\documentclass[10pt]{book} \usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}} \newcommand{\6}{\partial} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 15.05.2009} \setlength{\headheight}{15pt} \pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2009} \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version} \rhead{{\small Миша Вербицкий}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % equations % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}} \makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \@addtoreset{footnote}{section} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % listki-new.tex % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\calo{{\cal O}} \def\1{\sqrt{-1}} \def\const{\operatorname{\sf const}} \def\slope{\operatorname{\sf slope}} \def\rk{\operatorname{\sf rk}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Tr{\operatorname{Tr}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Diff{\operatorname{Diff}} \def\Pic{\operatorname{Pic}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Pos}{\operatorname{{\cal P}os}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\ind}{\operatorname{ind}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \makeatletter \begingroup \gdef\th@upshape{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] % \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string % \\ \string \hline} }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3} \string & \string \grd \string & \string\grp \string \\ \string \hline} }} \endgroup \theoremstyle{upshape} \newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter] \begingroup \gdef\th@generic{\normalfont \def\@begintheorem##1##2{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.] }% \def\@opargbegintheorem##1##2##3{% \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).] }} \endgroup \theoremstyle{generic} \newtheorem{opredelenie}{Определение}[chapter] \newtheorem{ukazanie}[opredelenie]{Указание} \newtheorem{zamechanie}[opredelenie]{Замечание} \renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.} \newcommand{\listok}[2]{% \setcounter{page}{1} \renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil} \renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil} \section*{#2} \refstepcounter{section} \setcounter{section}{#1} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % VEDOMOST GENERATION %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\newwrite\Vedomost %\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm %\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }} \newcommand{\writevedomost}[1]{} %\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}} %\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}} \makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Chapter % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \renewcommand{\chapter}{% \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred} \def\ChapterNumbered[#1]#2{% \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1} \refstepcounter{chapter} { \vspace{\baselineskip} \chaptermark{#2} { {{\noindent\bf\LARGE \thechapter. \ #2\par}}} } \vspace{\baselineskip} } \newcommand{\ChapterStarred}[1]{% \refstepcounter{chapter} \chaptermark{#1}% \vspace{\baselineskip}} \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}} \newcommand{\следствие}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Следствие \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\пример}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\лемма}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\теорема}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\утверждение}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\предложение}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \newcommand{\упражнение}{% \refstepcounter{opredelenie} {\noindent\bf Упражнение \thechapter.\arabic{opredelenie}:\ }} \def\хфилл{\hfill} \def\ноиндент{\noindent} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\задача{\begin{zadacha}} \def\ез{\end{zadacha}} \def\замечание{\begin{zamechanie}} \def\еза{\end{zamechanie}} \def\указание{\begin{ukazanie}} \def\еу{\end{ukazanie}} \def\eu{\end{ukazanie}} \def\определение{\begin{opredelenie}} \def\ео{\end{opredelenie}} \def\eo{\end{opredelenie}} \def\goth{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\goth g}} \def\енум{\begin{enumerate}} \def\ее{\end{enumerate}} \def\ee{\end{enumerate}} \def\итем{\item $\bullet$ % \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } } \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \setcounter{chapter}{1} \lhead{{\scriptsize Комплексные поверхности, задачи для экзамена }} \section*{Комплексные поверхности, \\задачи для экзамена.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\em \small Для сдачи экзамена с оценкой $5-k$ достаточно решить $7-k$ задач из списка.} \задача Пусть $M$ некэлерова поверхность, расслоенная над кривой, $C$ гладкая, связная кривая, $C \arrow M$ нетривиальное голоморфное отображение. Докажите, что род $C$ не больше 1. \ез \задача Пусть $V$ топологическое векторное пространство, а $V\check{\ }$ - пространство непрерывных функционалов на $V$, с топологией равномерной сходимости на компактах. Докажите, что естественное отображение $V \arrow V\check{\ }\check{\ }$ является изоморфизмом для любого пространства Фреше. \ез \задача Пусть $M$ - поверхность с $b_1(M)=1$, универсальное накрытие которой изоморфно $\C^2\backslash 0$ (такая поверхность называется {\бф поверхность Хопфа}). Выберем какую-нибудь метрику Годушона на $M$. Будет ли $TM$ стабильно относительно этой метрики? \ез \задача Пусть $M$ поверхность Хопфа, с заданной на ней метрикой Годушона, а $K_M$ -- каноническое расслоение. Докажите, что $\deg K_M <0$. \ез \задача Пусть $(M, \omega)$ -- 3-мерное компактное комплексное эрмитово многообразие, удовлетворяющее $d(\omega^2)=0$ и $dd^c\omega=0$. Докажите, что $d\omega=0$. \ез \задача Пусть $(M, \omega)$ компактное комплексное эрмитово многообразие, удовлетворяющее $d\omega = \omega\wedge \theta$ для какой-то замкнутой 1-формы $\theta$ (такое многообразие называется локально конформно кэлеровым). Предположим, что $\theta$ не точно. Докажите, что $M$ не допускает кэлеровой метрики. \ез \задача Пусть $M$ комплексная поверхность без кривых, а $F$ фильтруемое 2-мерное расслоение. Докажите, что $F$ это расширение линейного расслоения с помощью линейного. \ез \задача Пусть $M$ - компактное, комплексное $n$-мерное многообразие, не допускающее эрмитовой метрики $\omega$ с $dd^c\omega=0$. Докажите, что на $M$ существует $dd^c$-точный, положительный $(n-1,n-1)$-поток. \ез \задача Пусть $M$ комплексная, кэлерова поверхность, а $\alpha \in H^{1,1}(M)$ -- вещественный класс когомологий. Докажите, что класс $\alpha$ не кэлеров тогда и только тогда, когда существует ненулевой положительный, замкнутый (1,1)-поток $\xi$, удовлетворяющий $\langle \alpha, \xi\rangle \leq 0$. \ез \end{document}