\documentclass[10pt]{article}

\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}


\input{listki.tex}


% version 1.0 -- 04.03.2010 (начал файл)

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   04.03.2010}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{6}{Анализ 6: Теорема Серра-Суона}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\cac{{\cal C}}
\def\Ob{\operatorname{{\cal O}b}}
\def\Mor{\operatorname{{\cal M}or}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Морфизмы векторных расслоений}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть ${\cal B}, {\cal B}'$ -- пучки над
$M$. {\бф Морфизм} из ${\cal B}$ v ${\cal B}'$
есть гомоморфизм ${\cal B}(U)\arrow {\cal B}'(U)$,
заданный для каждого открытого множества $U\subset M$,
и совместимый с гомоморфизмами ограничений:
\begin{diagram}
{\cal B}(U) & \rTo & {\cal B}'(U)\\
\dTo & &\dTo\\
{\cal B}(U_1) & \rTo & {\cal B}'(U_1)
\end{diagram}
\ео

\замечание
Морфизмы пучков модулей определяются аналогично.
\еза

\определение
Морфизм пучков называется
{\бф инъективным}, если он инъективен на ростках,
и {\бф сюрьективным}, если он сюрьективен на ростках.
\ео

\задача
Пусть ${\cal B} \stackrel \phi \arrow {\cal B}'$ --
инъективный морфизм пучков. Докажите, что $\phi$
инъективен на глобальных сечениях.
\ез

\задача[*]
Приведите пример сюрьективного морфизма пучков,
который не сюрьективен на глобальных сечениях.
\ез

\определение
Пусть ${\cal B} \stackrel \phi \arrow {\cal B}'$ --
морфизм локально тривиальных пучков $C^\infty M$-модулей. 
Он называется {\бф морфизмом расслоений}, если 
$\phi$ в каждом слое
${\cal B}\restrict x \stackrel \phi \arrow {\cal B}'\restrict x$
имеет один и тот же ранг.
\ео

\задача[!]
Приведите пример инъективного морфизма
локально тривиальных пучков $C^\infty M$-\-мо\-ду\-лей,
который в каком-то слое не инъективен.
\ез

\задача[*]
Докажите, что сюрьективный морфизм
локально тривиальных пучков $C^\infty M$-модулей
является морфизмом векторных расслоений.
\ез

\задача[!]
Пусть ${\cal B} \arrow {\cal B}_1$ --
морфизм расслоений над $M$. Докажите, что
соответствующее отображение тотальных пространств --
\енум
\итем неособый морфизм многообразий 
\итем Докажите, что оно является гомоморфизмом относительных
векторных пространств над $M$. 
\ее
\ез

\задача[*]
Любой ли гомоморфизм относительных 
векторных пространств \[ \Tot {\cal B} \arrow \Tot {\cal B}_1\]
получается таким образом?
\ез

\определение
{\бф Подрасслоением} называется образ
инъективного морфизма расслоений.
\ео

\задача
Пусть $B_1 \subset B$ -- подрасслоение.
Докажите, что факторпучок $B/B_1$ --
тоже расслоение.
\ез


\задача[!]
Пусть ${\cal B}_1 \stackrel \phi\arrow {\cal B}_2$ --
морфизм расслоений. Докажите, что образ $\phi$ --
подрасслоение в ${\cal B}_2$, а ядро -- подрасслоение
в ${\cal B}_1$.
\ез

\определение
{\бф Прямой суммой} расслоений называется
прямая сумма соответствующих пучков. 
\ео

\задача
Докажите, что тотальное пространство прямой суммы расслоений
${\cal B}\oplus {\cal B}'$ гомеоморфно
$\Tot {\cal B}\times_M \Tot {\cal B}'$.
\ез

