


\documentclass[10pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig,russlh}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\newcommand{\6}{\partial}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}



\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   18.04.2009}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2009} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\calo{{\cal O}}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}


\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\Large \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\следствие}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Следствие \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\лемма}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Упражнение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\хфилл{\hfill}
\def\ноиндент{\noindent}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\goth g}}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{1}
\lhead{{\scriptsize  Лекция 2. Положительные потоки}}
\chapter{Комплексные поверхности, лекция 2:
\\Положительные потоки и теорема Хана-Банаха}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Изложенный в лекции материал происходит (в основном)
из статьи Харви и Лоусона 1983-го года \cite{_Harvey_Lawson:currents_}.
Про потоки понятно рассказано в книжке Демайи
\cite{_Demailly_}. Теорема Хана-Банаха есть в книжке
Бурбаки, ``Топологические Векторные Пространства".

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Обобщенные функции}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Локально выпуклое топологическое векторное пространство это
топологическое векторное пространство, базу топологии
которого составляют выпуклые множества.
\ео


\определение
Рассмотрим векторное пространство,
снабженное набором норм  $|\cdot|_i$, $i=0, 1, 2, ...$
и топологией, которая задана метрикой вида
\begin{equation}\label{_Frechet_norms_Equation_}
d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty \frac{|x-y|_i}{1+ |x-y|_i}2^{-i}.
\end{equation}
Такое пространство называется {\бф пространством Фреше},
если эта метрика полна (т.е. любая последовательность
Коши в этой метрике сходится).
Отметим, что последовательность точек сходится в
топологии Фреше тогда и только тогда, когда
она сходится во всех нормах $|\cdot|_i$, а базой
топологии Фреше будут бесконечные пересечения
$\epsilon$-шаров вида \[ \bigcup_{i=0}^\infty B_x(\epsilon,|\cdot|_i), \]
во всех метриках $|\cdot|_i$ (докажите это). 
\ео

\упражнение
Проверьте это, и убедитесь, что пространство Фреше
локально выпукло.



\определение
Пусть $M$ - гладкое многообразие. Введем на $M$ метрику,
и пусть $\nabla^i:\; C^{\infty}(M) \arrow
\Lambda^1(М)^{\otimes i}$ - отображение, ставящее
в соответствие функции ее $i$-ю производную 
(здесь $\nabla$ обозначает связность Леви-Чивита).
Определим на пространстве функций с компактным носителем
топологию $C^k$, заданную нормой
\begin{equation}\label{_C^k_formula_Equation_}
  |\phi|_{C^k}:= \sup_M \sum_{i=0}^k |\nabla^i\phi|.
\end{equation}
Легко видеть, что эта топология не зависит
от выбора метрики на $M$ (докажите это). 
\ео

\определение
{\бф Пространство тест-функций} -- это пространство 
функций с компактным носителем, с метрикой,
которая задана по формуле \eqref{_Frechet_norms_Equation_}
исходя из норм $|\cdot|_{C^i}$
\ео

\упражнение
Докажите, что это пространство Фреше. Докажите, что
топология на пространстве тест-функций не зависит от
выбора метрики на $M$.


\определение
{\бф Обобщенной функцией} (распределением)
называется функционал на пространстве функций с компактным носителем,
непрерывный в одной из топологий $C^i$. 
На пространстве распределений задана 
{\бф слабая топология}, это слабейшая топология,
в которой спаривание с пространством тест-функций
непрерывно. 
\ео

\упражнение
Докажите, что слабая топология на обобщенных функциях
локально выпукла.


