\documentclass[11pt]{article}

%\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}


\input{listki.tex}

\def\6{\partial}

% version 1.0 -- 01.04.2010 (начал файл)
% version 1.1 -- 04.04.2010 
% version 2.0 -- 16.04.2010 (поправил нормировку в
%                           грассмановой алгебре)

\newcommand{\version}{version 2.0,\ \   16.04.2010}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{9}{Анализ 9: Оператор Лапласа}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Оператор Ходжа $*$ на векторном пространстве}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $V$ -- $n$-мерное векторное пространство над
$\R$, ориентированное и снабженное евклидовой метрикой
(то есть симметричной билинейной положительно определенной
2-формой). Обозначим за $e_{i_1}\wedge ... \wedge e_{i_k}$
кососимметричный поливектор 
\[ 
  \sum_\sigma (-1)^|\sigma| e_{\sigma(i_1)}\otimes 
  e_{\sigma(i_2)}\otimes ... \otimes e_{\sigma(i_k)},
\]
где сумма берется по всем перестановкам множества
$i_1, ..., i_k$. Операция $\wedge$ 
задает структуру {\бф грассмановой алгебры}
на пространстве кососимметричных поливекторов.
\ео

\определение
{\бф Формой объема} на $V$ называется 
положительный элемент объема $\Vol\in \Lambda^n V^*$
такой, что $\Vol(e_1, ..., e_n)=\pm 1$
для любого ортонормированного базиса $e_1, ..., e_n$.
\ео

\задача[!]
Докажите, что $\Vol$ определен этими данными однозначно.
\ез

\задача
Пусть $\|\cdot\|^2$ -- евклидова метрика на $V$.
Докажите, что формула 
\[
  \|v_1\otimes v_2\otimes ...\otimes v_k\|^2:=
  \|v_1\|^2 \|v_2\|^2 ... \|v_k\|^2
\]
задает метрику $g$ на тензорной степени
$V^{\otimes k}$ ($V$ с самим собой $k$ раз). 
\ез

\определение
Определим метрику $g_\Lambda$ на $\Lambda^i V$
таким образом, чтобы при естественном вложении
$\Lambda^i V \stackrel \nu \hookrightarrow V^{\otimes i}$
метрика $g_\Lambda$ получалась из метрики
$g$, описанной выше, по формуле 
$g_\Lambda(x,y) = \frac1{i!}g(\nu(x),\nu(y))$.
\ео

\задача
Докажите, что $\|\Vol\|=1$, где метрика на
$\Lambda^n V^*$ определена выше.
\ез

\задача[*]
Пусть $B$ --- ориентированное векторное расслоение,
a $\Lambda^i B$ --- $i$-я кососимметрическая степень $B$. 
Будет ли оно ориентировано? 
\ез

\задача
Пусть $V$ -- евклидово пространство над
$\R$, а $e_1, ..., e_n$ -- ортонормированный базис.
Докажите, что $e_{i_1}\wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_k}$
есть ортонормированный базис в $\Lambda^k V$, где
$i_1, ..., i_k$ пробегает все последовательности,
удовлетворяющие $i_1 > i_2 > ... > i_k$.
\ез

\задача[!]
\label{_g_na_tenz_Zadacha_}
Пусть $n$-мерное векторное пространство над
$\R$, ориентированное и снабженное метрикой $g$.
Обозначим той же буквой метрику на $\Lambda^i V$.
Докажите, что существует 
единственный оператор $*:\; \Lambda^k V \arrow \Lambda^{n-k} V$
такой, что $* \alpha \wedge \beta= g(\alpha, \beta) \Vol$,
для любой $k$-формы $\beta$.
\ез

\определение
Этот оператор называется $*$-оператор Ходжа
(звездочка).
\ео

\задача
Докажите, что 
\[ *(e_{i_1}\wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_k}) 
  = (-1)^{|\sigma|} e_{j_1}\wedge e_{j_2} \wedge ... \wedge e_{j_{n-k}},
\]
где $j_1, ..., j_{n-k}$ -- набор индексов, дополнительный
к $i_1, ..., i_k$, а $\sigma$ -- перестановка
\[ 
\left(\begin{array}{cccccc}
1, & ..., & k, & k+1,& ..., & n\\
i_1,& ..., &i_k,& j_1, &..., &j_{n-k}
\end{array}
\right).
\]
\ез


