\documentclass[10pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0 -- 20.02.2010 (начал файл)
% version 1.1 -- 05.03.2010 - пучки, главные идеалы
% version 1.2 -- 12.03.2010 - ``пучок колец``


\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   12.03.2010}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{4}{Анализ 4: Векторные поля и дифференцирования}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Дифференцирования кольца}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\def\Der{\operatorname{Der}}

\замечание
Все кольца в этих листочках предполагаются коммутативными
и с единицей. Алгебры над полем -- ассоциативные, но не
обязательно коммутативные (например, матричная алгебра).
\еза

\определение
Пусть $R$ -- кольцо над полем $k$. $k$-линейное отображение
$D$ из $R$ в $R$ называется {\бф дифференцированием}, если
выполнено {\бф соотношение Лейбница} $D(fg) = D(f) g + g
D(f)$. Пространство дифференцирований обозначается
$\Der(R)$, или $\Der_k(R)$.
\ео

\задача
Докажите, что дифференцирования зануляются на
элементах $k$.
\ез

\задача
Пусть $D_1, D_2$ - дифференцирования.
Докажите, что коммутатор $[D_1, D_2]:= D_1 D_2 - D_2 D_1$
это тоже дифференцирование.
\ез

\задача[!]
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение поля нулевой
характеристики. Найдите пространство $\Der_k(K)$
\ез

\задача[*]
Верно ли это, если $\mathop{char} k =p$?
\ез

\задача
Рассмотрим кольцо $k[\epsilon]$, заданное соотношением
$\epsilon^2=0$. Найдите $\Der_k (k[\epsilon])$.
\ез

\задача[*] Найдите все кольца $R$ над $\C$, такие, что $R$
конечномерное векторное пространство над $\C$ и $\Der_\C(R)=0$.
\ез

\задача[*]
Пусть $D\in \Der_k(K)$ дифференцирование поля $K$ над $k$,
$\Char k =0$, а $[K':K]$ конечное расширение полей. Докажите, что
$D$ можно продолжить до дифференцирования $D'\in
\Der_k(K')$.
\ез


\задача
Пусть $D\in \Der_k(R)$
дифференцирование кольца, $I\subset R$ --
идеал. Докажите, что $D(I^k)\subset I^{k-1}$.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Модули над кольцом}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $R$ -- кольцо над полем $k$.
{\бф Модуль} над $R$ есть векторное пространство
$V$ над $k$, снабженное гомоморфизмом алгебр
$R\arrow \End(V)$, где $\End(V)$ -- алгебра эндоморфизмов
$V$ (т.е. матричная алгебра).
\ео

\задача 
Пусть $R$ это поле. Докажите, что модули
над $R$ это то же самое, что векторные
пространства над $R$.
\ез

\замечание
$R$-модуль есть группа, на которой
определена операция "умножения на элементы из $R$",
причем выполнены те же самые аксиомы дистрибутивности
и ассоциативности, что в определении векторного
пространства. 
\еза

\замечание
Подмодули, фактормодули, прямые суммы определяются обычным образом
как для векторных пространств). Кольцо $R$ является
модулем над собой. {\бф Свободный модуль} есть $R\oplus R
\oplus ... $ (иногда такой модуль называется
{\бф тривиальным}). Прямая сумма $n$ копий $R$
обозначается $R^n$.
\еза


\замечание
$R$-подмодули в $R$ это то же самое, что идеалы в $R$.
\еза

\определение
Кольцо $R$ называется {\бф кольцом главных идеалов},
если все ненулевые подмодули $R$ изоморфны $R$.
\ео

\задача 
Докажите, что 
$R$ кольцо главных идеалов тогда и только тогда,
когда у него нет делителей нуля, а все идеалы в $R$ главные, 
то есть имеют вид $Rx$, для какого-то необратимого $x\in R$.
\ез

