\documentclass[11pt]{book} \usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig,russlh} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 09.04.2009} \setlength{\headheight}{15pt} \pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2009} \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version} \rhead{{\small Миша Вербицкий}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % equations % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \@addtoreset{footnote}{section} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % listki-new.tex % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\calo{{\cal O}} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] % \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string % \\ \string \hline} }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3} \string & \string \grd \string & \string\grp \string \\ \string \hline} }} \endgroup \theoremstyle{upshape} \newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter] \begingroup \gdef\th@generic{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] }} \endgroup \theoremstyle{generic} \newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение} \newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание} \newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание} \renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.} \newcommand{\listok}[2]{% \setcounter{page}{1} \renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil} \renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil} \section*{#2} \refstepcounter{section} \setcounter{section}{#1} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % VEDOMOST GENERATION %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\newwrite\Vedomost %\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm %\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }} \newcommand{\writevedomost}[1]{} \def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}} \def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Chapter % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\chapter}{% \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred} \def\ChapterNumbered[#1]#2{% \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1} \refstepcounter{chapter} { \vspace{\baselineskip} \chaptermark{#2} { {{\noindent\bf\Large \thechapter. \ #2\par}}} } \vspace{\baselineskip} } \newcommand{\ChapterStarred}[1]{% \refstepcounter{chapter} \chaptermark{#1}% \vspace{\baselineskip}} \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}} \newcommand{\пример}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\лемма}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\теорема}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\утверждение}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \newcommand{\упражнение}{% \refstepcounter{zadacha} {\noindent\bf Упражнение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }} \def\хфилл{\hfill} \def\ноиндент{\noindent} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\задача{\begin{zadacha}} \def\ез{\end{zadacha}} \def\замечание{\begin{zamechanie}} \def\еза{\end{zamechanie}} \def\указание{\begin{ukazanie}} \def\еу{\end{ukazanie}} \def\eu{\end{ukazanie}} \def\определение{\begin{opredelenie}} \def\ео{\end{opredelenie}} \def\eo{\end{opredelenie}} \def\goth{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\goth g}} \def\енум{\begin{enumerate}} \def\ее{\end{enumerate}} \def\ee{\end{enumerate}} \def\итем{\item $\bullet$ % \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } } \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setcounter{chapter}{0} \lhead{{\scriptsize Лекция 1. Классификация Кодаиры-Энриквеса}} \chapter{Комплексные