\documentclass[10pt]{article} \usepackage[UglyObsolete]{diagrams} \input{listki.tex} % version 1.0 -- 04.03.2010 (начал файл) \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 04.03.2010} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{6}{Анализ 6: Теорема Серра-Суона} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\cac{{\cal C}} \def\Ob{\operatorname{{\cal O}b}} \def\Mor{\operatorname{{\cal M}or}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Морфизмы векторных расслоений} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть ${\cal B}, {\cal B}'$ -- пучки над $M$. {\бф Морфизм} из ${\cal B}$ v ${\cal B}'$ есть гомоморфизм ${\cal B}(U)\arrow {\cal B}'(U)$, заданный для каждого открытого множества $U\subset M$, и совместимый с гомоморфизмами ограничений: \begin{diagram} {\cal B}(U) & \rTo & {\cal B}'(U)\\ \dTo & &\dTo\\ {\cal B}(U_1) & \rTo & {\cal B}'(U_1) \end{diagram} \ео \замечание Морфизмы пучков модулей определяются аналогично. \еза \определение Морфизм пучков называется {\бф инъективным}, если он инъективен на ростках, и {\бф сюрьективным}, если он сюрьективен на ростках. \ео \задача Пусть ${\cal B} \stackrel \phi \arrow {\cal B}'$ -- инъективный морфизм пучков. Докажите, что $\phi$ инъективен на глобальных сечениях. \ез \задача[*] Приведите пример сюрьективного морфизма пучков, который не сюрьективен на глобальных сечениях. \ез \определение Пусть ${\cal B} \stackrel \phi \arrow {\cal B}'$ -- морфизм локально тривиальных пучков $C^\infty M$-модулей. Он называется {\бф морфизмом расслоений}, если $\phi$ в каждом слое ${\cal B}\restrict x \stackrel \phi \arrow {\cal B}'\restrict x$ имеет один и тот же ранг. \ео \задача[!] Приведите пример инъективного морфизма локально тривиальных пучков $C^\infty M$-\-мо\-ду\-лей, который в каком-то слое не инъективен. \ез \задача[*] Докажите, что сюрьективный морфизм локально тривиальных пучков $C^\infty M$-модулей является морфизмом векторных расслоений. \ез \задача[!] Пусть ${\cal B} \arrow {\cal B}_1$ -- морфизм расслоений над $M$. Докажите, что соответствующее отображение тотальных пространств -- \енум \итем неособый морфизм многообразий \итем Докажите, что оно является гомоморфизмом относительных векторных пространств над $M$. \ее \ез \задача[*] Любой ли гомоморфизм относительных векторных пространств \[ \Tot {\cal B} \arrow \Tot {\cal B}_1\] получается таким образом? \ез \определение {\бф Подрасслоением} называется образ инъективного морфизма расслоений. \ео \задача Пусть $B_1 \subset B$ -- подрасслоение. Докажите, что факторпучок $B/B_1$ -- тоже расслоение. \ез \задача[!] Пусть ${\cal B}_1 \stackrel \phi\arrow {\cal B}_2$ -- морфизм расслоений. Докажите, что образ $\phi$ -- подрасслоение в ${\cal B}_2$, а ядро -- подрасслоение в ${\cal B}_1$. \ез \определение {\бф Прямой суммой} расслоений называется прямая сумма соответствующих пучков. \ео \задача Докажите, что тотальное пространство прямой суммы расслоений ${\cal B}\oplus {\cal B}'$ гомеоморфно $\Tot {\cal B}\times_M \Tot {\cal B}'$. \ез \задача[!] Пусть ${\cal B}$ - векторное расслоение, снабженное метрикой (то есть положительно определенной билинейной симметрической формой), а ${\cal B}_1 \subset {\cal B}$ -- подрасслоение. Рассмотрим подмножество в $\Tot {\cal B}_1^\bot\subset \Tot {\cal B}$, состоящее из всех точек $v\in {\cal B}\restrict x$, ортогональных ${\cal B}_1\restrict x \subset {\cal B}\restrict x$. Докажите, что $\Tot {\cal B}_1^\bot$ -- тотальное пространство подрасслоения ${\cal B}_1^\bot\subset {\cal B}$. \ез \определение Подрасслоение ${\cal B}_1^\bot\subset {\cal B}$ называется {\бф ортогональным дополнением} ${\cal B}$ к ${\cal B}_1 \subset {\cal B}$. \ео \задача Пусть ${\cal B}_1 \subset {\cal B}$ -- подрасслоение. Докажите, что ${\cal B}$ изоморфно прямой сумме ${\cal B}_1$ и еще