\задача[!]
Пусть ${\cal B}$ - векторное расслоение, снабженное
метрикой (то есть положительно определенной билинейной
симметрической формой), а ${\cal B}_1 \subset {\cal B}$ --
подрасслоение. Рассмотрим подмножество в 
$\Tot {\cal B}_1^\bot\subset \Tot {\cal B}$,
состоящее из всех точек $v\in {\cal B}\restrict x$,
ортогональных ${\cal B}_1\restrict x \subset {\cal
B}\restrict x$. Докажите, что $\Tot {\cal B}_1^\bot$ -- 
тотальное пространство подрасслоения ${\cal
B}_1^\bot\subset {\cal B}$.
\ез

\определение
Подрасслоение ${\cal B}_1^\bot\subset {\cal B}$
называется {\бф ортогональным дополнением}
${\cal B}$ к ${\cal B}_1 \subset {\cal B}$.
\ео

\задача
Пусть ${\cal B}_1 \subset {\cal B}$ -- подрасслоение.
Докажите, что ${\cal B}$ изоморфно прямой сумме
${\cal B}_1$ и еще одного расслоения.
\ез

\указание
Определите на ${\cal B}$ метрику, и воспользуйтесь
предыдущей задачей.
\еу

\замечание
В такой ситуации, говорят, что ${\cal B}_1$
{\бф является прямым слагаемым ${\cal B}$}.
\еза


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Касательное расслоение}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача[!]
Пусть $M\subset \R^n$ -- гладкое подмногообразие
в $\R^n$, а $TM\subset \R^n \times \R^n$ - множество всех
пар $(v, x) \in M \subset \R^n$, где $x\in M \subset \R^n$
точка $M$, а $v\in \R^n$ - вектор, касательный к $M$ в
$m$, то есть удовлетворяющий условию
\[
\lim_{t \arrow 0}\frac{d(M, m+tv)}{t} \arrow 0.
\]
\енум
\итем Докажите, что естественная аддитивная операция
на $TM\subset M \times \R^n$ (сложение по второму
аргументу) задает на $TM$ структуру топологической группы
над $M$.
\итем Докажите, что домножение второго аргумента на
элемент $\R$ задает на $TM$ структуру относительного
векторного пространства
над $M$.
\итем Докажите, что $TM$ будет тотальным пространством
векторного расслоения.
\итем[!] Докажите, что это векторное расслоение изоморфно
касательному расслоению, то есть пучку $\Der_\R (C^\infty M)$.
\ее
\ез

\замечание
Касательное расслоение к $M$, а равно и его тотальное
пространство, обозначается $TM$.
\еза


\задача[!]
\label{_vlo_v_triv_Zadacha_}
Пусть $M$ -- многообразие со счетной базой.
Докажите, что $TM$ допускает вложение в
тривиальное расслоение.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей и примените теорему
Уитни. 
\еу

\задача[!]
\label{_kasa_k_tot_Zadacha_}
Пусть $B$ -- векторное  расслоение на $M$,
а $\Tot B$ -- его тотальное пространство.
Пусть $T\Tot B$ -- касательное расслоение, 
а $M\stackrel \phi \hookrightarrow \Tot B$
вложение, соответствующее нулевому сечению.
Докажите, что обратный образ $\phi^* T\Tot B$ изоморфен
(как расслоение) прямой сумме $TM \oplus B$.
\ез

\задача[!]
\label{_pryamoe_Zadacha_}
Докажите, что каждое расслоение на 
многообразии со счетной базой является
прямым слагаемым тривиального.
\ез

\указание Воспользуйтесь задачами
\ref{_kasa_k_tot_Zadacha_} 
и \ref{_vlo_v_triv_Zadacha_}.
\еу



\задача
Докажите, что $TS^1$ тривиально.
\ез

\задача[!]
Пусть $M$  -- многообразие, которое не ориентируемо.
Докажите, что $TM$ нетривиально. 
\ез

\задача
Докажите, что $TS^2$ нетривиально.
\ез

\задача
Докажите, что любое одномерное расслоение
на сфере $S^2$ тривиально.
\ез


\задача
Докажите, что $TS^3$ тривиально.
\ез

\задача[*]
Обозначим за $T S^2 \oplus \R$
прямую сумму $TS^2$ и тривиального 1-мерного расслоения.
Будет ли $T S^2 \oplus \R$
тривиально?
\ез

