\documentclass[10pt]{article} % \usepackage[UglyObsolete]{diagrams} \input{listki.tex} % version 1.0 -- 18.03.2010 (начал файл) % version 1.1 -- 26.03.2010, много мелких опечаток \newcommand{\version}{version 1.1,\ \ 26.03.2010} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{7}{Анализ 7: Дифференциальные операторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Дифференциальные операторы на кольце} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Коммутатор} векторных операторов $A, B$ (обозначается $[A,B]$) это $AB-BA$. \ео \задача Докажите, что коммутатор двух дифференцирований -- дифференцирование. \ез \задача Докажите, что коммутатор удовлетворяет тождеству Якоби \[ [A, [B, C]] = [[A, B], C] + [B, [A, C]]. \] \ез \определение Пусть $R$ - кольцо над полем $k$. {\bf Дифференциальный оператор порядка $0$} --- это отображение $R\stackrel v \arrow R$, которое $R$-линейно, то есть переводит $r\in R$ в $v(1)r$. Множество таких операторов обозначается $\Diff^0(R)$. Дифференциальный оператор порядка $i>0$ определяется индуктивно, в терминах дифференциальных операторов порядка $i-1$. А именно, считается, что $k$-линейное отображение $a:\; R \arrow R$ лежит в $\Diff^i(R)$, если для любого $v\in \Diff^0(R)$, коммутатор $[a, v]$ лежит в $\Diff^{i-1}(R)$. Мы имеем цепочку вложений \[ \Diff^0(R)\subset \Diff^1(R) \subset \Diff^2(R) \subset ... \] Объединение всех $\Diff^i(R)$ называется {\бф множеством дифференциальных операторов}. Как мы увидим немного погодя, $\Diff^*(R)$ образует алгебру (некоммутативное, ассоциативное кольцо с единицей). Дифференциальные операторы на кольце $C^\infty M$ называются {\бф дифференциальными операторами на $М$}, и обозначаются $\Diff^*(M)$. \ео \задача Докажите, что $\Diff^0 (R)$ естественно изоморфно $R$. \ез \задача Докажите, что дифференцирование -- это дифференциальный оператор первого порядка. \ез \задача Пусть $D\in \Diff^1(R)$ -- дифференциальный оператор первого порядка, а $D'(a) = D(а) - D(1)a$. Докажите, что это дифференцирование. \ез \задача[!] \label{_filtra_diffe_Zadacha_} Пусть $D^i \in \Diff^i(R)$, $D^j \in \Diff^j(R)$ - дифференциальные операторы. Докажите, что их композиция $D^i D^j$ лежит в $\Diff^{i+j}(R)$. \ез \указание Воспользуйтесь индукцией и тождеством \[ [ v, D^i D^j] = [v, D^i] D^j + D^i [v, D^j] \] \еу \замечание Таким образом, дифференциальные операторы образуют {\бф алгебру дифференциальных операторов}. \еза \задача Рассмотрим кольцо $\C[t]/(t^2=0)$ (полиномов с соотношением $t^2=0$). Найдите его алгебру дифференциальных операторов. \ез \задача[*] Пусть $k$ -- поле характеристики 0, $K$ -- его конечное расширение. Найдите $\Diff^*_k(K)$. \ез \задача[*] Рассмотрим кольцо, конечномерное над полем $k=\C$. Найдите размерность его алгебры дифференциальных операторов. \ез \задача[!] Пусть $I\subset R$ - идеал, а $D\in \Diff^k(R)$ - дифференциальный оператор порядка $k$. Докажите, что $D(I^{k+1}) \subset I$. \ез \указание Докажите, что $D(a_1 a_2 ... a_k) = D'(а_2 a_3 ... a_k) + а_1 D(а_2 a_3 ... a_k )$, где $D'\in \Diff^{k-1}(R)$. Воспользуйтесь индукцией. \еу \задача[!] \label{_filtra_commu_Zadacha_} Пусть $D^i \in \Diff^i(R)$, $D^j \in \Diff^j(R)$ - дифференциальные операторы. Докажите, что их коммутатор $[D^i, D^j]$ лежит в $\Diff^{i+j-1}(R)$. \ез \указание