поверхности, лекция 1: \\Классификация Кода\-иры-\-Эн\-рик\-веса} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Под ``комплексной поверхностью'' будем понимать компактное, гладкое комплексное многообразие комплексной размерности 2. {\бф Минимальная поверхность} - поверхность, не содержащая дивизоров с самопересечением -1 (такие дивизоры можно сдуть, получив гладкую поверхность с меньшим вторым числом Бетти). \хфилл Утверждения о классификации Кодаиры (Теорема \ref{_Kodaira_klass_Theorem_} и Утверждение \ref{_Vaisman_Kodaira_Utv_}) доказаны не будут, остальной материал лекции вполне может быть доказан самостоятельно. \section{Классификация Кодаиры} \определение Пусть $M$ - комплексное многообразие, $K$ его канонический класс. Рассмотрим полином $P(N) = H^0(K^N)$. Степень этого полинома $\kappa(M)$ называется {\бф размерностью Кодаиры} $M$. Если $P$ тождественно нулевой, размерность Кодаиры считается равной $-\infty$. \ео Классификация алгебраических поверхностей была известна уже Эн\-рик\-ве\-су. Кодаира распространил ее на комплексные поверхности. \хфилл \теорема (Кодаира) Комплексная поверхность $M$ проективна, если выполнено любое из следующих равносильных утверждений. \begin{description} \item[(i)] $M$ алгебраична \item[(ii)] Поле мероморфных функций на $M$ имеет степень трансцендентности 2. \item[(iii)] На $M$ существует голоморфное линейное расслоение $L$ с $c_1(L)^2 >0$. \end{description} \hfill \упражнение Докажите это. \замечание Из этой теоремы немедленно следует, что форма пересечения на решетке Нерона-Севери неположительно определена. В частности, для любых $a, b\in NS(M)$ с $a^2=0$, имеем $ab=0$. Действительно, если $ab> 0$, выражение $(na+b)^2$ будет положительно для очень большого $n$. \еза \определение {\бф Поверхность класса VII} (Kodaira class VII surface) это поверхность с $\kappa(M)=-\infty$ и первым числом Бетти $b_1(M)=1$. {\бф Поверхность Кодаиры} (первичная) -- локально тривиальное голоморфное расслоение со слоем эллиптическая кривая над эллиптической кривой, с $b_1(M)=3$. Вторичная поверхность Кодаиры - фактор первичной поверхности Кодаиры по конечной группе, свободно действующей на ней, с $b_1(M)=1$. \ео \замечание У Кодаиры определение "класса VII" было другое, но вышеприведенное определение с тех пор стало стандартным. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \теорема\label{_Kodaira_klass_Theorem_} Пусть $M$ - минимальная комплексная поверхность, которая не алгебраична. Тогда $M$ принадлежит к одному из следующих классов. \begin{description} \item[$\kappa(M)=1$] $M$ это минимальная, собственно эллиптическая поверхность, причем все слои соответствующего эллиптического слоения изоморфны (могут встречаться кратные). \item[$\kappa(M)=0$] $M$ это К3 поверхность, тор или поверхность Кодаиры, первичная ($b_1(M)=3$) или вторичная ($b_1(M)=1$). \item[$\kappa(M)=-\infty$] $М$ - минимальная поверхность класса VII. \end{description} \замечание Если $\kappa(M)=1$, это значит, что $M$ допускает бесконечно много кривых в одном и том же классе когомологий $[C]$. В этом случае, самопересечение $C$ равно нулю, и пересечение $C$ с любой другой кривой тоже равно нулю. Из этого следует, что $M$ голоморфно расслаивается над кривой. Канонический класс общего слоя $C$ этого слоения можно вычислить по формуле присоединения: $K_C=K_M\restrict C$. Поскольку $C^2=0$ в решетке Нерона-Севери, $L\cdot C=0$ для любого $L\in NS(M)$. Поэтому $K_C=\calo$, и $M$ - эллиптическое слоение. Из этого же аргумента следует, что эллиптическое слоение на $M$ единственно. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Нильмногообразия и сольвмногообразия} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Пусть $G$ - связная вещественная группа Ли, $\g$ ее алгебра Ли. Левоинвариантные почти комплексные структуры на $G$ взаимно-однозначно соответствуют линейным эндоморфизмам $I:\; \g \arrow \g$, $I^2=-\Id$. Каждый такой эндоморфизм задает разложение комплексификации $\g_\C$ в сумму собственных подпространств: $\g_\C = \g^{1,0}\oplus \g^{0,1}$. Отметим, что каждое подпространство $\g^{1,0}\subset \g_\C$ половинной размерности получается таким образом, если $\g^{1,0}\cap \g =0$ (в этом случает подпространство $\g^{1,0}\subset \g_\C$ называется {\бф тотально мнимым}). Если такое пространство задано, $I\in \End(\g_\C)$ можно определить, положив его равным $\1$ на $\g^{1,0}$, и $-\1$ на комплексно сопряженном подпространстве $\g^{0,1}= \overline{\g^{1,0}}$. Такой оператор, легко видеть, вещественный (то есть задан на $\g$), и удовлетворяет $I^2=-\Id$. \hfill \утверждение Левоинвариантная почти комплексная структура на $\g$ интегрируема тогда и только тогда, когда $\g^{1,0}\subset \g_\C$ -- подалгебра Ли в $\g_\C$. \упражнение Докажите это. \hfill \определение В этом случае, $I$ называется {\бф левоинвариантной комплексной структурой}. \ео \определение Пусть $G$ - связная группа Ли (нильпотентная или разрешимая) снабженная левоинвариантной комплексной структурой, а $\Gamma\subset G$ - кокомпактная, дискретная подгруппа. Факторпространство $G/\Gamma$ (справа) наделено естественной комплексной структурой, поскольку левое и правое действие коммутируют. Оно называется {\бф комплексным нильмногообразием} (для нильпотентной группы Ли) и сольвмногообразием (для разрешимой). \ео Классификация комплексных двумерных ниль- и сольвмногообразий получена К. Хасегавой (\cite{_Hasegawa:solv_}). Хасегава доказал, что двумерные сольвмногообразия исчерпываются следующими классами. В дополнение к нильмногообразиям (тору и первичной поверхности Кодаиры), сольвмногообразиями являются поверхности Инуэ, вторичные поверхности Кодаиры, и биэллиптические поверхности. Поверхность Кодаиры строится довольно просто. Пусть $G$ - произведение верхнетреугольных матриц 2х2 на $\R$. В $G$ нетрудно построить комплексную структуру: для этого нужно в комплексификации $\g_\C$ соответствующей алгебры Ли найти абелеву, тотально мнимую двумерную подалгебру. В качестве решетки выберем целые матрицы, это и будет поверхность Кодаиры (первичная). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Локально конформно кэлеровы многообразия} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Многообразие $M$ называется {\бф локально кон\-фор\-м\-но кэлеровым} (LCK), если у $M$ есть кэлерово накрытие $\tilde M$ такое, что монодромия накрытия действует на $\tilde M$ гомотетиями. \ео \определение {\бф Голоморфным сжатием} называется голоморфное отображение \[ \C^2\stackrel \phi \arrow \C^2,\] сохраняющее $0$, и удовлетворяющее следующему условию. Для каждого компактного подмножества $K \subset \C^2$, и каждого открытого подмножества $U\subset \C^2$, содержащего 0, композиция $\phi$ с собой (много раз) переводит $K$ в подмножество $U$. Другими словами, отображение является голоморфным сжатием, если последовательность $\{\phi, \phi\circ \phi,\phi\circ \phi \circ \phi, ...