оператора
%$\im d^{1,1}$ является $\ker d$,
%и наоборот (это доказано в ходе доказательства
%теоремы Харви-Лоусона). Действительно, поток,
%который зануляется на гладких формах вида
%$d^{1,1}(\alpha)$, лежит в $\ker d$,
%a поток, который зануляется на гладких,
%замкнутых формах, лежит в образе
%$d^{1,1}$. С другой стороны,
%$\ker d\cap \Lambda^{1,1}(M)\otimes L^2(M)$ 
%замкнут в $L^2$-топологии, в силу теории 
%Ходжа, а $\im d^{1,1}$ замкнут в силу
%только что доказанной теоремы.
%\еза
%
%
%
%\следствие
%Пусть $M$ - некэлерова поверхность.
%Тогда существует ненулевой положительный, 
%$(1,1)$-поток $\eta$ на $M$, который
%является $(1,1)$-частью точного, 
%$L^2$-интегрируемого.
%
%\хфилл
%
%{\бф Доказательство:} Доказательство идентично
%доказательству Харви-Лаусона, с той лишь разницей,
%что теорему Хана-Банаха применяют к пространствам
%с $L^2$-топологией, а не с  топологией потоков.
%
%Пусть $A\cap \Lambda^{1,1}_d(M)=\emptyset$, где
%$A$ - строго положительные формы, а $\Lambda^{1,1}_d(M)$
%замкнутые $(1,1)$-формы, с $L^2$-топологией.
%Тогда, по теореме Хана-Банаха, 
%существует ненулевой $L^2$-непрерывный функционал $\xi$,
%который зануляется на $\Lambda^{1,1}_d(M)$,
%и неположителен на $A$. В силу только
%что доказанной теоремы, $-\xi$ лежит
%в образе $d^{1,1}$. Этот поток положителен,
%потому что он положителен на $A$. \endproof
%
%\замечание
%Положительный поток $\xi$, существующий
%в силу предыдущего утверждения, на самом
%деле точный. Действительно, если 
%$\tilde \xi = \xi +\xi^{0,2} + \xi^{2,0}$
%вещественный и точный поток, а  $\xi^{0,2}$ и $\xi^{2,0}$
%его $(2,0)$ и $(0,2)$-части, то 
%\[
%0 = \int_M \tilde \xi \wedge \tilde \xi = \int\xi\wedge \xi
%+ 2 \int_M \xi^{2,0}\wedge \xi^{0,2} = \int\xi\wedge \xi
%+ 2 \int_M |\xi^{2,0}|^2 \Vol,
%\]
%а поскольку $\int\xi\wedge \xi$ неотрицательно,
%из $0=\int_M |\xi^{2,0}|^2 \Vol$ и $L^2$-интегрируемости
%следует, что $\xi^{2,0}=0$.
%\еза
%
%
%\следствие
%Пусть $M$ -- компактная комплексная поверхность,
%а $b_1(M)$ четный. Тогда $M$ кэлерова.
%
%
%\хфилл
%
%{\бф Доказательство:} Пусть $M$ не кэлерова.
%Рассмотрим точный, положительный, ненулевой
%поток $\xi$, построенный выше на любой некэлеровой поверхности.
%В силу $\6\bar\6$-леммы, доказанной для поверхностей
%с четным $b_2$, $\xi = \6\bar\6\psi$ для какого-то
%потока $\psi$. Тогда 
%\[
%0 = \int_M \6\bar\6\psi \wedge \omega = \int_M \xi \wedge \omega,
%\]
%следовательно $\xi =0$. Противоречие! \endproof
