


\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig,russlh}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\newcommand{\6}{\partial}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}



\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   21.04.2009}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny ���, ����� 2009} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  ���� ���������}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\calo{{\cal O}}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Diff{\operatorname{Diff}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\ind}{\operatorname{ind}}
\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}


\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{������}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{�����������}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{��������}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{���������}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\���������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ��������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������ \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ���������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\�����{\hfill}
\def\��������{\noindent}
\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\������{\begin{zadacha}}
\def\��{\end{zadacha}}
\def\���������{\begin{zamechanie}}
\def\���{\end{zamechanie}}
\def\��������{\begin{ukazanie}}
\def\��{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\�����������{\begin{opredelenie}}
\def\��{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\goth g}}
\def\����{\begin{enumerate}} 
\def\��{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\����{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{2}
\lhead{{\scriptsize  ������ 3. ������� ��������}}
\chapter{����������� �����������, ������ 3:
\\������� ������� ��������� � ������� ��������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


������ ������� �� �������������
(������������� ���������, ������������ 
�������, ���������������) ����������,
��������, ���: \cite{_Verbitsky:Hodge_}.
������� �������� �������� � ���
������ \cite{_Gauduchon:nulle_}, �� ��������� ��������
� \cite{_Ivanov_Papadopoulos_}. � ���������� ������ ��������
� ������ ���������� ���������� ���� ����� ������;
� �������� ������ ����������� ������������ ����� 
����� � �������� \cite{_Lubke_Teleman_}. �������� ������
�� ������ ������������� ����������
������� ������� - ����� ``������� � ���������``
\cite{_Gilbarg_Trudinger_}, �����������
�����������. ������� ��������� ����������
��� ������ �������.

\hfill

���������� �������� ������� ������ �������������
���������� (� ���, ��� ��� ��� ������������)
�� �� �����, �� �������� ������� �������������� 
�� ���� ���: \cite{_Verbitsky:Hodge_}.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������ ����������������� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

� ���� �������, $M$ ���������� ������� ������������,
�� ����������� ����������.


\����������� 
����� $R$ - ������ ��� ����� $k$. $k$-��������
����������� $D$ �� ������ $R$ � $R$-������ (��������, � $R$)
���������� {\�� ������������������}, ���� ���
������������� ������� ��������:
\[
D(xy) = y D(x) + x D(y)
\]
��������, ����� ��������� ���� ������ �����������������
�� ������ $C^\infty(M)$.
\��

\���������
����������������� ������ $C^\infty(M)$ ������ �������
������� ��� ��������� ���� �� $M$. ��� - ���� ��
����������� ���������� ����.
\���

\���������� �������� ��������������� �����
����������� � ������, ��������� ���.

\�����������
����� $R$ - ������ ��� ����� $k$. {\bf ���������������� ��������
������� $0$} --- ��� ����������� $R\stackrel v \arrow R$, �������
$R$-�������, �� ���� ��������� $r\in R$ � $v(1)r$.
��������� ����� ���������� ������������ $\Diff^0(R)$.
���������������� �������� ������� $i>0$ ������������
����������, � �������� ���������������� ����������
������� $i-1$. � ������, ���������, ��� $k$-�������� ����������� 
$a\in \Diff^i(R)$, ���� ��� ������ $v\in \Diff^0(R)$,
���������� $[a, v]$ ����� � $\Diff^{i-1}(R)$.
�� ����� ������� ��������
\[
\Diff^0(R)\subset \Diff^1(R) \subset \Diff^2(R) \subset ...
\]
����������� ���� $\Diff^i(R)$ ���������� {\�� ����������
���������������� ����������}. ��� �� ������ �������
������, $\Diff^*(R)$ �������� ������� (���������������, 
������������� ������ � ��������). ����������������
��������� �� ������ $C^\infty M$ ����������
{\�� ����������������� ����������� �� $�$},
� ������������ $\Diff^*(M)$.
\��

\��������� 
����� ������, ��� ���������������� ���������
�������� ������� �� $M$ - ��������� �� �������,
���������������� ��������� ������� ������� -
����� ��������� �������� ������� � �����������������
(�������� ���).
\���

\���������
����������� ������� ������������ ����������������
��������� �� ������ ��� ������� $R$ � ������ ��� $R$.
��������� �������� ������� - $R$-��������, ��������� $i$-��
�������  - �����, ���������� ������� � ����� $R$-��������
���������� ���� ���������������� �������� $i-1$-�� �������.
\���



\���������
�������, ��� ����������� ������� ����������� ������
��� ������� -- ��� ������ ��������� ���������� ������.
��������� ���������� �� ������� ������������ �����
������������� ���  $C^\infty M$-������, ������������
���������� � ������������� ��� �������. 
��������� ���������� �� �������� CW-�������������
����� ������������ ��� ����������� ������ ��� 
������� $C^\infty M$ (��������, ��� ��� �����������
����������� ������ ���������� ���). � ����� ��������,
���������������� ��������� �� ������ ���������� � ������
����� ���������� ��� ���������������� ���������
�� ��������������� $C^\infty M$-�������.
\���

