\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}

\pagestyle{fancy} 
\lhead{\tiny НМУ, весна 2010, второй курс} 
\lfoot{\tiny Анализ, НМУ, второй курс } 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny Весна 2010, задачи
  для экзамена, \version}
\rhead{{\tiny  Миша Вербицкий}}
\renewcommand{\listok}[2]{%
%\setcounter{page}{1}
\lhead{ \scriptsize #2 }
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

% Версия 1.0, 14.05.2010
% Версия 2.0. 14.05.2010, исправления в четырех задачах.
% Версия 2.1, 15.05.2010, непустой идеал


\newcommand{\version}{version 2.1,\ \   15.05.2010}

\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{1}{АНАЛИЗ, задачи для устного экзамена}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Можно свободно пользоваться всеми
задачами и теоремами из листков и лекций, но
надо быть готовым предъявить доказательство 
для каждого утверждения. 

Каждому студенту выдаются задачи
на $12-N$ баллов, где $N$ -- число сданных листков или разделов,
не содержащих сданных целиком листков (раздел считается сданным, 
если все его листки сданы как минимум наполовину). 

Студент, набравший не меньше $6+k-\left[\frac{4N}3\right]$ баллов, получает
оценку $\left[\frac k 2 \right]+3$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Многообразия (листки 1-2)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Напомним, что топологическое пространство $X$ называется
{\бф паракомпактным}, если у каждого покрытия $X$ найдется
локально конечное измельчение.
\ео


\задача[1 балл]
Пусть $M$ -- гладкое многообразие, представленное
как объединение $M = M_1 \subset M_2 \subset M_3 \subset ...$,
где $M_i$ -- гладкие, компактные многообразия с краем. Докажите,
что $M$ паракомпактно.
\ез

\задача[1 балл]
Пусть $M$ -- метрическое пространство, причем все
замкнутые шары в $M$ компактны. Докажите, что
$M$ паракомпактно.
\ез


\задача[1 балл]
Постройте морфизм многообразий $\phi:\; \R \arrow S^3$,
образ которого плотен.
\ез

\задача[1 балл]
Постройте функцию $f:\; [0,1] \arrow [0,1]$,
которая непрерывна, но не липшицева ни на каком
отрезке $[a,b]\subset [0,1]$.
\ез

\задача[1 балл]
Пусть $M$ -- риманово многообразие, а
$R(M)$ -- пространство ограниченных, липшицевых
функций на $M$. Докажите, что это кольцо.
Задает ли соответствие $U \arrow R(U)$
пучок?
\ез

%\задача[2 балла]
%Пусть $f:\; [0,1] \arrow \R$ -- выпуклая функция
%на отрезке, а $\Gamma_f$ -- ее график. Докажите,
%что хаусдорфова размерность $\Gamma_f$ равна 1.
%\ез


%\задача[2 балла]
%Пусть $f:\; [0,1] \arrow \R^n$ -- непрерывная функция
%на отрезке, а $\Gamma_f$ -- ее график. Докажите,
%что хаусдорфова размерность $\Gamma_f$ не меньше 1.
%\ез

\задача[3 балла]
Пусть $N \subset M$ -- гладкое, замкнутое подмногообразие
компактного риманова многообразия. Докажите, что существует
такая пара положительных констант $C'> C\in \R$, со следующим
свойством. Пусть $f\in C^\infty N$ -- функция, производная
которой везде ограничена константой $C$: $|df|< C$. Тогда $f$ можно
продолжить до гладкой функции $\phi$ на $M$, производная
которой везде ограничена  $|d\phi|< C'$.
\ез

\задача[3 балла]
Пусть $M$ -- метрическое пространство
\енум
\итем 
Пусть на $M$ заданы локально конечные покрытия $U_\alpha$ и $V_\alpha$, 
индексированные одним и тем же множеством индексов,
причем для любого индекса $\alpha$, замыкание $V_\alpha$ содержится
в $U_\alpha$. Постройте набор непрерывных функций 
$\phi_\alpha:\; М \arrow [0,1]$, таких, что 
$\phi_\alpha=0$ вне $U_\alpha$, $\phi_\alpha=1$ на $V_\alpha$,
и $\sum_\alpha \phi_\alpha =1$.
\итем
Докажите, что функции $\phi_\alpha$ можно выбрать
липшицевыми.
\ее
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Ростки и дифференцирования (листки 3-4)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача[1 балл]
Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $TM$ -- тотальное
пространство его касательного расслоения. Докажите, что
$TM$ ориентируемо.
\ез