\задача[!]
Докажите, что на $\Lambda^k V$ имеет место
$*^2=(-1)^{k(n-k)} \Id$, где $n = \dim V$.
\ез

\задача[*] 
Пусть метрика на $V$ не положительно
определена, а имеет сигнатуру $(q, n-q)$.
Докажите, что на $\Lambda^k V$ имеет место
$*^2=(-1)^{k(n-k)} (-1)^{q (n-q)} \Id$.
\ез

\задача[!]
Пусть $\dim V = 2n$ . Докажите,
что у $*$ есть $2^{2n-1}$ собственных
значений $1$ и $2^{2n-1}$ собственных
значений $-1$.
\ез

\задача
Пусть $x\in V^*$ -- линейная форма, 
$e_x:\; \Lambda^i V^* \arrow \Lambda^{i+1} V^*$ --
оператор домножения на $x$, а $i_x:\; \Lambda^i V \arrow\Lambda^{i-1} V$ --
оператор подстановки двойственного вектора $x^\sharp \in V$ в 
$i$-форму. Докажите, что $e_x = - (-1)^{(k+1)n}* i_x *$.
\ез

\задача[!]
\label{_anticommu_e_i_Zadacha_}
В условиях предыдущей задачи,
докажите, что $ e_x i_x + i_x e_x = \|x\|^2 \Id$.
\ез

\задача[*]
Пусть $g$ -- стандартная плоская метрика на $M=\R^{2n}$,
а $х_1, ..., x_{2n}$ -- координаты, а $dx_1, ..., dx_{2n}$ --
соответствующий им ортонормированный базис в $T^*M$.
Рассмотрим симплектическую форму $\omega:=\sum_{i=1}^n
dx_{i-1}\wedge dx_i$, и пусть $L(\eta):= \omega\wedge\eta$,
а $\Lambda:= *L*$, а $H=[L, \Lambda]$. Докажите, что
$H$ действует на $n+p$-формах умножением на $p$,
для любого $-n\leq p \leq n$. 
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Оператор Лапласа на многообразии}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\замечание
Отныне и до конца листка, риманово многообразие
$M$ по умолчанию предполагается
ориентированным.
\еза

\замечание
Пусть $M$ -- риманово, ориентированное $n$-многообразие.
Тогда на $\Lambda^*M$ задан оператор Ходжа
$*:\; \Lambda^k M \arrow \Lambda^{n-k} M$,
действующий поточечно; этот оператор,
очевидно, $C^\infty M$-линейный. 
Также на $M$ задана форма $\Vol\in \Lambda^n M$,
определенная как указано выше. Эта форма называется
{\бф форма риманова объема}.
\еза

\определение
Дифференциальная форма на $M$ называется
{\бф формой с компактным носителем}, если
она равна нулю вне компактного множества
$K \subset M$.
\ео

\задача[*]
Пусть $\alpha$ -- $n$-форма с компактным носителем
на $\R^n$. Докажите, что $\int_{\R^n}\alpha =0$
тогда и только тогда, когда $\alpha=d\beta$,
где $\beta$ -- $(n-1)$-форма с компактным носителем.
\ез

\задача[!]
Пусть $(M,g)$ -- ориентированное риманово многообразие.
Обозначим той же буквой $g$ билинейное, симметричное спаривание
$g:\; \Lambda^k M \times \Lambda^k M\arrow C^\infty M$,
определенное как в задаче \ref{_g_na_tenz_Zadacha_}.
\енум
\итем Докажите, что 
\begin{equation}\label{_*_int_Equation_}
\int_M *\alpha \wedge \beta = \int_M
d(\alpha, \beta) \cdot \Vol,
\end{equation} для любой формы $\beta\in \Lambda^k M $
с компактным носителем.
\итем Докажите, что условие 
\eqref{_*_int_Equation_} однозначно задает оператор $*$.
\ее
\ез

\замечание
Эту формулу часто берут за определение
$*$ на многообразии.
\еза

\задача
Пусть 
$\alpha_1\in \Lambda^k M, \beta \in \Lambda^{n-k-1} M$,
причем $\eta$ -- форма с компактным носителем.
Докажите, что
\begin{equation}\label{_chastyam_int_Equation_}
\int_M \alpha \wedge d\beta = - (-1)^{k} \int_M d\alpha
\wedge \beta
\end{equation}
\ез

