\documentclass[10pt]{article} %\usepackage[UglyObsolete]{diagrams} \input{listki.tex} \newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}} \newcommand{\coker}{\operatorname{\sf coker}} \renewcommand{\ker}{\operatorname{\sf ker}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \def\6{\partial} % version 1.0 --- 07.05.2010 (начал файл) \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 07.05.2010} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{12}{Анализ 12: Компактные операторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Слабая сходимость и сильная сходимость} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Последовательность $\{x_i\}$ в гильбертовом пространстве $H$ называется {\бф слабо сходящейся}, если для любого непрерывного функционала $\mu\in H^*$, последовательность $\mu(x_i)\in \C$ сходится. Обычную сходимость последовательности называют {\бф сильной сходимостью}. Топологию, которая индуцирует слабую сходимость, называют {\бф слабой топологией}. \ео \задача Приведите пример последовательности, которая сходится в слабой топологии, но не в сильной. \ез \задача[*] Существует ли линейное отображение гильбертовых пространств $H\arrow H_1$, которое не непрерывно в слабой топологии? \ез \задача[!] Пусть $H$ -- гильбертово пространство. Докажите, что единичный шар в $H$ компактен в слабой топологии. \ез \указание Воспользуйтесь теоремой Тихонова о компактности $[-1,1]^{\Bbb N}$ в топологии поточечной сходимости. \еу \определение Напомним, что {\бф предкомпактное множество} есть множество, замыкание которого компактно, а {\бф компактный оператор} есть непрерывный оператор, переводящий ограниченные множества в предкомпактные. \ео \задача Пусть непрерывный оператор $H\arrow H_1$ на гильбертовых пространствах переводит любую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. Докажите, что он компактен. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $\{x_i\}$ -- последовательность, которая слабо сходится к $x$, а $A$ -- непрерывный оператор. Докажите, что $\{A(x_i)\}$ слабо сходится к $A(x)$. \ез \задача[!] Докажите, что ограниченный оператор $H\arrow H_1$ компактен тогда и только тогда, когда он переводит любую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Компактные операторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $K$ компактный оператор, $A$ непрерывный. Докажите, что $AK$ и $KA$ компактны. \ез \определение {\бф Конечномерный оператор} есть оператор, образ которого конечномерен. \ео \задача Докажите, что конечномерный оператор компактен. \ез \задача Постройте компактный оператор, который не конечномерен. \ез \задача Определим {\бф операторную норму} формулой \[ \|A\|:= \sup_{x\neq 0} \frac{|A(x)|}{|x|}. \] Докажите, что для непрерывного оператора $A$, его норма меньше $\infty$. Докажите, что $\|\cdot\|$ задает норму на пространстве компактных операторов. \ез \задача[!] Рассмотрим топологию на пространстве операторов, заданную операторной нормой $\|\cdot\|$, и пусть $A$ -- оператор, лежащий в замыкании пространства конечномерных операторов. Докажите, что $A$ компактен. \ез \указание Докажите, что $A$ переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. \еу \задача[*] Докажите, что пространство компактных операторов замкнуто в операторной норме. \ез \задача Пусть $K$ -- компактный оператор на гильбертовом пространстве, а $T$ -- ортогональное дополнение к $\ker(1-K)$. Докажите, что существует $C>0$ такое, что $\frac{|x-K(x)|}{|x|} >C$, для любого ненулевого $x\in T$. \ез \указание Если $\frac{|x_i-K(x_i)|}{|x_i|}$ стремится к нулю для какой-то последовательности единичных векторов $\{x_i\}$, выберем из нее подпоследовательность, для которой $K(x_i)$ сходится к $x$, получим, что $\frac{|x_i-x|}{|x_i|}$ стремится к нулю. Выведите из этого, что $|x_i-x|$ стремится к нулю, то есть $\{x_i-K(x_i)\}$ сходится к нулю в сильной топологии. \еу \задача Пусть $K$ -- компактный оператор на гильбертовом пространстве $H$, а $\{x_i\}$ -- последовательность, такая, что $\{x_i - K(x_i)\}$ сходится к $z$ в сильной топологии. Пусть $T$ -- ортогональное дополнение к $\ker(1-K)$, а $\Pi:\; H \arrow T$ -- ортогональная проекция. \енум \итем Докажите, что последовательность $\{\Pi(x_i)\}$ ограничена. \итем Пусть $\{x_i\}$ ограничена. Докажите, что $z\in \im(1-K)$. \ее \ез \указание Для первой части, воспользуйтесь предыдущей задачей. Для второй части, замените $\{x_i\}$ на подпоследовательность, такую, что $K(x_i)$ сходится к $y$, и убедитесь, что $\{x_i\}$ сходится к $z+y$. \еу \задача[!]