\задача[1 балл]
Пусть $R$ -- кольцо ростков функций на $\R$.
Найдите идеал $I\subset R$, который не порожден
всеми неотрицательными функциями из $I$.
\ез





\задача[2 балла]
Пусть $R$ -- кольцо ростков функций на $\R^n$,
а $K\subset R$ -- пересечение всех степеней
максимального идеала. Докажите, что $K$ порождено
неотрицательными функциями из $K$.
\ез


\задача[2 балла]
Докажите, что пучок $C$-липшицевых функций
на компактном римановом многообразии мягкий.
\ез

\задача[3 балла]
Пусть $F$ -- мягкий пучок колец на многообразии $M$.
Рассмотрим отображение, ставящее каждому открытому
$U\subset M$ пространство дифференцирований $\Der(F_U)$
на соответствующем кольце сечений. Определите пучок,
пространство сечений которого в $U\subset M$ равно $\Der(F_U)$,
а ростки в $x\in M$ равны $\Der(F_x)$, где
$F_x$ -- кольцо ростков $F$ в $x$.
\ез


\задача[2 балла]
Пусть $M$ и $M'$ -- гладкие многообразия, такие, что
$C^\infty M$ изоморфно $C^\infty M'$ (как кольцо).
Докажите, что $M$ изоморфно $M'$ как многообразие.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Векторные расслоения (листки 5-6)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Напомним, что $SU(n)$ есть группа унитарных
эндоморфизмов $n$-\-мер\-но\-го эрмитова пространства
с определителем 1, $SO(n)$ -- группа 
ортогональных энфоморфизмов $n$-\-мер\-но\-го
евклидова пространства
с определителем 1, $Sp(n)$ -- группа
кватернионно-линейных ортогональных
эндоморфизмов пространства ${\Bbb H}^n$. Эти три серии
групп Ли называются {\бф классическими 
простыми, компактными группами Ли.}
\ео

\задача[1 балл] 
Постройте гладкое расслоение
со слоем $S^3$, базой $S^5$, и тотальным
пространством $SU(3)$.
\ез

\задача[1 балл] 
Постройте гладкое расслоение
со слоем $S^1\times S^1$, базой $F_2$,
и тотальным пространством $SU(3)$, где $F$ --
пространство флагов (проективных прямых с 
отмеченной точкой) в $\C P^2$.
\ез

%\задача[1 балл]
%Постройте гладкое расслоение
%с базой $S^4$, тотальным пространством
%$\C P^3$, и слоем $\C P^1$.
%\ез

\задача[3 балла]
Пусть $G$ -- простая, компактная классическая  группа Ли
(то есть $SO(n)$, $SU(n)$ и $Sp(n)$). Постройте
гладкое расслоение над сферой с тотальным пространством $G$,
таким образом, чтобы слой был диффеоморфен группе Ли.
Найдите эту группу Ли в каждом из трех случаев.
\ез

\задача[1 балл]
Пусть $B$ -- ориентируемое векторное расслоение.
Докажите, что тензорный квадрат $B\otimes B$ --
тоже ориентируемое расслоение.
\ез

\задача[3 балла]
Пусть $B$ -- ориентируемое векторное расслоение.
Докажите, что симметрический квадрат $\Sym^2 B$ --
тоже ориентируемое расслоение.
\ез

\задача[1 балл]
Докажите, что нетривиальное
вещественное одномерное векторное расслоение
не может быть изоморфно тензорному квадрату 
одномерного расслоения: $B \not\cong B_1 \otimes B_1$.
\ез

%\задача[3 балла]
%Пусть $B$ -- $2n$-мерное 
%комплексное векторное расслоение, снабженное
%невырожденной, комплекснозначной, кососимметрической формой.
%Докажите, что расслоение $\Lambda^{2n} B$
%есть тензорный квадрат одномерного векторного
%расслоения $L$.
%\ез


