


\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig,russlh}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}



\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   09.04.2009}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny ���, ����� 2009} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  ���� ���������}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\calo{{\cal O}}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}


\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{������}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{�����������}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{��������}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{���������}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\Large \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������ \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ����������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf ���������� \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\�����{\hfill}
\def\��������{\noindent}
\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\������{\begin{zadacha}}
\def\��{\end{zadacha}}
\def\���������{\begin{zamechanie}}
\def\���{\end{zamechanie}}
\def\��������{\begin{ukazanie}}
\def\��{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\�����������{\begin{opredelenie}}
\def\��{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\goth g}}
\def\����{\begin{enumerate}} 
\def\��{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\����{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{0}
\lhead{{\scriptsize  ������ 1. ������������� �������-���������}}
\chapter{����������� �����������, ������ 1:
\\������������� ����\-���-\-��\-���\-����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��� ``����������� ������������'' ����� �������� 
����������, ������� ����������� ������������ �����������
����������� 2. {\�� ����������� �����������} -
�����������, �� ���������� ��������� � 
���������������� -1 (����� �������� �����
�����, ������� ������� ����������� � 
������� ������ ������ �����).

\�����

����������� � ������������� ������� 
(������� \ref{_Kodaira_klass_Theorem_} 
� ����������� \ref{_Vaisman_Kodaira_Utv_}) ��������
�� �����, ��������� �������� ������ ������
����� ���� ������� ��������������.



\section{������������� �������}

\�����������
����� $M$ - ����������� ������������, $K$ ��� ������������
�����. ���������� ������� $P(N) = H^0(K^N)$. ������� �����
�������� $\kappa(M)$ ���������� {\�� ������������ �������} $M$.
���� $P$ ������������ �������, ����������� �������
��������� ������ $-\infty$.
\��

������������� �������������� ������������ ���� ��������
��� ��\-���\-��\-��. ������� ������������� �� �� �����������
�����������.

\�����

\�������
(�������) ����������� ����������� $M$ ����������, ����
��������� ����� �� ��������� ������������ �����������.

\begin{description}
\item[(i)]  $M$ �����������
\item[(ii)] ���� ����������� ������� �� $M$ ����� �������
����������������� 2.
\item[(iii)] �� $M$ ���������� ����������� ��������
���������� $L$ � $c_1(L)^2 >0$.
\end{description}

\hfill


\����������
�������� ���.


\���������
�� ���� ������� ���������� �������, ���
����� ����������� �� ������� ������-������ 
�������������� ����������. � ���������,
��� ����� $a, b\in NS(M)$ � $a^2=0$,
����� $ab=0$. �������������, ����
$ab> 0$, ��������� $(na+b)^2$
����� ������������ ��� ����� ��������
$n$. 
\���

\�����������
{\�� ����������� ������ VII} (Kodaira class VII surface) 
��� ����������� � 
$\kappa(M)=-\infty$ � ������ ������ ����� $b_1(M)=1$. {\�� �����������
�������} (���������) -- �������� ����������� �����������
���������� �� ����� ������������� ������ ��� �������������
������, � $b_1(M)=3$. ��������� ����������� ������� - 
������ ��������� ����������� ������� �� ��������
������, �������� ����������� �� ���, � $b_1(M)=1$.
\��

\���������
� ������� ����������� "������ VII" ���� ������,
�� ��������������� ����������� � ��� ��� ����� �����������.
\���


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�������\label{_Kodaira_klass_Theorem_}
����� $M$ - ����������� ����������� �����������, ������� ��
�����������. ����� $M$ ����������� � ������ �� ���������
�������.

\begin{description}
\item[$\kappa(M)=1$] $M$ ��� �����������, ����������
������������� �����������, ������ ��� ����
���������������� �������������� ������� ���������
(����� ����������� �������). 
\item[$\kappa(M)=0$] $M$ ��� �3 �����������, ��� ���
����������� �������, ��������� ($b_1(M)=3$) ��� ��������� ($b_1(M)=1$).
\item[$\kappa(M)=-\infty$] $�$ - ����������� ����������� ������ VII.
\end{description}


\���������
���� $\kappa(M)=1$, ��� ������, ��� $M$ ��������� ����������
����� ������ � ����� � ��� �� ������ ����������� $[C]$.
� ���� ������, ��������������� $C$ ����� ����, � 
����������� $C$ � ����� ������ ������ ���� ����� ����. 
�� ����� �������, ��� $M$ ���������� ������������� ��� ������. 
������������ ����� ������ ���� $C$ ����� ������� ����� ���������
�� ������� �������������: $K_C=K_M\restrict C$.
��������� $C^2=0$ � ������� ������-������, 
$L\cdot C=0$ ��� ������ $L\in NS(M)$.
������� $K_C=\calo$, � $M$ - �������������
�������. �� ����� �� ��������� �������,
��� ������������� ������� �� $M$ �����������.
\���

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{���������������� � �����������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����� $G$ - ������� ������������ ������ ��, $\g$ ��
������� ��. ���������������� ����� ����������� ��������� �� $G$
�������-���������� ������������� �������� �������������
$I:\; \g \arrow \g$, $I^2=-\Id$. ������ ����� �����������
������ ���������� ���������������� $\g_\C$ � �����
����������� ��������������: $\g_\C = \g^{1,0}\oplus \g^{0,1}$.

�������, ��� ������ ��������������� $\g^{1,0}\subset \g_\C$
���������� ����������� ���������� ����� �������, ����
$\g^{1,0}\cap \g =0$ (� ���� ������� ���������������
$\g^{1,0}\subset \g_\C$ ���������� {\�� �������� ������}).
���� ����� ������������ ������, $I\in \End(\g_\C)$
����� ����������, ������� ��� ������ $\1$ ��
 $\g^{1,0}$, � $-\1$ �� ���������� �����������
��������������� $\g^{0,1}= \overline{\g^{1,0}}$.
����� ��������, ����� ������, ������������
(�� ���� ����� �� $\g$), � ������������� $I^2=-\Id$.

\hfill

\����������� 
���������������� ����� ����������� ��������� �� $\g$
������������ ����� � ������ �����, ����� $\g^{1,0}\subset
\g_\C$ --
���������� �� � $\g_\C$.

\���������� 
�������� ���.

\hfill

\�����������
� ���� ������, $I$ ���������� 
{\�� ���������������� ����������� ����������}. 
\��


\�����������
����� $G$ - ������� ������ �� (�������������
��� ����������) ���������� ����������������
����������� ����������, � $\Gamma\subset G$ -
������������, ���������� ���������. ������������������
$G/\Gamma$ (������) �������� ������������
����������� ����������, ��������� �����
� ������ �������� �����������. ��� ����������
{\�� ����������� �����������������} (���
������������� ������ ��) � 
������������������ (��� ����������).
\��


������������� ����������� ��������� 
����- � ����������������� �������� �. ���������
(\cite{_Hasegawa:solv_}). 

�������� �������, ��� ��������� �����������������
������������� ���������� ��������. � ����������
� ����������������� (���� � ���������
����������� �������), �������������������
�������� ����������� ����, ��������� ����������� 
�������, � ��������������� �����������. 

����������� ������� �������� �������� ������.

����� $G$ - ������������ �����������������
������ 2�2 �� $\R$. � $G$ �������� ���������
����������� ���������: ��� ����� �����
� ���������������� $\g_\C$ ���������������
������� �� ����� �������, �������� ������
��������� ����������. � �������� �������
������� ����� �������, ��� � �����
����������� ������� (���������).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{�������� ��������� �������� ������������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
������������ $M$ ���������� {\�� �������� ���\-���\-�\-�� ���������}
(LCK), ���� � $M$ ���� �������� �������� $\tilde M$ �����,
��� ���������� �������� ��������� �� $\tilde M$ �����������.
\��

\�����������
{\�� ����������� �������} ����������
����������� ����������� \[ \C^2\stackrel \phi \arrow \C^2,\] �����������
$0$, � ��������������� ���������� �������. ��� �������
����������� ������������ $K \subset \C^2$, � �������
��������� ������������ $U\subset \C^2$, ����������� 0,
���������� $\phi$ � ����� (����� ���) ��������� $K$ � 
������������ $U$. ������� �������, �����������
�������� ����������� �������, ���� ������������������
$\{\phi, \phi\circ \phi,\phi\circ \phi \circ \phi, ...\}$
�������� � �������������� ����������� $\C^2 \arrow 0$
���������� �� ���������.
\��

���� ����������� ������ �������� �������������,
����� �������� �� ��������� $\Gamma$ � ������������� $\C^2$,
���������� $\Z$. ����� ������, ��� � ������ ������
����� ������ ���� ���������� ����� - 0. �������
����������� ������ ��������� �� $\C^2\backslash 0$
����������, � ������������������ $\C^2\backslash 0/\Gamma$
������ ����������. ����� ������ ����������
{\�� ����������� �����}. 