\�����������
(������������) ���������� �� ��������� ����\-�\-������� $V$
���� ������������������ ��������������
$V_0\subset V_1 \subset V_2\subset ...$
�����, ��� $\bigcup V_i = V$.
{\�� ������������� �������} ��� �������
$A$ � ����������� $A_0\subset A_1 \subset A_2\subset ...$
�����, ��� $A_i\cdot A_j\subset A_{i+j}$.
\��

\��������� 
���������� ���������������� ���������� $i$-�� � $j$-��
������� ����� ������� $\leq i+j$ (�������� ���).
��� ������ ���������� 
\[
\Diff^0(R)\subset \Diff^1(R) \subset \Diff^2(R) \subset ...
\]
�� ������ ���������������� ���������� ��� $R$.
\���

\����������\label{_commu_Uprazhnenie_}
����� $D^i \in \Diff^i(R)$, $D^j \in \Diff^j(R)$ -
���������������� ���������. ��������, ��� �� ����������
$[D^i, D^j]$ ����� � $\Diff^{i+j-1}(R)$. 


\��������
�������������� ��������� � ����������
\[
[ v, D^i D^j] = [v, D^i] D^j + D^i [v, D^j]
\]
\��

\�����������
����� $A= \bigcup_i A_i$ - ������������� ������� � �����������.
���������� ������������ $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$.
��������� ��������� �� $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$
����� �������, ����� ������������ �������
$a \mod A_{i-1}$ � $b \mod A_{j-1}$ ������
$ab \mod A_{i+j-1}$. ��� ������ ��������� ��������������
������������� ������� ��  $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$
(�������� ���). ����� ������� ���������� {\�� 
�������������� �������������� ��������} �������������
������� $A$.
\��

\���������
�� ���������� \ref{_commu_Uprazhnenie_}
����� �������, ��� �������������� ��������������
������� � ������� ���������������� ����������
������������. ��� ������ ����������
{\�� ������� �������� ���������������� ����������}.
\���

\����������
���������� ������������������
\[ \Diff^i (M)/\Diff^{i-1} (M)\] ��� 
������ ��� $C^\infty M$. ��������, ��� ��� ���������
������������ ������� ����������
$\Sym^i TM$ -- $i$-� ��������������
������� ������������ ����������.


\��������
��� $i=1$, ��� ����������� �������� ��
������ �������� ���������������� ����������
������� ������� (��� �����������������
���� $C^\infty M$-�������� ���������,
� ����������������� - ��� � ���� 
��������� ����). ��� $i>1$, �������������� 
���������.
\��


\����������
����� $R= C^\infty M$. ��������, ��� 
������ �������� ���������������� ����������
�� $M$ ��������� ������ ������� 
������� �� $T^*M$, �������������� ��
���� ����� $T^*_xM$

\��������
��� ����� ������� �� �����������
����������.
\��

\�����������
����� $D\in \Diff^i (M)$ - ����������������
�������� $i$-�� �������. ��� {\�� ������}
��� ��� ����� � $\Diff^i (M)/\Diff^{i-1} (M)=\Sym^i TM$.
{\�� ������� ������ ����������������� ���������} ��� �������
�� ��������� ������������ �������������� 
���������� $T^*M$, ��������������
(� ���������� ������� $i$) � �����
$T^*M$. � ����������, �� ����� ��������
��� ������� ������ {\�� ������ $D$}.
\��

\���������
��� ����������� � ����������������  ����������
�� $C^\infty M$ � ���� ����� ��������� ���
����������������  ���������� �� ���������� � ����������.
������������ $\Diff^* ({\cal F},{\cal G})$
�������� $\Diff^*(M)$-������� � �����������,
� ��� �������������� �������������� ������ ���������
\[
\Sym^* TM\otimes \Hom_{C^\infty M}({\cal F},{\cal G})
\]
(�������� ���).
���� $D:\; {\cal F} \arrow {\cal G}$ -- ����������������
�������� $i$-�� ������� �� ��������� �����������, 
��� ������ -- ������� ���������� ����������
$\Sym^i TM\otimes \Hom({\cal F},{\cal G})$.
����� ������������� ������ $D$ ��� ��� 
$\Hom({\cal F},{\cal G})$-�������
������� �� $T^*M$, ��������������
(� ���������� ������� $i$) �� �����
$T^*M$.
\���


\�����������
�����  $D:\; {\cal F} \arrow {\cal G}$ -- ����������������
�������� $i$-�� ������� �� ��������� ����������� ����������� �����.
$D$ ���������� {\�� �������������}, ���� ��� ������
������� � ������ ����� $\xi\in T^*M$, �������
��� �������� ������� $T^*M$.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������������ ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $V_1$, $V_2$ - ������������ � ������.
�������� �������� $E:\; V_1 \arrow V_2$ ����������
{\�� ������������}, ���� ���������� ��������� $C$ �����,
���
\begin{equation}\label{_norma_operatora_Equation_}
\frac {|E(v)|}{|v|}< C
\end{equation}
��� ������ ���������� $v\in V_1$.
\��

\����������
��������, ��� ������������ ��������� �� $V_1$ � $V_2$ 
�������� �������� ������������. ��������, ��� ��������
��������� ����� � ������ �����, ����� �� ���������� 
� ���������, �������� ������. 

