\documentclass[10pt]{article}

% \usepackage[UglyObsolete]{diagrams}


\input{listki.tex}


% version 1.0 -- 18.03.2010 (начал файл)
% version 1.1 -- 26.03.2010, много мелких опечаток

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   26.03.2010}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{7}{Анализ 7: Дифференциальные операторы}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Дифференциальные операторы на кольце}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Коммутатор} векторных операторов $A, B$
(обозначается $[A,B]$) это $AB-BA$.
\ео

\задача
Докажите, что коммутатор двух дифференцирований --
дифференцирование.
\ез

\задача
Докажите, что коммутатор удовлетворяет тождеству Якоби
\[
[A, [B, C]] = [[A, B], C] + [B, [A, C]].
\]
\ез

\определение
Пусть $R$ - кольцо над полем $k$. {\bf Дифференциальный оператор
порядка $0$} --- это отображение $R\stackrel v \arrow R$, которое
$R$-линейно, то есть переводит $r\in R$ в $v(1)r$.
Множество таких операторов обозначается $\Diff^0(R)$.
Дифференциальный оператор порядка $i>0$ определяется
индуктивно, в терминах дифференциальных операторов
порядка $i-1$. А именно, считается, что $k$-линейное отображение 
$a:\; R \arrow R$ лежит в $\Diff^i(R)$, если для любого $v\in \Diff^0(R)$,
коммутатор $[a, v]$ лежит в $\Diff^{i-1}(R)$.
Мы имеем цепочку вложений
\[
\Diff^0(R)\subset \Diff^1(R) \subset \Diff^2(R) \subset ...
\]
Объединение всех $\Diff^i(R)$ называется {\бф множеством
дифференциальных операторов}. Как мы увидим немного
погодя, $\Diff^*(R)$ образует алгебру (некоммутативное, 
ассоциативное кольцо с единицей). Дифференциальные
операторы на кольце $C^\infty M$ называются
{\бф дифференциальными операторами на $М$},
и обозначаются $\Diff^*(M)$.
\ео

\задача
Докажите, что $\Diff^0 (R)$ естественно изоморфно $R$.
\ез


\задача
Докажите, что дифференцирование -- это дифференциальный
оператор первого порядка.
\ез

\задача 
Пусть $D\in \Diff^1(R)$ -- дифференциальный оператор первого
порядка, а $D'(a) = D(а) - D(1)a$. Докажите, что это дифференцирование.
\ез


\задача[!]
\label{_filtra_diffe_Zadacha_}
Пусть $D^i \in \Diff^i(R)$, $D^j \in \Diff^j(R)$ -
дифференциальные операторы. Докажите, что их композиция
$D^i D^j$ лежит в $\Diff^{i+j}(R)$. 
\ез

\указание
Воспользуйтесь индукцией и тождеством
\[
[ v, D^i D^j] = [v, D^i] D^j + D^i [v, D^j]
\]
\еу

\замечание
Таким образом, дифференциальные операторы
образуют {\бф алгебру дифференциальных операторов}.
\еза

\задача
Рассмотрим кольцо $\C[t]/(t^2=0)$ 
(полиномов с соотношением $t^2=0$).
Найдите его алгебру дифференциальных операторов.
\ез

\задача[*] Пусть $k$ -- поле характеристики 0,
$K$ -- его конечное расширение. Найдите $\Diff^*_k(K)$.
\ез

\задача[*]
Рассмотрим кольцо, конечномерное над полем $k=\C$.
Найдите размерность его алгебры дифференциальных операторов.
\ез



\задача[!]
Пусть $I\subset R$ - идеал, а $D\in \Diff^k(R)$ - дифференциальный
оператор порядка $k$. Докажите, что $D(I^{k+1}) \subset I$.
\ез

\указание 
Докажите, что 
$D(a_1 a_2 ... a_k) = D'(а_2 a_3 ... a_k) + а_1 D(а_2 a_3 ... a_k )$,
где $D'\in \Diff^{k-1}(R)$. Воспользуйтесь индукцией.
\еу



\задача[!]
\label{_filtra_commu_Zadacha_}
Пусть $D^i \in \Diff^i(R)$, $D^j \in \Diff^j(R)$ -
дифференциальные операторы. Докажите, что их коммутатор
$[D^i, D^j]$ лежит в $\Diff^{i+j-1}(R)$. 
\ез

\указание
Воспользуйтесь индукцией и тождеством Якоби:
\[
[ v, [D^i D^j]] = [[v, D^i], D^j] + [D^i, [v, D^j]].
\]
\еу



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кольцо дифференциальных операторов на
алгебре полиномов}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В этом разделе, $R=\R[t_1, ..., t_n]$
это кольцо многочленов над полем $\R$ характеристики 0.