\указание
Теоремой Стокса воспользуйтесь.
\еу

\замечание
Формулу \eqref{_chastyam_int_Equation_}
часто называют {\бф формула интегрирования по частям}.
\еза

\задача[*]
Сформулируйте и докажите аналог этой формулы
для многообразий с краем.
\ез

\задача[!]
Докажите, что для любой формы $\beta\in \Lambda^{n-k-1} M $ с компактным
носителем, и любой $\alpha \in \Lambda^{k} M$,
имеет место
\[
-(-1)^{n-k}\int_M g(*^{-1}d*\alpha,\beta)\Vol = \int_M g(\alpha, d\beta).
\]
\ез

\указание
Воспользуйтесь формулой \eqref{_chastyam_int_Equation_}.
\еу

\задача
Определим на пространстве дифференциальных $k$-форм
метрику формулой 
\[ g(\alpha, \beta):= \int_M g(\alpha, \beta) \Vol.\]
Докажите, что оператор $d^*:=- (-1)^{(k+1)(n-k)} *d* =(-1)^{n(k+1)} $ сопряжен
$d$ в смысле этой метрики.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей,
примените формулу для $*^2$.
\еу


\задача[*]
Определим на $C^\infty M$ метрику по формуле
$g(f, f'):= \int_M ff' \Vol$, и пусть $D$ --
дифференциальный оператор порядка $i$. Докажите, что
существует дифференциальный оператор $D^*$ порядка $i$
такой, что для любой $f'$ с компактным носителем,
имеем $g(D^*f, f') = g(f, D f')$.
\ез

\определение
{\бф Оператор Лапласа} (он же ``оператор Лапласа-де Рама'')
на многообразии $M$ есть дифференциальный оператор
$\Delta:\; \Lambda^i M \arrow \Lambda^i M$, который
определяется формулой $\Delta \alpha:= dd^* \alpha + d^*
d\alpha$, где $d^*:= -(-1)^{n(k+1)}*d*$. Форма $\alpha$ называется
{\бф гармоничной}, если $\Delta\alpha =0$.
\ео

\задача
Докажите, что 
$g(\Delta \alpha, \beta) = g(d\alpha, d\beta) + g(d^*
\alpha, d^* \beta)$,
для любых $\alpha$, $\beta\in \Lambda^i M$.
\ез

\задача[!]
Пусть $\alpha$ -- гармоничная форма
с компактным носителем. 
\енум 
\итем[!] Докажите, что $d\alpha=d^*\alpha=0$.
\итем[!]
Докажите, что $\alpha=0$, если $\alpha$ точна.
\ее
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Докажите, что на $\R^n$ не может быть ненулевых
гармоничных форм с компактным носителем.
\ез


\задача
Пусть $g$ -- стандартная плоская метрика на $M=\R^n$,
$х_1, ..., x_n$ -- координатные функции, а $dx_1, ..., dx_n$ --
соответствующий им ортонормированный базис в $T^*M$.
Обозначим за $e_{dx_i}$ оператор, домножающий
на $dx_i$, а за $i_{dx_i}$ оператор $-(-1)^{n(k+1)}*e_{dx_i}*$.
\енум
\итем Докажите, что $e_{dx_i}^*= i_{dx_i}$.
\итем Обозначим за $\frac d{dx_i}:\; \Lambda^k M \arrow\Lambda^k M$
оператор, дифференцирующий все коэффициенты формы в направлении
векторного поля $\frac d{dx_i}$. Докажите, что
 $d^* = \sum_{i=1}^n i_{dx_i} \frac d{dx_i}$.
\итем[!] Докажите, что $\Delta= \sum_{i=1}^n \frac{d^2}{dx_i^2}$.
\ее
\ез

\указание
Для второй части, воспользуйтесь следующей формулой для
оператора де Рама: 
\[d = \sum_{i=1}^n e_{dx_i} \frac d{dx_i}.\] 
Третью часть задачи выведите из 
задачи \ref{_anticommu_e_i_Zadacha_}.
\еу

\задача[*]
Пусть $X\in T^*M$ -- ковекторное поле на римановом многообразии.
Докажите, что антикоммутатор $\{d^*, e_X\}$ действует
на функциях как дифференциальный оператор первого порядка.
\ез