\�����������
{\�� ����� ������������� ���������} ������������
��� ������� ���� �������� $C$, ������� �������������
��������� \eqref{_norma_operatora_Equation_}.
����� ������, ����� $|E|$ ��� �������� $|E(v)|$
�� ��������� ����� $\{v\in V_1 \ \ |\ \ |v|=1\}$. 
\��

\���������
�������� ����� ������ {\�� ����������� ��������}
����������� ��� ������� � {\�� ������������ ��������}.
\���

�������, ��� {\�� �������������} 
������������� ��������������� ������������
���������� ������������, ��������� �������� ���������.

\�����������
����� $V_1$, $V_2$ - ������������ � ������. 
�������� $E;\; V_1\arrow V_2$ ���������� {\�� ����������},
���� ����� ������ ������������� ��������� ������������.
\��

\�����������
������������ �������� $F:\; H_1\arrow H_2$ �� ������������
������������� ���������� {\�� �������������} (Fredholm), ���� 
��� ����� �������, � ���� � ������ ������������.
\��

\����������\label{_Fred_inve_up_comp_Uprazhnenie_}
����� $F:\; H_1\arrow H_2$ -- ������������ ��������.
��������, ��� ��������� ����������� �����������.
\����
\���� $F$ �����������
\���� ���������� ������������ ��������
$G:\; H_2\arrow H_1$ �����, ��� $FG= \Id_{H_1}+ K_1$,
$GF=\Id_{H_2}+ K_2$, � ��������� $K_1$, $K_2$ ���������.
\��

\����������
�����  $F:\; H_1\arrow H_2$,  $G:\; H_2\arrow H_3$ -
������������ ���������. 
\����
\���� ��������, ��� $GF$ �����������, ���� $F$ � $G$
������������.
\���� ����� $GF$ � $FG$ ������������. ��������, ��� $F$ � $G$ 
��� ������������.
\���� ��������, ��� ����� ������������ ���������
� ����������� ����� ������������.
\��

\�����������
{\�� ��������} ������������ ��������� $F$ ����������
����� \[ \dim \ker F - \dim \coker F.\] 
\��

\����������
��������, ���
������ $F'= F+K$ ����� ������� $F$, ��� ������
����������� ��������� $K:\; H_1\arrow H_2$.

\����������
������ ������������� ���������� ����������
� �����������:
\begin{equation}\label{_index_additive_Equation_}
\ind(FG) = \ind F + \ind G.
\end{equation} 



\�����������\label{_close_fredho_Utverzhdenie_}
����� �������� $F:\; H \arrow H$
�����������. ����� ���������� $\epsilon>0$ �����,
��� ��� ������ ��������� $G\in \End(H)$, ����������������
$|G-F|<\epsilon$, �������� $G$ ����� �����������.

{\�� ��������������:} 
����� $G_1=G-F$. ���� $F$ ������������� ��������,
����� 
\[
(Id_H+G_1)^{-1} = Id_H- G_1 + G_1^2 - G_1^3 + ...
\]
������ ��� $Id_H- G_1 + G_1^2 - G_1^3 + ...$
�������� ��� $|G_1| <1$. ��� �������������
$F$, ������������� ������������ ����������
\ref{_Fred_inve_up_comp_Uprazhnenie_}, ������ $F_1$
�����, ��� $FF_1= \Id_H + K$,
� ������� \[
GF_1 = (G_1+F)F_1 = \Id_H + K + G_1 F_1
\]
��� $F_1$ - ��������, ���������������
$FF_1 = \Id_H + K$ � $F_1F = \Id_H + K'$. ����� $G_1 F_1 $
���������� $|F_1||G_1|$. � ���� ���
����������� �����������, ���
$|G_1| <  |F_1|^{-1}$, 
�������� $\Id_H + G_1F_1$ �������, �
�������� $GF_1= \Id_H + K + G_1 F_1+�$ �����������.
����� �� ������� ������������, ��� $F_1G$ ����������� ����.
\endproof

\����������
��������� ��� �� ����� ������������,
�������� ���������. ����� $F:\; H_1 \arrow H_2$
�����������. ����� ���������� $\epsilon>0$ �����,
��� ��� ������ ��������� $G\in \Hom(H_1,H_2)$, ����������������
$|G-F|<\epsilon$, $G$ ���� �����������.



