\documentclass[10pt]{article} \usepackage[UglyObsolete]{diagrams} \input{listki.tex} % version 1.0 -- 24.03.2010 (начал файл) % version 2.0 -- 26.03.2010 (кэлеровы дифференциалы) % version 3.0 -- 09.04.2010 нашел ошибку в задаче про % I/I^2, переставил задачи \newcommand{\version}{version 3.0,\ \ 09.04.2010} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{8}{Анализ 8: Алгебра де Рама} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Кэлеровы дифференциалы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $R$ есть кольцо над полем $k$, а $V$ -- $R$-модуль. $k$-линейное отображение $D:\; R \arrow V$ называется {\бф дифференцированием}, если $D(ab) = a D(b) + b D(a)$. Обозначим за $\Der_k(R, V)$ пространство дифференцирований из $R$ в $V$. \ео \задача Докажите, что $\Der_k(R, V)$ снабжено естественной структурой $R$-модуля. \ез \задача Пусть $[K:k]$ - конечное расширение поля характеристики 0, а $V$ -- векторное пространство над $K$. Докажите, что пространство $\Der_k(K, V)$ дифференцирований из $K$ в $V$ нулевое. \ез \задача Пусть $M$ -- гладкое многообразие, $x\in M$ точка, $R = C^\infty M$, и ${\goth m}_x\subset R$ -- ее максимальный идеал. Рассмотрим $R$-модуль $V:=R/{\goth m}_x$. Найдите размерность пространства $\Der_k(R, V)$. \ез \задача[*] Может ли существовать нетривиальное дифференцирование $\nu \in \Der_k(R, V)$, где $R$ -- кольцо непрерывных $\R$-значных функций на многообразии, а $V$ -- $R$-модуль, одномерный над $\R$? \ез \определение Пусть $R$ -- кольцо над полем $k$. Определим $R$-модуль $\Omega^1 R$, задав его образующими и соотношениями, следующим образом. Образующие $\Omega^1 R$ пронумерованы элементами $R$; для каждого $a\in R$, соответствующий ему элемент в $\Omega^1 R$ обозначается $da$. Соотношения в $\Omega^1 R$ порождаются выражениями вида $d(ab) = a db + b da$, и $d\lambda =0$, для каждого $\lambda\in k$. Модуль $\Omega^1 R$ называется {\бф модулем кэлеровых дифференциалов над $R$}. \ео \задача Докажите, что естественное отображение $R \arrow \Omega^1 R$, $a \mapsto da$ -- дифференцирование. \ез \задача Пусть $R$ кольцо над $k$, мультипликативно порожденное над $k$ элементами $r_1, ..., r_k\in R$. Докажите, что $\Omega^1 R$ порожден (как $R$-модуль) элементами $dr_1, ..., dr_k$. \ез \задача[!] \label{_diffe_dual_Zadacha_} Докажите, что $\Der_k(R) = \Hom_R(\Omega^1 R, R)$. \ез \задача[!] \label{_diffe_katego_Zadacha_} Пусть $V$ -- $R$-модуль, а $D\in \Der_k(R, V)$ -- дифференцирование. Докажите, что существует и единственен гомоморфизм $R$-модулей $\phi_D:\; \Omega^1 R \arrow V$, который делает следующую диаграмму коммутативной: \begin{diagram} R & \rTo^d & \Omega^1 R \\ &\rdTo~D &\dTo~{\phi_D}\\ & & V \end{diagram} \ез \замечание Это свойство часто берут за определение модуля $\Omega^1 R$. \еза \задача[!] Пусть $R= k[t_1, ..., t_n]$ -- кольцо полиномов над полем характеристики ноль. Докажите, что $\Omega^1_k R$ -- свободный $R$-модуль, порожденный $d t_1, dt_2, ..., dt_n.$ \ез \задача[*] Пусть задан идеал $I\subset R$. Постройте точную последовательность \[ I/I^2 \arrow \Omega^1(R)\otimes_R R/I\arrow \Omega^1(R/I)\arrow 0. \] \ез \задача Пусть $R\stackrel \phi \arrow R'$ -- гомоморфизм колец. Рассмотрим $\Omega^1 R'$ как $R$-модуль. Докажите, что существует гомоморфизм $R$-модулей $\Omega^1 R \arrow \Omega^1 R'$, переводящий $dr$ в $d\phi(r)$. Докажите, что такой гомоморфизм -- единственный. \ез \определение В этом случае, говорится, что гомоморфизм $\Omega^1 R \arrow \Omega^1 R'$ {\бф индуцирован $\phi$}. \ео \задача[*] Пусть $R$ -- кольцо непрерывных функций на