\documentclass[12pt]{article} \usepackage[UglyObsolete]{diagrams} \input{listki.tex} % version 1.0 -- 02.03.2010 (начал файл) % version 1.1 -- 05.03.2010 комментарии % version 1.2 -- 06.03.2010 задача 5.6 - сюрьективность % version 1.3 -- 07.03.2010 opredelenie 5.4, opechatka % version 2.0 -- 08.03.2010 pomenyal opredeleniya adski % version 2.1 -- 15.03.2010 opechatka v nachale % version 2.2 -- 26.03.2010 добавил про двойственное в % одной задаче \newcommand{\version}{version 2.2,\ \ 26.03.2010} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{5}{Анализ 5: Векторные расслоения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Локально тривиальные гладкие расслоения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M \stackrel \phi \arrow N$ -- морфизм многообразий. Он называется {\бф неособым}, если его дифференциал $d\phi$ имеет максимальный ранг в каждой точке $M$. \ео \задача Пусть $M \stackrel \phi \arrow N$ -- неособый морфизм, $\dim M > \dim N$, а $X\subset N$ -- гладкое подмногообразие. Докажите, что $\phi^{-1}(X)$ -- гладкое подмногообразие в $M$. \ез \определение {\бф Тривиальное гладкое расслоение} есть проекция $N \times U \arrow U$. \ео \определение Сюрьективный морфизм многообразий $M \stackrel \phi \arrow N$ называется {\бф локально тривиальным гладким расслоением}, если у каждой точки $N$ найдется такая окрестность $U$, что проекция $\phi^{-1}(U)\arrow U$ является тривиальным гладким расслоением \ео \задача Докажите, что это неособый морфизм. \ез \задача Рассмотрим трехмерную сферу $S^3\subset \R^4=\C^2$, и пусть $\pi:\; S^3\arrow \C P^1$ есть проекция, индуцированная тавтологическим отображением $\C^2\backslash 0 \arrow \C P^1$. Докажите, что это локально тривиальное гладкое расслоение со слоем $S^1$. \ез \замечание Это отображение называется {\бф расслоением Хопфа}. \еза \задача Пусть $\pi:\; S^3\arrow \C P^1$ - расслоение Хопфа, а $\C=\C P^1\backslash \{0\}\hookrightarrow \C P^1$ -- стандартное вложение. Докажите, что $\pi^{-1}(\C P^1\backslash \{0\})$ гомеоморфно $S^1 \times \R^2$. \ез \задача[!] Докажите, что расслоение Хопфа не является тривиальным гладким расслоением. \ез \задача[*] Докажите, что неособый сюрьективный морфизм компактных многообразий является локально тривиальным гладким расслоением. \ез \задача Постройте неособый сюрьективный морфизм из нечетномерной сферы $S^{2n+1}$ в $\C P^n$. Докажите, что это локально тривиальное, но нетривиальное расслоение. \ез \указание Обобщите конструкцию расслоения Хопфа. \еу \задача[*] Постройте локально тривиальное гладкое расслоение вида $S^7\arrow S^4$. Докажите, что оно нетривиально. \ез \определение Пусть $M_1 \stackrel {\pi_1} \arrow N$ и $M_2\stackrel {\pi_2}\arrow N$ -- непрерывные отображения топологических пространств, а $\Delta \subset N \times N$ -- диагональ. Обозначим за $\pi_1\times \pi_2:\; M_1\times M_2 \arrow N \times N$ естественную проекцию, и пусть $M_1\times_N M_2:=(\pi_1\times \pi_2)^{-1}(\Delta)$. Пространство $M_1\times_N M_2$ называется {\бф расслоенным произведением} $M_1$ и $M_2$ над $N$. \ео \задача[!] Пусть $M_1 \stackrel {\pi_1} \arrow N$ и $N_2\stackrel {\pi_2}\arrow N$ -- локально тривиальные гладкие расслоения, со слоем $F_1$ и $F_2$. Докажите, что естественное отображение $M_1\times_N M_2\arrow N$ является локально тривиальным расслоением со слоем $F_1\times F_2$. \ез \задача Докажите, что расслоенное произведение тривиальных гладких расслоений тривиально. \ез \задача Представьте ленту Мебиуса как гладкое расслоение над $М \stackrel \pi\arrow S^1$ со слоем $]0,1[$. Докажите, что $M \times_{S^1} M$ гомеоморфно $M \times ]0,1[$. \ез \задача[*] Пусть $\pi:\; S^3\arrow \C