\documentclass[10pt]{article} \input{listki.tex} % version 1.0 -- 20.02.2010 (начал файл) % version 1.1 -- 05.03.2010 - пучки, главные идеалы % version 1.2 -- 12.03.2010 - ``пучок колец`` \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 12.03.2010} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{4}{Анализ 4: Векторные поля и дифференцирования} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Дифференцирования кольца} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\Der{\operatorname{Der}} \замечание Все кольца в этих листочках предполагаются коммутативными и с единицей. Алгебры над полем -- ассоциативные, но не обязательно коммутативные (например, матричная алгебра). \еза \определение Пусть $R$ -- кольцо над полем $k$. $k$-линейное отображение $D$ из $R$ в $R$ называется {\бф дифференцированием}, если выполнено {\бф соотношение Лейбница} $D(fg) = D(f) g + g D(f)$. Пространство дифференцирований обозначается $\Der(R)$, или $\Der_k(R)$. \ео \задача Докажите, что дифференцирования зануляются на элементах $k$. \ез \задача Пусть $D_1, D_2$ - дифференцирования. Докажите, что коммутатор $[D_1, D_2]:= D_1 D_2 - D_2 D_1$ это тоже дифференцирование. \ез \задача[!] Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение поля нулевой характеристики. Найдите пространство $\Der_k(K)$ \ез \задача[*] Верно ли это, если $\mathop{char} k =p$? \ез \задача Рассмотрим кольцо $k[\epsilon]$, заданное соотношением $\epsilon^2=0$. Найдите $\Der_k (k[\epsilon])$. \ез \задача[*] Найдите все кольца $R$ над $\C$, такие, что $R$ конечномерное векторное пространство над $\C$ и $\Der_\C(R)=0$. \ез \задача[*] Пусть $D\in \Der_k(K)$ дифференцирование поля $K$ над $k$, $\Char k =0$, а $[K':K]$ конечное расширение полей. Докажите, что $D$ можно продолжить до дифференцирования $D'\in \Der_k(K')$. \ез \задача Пусть $D\in \Der_k(R)$ дифференцирование кольца, $I\subset R$ -- идеал. Докажите, что $D(I^k)\subset I^{k-1}$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Модули над кольцом} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $R$ -- кольцо над полем $k$. {\бф Модуль} над $R$ есть векторное пространство $V$ над $k$, снабженное гомоморфизмом алгебр $R\arrow \End(V)$, где $\End(V)$ -- алгебра эндоморфизмов $V$ (т.е. матричная алгебра). \ео \задача Пусть $R$ это поле. Докажите, что модули над $R$ это то же самое, что векторные пространства над $R$. \ез \замечание $R$-модуль есть группа, на которой определена операция "умножения на элементы из $R$", причем выполнены те же самые аксиомы дистрибутивности и ассоциативности, что в определении векторного пространства. \еза \замечание Подмодули, фактормодули, прямые суммы определяются обычным образом как для векторных пространств). Кольцо $R$ является модулем над собой. {\бф Свободный модуль} есть $R\oplus R \oplus ... $ (иногда такой модуль называется {\бф тривиальным}). Прямая сумма $n$ копий $R$ обозначается $R^n$. \еза \замечание $R$-подмодули в $R$ это то же самое, что идеалы в $R$. \еза \определение Кольцо $R$ называется {\бф кольцом главных идеалов}, если все ненулевые подмодули $R$ изоморфны $R$. \ео \задача Докажите, что $R$ кольцо главных идеалов тогда и только тогда, когда у него нет делителей нуля, а все идеалы в $R$ главные, то есть имеют вид $Rx$, для какого-то необратимого $x\in R$. \ез \задача Являются ли следующие кольца кольцами главных идеалов? \енум \итем $R=\C[t]$ \итем[!] $R=\C[t_1, t_2]$ \итем[*] $R:=\R[x, y]/(x^2 + y^2=-1)$. \ее \ез \определение {\бф Конечно-порожденный} модуль над $R$ есть фактор-модуль $R^n$ по какому-то подмодулю. \ео \задача Придумайте конечно порожденный и несвободный модуль над кольцом $\C[t]$. \ез \определение {\бф Нетерово кольцо} есть кольцо, где все идеалы конечно порождены. \ео \задача[*] Пусть $R$ -- нетерово кольцо. Докажите, что любой