Воспользуйтесь индукцией и тождеством Якоби: \[ [ v, [D^i D^j]] = [[v, D^i], D^j] + [D^i, [v, D^j]]. \] \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Кольцо дифференциальных операторов на алгебре полиномов} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% В этом разделе, $R=\R[t_1, ..., t_n]$ это кольцо многочленов над полем $\R$ характеристики 0. \задача \label{_diff_o_vanish_Zadacha_} Пусть $D$ -- дифференциальный оператор порядка $k$ на $R$, который зануляется на всех полиномах степени $\leq k$. Докажите, что $D=0$. \ез \указание Примените формулу $D(a_1 a_2 ... a_k) = D'(а_2 a_3 ... a_k) + а_1 D(а_2 a_3 ... a_k )$, где $D'\in \Diff^{k-1}(R)$. Воспользуйтесь индукцией. \еу \задача Рассмотрим дифференциальный оператор $D=f \frac d {dt_{i_1}} \frac d {dt_{i_2}} \frac d {dt_{i_3}} ... \frac d {dt_{i_k}}$. Докажите, что он равен 0 на всех мономах степени $< k$ и $c f$ на $\prod_{j=1}^k t_{i_j}$, где $c= m_1! m_2! m_3! ..., m_n!$, а $m_i$ -- кратность, с которой $\frac d {dt_i}$ входит в моном $D$. \ез \задача[!] \label{_diffe_surje_Zadacha_} Пусть $P_k\subset R$ -- векторное пространство, порожденное мономами степени $\leq k$, а $\Psi:\; P_k \arrow R$ -- линейное отображение. Постройте дифференциальный оператор порядка $\leq k$, ограничение которого на $P_k$ равно $\Psi$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей, примените индукцию. \еу \задача[!] Докажите, что алгебра дифференциальных операторов порождена $t_i$ и $\frac d {dt_i}$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_diff_o_vanish_Zadacha_} и задачей \ref{_diffe_surje_Zadacha_}. \еу \задача[*] Пусть $R= k[t_1, .. t_n]$ - кольцо полиномов. Докажите, что алгебра $\Diff^*(R)$ порождена образующими $t_1, t_2, ... t_n, \frac d {dt_1}, \frac d {dt_2}, ... \frac d {dt_n}$, с соотношениями \begin{align*} \ & [ t_i, t_j] =0, \ \ \left[\frac d {dt_i}, \frac d {dt_j}\right]=0, \ \ \ \ \text{($i$, $j$ - любые)}\\ \ & \left[t_i, \frac d {dt_i}\right] =1, \ \ \left[\frac d {dt_i}, t_j\right]=0\ \ \ \ \text{($i\neq j$)} \end{align*} \ез \задача[*] Пусть $R$ -- конечно-порожденное кольцо над полем нулевой характеристики. Может ли случиться, что алгебра $\Diff^*(R)$ не порождена $\Diff^1(R)$? \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Кольцо символов дифференциальных операторов} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $A$ - ассоциативная алгебра над полем, а \[ А_0\subset A_1 \subset ... \] набор вложенных подпространств, таких, что $A= \bigcup_i A_i$. Этот набор подпространств называется {\бф фильтрацией} на алгебре, если $A_i A_j \subset A_{i+j}$. Из задачи \ref{_filtra_diffe_Zadacha_} ясно, что дифференциальные операторы образуют алгебру с фильтрацией (фильтрованную алгебру). \ео \задача Пусть $A= \bigcup_i A_i$ -- алгебра с фильтрацией. Определим умножение на присоединенном градуированно пространстве $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$ таким образом, чтобы произведение классов $a \mod A_{i-1}$ и $b \mod A_{j-1}$ давало $ab \mod A_{i+j-1}$. Докажите, что это определение корректно, и задает структуру алгебры на $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$. \ез \определение Алгебра $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$ называется {\бф присоединенной градуированной