\documentclass[10pt]{article}

%\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}


\input{listki.tex}
\newcommand{\im}{\operatorname{\sf im}}
\newcommand{\coker}{\operatorname{\sf coker}}
\renewcommand{\ker}{\operatorname{\sf ker}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}

\def\6{\partial}
% version 1.0 --- 07.05.2010 (����� ����)


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   07.05.2010}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


��� ������ �� ������� ������ ���� ����� ��� ������ �� �����������,
���� ��� ������ ��� ���������. ������ � ����� �����������
����� �� �������. ������� $k$ ����� � ����� �����������
����������� �� ������� $2k$ ����� �� ����������� 
�� ���� �� ��������. ������, ������������ (!),
������� ������� ����.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{12}{������ 12: ���������� ���������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������ ���������� � ������� ����������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
������������������ $\{x_i\}$ � ������������ ������������
$H$ ���������� {\�� ����� ����������}, ���� ��� ������
������������ ����������� $\mu\in H^*$, ������������������
$\mu(x_i)\in \C$ ��������. ������� ����������
������������������ �������� {\�� ������� �����������}.
���������, ������� ���������� ������ ����������,
�������� {\�� ������ ����������}.
\��

\������
��������� ������ ������������������, ������� ��������
� ������ ���������, �� �� � �������.
\��

\������[*]
���������� �� �������� ����������� ������������
����������� $H\arrow H_1$, ������� �� ���������� 
� ������ ���������?
\��

\������[!]
����� $H$ -- ����������� ������������.
��������, ��� ��������� ��� � $H$ ��������� � ������
���������.
\��

\��������
�������������� �������� �������� � ������������
$[-1,1]^{\Bbb N}$ � ��������� ���������� ����������.
\��

\�����������
��������, ��� {\�� �������������� ���������}
���� ���������, ��������� �������� ���������,
� {\�� ���������� ��������} ���� ����������� ��������, 
����������� ������������ ��������� � ��������������.
\��

\������
����� ����������� 
�������� $H\arrow H_1$ �� ������������ ������������� ���������
����� ����� ���������� ������������������ � ������
����������. ��������, ��� �� ���������.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��


\������
����� $\{x_i\}$ -- ������������������, �������
����� �������� � $x$, � $A$ -- �����������
��������. ��������, ��� $\{A(x_i)\}$ ����� ��������
� $A(x)$.
\��

\������[!]
��������, ��� ������������
�������� $H\arrow H_1$
��������� ����� � ������ �����, ����� �� ���������
����� ����� ���������� ������������������ � ������
����������.
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{���������� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\������
����� $K$ ���������� ��������, $A$ �����������.
��������, ��� $AK$ � $KA$ ���������.
\��

\�����������
{\�� ������������� ��������} ���� ��������, ����� ��������
������������.
\��

\������
��������, ��� ������������� �������� ���������.
\��

\������
��������� ���������� ��������, ������� �� ������������.
\��


\������
��������� {\�� ����������� �����} ��������
\[
\|A\|:= \sup_{x\neq 0} \frac{|A(x)|}{|x|}.
\]
��������, ��� ��� ������������ ��������� $A$,
��� ����� ������ $\infty$. ��������, ���
$\|\cdot\|$ ������ ����� �� ������������
���������� ����������.
\��


\������[!]
���������� ��������� �� ������������ ����������,
�������� ����������� ������ $\|\cdot\|$, � 
����� $A$ -- ��������, ������� � ���������
������������ ������������� ����������. ��������,
��� $A$ ���������.
\��

\�������� 
��������, ��� $A$ ��������� ������ ����� ����������
������������������ � ������ ����������.
\��

\������[*]
��������, ��� ������������ ���������� ����������
�������� � ����������� �����.
\��

\������
����� $K$ -- ���������� �������� �� ������������ ������������,
� $T$ -- ������������� ����������
� $\ker(1-K)$. ��������, ��� ���������� $C>0$
�����, ��� $\frac{|x-K(x)|}{|x|} >C$, ��� ������ ���������� 
$x\in T$.
\��

\��������
���� $\frac{|x_i-K(x_i)|}{|x_i|}$
��������� � ���� ��� �����-�� ������������������ ��������� ��������
$\{x_i\}$, ������� �� ��� ���������������������, ���
������� $K(x_i)$ �������� � $x$, �������, ���
$\frac{|x_i-x|}{|x_i|}$ ��������� � ����. �������� �� �����, ���
$|x_i-x|$ ��������� � ����, �� ���� $\{x_i-K(x_i)\}$ �������� � 
���� � ������� ���������.
\��

\������
����� $K$ -- ���������� �������� �� ������������ ������������
$H$, � $\{x_i\}$ -- ������������������,
�����, ��� $\{x_i - K(x_i)\}$ �������� � $z$
� ������� ���������.  ����� $T$ -- ������������� ����������
� $\ker(1-K)$, �  $\Pi:\; H \arrow T$ -- �������������
��������.
\����
\���� ��������, ��� ������������������ $\{\Pi(x_i)\}$ ����������.
\���� ����� $\{x_i\}$ ����������. ��������, ��� $z\in \im(1-K)$.
\��
\��

\�������� ��� ������ �����, �������������� ����������
�������. ��� ������ �����, �������� $\{x_i\}$ ��
���������������������, �����, ��� $K(x_i)$ �������� � $y$,
� ���������, ��� $\{x_i\}$ �������� � $z+y$.
\��



