


\documentclass[12pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig,russlh}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\newcommand{\6}{\partial}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}



\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   04.05.2009}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2009} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\calo{{\cal O}}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\const{\operatorname{\sf const}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Diff{\operatorname{Diff}}
\def\Pic{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\ind}{\operatorname{ind}}
\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}


\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\следствие}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Следствие \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\лемма}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Упражнение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\хфилл{\hfill}
\def\ноиндент{\noindent}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\goth g}}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{3}
\lhead{{\scriptsize  Лекция 4. Поверхности с четным $b_1$ и метрики Годушона}}
\chapter{Комплексные поверхности,\\ лекция 4:
Поверхности с четным $b_1$\\ и метрики Годушона}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В этой лекции $(M, \omega)$ - 
комплексное эрмитово многообразие, 
обыкновенно поверхность, а $\omega\in \Lambda^{1,1}(M)$
его эрмитова форма. Излагаемые результаты довольно
общеизвестные, см. например \cite{_Barth_Peters_Van_de_Ven_}.
Мне удалось избежать применения спектральной
последовательности Фрелихера (она же Дольбо);
 со спектральными последовательностями то же самое
доказывается несколько проще. Введение в эрмитову
геометрию и топологию поверхностей (автодуальные,
антиавтодуальные формы и так далее) - Бессе,
"Четырехмерная риманова геометрия".


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Примитивные и автодуальные формы на поверхности}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Напомню, что 2-форма $\eta$ на четырехмерном,
ориентированном римановом 
многообразии называется {\бф автодуальной}, если
$*\eta =\eta$, и {\бф антиавтодуальной}, если
$*\eta = -\eta$. Легко проверить, что
автодуальность равносильна условию
$\eta \wedge \eta = |\eta|^2\Vol$,
где $\Vol$ - форма риманова обьема, а $|\eta|$
евклидова норма на 2-формах, индуцированная
римановой структурой. Тот же аргумент показывает,
что антиавтодуальность равносильна условию
$\eta \wedge \eta = -|\eta|^2\Vol$, и шестимерное
расслоение 2-форм разбивается в прямую двух
трехмерных подрасслоений, составленных из
автодуальных и антиавтодуальных форм.



\определение
Пусть $(M, \omega)$ - комплексное эрмитово многообразие,
$L_\omega:\; \Lambda^{p,q}(M) \arrow \Lambda^{p+1,q+1}(M)$
оператор внешнего умножения на $\omega$, а $\Lambda_\omega
= * L_\omega *$ -- сопряженный оператор. 
Форма $\eta$ называется {\бф примитивной},
если $\Lambda_\omega(\eta)=0$.
\ео

На комплексной поверхности,
примитивная (1,1)-форма записывается довольно просто.
Пусть $\xi_1, \xi_2 \in \Lambda^{1,0}(M)$ -
ортонормированный базис. Тогда
\[ 
  \Lambda_\omega(\xi_1 \wedge \bar\xi_1) =1, \ \ 
  \Lambda_\omega(\xi_2 \wedge \bar\xi_2) =1,\\ 
  \Lambda_\omega(\xi_1 \wedge \bar\xi_2) =0,\ \ 
  \Lambda_\omega(\xi_2 \wedge \bar\xi_1) =0,
\]
Из этого видно, что 
расслоение вещественных примитивных $(1,1)$-форм
трехмерно, и порождено формами
\[
\1(\xi_1 \wedge \bar\xi_1-\xi_2 \wedge \bar\xi_2,) \ \ 
\xi_1 \wedge \bar\xi_2 - \1 \xi_2 \wedge \bar\xi_1, \ \ 
\xi_2 \wedge \bar\xi_1 - \1 \xi_1 \wedge \bar\xi_2.
\]
Легко видеть, что эти формы антиавтодуальны, то есть
удовлетворяют соотношению $*\eta =-\eta$, или, что
равносильно, 
\[
\eta \wedge \eta = -(\eta, \eta) \Vol.
\]
Мы получили следующее полезное утверждение.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\утверждение
Пусть $M$ - комплексная эрмитова поверхность.
2-форма $\eta \in \Lambda^2(M)$ анти-автодуальна
тогда и только тогда, когда она имеет тип $(1,1)$
и примитивна.