многообразии, а ${\goth m}_x$ -- максимальный идеал точки. Докажите, что ${\goth m}_x\Omega^1 R=\Omega^1 R$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Кокасательное расслоение} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $A, B$ -- $R$-модули, а $\nu:\; A\times B \arrow R$ -- билинейное спаривание. Оно называется {\бф невырожденным}, если для каждого $a\in A$ найдется $b\in B$, для которого $\nu(a, b)\neq 0$, и для каждого $b\in B$ найдется $a\in A$, для которого $\nu(a, b)\neq 0$. \ео \задача Пусть $A, B$ -- векторные пространства, а $\nu:\; A\times B \arrow k$ -- невырожденное спаривание. Всегда ли $A$ изоморфно $B^*$?\footnote{$B^*$ обозначает $R$-модуль $\Hom_R(B, R)$.} \ез \задача[*] Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные $R$-модули, а $\nu:\; A\times B \arrow R$ -- невырожденное спаривание. Всегда ли $A$ изоморфно $B^*$? \ез \задача[!] Пусть $A$ -- свободный, конечно-порожденный $R$-модуль, а $\nu:\; A\times B \arrow R$ -- невырожденное спаривание. Докажите, что $B$ тоже свободно, и изоморфно $A^*$. \ез \определение Пусть $A, B$ -- порожденные $R$-модули, а $\nu:\; A\times B \arrow R$ -- билинейное спаривание. Определим {\бф аннулятор $\nu$ в $B$} как подмодуль, состоящий из векторов $b \in B$ , для которых $\nu(\cdot, b):\; A \arrow R$ равно нулю. \ео \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие, $R:= C^\infty M$ -- кольцо гладких функций, а $\nu:\; \Der(R)\times \Omega^1 R \arrow R$ -- естественное спаривание, построенное в задаче \ref{_diffe_dual_Zadacha_}. Пусть $K\subset \Omega^1 R$ -- аннулятор спаривания. Определим {\бф кокасательное расслоение} как $\Lambda^1 M:= \Omega^1 R /K$. \ео \задача Докажите, что естественное спаривание $\nu:\; \Der(C^\infty M)\times \Lambda^1 M \arrow R$ билинейно и невырождено. \ез \задача Пусть $R:= C^\infty \R^n$, $t_1, ..., t_n\in R$ -- координатные функции, $P= \sum_{i=1}^n P_i dt_i$ -- элемент в $\Lambda^1 \R^n$, $Q= \sum_{i=1}^n Q_i \frac{d}{dt_i}\in\Der_k(R)$ -- векторное поле, a $\nu:\; \Der(R)\times \Lambda^1 \R^n \arrow R$ -- естественное спаривание. Докажите, что $\nu(P, Q) = \sum_i P_i Q_i$. \ез \задача[!] В этих предположениях, докажите, что $\Lambda^1 R$ -- свободный $\R$-модуль, порожденный $dt_1, ..., dt_n$. \ез \указание Докажите, что $\Der(R) = \Hom_R(\Omega^1 R, R)$, а модуль $\Der(R)$ -- свободный над $R$. Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Пусть $A, B$ -- конечно-порожденные проективные $R$-модули, а $\nu:\; A\times B \arrow R$ -- невырожденное спаривание. Докажите, что $B\cong A^*$. \ез \задача[!] Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $TM = \Der(C^\infty M)$ -- пространство дифференцирований. Докажите, что $\Lambda^1 M = \Der(C^\infty M)^*$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей, и примените теорему Серра-Суона. \еу \задача[*] Пусть $K$ -- ядро естественной проекции $\Omega^1 C^\infty M \arrow \Lambda^1 M$. Докажите, что ${\goth m}_x K =K$ для каждого максимального идеала точки $x\in M$. \ез \задача[**] Докажите, что $K$ непуст. \ез \задача[*] Пусть $M$ -- гладкое многообразие, $M \stackrel \Delta \arrow M \times M$ -- диагональное вложение, а $I\subset C^\infty M\times M$ -- идеал функций, которые зануляются на $\Delta$. \енум \итем Докажите, что кольцо $C^\infty (M\times M)/I$ изоморфно $C^\infty M$. \итем Докажите, что естественное отображение $C^\infty M\times M\arrow \End_{C^\infty M\times M}(I/I^2)$ пропускается через проекцию \[ C^\infty (M\times M)\arrow C^\infty (M\times M)/I = C^\infty M. \] Выведите из этого, что пространство $I/I^2$ снабжено