\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}


\input{listki.tex}

% version 1.0 -- 02.03.2010 (начал файл)
% version 1.1 -- 05.03.2010 комментарии <ljr user=akater>
% version 1.2 -- 06.03.2010 задача 5.6 - сюрьективность
% version 1.3 -- 07.03.2010 opredelenie 5.4, opechatka
% version 2.0 -- 08.03.2010 pomenyal opredeleniya adski
% version 2.1 -- 15.03.2010 opechatka v nachale
% version 2.2 -- 26.03.2010 добавил про двойственное в
% одной задаче


\newcommand{\version}{version 2.2,\ \   26.03.2010}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{5}{Анализ 5: Векторные расслоения}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Локально тривиальные гладкие расслоения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $M \stackrel \phi \arrow N$ -- морфизм многообразий.
Он называется {\бф неособым}, если его дифференциал 
$d\phi$ имеет максимальный ранг в каждой точке $M$.
\ео

\задача
Пусть $M \stackrel \phi \arrow N$ -- неособый морфизм,
$\dim M > \dim N$, 
а $X\subset N$ -- гладкое подмногообразие. Докажите,
что $\phi^{-1}(X)$ -- гладкое подмногообразие в $M$.
\ез

\определение
{\бф Тривиальное гладкое расслоение} есть
проекция $N \times U \arrow U$.
\ео

\определение
Сюрьективный морфизм многообразий
$M \stackrel \phi \arrow N$ называется
{\бф локально тривиальным гладким расслоением},
если у каждой точки $N$ найдется такая окрестность $U$,
что проекция $\phi^{-1}(U)\arrow U$ является
тривиальным гладким расслоением
\ео

\задача
Докажите, что это неособый морфизм.
\ез

\задача
Рассмотрим трехмерную сферу $S^3\subset \R^4=\C^2$, и пусть
$\pi:\; S^3\arrow \C P^1$ есть проекция, индуцированная
тавтологическим отображением $\C^2\backslash 0 \arrow \C P^1$.
Докажите, что это локально тривиальное гладкое расслоение
со слоем $S^1$.
\ез

\замечание
Это отображение называется {\бф расслоением Хопфа}.
\еза

\задача
Пусть $\pi:\; S^3\arrow \C P^1$ - расслоение Хопфа,
а $\C=\C P^1\backslash \{0\}\hookrightarrow \C P^1$ -- стандартное вложение.
Докажите, что $\pi^{-1}(\C P^1\backslash \{0\})$ 
гомеоморфно $S^1 \times \R^2$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что расслоение Хопфа не является
тривиальным гладким расслоением.
\ез

\задача[*]
Докажите, что неособый сюрьективный морфизм компактных
многообразий является локально тривиальным гладким 
расслоением.
\ез

\задача
Постройте неособый сюрьективный морфизм из нечетномерной
сферы $S^{2n+1}$ в $\C P^n$. Докажите, что это локально
тривиальное, но нетривиальное расслоение.
\ез

\указание
Обобщите конструкцию расслоения Хопфа.
\еу

\задача[*]
Постройте локально тривиальное гладкое расслоение вида
$S^7\arrow S^4$. Докажите, что оно нетривиально.
\ез

\определение
Пусть $M_1 \stackrel {\pi_1} \arrow N$ и 
$M_2\stackrel {\pi_2}\arrow N$ -- непрерывные
отображения топологических пространств, а $\Delta \subset
N \times N$ -- диагональ. Обозначим за 
$\pi_1\times \pi_2:\; M_1\times M_2 \arrow N \times N$
естественную проекцию, и пусть 
$M_1\times_N M_2:=(\pi_1\times \pi_2)^{-1}(\Delta)$.
Пространство $M_1\times_N M_2$
называется {\бф расслоенным произведением} $M_1$ и $M_2$
над $N$.
\ео