\endproof

\хфилл

То же самое вычисление приводит к следующей формуле
(соотношения Римана-Ходжа)
\begin{equation}\label{_Riemann_Hodge_surf_Equation_}
|\eta|^2 = -\frac{\eta \wedge \eta}{\Vol} + 2(\Lambda_\omega\eta)^2
\end{equation}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Когомологии $\calo_M$ и метрика Годушона}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Пусть $(M, \omega)$ -- комплексное $n$-многообразие с метрикой
Годушона, а $\alpha \in \Lambda^{0,1}(M)$ --
$\bar\6$-замкнутая 1-форма. Определим
\[
\deg \alpha:= \frac{\int_M \6\alpha \wedge \omega^{n-1}}{\int_M \omega^n}
\]
Из формулы Стокса легко видеть, что 
$\int_M \6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1}=0$
для любой функции $f\in C^\infty M$ 
(докажите это, используя $\6\bar\6\omega^{n-1}=0$).
Поэтому $\deg\alpha=0$, если $\alpha$ $\bar\6$-точна.
Мы получили, что $\deg$ задает функционал на группе
когомологин $\bar\6$, которая отождествляется
с когомологиями $H^1(\calo_M)$ структурного пучка $M$,
потому что резольвента пучков
\[
\calo_M\stackrel {\bar\6} \arrow \Lambda^{0,1}(M)
\stackrel {\bar\6} \arrow \Lambda^{0,2}(M)\stackrel {\bar\6} \arrow ...
\]
ациклична.

\определение
Отображение  $H^1(\calo_M)\stackrel \deg \arrow \C$ 
называется {\bf степенью} класса когомологий.
\ео

\замечание
Напомню, что $(p,0)$-форма $\eta$ называется {\бф голоморфной},
если $\bar\6 \eta=0$. $(0,p)$-форма $\eta$ 
называется {\бф антиголоморфной}, если $\bar\eta$ голоморфна. 
Степень замкнутой, антиголоморфной формы равна нулю.
Согласно теории Ходжа, на кэлеровом многообразии
каждый класс когомологий $H^1(\calo_M)$ может
быть представлен антиголоморфной, замкнутой формой.
Поэтому для кэлерова многообразия отображение
$H^1(\calo_M)\stackrel \deg \arrow \C$
равно нулю.
\еза

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\замечание\label{_coker_Zamechanie}
Отображение 
\[
  f \stackrel D \arrow \frac{\6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1}}{\int_M \omega^n}
\]
из функций в функции - эллиптический оператор
второго порядка, зануляющийся на константах
(проверьте это), и в силу теоремы, доказанной
на прошлом занятии, коядро $D$ одномерно
(проверьте).
\еза

\замечание
Образ $D$ тоже легко описать.
Действительно, для каждой функции $f\in C^\infty M$,
имеем \[ \int \6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1}=0,\]
потому что $\6\bar\6 (\wedge \omega^{n-1})=0$.
Но коядро $D$ одномерно, по формуле индекса.
Значит, образ $D$ - это множество всех
функций $g$ таких, что $\int_M g \omega^n=0$.
\еза


