\documentclass[10pt]{article}

\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}


\input{listki.tex}


% version 1.0 -- 24.03.2010 (начал файл)
% version 2.0 -- 26.03.2010 (кэлеровы дифференциалы)
% version 3.0 -- 09.04.2010 нашел ошибку в задаче про
%                           I/I^2, переставил задачи

\newcommand{\version}{version 3.0,\ \   09.04.2010}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{8}{Анализ 8: Алгебра де Рама}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кэлеровы дифференциалы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $R$ есть кольцо над полем $k$, а $V$ -- $R$-модуль. 
$k$-линейное отображение $D:\; R \arrow V$ называется
{\бф дифференцированием}, если $D(ab) = a D(b) + b D(a)$.
Обозначим за $\Der_k(R, V)$ пространство 
дифференцирований из $R$ в $V$.
\ео

\задача
Докажите, что $\Der_k(R, V)$ снабжено естественной
структурой $R$-модуля.
\ез


\задача
Пусть $[K:k]$ - конечное расширение
поля характеристики 0, а $V$ -- векторное пространство
над $K$. Докажите, что пространство $\Der_k(K, V)$
дифференцирований из $K$ в $V$ нулевое.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- гладкое многообразие, $x\in M$ точка,
$R = C^\infty M$, и ${\goth m}_x\subset R$ -- ее максимальный
идеал. Рассмотрим $R$-модуль $V:=R/{\goth m}_x$.
Найдите размерность пространства $\Der_k(R, V)$.
\ез

\задача[*]
Может ли существовать нетривиальное
дифференцирование $\nu \in \Der_k(R, V)$,
где $R$ -- кольцо непрерывных $\R$-значных функций 
на многообразии, а $V$ -- $R$-модуль, одномерный над $\R$?
\ез

\определение
Пусть $R$ -- кольцо над полем $k$.
Определим $R$-модуль $\Omega^1 R$, задав его
образующими и соотношениями, следующим образом.
Образующие $\Omega^1 R$ пронумерованы элементами
$R$; для каждого $a\in R$, соответствующий ему
элемент в $\Omega^1 R$ обозначается $da$.
Соотношения в $\Omega^1 R$ порождаются выражениями
вида $d(ab) = a db + b da$, и $d\lambda =0$, для каждого
$\lambda\in k$. Модуль $\Omega^1 R$
называется {\бф модулем кэлеровых дифференциалов над $R$}.
\ео

\задача
Докажите, что естественное отображение $R \arrow \Omega^1 R$,
$a \mapsto da$ -- дифференцирование.
\ез

\задача
Пусть $R$ кольцо над $k$, мультипликативно
порожденное над $k$ элементами $r_1, ..., r_k\in R$.
Докажите, что $\Omega^1 R$ порожден (как $R$-модуль)
элементами $dr_1, ..., dr_k$.
\ез

\задача[!]
\label{_diffe_dual_Zadacha_}
Докажите, что $\Der_k(R) = \Hom_R(\Omega^1 R, R)$.
\ез

\задача[!]
\label{_diffe_katego_Zadacha_}
Пусть $V$ -- $R$-модуль, а $D\in \Der_k(R, V)$ --
дифференцирование. Докажите, что существует 
и единственен гомоморфизм $R$-модулей 
$\phi_D:\; \Omega^1 R \arrow V$, который делает
следующую диаграмму коммутативной:
\begin{diagram}
R & \rTo^d & \Omega^1 R \\
&\rdTo~D &\dTo~{\phi_D}\\
& & V
\end{diagram}
\ез

\замечание
Это свойство часто берут за определение
модуля $\Omega^1 R$. 
\еза

\задача[!]
Пусть $R= k[t_1, ..., t_n]$ -- кольцо полиномов над полем
характеристики ноль. 
Докажите, что $\Omega^1_k R$ --
свободный $R$-модуль, порожденный $d t_1, dt_2, ..., dt_n.$
\ез


