\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.0, 12.02.2010 - started the file
% version 1.1, 20.02.2010 - a problem about non-Lipshitz
%                           maps fixed
% version 1.2, 27.02.2010, вложение бутылки Клейна трудно
% version 1.3, 19.03.2010, вложение многообразий поправил
% version 2.0, 04.04.2010, очепятки от Ананьина

\newcommand{\version}{version 2.0,\ \   04.04.2010}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{2}{Анализ 2: Размерность Хаусдорфа и теорема Уитни.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Размерность Хаусдорфа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $M$ -- метрическое пространство. {\бф Диаметр}
$\diam(M)\in [0, \infty]$ есть число $\sup_{x,y\in M} d(x,y)$
\ео

\определение
{\бф Шаром} с центром в $x$ радиуса $\epsilon$
в метрическом пространстве называется множество
$B_\epsilon(x)$ всех точек $y$ с $d(x,y)<\epsilon$.
\ео

\задача
Чему может быть равен диаметр шара радиуса $\epsilon$
в метрическом пространстве?
\ез

\задача
Пусть $M$ -- метрическое пространство, $\epsilon >0$.
Докажите, что у $M$ есть покрытие, состоящее
из шаров диаметра $\leq \epsilon$.
\ез


\определение
Пусть $\{S_i\}$ -- покрытие пространства $M$,
состоящее из шаров радиуса $r$ с $r < \epsilon$.
Определим $\mu_{d, \epsilon} \in [0, \infty]$ как
\[
\mu_{d, \epsilon}:= \inf_{\{S_i\}} \sum_i (\diam S_i)^d
\]
где инфимум берется по всем таким покрытиям.
Предел
\[ \mu_d(M):= \sup \lim_{\epsilon \arrow 0}\mu_{d,
   \epsilon}(M)
\]
называется {\бф $d$-мерной мерой Хаусдорфа} 
пространства $M$.
\ео

\задача
\label{_Hausdorff_computed_easiest_Zadacha_}
Пусть метрика в $M = \R^n$ определена нормой
$|(x_1, ..., x_n)|= \max |x_i|$.
Докажите, что $n$-мерная мера Хаусдорфа
полиэдра равна его объему (в обычном смысле).
\ез

\задача[*]
Пусть метрика в $M = \R^n$ определена нормой
$|(x_1, ..., x_n)|= \sum |x_i|$.
Докажите, что $n$-мерная мера Хаусдорфа
полиэдра пропорциональна его объему.
Вычислите коэффициент пропорциональности.
\ез

\задача[*]
Пусть в $M = \R^n$ задана евклидова метрика.
Докажите, что $n$-мерная мера Хаусдорфа
полиэдра пропорциональна его объему.
Вычислите коэффициент пропорциональности.
\ез

\определение
Отображение $f:\; M \arrow N$ метрических пространств
называется {\бф липшицевым}, с константой $C$, если 
$d(x, y) \geq C d(f(x), f(y))$, для заданного числа $C>0$.
Отображение называется {\бф билипшицевым}, если оно
биективно, и обратное отображение тоже липшицево
(с какой-то константой).
\ео

\задача
Докажите, что любое липшицево отображение непрерывно.
\ез

\задача[*]
Приведите пример непрерывного отображения компактных
метрических пространств, которое не липшицево.
\ез

\задача
Пусть $d_1$, $d_1$ -- нормы на векторном пространстве $V$.
Обозначим той же буквой соответствующие метрики.
Докажите, что тождественное отображение
$\Id_M:\; (V, d_1)\arrow (V, d_2)$
является липшицевым тогда и только тогда,
когда единичный шар с центром в 0 ограничен
в норме, заданной $d_2$.
\ез

\задача[*]
Пусть $M= \R^n$, $d_1$ и $d_2$ какие-то нормы на $M$.
Докажите, что тождественное отображение 
$\Id_M:\; (M, d_1)\arrow (M, d_2)$
билипшицево.
\ез

\задача[!]
Пусть $U\subset \R^n$ -- открытое, ограниченное
 подмножество, а 
$\Phi:\; U \arrow \R^m$ гладкое отображение,
гладко продолжающееся на границу $\partial U$. Докажите,
что $\Phi$ липшицево.
\ез