\label{_1-K_im_closed_Zadacha_} Пусть $K$ -- компактный оператор. Докажите, что образ $1-K$ замкнут. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Обратимые операторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача[!] Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ --- компактный оператор, $H_2$ бесконечномерно. Докажите, что $F$ не сюрьективен. \ез \указание Рассмотрим отображение проективных пространств \[ {\Bbb P}(H_1/\ker F) \stackrel \Psi \arrow {\Bbb P}H_2,\] индуцированное $F$. Докажите, что образ $\Psi$ совпадает с проективизацией $F(R)$, где $R=\{ x\in H_1:\ \ | \ \ 1\leq |x|\leq 2\}$, а значит компактен. Воспользуйтесь теоремой Рисса, чтобы убедиться, что ${\Bbb P}H_2$ не может быть компактен. \еу \задача[!] Пусть $F:\; H_1 \arrow H_2$ биективный ограниченный оператор на гильбертовых пространствах. Докажите, что обратный оператор тоже ограничен. \ез \указание В предположении, что не существует $C>0$ такого, что $|F(x)| \geq C|x|$, постройте подпространство $H_1'\subset H_1$, в ограничении на которое $F$ компактен. Воспользовавшись предыдущей задачей, докажите, что $F$ не может отображаться сюрьективно на замыкание $F(H_1')$. \еу \задача[!] Пусть $F:\; H_1 \arrow H_2$ ограниченный оператор на гильбертовых пространствах. Докажите, что следующие условия равносильны. \begin{description} \item[(i)] Существует оператор $F':\; H_2 \arrow H_1$, такой, что $FF'= \Id_{H_1}$ (в таком случае, $F$ называется {\бф обратимым слева}). \item[(ii)] существует число $C>0$ такое, что $|F(x)| \geq C|x|$, для любого $x\in H_1$. \item[(iii)] $\ker F=0$, а $\im F$ замкнут. \end{description} \ез \указание Импликация (i) $\Rightarrow$ (ii) очевидна из определений (в качестве $C$ возьмем норму $F'$). Импликация (ii) $\Rightarrow$ (iii) тоже очевидна, ибо из $|F(x)| \geq C|x|$ следует, что для любой последовательности Коши вида $\{F(z_i)\}$, $z_i\in H_1$, $\{z_i\}$ -- тоже последовательность Коши. Импликация (iii) $\Rightarrow$ (i), следует из предыдущей задачи. \еу \задача[!]\label{_gomeomo_bie_Zadacha_} Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ --- ограниченное, биективное отображение гильбертовых пространств. Докажите, что $F$ --- гомеоморфизм. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Фредгольмовы операторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Ограниченный оператор $F:\; H_1\arrow H_2$ на гильбертовых пространствах называется {\бф фредгольмовым} (Fredholm), если его образ замкнут, а ядро и коядро конечномерны. \ео \задача Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ --- фредгольмов оператор. Докажите, что он индуцирует гомеоморфизм из $H_1/\ker F$ в $\im F$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_gomeomo_bie_Zadacha_}. \еу \задача\label{_Fredho_invertible_Zadacha_} Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ --- фредгольмов оператор. Докажите, что существует фредгольмов оператор $F_1:\; H_2\arrow H_1$ такой, что оператор $\Id_{H_1}- FF_1$ конечномерен (имеет конечномерный образ). \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей \еу \замечание Из этого утверждения следует, в частности, что $\Id_{H_1}-FF_1$ компактен. \еза \определение Назовем линейную форму $\lambda:\; H \arrow \R$ на гильбертовом пространствве {\бф ограниченной}, если существует $C>0$ такое, что $|\lambda(x)| < C |x|$. \ео \задача Пусть $H$ --- гильбертово пространство, $H^*$ --- пространство ограниченных форм на $H$, а $x\arrow (\cdot, x)$ естественное отображение из $H$ в $H^*$, переводящее $x$ в форму $y\mapsto (y,x)$. Докажите, что это изоморфизм. \ез \задача\label{_Soprya_Zadacha_} Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ --- ограниченный оператор, а $F^*:\; H_2\arrow H_1$ --- оператор, переводящий $x\in H_2$ в вектор $y\in H_1$, который удовлетворяет \[ (x, F(h)) = (y, h) \] для любого $h\in H_1$. \енум \итем Докажите, что это уравнение определяет $F^*$ однозначно. \итем Докажите, что такой оператор $F^*$ всегда существует. \итем Докажите, что $F^*$ --- ограниченный оператор. \итем Докажите, что $F$ фредгольмов тогда и только тогда, когда $F^*$ фредгольмов. \итем Докажите, что $F$ компактен тогда и только тогда, когда $F^*$ компактен. \ее\ез \указание Для того, чтобы доказать существование сопряженного оператора, воспользуйтесь предыдущей задачей \еу \замечание В этих условиях, $F^*$ называется {\бф сопряженным оператором} к $F$. \еза \задача\label{_ker_F^*_Zadacha_} Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$ --- ограниченный оператор, $F^*$ --- его сопряженный. Докажите, что $\ker F^* = H_2/\overline{\im F}$, где $\overline{\im F}$ --- замыкание образа $F$. \ез \задача[!]\label{_compo_fredho_Zadacha_} Пусть $F:\; H_1\arrow H_2$, $G:\; H_2\arrow H_3$ - ограниченные операторы. \енум \итем Докажите, что $GF$ фредгольмов, если $F$ и $G$ фредгольмовы. \итем Пусть $GF$ и $FG$ фредгольмовы. Докажите, что $F$ и $G$ оба фредгольмовы. \ее\ез \задача Пусть $GF$ фредгольмов. Верно ли, что $F$ и $G$ фредгольмовы? \ез \замечание Для упрощения обозначений, отныне мы будем рассматривать только фредгольмовы операторы, действующие из пространства $H$ в себя. \еза \задача[!]\label{_Id+K_Fredholm_Zadacha_} Пусть $K:\; H \arrow H$ --- компактный оператор. Докажите, что $\Id_H+K$ фредгольмов. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_1-K_im_closed_Zadacha_}, чтобы убедиться, что образ $1+K$ замкнут. Для конечномерности $\ker(1+K)$, примените теорему Рисса. Для конечномерности $\coker(1+K)$, воспользуйтесь компактностью $K^*$, и примените \ref{_ker_F^*_Zadacha_}. \еу \определение {\бф Двусторонний идеал} в алгебре $A$ это такое подпространство $I\subset A$, что $aI\subset I$ и $Ia\subset I$ для всех $a\in A$. Факторпространство $A/I$ по двустороннему идеалу наделено естественной структурой алгебры. \ео \задача Пусть $\cal C$ --- алгебра ограниченных операторов на гильбертовом пространстве $H$, а ${\cal K}\subset{\cal C}$ --- пространство всех компактных операторов. Докажите, что $\cal K$ --- двусторонний идеал. \ез \определение Факторалгебра ${\cal C}/{\cal K}$ называется {\бф алгеброй Калкина} гильбертова пространства $H$ (Calkin). \ео \задача[*] Докажите, что алгебра Калкина проста (не содержит нетривиальных двусторонних идеалов). \ез \задача[!] Пусть $F:\; H \arrow H$ --- ограниченный оператор. Докажите, что $F$ фредгольмов тогда и только тогда, когда его класс $[F]$ в алгебре Калкина обратим.\footnote{Это значит, что существует $G_1, G_2:\; H \arrow H$, что $FG_1-1$ и $G_2F-1$ компактны.} \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_Fredho_invertible_Zadacha_} и задачей \ref{_compo_fredho_Zadacha_}. \еу \определение Напомним, что {\бф обратимым оператором} на гильбертовом пространстве называется ограниченный оператор $F\in \End(H)$ такой, что существует ограниченный оператор $F_1:\; H \arrow H$, причем $FF_1 = F_1F =\Id_H$. \ео \задача[*] Пусть $F:\; H \arrow H$ --- фредгольмов оператор, $[F]$ --- его класс в алгебре Калкина. Всегда ли у $[F]$ существует представитель $F'$, который обратим? \ез \указание {\бф Индексом} фредгольмова оператора $F$ называется число \[ \dim \ker F-\dim \coker F.