\задача[*]
Пусть задан идеал $I\subset R$. Постройте точную
последовательность
\[
I/I^2 \arrow \Omega^1(R)\otimes_R R/I\arrow
\Omega^1(R/I)\arrow 0.
\]
\ез

\задача
Пусть $R\stackrel \phi \arrow R'$ -- гомоморфизм колец.
Рассмотрим $\Omega^1 R'$ как $R$-модуль.
Докажите, что существует 
гомоморфизм $R$-модулей $\Omega^1 R \arrow \Omega^1 R'$,
переводящий $dr$ в $d\phi(r)$. Докажите, что
такой гомоморфизм -- единственный.
\ез

\определение
В этом случае, говорится, что
гомоморфизм $\Omega^1 R \arrow \Omega^1 R'$
{\бф индуцирован $\phi$}.
\ео

\задача[*]
Пусть $R$ -- кольцо непрерывных функций на
многообразии, а ${\goth m}_x$ -- максимальный
идеал точки. Докажите, что ${\goth m}_x\Omega^1 R=\Omega^1 R$.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кокасательное расслоение}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $A, B$ -- $R$-модули, а 
$\nu:\; A\times B \arrow R$ -- билинейное спаривание.
Оно называется {\бф невырожденным}, если
для каждого $a\in A$ найдется $b\in B$, для
которого $\nu(a, b)\neq 0$, и для каждого 
$b\in B$ найдется $a\in A$, для которого $\nu(a, b)\neq 0$.
\ео

\задача
Пусть $A, B$ -- векторные пространства, а 
$\nu:\; A\times B \arrow k$ -- невырожденное
спаривание. Всегда ли $A$ изоморфно $B^*$?\footnote{$B^*$
обозначает $R$-модуль $\Hom_R(B, R)$.}
\ез

\задача[*]
Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные $R$-модули, а
$\nu:\; A\times B \arrow R$ -- невырожденное
спаривание. Всегда ли $A$ изоморфно $B^*$?
\ез

\задача[!] 
Пусть $A$ -- свободный, конечно-порожденный $R$-модуль,
а $\nu:\; A\times B \arrow R$ -- невырожденное
спаривание. Докажите, что $B$ тоже свободно, 
и изоморфно $A^*$.
\ез

\определение
Пусть $A, B$ -- порожденные $R$-модули, а
$\nu:\; A\times B \arrow R$ -- билинейное спаривание.
Определим {\бф аннулятор $\nu$ в $B$} как
подмодуль, состоящий из векторов $b \in B$ , для которых
$\nu(\cdot, b):\; A \arrow R$ равно нулю.
\ео

\определение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие, 
$R:= C^\infty M$  -- кольцо гладких функций,
а  $\nu:\; \Der(R)\times \Omega^1 R \arrow R$ --
естественное спаривание, построенное в задаче 
\ref{_diffe_dual_Zadacha_}. Пусть $K\subset \Omega^1 R$ --
аннулятор спаривания.
Определим  {\бф кокасательное расслоение} как
$\Lambda^1 M:= \Omega^1 R /K$.
\ео


\задача
Докажите, что естественное спаривание
$\nu:\; \Der(C^\infty M)\times \Lambda^1 M \arrow R$ 
билинейно и невырождено.
\ез



\задача
Пусть $R:= C^\infty \R^n$, 
 $t_1, ..., t_n\in R$ -- координатные функции, 
$P= \sum_{i=1}^n P_i dt_i$ -- элемент в $\Lambda^1 \R^n$, 
$Q= \sum_{i=1}^n Q_i \frac{d}{dt_i}\in\Der_k(R)$ -- 
векторное поле, a $\nu:\; \Der(R)\times \Lambda^1 \R^n \arrow R$ --
естественное спаривание. Докажите, что
$\nu(P, Q) = \sum_i P_i Q_i$. 
\ез


\задача[!]
В этих предположениях,
докажите, что $\Lambda^1 R$ -- свободный $\R$-модуль,
порожденный $dt_1, ..., dt_n$.
\ез