\�����������
����� $F:\; H_1 \arrow H_2$
����������� ��������. ����� ���������� $\epsilon$ 
�����, ��� ��� ������ $G\in \Hom(H_1,H_2)$, ����������������
$|G-F|<\epsilon$, ������� $G$ � $F$ �����.

{\�� ��������������:} ������� $F_1$ �����, ��� 
$FF_1= \Id_H + K$,
� ������� \[
GF_1 =  \Id_H + K + (G-F) F_1
\]
�������� $\Id_H +  (G-F) F_1$ ������� ���
$|(G-F)| < |F_1|^{-1}$, ������, ����� ������ 0,
� �������� $\Id_H +  (G-F) F_1+K$ �����
��� �� ����� ������, ������ ��� ������
�� �������� �� ���������� �����������
���������. ������, ������ $GF_1$ ����� ������� $FF_1$.
� ���� ������������������ �������� �������
\eqref{_index_additive_Equation_},
�� ����� ����� �������, ��� $\ind F=\ind G$.
\endproof 

\hfill

�� ��������, ��� ��������� �������������
���������� ������� � ��������� ���� ������������
����������, � ����������, ������� �������� ������, 
� ����������� $F \arrow \ind F$ �������� ���������.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������������� ��������� � ������� �� �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

� ���� �������, $M$ ���������� �������,
����������, ��������  ������������.

\������
����� $M$ - �������� ������������.
�������� ������� $\Delta:\;C^\infty M \arrow  C^\infty M$,
$\Delta(f)= d^* d f$ -- ������������� �������� ������� 
�������. ��� ������ ����� ������� ������ $g\in \Sym^2T M$
(��������� ���).

\�����������
����� $F$ - ���������� �� ���������� � �������� �� $M$.
��������� {\�� ����������� �����, ��������������� 
�� ���������� � ��������} �� ������������ ������� $F$ �� �������
\[
|f|^2_s= \sum_{i=0}^s \int |\nabla^i f|\Vol
\]
��� 
\[ \nabla^i :\; F \arrow F\otimes 
   \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ ���}
\]
$i$-� ������� ���������,
� $|\cdot|$ - ������������ ������� �� ���������� $F\otimes 
   \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ ���}$,
�������������� �������� �� $M$ � $F$. ���������������
����������� ������������ ������������ $L^2_s(F)$.
\��

\�������
(�������� ������� ������ ������������� ����������)
����� $D:\; F \arrow G$ -- ������������� ��������
$i$-�� �������. ��������� $D$ �� ������������� ��
����������� �� $L^2_s(F)$ � $L^2_{s-i}(G)$. �����
$D$ �����������. ����� ����, ��� �������� $\ker D$
���������� ����������������.

\�����

���������� ��� ������� �������� �����,
��� ����������� ���������������, � � �� ����.
��� ���� ���: \cite{_Verbitsky:Hodge_}

\���������
�� ����, ��� ��� �������� $\ker D$
���������� ���������������� �������, ���
$\ker D:\; L^2_s(F)\arrow L^2_{s-i}(G)$
�� ������� �� ������ $s\in \{i, i+1, i+2, ...\}$.
\���

\���������
����������� �������� (������������ $L^2_0$-�������)
� ����������������� ��������� - ����� ����������������
�������� (��������� ���), � �������������� ��������� -
������������� (���������). ������ ��������������
��������� $\coker D:\; L^2_s(F)\arrow L^2_{s-i}(G)$
��� ���� ��� ������������ $\ker D^*:\; L^2_{s-i}(F)\arrow L^2_{s-2i}(G)$,
�������, � ���� ����������� ���������, ���� �� �������
�� ������ $s\in \{2i, 2i+1, 2i+2, ...\}$.
\���

\�����������
{\�� ������} $\ind$ �������������� ��������� $D$
��� ����� $\dim \ker D - \dim \ker D^*$.
\��

\���������
���� $D_t$ -- ��������� ������������� ����������
$i$-�� �������, ���������� ��������� �� ��������� $t\in [0,1]$,
�� $\ind D_0 = \ind D_1$. �������������, �������
�� $D_t$ ������������� ����������� ��������
$D_t:\; L^2_s(F)\arrow L^2_{s-i}(G)$, ���
������ ����� ������� $D_t$, � ������ ������������
��������� �������� ���������� � ��������� ���������.
\���

����� ������, ��� ������������� ��������� � ����������
�������� ����� ���������������� ���� � �����, ��
����� �������. ������� ������ ��������������
��������� ������� ������ �� �������. �����������
���������� ������� ���� �� ������ �������,
�� ��� �� ����� �������. ������� ������
������� ������ �� ������ ��������� �������, 
������� ����� ������������� ��� ������������� 
������� ���������� $\Sym^i TM \otimes \Hom(F, G)$.
����� ������� ����������� ���� � ���������
�� ��������� � �������� ������������������ 
������� (��� �������������� �-������) 
������������ $M$ � ���������� $F$ � $G$. 
{\�� ������� ����-�������} -
�������, ���������� ������ ��������������
��������� ��� ��������� ������� �� ���� 
�������������� �����������.

