\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0 - 19.02.2010
% version 1.1 - 19.02 local ring example was wrong
% version 1.2 - 20.02 messed up the equivalence relation
% version 1.3 - 20.02, с калединскими исправлениями
% version 1.4 - 05.03, ошибки в нескольких задачах
% version 1.5 - 12.03, определение было задача


\newcommand{\version}{version 1.5,\ \   12.03.2010}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{3}{Анализ 3: Ростки функций.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Прямой предел}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Коммутативная диаграмма} векторных пространств
есть направленный граф (граф со стрелочками), где 
каждой вершине соответствует векторное пространство,
каждой стрелочке линейный гомоморфизм, причем если
из $A$ в $B$ можно придти по стрелочкам двумя
способами, композиции соответствующих стрелочек равны.
\ео

\замечание
Под "окрестностью" $X$ всегда понимается
открытое множество, содержащее $X$.
\еза

\задача
Пусть $(M, {\cal F})$ - пространство, окольцованное пучком функций,
$x\in M$ точка, а $\{U_i\}$ -- множество всех окрестностей 
$x$. Нарисуем диаграмму, где вершины соответствуют
всем $U_i$, а стрелочки из $U_i$ в $U_j$ соответствуют
вложениям $U_j \hookrightarrow U_i$. Докажите, что
пространства сечений ${\cal F}(U_i)$ со стрелочками,
которые соответствуют ограничениям функций, образуют
коммутативную диаграмму.
\ез

\определение
Пусть ${\cal C}$ - коммутативная диаграмма векторных
пространств, $A, B$ - векторные пространства, соответствующие
 двум вершинам диаграммы, а $a\in A, b\in B$ - элементы.
Напишем $a\sim b$, если $a$ и $b$ переводятся
в один и тот же элемент $d\in D$ композицией стрелочек
из ${\cal C}$. Пусть $\sim$ - соотношение эквивалентности,
порожденное такими $a\sim b$.
\ео

\задача
\енум
\итем  $A\stackrel \phi \arrow B$ диаграмма из двух 
пространств, и одной стрелочки. Докажите, что $b\sim b'$
равносильно $b=b'$ для любых $b, b' \in B$.
\итем
Пусть $A\stackrel \phi \arrow B$, $A\arrow 0$ - диаграмма из трех
пространств, и двух стрелочек, одно из которых нулевое,
а $\phi$ - вложение. Докажите, что для каждого $b, b'\in
B$, $b\sim b'$ равносильно $b- b' \in {\rm im} \phi$.
\ее
\ез

\определение
Пусть $\{C_i\}$ - множество пространств, сопоставленных
вершинам коммутативной диаграммы ${\cal C}$,
а $E\subset \bigoplus_i C_i$ - подпространство,
порожденное векторами вида $(x-y)$, где $x\sim y$.
Фактор $\bigoplus_i C_i/E$ называется
{\бф прямым пределом} диаграммы $\{C_i\}$,
и еще {\бф индуктивным пределом}, и еще
{\бф копределом} и {\бф колимитом}, и обозначается
$\lim\limits_\rightarrow$.
\ео

\задача
Пусть дана диаграмма вида $C_1 \arrow C_2 \arrow C_3
\arrow ...$, где все стрелочки инъективны.
Докажите, что $\lim\limits_\rightarrow C_i$ это
объединение всех $C_i$.
\ез

\задача
Пусть дана диаграмма вида $C_1 \arrow C_2 \arrow C_3
\arrow ... \arrow C_n$. Докажите, что
$\lim\limits_\rightarrow C_i= C_n$.
\ез

\задача
Приведите пример диаграммы вида
$C_1 \arrow C_2 \arrow C_3 \arrow ...$
где все пространства $C_i$ ненулевые, а копредел
$\lim\limits_\rightarrow C_i$ нулевой.
\ез

\задача[*]
Приведите пример диаграммы вида
$C_1 \arrow C_2 \arrow C_3 \arrow ...$
где все пространства $C_i$ ненулевые, все морфизмы
тоже ненулевые, а копредел
$\lim\limits_\rightarrow C_i$ нулевой.
\ез