\задача
Являются ли следующие кольца кольцами главных идеалов?
\енум
\итем $R=\C[t]$
\итем[!] $R=\C[t_1, t_2]$
\итем[*] $R:=\R[x, y]/(x^2 + y^2=-1)$. 
\ее
\ез


\определение
{\бф Конечно-порожденный} модуль над $R$ есть фактор-модуль
$R^n$ по какому-то подмодулю.
\ео

\задача
Придумайте конечно порожденный и несвободный
модуль над кольцом $\C[t]$.
\ез

\определение
{\бф Нетерово кольцо}
есть кольцо, где все идеалы конечно порождены.
\ео

\задача[*] 
Пусть $R$ -- нетерово кольцо.
Докажите, что любой подмодуль конечно порожденного
модуля над нетеровым кольцом конечно порожден.
\ез

\задача
Рассмотрим кольцо $R$, полученное
как прямой предел следующей диаграммы.
В вершинах этой диаграммы, пронумерованных
натуральными числами, стоят кольца
$\C[t]$. Стрелки $\phi_{k,km}$ этой диаграммы
бьют из $k$-й вершины в $km$-ю,
причем $\phi_{k,km}$ определяется
однозначно из формулы $\phi_{k,km}(t)= t^m$.
Докажите, что $R$ изоморфно
кольцу формальных выражений вида
$a_1 t^{\alpha_1}+a_2 t^{\alpha_2} + ... + a_2 t^{\alpha_2}$
где $a_i \in \C$, а $\alpha_i$ -- неотрицательные
рациональные числа. Выпишите формулу для
произведения и суммы в этом кольце.
\ез

\задача[!]
Рассмотрим кольцо $R$, определенное
в прошлой задаче. Докажите, что идеал, порожденный полиномами
вида $a_1 t^{\alpha_1}+a_2 t^{\alpha_2} + ... + a_2 t^{\alpha_2}$,
где все $\alpha_i$ положительны, не конечно порожден.
\ез

\задача
Рассмотрим кольцо $R$ ростков гладких функций в нуле,
и пусть $K$ -- идеал всех функций, у которых все кратные 
производные в нуле зануляются. Докажите, что этот идеал
не главный.
\ез

\задача[*]
Докажите, что $K$ не конечно порожден.
\ез

\задача[*]
Пусть задан конечно порожденный идеал в
кольце ростков гладких функций на $\R$.
Всегда ли такой идеал -- главный?
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Векторные поля}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\замечание
Пусть $R$ -- кольцо над полем $k$.
Тогда $\Der_k(R)$ -- модуль над кольцом $R$,
структура $R$-модуля определяется формулой $rD(f) = r D(f)$.
\еза

\задача
Проверьте, что $\Der_k(R)$ -- действительно $R$-модуль.
\ез

\задача
Пусть $R= k[t_1, .., t_k]$ -- кольцо полиномов.
Докажите, что $\Der_k(R)$ -- свободный модуль, 
изоморфный $R^n$, с образующими $\frac d {dt_1}, 
\frac d{dt_2}, ...,\frac d{dt_n}$
\ез

\указание
Постройте отображение
$\Der_k(R) \arrow R^n$, 
\[ D \arrow (D(t_1), d(t_2), ..., d(t_n))
\]
и докажите, что это изоморфизм.
\еу

\задача[*]
Пусть $R= k(t_1, .., t_k)$ -- поле рациональных
функций, то есть функций вида $\frac {P}{Q}$
где $P$ и $Q$ полиномы, а $Q\neq 0$.
Докажите, что $\Der_k(R)$ -- свободный модуль, 
изоморфный $R^n$.
\ез

\определение
Возьмем в $\R^n$ координаты $t_1, ..., t_n$.
Определим отображение 
\[ 
  \Der(C^\infty\R^n) \stackrel \Pi \arrow(C^\infty\R^n)^n,
\]
$D \arrow (D(t_1), D(t_2), ..., D(t_n))$.
\ео