\задача[3 балла]
Пусть $F$ -- мягкий пучок колец на многообразии $M$,
а $B$ -- ло\-каль\-но-\-три\-ви\-аль\-ный пучок модулей над $F$.
Рассмотрим отображение, ставящее каждому открытому
$U\subset M$ пространство гомоморфизмов
$\Hom_{F_U}(B_U, F_U)$, где $F_U$, $B_U$ -- соответствующие
пространства сечений. Определите пучок,
пространство сечений которого в $U\subset M$ равно 
$\Hom_{F_U}(B_U, F_U)$,
а ростки в $x\in M$ равны $\Hom_{F_x}(B_x, F_x)$, где
$F_x$ -- кольцо ростков $F$ в $x$, а $B_x$ -- 
пространство ростков $B$.
\ез

\задача[2 балла]
Постройте нетривиальное векторное расслоение $B$ над
каким-нибудь многообразием $M$, такое, что прямая
сумма $B$ и тривиального расслоения тривиальна.
\ез


\задача[2 баллa]
Докажите, что любой конечно-порожденный проективный модуль
над кольцом $C^\infty \R^n$ тривиален.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Эллиптические операторы (листки 7,10)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача[2 балла]
Пусть $W$ -- алгебра дифференциальных операторов
на кольце полиномов $\C[t]$. Докажите, что $W$ {\бф проста}, то
есть не имеет нетривиальных двусторонних идеалов.
\ез

\задача[1 балл]
Докажите, что не существует нетривиального гомоморфизма из алгебры
матриц в алгебру дифференциальных операторов на многообразии.
\ез

\задача[1 балл]
Пусть $S\in \Sym^i TM$. Докажите, что существует
дифференциальный оператор $D$, символ которого равен $S$.
\ез

\задача[1 балл]
Постройте эллиптический оператор порядка 3 на
каком-нибудь расслоении.
\ез 

\задача[2 балла]
Докажите, что 
множество $S$ эллиптических операторов порядка $i$ на $C^\infty M$
пусто для любого нечетного $i$. Докажите, что для четного $i$
оно состоит из двух компонент связности, которые выпуклы.
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Дифференциал де Рама и лапласиан (листки 8-9)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача[1 балл]
Пусть $G$ -- группа, действующая на римановом
многообразии $M$ изометриями, а $\Delta$ -- соответствующий
лапласиан. Докажите, что $\Delta$ {\бф $G$-инвариантен},
то есть удовлетворяет $\Delta(g^* F) = g^* \Delta(f)$.
\ез

\задача[1 балл]
Рассмотрим стандартное действие $SO(3)$ на $S^2$, и
пусть $D$ -- $SO(3)$-\-ин\-ва\-ри\-ант\-ный дифференциальный
оператор второго порядка. Докажите, что
$D(f)= af + b \Delta(f)$, где $\Delta$
есть обычный лапласиан (связанный с инвариантной
метрикой), а $a$ и $b$ какие-то константы.
\ез



\задача[1 балл]
Пусть $M$ -- двумерное, ориентированное риманово многообразие.
Определим $I:\; TM \arrow TM$ как оператор поворота на угол $\frac \pi 2$
против часовой стрелки, $I^2 =-1$. Рассмотрим
оператор $dd^c:\; \C^\infty M \arrow \Lambda^2 M$,
$dd^c(f) = d I d(f)$,
и пусть $\Vol(M)\in \Lambda^2 M$ -- форма объема. 
Докажите, что $\Delta(f) = \frac {dd^c(f)}{\Vol(M)}$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $f$ -- гармоническая функция на
$\R^n$, такая, что $\int_\R^n |f|^2 < \infty$.
Докажите, что $f=0$.
\ез


\задача[2 балла]
Пусть $\Delta$ -- оператор Лапласа на 
римановом многообразии $M$, $f\in C^\infty \R^n$ -- 
функция, а $L_f$ -- оператор умножения на $f$. Докажите, что
$[\Delta, L_f](u)= 2\Lie_X(u)+ u\Delta(f)$, где $\Lie_X$ -- производная
Ли вдоль векторного поля $X$, равного градиенту $f$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Гильбертовы пространства (листки 11-12)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача[1 балл]
Пусть $M$ -- компактное метрическое
пространство. Докажите, что ограниченные,
липшицевы функции плотны в пространстве
непрерывных функций на $M$ с $C^0$-\-то\-по\-ло\-гией.
\ез 

\задача[1 балл]
Пусть $F$ -- ряд Фурье от одной переменной, который сходится
в метрике Соболева $L^2_n$. Докажите, что $F$
сходится к $n$-кратно дифференцируемой функции.
\ез