\задача
\label{_diff_o_vanish_Zadacha_}
Пусть $D$ -- дифференциальный оператор порядка $k$
на $R$, который зануляется на всех полиномах
степени $\leq k$. Докажите, что $D=0$.
\ез

\указание
Примените формулу
$D(a_1 a_2 ... a_k) = D'(а_2 a_3 ... a_k) + а_1 D(а_2 a_3 ... a_k )$,
где $D'\in \Diff^{k-1}(R)$. 
Воспользуйтесь индукцией.
\еу

\задача
Рассмотрим дифференциальный оператор
$D=f \frac d {dt_{i_1}} \frac d {dt_{i_2}} \frac d
{dt_{i_3}} ... \frac d {dt_{i_k}}$.
Докажите, что он равен 0 на всех мономах степени $< k$
и $c f$ на $\prod_{j=1}^k t_{i_j}$, где $c= m_1! m_2! m_3!
..., m_n!$, а $m_i$ -- кратность, с которой $\frac d {dt_i}$
входит в моном $D$.
\ез

\задача[!]
\label{_diffe_surje_Zadacha_}
Пусть $P_k\subset R$ -- векторное пространство,
порожденное мономами степени $\leq k$, а 
$\Psi:\; P_k \arrow R$ -- линейное отображение.
Постройте дифференциальный оператор
порядка $\leq k$, ограничение которого
на $P_k$ равно $\Psi$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей, примените индукцию.
\еу

\задача[!]
Докажите, что 
алгебра дифференциальных операторов
порождена $t_i$ и $\frac d {dt_i}$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей 
\ref{_diff_o_vanish_Zadacha_}
и задачей \ref{_diffe_surje_Zadacha_}.
\еу

\задача[*]
Пусть $R= k[t_1, .. t_n]$ - кольцо полиномов.
Докажите, что алгебра $\Diff^*(R)$ порождена образующими
$t_1, t_2, ... t_n, \frac d {dt_1}, \frac d {dt_2}, ... \frac d {dt_n}$,
с соотношениями
\begin{align*}
\  & [ t_i, t_j] =0, \ \ \left[\frac d {dt_i}, \frac d {dt_j}\right]=0, 
\ \ \ \ \text{($i$, $j$ - любые)}\\ 
\  & \left[t_i, \frac d {dt_i}\right] =1,  \ \ 
 \left[\frac d {dt_i}, t_j\right]=0\ \ \ \  \text{($i\neq j$)}
\end{align*}
\ез


\задача[*]
Пусть $R$ -- конечно-порожденное
кольцо над полем нулевой характеристики.
Может ли случиться, что алгебра $\Diff^*(R)$  не порождена
$\Diff^1(R)$?
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кольцо символов дифференциальных операторов}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $A$ - ассоциативная алгебра над полем, а 
\[
А_0\subset A_1 \subset ...
\]
набор вложенных подпространств, таких, что $A= \bigcup_i A_i$.
Этот набор подпространств называется {\бф фильтрацией} на алгебре,
если $A_i A_j \subset A_{i+j}$.
Из задачи \ref{_filtra_diffe_Zadacha_} 
ясно, что дифференциальные операторы образуют
алгебру с фильтрацией (фильтрованную алгебру).
\ео

\задача
Пусть $A= \bigcup_i A_i$ -- алгебра с фильтрацией.
Определим умножение на присоединенном
градуированно пространстве $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$
таким образом, чтобы произведение классов
$a \mod A_{i-1}$ и $b \mod A_{j-1}$ давало
$ab \mod A_{i+j-1}$. Докажите, что это
определение корректно, и задает структуру алгебры 
на $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$. 
\ез

\определение 
Алгебра $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$
называется {\бф присоединенной градуированной алгеброй}
алгебры с фильтрацией.
\ео