\указание
Докажите, что 
$\Der(R) = \Hom_R(\Omega^1 R, R)$,
а модуль $\Der(R)$ -- свободный над $R$.
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные  проективные 
$R$-модули, а $\nu:\; A\times B \arrow R$ -- невырожденное
спаривание. Докажите, что $B\cong A^*$.
\ез

\задача[!]
Пусть $M$ -- гладкое многообразие,
а $TM = \Der(C^\infty M)$ -- пространство
дифференцирований. Докажите, что
$\Lambda^1 M = \Der(C^\infty M)^*$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей,
и примените теорему Серра-Суона.
\еу

\задача[*]
Пусть $K$ -- ядро естественной
проекции $\Omega^1 C^\infty M \arrow \Lambda^1 M$.
Докажите, что ${\goth m}_x K =K$ для каждого
максимального идеала точки $x\in M$.
\ез

\задача[**]
Докажите, что $K$ непуст.
\ез


\задача[*]
Пусть $M$ -- гладкое многообразие,
 $M \stackrel \Delta \arrow M \times M$  -- диагональное
вложение, а $I\subset C^\infty M\times M$ -- идеал
функций, которые зануляются на $\Delta$.
\енум
\итем Докажите, что кольцо
$C^\infty (M\times M)/I$ изоморфно $C^\infty M$.
\итем Докажите, что естественное отображение
$C^\infty M\times M\arrow \End_{C^\infty M\times M}(I/I^2)$ 
пропускается через проекцию 
\[ C^\infty (M\times M)\arrow C^\infty (M\times M)/I = C^\infty M.
\]
Выведите из этого, что 
пространство $I/I^2$ снабжено естественной структурой
$C^\infty M$-модуля.

\итем
Докажите, что $I/I^2$ изоморфно $\Lambda^1 M$
как $C^\infty M$-модуль.
\ее
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Алгебра де Рама}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие.
Обозначим за $\Lambda^i M$ расслоение дифференциальных
$i$-форм на $M$, то есть антисимметричных $i$-форм на
$TM$. 
\ео

\задача
Пусть $\bigotimes_k T^*M \stackrel \Pi \arrow \Lambda^k M$ --
отображение антисимметризации. Определим умножение
$\Lambda^i M\times \Lambda^j M \arrow \Lambda^{i+j} M$
как $\alpha \wedge \beta \arrow \Pi (\alpha \otimes \beta)$,
где $\alpha \otimes \beta$ -- сечение 
$\Lambda^i M\otimes \Lambda^j M \subset \bigotimes_{i+j}
T^*M$, полученное перемножением $\alpha$ и $\beta$.
Докажите, что это умножение ассоциативно, и
удовлетворяет $\alpha \wedge \beta = (-1)^{ij} \beta\wedge \alpha$.
\ез

\определение
Алгебра $\Lambda^* M := \oplus_i\Lambda^i M$ 
с определенной выше алгебраической структурой
называется {\бф алгеброй де Рама} многообразия.
\ео

\задача
Докажите, что алгебра $\Lambda^* M$ мультипликативно 
порождена $C^\infty M =\Lambda^0M$ и 1-формами
вида $df$, где $f\in C^\infty M$.
\ез


\задача
Докажите, что дифференцирование
на алгебре однозначно задается
своими значениями на любом наборе мультипликативных
образующих алгебры.
\ез

\определение
{\бф Дифференциал де Рама} $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$
есть $\R$-линейное отображение, которое удовлетворяет следующим
условиям.
\begin{description}

\item[(i)] Для любого $f \in \Lambda^0=C^\infty M$,
$df$ есть элемент $\Lambda^1 M$, который равен образу
соответствующего
кэлерова дифференциала $df\in \Omega^1 M$.

\item[(ii)] (Правило Лейбница)
$d(a\wedge b) = da \wedge b + (-1)^j a\wedge
db$, для любых $a\in \Lambda^i M, b \in \Lambda^j M$.

