\documentclass[12pt]{book} \usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig,russlh} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}} \newcommand{\6}{\partial} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 04.05.2009} \setlength{\headheight}{15pt} \pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2009} \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version} \rhead{{\small Миша Вербицкий}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % equations % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \@addtoreset{footnote}{section} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % listki-new.tex % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\calo{{\cal O}} \def\1{\sqrt{-1}} \def\const{\operatorname{\sf const}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Diff{\operatorname{Diff}} \def\Pic{\operatorname{Pic}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\ind}{\operatorname{ind}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] % \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string % \\ \string \hline} }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3} \string & \string \grd \string & \string\grp \string \\ \string \hline} }} \endgroup \theoremstyle{upshape} \newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter] \begingroup \gdef\th@generic{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] }} \endgroup \theoremstyle{generic} \newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение} \newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание} \newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание} \renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.} \newcommand{\listok}[2]{% \setcounter{page}{1} \renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil} \renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil} \section*{#2} \refstepcounter{section} \setcounter{section}{#1} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % VEDOMOST GENERATION %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\newwrite\Vedomost %\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm %\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }} \newcommand{\writevedomost}[1]{} \def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}} \def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Chapter % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\chapter}{% \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred} \def\ChapterNumbered[#1]#2{% \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1} \refstepcounter{chapter} { \vspace{\baselineskip} \chaptermark{#2} { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}} } \vspace{\baselineskip} } \newcommand{\ChapterStarred}[1]{% \refstepcounter{chapter} \chaptermark{#1}% \vspace{\baselineskip}} \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}} \newcommand{\следствие}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Следствие \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\пример}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\лемма}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\теорема}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\утверждение}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\упражнение}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Упражнение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \def\хфилл{\hfill} \def\ноиндент{\noindent} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\задача{\begin{zadacha}} \def\ез{\end{zadacha}} \def\замечание{\begin{zamechanie}} \def\еза{\end{zamechanie}} \def\указание{\begin{ukazanie}} \def\еу{\end{ukazanie}} \def\eu{\end{ukazanie}} \def\определение{\begin{opredelenie}} \def\ео{\end{opredelenie}} \def\eo{\end{opredelenie}} \def\goth{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\goth