\documentclass[10pt]{book} \usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig,russlh} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}} \newcommand{\6}{\partial} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 18.04.2009} \setlength{\headheight}{15pt} \pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2009} \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version} \rhead{{\small Миша Вербицкий}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % equations % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \@addtoreset{footnote}{section} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % listki-new.tex % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\calo{{\cal O}} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] % \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string % \\ \string \hline} }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3} \string & \string \grd \string & \string\grp \string \\ \string \hline} }} \endgroup \theoremstyle{upshape} \newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter] \begingroup \gdef\th@generic{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] }} \endgroup \theoremstyle{generic} \newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение} \newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание} \newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание} \renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.} \newcommand{\listok}[2]{% \setcounter{page}{1} \renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil} \renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil} \section*{#2} \refstepcounter{section} \setcounter{section}{#1} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % VEDOMOST GENERATION %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\newwrite\Vedomost %\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm %\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }} \newcommand{\writevedomost}[1]{} \def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}} \def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Chapter % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\chapter}{% \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred} \def\ChapterNumbered[#1]#2{% \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1} \refstepcounter{chapter} { \vspace{\baselineskip} \chaptermark{#2} { {{\noindent\bf\Large \thechapter. \ #2\par}}} } \vspace{\baselineskip} } \newcommand{\ChapterStarred}[1]{% \refstepcounter{chapter} \chaptermark{#1}% \vspace{\baselineskip}} \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}} \newcommand{\следствие}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Следствие \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\пример}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\лемма}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\теорема}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\утверждение}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\упражнение}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Упражнение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \def\хфилл{\hfill} \def\ноиндент{\noindent} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\задача{\begin{zadacha}} \def\ез{\end{zadacha}} \def\замечание{\begin{zamechanie}} \def\еза{\end{zamechanie}} \def\указание{\begin{ukazanie}} \def\еу{\end{ukazanie}} \def\eu{\end{ukazanie}} \def\определение{\begin{opredelenie}} \def\ео{\end{opredelenie}} \def\eo{\end{opredelenie}} \def\goth{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\goth g}} \def\енум{\begin{enumerate}} \def\ее{\end{enumerate}} \def\ee{\end{enumerate}} \def\итем{\item $\bullet$ % \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } } \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setcounter{chapter}{1} \lhead{{\scriptsize Лекция 2. Положительные потоки}} \chapter{Комплексные поверхности, лекция 2: \\Положительные потоки и теорема Хана-Банаха} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Изложенный в лекции материал происходит (в основном) из статьи Харви и Лоусона 1983-го года \cite{_Harvey_Lawson:currents_}. Про потоки понятно рассказано в книжке Демайи \cite{_Demailly_}. Теорема Хана-Банаха есть в книжке Бурбаки, ``Топологические Векторные Пространства". %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Обобщенные функции} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Локально выпуклое топологическое векторное пространство это топологическое векторное пространство, базу топологии которого составляют выпуклые множества. \ео \определение Рассмотрим векторное пространство, снабженное набором норм $|\cdot|_i$, $i=0, 1, 2, ...$ и топологией, которая задана метрикой вида \begin{equation}\label{_Frechet_norms_Equation_} d(x,y) = \sum_{i=0}^\infty \frac{|x-y|_i}{1+ |x-y|_i}2^{-i}. \end{equation} Такое пространство называется {\бф пространством Фреше}, если эта метрика полна (т.е. любая последовательность Коши в этой метрике сходится). Отметим, что последовательность точек сходится в топологии Фреше тогда и только тогда, когда она сходится во всех нормах $|\cdot|_i$, а базой топологии Фреше будут бесконечные пересечения $\epsilon$-шаров вида \[ \bigcup_{i=0}^\infty B_x(\epsilon,|\cdot|_i), \] во всех метриках $|\cdot|_i$ (докажите это). \ео \упражнение Проверьте это, и убедитесь, что пространство Фреше локально выпукло. \определение Пусть $M$ - гладкое многообразие. Введем на $M$ метрику, и пусть $\nabla^i:\; C^{\infty}(M) \arrow \Lambda^1(М)^{\otimes i}$ - отображение, ставящее в соответствие функции ее $i$-ю производную (здесь $\nabla$ обозначает связность Леви-Чивита). Определим на пространстве функций с компактным носителем топологию $C^k$, заданную нормой \begin{equation}\label{_C^k_formula_Equation_} |\phi|_{C^k}:= \sup_M \sum_{i=0}^k |\nabla^i\phi|. \end{equation} Легко видеть, что эта топология не зависит от выбора метрики на $M$ (докажите это). \ео \определение {\бф Пространство тест-функций} -- это пространство функций с компактным носителем, с метрикой, которая задана по формуле \eqref{_Frechet_norms_Equation_} исходя из норм $|\cdot|_{C^i}$ \ео \упражнение Докажите, что это пространство Фреше. Докажите, что топология на пространстве тест-функций не зависит от выбора метрики на $M$. \определение {\бф Обобщенной функцией} (распределением) называется функционал на пространстве функций с компактным носителем, непрерывный в одной из топологий $C^i$. На пространстве распределений задана {\бф слабая топология}, это слабейшая топология, в которой спаривание с пространством тест-функций непрерывно. \ео \упражнение Докажите, что слабая топология на обобщенных функциях локально выпукла. \пример Дельта-функция $\delta_t$ -- функционал, ставящий $\phi$ в соответствие $\phi(t)$, где $t\in M$ -- точка. Легко видеть, что дельта-функция непрерывна в топологии $C^0$. Ее производная непрерывна в $C^1$, и так далее. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Потоки на многообразиях} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Пусть $M$ - многообразие, $B$ - расслоение. Введем метрику на $M$ и связность с метрикой на $B$. Формула \eqref{_C^k_formula_Equation_} задает норму $C^i$ на пространствах сечений $B$ с компактным носителем. Рассуждая, как для функций, мы строим топологию Фреше на пространстве сечений, и проверяем, что она не зависит от выбора метрики. \еза \определение {\бф $(p,q)$-потоком} на комплексном $n$-мерном многообразии называется функционал на пространстве $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$ $(n-p, n-q)$-форм с компактным носителем, непрерывный в одной из $C^i$-\-то\-по\-ло\-гий. \ео \определение {\бф Пространство тест-форм типа $(p,q)$} на комплексном многообразии это пространство $(p,q)$-форм с компактным носителем, снабженное структурой пространства Фреше по формуле \eqref{_Frechet_norms_Equation_}, где нормы $|\cdot|_i$ равны $C^i$. \ео \замечание Потоки суть функционалы на $\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$, непрерывные в топологии тест-форм. \еза \замечание Также потоки можно рассматривать как $(p,q)$-\-фор\-мы с коэффициентами в обобщенных функциях. \еза \замечание Гладкую $(p,q)$-форму $\psi$ можно интерпретировать как $(p,q)$-поток: для любой тест-формы $\alpha\in\Lambda^{n-p,n-q}_c(M)$, рассмотрим функционал $\alpha \arrow \int_M \psi \wedge\alpha$. Это задает вложение $\Lambda^{p,q}(M)\hookrightarrow {\cal D}^{p,q}(M)$ из форм в потоки. Легко видеть, что потоки будут пополнением $\Lambda^{p,q}(M)$ в топологии, двойственной топологии на тест-формах. \еза \замечание Поскольку дифференцирование вдоль векторного поля непрерывно в топологии потоков (проверьте это), на пространстве потоков определен дифференциал де Рама, продолженный по непрерывности из пространства форм, а также дифференциалы Дольбо $\6$ и $\bar\6$. В квадрате эти дифференциалы равны нулю (проверьте). Это позволяет определить когомологии де Рама и Дольбо потоков. \еза \замечание В пространстве потоков имеет места лемма Пуанкаре (о том, что когомологии дифференциала де Рама порождены постоянными функциями) и Дольбо (о том, что когомологии дифференциала Дольбо равны голоморфным функциям). Доказательство обычное (см. задачи к этой лекции). Из лемм Пуанкаре и Дольбо сразу следует, что потоки являются ацикличными резольвентами к константам и к голоморфным функциям, а значит их когомологии равны обычным когомологиям де Рама и Дольбо. \еза \замечание Из этого сразу следует, что образ $\6$, $d$ и $\bar\6$ замкнут в пространстве потоков на компактном многообразии (проверьте). \еза \определение {\бф Положительная $(1,1)$-форма} -- это вещественная (1,1)-форма $\alpha$, удовлетворяющая $\alpha(x,Ix) \geq 0$, для любого вещественного векторного поля $x$. \ео \замечание Локально, положительную (1,1)-форму можно представить в виде \[ \alpha= \sum_i \1\alpha_i dz_1 \wedge d\bar z_i, \] где $dz_i$ - базис в $\Lambda^{0,1}(M)$, а $\alpha_i\geq 0$ вещественные функции (проверьте это). \еза \определение {\бф выпуклым конусом} в векторном пространстве $V$ называется подмножество $A\subset V$, удовлетворяющее следующим свойствам. 1. $\forall x, y\in A$, их сумма тоже лежит в $A$. 2. $\forall x\in A, \lambda\in \R^{>0}$, $\lambda x$ также лежит в $A$. \ео \замечание Положительные $(1,1)$-формы образуют выпуклый конус в пространстве вещественных (1,1)-форм (проверьте это). Взяв замыкание этого конуса в топологии потоков, мы получим конус {\бф положительных потоков}. \еза \упражнение Пусть $dz_1, dz_2, ...$ - базис в $\Lambda^{0,1}(M)$. Докажите, что все положительные потоки имеют такой вид: \[ \eta= \sum_i \1\eta_i dz_1 \wedge d\bar z_i, \] где $\eta_i$ -- некоторая мера а на $M$. \указание Воспользуйтесь тем, что любой аддитивный, $\R^{\geq 0}$-\-ли\-ней\-ный функционал на неотрицательных функциях, принимающий значения в $\R^{\geq 0}$, непрерывен в $C^0$-топологии (докажите это). Выведите из этого, что такой функционал $\sigma$-аддитивен, значит, является мерой. \еу \замечание Из этого ясно, что положительные потоки непрерывны в $C^0$-топологии. \еза \определение Пусть $M$ - комплексное, $n$-мерное многообразие. $(n-1,n-1)$-поток $\eta$ называется {\бф положительным} если $\int_M \eta \wedge \alpha\geq 0$ для любой положительной $(1,1)$-формы, \ео %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Кэлеровы формы и теорема Хана-Банаха} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Теорема Хана-Банаха потребуется нам в такой форме (доказательство см. задачи). \хфилл \теорема (Теорема Хана-Банаха о разделении) Пусть $V$ - топологическое векторное пространство, $A\subset V$ - открытый выпуклый конус, не содержащий 0, $W\subset V$ - замкнутое подпространство, а $\theta_W$ - непрерывный линейный функционал на $W$, положительный на $W\cap A$. Тогда на $V$ существует непрерывный, линейный функционал $\theta$, такой, что $\theta\restrict A> 0$, а $\theta\restrict W = \theta_W$. \хфилл \endproof \хфилл \замечание Мы будем применять следующее утверждение, которое является частным случаем теоремы Хана-Банаха. Пусть $V$ - топологическое векторное пространство, $A\subset V$ - открытый выпуклый конус, не содержащий 0, а $W\subset V$ - замкнутое подпространство, не пересекающее $A$. Тогда на $V$ существует непрерывный, линейный функционал $\theta$, такой, что $\theta\restrict A> 0$, a $\theta\restrict W = 0$. \еза \определение Строго положительная форма - форма, лежащая во внутренности положительного конуса. \ео \упражнение Докажите, что $(1,1)$-форма $\alpha$ строго положительна тогда и только тогда, когда $\alpha(x, Ix) >0$ для любого $x\in TM$. \замечание Многообразие называется кэлеровым, если на нем существует строго положительная, замкнутая форма. Это одно из определений. \еза \замечание Если поток $\theta$, заданный на компактном многообразии, зануляется на замкнутых формах, то он точен. Действительно, \[ 0 = \int_M \theta \wedge d \alpha= (-1)^{\deg \theta} \int_M d\theta \wedge \alpha, \] значит, $d\theta$ зануляется на любой тест-форме, значит, он равен нулю. Но класс когомологий $\theta$ тоже равен нулю, потому что для ненулевого класса когомологий существует замкнутая форма $\alpha$ с $\int_M \theta \wedge \alpha\neq 0$ по двойственности Пуанкаре. \еза Аналогичное рассуждение можно использовать для доказательства следующей леммы. \хфилл \лемма Пусть $M$ - компактное комплексное $n$-мерное многообразие, а $\theta$ -- $(n-1,n-1)$-поток, который зануляется на замкнутых $(1,1)$-формах. Тогда $\theta$ -- $(n-1,n-1)$-часть точного потока $\tilde \theta$. \хфилл {\бф Доказательство:} Пусть $V$ -- пространство 2-форм, с топологией Фреше. Пространство (1,1)-форм замкнуто в $V$, пространство замкнутых форм тоже замкнуто. Пусть $W$ -- подпространство в $V$, порожденное замкнутыми формами и $(1,1)$-формами. Оно замкнуто. Определим функционал $\theta_1$ на $W$ так: на $(1,1)$-формах $\theta_1=\theta$, на замкнутых формах $\theta_1=0$. По теореме Хана-Банаха, $\theta_1$ продолжается до функционала $\tilde \theta$ на $V$. В силу предыдущего замечания, $\tilde\theta$ точен. \endproof \хфилл \теорема (Харви-Лоусон, 1983) Пусть $M$ - комплексное, компактное многообразие, не допускающее кэлеровой метрики. Тогда на $M$ существует ненулевой положительный $(n-1,n-1)$-поток, который является $(n-1,n-1)$-частью потока вида $d\alpha$. \хфилл {\бф Доказательство:} Пусть $V$ - пространство вещественных $(1,1)$-\-форм на $M$, с топологией пространства Фреше, $A\subset V$ - строго положительные $(1,1)$-формы, а $W\subset V$ - пространство замкнутых $(1,1)$-форм. Если $M$ не кэлерово, то $A\cap W=\emptyset$, и существует непрерывный функционал $\theta$ на $V$, зануляющийся на $W$, и положительный на $A$. Непрерывные функционалы на $V$ -- это $(n-1,n-1)$-потоки. В силу предыдущей леммы, $\theta$ есть $(n-1,n-1)$-часть точного потока. \endproof \замечание Если положительный поток $\theta$ на кэлеровом многообразии $M$ является $(n-1,n-1)$-частью точного потока, то $\int_M \theta \wedge \omega=0$, но в этом случае $\theta=0$ (проверьте это). \еза \замечание Оператор интегрирования формы вдоль кривой $C\subset M$ является положительным, замкнутым $(n-1,n-1)$-потоком (докажите это). \еза \следствие Пусть $M \stackrel \pi \arrow X$ - голоморфное отображение комплексных многообразий с одномерными слоями, $X$ кэлерово, а $M$ некэлерово. Тогда любой гладкий слой $\pi$ гомологичен $(n-1,n-1)$-части точного потока. \хфилл {\бф Доказательство:} Рассмотрим отображение прямого образа $\pi_*$ на потоках, двойственное обратному образу дифференциальных форм. Полезно думать про это отображение, как про интегрирование вдоль слоев $\pi$. Оно переводит $(n-1,n-1)$-потоки в $(n-2,n-2)$-потоки, положительные потоки в положительные, и коммутирует с дифференциалом де Рама (проверьте это). Рассмотрим точный потом $\tilde \theta$ с положительной $(1,1)$-частью $\theta$. Поскольку на кэлеровом многообразии положительный поток, который равен $(n-2,n-2)$-части точной формы, зануляется (проверьте это), $\pi_*\theta=0$. Подобное может случиться, только если $\theta$ имеет вид \[ \theta = \mu \pi^* \Vol_X \] где $\mu$ - мера на $M$, а $\Vol_X$ - форма объема на $X$. Поскольку $dd^c\theta=0$, $\mu$ постоянна на каждом слое $\pi$, и, следовательно, $\mu = \pi^*\mu_0$ для какой-то меры на $X$. Поскольку $\pi^* \mu_0 \Vol_X$ гомологична $\delta$-функции, рассмотренной как форма старшей степени, слой $\pi$ гомологичен $(n-1,n-1)$-части точного потока. \endproof \hfill \следствие Пусть $M$ - некэлерова поверхность, голоморфно расслоенная над кривой: $M \stackrel \pi \arrow X$ Тогда общий слой $\pi$ гомологичен нулю. \хфилл {\бф Доказательство:} В силу аргумента, приведенного выше, фундаментальный класс общего слоя $\pi$ пропорционален $\omega_0:=\pi^*\Vol_X$, где $\Vol_X$ -- кэлерова форма на $X$. Поэтому $\omega_0$ -- $(1,1)$-часть точной формы $d\theta$. Выбрав $\theta$ вещественным, получим $(d\theta)^{2,0}= \overline{(d\theta)^{0,2}}$, а следовательно, \[ 0 = \int_M d\theta\wedge d\theta= 2 \int_M (d\theta)^{2,0}\wedge (d\theta)^{0,2} = \int_M |(d\theta)^{2,0}|^2, \] Мы получили $(d\theta)^{2,0}=0$, значит $\omega_0=d\theta$. \endproof \setcounter{zadacha}{0} \hfill \hfill \noindent {\bf \Large Задачи.} \задача Пусть $A_0\stackrel d \arrow A_1 \stackrel d \arrow A_2$ комплекс, на котором задана {\бф гомотопия}, то есть оператор $\gamma:\; A_i \arrow A_{i-1}$, такой, что $d\circ \gamma + \gamma\circ d=\Id_{A_1}$ на $A_1$. Докажите, что у $d$ нет когомологий. \ез \задача Пусть на многообразии $M$ задано векторное поле $v$ такое, что производная Ли вдоль $v$ обратима, и обратный оператор коммутирует с $d$. Докажите, что $(\Lie_v)^{-1}$ - гомотопия. \ез \указание Воспользуйтесь формулой Картана: $\Lie_v\eta = d(\eta \cntrct v) - (d\eta)\cntrct v$ и выведите из нее, что $\eta = d(\Lie_v^{-1}\eta \cntrct v) - (d\Lie_v^{-1}\eta)\cntrct v$. \еу \задача Пусть $M\subset \R^n$ -- звездчатая область, то есть такая, что отображение $x \arrow \lambda x$ переводит $M$ в $M$ для любого $\lambda \leq 1$. Докажите, что производная Ли вдоль радиального векторного поля $\sum x_i \frac d {dx_i}$ обратима на $i$-формах, для $i>0$ \ез \указание Интегрируйте коэффициенты формы вдоль отрезка\\ $[0,x]$. \еу \задача Почему этот аргумент не работает для $i=0$? \ез \задача Докажите лемму Пуанкаре для потоков. \ез \задача Пусть $v$ - голоморфное векторное поле на многообразии, такое, что производная Ли вдоль $v$ обратима, и обратный оператор коммутирует с дифференциалом де Рама. Докажите, что \[ \eta = \6(\Lie_v^{-1}\eta \cntrct v) - (\6\Lie_v^{-1}\eta)\cntrct v \] Можно ли из этого вывести лемму Дольбо об обращении в нуль когомологий $\6$ в шаре? \ез \задача Многообразие Фреше -- пространство, локально покрытое картами, гомеоморфными открытому шару в