\задача
Пусть ${\cal C}$ коммутативная диаграмма пространств $C_i$, причем
на каждом $C_i$ введена структура кольца, а все стрелки
являются гомоморфизмами. Предположим также, что для
любых двух вершин $C_i, C_j$ диаграммы, найдутся стрелки
диаграммы, ведущие из $C_i, C_j$ в третью вершину $C_k$. Докажите, что 
$\lim\limits_\rightarrow C_i$ -- тоже кольцо.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кольцо ростков пучка функций}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $M, {\cal F}$ - окольцованное пространство,
$x\in M$ точка, а $\{U_i\}$ множество всех ее
окрестностей. Рассмотрим коммутативную диаграмму,
вершины которой пронумерованы $\{U_i\}$, а  стрелочки 
$U_i$ в $U_j$ соответствуют
вложениям $U_j \hookrightarrow U_i$
(в обратном направлении), каждой вершине
$U_i$ соответствует ее пространство сечений
${\cal F}(U_i)$, а стрелочкам - отображения
ограничений. Прямой предел этой диаграммы
называется {\бф пространством ростков
пучка ${\cal F}$ в точке $x$}.
\ео

\замечание
Поскольку гладкие функции, вещественно
аналитические, непрерывные, $C^i$ и так далее - пучки,
кольца ростков гладких, вещественно аналитических и т. д.
функций являются частными случаями вышеописанного.
\еза

\задача
Пусть на многообразии задан пучок
функций, такой, что все его ростки равны нулю.
Докажите, что это нулевой пучок.
\ез

\определение
{\бф Постоянный пучок} $\R_M$ есть пучок функций,
пространство сечений которого на каждом связном
подмножестве $U\subset M$ равно $\R$.
\ео

\задача
Докажите, что кольцо ростков постоянного
пучка в каждой точке равно $\R$.
\ез

\задача[*]
Пусть на многообразии $M$ задан пучок $\R$-значных
функций, такой, что все его ростки изоморфны $\R$.
Докажите, что это постоянный пучок.
\ез

\определение
{\бф Идеал} в кольце $R$ есть такое подмножество $I\subsetneq R$,
что для каждого $x\in R, a\in I$, произведение $xa$ лежит в $I$.
\ео

\замечание
Факторпространство $R/I$ тоже является
кольцом (докажите это).
\еза

\определение
{\бф Максимальный идеал} есть 
такой идеал $I\subset R$, что для любого
другого идеала $I'\supset I$, имеем $I=I'$.
\ео

\задача[!]
Докажите, что любой идеал содержится в максимальном
(воспользуйтесь леммой Цорна).
\ез


\задача[!]
Докажите, что идеал $I\subset R$ максимален тогда и 
только тогда, когда фактор $R/I$ -- поле.
\ез

\задача[*] Найдите все максимальные идеалы
в кольце гладких функций на компактном многообразии.
\ез

\определение
Кольцо называется {\бф локальным}, если у него только один
максимальный идеал.
\ео

\задача
Докажите, что кольцо
рациональных чисел вида $\frac m n$, где
$m, n $ целые, а $n$ нечетно, является локальным. Чему будет равен
его фактор по максимальному идеалу?
\ез

\задача
Пусть $F$ - кольцо рациональных функций
(функций вида $\frac P Q$, где $P$ и $Q$ - полиномы),
не имеющих полюса в нуле.  Докажите, что это
кольцо локально. Найдите фактор по максимальному
идеалу.
\ез

\задача[!]
Являются ли следующие кольца локальными?
\енум
\итем Кольцо ростков гладких функций.
\итем Кольцо ростков полиномиальных функций на $\R^n$
\итем Кольцо ростков функций класса $C^i$, $i>0$.
\итем Кольцо ростков непрерывных функций.
\итем Кольцо ростков вещественно аналитических функций.
\ее
\ез

\задача
Докажите, что кольцо с максимальном идеалом $I$
локально тогда и только тогда, когда 
каждый элемент, не принадлежащий $I$, обратим.
\ез