\���������
����������� ���� ����������� � ��������������\\
������� ������� �������������� ��������� �����������
�. �. ���������. �� ��������� � ����� ������������
���� � �������, ��������� �� ����� ������ ���������
������� � �������� ������������������ �������,
� ��� � ������ ������� ������� ���� �������,
� �������� ��������� ����� ��������������.
\���

��� ����������� ��������� �������
����� ������� �� �������.

\�������
(������� ����-������� ��� 
������������� ���������� ������� �������)
����� $M$ - ������� ������������, �
\[ D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M\] --
������������� �������� ������� �������.
����� $\ind D =0$.

\�����

{\�� ��������������:} 
������ $\psi$ ��������� $D$ ���� ������� $\Sym^2 TM$,
�� ���� ����������� ������ �� $T^*$. ������� �������������
������������ ��� $\psi(v,v) \neq 0$, ��� ������ ����������
$v\in T^*M$, �� ��� ������, ��� $\psi$ - ������������
(��� ������������) ������������ �������. �����������,
��� $\psi$ ������������ ����������. ���������
������������ ������������ ����������� ������� 
���������� �������� ������������ � �������� 
$\Sym^2 TM$, ��� ������, � ������, ������
$D$ ���������� ��� ������� $D$. ��������
��������� ������ ��� ������-������ ��
������������� ���������� ������� �������,
��������, ��� ��������� ������� $\Delta$.
�� �������� ������� ������������, ������,
\[
\ind \Delta = 
\dim \ker \Delta - \dim \ker \Delta^* = \dim \ker \Delta - \dim \ker \Delta=0
\]
\endproof



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������� ��������� �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

� ���� �������, $M$ -- ������� ������������,
�� ����������� ����������. � ������ ����������
������� �������, "�������������" ������
"������������� �������� � ������������ ������������ ��������",
� �� ����� ��������� �������������, ��� ������
������������ (� �� ������������) ���������.
��� ������������� ������ �� ������, ������
��������� ����� �����.

������� ��������� ����� (�� �� "strong maximum
principle") ������ � ����� ������������� ����������
��������� ����� (Eberhard Hopf, 1902-1983), 
����������� ��� � 1927-� ����. �����������
�� ������������� � ����� ����.

\�������
(strong maximum principle for 
second order elliptic equations)
����� $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ - 
������������� �������� ������� �������. 
������ $D(f)=0$ ��� ������� $f=const$.
����� $u$ ������� �����, ��� $D(u)\geq 0$.
�����������, ��� $u$ ����� ��������
� �����-�� ����� $M$. ����� $u$ -- ���������.

\�����

{\bf ��������������:} 
� �����������, �������� $D$ ������������ ���:
\begin{equation}\label{_second_order_Equation_}
D u = A^{ij} u_{ij} + B^i u_i, 
\end{equation}
��� $A^{ij}$ - ������������ ������������ �������,
������������ ������ $D$, $u_i$ ������ �����������
$u$, $u_{ij}$ - ������� ������ ����������� 
(�� ����� �������� �������). ����������� �������, ���
$D(u)>0$ �� $M$. � ����� $z$ ��������� $u$, ������ �����������
$u$ ����������, ������� ������ ����������� ��������������
����������, � ������� 
\[ Du\restrict z = A^{ij}u_{ij}\restrict z \leq 0,
\]
��� ������������ $Du >0$. ������� ����� ������� 
$u$ �� ����� ����� ���������.

����� ������ $D(u)\geq 0$, � $u$ ���������
��������� � ����� $z\in M$. �����
���������� � ����������� $z$, �� �����
�������, ��� $M$ -- ��� ��������� ��� � $\R^n$,
� $z=0$. ������� ������� $\Omega \Subset M$, 
������� ���������� � ���� $B_r(0)$ ������� $r<1$. 

���� �� ������� � $u$ ������� $\phi$
����������� $D\phi >0$, �������� $u + \phi$
����� ������ ����������� �� ������� $\Omega$,
� ���� ���������, ������������ ����.

��� ����� ������� $\phi$, ������������ 
�� $\Omega$, � �����, ��� $D\phi >0$, �� ����
$B^i \phi_i<  A^{ij} \phi_{ij}$ ����� �� 
$\Omega$. � �������� $\phi$ ����� �������
������� $\epsilon e^{c x_1}$,
��� $x_1$ -- ���������� �� $\Omega$, �
$c$ �������, �����
����������� $A^{1,1} c > b^1$
(�� ����� ����� �������, ���
$D\phi >0$). ��������� ��������
$u + \epsilon e^{c x_1}$ �����������
�� ������� $\6 \Omega$ ��� ������
$\epsilon>0$, �� ��������, ��� $\sup_{\Omega} u$ 
����������� �� ������� $\6 \Omega$.