\задача 
Докажите, что $\Pi$ -- наложение.
\ез

\задача
Докажите, что $\Pi(D)=0$ $\Leftrightarrow$ $D(P)=0$
для любого полинома $P(t_1, ..., t_n)$.
\ез

\задача
Обозначим за ${\goth m}_x\subset 
C^\infty\R^n$ идеал всех функций,
зануляющихся в $x\in \R^n$. Докажите, что он максимальный.
\ез

\задача
Пусть $\R[[t_1, ..., t_n]]$ -- кольцо формальных
степенных рядов. Докажите, что оно локальное. 
\ез

\задача[!]
Рассмотрим естественное отображение 
\[
C^\infty\R^n\stackrel \Psi \arrow \R[[t_1, ..., t_n]],
\]
из кольца ростков гладких функций в
$\R[[t_1, ..., t_n]]$, переводящее
функцию в ее ряд Тэйлора в нуле.
Обозначим за $\tilde {\goth m}$ максимальный
идеал в $\R[[t_1, ..., t_n]]$.
Докажите, что 
$\Psi^{-1}(\tilde {\goth m}^n)= {\goth m}_0^n$.
\ез

\задача
Пусть $f(x)=0$ и $f'(х)=0$ для какой-то функции
$f\in C^\infty\R^n$. Докажите, что $f\in {\goth m}_x^2$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\замечание
{\бф Аффинная функция} на $\R^n$ есть сумма линейной 
функции и константы. Довольно часто такие функции
тоже называют линейными.
\еза

\задача
Пусть $f\in C^\infty\R^n$. 
Докажите, что для каждого $x\in \R^n$ найдется
аффинная функция $l$ такая, что $f-l\in {\goth m}_x^2$
\ез

\указание 
Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\задача
Пусть есть дифференцирование кольца $C^\infty\R^n$, причем
$D \in \ker \Pi$. Докажите, что для каждой функции
$f\in C^\infty\R^n$, каждого $x\in \R^n$, имеет место
$D(f)\in {\goth m}_x$.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\задача[!]
Докажите, что отображение
\[ 
\Der(C^\infty\R^n) \stackrel \Pi \arrow(C^\infty\R^n)^n
\]
есть изоморфизм.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Найдите нетривиальный элемент
$\gamma\in\Der_\R(C^0\R)$ в пространстве дифференцирований
кольца непрерывных функций, или докажите, что оно пусто
\ез

\задача[*]
Найдите нетривиальный элемент
$\gamma\in\Der_\R(C^1\R)$ в пространстве дифференцирований
кольца функций класса $C^1$, или докажите, что оно пусто
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Пучки модулей}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
{\бф Пучок} ${\cal F}$ на $M$  это набор векторных
пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого
подмножества $U\subset M$, с {\бф отображениями
ограничения} -- гомоморфизмами ${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$,
заданными для каждого $U'\subset U$, и удовлетворяющие
следующим свойствам.
\begin{description}
\item[(а)] Композиция ограничений -- снова ограничение:
если $U_1\subset U_2 \subset U_3$ вложенные открытые
множества, а 
\[
{\cal F}(U_1) \stackrel{\phi_{U_1,U_2}}\arrow {\cal
F}(U_2) \stackrel{\phi_{U_2,U_3}}\arrow {\cal F}(U_3)
\]
соответствующие им отображения ограничений, то 
$\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$.

\item[(б)] Если $U\subset M$ есть объединение
открытых множеств $U_i\subset U$, а ограничение 
$f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то
$f=0$.

