\documentclass[11pt]{article} %\usepackage[UglyObsolete]{diagrams} \input{listki.tex} \def\6{\partial} % version 1.0 -- 01.04.2010 (начал файл) % version 1.1 -- 04.04.2010 % version 2.0 -- 16.04.2010 (поправил нормировку в % грассмановой алгебре) \newcommand{\version}{version 2.0,\ \ 16.04.2010} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{9}{Анализ 9: Оператор Лапласа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Оператор Ходжа $*$ на векторном пространстве} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $V$ -- $n$-мерное векторное пространство над $\R$, ориентированное и снабженное евклидовой метрикой (то есть симметричной билинейной положительно определенной 2-формой). Обозначим за $e_{i_1}\wedge ... \wedge e_{i_k}$ кососимметричный поливектор \[ \sum_\sigma (-1)^|\sigma| e_{\sigma(i_1)}\otimes e_{\sigma(i_2)}\otimes ... \otimes e_{\sigma(i_k)}, \] где сумма берется по всем перестановкам множества $i_1, ..., i_k$. Операция $\wedge$ задает структуру {\бф грассмановой алгебры} на пространстве кососимметричных поливекторов. \ео \определение {\бф Формой объема} на $V$ называется положительный элемент объема $\Vol\in \Lambda^n V^*$ такой, что $\Vol(e_1, ..., e_n)=\pm 1$ для любого ортонормированного базиса $e_1, ..., e_n$. \ео \задача[!] Докажите, что $\Vol$ определен этими данными однозначно. \ез \задача Пусть $\|\cdot\|^2$ -- евклидова метрика на $V$. Докажите, что формула \[ \|v_1\otimes v_2\otimes ...\otimes v_k\|^2:= \|v_1\|^2 \|v_2\|^2 ... \|v_k\|^2 \] задает метрику $g$ на тензорной степени $V^{\otimes k}$ ($V$ с самим собой $k$ раз). \ез \определение Определим метрику $g_\Lambda$ на $\Lambda^i V$ таким образом, чтобы при естественном вложении $\Lambda^i V \stackrel \nu \hookrightarrow V^{\otimes i}$ метрика $g_\Lambda$ получалась из метрики $g$, описанной выше, по формуле $g_\Lambda(x,y) = \frac1{i!}g(\nu(x),\nu(y))$. \ео \задача Докажите, что $\|\Vol\|=1$, где метрика на $\Lambda^n V^*$ определена выше. \ез \задача[*] Пусть $B$ --- ориентированное векторное расслоение, a $\Lambda^i B$ --- $i$-я кососимметрическая степень $B$. Будет ли оно ориентировано? \ез \задача Пусть $V$ -- евклидово пространство над $\R$, а $e_1, ..., e_n$ -- ортонормированный базис. Докажите, что $e_{i_1}\wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_k}$ есть ортонормированный базис в $\Lambda^k V$, где $i_1, ..., i_k$ пробегает все последовательности, удовлетворяющие $i_1 > i_2 > ... > i_k$. \ез \задача[!] \label{_g_na_tenz_Zadacha_} Пусть $n$-мерное векторное пространство над $\R$, ориентированное и снабженное метрикой $g$. Обозначим той же буквой метрику на $\Lambda^i V$. Докажите, что существует единственный оператор $*:\; \Lambda^k V \arrow \Lambda^{n-k} V$ такой, что $* \alpha \wedge \beta= g(\alpha, \beta) \Vol$, для любой $k$-формы $\beta$. \ез \определение Этот оператор называется $*$-оператор Ходжа (звездочка). \ео \задача Докажите, что \[ *(e_{i_1}\wedge e_{i_2} \wedge ... \wedge e_{i_k}) = (-1)^{|\sigma|} e_{j_1}\wedge e_{j_2} \wedge ... \wedge e_{j_{n-k}}, \] где $j_1, ..., j_{n-k}$ -- набор индексов, дополнительный к $i_1, ..., i_k$, а $\sigma$ -- перестановка \[ \left(\begin{array}{cccccc} 1, & ..., & k, & k+1,& ..., & n\\ i_1,& ..., &i_k,& j_1, &..., &j_{n-k} \end{array} \right). \] \ез \задача[!] Докажите, что на $\Lambda^k V$ имеет место $*^2=(-1)^{k(n-k)} \Id$, где $n = \dim V$. \ез \задача[*] Пусть метрика на $V$ не положительно определена, а имеет сигнатуру $(q, n-q)$. Докажите, что на $\Lambda^k V$ имеет место $*^2=(-1)^{k(n-k)} (-1)^{q (n-q)} \Id$. \ез \задача[!] Пусть $\dim V = 2n$ . Докажите, что у $*$ есть $2^{2n-1}$ собственных значений $1$ и $2^{2n-1}$ собственных значений $-1$. \ез \задача Пусть $x\in V^*$ -- линейная форма, $e_x:\; \Lambda^i V^* \arrow \Lambda^{i+1} V^*$ -- оператор домножения на $x$, а $i_x:\; \Lambda^i V \arrow\Lambda^{i-1} V$ -- оператор подстановки двойственного вектора $x^\sharp \in V$ в $i$-форму. Докажите, что $e_x = - (-1)^{(k+1)n}* i_x *$. \ез \задача[!] \label{_anticommu_e_i_Zadacha_} В условиях предыдущей задачи, докажите, что $ e_x i_x + i_x e_x = \|x\|^2 \Id$. \ез \задача[*] Пусть $g$ -- стандартная плоская метрика на $M=\R^{2n}$, а $х_1, ..., x_{2n}$ -- координаты, а $dx_1, ..., dx_{2n}$ -- соответствующий им ортонормированный базис в $T^*M$. Рассмотрим симплектическую форму $\omega:=\sum_{i=1}^n dx_{i-1}\wedge dx_i$, и пусть $L(\eta):= \omega\wedge\eta$, а $\Lambda:= *L*$, а $H=[L, \Lambda]$. Докажите, что $H$ действует на $n+p$-формах умножением на $p$, для любого $-n\leq p \leq n$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Оператор Лапласа на многообразии} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Отныне и до конца листка, риманово многообразие $M$ по умолчанию предполагается ориентированным. \еза \замечание Пусть $M$ -- риманово, ориентированное $n$-многообразие. Тогда на $\Lambda^*M$ задан оператор Ходжа $*:\; \Lambda^k M \arrow \Lambda^{n-k} M$, действующий поточечно; этот оператор, очевидно, $C^\infty M$-линейный. Также на $M$ задана форма $\Vol\in \Lambda^n M$, определенная как указано выше. Эта форма называется {\бф форма риманова объема}. \еза \определение Дифференциальная форма на $M$ называется {\бф формой с компактным носителем}, если она равна нулю вне компактного множества $K \subset M$. \ео \задача[*] Пусть $\alpha$ -- $n$-форма с компактным носителем на $\R^n$. Докажите, что $\int_{\R^n}\alpha =0$ тогда и только тогда, когда $\alpha=d\beta$, где $\beta$ -- $(n-1)$-форма с компактным носителем. \ез \задача[!] Пусть $(M,g)$ -- ориентированное риманово многообразие. Обозначим той же буквой $g$ билинейное, симметричное спаривание $g:\; \Lambda^k M \times \Lambda^k M\arrow C^\infty M$, определенное как в задаче \ref{_g_na_tenz_Zadacha_}. \енум \итем Докажите, что \begin{equation}\label{_*_int_Equation_} \int_M *\alpha \wedge \beta = \int_M d(\alpha, \beta) \cdot \Vol, \end{equation} для любой формы $\beta\in \Lambda^k M $ с компактным носителем. \итем Докажите, что условие \eqref{_*_int_Equation_} однозначно задает оператор $*$. \ее \ез \замечание Эту формулу часто берут за определение $*$ на многообразии. \еза \задача Пусть $\alpha_1\in \Lambda^k M, \beta \in \Lambda^{n-k-1} M$, причем $\eta$ -- форма с