\задача[!]
Пусть $M_1 \stackrel {\pi_1} \arrow N$ и 
$N_2\stackrel {\pi_2}\arrow N$ -- локально тривиальные
гладкие расслоения, со слоем $F_1$ и $F_2$.
Докажите, что естественное отображение $M_1\times_N M_2\arrow N$
является локально тривиальным расслоением со слоем
$F_1\times F_2$.
\ез


\задача
Докажите, что расслоенное произведение тривиальных
гладких расслоений тривиально.
\ез

\задача
Представьте ленту Мебиуса как гладкое расслоение
над $М \stackrel \pi\arrow S^1$ со слоем $]0,1[$.
Докажите, что $M \times_{S^1} M$ гомеоморфно
$M \times ]0,1[$.
\ез

\задача[*]
Пусть $\pi:\; S^3\arrow \C P^1$ -- расслоение Хопфа.
Докажите, что $S^3\times_{\C P^1} S^3$ гомеоморфно
$S^3 \times S^1$.
\ез
 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Расслоенные произведения и группы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Топологической группой} (также {\бф непрерывной
группой}) называется
топологическое пространство, снабженное групповыми
операциями (умножением и взятием об\-ратного элемента),
которые удовлетворяют аксиомам группы, и непрерывны.
\ео

\задача
Пусть $G$ - матричная группа, с естественной топологией.
Докажите, что это топологическая группа.
\ез

\задача
Постройте структуру непрерывной группы на $S^3$.
\ез

\задача[*]
Может ли четномерная сфера быть топологической группой?
\ез

\задача[*]
Может ли букет двух окружностей быть
 топологической группой?
\ез

\определение
Пусть $M  \stackrel f \arrow N$, $M' \stackrel {f'}\arrow N$ -- непрерывные 
отображения (морфизмы) топологических пространств.
Морфизм $M \stackrel \psi \arrow M'$ называется {\бф морфизмом над $N$},
если следующая диаграмма коммутативна:
\begin{diagram}
M & \rTo^\psi & M'\\
&\rdTo~f &\dTo~{f'}\\
& & N
\end{diagram}
\ео

\задача
Пусть $B\stackrel \pi \arrow M$ -- непрерывное
отображение, а $B\stackrel \Delta \arrow B\times_M B$
переводит $b\in B$ в $(b,b)\in B\times_M B$.
Докажите, что это морфизм над $B$.
\ез


\определение
Пусть $B \stackrel \pi \arrow M$ -- непрерывное
отображение, а $B\times_M B \stackrel \Psi \arrow M$ -
морфизм над $M$. Этот морфизм называется {\бф
ассоциативным умножением}, если на слоях $\pi$
он ассоциативен, то есть удовлетворяет
$\Psi(a, \Psi(b,c))= \Psi(\Psi(a,b),c)$.
Сечение $M \stackrel e \arrow B$ называется
{\бф единицей}, если композиция
\[ B \stackrel {\Id_B \times e}\arrow B\times_M B \stackrel \Psi \arrow B\]
и \[ B \stackrel {e\times \Id_B}\arrow B\times_M B \stackrel \Psi \arrow B\]
равна $Id_B$.  Mорфизм $\nu:\; B \arrow B$ над $M$, 
такой, что композиция
\[ B\stackrel \Delta \arrow B\times_M B \stackrel
{\Id_B\times \nu}\arrow B\times_M B \stackrel \Psi \arrow B\]
и \[ B\stackrel \Delta \arrow B\times_M B \stackrel
{\nu\times \Id_B}\arrow B\times_M B \stackrel \Psi \arrow B\]
переводит $b$ в $e(\pi(b))$, называется {\бф обратным
элементом}. Если на $B \stackrel \pi \arrow M$
задано ассоциативное умножение, единица и обратный
элемент, $B$ называется {\бф топологической группой
над $M$}.
\ео

\задача
Пусть $B \stackrel \pi \arrow M$ --
топологическая группа над $M$. 
Докажите, что все слои $\pi$ суть топологические группы.
\ез