\}$ сходится к тождественному отображению $\C^2 \arrow 0$ равномерно на компактах. \ео Если голоморфное сжатие является автоморфизмом, можно породить им подгруппу $\Gamma$ в автоморфизмах $\C^2$, изоморфную $\Z$. Легко видеть, что у каждой орбиты будет только одна предельная точка - 0. Поэтому голоморфное сжатие действует на $\C^2\backslash 0$ собственно, и факторпространство $\C^2\backslash 0/\Gamma$ хорошо определено. Такой фактор называется {\бф поверхность Хопфа}. \хфилл \упражнение Докажите, что поверхность Хопфа диффеоморфна $S^3 \times S^1$. \хфилл \пример Рассмотрим голоморфное сжатие $x \stackrel \phi \arrow q x$, где $q$ - комплексное число, $|q| <1$. Соответствующая поверхность Хопфа $H$ расслаивается над $\C P^1$ со слоем эллиптическая кривая. Из этого видно, что это поверхность класса VII (для доказательства, постройте сечения антиканонического класса). Также ясно, что $\phi$ растягивает естественную (плоскую) метрику на $\C^2\backslash 0$ в $|q|^2$ раз, а значит, $H$ - локально конформно кэлерово. \определение Пусть $(S, g)$ - риманово многообразие. {\bf Риманов конус} $S$ это произведение $S \times \R^{>0}$, снабженное метрикой $t^2 g + dt ^2$, где $t$ - координатная функция на $\R^{>0}$. {\bf Сасакиева структура} на многообразии $S$ это комплексная структура на конусе $S$ такая, что коническая метрика $t^2 g + dt ^2$ является кэлеровой, а отображение $(s, t) \arrow (s, qt)$ голоморфно для любого $q\in \R^{>0}$. \ео \пример Конус для $2n-1$-мерной сферы это $R^{2n}\backslash 0$, с плоской метрикой. Отождествляя $R^{2n}$ с $\C^n$, мы получаем комплексную структуру на конусе $S^{2n-1}$. Легко видть, что таким образом на сфере задается сасакиева структура (докажите это). \хфилл Пусть $\psi:\; S \arrow S$ - сасакиев автоморфизм, а $q>1$ - вещественное число. Легко видеть, что $(s, t) \arrow (\psi(s), qt)$ -- голоморфная гомотетия конуса $S$. Как и для поверхности Хопфа, можно определить фактор конуса по группе, порожденной этой гомотетией, и этот фактор будет локально конформно кэлеровым многообразием. \определение Компактное LCK-многообразие $M$, полученное такой конструкцией, называется {\бф Вайсмановым}. \ео \замечание Есть довольно много определений вайсманова многообразия, но в компактном случае они все равносильны вышеприведенному. Сасакиево многообразие $S$ и автоморфизм $\psi$ восстанавливаются однозначно по комплексной и конформной структуре на $M$. \еза \замечание Рассмотрим векторное поле $\frac{d}{dt}$ на кэлеровом конусе \[ C(S)= S\times {\R^{>0}}.\] Поскольку $\frac{d}{dt}$ действует на $C(S)$ голоморфными гомотетиями, производная Ли кэлеровой формы $\omega$ вдоль $\frac{d}{dt}$ равна $\omega$. По формуле Картана, это дает \[ \omega= \Lie_{\frac{d}{dt}} \omega = d\left(\omega\cntrct \frac{d}{dt}\right) - (d\omega)\cntrct \frac{d}{dt}= d \left(\omega\cntrct\frac{d}{dt}\right) = d(I(dt)). \] Мы получаем, что $\omega = dd^c \phi$, где $\phi$ действует как $(s, t)\stackrel \phi \arrow t$, а $d^c:= -IdI$. Функция $\phi$, удовлетворяющая условию $\omega = dd^c \phi$, называется {\бф кэлеровым потенциалом}. Мы получили, что на конусе сасакиева многообразия функция $(s, t)\stackrel \phi \arrow t$ задает кэлеров потенциал. \еза \замечание Вайсмановы многообразия -- никогда не кэлеровы. Можно убедиться в этом, например, так. Рассмотрим кэлеров потенциал на конусе сасакиева многообразия: $(s, t)\stackrel \phi \arrow t$. Формула для производной логарифма дает \[ dd^c \log\phi= \frac{\omega}{\phi}- \frac{d\phi\wedge I(d\phi)}{\phi^2}. \] Нетрудно убедиться, что форма $\omega_0:=dd^c \log\phi$ имеет те же собственные значения, что $\frac{\omega}{\phi}$, на пространстве ортогональном $\Sigma=\langle \frac{d}{dt}, I(\frac{d}{dt})\rangle$, и равна нулю на $\Sigma$. \еза Поскольку стандартная гомотетия конуса умножает $\phi$ на число, $\log\phi$ меняется на константу, а $d\log\phi$ вообще не меняется. Значит, форма $dd^c\log\phi$ определена на вайсмановом факторе конуса (докажите это). Эта $(1,1)$-форма точна, и имеет неотрицательные собственные значения. Докажите, что на кэлеровом многообразии таких $(1,1)$-форм не бывает. \хфилл Следующая теорема принадлежит Ф. Белгуну (\cite{_Belgun:surfaces_}). Она выводится