\утверждение
Пусть $(M, \omega)$ -- комплексное $n$-многообразие с метрикой
Годушона. Для любого класса когомологий 
$[\alpha] \in H^1(\calo_M)$, существует единственный
представитель $\alpha \in \Lambda^{0,1}(M)$
такой, что 
\begin{equation}\label{_primi_repre_Equation_}
\6\alpha \wedge \omega^{n-1} = \deg [\alpha] \omega^n.
\end{equation}
{\bf Доказательство:}
Пусть $\alpha_0\in \Lambda^{0,1}(M)$ -- представитель
$[\alpha]$. Решения \eqref{_primi_repre_Equation_}
это формы вида $\alpha_0 + \bar\6 f$, удовлетворяющие
\[
\6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1} = 
 \deg [\alpha] \omega^n- \6\alpha_0 \wedge \omega^{n-1}.
\]
(проверьте это).
В терминах оператора $D$, определенного выше, это можно
переписать как
\begin{equation}\label{_D_f_solve_Equation_}
D(f) = \deg [\alpha] - 
\frac{\6\alpha_0 \wedge \omega^{n-1}}{\int_M \omega^n}.
\end{equation}
Единственность решения следует сразу из того,
что ядро $D$ это константы. Существование $f$ тоже
легко проверить. Как следует из предыдущего
замечения, уравнение $D(f) =g$ имеет решение $f$,
если $\int_M g \omega^n=0$. Левая сторона уравнения
\eqref{_D_f_solve_Equation_} после интегрирования дает
\[
\int_M \deg [\alpha] \omega^n - \int_M \6\alpha_0 \wedge \omega^{n-1}=0.
\]
\endproof

\следствие
Пусть $(M, \omega)$ - комплексная поверхность с метрикой Годушона,
а $[\alpha]\in H^1(\calo_M)$ класс когомологий с $\deg[\alpha]=0$.
Тогда $[\alpha]$ представляется антиголоморфной формой.

\хфилл

{\бф Доказательство:} Пусть $\alpha \in \Lambda^{0,1}(M)$ -
представитель $[\alpha]$, который удовлетворяет 
$\6\alpha \wedge \omega^{n-1}=0$, $\bar\6\alpha=0$ 
(такой представитель существует в силу предыдущего 
утверждения). Тогда $\6\alpha=d\alpha$
примитивная форма. Поскольку примитивные
формы антиавтодуальны, имеем
\[
0 = \int_M d\alpha \wedge d\bar\alpha = - \int_M |\Re(d\alpha)|^2 \Vol
\]
значит, $d\alpha=0$ всюду на $M$.
\endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\замечание\label{_factor_dime_Zamechanie_}
Из этого утверждения сразу следует, что
фактор \[ H^1(\calo_M)/H^1_a(\calo_M)\] по пространству $H^1_a(\calo_M)$
антиголоморфных замкнутых форм не более
чем одномерный.
\еза

$(2,0)$-формы на поверхности всегда автодуальны
(проверьте это). Используя то же соображение,
что и в следствии выше, мы сразу
получаем следующее полезное утверждение.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\замечание\label{_holo_clo_Zamechanie_}
На поверхности, голоморфные (и антиголоморфные)
1-формы обязательно замкнуты. Рассмотрим
голоморфную 1-форму $\rho \in \Omega^1 M$.
Тогда $d\rho$ это точная $(2,0)$-форма.
Но $\int_M d\rho \wedge d\bar\rho = \int_M \Vol |d\rho|^2=0$,
$d\rho=0$ всюду на $M$.
\еза

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Комплексные поверхности с четным\\ $b_1(M)$ и
голоморфные 1-формы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\лемма
Ненулевая линейная комбинация антиголоморфных
и голоморфных 1-форм на компактной поверхности
не может быть точна.