\�����

\���������� 
��������, ��� ����������� �����
������������ $S^3 \times S^1$. 

\�����

\������
���������� ����������� ������ $x \stackrel \phi \arrow q x$, ��� $q$ -
����������� �����, $|q| <1$. ��������������� �����������
����� $H$ ������������� ��� $\C P^1$ �� ����� �������������
������. �� ����� �����, ��� ��� ����������� ������ VII
(��� ��������������, ��������� �������
����������������� ������). ����� ����, ��� $\phi$ ����������� 
������������ (�������) ������� �� $\C^2\backslash 0$
� $|q|^2$ ���, � ������, $H$ - �������� ���������
��������.

\�����������
����� $(S, g)$ - �������� ������������.
{\bf ������� �����} $S$ ��� ������������
$S \times \R^{>0}$, ���������� ��������
$t^2 g + dt ^2$, ��� $t$ - ������������
������� �� $\R^{>0}$. {\bf ��������� ���������}
�� ������������ $S$ ��� ����������� ���������
�� ������ $S$ �����, ��� ���������� �������
$t^2 g + dt ^2$ �������� ���������, � 
����������� $(s, t) \arrow (s, qt)$
���������� ��� ������ $q\in \R^{>0}$.
\��



\������
����� ��� $2n-1$-������ ����� ��� $R^{2n}\backslash 0$,
� ������� ��������. ������������ $R^{2n}$ � $\C^n$, 
�� �������� ����������� ��������� �� ������ $S^{2n-1}$.
����� �����, ��� ����� ������� �� ����� ��������
��������� ��������� (�������� ���).

\�����

����� $\psi:\; S \arrow S$ - �������� �����������,
� $q>1$ - ������������ �����. ����� ������, ���
$(s, t) \arrow (\psi(s), qt)$ -- �����������
��������� ������ $S$. ��� � ��� �����������
�����, ����� ���������� ������ ������ �� ������,
����������� ���� ����������, � ���� ������ �����
�������� ��������� ��������� �������������.


\�����������
���������� LCK-������������ $M$, ���������� ����� ������������,
���������� {\�� �����������}. 
\��

\���������
���� �������� ����� ����������� ���������� ������������,
�� � ���������� ������ ��� ��� ����������� ����������������.
��������� ������������ $S$ � ����������� $\psi$
����������������� ���������� �� ����������� � 
���������� ��������� �� $M$.
\���

\���������
���������� ��������� ���� $\frac{d}{dt}$  �� 
��������� ������ \[ C(S)= S\times {\R^{>0}}.\] ��������� $\frac{d}{dt}$
��������� �� $C(S)$ ������������ �����������,
����������� �� ��������� ����� $\omega$ ����� $\frac{d}{dt}$
����� $\omega$. �� ������� �������, ��� ����
\[
\omega= \Lie_{\frac{d}{dt}} \omega = d\left(\omega\cntrct
\frac{d}{dt}\right) - (d\omega)\cntrct
\frac{d}{dt}= d \left(\omega\cntrct\frac{d}{dt}\right) = d(I(dt)).
\]
�� ��������, ��� $\omega = dd^c \phi$, 
��� $\phi$ ��������� ��� $(s, t)\stackrel \phi \arrow t$,
� $d^c:= -IdI$.
������� $\phi$, ��������������� ������� $\omega = dd^c \phi$, ����������
{\�� ��������� �����������}. 
�� ��������, ��� �� ������ ��������� ������������
������� $(s, t)\stackrel \phi \arrow t$ ������ ������� 
���������. 
\���


\���������
���������� ������������ -- ������� �� ��������.
�����  ��������� � ����, ��������, ���. 
���������� ������� ��������� �� 
������ ��������� ������������:
$(s, t)\stackrel \phi \arrow t$.
������� ��� ����������� ��������� ���� 
\[ 
 dd^c \log\phi= \frac{\omega}{\phi}- \frac{d\phi\wedge I(d\phi)}{\phi^2}.
\]
�������� ���������,
��� ����� $\omega_0:=dd^c \log\phi$ ����� �� �� 
����������� ��������, ��� $\frac{\omega}{\phi}$,
�� ������������ ������������� $\Sigma=\langle
\frac{d}{dt}, I(\frac{d}{dt})\rangle$, � ����� ���� �� 
$\Sigma$.
\���

��������� ����������� ��������� ������
�������� $\phi$ �� �����, $\log\phi$ ��������
�� ���������, � $d\log\phi$ ������ �� ��������.
������, ����� $dd^c\log\phi$ ����������
�� ����������� ������� ������ (�������� ���).
��� $(1,1)$-����� �����, � ����� ���������������
����������� ��������. ��������, ��� �� ���������
������������ ����� $(1,1)$-���� �� ������.