�� �������� ��������� �������
(���������). 

\�������
(������ ������� ���������)
����� \[ D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M \] -- 
������������� �������� ������� �������. 
������ $D(f)=0$ ��� ������� $f=const$.
���������� ������� $\Omega \subset M$,
��������� ������� ���������. �����
����� ������� ����������� $D(u)\geq 0$
��������� ���������  $\sup_{\Omega} u$ 
�� ������� $\6 \Omega$.

\�����

�������������� �������� �������� ��������� ���������
�� ��������� �����, ������������� �. �����.

\�����

\�����
(����� �����) 
����� $D$ - ������������� �������� �� ��������� 
���� $B \subset \R^n$ ���� \eqref{_second_order_Equation_}, 
� $u$ - ������� � $B$ �������, �����, ��� $D(u)\geq 0$.
�����������, ��� $u$ ��������� ��������� �� 
����� $z_0$ ������� $\6 B$, ������ ������ ����
$u< u(z_0)$. ����� ����������� $u$ �� �����������
������� � ����� $z$ ������������: $\Lie_{\vec r} u>0$. 

\�����

{\�� ��������������:}
��� ��������� �����������, �����������,
��� ��� $B$ ���������, $u\restrict B \leq 0$,
� $u(z_0)=0$.  ���������� �������
$v\in C^{\infty}B$, �������� �������� 
$v(m) = e^{-\alpha r(m)^2} - e^{-\alpha}$,
��� $\alpha >0$ ������������ �����, � $r(m) = |m|$.
����� ������, ��� 
\[ 
  D(v)\restrict m = \alpha^2 e^{-\alpha r(m)^2} (a^{ij} m_i
  m_j + O(\alpha)).
\]
�������, ��� ���������� ������� $\alpha$, $D(v) >0$ 
� ������� $\Omega=B\backslash B'$, ��� $B'\subset B$
��� � ������� � 0 � �������� $r_0 <1$.
����� ������, ��� ��� $\epsilon \ll 1$,
$u -\epsilon v < 0$ � $B'$. ���������
$v=0$ �� ������� $B$, �� ������� ��������
��������� �������, ��� $u -\epsilon v < 0$
� ������� $\Omega$, � ��������� ��������� � $z_0$. ������, �����������
$\Lie_{\vec r} (u -\epsilon v)\restrict {z_0} \leq 0$, ��
���� ����� $\Lie_{\vec r}v\restrict {z_0}<0$, �� ��������
$\Lie_{\vec r} u\restrict {z_0}>0$.
�� �������� ����� �����.
\endproof

\hfill


{\bf ��������� �������������� ��������
�������� ���������.}
������� ������� ��������� ���������� �������
�� ������� �������� ��������� � ����� �����.
�������������, ����� ��������� �������� 
������� $u$ �����������
� ����� $z\in M$, � $Z:= \{ m \in M \ \ | \ \ u(m) = u (z)\}$.
���� $u$ �� ���������, ��
������ ���������� ���, ������������ �������� �� ���������� $Z$,
� ������� ����������, ������ � ����� ����������
��������� $z_0$. ��������� ����������� $u$ � $z_0$
��������� (�� ����� �����), ��� ����� �� �����
���� ��������� ��������: ������������. 
\endproof



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������� ��������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

�������� ������� ��������� ��������� ������������
����������� �. ��������.

\�����

\�����������
����� $\omega$ - �������� ����� ������������ ��������
������������ $M$, $\dim_\C M =n$. ������� �� $M$ ����������
{\�� �������� ��������}, ���� $\6\bar\6 (\omega^{n-1})=0$.
\��

\�������
(�. �������, 1977)
����� $(M,\omega)$ -- ����������, �����������, ��������
$n$-������ ������������. ����� ����������
������������ (� ��������� �� ����������� ���������)
������������� ������� $\psi \in C^\infty M$ �����,
��� $\psi\omega$ - ������� ��������.

\�����

{\�� ��������������. ��� 1:}
���������� ����� ������� $\phi>0$ 
�����, ��� $\6\bar\6 (\phi\omega^{n-1})=0$.
����� $\phi= \psi^{1/(n-1)}$.

\�����

{\�� ��� 2:} ���������� ����������������
�������� 
\[ 
L(\phi) = \frac{\6\bar\6 (\phi\omega^{n-1})}{\omega^{n}}
\]
(��� ��������� ����� �����, ������, ��� ������������
���� ������ �� $M$ ���������, � ������� ���� ������ ���
�������). ����� ������, ��� $L$ ������������� ��������,
� ��� �� ��������, ��� � ��������� ������� (�������� ���).