P^1$ -- расслоение Хопфа. Докажите, что $S^3\times_{\C P^1} S^3$ гомеоморфно $S^3 \times S^1$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Расслоенные произведения и группы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Топологической группой} (также {\бф непрерывной группой}) называется топологическое пространство, снабженное групповыми операциями (умножением и взятием об\-ратного элемента), которые удовлетворяют аксиомам группы, и непрерывны. \ео \задача Пусть $G$ - матричная группа, с естественной топологией. Докажите, что это топологическая группа. \ез \задача Постройте структуру непрерывной группы на $S^3$. \ез \задача[*] Может ли четномерная сфера быть топологической группой? \ез \задача[*] Может ли букет двух окружностей быть топологической группой? \ез \определение Пусть $M \stackrel f \arrow N$, $M' \stackrel {f'}\arrow N$ -- непрерывные отображения (морфизмы) топологических пространств. Морфизм $M \stackrel \psi \arrow M'$ называется {\бф морфизмом над $N$}, если следующая диаграмма коммутативна: \begin{diagram} M & \rTo^\psi & M'\\ &\rdTo~f &\dTo~{f'}\\ & & N \end{diagram} \ео \задача Пусть $B\stackrel \pi \arrow M$ -- непрерывное отображение, а $B\stackrel \Delta \arrow B\times_M B$ переводит $b\in B$ в $(b,b)\in B\times_M B$. Докажите, что это морфизм над $B$. \ез \определение Пусть $B \stackrel \pi \arrow M$ -- непрерывное отображение, а $B\times_M B \stackrel \Psi \arrow M$ - морфизм над $M$. Этот морфизм называется {\бф ассоциативным умножением}, если на слоях $\pi$ он ассоциативен, то есть удовлетворяет $\Psi(a, \Psi(b,c))= \Psi(\Psi(a,b),c)$. Сечение $M \stackrel e \arrow B$ называется {\бф единицей}, если композиция \[ B \stackrel {\Id_B \times e}\arrow B\times_M B \stackrel \Psi \arrow B\] и \[ B \stackrel {e\times \Id_B}\arrow B\times_M B \stackrel \Psi \arrow B\] равна $Id_B$. Mорфизм $\nu:\; B \arrow B$ над $M$, такой, что композиция \[ B\stackrel \Delta \arrow B\times_M B \stackrel {\Id_B\times \nu}\arrow B\times_M B \stackrel \Psi \arrow B\] и \[ B\stackrel \Delta \arrow B\times_M B \stackrel {\nu\times \Id_B}\arrow B\times_M B \stackrel \Psi \arrow B\] переводит $b$ в $e(\pi(b))$, называется {\бф обратным элементом}. Если на $B \stackrel \pi \arrow M$ задано ассоциативное умножение, единица и обратный элемент, $B$ называется {\бф топологической группой над $M$}. \ео \задача Пусть $B \stackrel \pi \arrow M$ -- топологическая группа над $M$. Докажите, что все слои $\pi$ суть топологические группы. \ез \задача[!] Пусть $G \times M \arrow M$ тривиальное расслоение, причем на $G$ задан набор непрерывных групповых операций, непрерывно зависящий от параметра $m\in M$. Докажите, что это определяет на $G \times M$ структуру топологической группы над $M$. \ез \задача Пусть $B$ -- топологическая группа над $M$. Рассмотрим пространство непрерывных сечений $M \arrow B$. Докажите, что это группа. \ез \задача[*] В условиях предыдущей задачи, рассмотрим открыто-компактную топологию на пространстве непрерывных сечений $M \arrow B$. Докажите, что пространство сечений будет топологической группой. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Векторные расслоения и расслоенные пространства} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть задана абелева группа $G$. Пусть к тому же для каждого ненулевого элемента $\lambda$ поля $k$ задан автоморфизм $\phi_\lambda:\; G \arrow G$, причем $\phi_\lambda\circ\phi_{\lambda'}=\phi_{\lambda\lambda'}$, и $\phi_{\lambda+\lambda'}(g)= \phi_{\lambda}(g)+\phi_{\lambda'}(g).