\item[(iii)] $d^2=0$.
\end{description}
\ео

\задача[!]
Докажите, что дифференциал 
де Рама единственный, если существует.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
\label{_de_Rham_locally_Zadacha_}
Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координатные
функции на $\R^n$, а $\alpha\in \Lambda^* \R^n$ -- какой-то
моном, полученный произведением нескольких $dt_i$.
Докажите, что дифференциал де Рама
на $C^\infty \R^n$ задается оператором, который
переводит $f \alpha$ в 
$\sum_i \frac {df}{dt_i} dt_i \wedge \alpha$,
для любого $f\in C^\infty \R^n$.
\ез

\задача
\hfill
\енум
\итем 
Докажите, что дифференциал де Рама
$d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$
коммутирует с гомоморфизмом ограничения
на открытое подмножество.

\итем Выведите из этого, что дифференциал де Рама
задает морфизм пучков.
\ее
\ез

\указание
Воспользуйтесь единственностью дифференциала де Рама.
\еу

\задача[!]
Докажите, что на любом многообразии
существует дифференциал де Рама.
\ез

\указание
Локально, дифференциал де Рама построен
в задаче \ref{_de_Rham_locally_Zadacha_}.
Чтобы перейти от локального к глобальному,
воспользуйтесь предыдущей задачей, и примените
аксиомы пучка.
\еу

\задача[*]
Пусть $R$ --  кольцо над
полем, а $\Omega^i R:= \Lambda^i_R \Omega^1 R$
внешняя алгебра, порожденная
кэлеровыми дифференциалами. Докажите, что 
существует дифференциал де Рама
$d:\; \Omega^* R\arrow \Omega^{*+1} R$,
удовлетворяющий вышеприведенным аксиомам.
\ез

\NewVedomost
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Производная Ли}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $A^* = \oplus_{i\in \Z}A^i$ -- градуированная
алгебра над полем. Она называется {\бф
суперкоммутативной}, если $ab = (-1)^{ij} ba$
для любых $a\in A^i, b \in A^j$. 
\ео

\замечание
Грассманова алгебра $\Lambda^* V$,
очевидно, суперкоммутативна
\еза

\задача
Пусть $A^*, B^*$ -- градуированные 
суперкоммутативные алгебры, а $A^* \otimes B^*$
их тензорное произведение, с 
градуировкой 
$(A^* \otimes B^*)^p := \oplus_{i+j=p} A^i\otimes B^j$,
и умножением, определенным формулой
$a \otimes b \cdot a' \otimes b' = (-1)^{ij}aa' \otimes bb'$,
где $a'\in A^i, b \in B^j$.
Докажите, что оно суперкоммутативно.
\ез

\задача
Пусть $V, W$ -- векторные пространства,
$A^*:= \Lambda^* V, B^*:=\Lambda^* W$ их супералгебры.
Докажите, что $\Lambda^*(V\oplus W)$ изоморфно
тензорному произведению $A^* \otimes B^*$,
определенному, как в прошлой задаче.
\ез

\определение
Пусть $A^*$ -- суперкоммутативная алгебра,
а $D:\; A^* \arrow A^{*+i}$ -- отображение,
сдвигающее градуировку на $i$. Оно называется
{\бф супердифференцированием}, если
$D(ab) = D(a) b + (-1)^{ij} a D(b)$,
для любого $a \in A^j$. 
\ео

\замечание
Если $i$ четно, супердифференцирование это
просто дифференцирование. Если нечетно,
оно называется {\бф нечетным дифференцированием}.
\еза

\замечание
Дифференциал де Рама является нечетным дифференцированием
(по определению).
\еза

\определение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $X\in TM$ --
векторное поле. Рассмотрим операцию {\бф подстановки
векторного поля} 
$i_X:\; \Lambda^i M \arrow \Lambda^{i-1}M$, 
переводящую $i$-форму $\alpha$ в $(i-1)$-форму
$v_1, ..., v_{i-1} \arrow \alpha(X, v_1, ..., v_{i-1})$
\ео