\хфилл

{\бф Доказательство:}
Действительно, пусть $v$ такая линейная комбинация.
Тогда $I(v)$ тоже линейная комбинация антиголоморфных
и голоморфных 1-форм, и в силу замечания
\ref{_holo_clo_Zamechanie_}, $I(v)$ замкнуто.
Если $v$ точно, $v=d\phi$, мы имеем
$0= d d^c\phi$, где $d^c = -I\circ d\circ I$. 
С другой стороны, эллиптический оператор
$\phi \arrow \frac{d d^c\phi\wedge \omega}{\omega^2}$
зануляется на константах (проверьте эллиптичность), 
значит, имеет одномерное ядро, состоящее из констант, 
в силу доказанного в предыдущей лекции (почему?). 
Мы получили $\phi=\mathop{const}$. 
\endproof

\замечание
Из этого следует, что на компактной
поверхности, естественное отображение
\[ 
  H^0(\Omega^1 M) \oplus \overline{H^0(\Omega^1 M)}\arrow H^1(M)
\]
из голоморфных плюс антиголоморфных форм
в когомологии является вложением.
\еза

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\замечание\label{_H^1_v_H^1(calo)_Zamechanie_}
Пусть $v$ замкнутая 1-форма на компактном
комплексном многообразии. Поскольку (1,0) и (0,1)-части
$v$ замкнуты относительно $\6$ и $\bar\6$ соответственно,
можно говорить про классы когомологий
$[v^{0,1}]\in H^1(\calo_M)$ и $[\overline {v^{1,0}}]\in H^1(\calo_M)$.
Если эти два класса равны нулю,  (0,1)-формы $v^{0,1}$ и
$\overline {v^{1,0}}$ $\bar\6$-точны. Это дает
\[
v = \bar\6\phi_1 + \6\phi_2.
\]
Поскольку $v$ замкнуто, $d v=0$
влечет $\6\bar\6(\phi_1-\phi_2)=0$. Из аргумента
который доказывает предыдущую лемму, сразу следует,
что $\phi_1=\phi_2$ (проверьте это). Поэтому 
$V=d\phi_1$. Мы получили естественное вложение
\begin{equation}\label{_proe_na_H^1_calo_Equation_}
 H^1(M)\stackrel j \hookrightarrow H^1(\calo_M)\oplus
 \overline{H^1(\calo_M)},
\end{equation}
где $\overline{H^1(\calo_M)}$ обозначает векторное
пространство с сопряженной комплексной структурой.
\еза


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема
Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность.
Тогда $b_1(M)$ четно, если $H^1(\calo_M)$ порождено
антиголоморфными 1-формами, и нечетно в противном случае.

\хфилл

{\бф Доказательство. Шаг 1:}
Выше были построены
естественные вложения
\[
H^0(\Omega^1 M) \oplus \overline{H^0(\Omega^1 M)}\hookrightarrow H^1(M)
\stackrel j \hookrightarrow H^1(\calo_M)\oplus
 \overline{H^1(\calo_M)}.
\]
Если $H^1(\calo_M)$ порождено
антиголоморфными 1-формами, \[ H^1(\calo_M)=H^0(\Omega^1 M),\]
и эти вложения являются изоморфизмами.

\хфилл

{\бф Шаг 2:} 
Напомним, что {\bf степенью} замкнутой (1,1)-формы
$\eta$ на многообразии с метрикой Годушона называется
число $\int_M \eta \wedge \omega^{n-1}$. 

Применив дифференциал де Рама к $\bar\6$-замкнутой
$(0,1)$-форме $\alpha$, получим точную $(1,1)$-форму 
$d\alpha=\6\alpha$. На поверхности,
факторпространство точных $(1,1)$-форм
по $\6\bar\6$-точным не более чем одномерно, потому что
точная $(1,1)$-форма нулевой степени 
равна $\6\bar\6\phi+ v$, где $v$ точно и примитивно
(Замечание \ref{_coker_Zamechanie}), а значит
равно нулю. 