\пример
Дельта-функция $\delta_t$ -- функционал, 
ставящий $\phi$ в соответствие $\phi(t)$, 
где $t\in M$ -- точка. Легко видеть, что дельта-функция 
непрерывна в топологии $C^0$. Ее производная
непрерывна в $C^1$, и так далее.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Потоки на многообразиях}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
Пусть $M$ - многообразие, $B$ - расслоение.
Введем метрику на $M$ и связность с метрикой на $B$. 
Формула \eqref{_C^k_formula_Equation_} задает
норму $C^i$ на пространствах сечений $B$
с компактным носителем. Рассуждая, как для
функций, мы строим топологию Фреше на 
пространстве сечений, и проверяем, что
она не зависит от выбора метрики. 
\еза

\определение
{\бф $(p,q)$-потоком} на комплексном $n$-мерном 
многообразии называется функционал на
пространстве $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$
 $(n-p, n-q)$-форм с компактным
носителем, непрерывный в одной из $C^i$-\-то\-по\-ло\-гий.
\ео

\определение
{\бф Пространство тест-форм  типа $(p,q)$}
на комплексном многообразии это пространство
$(p,q)$-форм с компактным носителем, снабженное
структурой пространства Фреше по формуле
\eqref{_Frechet_norms_Equation_}, где нормы
$|\cdot|_i$ равны $C^i$.
\ео

\замечание
Потоки суть функционалы на $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$,
непрерывные в топологии тест-форм.
\еза

\замечание
Также потоки можно рассматривать как  $(p,q)$-\-фор\-мы
с коэффициентами в обобщенных функциях.
\еза

\замечание
Гладкую $(p,q)$-форму $\psi$ можно интерпретировать
как $(p,q)$-поток: для любой тест-формы
$\alpha\in\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$, рассмотрим
функционал $\alpha \arrow \int_M \psi \wedge\alpha$.
Это задает вложение $\Lambda^{p,q}(M)\hookrightarrow {\cal D}^{p,q}(M)$
из форм в потоки. Легко видеть, что потоки будут пополнением
$\Lambda^{p,q}(M)$ в топологии, двойственной топологии
на тест-формах.
\еза

\замечание
Поскольку дифференцирование вдоль векторного
поля непрерывно в топологии потоков (проверьте это),
на пространстве потоков определен дифференциал де Рама,
продолженный по непрерывности из пространства форм,
а также дифференциалы Дольбо $\6$ и $\bar\6$.
В квадрате эти дифференциалы равны нулю (проверьте).
Это позволяет определить когомологии де Рама и
Дольбо потоков.
\еза

\замечание
В пространстве потоков имеет места лемма Пуанкаре (о том,
что когомологии дифференциала де Рама порождены постоянными 
функциями) и Дольбо (о том,
что когомологии дифференциала Дольбо равны 
голоморфным функциям). Доказательство обычное
(см. задачи к этой лекции). Из лемм Пуанкаре и Дольбо
сразу следует, что потоки являются ацикличными
резольвентами к константам и к голоморфным функциям,
а значит их когомологии равны обычным когомологиям
де Рама и Дольбо.
\еза


\замечание
Из этого сразу следует, что образ $\6$, $d$ и $\bar\6$
замкнут в пространстве потоков на компактном
многообразии (проверьте).
\еза



\определение
{\бф Положительная $(1,1)$-форма} -- это вещественная
(1,1)-форма $\alpha$, удовлетворяющая $\alpha(x,Ix) \geq 0$,
для любого вещественного векторного поля $x$.
\ео

\замечание
Локально, положительную (1,1)-форму можно представить в виде
\[
\alpha= \sum_i \1\alpha_i dz_1 \wedge d\bar z_i,
\]
где $dz_i$ - базис в $\Lambda^{0,1}(M)$, а $\alpha_i\geq 0$
вещественные функции (проверьте это).
\еза

\определение
{\бф выпуклым конусом} в векторном пространстве $V$ называется
подмножество $A\subset V$, удовлетворяющее следующим свойствам.

1. $\forall x, y\in A$, их сумма тоже лежит в $A$.