\задача
Докажите, что $i_X$ есть нечетное дифференцирование.
\ез

\задача[*]
Пусть $D:\; A^* \arrow A^{*+i}$ -- линейный оператор,
причем $i \neq 0$. Докажите, что $e^D:= 1 + D + \frac
{D^2}{2} + ... + \frac{D^i}{i!} + ... $ это автоморфизм $A^*$
тогда и только тогда, когда $D$ это супердифференцирование.
\ез

\определение
Пусть $A^*$ -- градуированное векторное пространство,
а $E:\; A^*\arrow A^{*+i}$, $F:\; A^*\arrow A^{*+j}$ --
операторы, сдвигающие градуировку на $i, j$.
Определим {\бф суперкоммутатор} 
\[ 
  \{E, F\}:= EF - (-1)^{ij} FE
\]
\ео

\замечание
Эндоморфизм, сдвигающий градуировку на $i$,
называется {\бф четным}, если $i$ четно,
и {\бф нечетным} в противном случае.
\еза


\задача
Докажите, что суперкоммутатор удовлетворяет
{\бф супертождеству Якоби,}
\[
\{ E, \{F, G\}\} = \{\{ E, F\}, G\} + (-1)^{\tilde E
\tilde F}  \{ F, \{E, G\}\}
\]
где $\tilde E$ и $\tilde F$ четные, если
$E, F$ четные, и нечетные в противном случае.
\ез

\замечание
Есть простое мнемоническое правило,
позволяющее запоминать супертождества, если
известен коммутативный аналог. Всякий раз,
когда в коммутативном случае меняются местами
две буквы, в суперкоммутативном надо домножить
на $-1$, если эти две буквы соответствуют
нечетным операторам.
\еза

\задача
Пусть $A^*$ -- суперкоммутативная алгебра,
$a\in A$. Обозначим за $L_a:\; A \arrow A$
эндоморфизм, переводящий $b$ в $ab$.
Докажите, что $D$ является супердифференцированием
тогда и только тогда, $D(1)=0$ и для каждого
$a\in A^i$, суперкоммутатор
$\{D, L_a\}$ равен $L_b$ для какого-то $b\in A^*$.
\ез 

\задача[!]
Докажите, что суперкоммутатор супердифференцирований --
снова супердифференцирование.
\ез

\указание
Воспользуйтесь супертождеством Якоби,
и примените предыдущую задачу.
\еу

\определение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие,
а $v\in TM$ -- векторное поле.
Эндоморфизм $\Lie_v:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^* M$,
сохраняющий градуировку, называется
{\бф производной Ли вдоль $v$}, если он
обладает следующими свойствами
\begin{description}
\item[(i)] На функциях, $\Lie_v$ равно производной вдоль $v$.
\item[(ii)] $[\Lie_v, d]=0$
\item[(iii)] $\Lie_v$ -- дифференцирование.
\end{description}
\ео

\задача
Докажите, что производная Ли вдоль $v$ однозначно
задана свойствами (i)-(iii).
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем же аргументом, 
который использовался для доказательства
единственности дифференциала де Рама.
\еу

\задача
Докажите, что $\{d, \{d, E\}\}=0$,
для любого $E\in \End(\Lambda^* M)$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь супер-тождеством Якоби.
\еу

\задача
Докажите, что $\{d, i_v\}$ коммутирует с $d$, где
$i_v:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^{*-1}M$ -- подстановка 
$v$ в форму.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
(Формула Картана)
Докажите, что $\{d, i_v\}$ -- производная Ли вдоль $v$.
\ез

\задача[*]
Пусть $v, v'\in TM$ -- два векторных поля, а
$i_{v\otimes v'}:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^{*-2}M$ --
подстановка $v, v'$ в 2-форму, $i_{v\otimes v'}= i_v i_{v'}$.
Рассмотрим $i$-форму $\alpha \in \Lambda^* M$,
и пусть $L_\alpha$ -- оператор умножения на $\alpha$.
Докажите, что оператор
\[
x\arrow [i_{v\otimes v'}, L_\alpha](x) - L_{i_{v\otimes
v'}}(\alpha)\wedge x
\]
является дифференцированием.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Лемма Пуанкаре}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $t$ -- координатная функция на прямой, 
$f(t)\in C^\infty \R$ -- функция, $f(0)=0$,
а $v:= t \frac d {dt}$ -- векторное поле.
Докажите, что интеграл
\[
R(f)(t):=\int^0_1 \frac{f(\lambda t)}{\lambda} d\lambda
\]
сходится, и удовлетворяет $\Lie_v R(f)=f$.
\ез