\] Докажите, что индекс $F'$ не зависит от выбора представителя в классе $[F]$. \еу \задача[!] \label{_Fredho_otkryto_Zadacha_} Пусть оператор $F:\; H \arrow H$ фредгольмов. Докажите, что существует $\epsilon>0$ такое, что для любого оператора $G\in \End(H)$, удовлетворяющего $|G-F|<\epsilon$, оператор $G$ также фредгольмов. \ез \указание Проверьте это для случая тождественного $F$, записав \[ (Id_H+G_1)^{-1} = Id_H- G_1 + G_1^2 - G_1^3 + ... \] где $G_1= G-F$. Затем воспользуйтесь тем, что \[ GF_1 = \Id_H + G_1 F + G_1 K \] где $F_1$ --- оператор, удовлетворяющий $FF_1 = \Id_H + K$. \еу \задача[*] Пусть ${\cal C}$ --- алгебра всех ограниченных операторов на гильбертовом пространстве, а ${\cal F}\subset {\cal C}$ --- множество всех фредгольмовых операторов. Из предыдущей задачи следует, что ${\cal F}$ открыто, в топологии, заданной нормой. Найдите все связные компоненты ${\cal F}$. \ез \указание Попробуйте доказать, что множество фредгольмовых операторов с фиксированным индексом связно. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Спектральная теорема} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $F:\; H\arrow H$ --- ограниченный оператор на гильбертовом пространстве. {\бф Спектром} $F$ называется множество $\Spec F\subset \C$ всех чисел $\lambda\in \C$ таких, что оператор $F-\lambda\Id_H$ не обратим. \ео \задача Пусть $F:\; H\arrow H$ --- ограниченный оператор, $\lambda\in \C$ число. Докажите, что следующие условия равносильны. \begin{description} \item[(i)] $\lambda\notin \Spec F$ \item[(ii)] Ядро $F-\lambda\Id_H$ пусто, a образ $F-\lambda\Id H$ совпадает с $H$ \end{description} \ез \задача[!] Пусть $F:\; H\arrow H$ --- ограниченный оператор, а $\lambda\in \C$ число, не лежащее в его спектре. Докажите, что существует $C>0$ такое, что $|F(x)-\lambda x|> C |x|$, для любого $x\in H$. \ез \задача[!] Докажите, что $\Spec F$ замкнут в $\C$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_Fredho_otkryto_Zadacha_}. \eu \задача[!] Докажите, что $\Spec F$ ограничен (содержится в круге). \ез \задача[*] Постройте оператор, спектр которого --- это замкнутый круг. \ез \задача[!]\label{_finite_dim_eigensp_Zadacha_} \label{_eigenspa_compa_Zadacha_} Пусть $K:\; H\arrow H$ компактен, $\lambda\in \Spec K$, $\lambda\neq 0$. Докажите, что пространство $H_{\lambda,n}:=\ker(K-\lambda \Id_H)^n$ непусто и конечномерно, для любого целого $n$, причем его размерность ограничена константой $\operatorname{mult}(\lambda)$, не зависящей от $n$. Докажите, что $K(H_{\lambda,n})\subset H_{\lambda,n}$. \ез \указание Воспользуйтесь тем, что $K-\lambda \Id_H$ фредгольмов. \еу \задача Пусть $\epsilon$ --- положительное вещественное число, а $K$ --- компактный оператор. Докажите, что множество $\{ \lambda\in \Spec K\ \ \ | \ \ |\lambda| > \epsilon\}$ конечно. \ез \указание Воспользуйтесь теоремой Рисса. \еу \замечание Согласно предыдущей задаче, спектр компактного оператора счетен и не имеет предельных точек, кроме нуля. Согласно задаче \ref{_eigenspa_compa_Zadacha_}, каждое ненулевое число $\alpha\in \Spec K$ является собственным значением $K$. Эти утверждения в совокупности называют "спектральной теоремой для компактных операторов". \еза \задача[*] Постройте инъективный компактный оператор $K:\; H \arrow H$ с нулевым спектром. Может ли образ $K$ быть плотен в $H$? \ез \задача Пусть $K$ -- инъективный оператор на гильбертовом пространстве, квадрат которого компактен. Верно ли, что $K$ тоже компактен? \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Самосопряженные компактные операторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Оператор $A:\; H \arrow H$ на гильбертовом пространстве называется {\бф самосопряженным}, если $(Ax,y)= (x, Ay)$ для любых $x,y\in H$. \ео \задача Пусть $A:\; H \arrow H$ самосопряженный. Докажите, что $(A(x), x)$ вещественно для любого $x\in H$. \ез \задача Пусть $H_1\subset H$ --- подпространство в гильбертовом пространстве, $A$ самосопряженный оператор, причем $A(H_1)\subset H_1$. Докажите, что $A$ сохраняет ортогональное дополнение $H^\bot_1$. \ез \задача[!] Докажите, что спектр самосопряженного оператора {\бф вещественный}, то есть лежит в $\R\subset \C$. \ез \указание Из вещественности $(A(x), x)$ получите, что \[ |{\sf Im}(A(x)-\lambda x, x)| > |{\sf Im}(\lambda)|\cdot |x|. \] Выведите из этого, что $|A(x)-\lambda x| > C |x|$, для какого-то $C>0$. Из