\documentclass[10pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\newcommand{\6}{\partial}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   15.05.2009}



\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2009} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\calo{{\cal O}}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\const{\operatorname{\sf const}}
\def\slope{\operatorname{\sf slope}}
\def\rk{\operatorname{\sf rk}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Tr{\operatorname{Tr}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Diff{\operatorname{Diff}}
\def\Pic{\operatorname{Pic}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Pos}{\operatorname{{\cal P}os}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\ind}{\operatorname{ind}}
\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}


\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}{Определение}[chapter]
\newtheorem{ukazanie}[opredelenie]{Указание}
\newtheorem{zamechanie}[opredelenie]{Замечание}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

%\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
%\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\следствие}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf Следствие \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\лемма}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     \refstepcounter{opredelenie}
     {\noindent\bf Упражнение \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }}

\def\хфилл{\hfill}
\def\ноиндент{\noindent}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\goth g}}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{1}
\lhead{{\scriptsize  Комплексные поверхности, задачи для экзамена }}
\section*{Комплексные поверхности, \\задачи для экзамена.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\em \small Для сдачи экзамена с оценкой $5-k$
достаточно решить $7-k$ задач из списка.}

\задача
Пусть $M$ некэлерова поверхность, расслоенная над кривой,
$C$ гладкая, связная кривая, $C \arrow M$
нетривиальное голоморфное отображение. Докажите,
что род $C$  не больше 1.
\ез

\задача
Пусть $V$ топологическое векторное пространство,
а $V\check{\ }$ - пространство непрерывных функционалов
на $V$, с топологией равномерной сходимости на компактах.
Докажите, что естественное отображение $V \arrow V\check{\ }\check{\ }$
является изоморфизмом для любого пространства Фреше.
\ез

\задача
Пусть $M$ - поверхность с $b_1(M)=1$, универсальное
накрытие которой изоморфно $\C^2\backslash 0$
(такая поверхность называется {\бф поверхность Хопфа}).
Выберем какую-нибудь метрику Годушона на $M$.
Будет ли $TM$ стабильно относительно этой метрики?
\ез

\задача
Пусть $M$ поверхность Хопфа, с заданной на ней
метрикой Годушона, а $K_M$ -- каноническое
расслоение. Докажите, что $\deg K_M <0$.
\ез 

\задача
Пусть $(M, \omega)$ -- 3-мерное компактное комплексное эрмитово
многообразие, удовлетворяющее $d(\omega^2)=0$
и $dd^c\omega=0$. Докажите, что $d\omega=0$.
\ез

\задача
Пусть $(M, \omega)$ компактное комплексное эрмитово
многообразие, удовлетворяющее $d\omega = \omega\wedge \theta$
для какой-то замкнутой 1-формы $\theta$ (такое многообразие
называется локально конформно кэлеровым). Предположим,
что $\theta$ не точно. Докажите, что $M$ не
допускает кэлеровой метрики.
\ез

\задача
Пусть $M$ комплексная поверхность без кривых, а $F$
фильтруемое 2-мерное расслоение. Докажите, что $F$
это расширение линейного расслоения с помощью
линейного.
\ез

\задача
Пусть $M$ - компактное, комплексное $n$-мерное 
многообразие, не допускающее эрмитовой метрики $\omega$ с 
$dd^c\omega=0$. Докажите, что на $M$ существует
$dd^c$-точный, положительный $(n-1,n-1)$-поток.
\ез

\задача
Пусть $M$ комплексная, кэлерова поверхность,
а $\alpha \in H^{1,1}(M)$ -- вещественный класс когомологий.
Докажите, что класс $\alpha$ не кэлеров тогда и только
тогда, когда существует ненулевой положительный, 
замкнутый (1,1)-поток $\xi$, удовлетворяющий
$\langle \alpha, \xi\rangle \leq 0$.
\ез

\end{document}