g}} \def\енум{\begin{enumerate}} \def\ее{\end{enumerate}} \def\ee{\end{enumerate}} \def\итем{\item $\bullet$ % \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } } \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setcounter{chapter}{3} \lhead{{\scriptsize Лекция 4. Поверхности с четным $b_1$ и метрики Годушона}} \chapter{Комплексные поверхности,\\ лекция 4: Поверхности с четным $b_1$\\ и метрики Годушона} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% В этой лекции $(M, \omega)$ - комплексное эрмитово многообразие, обыкновенно поверхность, а $\omega\in \Lambda^{1,1}(M)$ его эрмитова форма. Излагаемые результаты довольно общеизвестные, см. например \cite{_Barth_Peters_Van_de_Ven_}. Мне удалось избежать применения спектральной последовательности Фрелихера (она же Дольбо); со спектральными последовательностями то же самое доказывается несколько проще. Введение в эрмитову геометрию и топологию поверхностей (автодуальные, антиавтодуальные формы и так далее) - Бессе, "Четырехмерная риманова геометрия". %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Примитивные и автодуальные формы на поверхности} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Напомню, что 2-форма $\eta$ на четырехмерном, ориентированном римановом многообразии называется {\бф автодуальной}, если $*\eta =\eta$, и {\бф антиавтодуальной}, если $*\eta = -\eta$. Легко проверить, что автодуальность равносильна условию $\eta \wedge \eta = |\eta|^2\Vol$, где $\Vol$ - форма риманова обьема, а $|\eta|$ евклидова норма на 2-формах, индуцированная римановой структурой. Тот же аргумент показывает, что антиавтодуальность равносильна условию $\eta \wedge \eta = -|\eta|^2\Vol$, и шестимерное расслоение 2-форм разбивается в прямую двух трехмерных подрасслоений, составленных из автодуальных и антиавтодуальных форм. \определение Пусть $(M, \omega)$ - комплексное эрмитово многообразие, $L_\omega:\; \Lambda^{p,q}(M) \arrow \Lambda^{p+1,q+1}(M)$ оператор внешнего умножения на $\omega$, а $\Lambda_\omega = * L_\omega *$ -- сопряженный оператор. Форма $\eta$ называется {\бф примитивной}, если $\Lambda_\omega(\eta)=0$. \ео На комплексной поверхности, примитивная (1,1)-форма записывается довольно просто. Пусть $\xi_1, \xi_2 \in \Lambda^{1,0}(M)$ - ортонормированный базис. Тогда \[ \Lambda_\omega(\xi_1 \wedge \bar\xi_1) =1, \ \ \Lambda_\omega(\xi_2 \wedge \bar\xi_2) =1,\\ \Lambda_\omega(\xi_1 \wedge \bar\xi_2) =0,\ \ \Lambda_\omega(\xi_2 \wedge \bar\xi_1) =0, \] Из этого видно, что расслоение вещественных примитивных $(1,1)$-форм трехмерно, и порождено формами \[ \1(\xi_1 \wedge \bar\xi_1-\xi_2 \wedge \bar\xi_2,) \ \ \xi_1 \wedge \bar\xi_2 - \1 \xi_2 \wedge \bar\xi_1, \ \ \xi_2 \wedge \bar\xi_1 - \1 \xi_1 \wedge \bar\xi_2. \] Легко видеть, что эти формы антиавтодуальны, то есть удовлетворяют соотношению $*\eta =-\eta$, или, что равносильно, \[ \eta \wedge \eta = -(\eta, \eta) \Vol. \] Мы получили следующее полезное утверждение. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \утверждение Пусть $M$ - комплексная эрмитова поверхность. 