2. $\forall x\in A, \lambda\in \R^{>0}$, $\lambda x$ 
также лежит в $A$.
\ео

\замечание
Положительные $(1,1)$-формы образуют выпуклый конус
в пространстве вещественных (1,1)-форм (проверьте это).
Взяв замыкание этого конуса в топологии потоков, мы получим
конус {\бф положительных потоков}.
\еза

\упражнение
Пусть  $dz_1, dz_2, ...$ - базис в $\Lambda^{0,1}(M)$.
Докажите, что все положительные потоки имеют такой вид:
\[
\eta= \sum_i \1\eta_i dz_1 \wedge d\bar z_i,
\]
где $\eta_i$ -- некоторая мера а на $M$.

\указание
Воспользуйтесь тем, что любой аддитивный,
$\R^{\geq 0}$-\-ли\-ней\-ный функционал на неотрицательных 
функциях, принимающий значения в $\R^{\geq 0}$,
непрерывен в $C^0$-топологии (докажите это).
Выведите из этого, что такой функционал
$\sigma$-аддитивен, значит, является мерой.
\еу

\замечание
Из этого ясно, что положительные
потоки непрерывны в $C^0$-топологии.
\еза

\определение
Пусть $M$ - комплексное, $n$-мерное многообразие.
$(n-1,n-1)$-поток $\eta$ называется {\бф положительным}
если $\int_M \eta \wedge \alpha\geq 0$ для любой
положительной $(1,1)$-формы,
\ео


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Кэлеровы формы и теорема Хана-Банаха}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Теорема Хана-Банаха потребуется нам в такой форме
(доказательство см. задачи).


\хфилл

\теорема
(Теорема Хана-Банаха о разделении)
Пусть $V$ - топологическое
векторное пространство, $A\subset V$ - 
открытый выпуклый конус, не содержащий 0,
$W\subset V$ - замкнутое подпространство, а
$\theta_W$ - непрерывный линейный функционал
на $W$, положительный на $W\cap A$. Тогда на $V$ 
существует непрерывный, линейный функционал $\theta$,
такой, что $\theta\restrict A> 0$,
а $\theta\restrict W = \theta_W$. \хфилл \endproof

\хфилл

\замечание
Мы будем применять следующее утверждение,
которое является частным случаем теоремы Хана-Банаха.
Пусть $V$ - топологическое
векторное пространство, $A\subset V$ - 
открытый выпуклый конус, не содержащий 0,
а $W\subset V$ - замкнутое подпространство,
не пересекающее $A$. Тогда на $V$
существует непрерывный, линейный функционал $\theta$,
такой, что $\theta\restrict A> 0$, a $\theta\restrict W = 0$.
\еза

\определение
Строго положительная форма - форма, лежащая
во внутренности положительного конуса.
\ео

\упражнение 
Докажите, что $(1,1)$-форма $\alpha$ строго положительна
тогда и только тогда, когда $\alpha(x, Ix) >0$
для любого $x\in TM$.

\замечание
Многообразие называется кэлеровым, если
на нем существует строго положительная,
замкнутая форма. Это одно из определений.
\еза

\замечание
Если поток $\theta$, заданный
на компактном многообразии, зануляется на замкнутых формах,
то он точен. Действительно, 
\[ 0 = 
\int_M \theta \wedge d \alpha= 
(-1)^{\deg \theta} \int_M d\theta \wedge  \alpha,
\]
значит, $d\theta$ зануляется на любой тест-форме, значит,
он равен нулю. Но класс когомологий $\theta$ тоже
равен нулю, потому что для ненулевого класса когомологий
существует замкнутая форма $\alpha$
с $\int_M \theta \wedge \alpha\neq 0$
по двойственности Пуанкаре.
\еза


Аналогичное рассуждение можно использовать
для доказательства следующей леммы.

\хфилл

\лемма
Пусть $M$ - компактное комплексное
$n$-мерное многообразие, а $\theta$ -- 
$(n-1,n-1)$-поток, который зануляется
на замкнутых $(1,1)$-формах. 
Тогда $\theta$ -- $(n-1,n-1)$-часть точного потока
$\tilde \theta$.