подмодуль конечно порожденного модуля над нетеровым кольцом конечно порожден. \ез \задача Рассмотрим кольцо $R$, полученное как прямой предел следующей диаграммы. В вершинах этой диаграммы, пронумерованных натуральными числами, стоят кольца $\C[t]$. Стрелки $\phi_{k,km}$ этой диаграммы бьют из $k$-й вершины в $km$-ю, причем $\phi_{k,km}$ определяется однозначно из формулы $\phi_{k,km}(t)= t^m$. Докажите, что $R$ изоморфно кольцу формальных выражений вида $a_1 t^{\alpha_1}+a_2 t^{\alpha_2} + ... + a_2 t^{\alpha_2}$ где $a_i \in \C$, а $\alpha_i$ -- неотрицательные рациональные числа. Выпишите формулу для произведения и суммы в этом кольце. \ез \задача[!] Рассмотрим кольцо $R$, определенное в прошлой задаче. Докажите, что идеал, порожденный полиномами вида $a_1 t^{\alpha_1}+a_2 t^{\alpha_2} + ... + a_2 t^{\alpha_2}$, где все $\alpha_i$ положительны, не конечно порожден. \ез \задача Рассмотрим кольцо $R$ ростков гладких функций в нуле, и пусть $K$ -- идеал всех функций, у которых все кратные производные в нуле зануляются. Докажите, что этот идеал не главный. \ез \задача[*] Докажите, что $K$ не конечно порожден. \ез \задача[*] Пусть задан конечно порожденный идеал в кольце ростков гладких функций на $\R$. Всегда ли такой идеал -- главный? \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Векторные поля} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Пусть $R$ -- кольцо над полем $k$. Тогда $\Der_k(R)$ -- модуль над кольцом $R$, структура $R$-модуля определяется формулой $rD(f) = r D(f)$. \еза \задача Проверьте, что $\Der_k(R)$ -- действительно $R$-модуль. \ез \задача Пусть $R= k[t_1, .., t_k]$ -- кольцо полиномов. Докажите, что $\Der_k(R)$ -- свободный модуль, изоморфный $R^n$, с образующими $\frac d {dt_1}, \frac d{dt_2}, ...,\frac d{dt_n}$ \ез \указание Постройте отображение $\Der_k(R) \arrow R^n$, \[ D \arrow (D(t_1), d(t_2), ..., d(t_n)) \] и докажите, что это изоморфизм. \еу \задача[*] Пусть $R= k(t_1, .., t_k)$ -- поле рациональных функций, то есть функций вида $\frac {P}{Q}$ где $P$ и $Q$ полиномы, а $Q\neq 0$. Докажите, что $\Der_k(R)$ -- свободный модуль, изоморфный $R^n$. \ез \определение Возьмем в $\R^n$ координаты $t_1, ..., t_n$. Определим отображение \[ \Der(C^\infty\R^n) \stackrel \Pi \arrow(C^\infty\R^n)^n, \] $D \arrow (D(t_1), D(t_2), ..., D(t_n))$. \ео \задача Докажите, что $\Pi$ -- наложение. \ез \задача Докажите, что $\Pi(D)=0$ $\Leftrightarrow$ $D(P)=0$ для любого полинома $P(t_1, ..., t_n)$. \ез \задача Обозначим за ${\goth m}_x\subset C^\infty\R^n$ идеал всех функций, зануляющихся в $x\in \R^n$. Докажите, что он максимальный. \ез \задача Пусть $\R[[t_1, ..., t_n]]$ -- кольцо формальных степенных рядов. Докажите, что оно локальное. \ез \задача[!] Рассмотрим естественное отображение \[ C^\infty\R^n\stackrel \Psi \arrow \R[[t_1, ..., t_n]], \] из кольца ростков гладких функций в $\R[[t_1, ..., t_n]]$, переводящее функцию в ее ряд Тэйлора в нуле. Обозначим за $\tilde {\goth m}$ максимальный идеал в $\R[[t_1, ..., t_n]]$. Докажите, что $\Psi^{-1}(\tilde {\goth m}^n)= {\goth m}_0^n$. \ез \задача Пусть $f(x)=0$ и $f'(х)=0$ для какой-то функции $f\in C^\infty\R^n$. Докажите, что $f\in {\goth m}_x^2$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \замечание {\бф Аффинная функция} на $\R^n$ есть сумма линейной функции и константы. Довольно часто такие функции тоже называют линейными. \еза \задача Пусть $f\in C^\infty\R^n$. Докажите, что для каждого $x\in \R^n$ найдется аффинная функция $l$ такая, что $f-l\in {\goth m}_x^2$ \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей \еу \задача Пусть есть дифференцирование кольца $C^\infty\R^n$, причем $D \in \ker \Pi$. Докажите, что для каждой функции $f\in C^\infty\R^n$, каждого $x\in \R^n$, имеет место $D(f)\in {\goth m}_x$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей \еу \задача[!] Докажите, что отображение \[ \Der(C^\infty\R^n) \stackrel \Pi \arrow(C^\infty\R^n)^n \] есть изоморфизм. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Найдите нетривиальный элемент $\gamma\in\Der_\R(C^0\R)$ в пространстве дифференцирований кольца непрерывных функций, или докажите, что оно пусто \ез \задача[*] Найдите нетривиальный элемент $\gamma\in\Der_\R(C^1\R)$ в пространстве дифференцирований кольца функций класса $C^1$, или докажите, что оно пусто \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Пучки модулей} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство. {\бф Пучок} ${\cal F}$ на $M$ это набор векторных пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого подмножества $U\subset M$, с {\бф отображениями ограничения} -- гомоморфизмами ${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$, заданными для каждого $U'\subset U$, и удовлетворяющие следующим свойствам. \begin{description} \item[(а)] Композиция ограничений -- снова ограничение: если $U_1\subset U_2 \subset U_3$ вложенные открытые множества, а \[ {\cal F}(U_1) \stackrel{\phi_{U_1,U_2}}\arrow {\cal F}(U_2) \stackrel{\phi_{U_2,U_3}}\arrow {\cal F}(U_3) \] соответствующие им отображения ограничений, то $\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$. \item[(б)] Если $U\subset M$ есть объединение открытых множеств $U_i\subset U$, а ограничение $f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то $f=0$. \item[(в)] Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$ набор сечений, заданных для каждого элемента покрытия, и удовлетворяющих условию \[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j}, \] для любой пары элементов покрытия. Тогда существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения $f$ на $U_i$ дает $f_i$. \end{description} Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}. Отображение ограничения na $U$ часто обозначается $f \arrow f\restrict U$ \ео \замечание Для пучка функций условия (а) и (б) выполняются автоматически. \еза \задача[!] Докажите, что условия (б) и (в) равносильны точности такой последовательности \[ 0 \arrow {\cal F}(U) \arrow \prod_{i} {\cal F}(U_i) \arrow \prod_{i\neq j} {\cal F}(U_i\cap U_j) \] для любого набора $\{U_i\}$ открытых подмножеств таких, что $U= \bigcup U_i$. \ез \задача Пусть $f, g\in C^\infty M$ -- две функции, которые равны на открытом множестве $U\subset M$, а $D\in \Der_\R C^\infty M$ -- дифференцирование. Докажите, что $D(f)\restrict U = D(g)\restrict U$. \ез \определение Пусть $U\subset V$ -- открытые подмножества в $M$. Мы пишем $U\Subset V$, если замыкание $U$ содержится в $V$. \ео \задача Пусть $U\Subset V$ -- открытые подмножества в гладком многообразии $M$ со счетной базой. Докажите, что найдется гладкая функция $\Phi_{U,V}\in C^\infty M$, равная 1 на $U$ и 0 вне $V$. \ез \задача[!] Пусть $D\in \Der_\R C^\infty M$ -- дифференцирование, а $U\Subset V$ -- открытые подмножества $M$. Для $f\in \C^\infty V$, определим $D(f)\restrict U$ формулой $D(f)\restrict U = D(\Phi_{U,V}\cdot f)$. Докажите, что $D(f)\restrict U$ удовлетворяет правилу Лейбница, не зависит от выбора $\Phi_{U,V}$, и продолжается до корректно определенного дифференцирования $D\in \Der_\R C^\infty V$ \ез \задача[!] Докажите, что $\Der_\R(C^\infty M)$ -- пучок модулей над $C^\infty M$. \ез \определение {\бф Гомоморфизм пучков} $\psi:\; {\cal F}_1 \arrow {\cal F}_2$ есть набор гомоморфизмов \[ \psi_U:\; {\cal F}_1(U) \arrow{\cal F}_2(U),\] заданных для каждого пространства сечений, и коммутирующих с ограничениями. {\бф Изоморфизм пучков} есть гомоморфизм $\Psi:\; {\cal F}_1 \arrow {\cal F}_2$, для которого существует обратный (справа и слева) гомоморфизм $\Phi:\; {\cal F}_2 \arrow {\cal F}_1$. \ео \задача Пусть $\psi:\; {\cal F}_1 \arrow {\cal