естественной структурой $C^\infty M$-модуля. \итем Докажите, что $I/I^2$ изоморфно $\Lambda^1 M$ как $C^\infty M$-модуль. \ее \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Алгебра де Рама} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие. Обозначим за $\Lambda^i M$ расслоение дифференциальных $i$-форм на $M$, то есть антисимметричных $i$-форм на $TM$. \ео \задача Пусть $\bigotimes_k T^*M \stackrel \Pi \arrow \Lambda^k M$ -- отображение антисимметризации. Определим умножение $\Lambda^i M\times \Lambda^j M \arrow \Lambda^{i+j} M$ как $\alpha \wedge \beta \arrow \Pi (\alpha \otimes \beta)$, где $\alpha \otimes \beta$ -- сечение $\Lambda^i M\otimes \Lambda^j M \subset \bigotimes_{i+j} T^*M$, полученное перемножением $\alpha$ и $\beta$. Докажите, что это умножение ассоциативно, и удовлетворяет $\alpha \wedge \beta = (-1)^{ij} \beta\wedge \alpha$. \ез \определение Алгебра $\Lambda^* M := \oplus_i\Lambda^i M$ с определенной выше алгебраической структурой называется {\бф алгеброй де Рама} многообразия. \ео \задача Докажите, что алгебра $\Lambda^* M$ мультипликативно порождена $C^\infty M =\Lambda^0M$ и 1-формами вида $df$, где $f\in C^\infty M$. \ез \задача Докажите, что дифференцирование на алгебре однозначно задается своими значениями на любом наборе мультипликативных образующих алгебры. \ез \определение {\бф Дифференциал де Рама} $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$ есть $\R$-линейное отображение, которое удовлетворяет следующим условиям. \begin{description} \item[(i)] Для любого $f \in \Lambda^0=C^\infty M$, $df$ есть элемент $\Lambda^1 M$, который равен образу соответствующего кэлерова дифференциала $df\in \Omega^1 M$. \item[(ii)] (Правило Лейбница) $d(a\wedge b) = da \wedge b + (-1)^j a\wedge db$, для любых $a\in \Lambda^i M, b \in \Lambda^j M$. \item[(iii)] $d^2=0$. \end{description} \ео \задача[!] Докажите, что дифференциал де Рама единственный, если существует. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача \label{_de_Rham_locally_Zadacha_} Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координатные функции на $\R^n$, а $\alpha\in \Lambda^* \R^n$ -- какой-то моном, полученный произведением нескольких $dt_i$. Докажите, что дифференциал де Рама на $C^\infty \R^n$ задается оператором, который переводит $f \alpha$ в $\sum_i \frac {df}{dt_i} dt_i \wedge \alpha$, для любого $f\in C^\infty \R^n$. \ез \задача \hfill \енум \итем Докажите, что дифференциал де Рама $d:\; \Lambda^*M \arrow \Lambda^{*+1}M$ коммутирует с гомоморфизмом ограничения на открытое подмножество. \итем Выведите из этого, что дифференциал де Рама задает морфизм пучков. \ее \ез \указание Воспользуйтесь единственностью дифференциала де Рама. \еу \задача[!] Докажите, что на любом многообразии существует дифференциал де Рама. \ез \указание Локально, дифференциал де Рама построен в задаче \ref{_de_Rham_locally_Zadacha_}. Чтобы перейти от локального к глобальному, воспользуйтесь предыдущей задачей, и примените аксиомы пучка. \еу \задача[*] Пусть $R$ -- кольцо над полем, а $\Omega^i R:= \Lambda^i_R \Omega^1 R$ внешняя алгебра, порожденная кэлеровыми дифференциалами. Докажите, что существует дифференциал де Рама $d:\; \Omega^* R\arrow \Omega^{*+1} R$, удовлетворяющий вышеприведенным аксиомам. \ез \NewVedomost %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Производная Ли} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $A^* = \oplus_{i\in \Z}A^i$ -- градуированная алгебра над полем. Она называется {\бф суперкоммутативной}, если $ab = (-1)^{ij} ba$ для любых $a\in A^i, b \in A^j$. \ео \замечание