одного расслоения. \ез \указание Определите на ${\cal B}$ метрику, и воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \замечание В такой ситуации, говорят, что ${\cal B}_1$ {\бф является прямым слагаемым ${\cal B}$}. \еза %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Касательное расслоение} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[!] Пусть $M\subset \R^n$ -- гладкое подмногообразие в $\R^n$, а $TM\subset \R^n \times \R^n$ - множество всех пар $(v, x) \in M \subset \R^n$, где $x\in M \subset \R^n$ точка $M$, а $v\in \R^n$ - вектор, касательный к $M$ в $m$, то есть удовлетворяющий условию \[ \lim_{t \arrow 0}\frac{d(M, m+tv)}{t} \arrow 0. \] \енум \итем Докажите, что естественная аддитивная операция на $TM\subset M \times \R^n$ (сложение по второму аргументу) задает на $TM$ структуру топологической группы над $M$. \итем Докажите, что домножение второго аргумента на элемент $\R$ задает на $TM$ структуру относительного векторного пространства над $M$. \итем Докажите, что $TM$ будет тотальным пространством векторного расслоения. \итем[!] Докажите, что это векторное расслоение изоморфно касательному расслоению, то есть пучку $\Der_\R (C^\infty M)$. \ее \ез \замечание Касательное расслоение к $M$, а равно и его тотальное пространство, обозначается $TM$. \еза \задача[!] \label{_vlo_v_triv_Zadacha_} Пусть $M$ -- многообразие со счетной базой. Докажите, что $TM$ допускает вложение в тривиальное расслоение. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей и примените теорему Уитни. \еу \задача[!] \label{_kasa_k_tot_Zadacha_} Пусть $B$ -- векторное расслоение на $M$, а $\Tot B$ -- его тотальное пространство. Пусть $T\Tot B$ -- касательное расслоение, а $M\stackrel \phi \hookrightarrow \Tot B$ вложение, соответствующее нулевому сечению. Докажите, что обратный образ $\phi^* T\Tot B$ изоморфен (как расслоение) прямой сумме $TM \oplus B$. \ез \задача[!] \label{_pryamoe_Zadacha_} Докажите, что каждое расслоение на многообразии со счетной базой является прямым слагаемым тривиального. \ез \указание Воспользуйтесь задачами \ref{_kasa_k_tot_Zadacha_} и \ref{_vlo_v_triv_Zadacha_}. \еу \задача Докажите, что $TS^1$ тривиально. \ез \задача[!] Пусть $M$ -- многообразие, которое не ориентируемо. Докажите, что $TM$ нетривиально. \ез \задача Докажите, что $TS^2$ нетривиально. \ез \задача Докажите, что любое одномерное расслоение на сфере $S^2$ тривиально. \ез \задача Докажите, что $TS^3$ тривиально. \ез \задача[*] Обозначим за $T S^2 \oplus \R$ прямую сумму $TS^2$ и тривиального 1-мерного расслоения. Будет ли $T S^2 \oplus \R$ тривиально? \ез \задача[*] Пусть $G$ есть топологическая группа, которая является гладким многообразием, причем групповые операции задаются морфизмами многообразий (такая группа называется {\бф группой Ли}. Докажите, что расслоение $TG$ тривиально. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Проективные модули} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $V$ - модуль над кольцом $R$, а $V'\subset V$ его подмодуль. Предположим, что у $V$ найдется подмодуль $V''$, не пересекающий $V'$, причем $V$ вместе с $V'$ порождают $V$. В таком случае $V'$ и $V''$ называются {\бф прямыми слагаемыми} $V$, а $V$ -- {\бф прямой суммой} $V'$ и $V''$, обозначается как $V=V' \oplus V''$. \ео \задача Рассмотрим подмодуль $n \Z\subset Z$. Будет ли он прямым слагаемым $\Z$? \ез \задача Пусть $R$ -- кольцо без делителей нуля, а $V=R$ - одномерный свободный модуль. Найдите все прямые слагаемые в $V$. \ез \задача[*] Рассмотрим кольцо усеченных полиномов $\R[t]/t^k$, и пусть $V=R$ - одномерный свободный модуль. Найдите все прямые слагаемые в $V$. \ез \определение Модуль над кольцом $R$ называется {\бф свободным}, если он изоморфен прямой сумме $R$ с собой (возможно, бесконечное число раз). Модуль называется {\бф проективным}, если он изоморфен прямому слагаемому свободного. \ео \задача Докажите, что каждый модуль является фактор-модулем свободного. \ез \задача Пусть $V$ -- $R$-модуль, а $A\stackrel \pi\arrow B$ -- сюрьективный морфизм $R$-модулей. Докажите, что каждый морфизм $R$-модулей $V \stackrel \phi\arrow B$ поднимается до морфизма $V \stackrel \psi\arrow A$, делая следующую диаграмму коммутативной. \begin{diagram} V & \rTo^\phi & A\\ &\rdTo~\psi &\dTo~{\pi}\\ & & B \end{diagram} \енум \итем в предположении, что $V$ свободный \итем[!] в предположении, что $V$ проективный. \ее \ез \NewVedomost \задача[!] Пусть $V$ -- такой модуль, для которого верно утверждение предыдущей задачи. Докажите, что $V$ проективный. \ез \указание Возьмем в качестве $A$ свободный модуль, сюрьективно отображающийся на $V$, в качестве $B$ возьмем $V$, а в качестве $\pi$ тождественное отображение. \еу \определение Пусть $0\arrow A \hookrightarrow B \arrow C \arrow 0$ -- точная последовательность $R$-модулей. Если для какого-то $C'\subset B$, имеет место изоморфизм $B=A \oplus C'$, то говорят, что точная последовательность $0\arrow A \hookrightarrow B \arrow C \arrow 0$ {\бф расщепляется}. \ео \задача[!] Пусть $C$ -- $R$-модуль. Докажите, что следующие условия равносильны. \begin{description} \item[(i)] Любая точная последовательность вида $0\arrow A \hookrightarrow B \arrow C \arrow 0$ расщепляется. \item[(ii)] Модуль $C$ проективный. \end{description} \ез \задача[*] Пусть $V$ - конечнопорожденный проективный модуль над кольцом $R$. Докажите, что он свободен, если \енум \итем[*] $R=\Z$. \итем[*] $R$ -- кольцо полиномов $\C[t]$. \итем[*] $R$ -- локальное кольцо. \ее \ез \задача Пусть ${\cal B}$ -- расслоение над $M$, а ${\cal B}(M)$ его пространство сечений. Докажите, что ${\cal B}(M)$ -- проективный $C^\infty M$-модуль \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_pryamoe_Zadacha_}. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Лемма Накаямы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $I\subset R$ -- идеал. $R$-модуль вида $R/I$ называется {\бф циклическим}. \ео \задача Пусть $V$ -- циклический $R$-модуль вида $R/I$, а $I_1 \supset I$ - идеал в $R$. Докажите, что $V/I_1V= R/I_1 R$. \ез \задача Пусть $V$ -- циклический модуль над локальным кольцом $A$, а ${\goth m}$ -- максимальный идеал. Предположим, что $V= {\goth m}V$. Докажите, что $V=0$. \ез \указание Докажите, что $I\subset m$, и воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] (лемма Накаямы) Пусть $V$ -- конечно-порожденный модуль над локальным кольцом $A$. Предположим, что $V= {\goth m}V$. Докажите, что $V=0$. \ез \указание Воспользуйтесь индукцией, и примените предыдущую задачу. \еу \задача[**] (лемма Накаямы в большей общности). Пусть $V$ - конечно-порожденный модуль над $R$, а $I\in R$ - идеал, такой, что $IV=V$. Докажите, что найдется $r\in R$, сравнимый с единицей по модулю $I$, и такой, что $rV=0$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Категории и функторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Категорией} $\cac$ называется набор данных ("объектов категории", "морфизмов между объектами", "композиций морфизмов", "тождественный морфизм"), удовлетворяющих аксиомам, приведенным ниже. \begin{description} \item[Объекты:] Множество $\Ob(\cac)$ объектов $\cac$ (иногда рассматривают не множество, а {\ем класс} $\Ob(\cac)$, который может и не быть множеством, например, класс всех множеств, или класс всех линейных пространств). \item[Морфизмы:] Для любых $X, Y \in \Ob(\cac)$, задано множество $\Mor(X,Y)$ {\бф морфизмов} из $X$ в $Y$. \item[Композиция морфизмов:] Если $\phi\in \Mor(X,Y), \psi \in \Mor(Y,Z)$, задан морфизм $\phi\circ \psi \in \Mor(X, Z)$, который называется {\бф композицией морфизмов}. \item[Тождественный морфизм:] Для