\задача[*]
Пусть векторное поле $X\in TM$ на 
компактном римановом многообразии
удовлетворяет $[\Lie_X, *]=0$. Докажите, что для любой
гармоничной формы $\eta$ на $M$ имеем $\Lie_X (\eta)=0$.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Формула Грина-Рисса}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\задача[!]
\label{_*df_na_podmno_Zadacha_}
Пусть $f$ -- функция на римановом
многообразии $M$,  а $X\subset M$ -- 
ориентированное подмногообразие коразмерности 1. 
Обозначим за $\frac d {d\xi}\in TM\restrict X$ 
положительное нормальное векторное поле к $X$ длины 1.
Докажите, что $*d f \restrict X = \frac {df}{d\xi}\Vol_X$
\ез

\задача[!]
Пусть $(M, g)$ -- риманово $n$-многообразие с краем,
а $u, v \in C^\infty M$ гладкие функции.
Докажите, что
\begin{equation}\label{_stokes_for_green_riesz_Equation_}
 \int u \Delta v \Vol_M + (-1)^{n-1} \int_M g(du, dv) \Vol_M
= \int_{\6 M} u \wedge *d v.
\end{equation}
\ез

\указание
Применив формулу Стокса, 
получите
\[
\int_{\6 M} u \wedge *d v= \int_M du \wedge *dv +\int_M u
\wedge d*dv.
\]
\еу

\задача[!]
В условиях предыдущей задачи, докажите формулу Грина-Рисса
(``Green-Riesz representation formula'')
\[
\int_M u\Delta v \Vol_M - \int_M v\Delta u \Vol_M
= \int_{\6M} \left( u \frac{dv} {d\xi}  v \frac{du}
{d\xi}\right) \Vol_{\6M}
\]
где $\frac d {d\xi}\in TM\restrict {\6M}$ -- единичное
нормальное векторное поле к краю.
\ез

\указание
Вычтите из формулы \eqref{_stokes_for_green_riesz_Equation_}
такую же формулу, полученную перестановкой
$u$ и $v$, и примените задачу \ref{_*df_na_podmno_Zadacha_}.
\еу

\задача
Пусть $\frac d {d\xi}$ -- радиальное векторное поле длины 1 на
$\R^n$ со стандартной метрикой и координатами,
\[ \frac d {d\xi}= \frac{\sum_i x_i \frac d{dx_i}}{\sqrt{\sum_i x_i^2}}.
\]
Докажите, что любая гармоническая функция $v\in C^\infty \R^n$
удовлетворяет 
\[
\int_{\6 B_r}\frac{dv} {d\xi} \Vol_{\6 B_r}=0. 
\]
где $B_r$ -- шар с центром в 0 и радиуса $r$.
\ез

\указание
Примените формулу Грина-Рисса к $u=1$.
\еу

\задача
Обозначим за $S_r$ сферу радиуса $r$ с центром 
в 0, и пусть $\Vol(S_r):= \int_{S_r} \Vol_{S_r}$
обозначает ее риманов объем
Докажите, что функция
\[
f(r):=\frac{\int_{S_r} \frac{dv} {d\xi} \Vol_{S_r}}{\Vol(S_r)}
\]
("среднее значение $\frac{dv} {d\xi}$ на сфере")
постоянна.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Выведите из этого, что среднее от 
гармонической функции $v$ по сфере $S_r$
равно $v(0)$.
\ез

\задача[*]
Пусть $v$ -- гармоническая функция на римановом
многообразии, $B_r$ -- шар радиуса $r$ с центром
в $x_0\in M$, а $S_r=\6 B_r$ -- его граница. 
Докажите, что для небольших $r$
среднее значение $v$ по $S_r$ равно $v(x_0)$.
\ез

\задача[*]
Пусть $v$ функция на $\R^n$ с плоской метрикой,
удовлетворяющая $\Delta v \geq 0$ (такая функция
называется {\бф субгармонической}).
Докажите, что
\[
\int_{\6 B_r}\frac{dv} {d\xi} \Vol_{\6 B_r}\geq 0. 
\]
Выведите из этого, что среднее от $v$
по сфере $S_r$ удовлетворяет
\[
\frac{\int_{S_r} v  \Vol_{S_r}}{\Vol(S_r)}\geq v(0)
\]
для любого $r\geq 0$.
\ез

\end{document}