\хфилл

{\бф Доказательство:}
Пусть $V$ -- пространство 2-форм,
с топологией Фреше. Пространство (1,1)-форм 
замкнуто в $V$, пространство замкнутых
форм тоже замкнуто. Пусть $W$ -- подпространство
в $V$, порожденное замкнутыми формами и $(1,1)$-формами.
Оно замкнуто. Определим функционал $\theta_1$
на $W$ так: на $(1,1)$-формах $\theta_1=\theta$,
на замкнутых формах $\theta_1=0$. По теореме 
Хана-Банаха, $\theta_1$ 
продолжается до функционала $\tilde \theta$ на $V$.
В силу предыдущего замечания, $\tilde\theta$
точен. \endproof

\хфилл

\теорема
(Харви-Лоусон, 1983)
Пусть $M$ - комплексное, компактное многообразие,
не допускающее кэлеровой метрики. Тогда на $M$ существует
ненулевой положительный $(n-1,n-1)$-поток, который является
$(n-1,n-1)$-частью потока вида $d\alpha$.

\хфилл

{\бф Доказательство:} Пусть $V$ - пространство 
вещественных $(1,1)$-\-форм на $M$, с топологией пространства 
Фреше, $A\subset V$ - строго положительные $(1,1)$-формы, 
а $W\subset V$ - пространство
замкнутых $(1,1)$-форм. Если $M$ не кэлерово, то 
$A\cap W=\emptyset$, и существует непрерывный
функционал $\theta$ на $V$, зануляющийся на $W$,
и положительный на $A$. Непрерывные
функционалы на $V$ -- это $(n-1,n-1)$-потоки.
В силу предыдущей леммы, $\theta$
есть $(n-1,n-1)$-часть точного потока.
\endproof

\замечание
Если положительный поток $\theta$ на кэлеровом многообразии $M$
является $(n-1,n-1)$-частью точного потока, то 
$\int_M \theta \wedge \omega=0$, но в этом
случае $\theta=0$ (проверьте это).
\еза


\замечание
Оператор интегрирования формы вдоль кривой $C\subset M$
является положительным, замкнутым $(n-1,n-1)$-потоком (докажите это).
\еза





\следствие
Пусть $M \stackrel \pi \arrow X$ - голоморфное отображение
комплексных многообразий с одномерными слоями, $X$ кэлерово,
а $M$ некэлерово. Тогда любой гладкий слой $\pi$ гомологичен 
$(n-1,n-1)$-части точного потока. 

\хфилл

{\бф Доказательство:}
Рассмотрим отображение прямого образа 
$\pi_*$ на потоках, двойственное
обратному образу дифференциальных форм. Полезно думать про 
это отображение, как про интегрирование вдоль слоев $\pi$. Оно
переводит $(n-1,n-1)$-потоки в $(n-2,n-2)$-потоки,
положительные потоки в положительные, и коммутирует
с дифференциалом де Рама (проверьте это). Рассмотрим
точный потом $\tilde \theta$ с положительной $(1,1)$-частью $\theta$.
Поскольку на кэлеровом многообразии положительный
поток, который равен $(n-2,n-2)$-части точной
формы, зануляется (проверьте это), $\pi_*\theta=0$.
Подобное может случиться, только если $\theta$
имеет вид 
\[ \theta = \mu \pi^* \Vol_X
\]
где $\mu$ - мера на $M$, а $\Vol_X$ - форма объема на $X$. Поскольку
$dd^c\theta=0$, $\mu$ постоянна на каждом
слое $\pi$, и, следовательно, $\mu = \pi^*\mu_0$
для какой-то меры на $X$. Поскольку
$\pi^* \mu_0 \Vol_X$  гомологична 
$\delta$-функции, рассмотренной как 
форма старшей степени, слой $\pi$
гомологичен $(n-1,n-1)$-части точного потока.
\endproof

\hfill

\следствие
Пусть $M$ - некэлерова поверхность, 
голоморфно расслоенная над кривой:
 $M \stackrel \pi \arrow X$
Тогда общий слой $\pi$ гомологичен нулю.