из классификации Кодаиры. \хфилл %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \утверждение\label{_Vaisman_Kodaira_Utv_} Многообразиями Вайсмана являются все неалгебраические поверхности $M$ с $\kappa(M)=1$, а также первичные и вторичные поверхности Кодаиры. \замечание Вайсманово многообразие получается из сасакиева вышеописанной процедурой. Классификация трехмерных сасакиевых многообразий хорошо известна, благодаря Ф. Белгуну и Р. Гейгесу (\cite{_Belgun:Sasakian_}). Любое сасакиево 3-многообразие, не диффеоморфное сфере, получается как пространство единичных векторов в отрицательных линейных расслоениях на орбикривой рода $g>0$. Это позволяет явно выписать, классифицировать и посчитать топологические инварианты всех неалгебраических поверхностей, кроме поверхностей класса VII. \еза \определение Напомню, что орбикривая -- это комплексное орбиобразие размерности 1. Орбиобразие (в 1950-е их называли {\бф V-\-прост\-ранст\-вами}, а сейчас -- {\бф стеками Делиня-Мамфорда}) это естественное обобщение понятия гладкого многообразия. Гладкое комплексное многообразие -- многообразие, локально изоморфное шару в $\C^n$, причем функции переклейки уважают голоморфную структуру на пересечении шаров. Орбиобразие -- многообразие, локально изоморфное шару в $\C^n/G$, где $G$ - конечная группа, причем функции переклейки уважают голоморфную структуру и действие конечной группы. Орбиобразие, таким образом, задается атласом; измельчение атласов определяется таким же образом, как и для многообразий. Орбиобразия изоморфны, если у их атласов есть одинаковое измельчение \ео \замечание Надо отметить, что структура орбиобразия содержит в себе дополнительные данные по отношению к структуре комплексного многообразия. Скажем, фактор $\C P^1$ по конечной группе $G$, как комплексное многообразие, всегда изоморфен $\C P^1$ (проверьте это), но соответствующее орбиобразие всегда помнит действие группы $G$. \еза \замечание Кэлеровы формы, комплекс де Рама, векторные расслоения, классы Черна, в общем почти всю алгебраическую геометрию и топологию можно строить на орбиобразиях, в большинстве ситуаций определения переносятся дословно. При попытке посчитать какие-нибудь инварианты могут случаться парадоксы, например, эйлерова характеристика орбиобразия часто оказывается дробной. \еза \упражнение Пусть $G$ - компактная, связная группа Ли, действующая на многообразии $M$, причем все орбиты $G$ одинаковой размерности. Докажите, что факторпространство $M/G$ - орбиобразие. \замечание Поскольку на одномерном диске $D$ может действовать автоморфизмами только циклическая группа $\Z_n$, орбикривые покрывают карты вида $D/\Z_n$. В любой точке такой карты, кроме нуля, орбикривая гладкая (изоморфна диску без действия группы). В особых точках (они изолированные, и их называют орбитОчками) орбикривая изоморфна $D/\Z_n$. Циклическая $\Z_n$ называется {\бф стабилизатором орбиточки}, а $n$ ее {\бф порядком}. Морфизм орбикривых есть голоморфное отображение соответствующих комплексных кривых, переводящее орбиточки в орбиточки, и коммутирующее с действием стабилизаторов. \еза \замечание Хорошим примером орбикривой является модулярная кривая (классифицирующее пространство эллиптических кривых): это $\C P^1$ с тремя орбиточками порядка 2, 2 и 3, а ее фундаментальная группа бесконечна, и изоморфна $SL(2, \Z)$. \еза \setcounter{zadacha}{0} \hfill \noindent {\bf \Large Задачи.