$ Докажите, что $G$ является линейным пространством. Докажите, что все линейные пространства можно задать таким образом. \ез \определение Пусть $k=\R$ или $\C$. Абелева топологическая группа $B\stackrel \pi \arrow M$ над $M$ называется {\бф относительным векторным пространством над $M$}, если для каждого ненулевого $\lambda \in k$ задан автоморфизм $\phi_\lambda:\; B \arrow B$ группы $B$ над $M$, который задает структуру векторного пространства на слоях $\pi$. \ео \задача[!] Пусть $B\stackrel \pi \arrow M$ -- относительное векторное пространство над $M$, $U\subset M$ - открытое подмножество, а ${\cal B}(U)$ - множество всех сечений отображения $\pi^{-1}(U) \stackrel \pi \arrow U$. \енум \итем[!] Докажите, что ${\cal B}(U)$ это векторное пространство. \итем[!] Докажите, что ${\cal B}(U)$ задает пучок модулей над пучком $C^0(M)$ непрерывных функций. \ее \ез \задача[*] Пусть $S\subset \R^n$ какое-то подмножество (не обязательно подмногообразие), $s\in S$ - точка, а $v\in T_s\R^n$ -- какой-то вектор, проведенный через $s$. Говорится, что $s$ принадлежит {\бф касательному конусу} $C_sS$ множества $S$ в $s$, если расстояние от $S$ до точки прямой, проведенной через $s$ в направлении $v$, стремится к нулю при приближении точки к $s$ быстрее, чем линейно: \[ \lim_{t \arrow 0}\frac{d(S, s+tv)}{t} \arrow 0. \] \енум \итем[*] Докажите, что множество $CS$ пар $(s, v), s\in S, v\in C_s S$ является относительным векторным пространством над $S$.\footnote{Множество $CS$ называется {\бф касательным конусом к $S$.}} \итем[*] Вычислите $CS$ для $S\subset \R^3$, заданного как множество нулей полинома $x^2+y^2-z^2$. \итем[*] Докажите, что в этой ситуации $CS\arrow S$ не является локально тривиальным гладким расслоением. \ее \ез \определение Пусть $B \arrow M$ -- гладкое локально тривиальное расслоение, со слоем $\R^n$. Предположим, что на $B$ задана структура относительного векторного пространства над $M$, причем все отображения, использованные в определении относительного векторного пространства, являются морфизмами гладких многообразий. Тогда $B$ называется {\бф тотальным пространством векторного расслоения.} \ео \задача Докажите, что соответствующий $B \arrow M$ пучок сечений является локально тривиальным пучком $C^\infty M$-модулей. \ез \замечание Напомним, что {\бф векторным расслоением} называется локально тривиальный пучок модулей над $C^\infty M$. \еза \определение Пусть ${\cal B}$ -- $n$-мерное векторное расслоение над $M$, $x\in M$ точка, ${\cal B}_x$ - пространство ростков $B$ в $x$, а ${\goth m}_x\subset C^\infty_x M$ максимальный идеал в кольце ростков $C^\infty_x M$. Определим {\бф слой ${\cal B}$ в $x$} как фактор ${\cal B}_x/{\goth m}_x{\cal B}_x$. Слой векторного расслоения обозначается ${\cal B}\restrict x$ \ео \задача Докажите, что слой $n$-мерного расслоения есть $n$-мерное векторное пространство. \ез \задача Пусть ${\cal B}= C^\infty M^n$ -- тривиальное $n$-мерное векторное расслоение, a $b\in {\cal B}\restrict x$ точка слоя, представленная росткoм $\phi \in {\cal B}_x=C^\infty_m M^n$, $\phi=(f_1, ..., f_n)$. Рассмотрим отображение множества всех слоев ${\cal B}$ в $M \times \R^n$, переводящее $(x, \phi=(f_1, ..., f_n))$ в $(f_1(x), ..., f_n(x))$. Докажите, что это отображение биективно. \ез \определение Пусть ${\cal B}$ -- $n$-мерное векторное расслоение над $M$, а $\Tot {\cal B}$ множество векторов в слоях ${\cal B}$ над всеми точками $M$. Пусть $U\subset M$ открытое подмножество $M$, на котором ${\cal B}$ тривиально. Пользуясь локальной биекцией $\Tot {\cal B}(U)=U \times \R^n$, определенной в предыдущей задаче, рассмотрим топологию на $\Tot {\cal B}$, с базой, которая индуцирована открытыми подмножествами в $\Tot {\cal B}(U)=U \times \R^n$ для всех открытых множеств $U\subset M$ и всех тривиализаций ${\cal