2-форма $\eta \in \Lambda^2(M)$ анти-автодуальна тогда и только тогда, когда она имеет тип $(1,1)$ и примитивна. \endproof \хфилл То же самое вычисление приводит к следующей формуле (соотношения Римана-Ходжа) \begin{equation}\label{_Riemann_Hodge_surf_Equation_} |\eta|^2 = -\frac{\eta \wedge \eta}{\Vol} + 2(\Lambda_\omega\eta)^2 \end{equation} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Когомологии $\calo_M$ и метрика Годушона} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Пусть $(M, \omega)$ -- комплексное $n$-многообразие с метрикой Годушона, а $\alpha \in \Lambda^{0,1}(M)$ -- $\bar\6$-замкнутая 1-форма. Определим \[ \deg \alpha:= \frac{\int_M \6\alpha \wedge \omega^{n-1}}{\int_M \omega^n} \] Из формулы Стокса легко видеть, что $\int_M \6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1}=0$ для любой функции $f\in C^\infty M$ (докажите это, используя $\6\bar\6\omega^{n-1}=0$). Поэтому $\deg\alpha=0$, если $\alpha$ $\bar\6$-точна. Мы получили, что $\deg$ задает функционал на группе когомологин $\bar\6$, которая отождествляется с когомологиями $H^1(\calo_M)$ структурного пучка $M$, потому что резольвента пучков \[ \calo_M\stackrel {\bar\6} \arrow \Lambda^{0,1}(M) \stackrel {\bar\6} \arrow \Lambda^{0,2}(M)\stackrel {\bar\6} \arrow ... \] ациклична. \определение Отображение $H^1(\calo_M)\stackrel \deg \arrow \C$ называется {\bf степенью} класса когомологий. \ео \замечание Напомню, что $(p,0)$-форма $\eta$ называется {\бф голоморфной}, если $\bar\6 \eta=0$. $(0,p)$-форма $\eta$ называется {\бф антиголоморфной}, если $\bar\eta$ голоморфна. Степень замкнутой, антиголоморфной формы равна нулю. Согласно теории Ходжа, на кэлеровом многообразии каждый класс когомологий $H^1(\calo_M)$ может быть представлен антиголоморфной, замкнутой формой. Поэтому для кэлерова многообразия отображение $H^1(\calo_M)\stackrel \deg \arrow \C$ равно нулю. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание\label{_coker_Zamechanie} Отображение \[ f \stackrel D \arrow \frac{\6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1}}{\int_M \omega^n} \] из функций в функции - эллиптический оператор второго порядка, зануляющийся на константах (проверьте это), и в силу теоремы, доказанной на прошлом занятии, коядро $D$ одномерно (проверьте). \еза \замечание Образ $D$ тоже легко описать. Действительно, для каждой функции $f\in C^\infty M$, имеем \[ \int \6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1}=0,\] потому что $\6\bar\6 (\wedge \omega^{n-1})=0$. Но коядро $D$ одномерно, по формуле индекса. Значит, образ $D$ - это множество всех функций $g$ таких, что $\int_M g \omega^n=0$. \еза \утверждение Пусть $(M, \omega)$ -- комплексное $n$-многообразие с метрикой Годушона. Для любого класса когомологий $[\alpha] \in H^1(\calo_M)$, существует единственный представитель $\alpha \in \Lambda^{0,1}(M)$ такой, что \begin{equation}\label{_primi_repre_Equation_} \6\alpha \wedge \omega^{n-1} = \deg [\alpha] \omega^n. \end{equation} {\bf Доказательство:} Пусть $\alpha_0\in \Lambda^{0,1}(M)$ -- представитель $[\alpha]$. Решения \eqref{_primi_repre_Equation_} это формы вида $\alpha_0 + \bar\6 f$, удовлетворяющие \[ \6\bar\6 f \wedge \omega^{n-1} = \deg [\alpha] \omega^n- \6\alpha_0 \wedge \omega^{n-1}. \] (проверьте это). В терминах оператора $D$, определенного выше, это можно переписать как \begin{equation}\label{_D_f_solve_Equation_} D(f) = \deg [\alpha] - \frac{\6\alpha_0 \wedge \omega^{n-1}}{\int_M \omega^n}. \end{equation} Единственность решения следует сразу из того, что ядро $D$ это константы. Существование $f$ тоже легко проверить. Как следует из предыдущего замечения, уравнение $D(f) =g$ имеет решение $f$, если $\int_M g \omega^n=0$. Левая сторона уравнения \eqref{_D_f_solve_Equation_} после интегрирования дает \[ \int_M \deg [\alpha] \omega^n - \int_M \6\alpha_0 \wedge \omega^{n-1}=0. \] \endproof \следствие Пусть $(M, \omega)$ - комплексная поверхность с метрикой Годушона, а $[\alpha]\in H^1(\calo_M)$ класс когомологий с $\deg[\alpha]=0$. Тогда $[\alpha]$ представляется антиголоморфной формой. \хфилл {\бф Доказательство:} Пусть $\alpha \in \Lambda^{0,1}(M)$ - представитель $[\alpha]$, который удовлетворяет $\6\alpha \wedge \omega^{n-1}=0$, $\bar\6\alpha=0$ (такой представитель существует в силу предыдущего утверждения). Тогда $\6\alpha=d\alpha$ примитивная форма. Поскольку примитивные формы антиавтодуальны, имеем \[ 0 = \int_M d\alpha \wedge d\bar\alpha = - \int_M |\Re(d\alpha)|^2 \Vol \] значит, $d\alpha=0$ всюду на $M$. \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание\label{_factor_dime_Zamechanie_} Из этого утверждения сразу следует, что фактор \[ H^1(\calo_M)/H^1_a(\calo_M)\] по пространству $H^1_a(\calo_M)$ антиголоморфных замкнутых форм не более чем одномерный. \еза $(2,0)$-формы на поверхности всегда автодуальны (проверьте это). Используя то же соображение, что и в следствии выше, мы сразу получаем следующее полезное утверждение. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание\label{_holo_clo_Zamechanie_} На поверхности, голоморфные (и антиголоморфные) 1-формы обязательно замкнуты. Рассмотрим голоморфную 1-форму $\rho \in \Omega^1 M$. Тогда $d\rho$ это точная $(2,0)$-форма. Но $\int_M d\rho \wedge d\bar\rho = \int_M \Vol |d\rho|^2=0$, $d\rho=0$ всюду на $M$. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Комплексные поверхности с четным\\ $b_1(M)$ и голоморфные 1-формы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \лемма Ненулевая линейная комбинация антиголоморфных и голоморфных 1-форм на компактной поверхности не может быть точна. \хфилл {\бф Доказательство:} Действительно, пусть $v$ такая линейная комбинация. Тогда $I(v)$ тоже линейная комбинация антиголоморфных и голоморфных 1-форм, и в силу замечания \ref{_holo_clo_Zamechanie_}, $I(v)$ замкнуто. Если $v$ точно, $v=d\phi$, мы имеем $0= d d^c\phi$, где $d^c = -I\circ d\circ I$. С другой стороны, эллиптический оператор $\phi \arrow \frac{d d^c\phi\wedge \omega}{\omega^2}$ зануляется на константах (проверьте эллиптичность), значит, имеет одномерное ядро, состоящее из констант, в силу доказанного в предыдущей лекции (почему?). Мы получили $\phi=\mathop{const}$. \endproof \замечание Из этого следует, что на компактной поверхности, естественное отображение \[ H^0(\Omega^1 M) \oplus \overline{H^0(\Omega^1 M)}\arrow H^1(M) \] из голоморфных плюс антиголоморфных форм в когомологии является вложением. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание\label{_H^1_v_H^1(calo)_Zamechanie_} Пусть $v$ замкнутая 1-форма на компактном комплексном многообразии. Поскольку (1,0) и (0,1)-части $v$ замкнуты относительно $\6$ и $\bar\6$ соответственно, можно говорить про классы когомологий $[v^{0,1}]\in H^1(\calo_M)$ и $[\overline {v^{1,0}}]\in H^1(\calo_M)$. Если эти два класса равны нулю, (0,1)-формы $v^{0,1}$ и $\overline {v^{1,0}}$ $\bar\6$-точны. Это дает \[ v = \bar\6\phi_1 + \6\phi_2. \] Поскольку $v$ замкнуто, $d v=0$ влечет $\6\bar\6(\phi_1-\phi_2)=0$. Из аргумента который доказывает предыдущую лемму, сразу следует, что $\phi_1=\phi_2$ (проверьте это). Поэтому $V=d\phi_1$. Мы получили естественное вложение \begin{equation}\label{_proe_na_H^1_calo_Equation_} H^1(M)\stackrel j \hookrightarrow H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}, \end{equation} где $\overline{H^1(\calo_M)}$ обозначает векторное пространство с сопряженной комплексной структурой. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \теорема Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность. Тогда $b_1(M)$ четно, если $H^1(\calo_M)$ порождено антиголоморфными 1-формами, и нечетно в противном случае. \хфилл {\бф Доказательство. Шаг 1:} Выше были построены естественные вложения \[ H^0(\Omega^1 M) \oplus \overline{H^0(\Omega^1 M)}\hookrightarrow H^1(M) \stackrel j \hookrightarrow H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}. \] Если $H^1(\calo_M)$ порождено антиголоморфными 1-формами, \[ H^1(\calo_M)=H^0(\Omega^1 M),\] и эти вложения являются изоморфизмами. \хфилл {\бф Шаг 2:} Напомним, что {\bf степенью} замкнутой (1,1)-формы $\eta$ на многообразии с метрикой Годушона называется число $\int_M \eta \wedge \omega^{n-1}$. Применив дифференциал де Рама к $\bar\6$-замкнутой $(0,1)$-форме $\alpha$, получим точную $(1,1)$-форму $d\alpha=\6\alpha$. На поверхности, факторпространство точных $(1,1)$-форм по $\6\bar\6$-точным не более чем одномерно, потому что точная $(1,1)$-форма нулевой степени равна $\6\bar\6\phi+ v$, где $v$ точно и примитивно (Замечание \ref{_coker_Zamechanie}), а значит равно нулю. \хфилл {\бф Шаг 3:} Пусть $[\alpha], [\beta] \in H^1(\calo_M)$, $\deg [\alpha]= \overline{\deg[\beta]}$. Выберем их представители $\alpha, \beta \in \Lambda^{0,1}(M)$. Тогда $\eta:=d(\alpha-\bar\beta)$ - точная (1,1)-форма нулевой степени (проверьте это), и в силу предыдущего шага, $\eta=\6\bar\6\phi$ (проверьте). Форма $\alpha-\bar\beta- \6\phi$ замкнута, поскольку \[ d(\alpha-\bar\beta- \bar\6\phi) = \eta - \6\bar\6\phi=0, \] Мы получаем $[\alpha]\oplus [\beta]= j(\alpha-\bar\beta- \bar\6\phi)$, где $H^1(M) \stackrel j \hookrightarrow H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}$ - отображение, построенное в \eqref{_proe_na_H^1_calo_Equation_}. \хфилл {\бф Шаг 4:} Если группа $H^1(\calo_M)$ не порождена антиголоморфными 1-формами, существуют классы $[\alpha], [\beta] \in H^1(\calo_M)$, такие, что $\deg [\alpha]\neq \overline{\deg[\beta]}$, потому что из $\deg [\alpha]= 0$ следует, что $\alpha\in H^1_a(\calo_M)$. На предыдущем шаге было доказано, что $j(H^1(M)) \subset H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}$ совпадает с $\ker \deg:\; H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}\arrow 0$, а поскольку это отображение нетривиально, мы получаем точную последовательность \[ 0 \arrow H^1(M) \stackrel j \arrow H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}\stackrel {\deg} \arrow \C \arrow 0. \] Поэтому $H^1(M)$ нечетна. \endproof \хфилл В доказательстве кэлеровости комплексных поверхностей с четным $b_1$, используется не сама четность, а следующее полезное свойство поверхностей с четным $b_1$. \хфилл \лемма ($\6\bar\6$-лемма для поверхностей с четным $b_1$). Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность, с четным $b_1(M)$, а $\eta\in \Lambda^{1,1}(M)$ -- точная (1,1)-форма. Тогда $\eta = \6\bar\6 \psi$, для какой-то функции $\psi\in C^\infty M$. \хфилл {\бф Доказательство:} Имеем $\eta = d \rho$, значит, $\eta = \6 \rho^{0,1} + \bar\6 \rho^{1,0}$, где $\rho^{1,0}$ и $\rho^{0,1}$ - $(1,0)$ и $(0,1)$-части. Поскольку $\eta$ типа $(1,1)$, имеем \[ \6\rho^{1,0}= \bar\6 \rho^{0,1}=0. \] В силу предыдущего следствия, $\6$-замкнутая (1,0)-форма является суммой голоморфной и $\6$-точной, а $\bar\6$-замкнутая (0,1)-форма является суммой антиголоморфной и $\bar\6$-точной. Отбросив антиголоморфные и голоморфные компоненты, которые не дают вклада в $\6 \rho^{0,1} + \bar\6 \rho^{1,0}$, получим \[ \rho^{1,0}= \6\psi, \ \ \rho^{0,1}= \bar\6 \phi, \] а следовательно, \[ \eta = \6 \rho^{0,1} + \bar\6 \rho^{1,0}= \6 \bar\6 \phi- \6 \bar\6\psi. \] \endproof \замечание Отметим, что такое же утверждение верно и для потоков: точный $(1,1)$-поток лежит в образе $\6\bar\6$. Это связано с тем, что когомологии Дольбо для потоков такие же, как для форм (докажите это). \еза \setcounter{zadacha}{0} \hfill \noindent {\bf \Large Задачи.} \задача Пусть $V$ - евклидово пространство. Постройте естественный изоморфизм $\goth{so}(V) \cong\Lambda^2(V)$, не пользуясь координатами. \ез \задача Пусть $V$ - четырехмерное евклидово пространство. Используя изоморфизм $\goth{so}(V) \cong\Lambda^2(V)$ мы получаем естественное вложение $\Lambda^2(V)\stackrel e \hookrightarrow \End(V)$. Докажите, что ненулевая форма $\eta\in \Lambda^2(V)$ автодуальна тогда и только тогда, когда $e(\eta)^2 = a\Id_V$, где $a<0$. \ез \задача Докажите, что $SO(4)\cong SU(2)\times SU(2)/\{\pm 1\}$. \ез \задача Пусть $B$ -- голоморфное, эрмитово векторное расслоение на компактном комплексном $n$-многообразии $(M, \omega)$ с метрикой Годушона, а $\Theta_B$ кривизна связности Черна на $B$. Определим \[ \deg B:= \int_M \omega^{n-1} \wedge \Theta_B. \] Докажите, что $\deg B$ не зависит от выбора метрики на $B$. \ез \задача Пусть $B$ -- голоморфное, эрмитово векторное расслоение на компактной комплексной поверхности с метрикой Годушона, $\Theta_B$ кривизна связности Черна на $B$, а $B'\subset B$ голоморфное подрасслоение. Предположим, что форма $\Theta_B$ антиавтодуальна. Докажите, что $\deg B' \leq \deg B$, причем равенство достигается, только если $B= B' \oplus B''$ для какого-то голоморфного расслоения $B''$. \ез \задача Пусть $M$ комплексное многообразие, не обязательно компактное, а $H^1(M) \stackrel j\arrow H^1(\calo_M)\oplus \overline{H^1(\calo_M)}$ отображение, построенное в Замечании \ref{_H^1_v_H^1(calo)_Zamechanie_}. Предположим, что на $M$ нет непостоянных голоморфных функций. Докажите, что $j$ - вложение. \ез \задача Пусть $M$ - комплексное многообразие, $\Pic_0(M)$ - группа голоморфных линейных расслоений с тривиальным классом Черна, а $\mathop{Fl}(M)\subset \Pic_0(M)$ - группа линейных расслоений, которые допускают плоскую, унитарную связность. Постройте естественный изоморфизм между $\Pic_0(M)/\mathop{Fl}(M)$ и $H^1(\calo_M)/H^1_a(\calo_M)$, где $H^1_a(\calo_M)$ - классы когомологий, представимые замкнутыми, антиголоморфными формами. \ез \задача Пусть $m, n >1$ - целые числа, $\alpha\in \C\backslash 0$. Рассмотрим действие $\C$ на $V:= (\C^n\backslash 0)\times (\C^m\backslash 0)$ $t(x,y) = (e^{t} x, e^{\alpha t}y)$. Для каких $\alpha$ фактор $V$ по этому действию будет компактным многообразием? \ез \замечание Такое многообразие называется {\бф пространство Ка\-ла\-би-\-Экмана} (Calabi-Eckmann space). \еза \задача Докажите, что пространство