\хфилл


{\бф Шаг 3:}
Пусть $[\alpha], [\beta] \in H^1(\calo_M)$, 
$\deg [\alpha]= \overline{\deg[\beta]}$.
Выберем их представители $\alpha, \beta \in \Lambda^{0,1}(M)$.
Тогда $\eta:=d(\alpha-\bar\beta)$ - точная (1,1)-форма
нулевой степени (проверьте это), и в силу
предыдущего шага, $\eta=\6\bar\6\phi$ (проверьте). 
Форма $\alpha-\bar\beta- \6\phi$ замкнута,  
поскольку
\[
d(\alpha-\bar\beta- \bar\6\phi) = \eta - \6\bar\6\phi=0,
\]
Мы получаем $[\alpha]\oplus [\beta]= j(\alpha-\bar\beta- \bar\6\phi)$,
где $H^1(M) \stackrel j \hookrightarrow H^1(\calo_M)\oplus
 \overline{H^1(\calo_M)}$ - отображение, построенное 
в \eqref{_proe_na_H^1_calo_Equation_}.

\хфилл

{\бф Шаг 4:} 
Если группа $H^1(\calo_M)$ не порождена
антиголоморфными 1-формами, существуют
классы $[\alpha], [\beta] \in H^1(\calo_M)$, 
такие, что $\deg [\alpha]\neq \overline{\deg[\beta]}$,
потому что из $\deg [\alpha]= 0$ следует, что
$\alpha\in H^1_a(\calo_M)$. На предыдущем шаге
было доказано, что $j(H^1(M)) \subset H^1(\calo_M)\oplus
 \overline{H^1(\calo_M)}$ совпадает с 
$\ker \deg:\;  H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}\arrow 0$,
а поскольку это отображение нетривиально, мы 
получаем точную последовательность
\[
0 \arrow H^1(M) \stackrel j \arrow H^1(\calo_M)\oplus
 \overline{H^1(\calo_M)}\stackrel {\deg} \arrow \C \arrow 0.
\]
Поэтому $H^1(M)$ нечетна. \endproof

\хфилл

В доказательстве кэлеровости комплексных
поверхностей с четным $b_1$, используется
не сама четность, а следующее полезное
свойство поверхностей с четным $b_1$.

\хфилл

\лемма
($\6\bar\6$-лемма для поверхностей с четным $b_1$).
Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность,
с четным $b_1(M)$, а $\eta\in \Lambda^{1,1}(M)$ -- точная
(1,1)-форма. Тогда $\eta = \6\bar\6 \psi$, для какой-то
функции $\psi\in C^\infty M$.

\хфилл

{\бф Доказательство:}
Имеем $\eta = d \rho$, значит,
$\eta = \6 \rho^{0,1} + \bar\6 \rho^{1,0}$,
где $\rho^{1,0}$ и $\rho^{0,1}$ - $(1,0)$ и $(0,1)$-части.
Поскольку $\eta$ типа $(1,1)$, имеем
\[
\6\rho^{1,0}= \bar\6 \rho^{0,1}=0.
\]
В силу предыдущего следствия,
$\6$-замкнутая (1,0)-форма является
суммой голоморфной и $\6$-точной,
а $\bar\6$-замкнутая (0,1)-форма является
суммой антиголоморфной и $\bar\6$-точной.
Отбросив антиголоморфные и голоморфные
компоненты, которые не дают вклада в 
$\6 \rho^{0,1} + \bar\6 \rho^{1,0}$, получим
\[
\rho^{1,0}= \6\psi, \ \ \rho^{0,1}= \bar\6 \phi,
\]
а следовательно,
\[
\eta = \6 \rho^{0,1} + \bar\6 \rho^{1,0}=
\6 \bar\6 \phi- \6 \bar\6\psi.
\]
\endproof

\замечание
Отметим, что такое же утверждение
верно и для потоков: точный $(1,1)$-поток
лежит в образе $\6\bar\6$. Это связано
с тем, что когомологии Дольбо для
потоков такие же, как для форм (докажите это).
\еза




\setcounter{zadacha}{0}



\hfill

\noindent
{\bf \Large Задачи.}

\задача
Пусть $V$ - евклидово пространство. Постройте естественный
изоморфизм $\goth{so}(V) \cong\Lambda^2(V)$, не пользуясь
координатами.
\ез