\задача[!]
Пусть $G \times M \arrow M$ тривиальное расслоение,
причем на $G$ задан набор непрерывных групповых операций, непрерывно
зависящий от параметра $m\in M$. Докажите, что это
определяет на $G \times M$ структуру топологической
группы над $M$.
\ез

\задача
Пусть $B$ -- топологическая группа над $M$.
Рассмотрим пространство непрерывных сечений
$M \arrow B$. Докажите, что это группа.
\ез


\задача[*]
В условиях предыдущей задачи, рассмотрим
открыто-компактную топологию на пространстве
непрерывных сечений $M \arrow B$. Докажите, что
пространство сечений будет топологической
группой.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Векторные расслоения и расслоенные пространства}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть задана абелева группа $G$.
Пусть к тому же для каждого ненулевого элемента $\lambda$
поля $k$ задан автоморфизм $\phi_\lambda:\; G \arrow G$,
причем $\phi_\lambda\circ\phi_{\lambda'}=\phi_{\lambda\lambda'}$,
и $\phi_{\lambda+\lambda'}(g)= \phi_{\lambda}(g)+\phi_{\lambda'}(g).$
Докажите, что $G$ является линейным пространством.
Докажите, что все линейные пространства можно
задать таким образом.
\ез

\определение
Пусть $k=\R$ или $\C$.
Абелева топологическая группа $B\stackrel \pi \arrow M$
над $M$ называется {\бф относительным векторным
пространством над $M$},
если для каждого ненулевого $\lambda \in k$ задан автоморфизм 
$\phi_\lambda:\; B \arrow B$ группы $B$ над $M$, который
задает структуру векторного пространства на слоях $\pi$. 
\ео



\задача[!]
Пусть $B\stackrel \pi \arrow M$ -- относительное векторное
пространство над $M$, $U\subset M$ - открытое
подмножество, а ${\cal B}(U)$ - множество всех сечений
отображения $\pi^{-1}(U) \stackrel \pi \arrow U$.
\енум
\итем[!] 
Докажите, что ${\cal B}(U)$ это векторное пространство.
\итем[!] Докажите, что ${\cal B}(U)$ задает пучок модулей
над пучком $C^0(M)$ непрерывных функций.
\ее
\ез



\задача[*]
Пусть $S\subset \R^n$ какое-то подмножество (не
обязательно подмногообразие), $s\in S$ - точка, а $v\in
T_s\R^n$ -- какой-то вектор, проведенный через $s$.
Говорится, что $s$ принадлежит {\бф касательному конусу} $C_sS$
множества $S$ в $s$, если расстояние от $S$ до точки прямой,
проведенной через $s$ в направлении $v$, стремится
к нулю при приближении точки к $s$ быстрее, чем линейно:
\[
\lim_{t \arrow 0}\frac{d(S, s+tv)}{t} \arrow 0.
\]
\енум
\итем[*]
Докажите, что множество $CS$ пар $(s, v), s\in S, v\in C_s S$
является относительным векторным пространством над 
$S$.\footnote{Множество $CS$ называется {\бф касательным
конусом к $S$.}}

\итем[*] Вычислите $CS$ для $S\subset \R^3$, заданного как
множество нулей полинома $x^2+y^2-z^2$.

\итем[*] Докажите, что в этой ситуации 
$CS\arrow S$ не является локально тривиальным
гладким расслоением.
\ее
\ез

\определение
Пусть $B \arrow M$ -- гладкое локально
тривиальное расслоение, со слоем $\R^n$.
Предположим, что на $B$ задана структура
относительного векторного пространства над $M$, причем
все отображения, использованные в определении
относительного векторного пространства,
являются морфизмами гладких многообразий. Тогда $B$
называется {\бф тотальным пространством векторного
расслоения.}
\ео

\задача
Докажите, что соответствующий
$B \arrow M$ пучок сечений является локально
тривиальным пучком $C^\infty M$-модулей.
\ез