Грассманова алгебра $\Lambda^* V$, очевидно, суперкоммутативна \еза \задача Пусть $A^*, B^*$ -- градуированные суперкоммутативные алгебры, а $A^* \otimes B^*$ их тензорное произведение, с градуировкой $(A^* \otimes B^*)^p := \oplus_{i+j=p} A^i\otimes B^j$, и умножением, определенным формулой $a \otimes b \cdot a' \otimes b' = (-1)^{ij}aa' \otimes bb'$, где $a'\in A^i, b \in B^j$. Докажите, что оно суперкоммутативно. \ез \задача Пусть $V, W$ -- векторные пространства, $A^*:= \Lambda^* V, B^*:=\Lambda^* W$ их супералгебры. Докажите, что $\Lambda^*(V\oplus W)$ изоморфно тензорному произведению $A^* \otimes B^*$, определенному, как в прошлой задаче. \ез \определение Пусть $A^*$ -- суперкоммутативная алгебра, а $D:\; A^* \arrow A^{*+i}$ -- отображение, сдвигающее градуировку на $i$. Оно называется {\бф супердифференцированием}, если $D(ab) = D(a) b + (-1)^{ij} a D(b)$, для любого $a \in A^j$. \ео \замечание Если $i$ четно, супердифференцирование это просто дифференцирование. Если нечетно, оно называется {\бф нечетным дифференцированием}. \еза \замечание Дифференциал де Рама является нечетным дифференцированием (по определению). \еза \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $X\in TM$ -- векторное поле. Рассмотрим операцию {\бф подстановки векторного поля} $i_X:\; \Lambda^i M \arrow \Lambda^{i-1}M$, переводящую $i$-форму $\alpha$ в $(i-1)$-форму $v_1, ..., v_{i-1} \arrow \alpha(X, v_1, ..., v_{i-1})$ \ео \задача Докажите, что $i_X$ есть нечетное дифференцирование. \ез \задача[*] Пусть $D:\; A^* \arrow A^{*+i}$ -- линейный оператор, причем $i \neq 0$. Докажите, что $e^D:= 1 + D + \frac {D^2}{2} + ... + \frac{D^i}{i!} + ... $ это автоморфизм $A^*$ тогда и только тогда, когда $D$ это супердифференцирование. \ез \определение Пусть $A^*$ -- градуированное векторное пространство, а $E:\; A^*\arrow A^{*+i}$, $F:\; A^*\arrow A^{*+j}$ -- операторы, сдвигающие градуировку на $i, j$. Определим {\бф суперкоммутатор} \[ \{E, F\}:= EF - (-1)^{ij} FE \] \ео \замечание Эндоморфизм, сдвигающий градуировку на $i$, называется {\бф четным}, если $i$ четно, и {\бф нечетным} в противном случае. \еза \задача Докажите, что суперкоммутатор удовлетворяет {\бф супертождеству Якоби,} \[ \{ E, \{F, G\}\} = \{\{ E, F\}, G\} + (-1)^{\tilde E \tilde F} \{ F, \{E, G\}\} \] где $\tilde E$ и $\tilde F$ четные, если $E, F$ четные, и нечетные в противном случае. \ез \замечание Есть простое мнемоническое правило, позволяющее запоминать супертождества, если известен коммутативный аналог. Всякий раз, когда в коммутативном случае меняются местами две буквы, в суперкоммутативном надо домножить на $-1$, если эти две буквы соответствуют нечетным операторам. \еза \задача Пусть $A^*$ -- суперкоммутативная алгебра, $a\in A$. Обозначим за $L_a:\; A \arrow A$ эндоморфизм, переводящий $b$ в $ab$. Докажите, что $D$ является супердифференцированием тогда и только тогда, $D(1)=0$ и для каждого $a\in A^i$, суперкоммутатор $\{D, L_a\}$ равен $L_b$ для какого-то $b\in A^*$. \ез \задача[!] Докажите, что суперкоммутатор супердифференцирований -- снова супердифференцирование. \ез \указание Воспользуйтесь супертождеством Якоби, и примените предыдущую задачу. \еу \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $v\in TM$ -- векторное поле. Эндоморфизм $\Lie_v:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^* M$, сохраняющий градуировку, называется {\бф производной Ли вдоль $v$}, если он обладает следующими свойствами \begin{description} \item[(i)] На функциях, $\Lie_v$ равно производной вдоль $v$. \item[(ii)] $[\Lie_v, d]=0$ \item[(iii)] $\Lie_v$ -- дифференцирование. \end{description} \ео \задача Докажите, что производная Ли вдоль $v$ однозначно задана свойствами (i)-(iii). \ез \указание Воспользуйтесь тем же аргументом, который использовался для доказательства единственности дифференциала де Рама. \еу \задача Докажите, что $\{d, \{d, E\}\}=0$, для любого $E\in \End(\Lambda^* M)$. \ез \указание Воспользуйтесь супер-тождеством Якоби. \еу \задача Докажите, что $\{d, i_v\}$ коммутирует с $d$, где $i_v:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^{*-1}M$ -- подстановка $v$ в форму. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] (Формула Картана) Докажите, что $\{d, i_v\}$ -- производная Ли вдоль $v$. \ез \задача[*] Пусть $v, v'\in TM$ -- два векторных поля, а $i_{v\otimes v'}:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^{*-2}M$ -- подстановка $v, v'$ в 2-форму, $i_{v\otimes v'}= i_v i_{v'}$. Рассмотрим $i$-форму $\alpha \in \Lambda^* M$, и пусть $L_\alpha$ -- оператор умножения на $\alpha$. Докажите, что оператор \[ x\arrow [i_{v\otimes v'}, L_\alpha](x) - L_{i_{v\otimes v'}}(\alpha)\wedge x \] является дифференцированием. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Лемма Пуанкаре} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $t$ -- координатная функция на прямой, $f(t)\in C^\infty \R$ -- функция, $f(0)=0$, а $v:= t \frac d {dt}$ -- векторное поле. Докажите, что интеграл \[ R(f)(t):=\int^0_1 \frac{f(\lambda t)}{\lambda} d\lambda \] сходится, и удовлетворяет $\Lie_v R(f)=f$. \ез \задача Пусть $t_1, ..., t_n$ -- координаты в $\R^n$. Рассмотрим радиальное поле $v:=\sum_i t_i \frac d {dt_i}$. Пусть $f\in C^\infty \R^n$ -- функция, которая удовлетворяет $f(0)=0$, а $x=(x_1, ..., x_n)$ -- точка в $\R^n$. Докажите, что интеграл \[ R(f)(x):=\int^0_1 \frac{f(\lambda x)}{\lambda} d\lambda \] сходится, и удовлетворяет $\Lie_v R(f)=f$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей \еу \определение Открытое подмножество $U\subset \R^n$ называется {\бф звездчатым}, если для любой точки $x\in U$, отрезок $[0,x]$ лежит в $U$. \ео \задача \label{_R_kernel_Zadacha_} Докажите, что любая форма $\alpha\in \Lambda^i U$ на звездчатом множестве $U$, удовлетворяющая $\Lie_v \alpha=0$, зануляется, если $i>0$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. Проверьте сходимость интеграла. \еу \задача[!] Пусть $U$ -- звездчатое подмножество в $\R^n$, а $i>0$. Постройте оператор \[ R:\; \Lambda^i U \arrow \Lambda^i U\] такой, что $\Lie_v R\alpha=R\Lie_v \alpha = \alpha$ для всех $\alpha \in\Lambda^i U$. \ез \задача[!] Докажите, что $\{R, d\}=0$ \ез \указание Проверьте, что $\{R, d\} \Lie_v \alpha= Rd \Lie_v \alpha + dR \Lie_v \alpha = - R\Lie_v d\alpha + d\alpha = 0$. Воспользуйтесь обратимостью $\Lie_v$. \еу \задача Докажите, что $\{ d, i_v\} R(\alpha) =\alpha$, для любой $i$-формы $\alpha$ на звездчатом множестве, $i>0$. \ез \определение Форма вида $d\alpha$ называется {\бф точной}, форма, на которой зануляется дифференциал -- {\бф замкнутой}. Поскольку $d^2=0$, любая точная форма замкнута. {\бф $i$-е когомологии де Рама многообразия $M$} -- фактор замкнутых $i$-форм по точным, обозначается $H^i(M)$. \ео \задача Вычислите нулевые когомологии де Рама связного многообразия. \ез \задача[!] Пусть $\alpha\in \Lambda^i U$ -- замкнутая форма на звездчатом множестве $U$, где $i>0$. Докажите, что $\alpha = d i_v R(\alpha)$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] (лемма Пуанкаре) Пусть $U$ -- звездчатое множество, Докажите, что $H^i(U)=0$ для всех $i>0$. \ез \задача[*] Пусть на $\R^n$ задано векторное поле $v$, с