компактным носителем. Докажите, что \begin{equation}\label{_chastyam_int_Equation_} \int_M \alpha \wedge d\beta = - (-1)^{k} \int_M d\alpha \wedge \beta \end{equation} \ез \указание Теоремой Стокса воспользуйтесь. \еу \замечание Формулу \eqref{_chastyam_int_Equation_} часто называют {\бф формула интегрирования по частям}. \еза \задача[*] Сформулируйте и докажите аналог этой формулы для многообразий с краем. \ез \задача[!] Докажите, что для любой формы $\beta\in \Lambda^{n-k-1} M $ с компактным носителем, и любой $\alpha \in \Lambda^{k} M$, имеет место \[ -(-1)^{n-k}\int_M g(*^{-1}d*\alpha,\beta)\Vol = \int_M g(\alpha, d\beta). \] \ез \указание Воспользуйтесь формулой \eqref{_chastyam_int_Equation_}. \еу \задача Определим на пространстве дифференциальных $k$-форм метрику формулой \[ g(\alpha, \beta):= \int_M g(\alpha, \beta) \Vol.\] Докажите, что оператор $d^*:=- (-1)^{(k+1)(n-k)} *d* =(-1)^{n(k+1)} $ сопряжен $d$ в смысле этой метрики. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей, примените формулу для $*^2$. \еу \задача[*] Определим на $C^\infty M$ метрику по формуле $g(f, f'):= \int_M ff' \Vol$, и пусть $D$ -- дифференциальный оператор порядка $i$. Докажите, что существует дифференциальный оператор $D^*$ порядка $i$ такой, что для любой $f'$ с компактным носителем, имеем $g(D^*f, f') = g(f, D f')$. \ез \определение {\бф Оператор Лапласа} (он же ``оператор Лапласа-де Рама'') на многообразии $M$ есть дифференциальный оператор $\Delta:\; \Lambda^i M \arrow \Lambda^i M$, который определяется формулой $\Delta \alpha:= dd^* \alpha + d^* d\alpha$, где $d^*:= -(-1)^{n(k+1)}*d*$. Форма $\alpha$ называется {\бф гармоничной}, если $\Delta\alpha =0$. \ео \задача Докажите, что $g(\Delta \alpha, \beta) = g(d\alpha, d\beta) + g(d^* \alpha, d^* \beta)$, для любых $\alpha$, $\beta\in \Lambda^i M$. \ез \задача[!] Пусть $\alpha$ -- гармоничная форма с компактным носителем. \енум \итем[!] Докажите, что $d\alpha=d^*\alpha=0$. \итем[!] Докажите, что $\alpha=0$, если $\alpha$ точна. \ее \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Докажите, что на $\R^n$ не может быть ненулевых гармоничных форм с компактным носителем. \ез \задача Пусть $g$ -- стандартная плоская метрика на $M=\R^n$, $х_1, ..., x_n$ -- координатные функции, а $dx_1, ..., dx_n$ -- соответствующий им ортонормированный базис в $T^*M$. Обозначим за $e_{dx_i}$ оператор, домножающий на $dx_i$, а за $i_{dx_i}$ оператор $-(-1)^{n(k+1)}*e_{dx_i}*$. \енум \итем Докажите, что $e_{dx_i}^*= i_{dx_i}$. \итем Обозначим за $\frac d{dx_i}:\; \Lambda^k M \arrow\Lambda^k M$ оператор, дифференцирующий все коэффициенты формы в направлении векторного поля $\frac d{dx_i}$. Докажите, что $d^* = \sum_{i=1}^n i_{dx_i} \frac d{dx_i}$. \итем[!] Докажите, что $\Delta= \sum_{i=1}^n \frac{d^2}{dx_i^2}$. \ее \ез \указание Для второй части, воспользуйтесь следующей формулой для оператора де Рама: \[d = \sum_{i=1}^n e_{dx_i} \frac d{dx_i}.