пространстве Фреше, и функции перехода между картами дифференцируемы как отображения пространств Фреше. Определим бесконечномерную группу Ли как многообразие Фреше, снабженное групповой структурой, которая дифференцируема в этих картах. Докажите, что группа диффеоморфизмов многообразия это бесконечномерная группа Ли. \ез \задача Докажите, что теорема Хана-Банаха эквивалентна следующему утверждению. Пусть $V$ - топологическое векторное пространство, а $A\subset V$ - открытый выпуклый конус, не содержащий 0. Тогда существует гиперплоскость $H\subset V$, такая, что $A \cap H=\emptyset$.\footnote{Это значит, что все $A$ лежит по одну сторону $H$.} Более того, если в замкнутом подпространстве $W\subset V$ есть гиперплоскость $H_W$, которая не пересекает $A\cap W$, то $H$ можно выбрать таким образом, чтобы $H\cap W=H_W$. \ез \задача Пусть $A\subset \R^2$ выпуклый, открытый конус, не содержащий 0. Докажите, что в $\R^2$ есть гиперплоскость $h$, которая не пересекает $A$. \ез \задача Пусть $V_0\subset V$ - подпространство такое, что $V_0\subset V$ замкнуто, $V/V_0$ одномерно, а $A\subset V$ - открытый выпуклый конус, не содержащий 0. Предположим, что в $V_0$ теорема Хана-Банаха уже доказана, и в $V_0$ есть гиперплоскость $H_0= \ker \theta_0$, которая не пересекает $V_0\cap A$ Проекция $\pi:\; V \arrow V/H$ переводит $A$ в выпуклый конус в $\R^2$. Выведите из предыдущей задачи, что в $V$ есть прямая $\pi^{-1}(h)$, которая не пересекает $A$. \ез \задача Докажите теорему Хана-Банаха (воспользуйтесь леммой Цорна, то есть индукцией по вложенным подпространствам и их замыканиям, и предыдущей задачей). \ез \задача Напомним, что аффинная функция на векторном пространстве -- это сумма линейного функционала и постоянного отображения. Пусть даны два выпуклых, открытых, непересекающихся подмножества $A$, $B$ в топологическом векторном пространстве $V$. Докажите, что найдется непрерывная аффинная функция на $V$, строго положительная на одном из них, и строго отрицательная на другом. \ез \задача В условиях предыдущей задачи, пусть $A$, $B$ - непересекающиеся {\ем замкнутые} выпуклые подмножества. Всегда ли найдется непрерывная аффинная функция $\mu$ на $V$, строго положительная на одном из них, и строго отрицательная на другом? \ез \задача Всегда ли найдется такая функция, если допустить, чтобы $\mu$ равнялось нулю где-то на $A$ или на $B$? \ез \задача Пусть $M$ - компактная комплексная поверхность, а $\eta\in H^2(M)$ - класс когомологий, который не является кэлеровым. Докажите, что существует положительный, замкнутый $(1,1)$-поток $\mu$ такой, что $\int_M \eta \wedge\mu\leq 0$. \ез \задача Пусть $M$ -- компактное, комплексное некэлерово многообразие, снабженное гладким голоморфным отображением $M \stackrel \pi \arrow X$ на кэлерово многообразие размерности $\dim M -1$. Докажите, что слой $\pi$ -- эллиптическая кривая. \ез \замечание Такие отображения называются {\бф эллиптическими слоениями}. \еза \задача Постройте комплексную структуру на $SU(3)$, и голомор\-фное отображение из полученного четырехмерного комплексного многообразия в трехмерное кэлерово многообразие. Что это за трехмерное многообразие? \ез \задача Постройте нетривиальное эллиптическое слоение над \\ $\C P^1\times \C P^1$. Можно ли добиться, чтобы его тотальное пространство было односвязно? \ез \noindent {\bf \Large Литература:} {\small \begin{thebibliography}{666} \bibitem[D]{_Demailly_} Demailly, J.-P., {\em Complex analytic and algebraic geometry}, a book, \\{\tiny http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html} \bibitem[HL]{_Harvey_Lawson:currents_} R. Harvey and H. B. Lawson, {\em "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds,"} Invent. Math 74 (1983) 169-198. \end{thebibliography} } \end{document}