F}_2$ -- гомоморфизм пучков. \енум \итем Докажите, что $U \arrow \ker\psi_U$ это снова пучок (он называется {\бф ядром гомоморфизма $\psi$}). \итем[*] Докажите, что $U \arrow \mathop{coker}\psi_U$ это не всегда пучок (приведите контрпример). \ее \ез \определение {\бф Пространство глобальных сечений} пучка ${\cal F}$ на $M$ это ${\cal F}(M)$. \ео \задача[*] Постройте ненулевой пучок, у которого нулевое пространство глобальных сечений. \ез \замечание Пусть $A:\; \phi \arrow B$ -- гомоморфизм колец, а $V$ -- $B$-модуль. Тогда на $V$ есть естественная структура $A$-модуля, $a v:= \phi(a) v$. \еза \определение Пусть ${\cal F}$ есть пучок функций, замкнутый относительно умножения, а ${\cal B}$ - пучок на топологическом пространстве $M$. Он называется {\бф пучком ${\cal F}$-модулей}, если для каждого $U$, пространство сечений ${\cal B}(U)$ наделено структурой ${\cal F}(U)$-модуля, причем для каждого $U'\subset U$, отображение ограничения ${\cal B}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal B}(U')$, задают гомоморфизм ${\cal F}(U)$-модулей (воспользуйтесь предыдущим замечанием, чтобы получить на ${\cal B}(U')$ структуру ${\cal F}(U)$-модуля). \ео \задача Пусть ${\cal F}\subset {\cal F}_1$ -- пучок функций и его подпучок (оба замкнуты относительно операции умножения, то есть являются пучками колец). Докажите, что ${\cal F}_1$ является пучком модулей над ${\cal F}$. \ез \определение {\бф Пространство ростков} пучка ${\cal F}$ в точке $x$ есть предел $\lim\limits_\arrow {\cal F}(U)$, где $U$ пробегает все окрестности $x$. \ео \задача Докажите, что пространство ростков пучка модулей над ${\cal F}$ в $x$ есть модуль над кольцом ростков ${\cal F}$ в $x$. \ез \задача[!] Пусть ${\cal B}$ есть пучок, все ростки которого равны нулю. Докажите, что ${\cal B}=0$. \ез \задача[*] Постройте пучок, у которого все ростки ненулевые, а пространство глобальных сечений нулевое. \ез \определение Пучок модулей ${\cal B}$ над $M$ называется {\бф глобально порожденным}, если для любой точки $x\in M$, естественное отображение ограничения ${\cal B}(M) \arrow {\cal B}_x$ на пространство ростков является наложением. \ео \задача[*] Докажите, что каждый пучок модулей над пучком функций $C^\infty(M)$ глобально порожден, если $M$ -- многообразие со счетной базой. \ез \определение {\бф Тривиальный пучок модулей} ${\cal F}^n$ над пучком функций ${\cal F}$ сопоставляет каждому $U$ пучок ${\cal F}^n(U)$. \ео \задача Постройте нетривиальный подпучок модулей в ${\cal F}^n$ для какого-нибудь кольца функций ${\cal F}$. \ез \определение {\бф Локально тривиальный пучок модулей} над пучком функций ${\cal F}$ это такой пучок ${\cal B}$, что у каждой точки $x\in M$ найдется окрестность $U$ такая, что ограничение ${\cal B}\restrict U$ тривиально. \ео \задача[!] Докажите, что пучок $C^\infty M$-модулей $\Der_\R(C^\infty M)$ локально тривиален, для любого многообразия $M$. \ез \задача Докажите, что $\Der_\R(C^\infty M)$ -- тривиальный пучок для следующих многообразий \енум \итем $M=\R$ \итем $M= S^1$ (окружность) \итем[!] $M=\R^2/\Z^2$ (тор) \итем[*] $M=S^3$ (трехмерная сфера). \ее \ез \задача[*] Постройте многообразие, у которого пучок $\Der_\R(C^\infty M)$ нетривиален. \ез \определение {\бф Векторное расслоение на окольцованном пространстве} $(M, {\cal F})$ есть локально тривиальный пучок ${\cal F}$-модулей. \ео \определение Пучок $C^\infty$-модулей $\Der_\R(C^\infty M)$ называется {\бф касательным расслоением} к $M$. \ео \задача[!] Пусть $B$ -- векторное расслоение на многообразии $(M, C^\infty M)$. Докажите, что пучок сечений $B$ глобально порожден. \ез \задача[*] Пусть $B_1$, $B_2$ -- два векторных расслоения над $M$ таких, что пространства сечений $B_1(M)$ и $B_2(M)$ изоморфны как $C^\infty (M)$-модули. Докажите, что $B_1$ и $B_2$ изоморфны. \ез \end{document}