\задача[*]
Пусть $G$ есть топологическая группа, которая
является гладким многообразием, причем групповые
операции задаются морфизмами многообразий 
(такая группа называется {\бф группой Ли}.
Докажите, что расслоение $TG$ тривиально.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Проективные модули}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $V$ - модуль над кольцом $R$, а $V'\subset V$
его подмодуль. Предположим, что у $V$ найдется подмодуль
$V''$, не пересекающий $V'$, причем $V$ вместе с $V'$
порождают $V$. В таком случае $V'$ и $V''$ называются
{\бф прямыми слагаемыми} $V$, а $V$ -- {\бф прямой суммой}
$V'$ и $V''$, обозначается как $V=V' \oplus V''$.
\ео

\задача
Рассмотрим подмодуль $n \Z\subset Z$. Будет ли он 
прямым слагаемым $\Z$?
\ез

\задача
Пусть $R$ -- кольцо без делителей нуля,
а $V=R$ - одномерный свободный модуль.
Найдите все прямые слагаемые в $V$.
\ез

\задача[*]
Рассмотрим кольцо усеченных полиномов $\R[t]/t^k$,
и пусть $V=R$ - одномерный свободный модуль.
Найдите все прямые слагаемые в $V$.
\ез

\определение
Модуль над кольцом $R$ называется {\бф свободным},
если он изоморфен прямой сумме $R$ с собой (возможно,
бесконечное число раз). Модуль называется {\бф
проективным}, если он изоморфен прямому слагаемому
свободного.
\ео

\задача
Докажите, что каждый модуль является фактор-модулем
свободного.
\ез


\задача
Пусть $V$ -- $R$-модуль, а
$A\stackrel \pi\arrow B$ -- сюрьективный морфизм
$R$-модулей. Докажите, что каждый
морфизм $R$-модулей $V \stackrel \phi\arrow B$
поднимается до морфизма $V \stackrel \psi\arrow A$,
делая следующую диаграмму коммутативной.
\begin{diagram}
V & \rTo^\phi & A\\
&\rdTo~\psi &\dTo~{\pi}\\
& & B
\end{diagram}
\енум
\итем в предположении, что $V$ свободный
\итем[!] в предположении, что $V$ проективный.
\ее
\ез

\NewVedomost

\задача[!]
Пусть $V$ -- такой модуль, для которого
верно утверждение предыдущей задачи.
Докажите, что $V$ проективный.
\ез

\указание
Возьмем в качестве $A$ свободный модуль,
сюрьективно отображающийся на $V$, в качестве $B$ возьмем
$V$, а в качестве $\pi$ тождественное отображение.
\еу

\определение
Пусть $0\arrow A \hookrightarrow B \arrow C \arrow 0$ -- 
точная последовательность $R$-модулей. Если
для какого-то $C'\subset B$, имеет место изоморфизм
$B=A \oplus C'$, то говорят, что точная последовательность
$0\arrow A \hookrightarrow B \arrow C \arrow 0$ {\бф расщепляется}.
\ео


\задача[!]
Пусть $C$ -- $R$-модуль. Докажите, что 
следующие условия равносильны.
\begin{description}
\item[(i)] Любая точная последовательность вида
$0\arrow A \hookrightarrow B \arrow C \arrow 0$
расщепляется.
\item[(ii)] Модуль $C$ проективный.
\end{description}
\ез

\задача[*]
Пусть $V$ - конечнопорожденный
проективный модуль над кольцом $R$. Докажите, 
что он свободен, если
\енум
\итем[*] $R=\Z$.
\итем[*] $R$ -- кольцо полиномов $\C[t]$.
\итем[*] $R$ -- локальное кольцо.
\ее
\ез

\задача
Пусть ${\cal B}$ -- расслоение над $M$,
а ${\cal B}(M)$ его пространство сечений.
Докажите, что ${\cal B}(M)$ -- проективный
$C^\infty M$-модуль
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей \ref{_pryamoe_Zadacha_}.
\еу