\�����

��������� ������� ����������� �. ������� (\cite{_Belgun:surfaces_}). 
��� ��������� �� ������������� �������.

\�����

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\�����������\label{_Vaisman_Kodaira_Utv_}
�������������� �������� �������� ��� ����������������
����������� $M$ � $\kappa(M)=1$, � ����� ���������
� ��������� ����������� �������.


\���������
���������� ������������ ����������
�� ��������� ������������� ����������.
������������� ���������� ���������� ������������
������ ��������,  ��������� �. ������� � �. �������
(\cite{_Belgun:Sasakian_}). ����� ���������
3-������������, �� ������������� �����, ����������
��� ������������ ��������� �������� � �������������  
�������� ����������� �� ���������� ���� $g>0$.
��� ��������� ���� ��������, ���������������� 
� ��������� �������������� ����������
���� ���������������� ������������, �����
������������ ������ VII.
\���

\�����������
�������, ��� 
���������� -- ��� ����������� ����������� ����������� 1.
����������� (� 1950-� �� �������� {\�� V-\-�����\-�����\-����},
� ������ -- {\�� ������� ������-��������}) ��� ������������
��������� ������� �������� ������������. ������� �����������
������������ -- ������������, �������� ����������
���� � $\C^n$, ������ ������� ���������� ������� �����������
��������� �� ����������� �����. ����������� --
������������, �������� ����������
���� � $\C^n/G$, ��� $G$ - �������� ������, ������  
������� ���������� ������� ����������� ���������
� �������� �������� ������. �����������, ����� �������,
�������� �������; ����������� ������� ������������
����� �� �������, ��� � ��� ������������.
����������� ���������, ���� � ��
������� ���� ���������� �����������
\��

\���������
���� ��������, ��� ��������� �����������
�������� � ���� �������������� ������ �� ���������
� ��������� ������������ ������������. ������,
������ $\C P^1$ �� �������� ������ $G$, ��� �����������
������������, ������ ��������� $\C P^1$ (��������� ���),
�� ��������������� ����������� ������ ������ ��������
������ $G$.
\���

\���������
�������� �����, �������� �� ����, ��������� ����������,
������ �����, � ����� ����� ��� �������������� ���������
� ��������� ����� ������� �� ������������, �
����������� �������� ����������� �����������
��������. ��� ������� ��������� �����-������ ����������
����� ��������� ���������, ��������, ��������
�������������� ����������� ����� ����������� �������.
\���

\����������
����� $G$ - ����������, ������� ������ ��,
����������� �� ������������ $M$, ������ ��� ������
$G$ ���������� �����������. ��������, ���
������������������ $M/G$ - �����������.

\���������
��������� �� ���������� ����� $D$ ����� �����������
�������������� ������ ����������� ������ $\Z_n$,
���������� ��������� ����� ���� $D/\Z_n$.
� ����� ����� ����� �����, ����� ����, 
���������� ������� (��������� ����� ���
�������� ������). � ������ ������
(��� �������������, � �� ��������
�����������) ���������� ���������
$D/\Z_n$. ����������� $\Z_n$ 
���������� {\�� �������������� ���������},
� $n$ �� {\�� ��������}. 
������� ���������� ���� ����������� �����������
��������������� ����������� ������,
����������� ��������� � ���������,
� ������������� � ��������� 
��������������. 
\���

\���������
������� �������� ���������� �������� ����������
������ (���������������� ������������ �������������
������): ��� $\C P^1$ � ����� �����������
������� 2, 2 � 3, � �� ���������������
������ ����������, � ��������� $SL(2, \Z)$.
\���



\setcounter{zadacha}{0}


\hfill

\noindent
{\bf \Large ������.}

\������
����� $M \arrow X$ -- �����������, ��������
����������� ���������� �� ����������� $M$ �� �����
$\C P^1$. ������� ����������� ������� $\kappa(M)$.
\��

\������
����� $M= X_1 \times X_2$ -- ������������
���� ������, � $L$ -- �������� ����������, �������
������� ��� ����������� �� $X_1 \times \{x\}$
� $\{y\} \times X_2$. ������ �� $L$ �������?
\��

\������
��������� ���������������� ��������������� �����
�� (�������) ����������� �������.
\��

\������
������� ����� ����� ����������� �������.
\��

\������
��������� ��������� ���������������� $(1,1)$-�����
$\omega_0$ �� ����������� ������� $M$, �����, ��� 
$\omega_0(x,Ix) \geq 0$ ��� ������ ������������ �������
$x \in TM$
\��

\������[*] 
������� ������ ����������� ������������� �����������
�������.
\��

\������
����� $S$ - ��������� ������������, � 
$C(S)= S \times \R^{>0}$ - ��� ������� �����. ����������
��������� ���� $\frac d{dt}$, ����������� �� $C(S)$ ������������
�����������. ��������, ��� ���� $I\left(\frac d{dt}\right)$
��������� �� $C(S)$ ������������ �����������, 
� ����������� � ���� $r$ �� $S$, ������ $r$ 
��������� �� $S$ ������������������ ��������������
���������� ���������.
\��

\���������
��� ��������� ���� ���������� {\�� ����� ����} (Reeb
field) ��������� ������������. ���� ��� ������ ���������,
��������� ������������ ���������� {\�� ���������������}
\���

\������
����� $M$ - ���������������
��������� ������������. ��������, ���
������������ ����� ���� ���� - ��������
�����������.
\��

\������
��������, ��� ������ ��������������� ���������
������������ ���������� ��� ��������� ������������
��������� �������� � �������� ����������
�� ��������� �����������. 
\��


\������
����� $X$ -- ������ ���� $g>0$, �� ���������� �����������.
��������, ��� � $X$ ���� �������� �������� 
� ��������� ����������� $\tilde X \arrow X$,
������ $\tilde X$ -- ������� ������ (��� ���������).
\��






%%% ��� ����������� ����������: ����� �������������
%%% ������� �������� ��������� � ��������� �����������
%%% �������, � ��� �� ���� ������������ ����.
%%% 
%%% ����� $\Lambda_n$ -- ������ ����������������� ������
%%% ���� 
%%% \[ \begin{bmatrix}
%%% 1 & x & \frac{z}{n} \\
%%% 0 & 1 & y \\
%%% 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
%%% \]
%%% � ������ $x, y, z$. ���������� ���������� $\Gamma:=
%%% \Lambda_n \ltimes \Z$ ���������� ����������
%%% �������������, ��� �������� $\Z\stackrel {\phi}\arrow \Aut(\Lambda_n)$
%%% ��������� ������������� $\phi(1)$.
%%% ������ $\Gamma$ ��������� �� $\C \times {\cal H}$,
%%% ��� ${\cal H}$ ��� ������� �������������, ���������������
%%% � $(\C \times \R) \times \R^{>0}$, ��� ���� $\Lambda_n$
%%% ��������� �� ����� ���� $(\C \times \R)$, ���������������
%%% � ������������������ ���������, � $\Z$ ��������� �� ���
%%% ��������������, ���������� $\R^{>0}$ � ����� $\R$ � ����� � ��� ��
%%% �����������. ����� ������, ��� ����� �������� ������ ����������.
%%% 

\hfill

\noindent
{\bf \Large ����������:}
{\small
\begin{thebibliography}{666}

\bibitem[BPV]{_Barth_Peters_Van_de_Ven_}
Barth W., Peters C., Van de Ven A.
{\em Compact complex surfaces}, 1984 (���������� "������").

\bibitem[Be1]{_Belgun:surfaces_}
F. A. Belgun, {\em On the metric structure of
non-K{\"a}hler complex surfaces}, Math. Ann. {\bf 317} (2000),
1--40.

\bibitem[Be2]{_Belgun:Sasakian_}
F.A. Belgun, \emph{Normal CR structures on
compact 3-manifolds}, Math. Z. {\bf 238} (2001), 441--460.


%\bibitem[BM] Vasile Brinzanescu, Ruxandra Moraru
%{\em Holomorphic rank-2 vector bundles on non-Kahler
%elliptic surfaces,} arXiv:math/0306191, 15 pages.

\bibitem[H]{_Hasegawa:solv_}
Keizo Hasegawa Complex and Kahler structures on Compact
Solvmanifolds, J. Symplectic Geom. Volume 3, Number 4
(2005), 749-767, arXiv:0804.4223.



\bibitem[T]{_Toma_} Matei Toma,
{\em Holomorphic vector bundles on non-algebraic
surfaces},\\
{\scriptsize \tt http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/staff/phpages/tomam/dissertation.html}\\
(Ph. D. thesis, Bayreuth, 1992)


\end{thebibliography}
}
\end{document}