каждого $A\in \Ob(\cac)$ задан морфизм $\Id_A \in \Mor(A,A)$. \end{description} \noindent Эти данные удовлетворяют следующим аксиомам. \begin{description} \item[Ассоциативность композиции:] $\phi_1\circ(\phi_2\circ\phi_3)=(\phi_1\circ\phi_2)\circ\phi_3$. \item[Свойства тождественного морфизма:] Для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$, $\Id_X\circ \phi = \phi = \phi\circ \Id_Y$. \end{description} \ео \задача Докажите, что следующие данные задают категорию. \енум \итем Объекты -- группы, морфизмы -- гомоморфизмы. \итем Объекты -- векторные пространства, морфизмы -- гомоморфизмы. \итем Объекты -- векторные пространства, морфизмы -- сюрьективные гомоморфизмы. \итем Объекты -- топологические пространства, морфизмы -- непрерывные отображения \итем Объекты -- гладкие многообразия, морфизмы - морфизмы многообразий. \итем Объекты -- векторные расслоения над $M$, морфизмы -- морфизмы расслоений. \ее \ез \задача Докажите, что следующие данные не задают категорию. \енум \итем Объекты -- многообразия, морфизмы - неособые отображения. \итем Объекты -- векторные пространства, морфизмы -- гомоморфизмы с ненулевым ядром \итем Объекты -- конечномерные векторные пространства, морфизмы -- гомоморфизмы из $A$ в $B$ ранга $\min(\dim A, \dim B)$ (максимально возможного). \ее \ез \определение Пусть $\cac_1, \cac_2$ --- категории. {\бф Ковариантным функтором} из $\cac_1$ в $\cac_2$ называется следующий набор данных. \begin{description} \item[(i)] Отображение $F:\; \Ob(\cac_1) \arrow \Ob(\cac_2)$, ставящее в соответствие объектам $\cac_1$ объекты $\cac_2$. \item[(ii)] Отображение морфизмов $F:\; \Mor(X,Y) \arrow \Mor(F(X), F(Y))$, определенное для любой пары объектов $X, Y \in \Ob(\cac_1)$. \end{description} Эти даные {\ем определяют функтор из $\cac_1$ в $\cac_2$}, если $F(\phi) \circ F(\psi) = F(\phi\circ\psi)$, и $F(\Id_X) = \Id_{F(X)}$. \ео \задача Пусть $\cac$ -- категория пучков модулей над окольцованным пространством $(M, {\cal F})$. Докажите, что соответствие ${\cal B}\arrow {\cal B}(M)$ задает функтор из $\cac$ в категорию ${\cal F}(M)$-модулей. \ез \определение Два функтора $F, G:\;\cac_1\arrow \cac_2$ называются {\бф эквивалентными}, если для каждого $X \in \Ob(\cac_1)$ задан изоморфизм $\Psi_X:\; F(X) \arrow G(X)$, для любого морфизма $\phi\in \Mor(X,Y)$, \begin{equation}\label{_equi_fu_Equation_} F(\phi) \circ \Psi_Y= \Psi_X\circ G(\phi). \end{equation} \ео \определение Функтор $F:\; \cac_1 \arrow \cac_2$ называется {\бф эквивалентностью категорий}, если найдутся функторы $G, G':\; \cac_2 \arrow \cac_1$ такие, что $F\circ G$ эквивалентен тождественному функтору на $\cac_1$, а $G' \circ F$ эквивалентен тождественному функтору на $\cac_2$. \ео \задача[*] Докажите, что следующие категории не эквивалентны. \енум \итем[*] Категория векторных пространств и категория групп \итем[*] Категория топологических пространств и категория векторных пространств \итем[*] Категория групп и категория топологических пространств \ее \ез \задача Докажите, что категория локально тривиальных гладких расслоений над $M$ со структурой относительного векторного пространства эквивалентна категории локально тривиальных конечномерных пучков модулей над $C^\infty M$. \ез \задача[*] Пусть $M$ - компактное многообразие. Докажите, что категория пучков $C^\infty M$-\-мо\-ду\-лей эквивалентна категории модулей над $C^\infty M$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Серра-Суона} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $x\in M$ -- точка многообразия. {\бф Росток} $C^\infty M$-модуля $V$ есть тензорное произведение $C^\infty_x M\otimes_{C^\infty M} V$, где $C^\infty_x M$ -- кольцо ростков $C^\infty M$ в $x$. Мы рассматриваем росток $V_x$ как $C^\infty_x M$-модуль. \ео \задача Пусть $V$ - свободный $C^\infty M$-модуль. Докажите, что