{\�� ��� 3:} �� ������������ $C^\infty M$ ����������
$L^2$-�������, �������� ��������
\[
(x,y) = \int_M xy \omega^n.
\]
����������� �������� � $L$ ����� �������� ����,
���������������� �������� ������. ����� $\alpha\in
C^\infty M$. �� ������� ������ ��������
\[
\int_M L(\phi)\alpha\omega^{n} =
\int_M  \6\bar\6 (\phi\omega^{n-1}) \alpha=
\int_M \phi\omega^{n-1}\wedge \6\bar\6\alpha,
\]
�� ���� 
\[  L^* \alpha = \frac{\omega^{n-1}\wedge
    \6\bar\6\alpha}{\omega^{n}}.
\]

{\�� ��� 4:} ��������� $L^*$ ���������� �� ����������,
��� ���� ��������� � ���� �������� �������� ���������
(�������� ���). �� ������� ������� ��� �������������
���������� ������� �������, ���������� � ���� ������,
������ $L^*$ ����� ����, ������, ��� ������ 
���������. �� ����� ����� �������, ��� ����
$L$ ���� ���������, � ������� �������� �����������
� ��������� �� ���������. ���  �������������
������� �������� �������� ���������, ��� ����� 
��������� ������� $u \in \ker L$ ����� ������������, ����
����� ������������.

{\�� ��� 5:} ����� $f\in \im L^*$. ��������
������� ���������, �� �������, ��� � �����������
�������� $f$, ��� ������� ������ ������������, � �����������
��������� ������ ������������ (��������� ���).
���� � ���� $L$ �������� ������� $u$, �������
���-�� ������������, ���-�� ������������,
����� ��������������� ������� $\alpha \in C^\infty M$,
������� ����� ������������, � �������������
$\int_M u \alpha \omega^n=0$. ��������� $\im L^*$
��������� � ������������� ����������� �
$\ker L$, �� ����� �������, ��� $\alpha$ �����
� $\im L^*$. �� ��� ����������, � ����
����������� ����. ������� ����� 
��������� ������� $u \in \ker L$ ����� ������������, ����
����� ������������. �� �������� �������������
������� ��������.\endproof






\setcounter{zadacha}{0}



\hfill

\noindent
{\bf \Large ������.}


\������
����� $R= k[t_1, .. t_n]$ - ������ ���������.
��������, ��� ������� $\Diff^*(R)$ ��������� �����������
$t_1, t_2, ... t_n, \frac d {dt_1}, \frac d {dt_2}, ... \frac d {dt_n}$,
� �������������
\begin{align*}
\  & [ t_i, t_j] =0, \ \ [\frac d {dt_i}, \frac d {dt_j}]=0, 
\ \ \ \ \text{($i$, $j$ - �����)}\\ 
\  & [t_i, \frac d {dt_i}] =1,  \ \ 
 [\frac d {dt_i}, \frac d {dt_j}]=0\ \ \ \  \text{($i\neq j$)}
\end{align*}
\��

\������
��������, ��� ��� ������� ������
(�� ����� ������������ �������).
\��
 
\������
�������, ��� �������������� ������������ ���
������������, ����������� �������� ��������
��������� �������.
��������, ��� ������ ���������� ��� ��������������
������������� $M$ �������� ������ ��������� ������������.
�������� �� �����, ��� ����������� ������ ���
$C^\infty M$ ��� ������������ �������
������� ����������. ��������, ��� �������
���������� ���������� �������� ����������
$C^\infty M$-������ �� ������������ �������.
\��

\������
����� $M$ -  �������� ������������,
$d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^*M$
������������ �� ����, � $d^* = *d*$
����������� ��������. ��������,
��� $d+d^*$ �������������,
\��

\������
����� $M$ - ������������� �������� ������������,
$\Lambda^+ M$ - ������������ ���� $v\in \Lambda^2 M$, 
��������������� $* v=v$, � 
\[ 
  D\; \Lambda^1 M \arrow \Lambda^+M \oplus C^\infty M
\]
�������� $d+d^*(\Lambda^1 M)$ � $\Lambda^+M \oplus C^\infty M$.
�������� �� $D$ �������������?
\��


\������
����� $\cal C$ - ������� ������������ ���������� �� ������������
������������ $H$, � ${\cal K}\subset{\cal C}$ - ������������
���� ���������� ����������. ��������, ��� $\cal K$ - ������������
�����.
\��

\�����������
������������� ${\cal C}/{\cal K}$ ���������� {\�� �������� �������}
����������� ������������ $H$ (Calkin).
\��

\������[*]
��������, ��� ������� ������� ������ (�� ��������
������������� ������������ �������).
\��

\������
����� $F:\; H \arrow H$ - ������������ ��������. ��������, 
��� $F$ ����������� ����� � ������ �����, ����� ���
����� $[F]$ � ������� ������� �������.\footnote{��� ������, ���
���������� $G_1, G_2:\; H \arrow H$, ��� $FG_1-1$ � $G_2F-1$ ���������.}
\��

\������
����� $\Phi$ - ��������� ���� �������������
���������� �� ������������ ������������, � ����������, ������� 
�������� ������ ����������. ����� $F_1, F_2\in \Phi$ 
��������� � ���������� ��������. ��������, ���
��� ����� � ����� � ��� �� ������� ���������� $\Phi$.
\��

\������[*]
��������, ��� ���������, �������� �����������
������ $|\cdot|^2_s$ �� ������������ ������� ���������� 
$F$, �� ������� �� ������ ������� � ��������� �� $F$.
\��

\������
��������, ��� ������������ ��������
�� �����������a $\Gamma(M, F)^2_s$ ������� ���������� 
$F$ � �������� $|\cdot|^2_s$ � ���
�� ����� ������������ � �������� 
$|\cdot|^2_{s-i}$ ���������
(�� ���� ��������� ������������ ������������ � $\Gamma(M, F)^2_s$
� ������������� ������������ 
$\Gamma(M, F)^2_{s-i}\subset L^2_{s-i}(F)$).
\��

\������
����� $M$ - �������� ������������, � $D$ - �������������
�������� ������� ������� �� $C^\infty M$, ������������
�� ����������. ��������, ��� ���� ������� $g$
�� $M$ � ��������� ���� $v$ �����, ���
\[
D(f) = \pm \Delta f + \Lie_v f, 
\]
��� $\Lie_v f$ - ����������� �� ����� $v$, 
� $\Delta$ - �������� �������.
\��

\������
����� $D$ -- ������������� �������� ������� $i$ �� 1-��\-�\-���
������������ ����������. ��������, ��� 
$\ind D=0$. ��� ����� $i$ ���������� ����� ���������?
\��

\������
������� $\omega$ �� ��������� $n$-������������ ����������
��������������� (balanced), ���� $d(\omega^{n-1})=0$.
��������� ������ ����������� ������������
������������, �� ������������ ����� �������, ��� $n>2$.
\��


\������[*]
������� $\omega$ �� ����������� ��������� ������������
���������� ��������� �������� �������� (K\"ahler torsion metric,
���������� KT), ���� $dd^c \omega=0$. ����� �� ������� ����
������������ KT-�������� � ���������������?
\��

\������[**]
����� $\omega$ - ��������������� �������� ������� ��
����������, ����������� ������������. ����� ��
����� $\omega^{n-1}$ ���� ������?
\��

\������
����� $(M, \omega)$ - ����������, ����������� 
�������� ������������ � KT-��������, � $H:=d^c\omega$
��������������� ��������� 3-�����, ������� ����������
{\�� ���������} $M$. ����� �� $H$ ���� ������?
� ��������?
\��


\������
��������, ��� ����� ������ ������������� $(n-1,n-1)$-����
�� ���������� ����������� $n$-������������ ����������� ������ 
������������� $(1,1)$-�������.
��������� ��������, ������������ ������� �����-�������,
��������, ��� ������������, �� ������� ��� 
$dd^c$-��������� $(n-1,n-1)$-����, ���������
$dd^c$-������ ������������� $(1,1)$-�����.
�������� �� ����� ������������� ��������� 
������, ��� ������� �����������
$dd^c(\omega^{n-1})=0$.
\��

\hfill

\noindent
{\bf \Large ����������:}
{\small
\begin{thebibliography}{666}

\bibitem[G]{_Gauduchon:nulle_}
P. Gauduchon {\em Le th\'eorem\`e de l'excentricit\'e nulle}, 
Comptes Rendus (Acad. Sc. Paris) Serie A. 285, 387-390 (1977). 

\bibitem[GT]{_Gilbarg_Trudinger_}
D. Gilbarg, N. S. Trudinger, 
{\em Elliptic Partial Differential Equations of Second
 Order,} Springer-Verlag, 1983

\bibitem[IP]{_Ivanov_Papadopoulos_} S. Ivanov, G. Papadopoulos
{\em A no-go theorem for string warped compactifications},
Phys. Lett. B 497, 309-316, 2001, hep-th/0008232.


\bibitem[LT]{_Lubke_Teleman_}
L\"ubke, M., Teleman, A., {\em 
The Kobayashi-Hitchin correspondence}, World
   Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, 
NJ, 1995. x+254 pp

\bibitem[V]{_Verbitsky:Hodge_}
�. ���������, "������ ����� � �� ����������", ������� � ������
(������� ������� 2006-�� ����, ���������, ����������).
\\{\tiny 
http://fizmatclub.spb.ru/courses/$\sharp$hodgetheoryandapplications}

\end{thebibliography}
}
\end{document}