B}$. \ео \задача Докажите, что такая топология превращает $\Tot {\cal B}$ в локально тривиальное расслоение над $M$, со слоем $\R^n$ \ез \задача[!] Докажите, что $\Tot {\cal B}$ снабжено естественной структурой относительного векторного пространства над $M$, причем пучок его сечений изоморфен ${\cal B}$ \ез \определение Пусть ${\cal B}$ -- векторное расслоение над $M$, то есть локально-тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей, полученный как пучок сечений для тотального пространства векторного расслоения $B \arrow M$. Тогда $B=\Tot {\cal B}$ называется {\бф тотальным пространством векторного расслоения ${\cal B}$}. \ео \замечание На практике, "тотальное пространство векторного расслоения" обыкновенно обозначается той же буквой, что и соответствующий пучок, и математики часто не разделяют эти понятия. \еза \задача Пусть $M_1\stackrel \phi \arrow M$ -- морфизм гладких многообразий, а $B \stackrel \pi \arrow M$ -- тотальное пространство векторного расслоения. Докажите, что $B \times_M M_1$ есть тотальное пространство векторного расслоения над $M_1$. \ез \определение Это расслоение обозначается $\phi^* B$, и называется {\бф обратным образом} или {\бф пулл-бэком} расслоения $B$ (от английского "pull-back"). \ео \задача Докажите, что слой $\phi^*(B)\restrict x$ естественно отождествляется с $B\restrict {\phi(x)}$. \ез \задача Докажите, что обратный образ тривиального расслоения тривиален. \ез \задача[*] Пусть $M_1\stackrel \phi \arrow M$ -- неособый, сюрьективный морфизм компактных многообразий, а $B$ -- нетривиальное расслоение над $M$. Может ли расслоение $\phi^*(B)$ быть тривиально? \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Тензорное произведение} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $V, V'$ -- модули над кольцом $R$, $W$ -- свободная абелева группа, порожденная символами вида $v\otimes v'$, где $v\in V, v'\in V'$, а $W_1\subset W$ - подгруппа, порожденная выражениями вида $rv \otimes v'-v\otimes rv'$, $(v_1+ v_2)\otimes v'- v_1 \otimes v' - v_2 \otimes v'$ и $v\otimes (v'_1+ v'_2)- v\otimes v'_1 - v\otimes v'_2$. Определим {\бф тензорное произведение} $V \otimes_R V'$ как факторгруппу $W/W_1$. \ео \задача Докажите, что $r \cdot v\otimes v'\mapsto (rv)\otimes v'$ определяет на $V \otimes_R V'$ структуру $R$-модуля. \ез \задача Докажите, что $\Q \otimes_\Z (\Z/2\Z)=0$. \ез \задача[*] Найдите ненулевой модуль $V$ над кольцом $R$ такой, что $V\otimes_\R V=0$. \ез \задача Пусть $I_1, I_2$ - идеалы в $R$. Докажите, что $(R/I_1)\otimes_\R (R/I_2)=R/(I_1 + I_2)$, где $I_1 + I_2$ - идеал, порожденный линейными комбинациями элементов из $I_1, I_2$. \ез \задача Докажите, что тензорное произведение свободных модулей свободно. \ез \задача[!] Пусть ${\cal B}_1$ и ${\cal B}_2$ - пучки локально-тривиальных модулей на окольцованном пространстве $(M, {\cal F})$. Докажите, что \[ U \arrow {\cal B}_1(U)\otimes_{{\cal F}(U)} {\cal B}_2(U) \] тоже пучок модулей. \ез \задача[*] Верно ли утверждение предыдущей задачи без условия локальной тривиальности? \ез \определение {\бф Тензорным произведением} расслоений называется тензорное произведение соответствующих пучков модулей. \ео \замечание Аналогичным образом определяется внешнее и симметрическое произведение расслоения с самим собой. \еза \задача Пусть ${\cal B}_1$ и ${\cal B}_2$ -- пучки локально-тривиальных $C^\infty M$-модулей, а ${\cal B}_1\otimes_{C^\infty M}{\cal B}_2$ их тензорное произведение. Докажите, что слой ${\cal B}_1\otimes_{C^\infty M}{\cal B}_2$ в $x$ естественным образом отождествляется с тензорным произведением слоев ${\cal B}_1\restrict x \otimes{\cal B}_2\restrict x$. \ез \задача Пусть $V$ - модуль над кольцом $R$, а $\Hom_R(V, R)$ группа гомоморфизмов $R$-модулей из $V$ в $R$. Докажите, что действие $r\cdot h(\dots) \mapsto rh(\dots)$ задает на $\Hom_R(V, R)$ структуру $R$-модуля. Докажите, что $\Hom_R(R^n, R)$ с таким образом определенной структурой $R$-модуля изоморфен (неканонически) свободному модулю $R^n$. \ез \определение Пусть $V$ - модуль над кольцом $R$. {\бф Двойственный $R$-модуль} $V^*$ определяется как $\Hom_R(V, R)$, с вышеописанной структурой модуля. \ео \задача Рассмотрим $\Q/Z$ как $Z$-модуль. Докажите, что $(\Q/Z)^*=0$. \ез \задача Докажите, что модуль $\Q^*= \Hom_\Z(Q, \Z)$ нулевой. \ез \задача[*] Пусть $R$ -- кольцо ростков гладких функций в нуле на $\R$, а $K$ -- идеал функций, все производные которых в нуле равны нулю. Докажите, что $(R/K)^*:= \Hom_R(R/K, R)$ нулевой, или опровергните это. \ез \задача[**] То же самое, если $R$ - кольцо ростков гладких функций в нуле на $\R^n$. \ез \задача[!] Пусть ${\cal B}$ -- векторное расслоение, то есть локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей, а $\Tot{\cal B}\stackrel \pi \arrow M$ - его тотальное пространство. Определим ${\cal B}^*(U)$ как пространство гладких функций на $\pi^{-1}(U)$, линейных по слоям $\pi$, с естественным отображением ограничения ${\cal B}^*(U)\arrow {\cal B}^*(V)$. \енум \итем[!] Докажите, что $U\arrow {\cal B}^*(U)$ задает пучок модулей над $C^\infty M$. \итем[!] Докажите, что этот пучок локально тривиальный. \итем[!] Докажите, что ${\cal B}^*(U)$ есть двойственный модуль к ${\cal B}(U)$ над $C^\infty U$. \ее \ез \определение Пусть ${\cal B}$ -- векторное расслоение, ${\cal B}^*$ -- локально тривиальный пучок $C^\infty M$-модулей, определенный выше. Он называется {\бф двойственным расслоением} к ${\cal B}$. \ео \задача Докажите, что слой ${\cal B}^*\restrict x$ есть векторное пространство, двойственное к ${\cal B}\restrict x$. \ез \задача Пусть ${\cal B}$ -- нетривиальное векторное расслоение. Докажите, что ${\cal B}^*$ тоже нетривиально. \ез \задача Пусть ${\cal B}_1$ и ${\cal B}_2$ - векторные расслоения над $M$, а $\Tot {\cal B}_1\times_M\Tot {\cal B}_2\stackrel\pi \arrow M$. расслоенное произведение их тотальных пространств. Докажите, что $\pi^{-1}(x)= {\cal B}_1\restrict x \times {\cal B}_2\restrict x$. Докажите, что сечения ${\cal B}_1\otimes {\cal B}_2$ суть то же самое, что функции на $\Tot {\cal B}_1\times_M\Tot {\cal B}_2$, билинейные на слоях $\pi$. \ез \определение {\бф Билинейной формой} на расслоении ${\cal B}$ называется сечение $({\cal B}\otimes {\cal B})^*$. Симметричная билинейная форма на ${\cal B}$ называется {\бф положительно определенной}, если она дает положительно определенную форму на всех слоях ${\cal B}$. Симметричную положительно определенную билинейную форму также называют {\бф метрикой}. Кососимметричная билинейная форма на ${\cal B}$ называется {\бф невырожденной}, если она невырождена на всех слоях ${\cal B}$. \ео \задача[!] Пусть ${\cal B}$ -- расслоение над многообразием $M$ со счетной базой. Докажите, что на ${\cal B}$ существует метрика. \ез \указание Постройте метрику локально, и воспользуйтесь разбиением единицы. \еу \задача Найдите 2-мерное расслоение которое не допускает невырожденной кососимметричной билинейной формы. \ез \задача[*] Для любого $n>0$, найдите $2n$-мерное расслоение, которое не допускает невырожденной кососимметричной билинейной формы. \ез \задача[*] Найдите нетривиальное 3-мерное расслоение ${\cal B}$ такое, что внешний квадрат $\Lambda^2 {\cal B}$ тривиален. \ез \задача[*] Найдите 2-мерное расслоение, которое не допускает невырожденной билинейной симметричной формы с сигнатурой $(1,1)$. \ез \end{document}