\хфилл

{\бф Доказательство:}
В силу аргумента, приведенного выше,
фундаментальный класс общего слоя $\pi$
пропорционален $\omega_0:=\pi^*\Vol_X$, где
$\Vol_X$ -- кэлерова форма на $X$.
Поэтому $\omega_0$ -- $(1,1)$-часть
точной формы $d\theta$. Выбрав $\theta$ 
вещественным, получим $(d\theta)^{2,0}=
\overline{(d\theta)^{0,2}}$,
а следовательно,
\[
0 = \int_M d\theta\wedge d\theta= 2 \int_M (d\theta)^{2,0}\wedge (d\theta)^{0,2}
= \int_M |(d\theta)^{2,0}|^2,
\]
Мы получили $(d\theta)^{2,0}=0$, значит $\omega_0=d\theta$.
\endproof



\setcounter{zadacha}{0}


\hfill

\hfill

\noindent
{\bf \Large Задачи.}

\задача
Пусть $A_0\stackrel d \arrow A_1 \stackrel d \arrow A_2$
комплекс, на котором задана {\бф гомотопия}, то есть 
оператор $\gamma:\; A_i \arrow A_{i-1}$, такой, что
$d\circ \gamma + \gamma\circ d=\Id_{A_1}$ на $A_1$.
Докажите, что у $d$ нет когомологий.
\ез

\задача
Пусть на многообразии $M$ задано векторное поле
$v$ такое, что производная Ли вдоль $v$ обратима, 
и обратный оператор коммутирует с $d$. Докажите, что 
$(\Lie_v)^{-1}$ - гомотопия.
\ез

\указание
Воспользуйтесь формулой Картана:
$\Lie_v\eta = d(\eta \cntrct v) - (d\eta)\cntrct v$
и выведите из нее, что 
$\eta = d(\Lie_v^{-1}\eta \cntrct v) - (d\Lie_v^{-1}\eta)\cntrct v$.
\еу

\задача
Пусть $M\subset \R^n$ -- звездчатая область, то есть
такая, что отображение $x \arrow \lambda x$ переводит
$M$ в $M$ для любого $\lambda \leq 1$.
Докажите, что производная Ли вдоль радиального
векторного поля $\sum x_i \frac d {dx_i}$
обратима на $i$-формах, для $i>0$
\ез

\указание
Интегрируйте коэффициенты формы вдоль отрезка\\
$[0,x]$.
\еу

\задача
Почему этот аргумент не работает для $i=0$?
\ез

\задача
Докажите лемму Пуанкаре для потоков.
\ез

\задача
Пусть $v$ - голоморфное векторное поле
на многообразии, такое, что производная Ли вдоль
$v$ обратима, и обратный оператор
коммутирует с дифференциалом де Рама. Докажите, что 
\[ 
  \eta = \6(\Lie_v^{-1}\eta \cntrct v) -
  (\6\Lie_v^{-1}\eta)\cntrct v
\]
Можно ли из этого вывести лемму Дольбо об
обращении в нуль когомологий $\6$ в шаре?
\ез


\задача
Многообразие Фреше -- пространство, локально
покрытое картами, гомеоморфными открытому шару
в пространстве Фреше, и функции перехода между картами
дифференцируемы как отображения пространств Фреше. 
Определим бесконечномерную  группу Ли как многообразие Фреше,
снабженное групповой структурой, которая 
дифференцируема в этих картах. Докажите,
что группа диффеоморфизмов многообразия
это бесконечномерная группа Ли.
\ез