\задача
Пусть $M \stackrel f\arrow N$ липшицево отображение
метрических пространств, с константой $C$.
Докажите, что $\mu_d(M) \geq C^d \mu_d(f(M))$,
где $\mu_d$ есть $d$-мерная мера Хаусдорфа.
\ез

\задача[!]
Пусть $\mu_d(M) < \infty$. Докажите, что $\mu_{d'}(M)=0$
для любого $d' >d$.
\ез

\указание
Из $\diam S_i <\epsilon$
выведите неравенство
\begin{equation}\label{_Hausdorff_inequa_Equation_}
\mu_{d', \epsilon}=\inf_{\{S_i\}} \sum_i (\diam S_i)^{d'}
\leq  \epsilon^{d'-d} \inf_{\{S_i\}} \sum_i (\diam S_i)^{d} =
 \epsilon^{d'-d} \mu_{d, \epsilon}
\end{equation}
и перейдите к пределу при $\epsilon \arrow 0$.
\еу

\задача[!]
Пусть $\mu_{d'}(M) = \infty$. Докажите, что $\mu_{d}(M)= \infty$
для любого $d <d'$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь неравенством
\eqref{_Hausdorff_inequa_Equation_},
и перейдите к пределу при $\epsilon \arrow 0$.
\еу

\определение
Пусть $M$ -- метрическое пространство.
{\бф Размерность Хаусдорфа} $\dim_H M \in [0, \infty]$ 
есть супремум всех $d$ таких, что $\mu_{d}(M)= \infty$.
\ео

\задача
Найдите размерность Хаусдорфа конечного множества.
\ез

\задача
Пусть $f:\; M \arrow N$ -- липшицево отображение.
Докажите, что $f$ не увеличивает размерность Хаусдорфа:
$\dim_H(M)\geq \dim_H(f(M))$.
\ез

\задача
Докажите, что при билипшицевом отображении,
размерность Хаусдорва не меняется ("размерность Хаусдорфа
является билипшицевым инвариантом").
\ез

\задача[*]
Найдите размерность Хаусдорфа канторова множества
$K \subset [0,1]$.
\ез

\определение
Подмножество $Z\subset \R^n$ {\бф имеет нулевую меру},
если для каждого $\epsilon$ 
существует счетное покрытие $\Z$ шарами $U_i$,
с $\sum_i \Vol(U_i) <\epsilon$.
\ео

\задача
Докажите, что счетное объединение множеств
меры нуль имеет меру нуль.
\ез

\задача
Докажите, что при липшицевом отображении $\R^n \arrow
\R^n$ образ множества нулевой меры
тоже имеет меру нуль.
\ез

\задача[!]
Докажите, что при гладком отображении $\R^n \arrow \R^n$
образ множества нулевой меры тоже имеет меру нуль.
\ез

\задача[!]
Приведите пример непрерывного отображения
из $\R^n$ в $\R^n$, которое переводит
подмножество меры нуль в подмножество
ненулевой меры.
\ез

\задача[!]
Пусть $M\subset \R^d$ подмножество, такое,
что $\dim_H M <d$. Докажите, что $M$
имеет меру нуль.
\ез


\определение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие, с атласом
$\{U_i, \phi_i:\; U_i \tilde \arrow \R^n\}$.
Подмножество $Z\subset M$ {\бф имеет меру нуль},
если образ $\phi_i(Z\cap U_i)$ имеет меру нуль в $\R^n$,
для каждого $i$. 
\ео

\задача
Докажите, что это определение не зависит от выбора атласа
на $M$. 
\ез

\задача
Пусть $M \stackrel f\arrow \R^n$ -- гладкое отображение 
многообразий, а $M$ -- объединение счетного набора
компактных подмножеств.
Докажите, что $\dim_H(f(M))\leq \dim M$
\ез

\указание
Сначала докажите, что на компактных подмножествах,$f$
липшицево, а затем воспользуйтесь тем, что липшицевы
отображения удовлетворяют $\dim_H(f(M))\leq \dim M$.
\еу

\задача[!]
Пусть $M \stackrel f\arrow N$ -- гладкое отображение 
многообразий, причем $\dim M < \dim N$.
Докажите, что образ $M$ имеет меру нуль.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\замечание
Эта теорема является частным случаем
теоремы Сарда, которая утверждает, что
множество критических значений гладкого
отображения имеет меру нуль.
\еза