} \задача Пусть $M \arrow X$ -- голоморфное, локально тривиальное расслоение на поверхности $M$ со слоем $\C P^1$. Найдите размерность Кодаиры $\kappa(M)$. \ез \задача Пусть $M= X_1 \times X_2$ -- произведение двух кривых, а $L$ -- линейное расслоение, которое обильно при ограничении на $X_1 \times \{x\}$ и $\{y\} \times X_2$. Всегда ли $L$ обильно? \ез \задача Постройте левоинвариантную симплектическую форму на (главной) поверхности Кодаиры. \ез \задача Найдите числа Бетти поверхности Кодаиры. \ез \задача Постройте ненулевую левоинвариантную $(1,1)$-форму $\omega_0$ на поверхности Кодаиры $M$, такую, что $\omega_0(x,Ix) \geq 0$ для любого касательного вектора $x \in TM$ \ез \задача[*] Найдите группу голоморфных автоморфизмов поверхности Кодаиры. \ез \задача Пусть $S$ - сасакиево многообразие, а $C(S)= S \times \R^{>0}$ - его риманов конус. Рассмотрим векторное поле $\frac d{dt}$, действующее на $C(S)$ голоморфными гомотетиями. Докажите, что поле $I\left(\frac d{dt}\right)$ действует на $C(S)$ голоморфными изометриями, и поднимается с поля $r$ на $S$, причем $r$ действует на $S$ инфинитезимальными автоморфизмами сасакиевой структуры. \ез \замечание Это векторное поле называется {\бф полем Риба} (Reeb field) сасакиева многообразия. Если его орбиты компактны, сасакиево многообразие называется {\бф квазирегулярным} \еза \задача Пусть $M$ - квазирегулярное сасакиево многообразие. Докажите, что пространство орбит поля Риба - кэлерово орбиобразие. \ез \задача Докажите, что каждое квазирегулярное сасакиево многообразие получается как тотальное пространство единичных векторов в линейном расслоении на кэлеровом орбиобразии. \ез \задача Пусть $X$ -- кривая рода $g>0$, со структурой орбиобразия. Докажите, что у $X$ есть конечное накрытие в категории орбиобразий $\tilde X \arrow X$, причем $\tilde X$ -- гладкая кривая (без орбиточек). \ез %%% Эта конструкция обобщается: можно единообразным %%% образом получить первичные и вторичные поверхности %%% Кодаиры, и две из трех поверхностей Инуэ. %%% %%% Пусть $\Lambda_n$ -- группа верхнетреугольных матриц %%% вида %%% \[ \begin{bmatrix} %%% 1 & x & \frac{z}{n} \\ %%% 0 & 1 & y \\ %%% 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} %%% \] %%% с целыми $x, y, z$. Рассмотрим расширение $\Gamma:= %%% \Lambda_n \ltimes \Z$ полученное скрученным %%% произведением, где действие $\Z\stackrel {\phi}\arrow \Aut(\Lambda_n)$ %%% порождено автоморфизмом $\phi(1)$. %%% Группа $\Gamma$ действует на $\C \times {\cal H}$, %%% где ${\cal H}$ это верхняя полуплоскость, отождествленная %%% с $(\C \times \R) \times \R^{>0}$, при этом $\Lambda_n$ %%% действует на части вида $(\C \times \R)$, отождествленной %%% с верхнетреугольными матрицами, а $\Z$ действует на нее %%% автоморфизмами, растягивая $\R^{>0}$ и центр $\R$ с одним и тем же %%% показателем. Легко видеть, что такое действие всегда голоморфно. %%% \hfill \noindent {\bf \Large Литература:} {\small \begin{thebibliography}{666} \bibitem[BPV]{_Barth_Peters_Van_de_Ven_} Barth W., Peters C., Van de Ven A. {\em Compact complex surfaces}, 1984 (библиотека "Колхоз"). \bibitem[Be1]{_Belgun:surfaces_} F. A. Belgun, {\em On the metric structure of non-K{\"a}hler complex surfaces}, Math. Ann. {\bf 317} (2000), 1--40. \bibitem[Be2]{_Belgun:Sasakian_} F.A. Belgun, \emph{Normal CR structures on compact 3-manifolds}, Math. Z. {\bf 238} (2001), 441--460. %\bibitem[BM] Vasile Brinzanescu, Ruxandra Moraru %{\em Holomorphic rank-2 vector bundles on non-Kahler %elliptic surfaces,} arXiv:math/0306191, 15 pages. \bibitem[H]{_Hasegawa:solv_} Keizo Hasegawa Complex and Kahler structures on Compact Solvmanifolds, J. Symplectic Geom. Volume 3, Number 4 (2005), 749-767, arXiv:0804.4223. \bibitem[T]{_Toma_} Matei Toma, {\em Holomorphic vector bundles on non-algebraic surfaces},\\ {\scriptsize \tt http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/staff/phpages/tomam/dissertation.html}\\ (Ph. D. thesis, Bayreuth, 1992) \end{thebibliography} } \end{document}