\замечание
Напомним, что {\бф векторным расслоением}
называется локально тривиальный пучок 
модулей над $C^\infty M$.
\еза

\определение
Пусть ${\cal B}$ -- $n$-мерное векторное расслоение над $M$,
$x\in M$ точка, ${\cal B}_x$ - пространство ростков
$B$ в $x$, а ${\goth m}_x\subset C^\infty_x M$
максимальный идеал в кольце ростков $C^\infty_x M$.
Определим {\бф слой ${\cal B}$ в $x$} как 
фактор ${\cal B}_x/{\goth m}_x{\cal B}_x$.
Слой векторного расслоения
обозначается ${\cal B}\restrict x$
\ео

\задача
Докажите, что слой $n$-мерного расслоения
есть $n$-мерное векторное пространство.
\ез

\задача
Пусть ${\cal B}= C^\infty M^n$ -- тривиальное
$n$-мерное векторное расслоение, a  
$b\in {\cal B}\restrict x$ точка слоя,
представленная росткoм $\phi \in {\cal B}_x=C^\infty_m M^n$,
$\phi=(f_1, ..., f_n)$. Рассмотрим отображение
множества всех слоев ${\cal B}$ в $M \times \R^n$,
переводящее $(x, \phi=(f_1, ..., f_n))$
в $(f_1(x), ..., f_n(x))$. Докажите, что это
отображение биективно.
\ез

\определение
Пусть ${\cal B}$ -- $n$-мерное
векторное расслоение над $M$,
а $\Tot {\cal B}$ множество векторов в
слоях ${\cal B}$ над всеми точками $M$.
Пусть $U\subset M$ открытое подмножество $M$,
на котором ${\cal B}$ тривиально.
Пользуясь локальной биекцией $\Tot {\cal B}(U)=U \times \R^n$,
определенной в предыдущей задаче, рассмотрим
топологию на $\Tot {\cal B}$, с базой, которая
индуцирована открытыми подмножествами в
$\Tot {\cal B}(U)=U \times \R^n$ для всех
открытых множеств $U\subset M$ и всех тривиализаций
${\cal B}$. 
\ео

\задача
Докажите, что такая топология превращает $\Tot {\cal B}$
в локально тривиальное расслоение над $M$, со слоем
$\R^n$
\ез

\задача[!]
Докажите, что $\Tot {\cal B}$
снабжено естественной структурой 
относительного векторного пространства
над $M$, причем пучок его сечений изоморфен
${\cal B}$
\ез



\определение
Пусть ${\cal B}$ -- векторное расслоение над
$M$, то есть локально-тривиальный пучок $C^\infty
M$-модулей, полученный как пучок сечений 
для тотального пространства векторного расслоения
$B \arrow M$. Тогда $B=\Tot {\cal B}$ называется {\бф тотальным
пространством векторного расслоения ${\cal B}$}.
\ео

\замечание
На практике, "тотальное пространство векторного 
расслоения" обыкновенно обозначается той же буквой,
что и соответствующий пучок, и математики часто
не разделяют эти понятия.
\еза

\задача
Пусть $M_1\stackrel \phi \arrow M$ -- морфизм гладких многообразий, 
а $B \stackrel \pi \arrow M$ -- тотальное пространство
векторного расслоения. Докажите, что $B \times_M M_1$
есть тотальное пространство векторного расслоения
над $M_1$. 
\ез

\определение
Это расслоение обозначается $\phi^* B$, и называется
{\бф обратным образом} или {\бф пулл-бэком} 
расслоения $B$ (от английского "pull-back").
\ео

\задача
Докажите, что слой $\phi^*(B)\restrict x$ естественно
отождествляется с $B\restrict {\phi(x)}$.
\ез