\задача[**]
Выведите из предыдущей задачи теорему Сарда.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Уитни (с ограничением на размерность)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $M\stackrel f \arrow N$ -- гладкое отображение
многообразий. Оно называется {\бф иммерсией}, если 
в локальных координатах дифференциал ${\cal D}f$ является
вложением.
\ео

\определение
{\бф Бутылка Клейна}
есть фактор двумерного тора 
$T^2 = S^1 \times S^1$ по 
действию группы $\Z/ 2 \Z$,
отображающей $(t_1, t_2)$ в $(t_1 + \pi, -t_2)$.
\ео

\задача
Докажите, что это действие свободно, и фактор
является многообразием.
\ез

\задача
Постройте иммерсию из бутылки Клейна в $\R^3$.
\ез

\задача[!]
Пусть $M\stackrel f\arrow N$ -- гладкое отображение
многообразий, причем образ замкнутого
в $M$ множества замкнут в $N$. Докажите, что $f$ является
гладким вложением тогда и только тогда,
когда оно инъективно и является иммерсией.
\ез

\указание
Воспользуйтесь теоремой об обратной функции
\еу

\определение
Пусть $M \hookrightarrow \R^n$ -- вложенное
гладкое $m$-мерное 
подмногообразие. {\бф Касательная плоскость}
к точке $p \in M$ есть плоскость в $\R^n$,
касательная к $M$ (то есть лежащая в образе
дифференциала соответствующего отображения,
заданного в локальных координатах), а 
{\бф касательный вектор} есть любой вектор,
лежащий в этой плоскости, с началом в $p$.
Пространство касательных векторов в $p$
обозначается $T_p M$.
Если на $\R^n$ задана евклидова метрика, можно
определить {\бф пространство единичных
касательных векторов} $S^{m-1}M$ как множество пар
$(p \in M, v\in T_p M)$, где $v$ -- касательный
вектор, удовлетворяющий $|v|=1$.
\ео

\задача
Докажите, что $S^{m-1}M$  это многообразие,
а естественная проекция $S^{m-1}M \arrow M$ -- гладкое
отображение со слоем $S^{m-1}$.
\ез

\замечание
$S^{m-1}M$ называется {\бф расслоение единичных
касательных сфер} над $M$.
\еза

\задача[*]
Докажите, что $S^{m-1}M$ не зависит от вложения
$M \hookrightarrow \R^n$, то есть для двух разных
вложений из $M$ в $\R^n $ и $\R^{n'}$,
соответствующие им многообразия $S^{m-1}M$ 
диффеоморфны.
\ез

\задача[!]
Пусть $M \stackrel \phi \hookrightarrow\R^n$ -- вложенное
в $\R^n$ многообразие размерности $m$, 
$\lambda \in \R P^{n-1}$ прямая в $\R^n$,
а $P_\lambda:\; \R^n\arrow \R^{n-1}$ -- проекция
на фактор $\R^n/\lambda\cong\R^{n-1}$.
\енум 
\итем Пусть $\Delta \subset M\times M$ это диагональ.
Определим отображение 
$M\times M \backslash \Delta \stackrel B\arrow \R P^{n-1}$,
переводящее пару точек $(x, y)\in M\times M$
в прямую, проходящую через $\phi(x)-\phi(y)$.
Докажите, что $\phi \circ P_\lambda:\; M \arrow \R^{n-1}$
инъекция тогда и только тогда, когда $\lambda$ не
лежит в образе $B$.

\итем Определим отображение
$S^{m-1}M \stackrel {B_0}\arrow \R P^{n-1}$, переводящее
касательный вектор в соответствующую прямую.
Докажите, что $\phi \circ P_\lambda:\; M \arrow \R^{n-1}$
иммерсия тогда и только тогда, когда $\lambda$
не лежит в образе $B_0$.
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть $M\stackrel \phi \hookrightarrow \R^n$ вложенное подмногообразие
размерности $m$, $n > 2m +2$. Докажите, что существует проекция
$\R^n\stackrel P \arrow \R^{2m+2}$ такая, что
$\phi \circ P:\; M \arrow \R^{2m+2}$ -- гладкое вложение.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь тем, что 
образы отображений $B_0$ и $B$ из предыдущей
задачи имеют меру нуль, и примените 
индукцию по $n$.
\еу