\задача
Докажите, что теорема Хана-Банаха эквивалентна следующему
утверждению. Пусть $V$ - топологическое
векторное пространство, а $A\subset V$ - 
открытый выпуклый конус, не содержащий 0. 
Тогда существует гиперплоскость 
$H\subset V$, такая, что 
$A \cap H=\emptyset$.\footnote{Это значит, что 
все $A$ лежит по одну сторону $H$.} Более того,
если в замкнутом подпространстве $W\subset V$
есть гиперплоскость $H_W$, которая
не пересекает $A\cap W$, то $H$
можно выбрать таким образом, чтобы
$H\cap W=H_W$.
\ез

\задача
Пусть $A\subset \R^2$ выпуклый, открытый конус,
не содержащий 0. Докажите, что в $\R^2$ есть
гиперплоскость $h$, которая не пересекает $A$.
\ез

\задача
Пусть $V_0\subset V$ - подпространство
такое, что $V_0\subset V$ замкнуто, $V/V_0$ одномерно,
а $A\subset V$ - открытый выпуклый конус, не содержащий 0. 
Предположим, что в $V_0$ теорема Хана-Банаха уже
доказана, и  в $V_0$ есть гиперплоскость $H_0= \ker \theta_0$,
которая не пересекает $V_0\cap A$
Проекция $\pi:\; V \arrow V/H$ переводит $A$ в
выпуклый конус в $\R^2$. Выведите из
предыдущей задачи, что в $V$ есть прямая
$\pi^{-1}(h)$, которая не пересекает $A$.
\ез

\задача
Докажите теорему Хана-Банаха
(воспользуйтесь леммой Цорна, то есть индукцией
по вложенным подпространствам и их замыканиям,
и предыдущей задачей).
\ез

\задача
Напомним, что аффинная функция на векторном пространстве
-- это сумма линейного функционала и постоянного отображения.
Пусть даны два выпуклых, открытых, непересекающихся подмножества
$A$, $B$ в топологическом векторном пространстве $V$. Докажите, что
найдется непрерывная аффинная функция на $V$, строго положительная на одном
из них, и строго отрицательная на другом.
\ез

\задача
В условиях предыдущей задачи, пусть $A$, $B$ -
непересекающиеся {\ем замкнутые} выпуклые подмножества.
Всегда ли найдется непрерывная аффинная функция $\mu$ на 
$V$, строго положительная на одном из них, и строго
отрицательная на другом? 
\ез

\задача
Всегда ли найдется такая функция, если допустить, чтобы
$\mu$ равнялось нулю где-то на $A$ или на $B$?
\ез

\задача
Пусть $M$ - компактная комплексная 
поверхность, а $\eta\in H^2(M)$ - класс когомологий,
который не является кэлеровым. Докажите, что
существует положительный, замкнутый $(1,1)$-поток
$\mu$ такой, что $\int_M \eta \wedge\mu\leq 0$.
\ез


\задача
Пусть $M$ -- компактное, комплексное некэлерово 
многообразие,  снабженное гладким голоморфным 
отображением $M \stackrel \pi \arrow X$ на кэлерово многообразие
размерности $\dim M -1$. Докажите, что слой
$\pi$ -- эллиптическая кривая. 
\ез

\замечание
Такие отображения называются {\бф эллиптическими
слоениями}.
\еза

\задача
Постройте комплексную структуру на $SU(3)$,
и голомор\-фное отображение из полученного четырехмерного
комплексного многообразия в
трехмерное кэлерово многообразие. Что это за трехмерное 
многообразие?
\ез

\задача
Постройте нетривиальное эллиптическое слоение над \\ $\C
P^1\times \C P^1$.
Можно ли добиться, чтобы его тотальное пространство было односвязно?
\ез


\noindent
{\bf \Large Литература:}
{\small
\begin{thebibliography}{666}

\bibitem[D]{_Demailly_} 
Demailly, J.-P.,
{\em Complex analytic and algebraic geometry},
a book, \\{\tiny http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html}


\bibitem[HL]{_Harvey_Lawson:currents_}
R. Harvey and H. B. Lawson, 
{\em "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds,"} 
Invent. Math 74 (1983) 169-198.

\end{thebibliography}
}
\end{document}