\задача 
Найдите алгебру с фильтрацией, без делителей нуля,
такую, что на присоединенной градуированной алгебре
$\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$ умножение зануляется
для всех $i>0$.
\ез

\задача[*]
Пусть $R$ -- конечно-порожденное коммутативное
кольцо над $k$, $t_1, ..., t_n$ его образующие.
Обозначим за $R^i\subset R$ подпространство,
порожденное мономами степени не больше $i$.
Докажите, что это фильтрация. Всегда ли
$R$ изоморфно присоединенному градуированному кольцу
$\bigoplus_i R_i/R_{i-1}$?
\ез

\задача 
Рассмотрим алгебру $\Diff^*(R)$ с фильтрацией 
\[ \Diff^0(R)\subset \Diff^1(R) \subset \Diff^2(R) \subset ...
\] 
Докажите, что ее присоединенная градуированная алгебра коммутативна.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь задачей \ref{_filtra_commu_Zadacha_}.
\еу

\определение Пусть $R$ - кольцо, 
$\Diff^*(R)$ - алгебра дифференциальных операторов, а
\[ \oplus S^i:= \bigoplus_i \Diff^i(R)/\Diff^{i-1}(R)
\] -- присоединенное
градуированное кольцо. Это кольцо называется
{\бф кольцом символов дифференциальных операторов}.
Его нулевая компонента $S^0=\Diff^0(R)$ отождествляется с $R$,
таким образом, кольцо символов является $R$-алгеброй.
\ео

\задача
Докажите, что кольцо символов коммутативно.
\ез

\задача
Докажите, что $\Diff^1(R)/\Diff^0(R)$ 
изоморфно пространству дифференцирований $R$.
\ез

\задача \label{_Symb_homo_Zadacha_}
Обозначим за $\Der(R)$ пространство дифференцирований на $R$,
наделенное естественной структурой $R$-модуля. 
Постройте гомоморфизм колец
\[
\bigoplus_i \Sym^i_{R} (\Der(R)) \arrow \bigoplus_i S^i,
\]
тождественный на $\Der(R)$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что кольцо символов дифференциальных операторов
на кольце многочленов $\C[t_1, ..., t_n]$
изоморфно симметрической алгебре от $2n$ переменных.
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Дифференциальные операторы на гладких функциях}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В этом разделе, $R= C^\infty \R^n$, а $t_1, ..., t_n$ --
координатные функции.

\задача
Для каждого $a\in R$, обозначим оператор умножения
на $a$ за $L_a\in \Diff^0(R)$. Пусть $D\in \Diff^i(R)$ --
дифференциальный оператор порядка $i$, который зануляется
на полиномах, а $P$ -- полином от $t_i$. Докажите, что 
$[D, L_P]$ -- дифференциальный оператор порядка $i-1$, 
который тоже зануляется на полиномах.
\ез

\задача
Пусть $D$ -- дифференциальный оператор на
$R$, который зануляется на всех полиномах.
Докажите, что $D(P f)= P D(f)$, для любого
полинома $P$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $D$ - дифференциальный оператор порядка $i$,
а $f\in {\goth m}_x^{i+1}$, где  ${\goth m}_x\subset R$ --
максимальный идеал точки $x\in \R^n$. Докажите, что
$D(f)$ зануляется в $x$.
\ез

\задача[!]
\label{_diffe_poli_Zadacha_}
Докажите, что любой дифференциальный оператор,
который зануляется на полиномах, равен нулю.
\ез

\указание
Для каждой функции $f\in R$, найдите полином
$P$ такой, что $f-P\in {\goth m}_x^{i+1}$.
\еу

\задача[!]
Пусть $P_k\subset R$ -- векторное пространство,
порожденное мономами степени $\leq k$, а 
$\Psi:\; P_k \arrow R$ -- линейное отображение.
Постройте дифференциальный оператор  $D$
ограничение которого на $P_k$ равно $\Psi$. 
Представьте $D$ как сумму мономов вида
$f \frac d {dt_{i_1}} \frac d {dt_{i_2}} \frac d
{dt_{i_3}} ... \frac d {dt_{i_{k'}}}$, 
$k'\leq k$.
\ез

\указание
См. задачу \ref{_diffe_surje_Zadacha_}.
\еу

\задача[!]
Докажите, что алгебра дифференциальных
операторов на $R$ порождена (над $R$) 
дифференцированиями вида $\frac d {d_i}$.
\ез

\указание 
Выразите таким образом ограничение оператора
на полиномы, и примените задачу \ref{_diffe_poli_Zadacha_}.
\еу

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кольцо символов дифференциальных операторов на
многообразии}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В этом разделе, $R= C^\infty M$, где $M$ -- гладкое многообразие,
а $\oplus S^i:= \bigoplus_i \Diff^i(R)/\Diff^{i-1}(R)$ --
кольцо символов дифференциальных операторов на $R$.