\задача
В условиях предыдущей задачи, докажите, что  существует проекция
$\R^n\stackrel P \arrow \R^{2m+1}$ такая, что
$\phi \circ P:\; M \arrow \R^{2m+1}$ -- иммерсия.
\ез

\задача
Всегда ли существует гладкое вложение $n$-мерного
многообразия в $\R^{2n-1}$?
\ез

\задача[**] Можно ли построить иммерсию проективного
пространства $\C P^2$ в $\R^5$?
\ез

\задача
Пусть $M$ -- компактное, хаусдорфово 
многообразие размерности $n$.
Докажите, что $M$ допускает гладкое,
замкнутое вложение в $\R^{2n+2}$.
\ез

\замечание
Уитни доказал, 
что любое хаусдорфово $m$-мерное многообразие 
со счетной базой топологии допускает
замкнутое вложение в $\R^{2m}$.
Это утверждение называется 
"сильная теорема Уитни".
\еза


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Уитни (для некомпактных многообразий)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть ${\cal P}$ -- пространство вложений $\R^m \arrow
\R^{2m+2}$, с естественной топологией. Докажите,
что это многообразие. Постройте на нем гладкую
структуру.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- многообразие со счетной базой топологии.
\енум 
\итем Докажите, что $M$ является объединением
последовательности вложенных компактных множеств.
\итем Докажите, что  $M$ допускает разбиение единицы. 
\ее
\ез

\задача
Пусть $M$ -- $n$-мерное многообразие,
$\{U_i, \phi_i:\; U_i \tilde \arrow \R^n\}$ -- локально
конечный атлас,
а $f_i\; U_i \arrow [0,1]$ -- соответствующее разбиение
единицы. Рассмотрим отображение 
$\Psi_i:\; M \arrow \R^{m+1}$, построенное
как в предыдущем листочке:
\[
 \Psi_i(p) := \begin{cases} \text{$\Psi_i(p) =\bigg(f_i(p)\phi_i(p), f_i(p)\bigg)$, если $p \in U_i$}\\
              \text{$\Psi_i(p) =(0, ..., 0)$ если $p\notin U_i$}
\end{cases}
\]
Пусть $A_i\in {\cal P}$ -- вложения $\R^m \arrow
\R^{2m+2}$, параметризованные тем же набором индексов.
Рассмотрим отображение $\Psi_A:\; M \arrow \R^{2m+2}$,
$\Psi_A(p) = \sum A_i(\Psi_i(p))$.
Докажите, что это отображение корректно определено.
Докажите, что его можно получить как композицию
вложения $\bigoplus_i \Psi_i:\; M \arrow \R^\infty$
и линейной проекции $\R^\infty\arrow \R^{2m+2}$.
\ез

\задача[*]
\label{_M_0_Whitney_Zadacha_}
В условиях предыдущей задачи, пусть
$M_0\subset M$ -- компактное подмножество,
а $\bigcup_{i\in I} U_i \supset M_0$
соответствующее конечное подпокрытие в $\{U_i\}$,
из $k$ элементов. Докажите, что существует подмножество
$Z_I \subset {\cal P}^k$ меры нуль, такое, что 
для всех наборов  $\{A_i, i \in I\}\in {\cal P}^k$, не лежащих
в $Z_I$, соответствующее отображение
$\Psi_A:\; M_0 \arrow \R^{2m +2}$ -- гладкое вложение.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь доказательством
теоремы Уитни, приведенным в предыдущей секции для
компактных $M$.
\еу

\задача[*]
Обозначим за ${\cal P}^\infty$ произведение 
${\cal P}$, проиндексированное тем же семейством 
индексов, что индексирует атлас $\{U_i\}$.
Рассмотрим ${\cal P}^\infty$ с мерой Лебега
произведения. Докажите, что множество $Z$ всех
$\{A_i\}\in {\cal P}$ таких, что
$\Psi_A$ не вложение, имеет меру нуль
в ${\cal P}^\infty$.
\ез

\указание
По построению, $Z$ есть объединение прообразов 
множеств $Z_I\subset {\cal P}^k$, построенных в задаче
\ref{_M_0_Whitney_Zadacha_}, при стандартной проекции
${\cal P}^\infty\stackrel{\Pi_I}\arrow {\cal P}^k$.
Каждый из таких прообразов имеет меру нуль, значит,
$Z$ имеет меру нуль как объединение множеств меры нуль.
\еу




\end{document}