\item[(в)]  Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие 
множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$
набор сечений, заданных для каждого элемента
покрытия, и удовлетворяющих условию
\[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},
\]
для любой пары элементов покрытия. Тогда
существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения
$f$ на $U_i$ дает $f_i$.
\end{description}
Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф 
пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}.
Отображение ограничения na $U$ часто обозначается
$f \arrow f\restrict U$
\ео

\замечание
Для пучка функций условия (а) и (б) выполняются автоматически.
\еза

\задача[!]
Докажите, что 
условия (б) и (в) равносильны точности такой
последовательности
\[
0 \arrow {\cal F}(U) \arrow \prod_{i} {\cal F}(U_i)
\arrow \prod_{i\neq j} {\cal F}(U_i\cap U_j) 
\]
для любого набора $\{U_i\}$ открытых подмножеств 
таких, что $U= \bigcup U_i$.
\ез

\задача
Пусть $f, g\in C^\infty M$ -- две функции, которые равны
на открытом множестве $U\subset M$, а $D\in \Der_\R
C^\infty M$ -- дифференцирование. Докажите, что
$D(f)\restrict U = D(g)\restrict U$.
\ез

\определение
Пусть $U\subset V$ -- открытые подмножества в $M$.
Мы пишем $U\Subset V$, если замыкание $U$ содержится в $V$.
\ео

\задача
Пусть $U\Subset V$ -- открытые подмножества в 
гладком многообразии $M$ со счетной базой. Докажите, что
найдется гладкая функция $\Phi_{U,V}\in C^\infty M$, 
равная 1 на $U$ и 0 вне $V$.
\ез

\задача[!]
Пусть $D\in \Der_\R
C^\infty M$ -- дифференцирование, а  $U\Subset V$ --
открытые подмножества $M$. Для $f\in \C^\infty V$, 
определим $D(f)\restrict U$ формулой
$D(f)\restrict U = D(\Phi_{U,V}\cdot f)$.
Докажите, что $D(f)\restrict U$ удовлетворяет
правилу Лейбница, не зависит от выбора $\Phi_{U,V}$,
и продолжается до  корректно определенного дифференцирования
$D\in \Der_\R C^\infty V$
\ез

\задача[!]
Докажите, что $\Der_\R(C^\infty M)$ -- пучок модулей над
$C^\infty M$.
\ез

\определение
{\бф Гомоморфизм пучков} $\psi:\; {\cal F}_1 \arrow {\cal F}_2$
есть набор гомоморфизмов 
\[ \psi_U:\; {\cal F}_1(U) \arrow{\cal F}_2(U),\]
заданных для каждого пространства сечений,
и коммутирующих с ограничениями. {\бф Изоморфизм
пучков} есть гомоморфизм 
$\Psi:\; {\cal F}_1 \arrow {\cal F}_2$, для которого существует
обратный (справа и слева) гомоморфизм 
$\Phi:\; {\cal F}_2 \arrow {\cal F}_1$.
\ео

\задача
Пусть $\psi:\; {\cal F}_1 \arrow {\cal F}_2$ --
гомоморфизм пучков.
\енум
\итем Докажите, что $U \arrow \ker\psi_U$
это снова пучок (он называется 
{\бф ядром гомоморфизма $\psi$}).

\итем[*] Докажите, что $U \arrow \mathop{coker}\psi_U$
это не всегда пучок (приведите контрпример).
\ее
\ез

\определение
{\бф Пространство глобальных сечений} пучка
${\cal F}$ на $M$ это ${\cal F}(M)$.
\ео

\задача[*] 
Постройте ненулевой пучок, 
у которого нулевое пространство глобальных сечений.
\ез

\замечание
Пусть $A:\; \phi \arrow B$ -- гомоморфизм колец, а
$V$ -- $B$-модуль. Тогда на $V$ есть естественная
структура $A$-модуля, $a v:= \phi(a) v$.
\еза

\определение
Пусть ${\cal F}$ есть пучок функций, замкнутый
относительно умножения, а ${\cal B}$ -
пучок на топологическом пространстве $M$.
Он называется {\бф пучком ${\cal F}$-модулей},
если для каждого $U$, пространство сечений
${\cal B}(U)$ наделено структурой ${\cal F}(U)$-модуля, 
причем для каждого $U'\subset U$, отображение ограничения 
${\cal B}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal B}(U')$,
задают гомоморфизм ${\cal F}(U)$-модулей
(воспользуйтесь предыдущим замечанием, чтобы
получить на ${\cal B}(U')$ структуру ${\cal
F}(U)$-модуля).
\ео