росток $V$ в $x$ есть росток соответствующего пучка $C^\infty M$-модулей над $M$. \ез \задача \label{_puchki_s_proe_Zadacha_} Пусть $A$ - свободный $C^\infty M$-модуль, разложенный в прямую сумму двух проективных: $A= B\oplus C$, ${\cal A}$ соответствующий $A$ тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей, а ${\cal B}\subset {\cal A}$ подпучок, составленный из сечений ${\cal V}(U)$, все ростки которых лежат в $B_x$. Определим ${\cal C}\subset {\cal A}$ аналогичным образом. \енум \итем Докажите, что ${\cal B}$, ${\cal C}$ -- пучки $C^\infty M$-модулей. \итем Докажите, что ${\cal A} ={\cal B}\oplus {\cal C}$. \итем Докажите, что росток $B_x$ $C^\infty M$-модуля $B$ в $x\in M$ изоморфен ростку ${\cal B}_x$ соответствующего пучка модулей. \ее \ез \задача[!] \label{_proe_rk_zero_Zadacha_} Пусть $V$ -- проективный модуль над $C^\infty M$, а $\rk_x V:= \dim V / {\goth m}_x V$ -- размерность слоя $V$ в $x$.\footnote{Это число называется {\бф рангом} $V$ в $x$.}. Предположим, что $\dim_x V=i$. Докажите, что росток $V_x$ в $x$ порожден над $C^\infty M$ ровно $i$ элементами $V_x$. \ез \указание Воспользуйтесь леммой Накаямы. \еу \задача[!] Пусть $V$ -- проективный модуль над $C^\infty M$, а $Z_i\subset M$ - множество всех $x\in M$, где $\rk_x V\leq i$. Докажите, что $Z_i$ открыто. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_proe_rk_zero_Zadacha_}. \еу \задача[!] Докажите, что ранг проективного модуля на связном многообразии постоянный. \ез \указание Проверьте, что $\rk_x (V_1 \oplus V_2) = \rk V_1 \oplus \rk V_2$, и воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение Пусть $B$ -- тривиальное расслоение над $M$, а $v_1, ..., v_n$ -- его сечения. Они называются {\бф линейно независимыми над $C^\infty M$}, если в каждой точке $x\in M$, вектора слоев $v_1\restrict x, v_2\restrict x, v_3\restrict x, ...$ линейно независимы. \ео \задача Пусть $B$ -- тривиальное $n$-мерное расслоение, а $v_1, ..., v_n$ -- его сечения, которые порождают $B$ над $U\subset M$. Докажите, что они линейно независимы везде на $U$. \ез \задача[!] Пусть $A$ - свободный $C^\infty M$-модуль, разложенный в прямую сумму двух проективных: $A= B\oplus C$, a ${\cal B}$, ${\cal C}$ -- соответствующие пучки. Докажите, что в окрестности каждой точки $x\in M$, ${\cal B}$ порождено $\rk_x B$ линейно независимыми над $C^\infty M$ сечениями. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_proe_rk_zero_Zadacha_}, чтобы доказать, что ${\cal B}$ порождено $\rk_x B$ сечениями. Чтобы убедиться в независимости этих сечений над $C^\infty M$, примените тот же аргумент к ${\cal C}$, и получите $\rk_x A$ сечений, которые порождают ${\cal A}$. \еу \задача Пусть $B$ -- пучок модулей над $C^\infty M$, в окрестности каждой точки порожденный $n$ линейно независимыми над $C^\infty M$ сечениями. Докажите, что $B$ локально тривиальный. \ез \задача[!] Пусть $B$ -- проективный модуль над $C^\infty M$, а ${\cal B}$ -- пучок модулей, постоенный как в задаче \ref{_puchki_s_proe_Zadacha_}. Докажите, что этот пучок локально тривиальный. \ез \задача Пусть $\cac_p$ -- категория, объекты которой суть проективные модули над $C^\infty M$, а морфизмы -- такие гомоморфизмы $C^\infty M$-модулей, что все ядра и коядра проективны. Проверьте выполнение аксиом категории. \ез \задача[*] (Теорема Серра-Суона). Пусть $\cac_b$ -- категория векторных расслоений над $M$. \енум \итем[*] Рассмотрим соответствие $\Psi$, которое делает из проективного $C^\infty M$-модуля векторное расслоение, как в задаче \ref{_puchki_s_proe_Zadacha_}. Докажите, что $\Psi(B)$ не зависит от выбора свободного модуля $A\supset B$. \итем[*] Докажите, что $\Psi$ задает функтор из $\cac_p$ в $\cac_b$. \итем[*] Докажите, что этот функтор определяет эквивалентность категорий $\cac_b$ и $\cac_p$. \ее \ез \end{document}