\задача
Пусть $V$ - четырехмерное евклидово пространство.
Используя изоморфизм $\goth{so}(V) \cong\Lambda^2(V)$
мы получаем естественное вложение
$\Lambda^2(V)\stackrel e \hookrightarrow \End(V)$. Докажите,
что ненулевая форма $\eta\in \Lambda^2(V)$ автодуальна
тогда и только тогда, когда $e(\eta)^2 = a\Id_V$,
где $a<0$.
\ез

\задача
Докажите, что $SO(4)\cong SU(2)\times SU(2)/\{\pm 1\}$.
\ез

\задача
Пусть $B$ -- голоморфное, эрмитово векторное расслоение
на компактном комплексном $n$-многообразии $(M, \omega)$
с метрикой Годушона, а $\Theta_B$ кривизна связности 
Черна на $B$. Определим
\[
\deg B:= \int_M \omega^{n-1} \wedge \Theta_B.
\]
Докажите, что $\deg B$ не зависит от выбора метрики на $B$.
\ез

\задача
Пусть $B$ -- голоморфное, эрмитово векторное расслоение
на компактной комплексной поверхности с метрикой Годушона, 
$\Theta_B$ кривизна связности  Черна на $B$, а $B'\subset B$
голоморфное подрасслоение. Предположим, что форма $\Theta_B$ 
антиавтодуальна. Докажите, что 
$\deg B' \leq \deg B$, причем равенство
достигается, только если $B= B' \oplus B''$
для какого-то голоморфного расслоения $B''$.
\ез

\задача
Пусть $M$ комплексное многообразие, не обязательно
компактное, а $H^1(M) \stackrel j\arrow  H^1(\calo_M)\oplus
 \overline{H^1(\calo_M)}$ отображение, построенное 
в Замечании \ref{_H^1_v_H^1(calo)_Zamechanie_}.
Предположим, что на $M$ нет непостоянных
голоморфных функций. Докажите, что $j$ - вложение.
\ез

\задача
Пусть $M$ - комплексное многообразие, 
$\Pic_0(M)$ - группа голоморфных линейных расслоений с тривиальным
классом Черна, а $\mathop{Fl}(M)\subset \Pic_0(M)$ - группа линейных расслоений,
которые допускают плоскую, унитарную связность. 
Постройте естественный изоморфизм между
$\Pic_0(M)/\mathop{Fl}(M)$ и $H^1(\calo_M)/H^1_a(\calo_M)$,
где $H^1_a(\calo_M)$ - классы когомологий, представимые
замкнутыми, антиголоморфными формами.
\ез

\задача
Пусть $m, n >1$ - целые числа, $\alpha\in \C\backslash 0$.
Рассмотрим действие $\C$ на $V:= (\C^n\backslash 0)\times (\C^m\backslash 0)$
$t(x,y) = (e^{t} x, e^{\alpha t}y)$. Для каких 
$\alpha$ фактор $V$ по этому действию будет компактным многообразием?
\ез

\замечание
Такое многообразие называется 
{\бф пространство Ка\-ла\-би-\-Экмана} (Calabi-Eckmann space).
\еза

\задача
Докажите, что пространство Калаби-Экмана гомеомо\-р\-фно
$S^{2n-1}\times S^{2m-1}$, и допускает голоморфное,
гладкое отображение \[ M \arrow \C P^{m-1}\times \C P^{n-1},\]
а слой этого отображения - эллиптическая кривая.
\ез

\задача
Пусть $M$ - многообразие Калаби-Экмана. 
Найдите размерность $H^0(\Omega^1M)$.
\ез

\замечание
Пусть $(M, \omega)$ - комплексное
эрмитово многообразие. Напомним, что 
$\omega$ называется KT-метрикой (от
слов K\"ahler torsion), если $\6\bar\6\omega=0$.
\еза