\задача
\hfill\енум
\итем
Докажите, что 
$\Sym^i_{R} (\Der(R))$ изоморфно пространству однородных
полиномов степени $i$ на $T^*M$.
\итем
Выведите из этого, что алгебра 
$\bigoplus_i \Sym^i_{R} (\Der(R))$ это алгебра гладких функций
на тотальном пространстве расслоения $T^*M$,
полиномиальных на слоях этого расслоения. 
\ee\ез

\указание
Воспользуйтесь изоморфизмом $\Der R \cong T M$.
\еу 

\задача
Пусть $x\in M$ - любая точка. 
Докажите, что пространство ${\goth m}_x^i/{\goth m}_x^{i+1}$
изоморфно симметрической степени $\Sym^i T^*_xM$.
\ез

\задача 
Пусть $D\in \Diff^i ( M)$ - дифференциальный 
оператор порядка $\leq i$. 
\енум
\итем Докажите, что $D$ переводит идеал 
${\goth m}_x^{i+1}$ в ${\goth m}_x$, и таким образом 
задает линейное отображение $\Sym^i T^*_xM\arrow \R$, то есть
элемент в $\Sym^i T_xM$.
\итем Докажите, что это отображение зануляется
на \[ \Diff^{i-1} (M)\subset \Diff^i (M).\]
\итем[!] Докажите, что таким образом, для каждой точки
$x\in M$, возникает гомоморфизм алгебр
$\bigoplus S^i \stackrel {\Psi_x} \arrow \bigoplus \Sym^i T_xM$.
\итем[!] Докажите, что $\Psi_x S^i$ гладко зависит от $x$
\ее\ез

\замечание 
Эта конструкция задает гомоморфизм алгебр
\begin{equation}\label{_symbols_inverse_Equation_}
\bigoplus_i S^i \stackrel \Psi\arrow \bigoplus_i \Sym^i ТМ
\end{equation}
\еза

\задача[!]
Пусть $v = \Phi(u) \in \bigoplus S^i$ лежит в образе гомоморфизма
\begin{equation}\label{_symbols_Equation_}
\bigoplus_i \Sym^i ТМ \stackrel \Phi \arrow \bigoplus_i S^i,
\end{equation}
построенного в задаче \ref{_Symb_homo_Zadacha_}.
Докажите, что $\Psi (v) = u$.
\ез 

\замечание 
Мы получили, что $\Psi \circ \Phi = \Id$.
\еза

\задача  \hfill\енум
\итем  Пусть $D\in \Diff^i(M)$ - такой дифференциальный
оператор, что \[ D({\goth m}_x^i)\subset {\goth m}_x\]  для любой точки $x$.
Докажите, для любого $f\in \Diff^0(M)$, коммутатор $[D,f]$ 
переводит $D({\goth m}_x^{i-1})$ в ${\goth m}_x$.

\итем Воспользовавшись индукцией, 
выведите из этого, что $D$ лежит в 
\[ \Diff^{i-1}(M). \]
\ee\ез

\задача[!] Докажите, что отображение 
$\bigoplus_i S^i \stackrel \Psi\arrow \bigoplus_i \Sym^i ТМ$ не имеет ядра.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\задача[!]
Докажите, что отображение \eqref{_symbols_Equation_} - изоморфизм.
\ез

\задача[!]
Докажите, что $\Diff^k(C^\infty \R^n)$ изоморфно
(как $C^\infty\R^n$-модуль) $\bigoplus_{i\leq k} S^i$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что дифференциальные операторы $\Diff^k(M)$ 
на гладком многообразии $M$ образуют векторное расслоение.
Найдите его размерность, как функцию от $k$ и $n=\dim M$.
\ез




\end{document}