\задача
Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координаты в $\R^n$.
Рассмотрим радиальное поле $v:=\sum_i t_i \frac d {dt_i}$.
Пусть $f\in C^\infty \R^n$ -- функция, которая
удовлетворяет $f(0)=0$, а $x=(x_1, ..., x_n)$ -- точка в
$\R^n$. Докажите, что интеграл
\[
R(f)(x):=\int^0_1 \frac{f(\lambda x)}{\lambda} d\lambda
\]
сходится, и удовлетворяет $\Lie_v R(f)=f$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\определение
Открытое подмножество $U\subset \R^n$
называется {\бф звездчатым}, если
для любой точки $x\in U$, отрезок
$[0,x]$ лежит в $U$.
\ео

\задача
\label{_R_kernel_Zadacha_}
Докажите, что любая форма 
$\alpha\in \Lambda^i U$ на звездчатом множестве $U$,
удовлетворяющая $\Lie_v \alpha=0$, зануляется, если $i>0$.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь предыдущей задачей. Проверьте сходимость интеграла.
\еу

\задача[!]
Пусть $U$ -- звездчатое подмножество в $\R^n$, а $i>0$.
Постройте оператор \[ R:\; \Lambda^i U \arrow \Lambda^i U\]
такой, что $\Lie_v R\alpha=R\Lie_v \alpha = \alpha$ 
для всех $\alpha \in\Lambda^i U$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что $\{R, d\}=0$
\ез

\указание
Проверьте, что 
$\{R, d\} \Lie_v \alpha=  Rd \Lie_v \alpha + dR \Lie_v \alpha
= - R\Lie_v d\alpha + d\alpha = 0$. 
Воспользуйтесь обратимостью $\Lie_v$.
\еу

\задача
Докажите, что 
$\{ d, i_v\} R(\alpha) =\alpha$, для любой $i$-формы 
$\alpha$ на звездчатом множестве, $i>0$.
\ез

\определение
Форма вида $d\alpha$ называется {\бф точной},
форма, на которой зануляется дифференциал --
{\бф замкнутой}. Поскольку $d^2=0$, любая
точная форма замкнута. {\бф $i$-е когомологии де Рама
многообразия $M$} -- фактор замкнутых $i$-форм
по точным, обозначается $H^i(M)$.
\ео

\задача
Вычислите нулевые когомологии де Рама связного
многообразия.
\ез

\задача[!]
Пусть $\alpha\in \Lambda^i U$ -- замкнутая форма 
на звездчатом множестве $U$, где $i>0$.
Докажите, что $\alpha = d i_v R(\alpha)$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
(лемма Пуанкаре)
Пусть $U$ -- звездчатое множество, Докажите, что
$H^i(U)=0$ для всех $i>0$.
\ез

\задача[*]
Пусть на $\R^n$ задано векторное поле $v$, с единственным
нулем в точке $x$. Предположим, что производная 
$Dv\restrict x$ в $х$ невырождена как отображение
из $\R^n$ в $\R^n$, причем любая интегральная
траектория $v$ проходит через $x$. Докажите, что производная
Ли $\Lie_v$ обратима на $\Lambda^i \R^n$ для любого $i>0$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Прямой и обратный образ формы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $M \stackrel \phi\arrow N$ -- морфизм гладких многообразий,
а $\Lambda^1 N \stackrel {\phi^*}\arrow \Lambda^1 M$ -- индуцированное
отображение, переводящее $f dg$ в $\phi^* f d\phi^* g$. Форма $\phi^* \alpha$
называется {\бф обратным образом $\alpha$}. 
\ео