\определение
{\бф Делители нуля} в кольце есть такие ненулевые элементы
$r_1, r_2$, что произведение $r_1 r_2$ равно нулю.
{\бф Нильпотент} есть элемент $r\in R$ такой
что $r^n=0$ для какого-то $n$. 
\ео

\задача
Определите, если ли в следующих кольцах
делители нуля и нильпотенты.
\енум
\итем Кольцо ростков гладких функций.
\итем Кольцо ростков вещественно аналитических функций.
\итем Кольцо ростков непрерывных функций.
\ее
\ез


\определение
Непрерывная 
функция $f$ на $\R^n$ называется {\бф кусочно полиномиальной},
если $\R^n$ разбито в объединение полиэдров, и на 
каждом из этих полиэдров $f$ полиномиальна.
\ео


\задача[*]
Пусть ${\cal F}$ - пучок кусочно полиномиальных функций на
$\R$, а $R$ - кольцо его ростков над $0$. Докажите, что
$R= \R[t_1, t_2]/(t_1t_2=0)$.
\ез

\задача[!]
Пусть $R$ локальное кольцо, $\goth m$ его максимальный идеал,
а $K(R):= \bigcap_i {\goth m}^i$. Докажите, что это идеал.
Выясните, нулевой ли это идеал для следующих локальных колец.
\енум
\итем Кольцо ростков гладких функций.
\итем Кольцо ростков вещественно аналитических функций.
\итем Кольцо ростков непрерывных функций.
\ее
\ез

\задача[*]
Пусть $R$ - кольцо полиномов над полем,
а $I\subset R$ -- идеал. Докажите,
что $\bigcap_i I^i=0$.
\ез

\задача
Пусть $R$ - кольцо ростков гладких функций в 
точке $x$, а $K(R):=\bigcap_i {\goth m}^i$
идеал, определенный выше. Докажите, что 
для любого элемента $f\in K(R)$, все производные
от $f$ в нуле (любого порядка) равны нулю.
\ез

\задача
Пусть $x_1, ..., x_n$ - координаты на $\R^n$, а
$f$ - функция, все производные которой
в нуле зануляются. Докажите, что частное
$\frac{f}{\left(\sum_i x_i^2\right)^p}$
непрерывно для любого $p>0$.
\ез

\задача[!]
В условиях предыдущей задачи, докажите, что 
функция $\frac{f}{\sum_i x_i^2}$
гладкая.
\ез

\задача[!]
Пусть $R$ - кольцо ростков гладких функций в 
точке $x$, а $K(R):=\bigcap_i {\goth m}^i$
идеал, определенный выше. Докажите, что
$K(R)$ - идеал функций, все производные которых
в нуле равны нулю.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\задача[*] Будет ли кольцо $R/K(R)$ содержать 
делители нуля? Нильпотенты?
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Мягкие пучки}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $(M, {\cal F})$ - топологическое пространство,
окольцованное пучком функций, а $X\subset M$ подмножество
его. Рассмотрим диаграмму, проиндексированную открытыми
подмножествами $U_i\subset M$, содержащими $X$, со стрелочками,
которые соответствуют вложениям $U_j \subset U_i$, и 
повесим над каждым $U_i$ пространство сечений ${\cal F}(U_i)$.
Прямой предел по этой диаграмме называется 
{\бф кольцо ростков ${\cal F}$ в $X$,} и обозначается
${\cal F}(X)$.
\ео

\задача
Докажите, что для любого открытого множества $U\subset M$,
соответствующее пространство ростков над $U$ совпадает с 
пространством сечений ${\cal F}(U)$
\ез

\задача[*]
$(M, C^\infty M)$ - многообразие, окольцованное
пучком гладких функций, а $X\subset M$ - подмножество,
такое, что кольцо ростков $C^\infty M$ в $X$ локально.
Докажите, что $X$ это точка.
\ез

\определение
Пучок функций ${\cal F}$ на $M$ называется {\бф мягким},
если для любого замкнутого подмножества $X\subset M$,
естественное отображение из пространства глобальных
сечений ${\cal F}(M)$ в пространство ростков
${\cal F}(X)$ является наложением.
\ео