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Лемма Накаямы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $I\subset R$ -- идеал.
$R$-модуль вида $R/I$ называется
{\бф циклическим}.
\ео

\задача
Пусть $V$ -- циклический $R$-модуль вида
$R/I$, а $I_1 \supset I$ - идеал в $R$.
Докажите, что $V/I_1V= R/I_1 R$.
\ез

\задача
Пусть $V$ -- циклический модуль над локальным
кольцом $A$, а ${\goth m}$ -- максимальный
идеал. Предположим, что $V= {\goth m}V$. Докажите, что $V=0$.
\ез

\указание
Докажите, что $I\subset m$,
и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
(лемма Накаямы)
Пусть $V$ -- конечно-порожденный модуль над локальным кольцом
$A$. Предположим, что $V= {\goth m}V$. Докажите, что $V=0$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь индукцией, и примените
предыдущую задачу.
\еу

\задача[**]
(лемма Накаямы в большей общности).
Пусть $V$ - конечно-порожденный модуль над $R$,
а $I\in R$ - идеал, такой, что $IV=V$.
Докажите, что найдется $r\in R$, сравнимый
с единицей по модулю $I$, и такой, что
$rV=0$. 
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Категории и функторы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
{\бф Категорией} $\cac$ называется набор данных ("объектов
категории", "морфизмов между объектами", "композиций морфизмов",
"тождественный морфизм"), удовлетворяющих аксиомам, приведенным ниже.
\begin{description}
\item[Объекты:] Множество $\Ob(\cac)$ объектов $\cac$
(иногда рассматривают не множество, а {\ем класс}
$\Ob(\cac)$, который может и не быть множеством, например,
класс всех множеств, или класс всех линейных пространств).

\item[Морфизмы:] Для любых $X, Y \in \Ob(\cac)$, задано
множество $\Mor(X,Y)$ {\бф морфизмов} из $X$ в $Y$.

\item[Композиция морфизмов:] Если
$\phi\in \Mor(X,Y), \psi \in \Mor(Y,Z)$, 
задан морфизм $\phi\circ \psi \in \Mor(X, Z)$,
который называется {\бф композицией морфизмов}.

\item[Тождественный морфизм:] Для каждого $A\in \Ob(\cac)$
задан морфизм $\Id_A \in \Mor(A,A)$.
\end{description}

\noindent
Эти данные удовлетворяют следующим аксиомам.
\begin{description}
\item[Ассоциативность композиции:] 
$\phi_1\circ(\phi_2\circ\phi_3)=(\phi_1\circ\phi_2)\circ\phi_3$.
\item[Свойства тождественного морфизма:]
Для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$,
$\Id_X\circ \phi = \phi = \phi\circ \Id_Y$.
\end{description}
\ео

\задача
Докажите, что следующие данные задают категорию.
\енум
\итем Объекты -- группы, морфизмы -- гомоморфизмы.
\итем Объекты -- векторные пространства, морфизмы -- гомоморфизмы.
\итем Объекты -- векторные пространства, морфизмы -- сюрьективные
гомоморфизмы.
\итем Объекты -- топологические пространства, морфизмы --
непрерывные отображения
\итем Объекты -- гладкие многообразия, морфизмы - морфизмы
многообразий.
\итем Объекты -- векторные расслоения над $M$, морфизмы --
морфизмы расслоений.
\ее
\ез

\задача
Докажите, что следующие данные не задают категорию.
\енум
\итем Объекты -- многообразия, морфизмы - неособые отображения.
\итем Объекты -- векторные пространства, морфизмы -- 
гомоморфизмы с ненулевым ядром
\итем Объекты -- конечномерные векторные пространства,
морфизмы -- гомоморфизмы из $A$ в $B$ ранга $\min(\dim A,
\dim B)$ (максимально возможного). 
\ее
\ез