\задача
Пусть 
${\cal F}\subset {\cal F}_1$ -- пучок функций и его
подпучок (оба замкнуты относительно операции
умножения, то есть являются пучками колец). 
Докажите, что ${\cal F}_1$ является пучком 
модулей над ${\cal F}$.
\ез

\определение
{\бф Пространство ростков} пучка ${\cal F}$ в точке
$x$ есть предел $\lim\limits_\arrow {\cal F}(U)$,
где $U$ пробегает все окрестности $x$.
\ео

\задача
Докажите, что пространство ростков пучка модулей
над ${\cal F}$ в $x$ есть модуль над кольцом
ростков  ${\cal F}$ в $x$.
\ез

\задача[!]
Пусть ${\cal B}$ есть пучок, все ростки которого
равны нулю. Докажите, что ${\cal B}=0$.
\ез

\задача[*]
Постройте пучок, у которого все ростки ненулевые,
а пространство глобальных сечений нулевое.
\ез

\определение
Пучок модулей ${\cal B}$ над $M$ называется
{\бф глобально порожденным}, если
для любой точки $x\in M$, естественное
отображение ограничения ${\cal B}(M) \arrow {\cal B}_x$
на пространство ростков является наложением.
\ео

\задача[*]
Докажите, что каждый пучок модулей над 
пучком функций $C^\infty(M)$ глобально 
порожден, если $M$ -- многообразие со 
счетной базой.
\ез


\определение
{\бф Тривиальный пучок модулей} ${\cal F}^n$ над пучком
функций ${\cal F}$ сопоставляет каждому $U$ пучок
${\cal F}^n(U)$. 
\ео

\задача
Постройте нетривиальный подпучок модулей в ${\cal F}^n$
для какого-нибудь кольца функций ${\cal F}$.
\ез

\определение
{\бф Локально тривиальный пучок модулей} над пучком
функций ${\cal F}$ это такой пучок ${\cal B}$, что у 
каждой точки $x\in M$ найдется окрестность $U$
такая, что ограничение ${\cal B}\restrict U$ тривиально.
\ео

\задача[!]
Докажите, что пучок $C^\infty M$-модулей
$\Der_\R(C^\infty M)$ локально
тривиален, для любого многообразия $M$.
\ез

\задача Докажите, что $\Der_\R(C^\infty M)$ --
тривиальный пучок для следующих многообразий
\енум
\итем $M=\R$
\итем $M= S^1$ (окружность)
\итем[!] $M=\R^2/\Z^2$ (тор)
\итем[*] $M=S^3$ (трехмерная сфера).
\ее
\ез

\задача[*]
Постройте многообразие, у которого пучок 
$\Der_\R(C^\infty M)$ нетривиален.
\ез


\определение
{\бф Векторное расслоение на окольцованном пространстве}
$(M, {\cal F})$ есть локально тривиальный пучок ${\cal F}$-модулей.
\ео

\определение
Пучок $C^\infty$-модулей 
$\Der_\R(C^\infty M)$ называется {\бф касательным
расслоением} к $M$.
\ео

\задача[!]
Пусть $B$ -- векторное расслоение на многообразии
$(M, C^\infty M)$.
Докажите, что пучок сечений $B$ глобально порожден.
\ез

\задача[*]
Пусть $B_1$, $B_2$ -- два векторных расслоения над $M$
таких, что пространства сечений $B_1(M)$ и
$B_2(M)$ изоморфны как $C^\infty (M)$-модули.
Докажите, что $B_1$ и $B_2$ изоморфны.
\ез


\end{document}