единственным нулем в точке $x$. Предположим, что производная $Dv\restrict x$ в $х$ невырождена как отображение из $\R^n$ в $\R^n$, причем любая интегральная траектория $v$ проходит через $x$. Докажите, что производная Ли $\Lie_v$ обратима на $\Lambda^i \R^n$ для любого $i>0$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Прямой и обратный образ формы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M \stackrel \phi\arrow N$ -- морфизм гладких многообразий, а $\Lambda^1 N \stackrel {\phi^*}\arrow \Lambda^1 M$ -- индуцированное отображение, переводящее $f dg$ в $\phi^* f d\phi^* g$. Форма $\phi^* \alpha$ называется {\бф обратным образом $\alpha$}. \ео \задача Докажите, что $\phi^*$ продолжается с $\Lambda^1 N$ до мультипликативного гомоморфизма \[ \phi^*:\; \Lambda^* N \arrow \Lambda^* M. \] \ез \определение {\бф Обратным образом} $i$-формы $\alpha$ называется $\phi^* \alpha$, определенный как в предыдущей задаче. Если $M\stackrel \phi \arrow N$ это замкнутое вложение, форма $\phi^* \alpha$ называется {\бф ограничением} $\alpha$ на $M \hookrightarrow N$. \ео \задача Пусть $x\in T_m M$ -- касательный вектор, а $\alpha \in \Lambda^1 N$ -- 1-форма. Докажите, что $\phi^* \alpha (x)= \alpha\left(D_\phi(x)\right)$, где $D_\phi:\; T_m M \arrow T_{\phi(m)} N$ это дифференциал. \ез \задача[!] Докажите, что $\phi^* d\alpha= d\phi^* \alpha$. \ез \определение Дифференциальная форма $\alpha$ называется {\бф формой с компактным носителем}, если $\alpha=0$ вне какого-то компактного множества. \ео \определение Пусть $M$ -- $n$-мерное многообразие, а $\Lambda^n_c(M)$ -- пространство $n$-форм с компактным носителем. Определим {\бф интеграл} $\int_M:\; \Lambda^n_c(M)\arrow \R$ как отображение, которое удовлетворяет следующим свойствам. \begin{description} \item[(i)] $\int_M (\alpha + \beta) = \int_M \alpha +\int_M \beta$. \item[(ii)] $\int_M \phi^*\alpha= \int_N\alpha$, для любого собственного отображения $M \stackrel \phi \arrow N$ и $\alpha \in \Lambda^n_c(N)$. \item[(iii)] Для любого гладкого, собственного отображения $\R^n \stackrel \phi\arrow M$, и формы $\alpha \in \Lambda^n_c(M)$, имеем $\int_M \alpha = \int_{\R^n} f d\mu$, где $d\mu$ есть обычная мера Лебега на $\R^n$, $f= \frac{\phi^* \alpha}{\Vol \R^n}$, а $\Vol \R^n$ -- стандартная форма объема, $\Vol \R^n= dt_1 \wedge dt_2 \wedge ... \wedge dt_n$. \end{description} \ео \задача[!] Докажите, что интеграл, определенный вышеприведенными аксиомами, существует, и единственен. \ез \определение Пусть $N \stackrel \pi \arrow M$ -- неособый морфизм многообразий, со слоями размерности $k$, а $\alpha \in \Lambda^{i+k}_c N$ -- форма с компактным носителем. {\bf Прямой образ $\pi_* \alpha \in \Lambda^i_c M$} определяется как форма, которая удовлетворяет \[ \int_M \pi_*\alpha\wedge \beta= \int_N \alpha \wedge \pi^* \beta, \] для любой формы $\beta \in \Lambda^{\dim M -i} M$. \ео \задача[!] Докажите, что $\pi_*\alpha$ определяется этой формулой однозначно. \ез \задача[*] Докажите, что $\pi_* \alpha\in \Lambda^i_c M$ определен для любой $\alpha \in \Lambda^{i+k}_c N$ \ез \указание Это "интеграл вдоль слоев" $\pi$. \еу \задача[*] Докажите, что $\pi_* d\alpha = d \pi_* \alpha$. \ез \задача[*] Пусть $\alpha$ -- $(n-1)$-форма с компактным носителем на многообразии $M$ с краем $\partial M$. Определим $\int_{\partial M} \alpha$ как интеграл от ограничения (обратного образа) $\alpha$ на $\partial M$. Докажите {\бф формулу Стокса}: \[ \int_M d\alpha = \int_{\partial M} \alpha. \] \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей, и примените индукцию. \еу \end{document}