Калаби-Экмана гомеомо\-р\-фно $S^{2n-1}\times S^{2m-1}$, и допускает голоморфное, гладкое отображение \[ M \arrow \C P^{m-1}\times \C P^{n-1},\] а слой этого отображения - эллиптическая кривая. \ез \задача Пусть $M$ - многообразие Калаби-Экмана. Найдите размерность $H^0(\Omega^1M)$. \ез \замечание Пусть $(M, \omega)$ - комплексное эрмитово многообразие. Напомним, что $\omega$ называется KT-метрикой (от слов K\"ahler torsion), если $\6\bar\6\omega=0$. \еза \задача Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное 3-многообразие с КТ-метрикой. Докажите, что любая голоморфная 1-форма на $M$ замкнута. \ез \задача Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное 3-многообразие с эрмитовой метрикой, а $\alpha$ -- примитивная (1,1)-форма на $M$. Докажите, что \[ \int_M \alpha\wedge \bar\alpha\wedge\omega = \const \int_M |\alpha|^2 \omega^3, \] где $\const$ - отрицательная рациональная константа. Вычислите эту константу. \ез \задача Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное 3-многообразие с КТ-метрикой, а $\alpha$ - точная (1,1)-форма, причем $\alpha=\6\beta$, где $\bar\6\beta=0$. Докажите, что \[ \int_M \alpha\wedge \bar\alpha \wedge \omega=0. \] \ез \задача Пусть $\alpha$ - точная, примитивная $(1,1)$-форма, причем $\alpha=\6\beta$, где $\bar\6\beta=0$. Докажите, что $\alpha=0$ \ез \задача Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное 3-многообразие с эрмитовой метрикой. Докажите, что дифференциальный оператор на функциях \[ D(\phi)= \frac{\6\bar\6 \phi\wedge \omega^2}{\omega^3} \] имеет одномерное коядро $K$. \ез \задача Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное 3-многообразие с КТ-метрикой, а $\nu \in \Lambda^{0,1}(M)$ $\bar\6$-замкнутая $(0,1)$-форма. Определим $\deg\nu$ как образ $\kappa:=\frac{\6\nu\wedge \omega^2}{\omega^3}$ в $K = C^\infty(M)/\im D$. Докажите, что $\deg\nu$ не зависит от выбора представителя $\nu$ в его классе когомологий $[\nu]\in H^1(\calo_M)$. \ез \задача Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное 3-многообразие с КТ-метрикой, а $[\nu]\in H^1(\calo_M)$ класс когомологий с $\deg[\nu]=0$, Докажите, что класс $[\nu]$ может быть представлен антиголоморфной, замкнутой формой. \ез \указание Решив уравнение $D(\phi) = \kappa$, докажите, что форма $\alpha:=d(\nu-\bar\6 \phi)$ примитивна. Это точная, примитивная форма, причем $\alpha=\6\beta$, где $\bar\6\beta=0$. Выведите из этого, что $\alpha=0$. \еу \задача Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное 3-многообразие с КТ-метрикой. Докажите, что \[ \dim H^1(\calo_M)/H^1_a(\calo_M)\leq 1.\] Докажите, что $H^1(M)$ четно, если $\dim H^1(\calo_M)/H^1_a(\calo_M)=0$, и нечетно, если $\dim H^1(\calo_M)/H^1_a(\calo_M)\neq 0$. \ез \задача Пусть $(M,\omega)$ - компактное, комплексное 3-многообразие с КТ-метрикой, причем $b_1(M)$ четно. Докажите, что на $М$ выполнена $\6\bar\6$-лемма: любая точная $(1,1)$-форма лежит в образе $\6\bar\6$. \ез \задача Докажите, что многообразие Калаби-Экмана, гомеоморфное $S^3\times S^3$, не допускает КТ-метрики. \ез \hfill \noindent {\bf \Large Литература:} {\small \begin{thebibliography}{666} \bibitem[BPV]{_Barth_Peters_Van_de_Ven_} Barth W., Peters C., Van de Ven A. {\em Compact complex surfaces}, 1984 (библиотека "Колхоз"). \bibitem[B]{_Besse:4_} Артур Бессе (ред.), {\ем Четырехмерная риманова геометрия: семинар Артура Бессе (1978-1979),} изд. Мир, 1985, Москва (библиотека "Колхоз"). \end{thebibliography} } \end{document}