этого получите, что образ $A$ замкнут, а ядро пусто. Теперь воспользутесь тем, что коядро $A$ равно ядру $A^*$. \еу \определение Самосопряженный оператор $A$ называется {\бф положительным}, если $(A(x), x)\geq 0$, и {\бф строго положительным}, если это неравенство строгое для любого ненулевого $x$. \ео \задача Докажите, что квадрат самосопряженного оператора всегда положителен. \ез \задача Докажите, что спектр положительного компактного оператора лежит на положительной вещественной оси. \ез \указание Воспользуйтесь спектральной теоремой \еу \задача Пусть $K$ компактный оператор на $H$, а $\{x_i\}$ последовательность единичных векторов, которые сходятся в слабой топологии к $x\in H$. Докажите, что $\lim (K(x_i), x_i) = (K(x), x)$. \ез \указание Докажите, что в сильной топологии $\{K(x_i)\}$ сходится к $K(x)$. Выведите из этого, что $\lim (K(x_i), x_i) =\lim (K(x), x_i)$. Применив определение слабой топологии, убедитесь, что $\lim (K(x), x_i) = (K(x), x)$. \еу \задача[!] Пусть $K$ --- компактный оператор, а $s$ --- супремум функции $x\arrow (K(x),х)$ на единичном шаре $B_1$. Докажите, что $s= (K(x_0),x_0)$ для какого-то $x_0\in B_1$ \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $K$ --- самосопряженный компактный оператор на $H$, $s>0$ --- супремум функции $x\arrow \frac{(K(x),х)}{|x|^2}$, а $S\subset H$ --- множество векторов, где он реализуется. Докажите, что $S$ есть непустое собственное пространство оператора $K$, соответствующее собственному значению $s$. \ез \указание Докажите, что $S$ есть нуль-пространство неотрицательно определенной билинейной симметрической формы $z\arrow (x,x) -\frac 1 s (K(x),x)$. \еу \задача[!] Пусть $A$ --- самосопряженный, компактный оператор, причем $\Spec A$ лежит на положительной вещественной оси. Докажите, что $A$ положителен. \ез \указание Пусть $(A(x), x)<0$ для какого-то $x$. Применив предыдущую задачу к оператору $-A$, мы получим ненулевое собственное пространство, соответствующее отрицательному собственному значению. \еу \замечание Мы доказали, что спектр компактного самосопряженного оператора лежит в $[0,\infty[$ {\ит тогда и только тогда}, когда он положителен. \еза \задача Пусть $A$ --- самосопряженный компактный оператор с нулевым спектром. Докажите, что $A=0$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Пусть $A$ --- компактный, самосопряженный оператор на гильбертовом пространстве $H$. Обозначим за $H_\alpha$ пространство \[ \bigcup_{n\in \N} \ker (A-\alpha\Id_H)^n\] (поскольку $A$ компактен, это объединение стабилизируется на конечном шаге, а, значит, все $H_\alpha$ конечномерны). Докажите, что \[ \bigoplus\limits_{\alpha\in\Spec A} H_\alpha \] плотно в $H$. \ез \указание Воспользуйтесь спектральной теоремой, и примените предыдущую задачу. \еу \задача[*] Верно ли это без предположения о самосопряженности $A$? \ез \задача[!] Пусть $A:\; H \arrow H$ --- компактный, самосопряженный оператор. Докажите {\бф спектральную теорему для самосопряженных операторов}: в каком-то ортонормальном базисе базисе $x_1, x_2, ...$, действие $A$ записывается диагонально: $A(x_i)=\alpha_i x_i$. \ез \указание Докажите аналогичную теорему для самосопряженных операторов в конечномерных пространствах, и воспользуйтесь разложением \[ \bigoplus\limits_{\alpha\in\Spec A} H_\alpha. \] \еу \задача[*] Пусть $A_\alpha$ --- семейство попарно коммутирующих самосопряженных операторов (возможно, бесконечное). Докажите, что найдется ортонормированный базис, в котором все $A_\alpha$ диагональны. \ез \задача[*] Оператор $U$ на гильбертовом пространстве называется {\бф унитарным}, если $UU^*= U^*U=\Id$. Докажите, что спектр унитарного оператора лежит на единичной окружности. \ез \указание Докажите, что \[ (U+\alpha Id(x), U-\bar \alpha Id(x))= (1-|\alpha|^2)|x|^2 \] \еу \задача[*] Пусть $U$ --- унитарный оператор, такой, что $U-\Id$ компактно. Докажите, что $U$ диагонализуем в каком-то ортонормированном базисе. \ез \задача[*] Верно ли это без предположения, что $U-\Id$ компактно? \ез \end{document}