\задача[1 балл]
Постройте ненулевой компактный оператор
с нулевым спектром.
\ез


\задача[2 балла]
Пусть $S$ -- единичная сфера в гильбертовом пространстве.
Докажите, что $S$ стягиваема. 
\ез


\задача[1 балл]
Пусть $\Delta$ -- оператор Лапласа на окружности
снабженной плоской метрикой.
Докажите, что $(\Delta +1)^{-1}$ непрерывен в
$L^2$-метрике и компактен.
\ез


\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{2}{АНАЛИЗ, задачи для письменного экзамена}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Можно свободно пользоваться всеми
теоремами из лекций, но надо дать ссылку.
Решая задачи, можно (и нужно) пользоваться
любыми учебниками, монографиями и статьями, 
приводя в записках доказательства по мере необходимости.
Решение принести записанным максимально
полно и аккуратно. Помнить подробности всех доказательств, быть
в состоянии разъяснить, где потребуется. 
Оценка вычисляется по той же формуле,
что и для устного экзамена.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Многообразия (листки 1-2)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача[3 балла]
Пусть $M$ -- метрическое
пространство. Докажите, что $M$ паракомпактно.
\ез 

\задача[1 балл]
Пусть $M$ -- метрическое пространство. 
Постройте изометрическое вложение из $M$ 
в банахово пространство.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $f:\; {\Bbb H}^n \arrow {\Bbb H}$
кватернионнозначная функция,
которая кватернионно дифференцируема (в смысле, приближается
кватернионно-линейным функционалом в каждой точке).
Докажите, что $f$ линейная.
\ез

\задача[3 балла]
Пусть $f:\; [0,1] \arrow [0,1]$ -- непрерывное
отображение, а $\Gamma_f\subset \R^2$ -- его график.
Найдите, чему может быть равна размерность Хаусдорфа 
пространства $\Gamma_f$.
\ез


\задача[2 балла]
Пусть $N \subset M$ -- гладкое, замкнутое подмногообразие
гладкого риманова многообразия (не обязательно компактного). 
Пусть $f\in C^\infty N$ функция, производная
которой везде ограничена $C$: $|df|< C$. Всегда ли $f$ можно
продолжить до гладкой, липшицевой функции на $M$?
\ез

\задача[1 балл]
Пусть $M$ -- компактное топологическое многообразие с метрикой.
Докажите, что $M$ допускает липшицево,
замкнутое вложение в $\R^n$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Ростки и дифференцирования (листки 3-4)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\задача[1 балл]
Пусть $R$ -- кольцо ростков функций на $\R$,
а $I\subset R$ -- непустой конечно-порожденный идеал.
Докажите, что $\bigcap_n I^n \neq 0$.
\ез


\задача[3 балла]
Пусть $M$ -- некомпактное многообразие, а
${\goth m}\subset C^\infty M$ -- максимальный идеал,
который не является идеалом точки. Может
ли ${\goth m}$ быть конечно порожден?
\ез

\задача[2 балла]
В условиях предыдущей задачи,
может ли фактор $C^\infty M/{\goth m}$ быть алгебраически замкнут?
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Векторные расслоения (листки 5-6)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача[1 балл]
Пусть $M$ -- компактное многообразие.
Постройте нетривиальное векторное расслоение над $M$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $M$ -- двумерное, некомпактное многообразие,
а $B$ -- векторное расслоение над $M$. Докажите, что
$B\oplus B$ тривиально.
\ез

\задача[3 балла]
Докажите, что любой конечно-порожденный
проективный модуль над кольцом $\C[t_1,t_2]$ тривиален.
\ез

\задача[1 балл]
Пусть $M$ многообразие, которое стягиваемо (гомотопически
эквивалентно точке). Докажите, что любое векторное расслоение над 
$M$ тривиально.
\ез

\задача[1 балл]
Найдите двумерное векторное расслоение, которое не допускает
метрики сигнатуры (1,1). Можно ли найти такое расслоение на $S^3$?
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Эллиптические операторы (листки 7,10)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\задача[1 балл]
Рассмотрим стандартное действие $SO(n+1)$ на $S^n$, и
пусть $D$ -- $SO(n+1)$-инвариантный дифференциальный
оператор второго порядка. Докажите, что
$D(f)= af + b \Delta(f)$, где $\Delta$
есть обычный лапласиан (связанный с инвариантной
метрикой), а $a$ и $b$ какие-то константы.
\ез


