\documentclass[10pt]{article} \input{listki.tex} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \pagestyle{fancy} \lhead{\tiny НМУ, весна 2010, второй курс} \lfoot{\tiny Анализ, НМУ, второй курс } \cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny Весна 2010, задачи для экзамена, \version} \rhead{{\tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\listok}[2]{% %\setcounter{page}{1} \lhead{ \scriptsize #2 } \section*{#2} \refstepcounter{section} \setcounter{section}{#1} } % Версия 1.0, 14.05.2010 % Версия 2.0. 14.05.2010, исправления в четырех задачах. % Версия 2.1, 15.05.2010, непустой идеал \newcommand{\version}{version 2.1,\ \ 15.05.2010} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{1}{АНАЛИЗ, задачи для устного экзамена} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Можно свободно пользоваться всеми задачами и теоремами из листков и лекций, но надо быть готовым предъявить доказательство для каждого утверждения. Каждому студенту выдаются задачи на $12-N$ баллов, где $N$ -- число сданных листков или разделов, не содержащих сданных целиком листков (раздел считается сданным, если все его листки сданы как минимум наполовину). Студент, набравший не меньше $6+k-\left[\frac{4N}3\right]$ баллов, получает оценку $\left[\frac k 2 \right]+3$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Многообразия (листки 1-2)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Напомним, что топологическое пространство $X$ называется {\бф паракомпактным}, если у каждого покрытия $X$ найдется локально конечное измельчение. \ео \задача[1 балл] Пусть $M$ -- гладкое многообразие, представленное как объединение $M = M_1 \subset M_2 \subset M_3 \subset ...$, где $M_i$ -- гладкие, компактные многообразия с краем. Докажите, что $M$ паракомпактно. \ез \задача[1 балл] Пусть $M$ -- метрическое пространство, причем все замкнутые шары в $M$ компактны. Докажите, что $M$ паракомпактно. \ез \задача[1 балл] Постройте морфизм многообразий $\phi:\; \R \arrow S^3$, образ которого плотен. \ез \задача[1 балл] Постройте функцию $f:\; [0,1] \arrow [0,1]$, которая непрерывна, но не липшицева ни на каком отрезке $[a,b]\subset [0,1]$. \ез \задача[1 балл] Пусть $M$ -- риманово многообразие, а $R(M)$ -- пространство ограниченных, липшицевых функций на $M$. Докажите, что это кольцо. Задает ли соответствие $U \arrow R(U)$ пучок? \ез %\задача[2 балла] %Пусть $f:\; [0,1] \arrow \R$ -- выпуклая функция %на отрезке, а $\Gamma_f$ -- ее график. Докажите, %что хаусдорфова размерность $\Gamma_f$ равна 1. %\ез %\задача[2 балла] %Пусть $f:\; [0,1] \arrow \R^n$ -- непрерывная функция %на отрезке, а $\Gamma_f$ -- ее график. Докажите, %что хаусдорфова размерность $\Gamma_f$ не меньше 1. %\ез \задача[3 балла] Пусть $N \subset M$ -- гладкое, замкнутое подмногообразие компактного риманова многообразия. Докажите, что существует такая пара положительных констант $C'> C\in \R$, со следующим свойством. Пусть $f\in C^\infty N$ -- функция, производная которой везде ограничена константой $C$: $|df|< C$. Тогда $f$ можно продолжить до гладкой функции $\phi$ на $M$, производная которой везде ограничена $|d\phi|< C'$. \ез \задача[3 балла] Пусть $M$ -- метрическое пространство \енум \итем Пусть на $M$ заданы локально конечные покрытия $U_\alpha$ и $V_\alpha$, индексированные одним и тем же множеством индексов, причем для любого индекса $\alpha$, замыкание $V_\alpha$ содержится в $U_\alpha$. Постройте набор непрерывных функций $\phi_\alpha:\; М \arrow [0,1]$, таких, что $\phi_\alpha=0$ вне $U_\alpha$, $\phi_\alpha=1$ на $V_\alpha$, и $\sum_\alpha \phi_\alpha =1$. \итем Докажите, что функции $\phi_\alpha$ можно выбрать липшицевыми. \ее \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Ростки и дифференцирования (листки 3-4)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[1 балл] Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $TM$ -- тотальное пространство его касательного расслоения. Докажите, что $TM$ ориентируемо. \ез \задача[1 балл] Пусть $R$ -- кольцо ростков функций на $\R$. Найдите идеал $I\subset R$, который не порожден всеми неотрицательными функциями из $I$. \ез \задача[2 балла] Пусть $R$ -- кольцо ростков функций на $\R^n$, а $K\subset R$ -- пересечение всех степеней максимального идеала. Докажите, что $K$ порождено неотрицательными функциями из $K$. \ез \задача[2 балла] Докажите, что пучок $C$-липшицевых функций на компактном римановом многообразии мягкий. \ез \задача[3 балла] Пусть $F$ -- мягкий пучок колец на многообразии $M$. Рассмотрим отображение, ставящее каждому открытому $U\subset M$ пространство дифференцирований $\Der(F_U)$ на соответствующем кольце сечений. Определите пучок, пространство сечений которого в $U\subset M$ равно $\Der(F_U)$, а ростки в $x\in M$ равны $\Der(F_x)$, где $F_x$ -- кольцо ростков $F$ в $x$. \ез \задача[2 балла] Пусть $M$ и $M'$ -- гладкие многообразия, такие, что $C^\infty M$ изоморфно $C^\infty M'$ (как кольцо). Докажите, что $M$ изоморфно $M'$ как многообразие. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Векторные расслоения (листки 5-6)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Напомним, что $SU(n)$ есть группа унитарных эндоморфизмов $n$-\-мер\-но\-го эрмитова пространства с определителем 1, $SO(n)$ -- группа ортогональных энфоморфизмов $n$-\-мер\-но\-го евклидова пространства с определителем 1, $Sp(n)$ -- группа кватернионно-линейных ортогональных эндоморфизмов пространства ${\Bbb H}^n$. Эти три серии групп Ли называются {\бф классическими простыми, компактными группами Ли.} \ео \задача[1 балл] Постройте гладкое расслоение со слоем $S^3$, базой $S^5$, и тотальным пространством $SU(3)$. \ез \задача[1 балл] Постройте гладкое расслоение со слоем $S^1\times S^1$, базой $F_2$, и тотальным пространством $SU(3)$, где $F$ -- пространство флагов (проективных прямых с отмеченной точкой) в $\C P^2$. \ез %\задача[1 балл] %Постройте гладкое расслоение %с базой $S^4$, тотальным пространством %$\C P^3$, и слоем $\C P^1$. %\ез \задача[3 балла] Пусть $G$ -- простая, компактная классическая группа Ли (то есть $SO(n)$, $SU(n)$ и $Sp(n)$). Постройте гладкое расслоение над сферой с тотальным пространством $G$, таким образом, чтобы слой был диффеоморфен группе Ли. Найдите эту группу Ли в каждом из трех случаев. \ез \задача[1 балл] Пусть $B$ -- ориентируемое векторное расслоение. Докажите, что тензорный квадрат $B\otimes B$ -- тоже ориентируемое расслоение. \ез \задача[3 балла] Пусть $B$ -- ориентируемое векторное расслоение. Докажите, что симметрический квадрат $\Sym^2 B$ -- тоже ориентируемое расслоение. \ез \задача[1 балл] Докажите, что нетривиальное вещественное одномерное векторное расслоение не может быть изоморфно тензорному квадрату одномерного расслоения: $B \not\cong B_1 \otimes B_1$. \ез %\задача[3 балла] %Пусть $B$ -- $2n$-мерное %комплексное векторное расслоение, снабженное %невырожденной, комплекснозначной, кососимметрической формой. %Докажите, что расслоение $\Lambda^{2n} B$ %есть тензорный квадрат одномерного векторного %расслоения $L$. %\ез \задача[3 балла] Пусть $F$ -- мягкий пучок колец на многообразии $M$, а $B$ -- ло\-каль\-но-\-три\-ви\-аль\-ный пучок модулей над $F$. Рассмотрим отображение, ставящее каждому открытому $U\subset M$ пространство гомоморфизмов $\Hom_{F_U}(B_U, F_U)$, где $F_U$, $B_U$ -- соответствующие пространства сечений. Определите пучок, пространство сечений которого в $U\subset M$ равно $\Hom_{F_U}(B_U, F_U)$, а ростки в $x\in M$ равны $\Hom_{F_x}(B_x, F_x)$, где $F_x$ -- кольцо ростков $F$ в $x$, а $B_x$ -- пространство ростков $B$. \ез \задача[2 балла] Постройте нетривиальное векторное расслоение $B$ над каким-нибудь многообразием $M$, такое, что прямая сумма $B$ и тривиального расслоения тривиальна. \ез \задача[2 баллa] Докажите, что любой конечно-порожденный проективный модуль над кольцом $C^\infty \R^n$ тривиален. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Эллиптические операторы (листки 7,10)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[2 балла] Пусть $W$ -- алгебра дифференциальных операторов на кольце полиномов $\C[t]$. Докажите, что $W$ {\бф проста}, то есть не имеет нетривиальных двусторонних идеалов. \ез \задача[1 балл] Докажите, что не существует нетривиального гомоморфизма из алгебры матриц в алгебру дифференциальных операторов на многообразии. \ез \задача[1 балл] Пусть $S\in \Sym^i TM$. Докажите, что существует дифференциальный оператор $D$, символ которого равен $S$. \ез \задача[1 балл] Постройте эллиптический оператор порядка 3 на каком-нибудь расслоении. \ез \задача[2 балла] Докажите, что множество $S$ эллиптических операторов порядка $i$ на $C^\infty M$ пусто для любого нечетного $i$. Докажите, что для четного $i$ оно состоит из двух компонент связности, которые выпуклы. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Дифференциал де Рама и лапласиан (листки 8-9)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[1 балл] Пусть $G$ -- группа, действующая на римановом многообразии $M$ изометриями, а $\Delta$ -- соответствующий лапласиан. Докажите, что $\Delta$ {\бф $G$-инвариантен}, то есть удовлетворяет $\Delta(g^* F) = g^* \Delta(f)$. \ез \задача[1 балл] Рассмотрим стандартное действие $SO(3)$ на $S^2$, и пусть $D$ -- $SO(3)$-\-ин\-ва\-ри\-ант\-ный дифференциальный оператор второго порядка. Докажите, что $D(f)= af + b \Delta(f)$, где $\Delta$ есть обычный лапласиан (связанный с инвариантной метрикой), а $a$ и $b$ какие-то константы. \ез \задача[1 балл] Пусть $M$ -- двумерное, ориентированное риманово многообразие. Определим $I:\; TM \arrow TM$ как оператор поворота на угол $\frac \pi 2$ против часовой стрелки, $I^2 =-1$. Рассмотрим оператор $dd^c:\; \C^\infty M \arrow \Lambda^2 M$, $dd^c(f) = d I d(f)$, и пусть $\Vol(M)\in \Lambda^2 M$ -- форма объема. Докажите, что $\Delta(f) = \frac {dd^c(f)}{\Vol(M)}$. \ез \задача[2 балла] Пусть $f$ -- гармоническая функция на $\R^n$, такая, что $\int_\R^n |f|^2 < \infty$. Докажите, что $f=0$. \ез \задача[2 балла] Пусть $\Delta$ -- оператор Лапласа на римановом многообразии $M$, $f\in C^\infty \R^n$ -- функция, а $L_f$ -- оператор умножения на $f$. Докажите, что $[\Delta, L_f](u)= 2\Lie_X(u)+ u\Delta(f)$, где $\Lie_X$ -- производная Ли вдоль векторного поля $X$, равного градиенту $f$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Гильбертовы пространства (листки 11-12)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[1 балл] Пусть $M$ -- компактное метрическое пространство. Докажите, что ограниченные, липшицевы функции плотны в пространстве непрерывных функций на $M$ с $C^0$-\-то\-по\-ло\-гией. \ез \задача[1 балл] Пусть $F$ -- ряд Фурье от одной переменной, который сходится в метрике Соболева $L^2_n$. Докажите, что $F$ сходится к $n$-кратно дифференцируемой функции. \ез \задача[1 балл] Постройте ненулевой компактный оператор с нулевым спектром. \ез \задача[2 балла] Пусть $S$ -- единичная сфера в гильбертовом пространстве. Докажите, что $S$ стягиваема. \ез \задача[1 балл] Пусть $\Delta$ -- оператор Лапласа на окружности снабженной плоской метрикой. Докажите, что $(\Delta +1)^{-1}$ непрерывен в $L^2$-метрике и компактен. \ез \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{2}{АНАЛИЗ, задачи для письменного экзамена} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Можно свободно пользоваться всеми теоремами из лекций, но надо дать ссылку. Решая задачи, можно (и нужно) пользоваться любыми учебниками, монографиями и статьями, приводя в записках доказательства по мере необходимости. Решение принести записанным максимально полно и аккуратно. Помнить подробности всех доказательств, быть в состоянии разъяснить, где потребуется. Оценка вычисляется по той же формуле, что и для устного экзамена. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Многообразия (листки 1-2)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[3 балла] Пусть $M$ -- метрическое пространство. Докажите, что $M$ паракомпактно. \ез \задача[1 балл] Пусть $M$ -- метрическое пространство. Постройте изометрическое вложение из $M$ в банахово пространство. \ез \задача[2 балла] Пусть $f:\; {\Bbb H}^n \arrow {\Bbb H}$ кватернионнозначная функция, которая кватернионно дифференцируема (в смысле, приближается кватернионно-линейным функционалом в каждой точке). Докажите, что $f$ линейная. \ез \задача[3 балла] Пусть $f:\; [0,1] \arrow [0,1]$ -- непрерывное отображение, а $\Gamma_f\subset \R^2$ -- его график. Найдите, чему может быть равна размерность Хаусдорфа пространства $\Gamma_f$. \ез \задача[2 балла] Пусть $N \subset M$ -- гладкое, замкнутое подмногообразие гладкого риманова многообразия (не обязательно компактного). Пусть $f\in C^\infty N$ функция, производная которой везде ограничена $C$: $|df|< C$. Всегда ли $f$ можно продолжить до гладкой, липшицевой функции на $M$? \ез \задача[1 балл] Пусть $M$ -- компактное топологическое многообразие с метрикой. Докажите, что $M$ допускает липшицево, замкнутое вложение в $\R^n$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Ростки и дифференцирования (листки 3-4)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[1 балл] Пусть $R$ -- кольцо ростков функций на $\R$, а $I\subset R$ -- непустой конечно-порожденный идеал. Докажите, что $\bigcap_n I^n \neq 0$. \ез \задача[3 балла] Пусть $M$ -- некомпактное многообразие, а ${\goth m}\subset C^\infty M$ -- максимальный идеал, который не является идеалом точки. Может ли ${\goth m}$ быть конечно порожден? \ез \задача[2 балла] В условиях предыдущей задачи, может ли фактор $C^\infty M/{\goth m}$ быть алгебраически замкнут? \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Векторные расслоения (листки 5-6)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[1 балл] Пусть $M$ -- компактное многообразие. Постройте нетривиальное векторное расслоение над $M$. \ез \задача[2 балла] Пусть $M$ -- двумерное, некомпактное многообразие, а $B$ -- векторное расслоение над $M$. Докажите, что $B\oplus B$ тривиально. \ез \задача[3 балла] Докажите, что любой конечно-порожденный проективный модуль над кольцом $\C[t_1,t_2]$ тривиален. \ез \задача[1 балл] Пусть $M$ многообразие, которое стягиваемо (гомотопически эквивалентно точке). Докажите, что любое векторное расслоение над $M$ тривиально. \ез \задача[1 балл] Найдите двумерное векторное расслоение, которое не допускает метрики сигнатуры (1,1). Можно ли найти такое расслоение на $S^3$? \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Эллиптические операторы (листки 7,10)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[1 балл] Рассмотрим стандартное действие $SO(n+1)$ на $S^n$, и пусть $D$ -- $SO(n+1)$-инвариантный дифференциальный оператор второго порядка. Докажите, что $D(f)= af + b \Delta(f)$, где $\Delta$ есть обычный лапласиан (связанный с инвариантной метрикой), а $a$ и $b$ какие-то константы. \ез \задача[3 баллa] Пусть $M$ -- гладкое $n$-мерное многообразие, $B$ -- тривиальное $k$-мерное расслоение. Найдите все пары $(n,k)$, для которых на $B$ существует эллиптический оператор порядка $i$. \ез \задача[2 балла] Пусть $D:\; C^\infty T \arrow C^\infty T$ -- эллиптический оператор порядка $k$ на торе $T$. Докажите, что $D:\; L^2_n(T) \arrow L^2_{n-k}(T)$ фредгольмов, где $L^2_n$ -- соответствующая соболевская метрика. \ез \задача[3 балла] Пусть $D:\; C^\infty T \arrow C^\infty T$ -- эллиптический оператор на торе, с вещественно-аналитическими коэффициентами а $f$ -- его собственная функция. Докажите, что $f$ ве\-ще\-ствен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кая. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Дифференциал де Рама и лапласиан (листки 8-9)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[1 балл] Пусть $f$ -- гладкая функция на компактном римановом многообразии, такая, что $\Delta(f) = \lambda f$, где $\lambda\in C^\infty M$ везде $<0$. Докажите, что $f=0$. \ез \задача[2 балла] Пусть $D$ -- эллиптический оператор на компактном римановом многообразии, который имеет вид $D(f) = \Delta(f) + T(f) +\lambda f$, где $T$ -- дифференцирование, а $ \lambda\in C^\infty M$ везде $>0$. Предположим, что $u$ -- функция такая, что $D(u)\leq 0$. Докажите, что $u\leq 0$. \ез \задача[1 балл] Пусть $f\in C^\infty (S^{n-1})$ -- собственный вектор оператора Лапласа на сфере $S^{n-1} \subset \R^n$ (с обычной метрикой). Докажите, что $f$ можно задать полиномом от координат на $\R^n$. \ез \задача[2 балла] Пусть $G$ -- компактная группа Ли, снабженная инвариантной метрикой, $V$ ее точное представление, $G \hookrightarrow \End(V)$ естественное вложение, а $f$ -- собственная функция оператора Лапласа. Докажите, что $f$ можно задать полиномом от плоских координатных функций на $\End(V)$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection*{Гильбертовы пространства (листки 11-12)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[2 балла] Пусть $V = C([0,1])$ -- пространство непрерывных функций на отрезке, с $\sup$-метрикой, а $K \subset V$ -- множество дифференцируемых функций $f:\; [0,1]\arrow \R$ с $|f'|<1$. Докажите, что замыкание $K$ -- множество 1-липшицевых отображений $[0,1]\arrow \R$. \ез \задача[1 балл] Пусть $E$ -- непрерывный оператор на банаховом пространстве. Запишите $\cos E$, $\sin E$ рядами, и докажите, что эти ряды сходятся. Всегда ли $(\cos E)^2 + (\sin E)^2$ равен единице? \ез \задача[1 балл] Компактный, самосопряженный оператор называется {\бф ядерным}, если ряд, составленный из его собственных значений, абсолютно сходится. Пусть $\Delta$ -- оператор Лапласа на торе $(S^1)^n$, а $G:= (1+\Delta)^{-1}$. Докажите, что $G^t$ ядерный, если $t \geq \left[ \frac {n+1} 2\right]$. \ез \задача[2 балла] Напомним, что {\бф алгеброй Калкина} гильбертова пространства называется фактор-алгебра кольца непрерывных эндоморфизмов по идеалу, состоящему из компактных операторов. Докажите, что алгебра Калкина проста (не содержит нетривиальных двусторонних идеалов). \ез \задача[2 балла] Докажите, что множество фредгольмовых операторов открыто в норменной топологии. Докажите, что у этого множества есть счетное и бесконечное число компонент связности. \ез \задача[2 балла] Рассмотрим группу $\Aut(H)$ автоморфизмов гильбертова пространства, с топологией, индуцированной нормой оператора. Докажите, что она стягиваема. \ез \end{document}