\] Третью часть задачи выведите из задачи \ref{_anticommu_e_i_Zadacha_}. \еу \задача[*] Пусть $X\in T^*M$ -- ковекторное поле на римановом многообразии. Докажите, что антикоммутатор $\{d^*, e_X\}$ действует на функциях как дифференциальный оператор первого порядка. \ез \задача[*] Пусть векторное поле $X\in TM$ на компактном римановом многообразии удовлетворяет $[\Lie_X, *]=0$. Докажите, что для любой гармоничной формы $\eta$ на $M$ имеем $\Lie_X (\eta)=0$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Формула Грина-Рисса} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[!] \label{_*df_na_podmno_Zadacha_} Пусть $f$ -- функция на римановом многообразии $M$, а $X\subset M$ -- ориентированное подмногообразие коразмерности 1. Обозначим за $\frac d {d\xi}\in TM\restrict X$ положительное нормальное векторное поле к $X$ длины 1. Докажите, что $*d f \restrict X = \frac {df}{d\xi}\Vol_X$ \ез \задача[!] Пусть $(M, g)$ -- риманово $n$-многообразие с краем, а $u, v \in C^\infty M$ гладкие функции. Докажите, что \begin{equation}\label{_stokes_for_green_riesz_Equation_} \int u \Delta v \Vol_M + (-1)^{n-1} \int_M g(du, dv) \Vol_M = \int_{\6 M} u \wedge *d v. \end{equation} \ез \указание Применив формулу Стокса, получите \[ \int_{\6 M} u \wedge *d v= \int_M du \wedge *dv +\int_M u \wedge d*dv. \] \еу \задача[!] В условиях предыдущей задачи, докажите формулу Грина-Рисса (``Green-Riesz representation formula'') \[ \int_M u\Delta v \Vol_M - \int_M v\Delta u \Vol_M = \int_{\6M} \left( u \frac{dv} {d\xi} v \frac{du} {d\xi}\right) \Vol_{\6M} \] где $\frac d {d\xi}\in TM\restrict {\6M}$ -- единичное нормальное векторное поле к краю. \ез \указание Вычтите из формулы \eqref{_stokes_for_green_riesz_Equation_} такую же формулу, полученную перестановкой $u$ и $v$, и примените задачу \ref{_*df_na_podmno_Zadacha_}. \еу \задача Пусть $\frac d {d\xi}$ -- радиальное векторное поле длины 1 на $\R^n$ со стандартной метрикой и координатами, \[ \frac d {d\xi}= \frac{\sum_i x_i \frac d{dx_i}}{\sqrt{\sum_i x_i^2}}. \] Докажите, что любая гармоническая функция $v\in C^\infty \R^n$ удовлетворяет \[ \int_{\6 B_r}\frac{dv} {d\xi} \Vol_{\6 B_r}=0. \] где $B_r$ -- шар с центром в 0 и радиуса $r$. \ез \указание Примените формулу Грина-Рисса к $u=1$. \еу \задача Обозначим за $S_r$ сферу радиуса $r$ с центром в 0, и пусть $\Vol(S_r):= \int_{S_r} \Vol_{S_r}$ обозначает ее риманов объем Докажите, что функция \[ f(r):=\frac{\int_{S_r} \frac{dv} {d\xi} \Vol_{S_r}}{\Vol(S_r)} \] ("среднее значение $\frac{dv} {d\xi}$ на сфере") постоянна. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Выведите из этого, что среднее от гармонической функции $v$ по сфере $S_r$ равно $v(0)$. \ез \задача[*] Пусть $v$ -- гармоническая функция на римановом многообразии, $B_r$ -- шар радиуса $r$ с центром в $x_0\in M$, а $S_r=\6 B_r$ -- его граница. Докажите, что для небольших $r$ среднее значение $v$ по $S_r$ равно $v(x_0)$. \ез \задача[*] Пусть $v$ функция на $\R^n$ с плоской метрикой, удовлетворяющая $\Delta v \geq 0$ (такая функция называется {\бф субгармонической}). Докажите, что \[ \int_{\6 B_r}\frac{dv} {d\xi} \Vol_{\6 B_r}\geq 0. \] Выведите из этого, что среднее от $v$ по сфере $S_r$ удовлетворяет \[ \frac{\int_{S_r} v \Vol_{S_r}}{\Vol(S_r)}\geq v(0) \] для любого $r\geq 0$. \ез \end{document}