\задача
Докажите, что обратный образ тривиального расслоения
тривиален.
\ез

\задача[*]
Пусть $M_1\stackrel \phi \arrow M$ -- неособый,
сюрьективный морфизм компактных многообразий, а $B$ -- нетривиальное
расслоение над $M$. Может ли расслоение $\phi^*(B)$
быть тривиально?
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Тензорное произведение}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $V, V'$ -- модули над кольцом $R$,
$W$ -- свободная абелева группа, порожденная
символами вида $v\otimes v'$, где $v\in V, v'\in V'$,
а $W_1\subset W$ - подгруппа, порожденная выражениями
вида $rv \otimes v'-v\otimes rv'$, $(v_1+ v_2)\otimes v'-
v_1 \otimes v' - v_2 \otimes v'$ и $v\otimes (v'_1+ v'_2)-
v\otimes v'_1 - v\otimes v'_2$.
Определим {\бф тензорное произведение} $V \otimes_R V'$
как факторгруппу $W/W_1$.
\ео

\задача
Докажите, что  $r \cdot v\otimes v'\mapsto (rv)\otimes v'$
определяет на $V \otimes_R V'$ структуру $R$-модуля.
\ез

\задача
Докажите, что $\Q \otimes_\Z (\Z/2\Z)=0$.
\ез

\задача[*]
Найдите ненулевой модуль $V$ над кольцом $R$ такой,
что $V\otimes_\R V=0$.
\ез

\задача
Пусть $I_1, I_2$ - идеалы в $R$.
Докажите, что $(R/I_1)\otimes_\R (R/I_2)=R/(I_1 + I_2)$,
где $I_1 + I_2$ - идеал, порожденный линейными
комбинациями элементов из $I_1, I_2$.
\ез

\задача
Докажите, что тензорное произведение
свободных модулей свободно.
\ез

\задача[!]
Пусть ${\cal B}_1$ и ${\cal B}_2$ - пучки локально-тривиальных модулей
на окольцованном пространстве $(M, {\cal F})$.
Докажите, что 
\[ U \arrow {\cal B}_1(U)\otimes_{{\cal F}(U)} {\cal B}_2(U)
\]
тоже пучок модулей. 
\ез

\задача[*]
Верно ли утверждение предыдущей задачи без
условия локальной тривиальности?
\ез

\определение
{\бф Тензорным 
произведением} расслоений называется тензорное
произведение соответствующих пучков модулей.
\ео

\замечание
Аналогичным образом определяется внешнее и симметрическое
произведение расслоения с самим собой.
\еза

\задача
Пусть ${\cal B}_1$ и ${\cal B}_2$ -- пучки
локально-тривиальных $C^\infty M$-модулей, а
${\cal B}_1\otimes_{C^\infty M}{\cal B}_2$
их тензорное произведение. Докажите, что
слой ${\cal B}_1\otimes_{C^\infty M}{\cal B}_2$
в $x$ естественным образом отождествляется 
с тензорным произведением слоев
${\cal B}_1\restrict x \otimes{\cal B}_2\restrict x$.
\ез



\задача
Пусть $V$ - модуль над кольцом $R$,
а $\Hom_R(V, R)$ группа гомоморфизмов $R$-модулей из $V$ в
$R$. Докажите, что действие $r\cdot h(\dots) \mapsto
rh(\dots)$ задает на $\Hom_R(V, R)$ структуру $R$-модуля.
Докажите, что $\Hom_R(R^n, R)$ с таким
образом определенной структурой $R$-модуля
изоморфен (неканонически) свободному модулю 
$R^n$.
\ез

\определение
Пусть $V$ - модуль над кольцом $R$.
{\бф Двойственный $R$-модуль} $V^*$ определяется
как $\Hom_R(V, R)$, с вышеописанной структурой модуля.
\ео

\задача
Рассмотрим $\Q/Z$ как $Z$-модуль. Докажите, что
$(\Q/Z)^*=0$.
\ез

\задача 
Докажите, что модуль $\Q^*= \Hom_\Z(Q, \Z)$ нулевой.
\ез

\задача[*]
Пусть $R$ -- кольцо ростков гладких функций
в нуле на $\R$, а $K$ -- идеал функций, 
все производные которых в нуле равны нулю.
Докажите, что $(R/K)^*:= \Hom_R(R/K, R)$ нулевой, или опровергните это.
\ез