алгеброй} алгебры с фильтрацией. \ео \задача Найдите алгебру с фильтрацией, без делителей нуля, такую, что на присоединенной градуированной алгебре $\bigoplus_i A_i/A_{i-1}$ умножение зануляется для всех $i>0$. \ез \задача[*] Пусть $R$ -- конечно-порожденное коммутативное кольцо над $k$, $t_1, ..., t_n$ его образующие. Обозначим за $R^i\subset R$ подпространство, порожденное мономами степени не больше $i$. Докажите, что это фильтрация. Всегда ли $R$ изоморфно присоединенному градуированному кольцу $\bigoplus_i R_i/R_{i-1}$? \ез \задача Рассмотрим алгебру $\Diff^*(R)$ с фильтрацией \[ \Diff^0(R)\subset \Diff^1(R) \subset \Diff^2(R) \subset ... \] Докажите, что ее присоединенная градуированная алгебра коммутативна. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_filtra_commu_Zadacha_}. \еу \определение Пусть $R$ - кольцо, $\Diff^*(R)$ - алгебра дифференциальных операторов, а \[ \oplus S^i:= \bigoplus_i \Diff^i(R)/\Diff^{i-1}(R) \] -- присоединенное градуированное кольцо. Это кольцо называется {\бф кольцом символов дифференциальных операторов}. Его нулевая компонента $S^0=\Diff^0(R)$ отождествляется с $R$, таким образом, кольцо символов является $R$-алгеброй. \ео \задача Докажите, что кольцо символов коммутативно. \ез \задача Докажите, что $\Diff^1(R)/\Diff^0(R)$ изоморфно пространству дифференцирований $R$. \ез \задача \label{_Symb_homo_Zadacha_} Обозначим за $\Der(R)$ пространство дифференцирований на $R$, наделенное естественной структурой $R$-модуля. Постройте гомоморфизм колец \[ \bigoplus_i \Sym^i_{R} (\Der(R)) \arrow \bigoplus_i S^i, \] тождественный на $\Der(R)$. \ез \задача[!] Докажите, что кольцо символов дифференциальных операторов на кольце многочленов $\C[t_1, ..., t_n]$ изоморфно симметрической алгебре от $2n$ переменных. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Дифференциальные операторы на гладких функциях} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% В этом разделе, $R= C^\infty \R^n$, а $t_1, ..., t_n$ -- координатные функции. \задача Для каждого $a\in R$, обозначим оператор умножения на $a$ за $L_a\in \Diff^0(R)$. Пусть $D\in \Diff^i(R)$ -- дифференциальный оператор порядка $i$, который зануляется на полиномах, а $P$ -- полином от $t_i$. Докажите, что $[D, L_P]$ -- дифференциальный оператор порядка $i-1$, который тоже зануляется на полиномах. \ез \задача Пусть $D$ -- дифференциальный оператор на $R$, который зануляется на всех полиномах. Докажите, что $D(P f)= P D(f)$, для любого полинома $P$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $D$ - дифференциальный оператор порядка $i$, а $f\in {\goth m}_x^{i+1}$, где ${\goth m}_x\subset R$ -- максимальный идеал точки $x\in \R^n$. Докажите, что $D(f)$ зануляется в $x$. \ез \задача[!] \label{_diffe_poli_Zadacha_} Докажите, что любой дифференциальный оператор, который зануляется на полиномах, равен нулю. \ез \указание Для каждой функции $f\in R$, найдите полином $P$ такой, что $f-P\in {\goth m}_x^{i+1}$. \еу \задача[!] Пусть $P_k\subset R$ -- векторное пространство, порожденное мономами степени $\leq k$, а $\Psi:\; P_k \arrow R$ -- линейное отображение. Постройте дифференциальный оператор $D$ ограничение которого на $P_k$ равно $\Psi$. Представьте $D$ как сумму мономов вида $f \frac d {dt_{i_1}} \frac d {dt_{i_2}} \frac d {dt_{i_3}} ... \frac d {dt_{i_{k'}}}$, $k'\leq k$. \ез \указание См. задачу \ref{_diffe_surje_Zadacha_}. \еу \задача[!] Докажите, что алгебра дифференциальных операторов на $R$ порождена (над $R$) дифференцированиями вида $\frac d {d_i}$. \ез \указание Выразите таким образом ограничение оператора на полиномы, и примените задачу \ref{_diffe_poli_Zadacha_}. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Кольцо символов дифференциальных операторов на многообразии} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% В этом разделе, $R= C^\infty M$, где $M$ -- гладкое многообразие, а $\oplus S^i:= \bigoplus_i \Diff^i(R)/\Diff^{i-1}(R)$ -- кольцо символов дифференциальных операторов на $R$. \задача \hfill\енум \итем Докажите, что $\Sym^i_{R} (\Der(R))$ изоморфно пространству однородных полиномов степени $i$ на $T^*M$. \итем Выведите из этого, что алгебра $\bigoplus_i \Sym^i_{R} (\Der(R))$ это алгебра гладких функций на тотальном пространстве расслоения $T^*M$, полиномиальных на слоях этого расслоения. \ee\ез \указание Воспользуйтесь изоморфизмом $\Der R \cong T M$. \еу \задача Пусть $x\in M$ - любая точка. Докажите, что пространство ${\goth m}_x^i/{\goth m}_x^{i+1}$ изоморфно симметрической степени $\Sym^i T^*_xM$. \ез \задача Пусть $D\in \Diff^i ( M)$ - дифференциальный оператор порядка $\leq i$. \енум \итем Докажите, что $D$ переводит идеал ${\goth m}_x^{i+1}$ в ${\goth m}_x$, и таким образом задает линейное отображение $\Sym^i T^*_xM\arrow \R$, то есть элемент в $\Sym^i T_xM$. \итем Докажите, что это отображение зануляется на \[ \Diff^{i-1} (M)\subset \Diff^i (M).\] \итем[!] Докажите, что таким образом, для каждой точки $x\in M$, возникает гомоморфизм алгебр $\bigoplus S^i \stackrel {\Psi_x} \arrow \bigoplus \Sym^i T_xM$. \итем[!] Докажите, что $\Psi_x S^i$ гладко зависит от $x$ \ее\ез \замечание Эта конструкция задает гомоморфизм алгебр \begin{equation}\label{_symbols_inverse_Equation_} \bigoplus_i S^i \stackrel \Psi\arrow \bigoplus_i \Sym^i ТМ \end{equation} \еза \задача[!] Пусть $v = \Phi(u) \in \bigoplus S^i$ лежит в образе гомоморфизма \begin{equation}\label{_symbols_Equation_} \bigoplus_i \Sym^i ТМ \stackrel \Phi \arrow \bigoplus_i S^i, \end{equation} построенного в задаче \ref{_Symb_homo_Zadacha_}. Докажите, что $\Psi (v) = u$. \ез \замечание Мы получили, что $\Psi \circ \Phi = \Id$. \еза \задача \hfill\енум \итем Пусть $D\in \Diff^i(M)$ - такой дифференциальный оператор, что \[ D({\goth m}_x^i)\subset {\goth m}_x\] для любой точки $x$. Докажите, для любого $f\in \Diff^0(M)$, коммутатор $[D,f]$ переводит $D({\goth m}_x^{i-1})$ в ${\goth m}_x$. \итем Воспользовавшись индукцией, выведите из этого, что $D$ лежит в \[ \Diff^{i-1}(M). \] \ee\ез \задача[!] Докажите, что отображение $\bigoplus_i S^i \stackrel \Psi\arrow \bigoplus_i \Sym^i ТМ$ не имеет ядра. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей \еу \задача[!] Докажите, что отображение \eqref{_symbols_Equation_} - изоморфизм. \ез \задача[!] Докажите, что $\Diff^k(C^\infty \R^n)$ изоморфно (как $C^\infty\R^n$-модуль) $\bigoplus_{i\leq k} S^i$. \ез \задача[!] Докажите, что дифференциальные операторы $\Diff^k(M)$ на гладком многообразии $M$ образуют векторное расслоение. Найдите его размерность, как функцию от $k$ и $n=\dim M$. \ез \end{document}