\задача
Докажите, что пучок вещественно аналитических функций
не мягкий.
\ез

\задача
Докажите, что пучок полиномиальных функций на
$\R^n$ не мягкий.
\ез

\задача
Докажите, что постоянный пучок на многообразии положительной
размерности не мягкий.
\ез

\задача
Придумайте топологическое пространство $M$ и пучок
функций ${\cal F}$ на нем, такой, что отображение ограничения
из ${\cal F}(M)$ на кольцо ростков ${\cal F}$ в точке всегда 
сюрьективно, но ${\cal F}$ не мягкий.
\ез

\задача[!]
Пусть $M$ - многообразие со счетной базой,
$N\subset M$ - замкнутое подмножество, а $U\supset N$
его окрестность. Докажите, что у $M$ есть
локально конечное покрытие $\{U_i\}$, такое,
что все элементы покрытия, пересекающие $N$,
содержатся в $U$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что пучок гладких функций на многообразии
мягкий.
\ез

\указание
Пусть дана гладкая функция $f$ на $U\supset N$, возьмем
покрытие $\{U_i\}$, $i\in I$ как в предыдущей задаче, и пусть
$\{\psi_i\}$ -- подчиненное ему разбиение единицы, а
$A$ - множество индексов $\alpha \in I$ таких, что
$U_\alpha \cap N \neq 0$. Докажите, что функция
$\sum_{\alpha\in A} \psi_\alpha f$ равна нулю
в окрестности границы $U$ и гладко продолжается
на $M$, и равна $f$ на $N$.
\еу


\задача
Пусть $(M, {\cal F}) \stackrel \phi 
\arrow (M_1,{\cal F}_1)$ - морфизм окольцованных
пространств, $R_m$ - пространство ростков ${\cal F}$ в $m$,
а $R_{\phi(m)}$ - пространство ростков ${\cal F}_1$ в $\phi(m)$.
Для какой-то функции $f\in R_{\phi(m)}$, определенной
на окрестности $U\supset \phi(m)$, рассмотрим
ее прообраз $\phi \circ f$, определенный на $\phi^{-1}(U)$.
Докажите, что $f\arrow \phi \circ f$ задает гомоморфизм
колец из $R_m$ в $R_{\phi(m)}$.
\ез

\определение
Этот гомоморфизм называется 
{\бф гомоморфизмом ростков, индуцированным $\phi$}.
\ео

\задача[*]
Пусть $M, M_1$ многообразия, а $\phi:\; M \arrow M_1$
непрерывное отображение, которое индуцирует гомоморфизм
на ростках непрерывных функций, переводящий ростки 
гладких функций в ростки гладких функций.
Докажите, что $\phi$ гладкое.
\ез


\задача[!]
Пусть  $M, M_1$ многообразия, а $\phi:\; M \arrow M_1$
непрерывное отображение, такое, что $\phi \circ f$ 
гладко на $M$ для любой $f\in C^{\infty} M_1$.
Докажите, что $\phi$ гладкое.
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Нормальные пространства}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Топологическое пространство $M$ {\бф нормально},
если у любых непересекающихся, замкнутых подмножеств
$X, Y \subset M$, найдутся непересекающиеся окрестности
$U\supset X$, $V \supset Y$.
\ео

\задача
Докажите, что любое метрическое пространство нормально.
\ез

\задача
Докажите, что любое компактное, хаусдорфово
топологическое пространство нормально.
\ез


\задача[*]
Докажите, что любое 
локально компактное, хаусдорфово пространство со счетной базой 
нормально.\footnote{Из этого следует, что любое многообразие 
со счетной базой нормально.}
\ез

\задача[*] 
Пусть $M$ - нормальное топологическое пространство.
Докажите, что пучок непрерывных функций на $M$ мягкий.
\ез

\задача[!]
Пусть $M$ - нормальное гладкое многообразие.
Докажите, что для любых двух непересекающихся
замкнутых подмножеств $X, Y \subset M$
найдется гладкая функция на $M$, которая равна
1 на $X$ и 0 на $Y$.
\ез

\end{document}