\задача
Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное
3-многообразие с КТ-метрикой. Докажите, что
любая голоморфная 1-форма на $M$ замкнута.
\ез

\задача
Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное
3-многообразие с эрмитовой метрикой, а $\alpha$ -- 
примитивная (1,1)-форма на $M$. Докажите, что
\[
\int_M \alpha\wedge \bar\alpha\wedge\omega = \const \int_M |\alpha|^2 \omega^3,
\]
где $\const$ - отрицательная рациональная
константа. Вычислите эту константу. 
\ез

\задача
Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное
3-многообразие с КТ-метрикой, а $\alpha$ - точная
(1,1)-форма, причем $\alpha=\6\beta$,
где $\bar\6\beta=0$. Докажите, что
\[
\int_M \alpha\wedge \bar\alpha \wedge \omega=0.
\]
\ез

\задача
Пусть $\alpha$ - точная, примитивная $(1,1)$-форма,
 причем $\alpha=\6\beta$, где $\bar\6\beta=0$.
Докажите, что $\alpha=0$
\ез

\задача
Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное
3-многообразие с эрмитовой метрикой. Докажите, что
дифференциальный оператор на функциях
\[
D(\phi)= \frac{\6\bar\6 \phi\wedge \omega^2}{\omega^3}
\]
имеет одномерное коядро $K$. 
\ез

\задача
Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное
3-многообразие с КТ-метрикой, а $\nu \in \Lambda^{0,1}(M)$
$\bar\6$-замкнутая $(0,1)$-форма. Определим $\deg\nu$
как образ  $\kappa:=\frac{\6\nu\wedge \omega^2}{\omega^3}$
в $K = C^\infty(M)/\im D$. Докажите, что $\deg\nu$
не зависит от выбора представителя $\nu$ в
его классе когомологий $[\nu]\in H^1(\calo_M)$.
\ез

\задача
Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное
3-многообразие с КТ-метрикой, а $[\nu]\in H^1(\calo_M)$
класс когомологий с $\deg[\nu]=0$, Докажите, что
класс $[\nu]$ может быть представлен антиголоморфной,
замкнутой формой.
\ез

\указание
Решив уравнение $D(\phi) = \kappa$, докажите, 
что форма $\alpha:=d(\nu-\bar\6 \phi)$ примитивна.
Это точная, примитивная форма, причем
$\alpha=\6\beta$, где $\bar\6\beta=0$.
Выведите из этого, что $\alpha=0$.
\еу

\задача
Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное
3-многообразие с КТ-метрикой. Докажите, что
\[ \dim H^1(\calo_M)/H^1_a(\calo_M)\leq 1.\]
Докажите, что $H^1(M)$ четно, если
$\dim H^1(\calo_M)/H^1_a(\calo_M)=0$, и нечетно,
если $\dim H^1(\calo_M)/H^1_a(\calo_M)\neq 0$.
\ез

\задача
Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное
3-многообразие с КТ-метрикой, причем $b_1(M)$ четно.
Докажите, что на $М$ выполнена $\6\bar\6$-лемма:
любая точная $(1,1)$-форма лежит в образе $\6\bar\6$.
\ез


\задача
Докажите, что многообразие Калаби-Экмана, гомеоморфное
$S^3\times S^3$, не допускает КТ-метрики.
\ез




\hfill

\noindent
{\bf \Large Литература:}
{\small
\begin{thebibliography}{666}

\bibitem[BPV]{_Barth_Peters_Van_de_Ven_}
Barth W., Peters C., Van de Ven A.
{\em Compact complex surfaces}, 1984 (библиотека "Колхоз").

\bibitem[B]{_Besse:4_}
Артур Бессе (ред.), {\ем Четырехмерная риманова геометрия:
семинар Артура Бессе (1978-1979),} изд. Мир, 1985, Москва 
(библиотека "Колхоз").

\end{thebibliography}
}
\end{document}