\определение
Пусть $\cac_1, \cac_2$ --- категории. {\бф Ковариантным функтором}
из $\cac_1$ в $\cac_2$ называется следующий набор данных.
\begin{description}
\item[(i)] Отображение $F:\; \Ob(\cac_1) \arrow \Ob(\cac_2)$,
ставящее в соответствие объектам $\cac_1$ объекты $\cac_2$.
\item[(ii)] Отображение морфизмов $F:\; \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y))$,
определенное для любой пары объектов $X, Y \in \Ob(\cac_1)$.
\end{description}
Эти даные {\ем определяют функтор
из $\cac_1$ в $\cac_2$}, если $F(\phi) \circ F(\psi) =
F(\phi\circ\psi)$, и $F(\Id_X) = \Id_{F(X)}$.
\ео



\задача
Пусть $\cac$ -- категория пучков модулей над
окольцованным пространством $(M, {\cal F})$.
Докажите, что соответствие ${\cal B}\arrow {\cal B}(M)$
задает функтор из $\cac$ в категорию ${\cal F}(M)$-модулей.
\ез

\определение
Два функтора $F, G:\;\cac_1\arrow \cac_2$ 
называются {\бф эквивалентными}, если для каждого 
$X \in \Ob(\cac_1)$ задан изоморфизм $\Psi_X:\; F(X) \arrow
G(X)$, для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$,
\begin{equation}\label{_equi_fu_Equation_}
 F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi).
\end{equation}
\ео

\определение
Функтор $F:\; \cac_1 \arrow \cac_2$ называется
{\бф эквивалентностью категорий}, если
найдутся функторы $G, G':\; \cac_2 \arrow \cac_1$
такие, что $F\circ G$ эквивалентен тождественному
функтору на $\cac_1$, а $G' \circ F$ эквивалентен
тождественному функтору на $\cac_2$.
\ео

\задача[*]
Докажите, что следующие категории не эквивалентны.
\енум
\итем[*] Категория векторных пространств и категория
групп
\итем[*] Категория топологических пространств
и категория векторных пространств
\итем[*] Категория групп и категория топологических пространств
\ее
\ез

\задача
Докажите, что категория 
локально тривиальных гладких расслоений над $M$
со структурой относительного векторного пространства
эквивалентна категории локально тривиальных 
конечномерных пучков модулей над $C^\infty M$.
\ез


\задача[*]
Пусть $M$ - компактное многообразие. Докажите, что
категория пучков $C^\infty M$-\-мо\-ду\-лей эквивалентна
категории модулей над $C^\infty M$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Серра-Суона}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $x\in M$ -- точка многообразия.
{\бф Росток} $C^\infty M$-модуля $V$ есть
тензорное произведение $C^\infty_x M\otimes_{C^\infty M} V$,
где $C^\infty_x M$ -- кольцо ростков $C^\infty M$ в $x$.
Мы рассматриваем росток $V_x$ как $C^\infty_x M$-модуль.
\ео

\задача
Пусть $V$ - свободный $C^\infty M$-модуль.
Докажите, что росток $V$ в $x$ есть росток соответствующего
пучка $C^\infty M$-модулей над $M$.
\ез

\задача
\label{_puchki_s_proe_Zadacha_}
Пусть $A$ - свободный $C^\infty M$-модуль, разложенный в прямую
сумму двух проективных: $A= B\oplus C$,
${\cal A}$ соответствующий $A$ тривиальный 
пучок $C^\infty M$-модулей, а ${\cal B}\subset {\cal A}$
подпучок, составленный из сечений ${\cal V}(U)$,
все ростки которых лежат в $B_x$. Определим
${\cal C}\subset {\cal A}$ аналогичным образом.
\енум
\итем
Докажите, что ${\cal B}$, ${\cal C}$ -- пучки $C^\infty M$-модулей.
\итем Докажите, что ${\cal A} ={\cal B}\oplus {\cal C}$.
\итем Докажите, что росток  $B_x$ $C^\infty M$-модуля $B$ в $x\in M$
изоморфен ростку ${\cal B}_x$  соответствующего пучка модулей.
\ее
\ез