\задача[3 баллa]
Пусть $M$ -- гладкое $n$-мерное многообразие, $B$ --
тривиальное $k$-мерное расслоение.
Найдите все пары $(n,k)$, для которых на $B$ существует 
эллиптический оператор порядка $i$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $D:\; C^\infty T \arrow C^\infty T$ -- эллиптический оператор порядка
$k$ на торе $T$. Докажите, что $D:\; L^2_n(T) \arrow L^2_{n-k}(T)$
фредгольмов, где $L^2_n$ -- соответствующая соболевская
метрика.
\ез 

\задача[3 балла]
Пусть $D:\; C^\infty T \arrow C^\infty T$ -- эллиптический оператор
на торе, с вещественно-аналитическими коэффициентами
а $f$ -- его собственная функция. Докажите, что $f$
ве\-ще\-ствен\-но-\-ана\-ли\-ти\-чес\-кая.
\ез





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Дифференциал де Рама и лапласиан (листки 8-9)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\задача[1 балл]
Пусть $f$ -- гладкая функция на компактном римановом многообразии,
такая, что $\Delta(f) =  \lambda f$,
где $\lambda\in C^\infty M$ везде $<0$. Докажите, что $f=0$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $D$ -- эллиптический оператор
на компактном римановом многообразии, который имеет
вид $D(f) = \Delta(f) + T(f) +\lambda f$,
где $T$ -- дифференцирование, а $ \lambda\in C^\infty M$ 
везде $>0$. Предположим, что $u$ -- функция такая,
что $D(u)\leq 0$. Докажите, что $u\leq 0$.
\ез


\задача[1 балл]
Пусть $f\in C^\infty (S^{n-1})$ -- собственный вектор оператора
Лапласа на сфере $S^{n-1} \subset \R^n$ (с обычной метрикой).
Докажите, что $f$ можно задать полиномом от
координат на $\R^n$. 
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $G$ -- компактная группа Ли, снабженная
инвариантной метрикой, $V$ ее точное представление,
$G \hookrightarrow \End(V)$ естественное
вложение, а $f$ -- собственная функция
оператора Лапласа. Докажите, что $f$
можно задать полиномом от плоских координатных
функций  на $\End(V)$.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Гильбертовы пространства (листки 11-12)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача[2 балла]
Пусть $V = C([0,1])$ -- пространство
непрерывных функций на отрезке, с $\sup$-метрикой, а
$K \subset V$ -- множество дифференцируемых
функций $f:\; [0,1]\arrow \R$ с $|f'|<1$.
Докажите, что замыкание $K$ -- множество 
1-липшицевых отображений $[0,1]\arrow \R$.
\ез



\задача[1 балл]
Пусть $E$ -- непрерывный оператор на банаховом пространстве.
Запишите $\cos E$, $\sin E$ рядами, и докажите, что
эти ряды сходятся. Всегда ли $(\cos E)^2 + (\sin E)^2$
равен единице?
\ез

\задача[1 балл]
Компактный, самосопряженный оператор называется
{\бф ядерным}, если ряд, составленный из его
собственных значений, абсолютно сходится.
Пусть $\Delta$ -- оператор Лапласа на
торе $(S^1)^n$, а $G:= (1+\Delta)^{-1}$.
Докажите, что $G^t$ ядерный, если $t \geq \left[ \frac {n+1} 2\right]$.
\ез

\задача[2 балла]
Напомним, что {\бф алгеброй Калкина} гильбертова
пространства называется фактор-алгебра кольца
непрерывных эндоморфизмов по идеалу, состоящему
из компактных операторов.
Докажите, что алгебра Калкина проста (не содержит
нетривиальных двусторонних идеалов).
\ез


\задача[2 балла]
Докажите, что множество фредгольмовых операторов
открыто в норменной топологии. Докажите, что у
этого множества есть счетное и бесконечное число
компонент связности.
\ез


\задача[2 балла]
Рассмотрим группу $\Aut(H)$ автоморфизмов гильбертова
пространства, с топологией, индуцированной нормой оператора.
Докажите, что она стягиваема.
\ез




\end{document}