\задача[**]
То же самое, если $R$ - кольцо ростков гладких функций
в нуле на $\R^n$.
\ез

\задача[!]
Пусть ${\cal B}$ -- векторное расслоение, то есть
локально тривиальный пучок  $C^\infty M$-модулей, 
а $\Tot{\cal B}\stackrel \pi \arrow M$ - его
тотальное пространство. Определим ${\cal B}^*(U)$
как пространство гладких функций на $\pi^{-1}(U)$, линейных
по слоям $\pi$, с естественным отображением ограничения
${\cal B}^*(U)\arrow {\cal B}^*(V)$. 
\енум
\итем[!]
Докажите, что $U\arrow {\cal B}^*(U)$ задает пучок модулей
над $C^\infty M$. 
\итем[!] Докажите, что этот пучок локально тривиальный.

\итем[!] Докажите, что ${\cal B}^*(U)$ есть двойственный
модуль к ${\cal B}(U)$ над $C^\infty U$. 
\ее
\ез

\определение
Пусть ${\cal B}$ -- векторное расслоение, ${\cal B}^*$
-- локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей,
определенный выше. Он называется {\бф двойственным расслоением}
к ${\cal B}$. 
\ео

\задача
Докажите, что слой ${\cal B}^*\restrict x$
есть векторное пространство, двойственное
к ${\cal B}\restrict x$.
\ез

\задача 
Пусть ${\cal B}$ -- нетривиальное векторное 
расслоение. Докажите, что ${\cal B}^*$ тоже нетривиально.
\ез

\задача
Пусть ${\cal B}_1$ и ${\cal B}_2$ - векторные расслоения
над $M$, а  $\Tot {\cal B}_1\times_M\Tot {\cal B}_2\stackrel\pi \arrow M$.
расслоенное произведение их тотальных пространств. Докажите,
что $\pi^{-1}(x)= {\cal B}_1\restrict x \times {\cal B}_2\restrict x$.
Докажите, что сечения ${\cal B}_1\otimes {\cal B}_2$
суть то же самое, что функции на 
$\Tot {\cal B}_1\times_M\Tot {\cal B}_2$,
билинейные на слоях $\pi$.
\ез

\определение
{\бф Билинейной формой} на расслоении ${\cal B}$ 
называется сечение $({\cal B}\otimes {\cal B})^*$.
Симметричная билинейная форма на ${\cal B}$ 
называется {\бф положительно определенной},
если она дает положительно определенную форму
на всех слоях ${\cal B}$. Симметричную 
положительно определенную билинейную форму
также называют {\бф метрикой}.
Кососимметричная билинейная
форма на ${\cal B}$ называется {\бф невырожденной},
если она невырождена на всех слоях ${\cal B}$.
\ео

\задача[!]
Пусть ${\cal B}$ -- расслоение  над многообразием
$M$ со счетной базой.
Докажите, что на ${\cal B}$ существует метрика.
\ез

\указание
Постройте метрику локально, и воспользуйтесь разбиением
единицы.
\еу

\задача
Найдите 2-мерное расслоение
которое не допускает невырожденной кососимметричной
билинейной формы.
\ез

\задача[*]
Для любого $n>0$, найдите $2n$-мерное расслоение,
которое не допускает невырожденной кососимметричной
билинейной формы.
\ез

\задача[*]
Найдите нетривиальное 3-мерное расслоение ${\cal B}$ такое, что
внешний квадрат $\Lambda^2 {\cal B}$ тривиален.
\ез

\задача[*]
Найдите 2-мерное расслоение,
которое не допускает невырожденной
билинейной симметричной формы
с сигнатурой $(1,1)$.
\ез




\end{document}