\задача[!]
\label{_proe_rk_zero_Zadacha_}
Пусть $V$ -- проективный модуль над $C^\infty M$,
а $\rk_x V:= \dim V / {\goth m}_x V$ -- размерность
слоя $V$ в $x$.\footnote{Это число называется
{\бф рангом} $V$ в $x$.}. Предположим, что $\dim_x V=i$.
Докажите, что росток $V_x$ в $x$ порожден над $C^\infty M$
ровно $i$ элементами $V_x$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь леммой Накаямы.
\еу


\задача[!]
Пусть $V$ -- проективный модуль над $C^\infty M$,
а $Z_i\subset M$ - множество всех $x\in M$, где 
$\rk_x V\leq i$. Докажите, что $Z_i$ открыто.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей \ref{_proe_rk_zero_Zadacha_}.
\еу


\задача[!]
Докажите, что ранг проективного модуля 
на связном многообразии постоянный.
\ез

\указание 
Проверьте, что 
$\rk_x (V_1 \oplus V_2) = \rk V_1 \oplus \rk V_2$, и
воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\определение
Пусть $B$ -- тривиальное расслоение над $M$,
а $v_1, ..., v_n$ -- его сечения. Они называются
{\бф линейно независимыми над $C^\infty M$}, если в каждой точке
$x\in M$, вектора слоев 
$v_1\restrict x, v_2\restrict x, v_3\restrict x, ...$
линейно независимы.
\ео

\задача
Пусть $B$ -- тривиальное $n$-мерное расслоение,
а $v_1, ..., v_n$ -- его сечения, которые порождают $B$
над $U\subset M$. Докажите, что они линейно независимы
везде на $U$.
\ез


\задача[!]
Пусть $A$ - свободный $C^\infty M$-модуль, разложенный в прямую
сумму двух проективных: $A= B\oplus C$,
a ${\cal B}$, ${\cal C}$ -- соответствующие пучки.
Докажите, что в окрестности каждой точки $x\in M$, ${\cal B}$
порождено $\rk_x B$ линейно независимыми над $C^\infty M$
сечениями.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей 
\ref{_proe_rk_zero_Zadacha_},
чтобы доказать, что ${\cal B}$
порождено $\rk_x B$ сечениями. Чтобы
убедиться в независимости этих сечений
над $C^\infty M$, примените тот же аргумент
к ${\cal C}$, и получите $\rk_x A$ сечений,
которые порождают ${\cal A}$.
\еу


\задача
Пусть $B$ -- пучок модулей над  $C^\infty M$, 
в окрестности каждой точки порожденный
$n$ линейно независимыми над $C^\infty M$
сечениями. Докажите, что $B$ локально тривиальный.
\ез

\задача[!]
Пусть $B$ -- проективный модуль над $C^\infty M$,
а ${\cal B}$ -- пучок модулей, постоенный как 
в задаче \ref{_puchki_s_proe_Zadacha_}. Докажите,
что этот пучок локально тривиальный.
\ез

\задача
Пусть $\cac_p$ -- категория, объекты которой
суть проективные модули над $C^\infty M$, а 
морфизмы -- такие гомоморфизмы $C^\infty M$-модулей,
что все ядра и коядра проективны. Проверьте
выполнение аксиом категории.
\ез

\задача[*]
(Теорема Серра-Суона). 
Пусть $\cac_b$ -- категория векторных расслоений
над $M$.
\енум
\итем[*] 
Рассмотрим соответствие $\Psi$, которое делает из
проективного $C^\infty M$-модуля векторное
расслоение, как в задаче \ref{_puchki_s_proe_Zadacha_}.
Докажите, что $\Psi(B)$ не зависит от выбора свободного
модуля $A\supset B$.

\итем[*] Докажите, что $\Psi$ задает функтор из
$\cac_p$ в $\cac_b$.

\итем[*] Докажите, что этот функтор определяет
эквивалентность категорий $\cac_b$ и $\cac_p$.
\ее
\ез

\end{document}