\задача
Докажите, что $\phi^*$ продолжается 
с $\Lambda^1 N$ до 
мультипликативного гомоморфизма 
\[ \phi^*:\;  \Lambda^* N \arrow \Lambda^* M. \]
\ез

\определение
{\бф Обратным образом} $i$-формы $\alpha$
называется $\phi^* \alpha$, определенный
как в предыдущей задаче. Если
$M\stackrel \phi \arrow N$ это замкнутое вложение,
форма $\phi^* \alpha$ называется
{\бф ограничением} $\alpha$ на 
$M \hookrightarrow N$.
\ео

\задача
Пусть $x\in T_m M$ -- касательный вектор,
а $\alpha \in \Lambda^1 N$ -- 1-форма.
Докажите, что $\phi^* \alpha (x)=
\alpha\left(D_\phi(x)\right)$, 
где $D_\phi:\; T_m M \arrow T_{\phi(m)} N$
это дифференциал.
\ез


\задача[!]
Докажите, что $\phi^* d\alpha= d\phi^* \alpha$.
\ез

\определение
Дифференциальная форма $\alpha$ называется
{\бф формой с компактным носителем}, если
$\alpha=0$ вне какого-то компактного множества.
\ео

\определение
Пусть $M$ -- $n$-мерное многообразие,
а $\Lambda^n_c(M)$ -- пространство $n$-форм
с компактным носителем. Определим {\бф интеграл}
$\int_M:\; \Lambda^n_c(M)\arrow \R$ как отображение,
которое удовлетворяет следующим свойствам.
\begin{description}
\item[(i)] $\int_M (\alpha + \beta) = \int_M \alpha +\int_M \beta$.
\item[(ii)] $\int_M \phi^*\alpha= \int_N\alpha$,
для любого собственного отображения 
$M \stackrel \phi \arrow N$ и $\alpha \in \Lambda^n_c(N)$.
\item[(iii)] Для любого гладкого, собственного отображения
$\R^n \stackrel \phi\arrow M$, и формы $\alpha \in \Lambda^n_c(M)$,
имеем $\int_M \alpha = \int_{\R^n} f d\mu$,
где $d\mu$ есть обычная мера Лебега на $\R^n$,
$f= \frac{\phi^* \alpha}{\Vol \R^n}$, а $\Vol \R^n$ --
стандартная форма объема, $\Vol \R^n= dt_1 \wedge dt_2
\wedge ... \wedge dt_n$.
\end{description}
\ео

\задача[!] Докажите, что интеграл, определенный 
вышеприведенными аксиомами, существует, и единственен. 
\ез

\определение
Пусть $N \stackrel \pi \arrow M$ -- неособый
морфизм многообразий, со слоями размерности
$k$, а $\alpha \in \Lambda^{i+k}_c N$ -- форма
с компактным носителем. {\bf Прямой образ 
$\pi_* \alpha \in \Lambda^i_c M$} определяется
как форма, которая удовлетворяет
\[
\int_M \pi_*\alpha\wedge \beta= \int_N \alpha \wedge \pi^* \beta,
\]
для любой формы $\beta \in \Lambda^{\dim M -i} M$.
\ео

\задача[!]
Докажите, что $\pi_*\alpha$ определяется
этой формулой однозначно.
\ез

\задача[*] Докажите, что $\pi_* \alpha\in \Lambda^i_c M$ определен
для любой $\alpha \in \Lambda^{i+k}_c N$
\ез

\указание
Это "интеграл вдоль слоев" $\pi$.
\еу

\задача[*]
Докажите, что $\pi_* d\alpha = d \pi_* \alpha$.
\ез


\задача[*]
Пусть $\alpha$ -- $(n-1)$-форма с компактным 
носителем на многообразии $M$ с краем $\partial M$.
Определим $\int_{\partial M} \alpha$ как интеграл
от ограничения (обратного образа) $\alpha$ на $\partial M$.
Докажите {\бф формулу Стокса}:
\[
\int_M d\alpha = \int_{\partial M} \alpha.
\]
\ез


\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей, и примените индукцию.
\еу




\end{document}