\������[!]\label{_1-K_im_closed_Zadacha_}
����� $K$ -- ���������� ��������.
��������, ��� ����� $1-K$ �������.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{��������� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\������[!]
����� $F:\; H_1\arrow H_2$ --- ���������� ��������, $H_2$ ���������������.
��������, ��� $F$ �� �����������.
\��

\��������
���������� ����������� ����������� �����������
\[ {\Bbb P}(H_1/\ker F) \stackrel \Psi \arrow {\Bbb P}H_2,\]
�������������� $F$. ��������, ��� ����� $\Psi$ ��������� �
��������������� $F(R)$, ��� $R=\{ x\in H_1:\ \  | \ \ 1\leq |x|\leq 2\}$,
� ������ ���������. �������������� �������� �����,
����� ���������, ��� ${\Bbb P}H_2$ �� ����� ���� ���������.
\��

\������[!]
����� $F:\; H_1 \arrow H_2$ ���������� ������������ �������� 
�� ������������ �������������. ��������, ��� �������� ��������
���� ���������.
\��

\�������� 
� �������������, ��� �� ���������� $C>0$ ������, ��� $|F(x)| \geq
C|x|$, ��������� ��������������� $H_1'\subset H_1$, � �����������
�� ������� $F$ ���������. ���������������� ���������� �������,
��������, ��� $F$ �� ����� ������������ ����������� �� 
��������� $F(H_1')$.
\��

\������[!]
����� $F:\; H_1 \arrow H_2$ ������������ ��������
�� ������������ �������������. ��������, ��� ���������
������� �����������.
\begin{description}
\item[(i)] ���������� �������� $F':\; H_2 \arrow H_1$,
�����, ��� $FF'= \Id_{H_1}$ (� ����� ������, $F$ ����������
{\�� ��������� �����}). 
\item[(ii)] ���������� ����� $C>0$ �����, ��� $|F(x)| \geq
C|x|$, ��� ������ $x\in H_1$.
\item[(iii)] $\ker F=0$, � $\im F$ �������.
\end{description}
\��

\��������
���������� (i) $\Rightarrow$ (ii) �������� �� �����������
(� �������� $C$ ������� ����� $F'$). ���������� (ii) 
$\Rightarrow$ (iii) ���� ��������, ��� �� $|F(x)| \geq
C|x|$ �������, ��� ��� ����� ������������������ ���� ����
$\{F(z_i)\}$, $z_i\in H_1$, $\{z_i\}$ -- ���� ������������������ 
����. ���������� (iii) $\Rightarrow$ (i), ������� �� ���������� ������.
\��


\������[!]\label{_gomeomo_bie_Zadacha_}
����� $F:\; H_1\arrow H_2$ --- ������������, ���������� �����������
������������ �����������. ��������, ��� $F$ --- ������������.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������������ ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
������������ �������� $F:\; H_1\arrow H_2$ �� ������������
������������� ���������� {\�� �������������} (Fredholm), ���� 
��� ����� �������, � ���� � ������ ������������.
\��

\������ 
����� $F:\; H_1\arrow H_2$ --- ����������� ��������.
��������, ��� �� ���������� ������������
�� $H_1/\ker F$ � $\im F$.
\��

\�������� �������������� ������� \ref{_gomeomo_bie_Zadacha_}.
\��

\������\label{_Fredho_invertible_Zadacha_}
����� $F:\; H_1\arrow H_2$ --- ����������� ��������.
��������, ��� ���������� ����������� �������� $F_1:\; H_2\arrow H_1$
�����, ��� �������� $\Id_{H_1}- FF_1$ ������������ 
(����� ������������� �����).
\��

\�������� �������������� ���������� �������
\��

\��������� �� ����� ����������� �������, � ���������,
��� $\Id_{H_1}-FF_1$ ���������.
\���

\����������� 
������� �������� ����� $\lambda:\; H \arrow \R$ �� ������������ 
������������� {\�� ������������}, ���� ���������� $C>0$ �����, ���
$|\lambda(x)| < C |x|$.
\��

\������
����� $H$ --- ����������� ������������, $H^*$ --- ������������
������������ ���� �� $H$, � $x\arrow (\cdot, x)$ ������������
����������� �� $H$ � $H^*$, ����������� $x$ � ����� $y\mapsto (y,x)$.
��������, ��� ��� ����������.
\��

\������\label{_Soprya_Zadacha_}
����� $F:\; H_1\arrow H_2$ --- ������������ ��������,
� $F^*:\; H_2\arrow H_1$  --- ��������,
����������� $x\in H_2$ � ������ $y\in H_1$,
������� �������������
\[
(x, F(h)) = (y, h)
\]
��� ������ $h\in H_1$.
\����
\���� ��������, ��� ��� ��������� ���������� $F^*$ ����������.
\���� ��������, ��� ����� �������� $F^*$ ������ ����������.
\���� ��������, ��� $F^*$ --- ������������ ��������.
\���� ��������, ��� $F$ ����������� ����� � ������ �����,
����� $F^*$ �����������. 

\���� ��������, ��� $F$ ��������� 
����� � ������ �����, ����� $F^*$ ���������.
\��\��

\��������
��� ����, ����� �������� ������������� ������������
���������, �������������� ���������� �������
\��

\���������
� ���� ��������, $F^*$ ���������� {\�� ����������� ����������} � $F$.
\���

\������\label{_ker_F^*_Zadacha_}
����� $F:\; H_1\arrow H_2$ --- ������������ ��������,
$F^*$ --- ��� �����������. ��������, ��� $\ker F^* = H_2/\overline{\im F}$,
��� $\overline{\im F}$ --- ��������� ������ $F$.
\��

\������[!]\label{_compo_fredho_Zadacha_}
�����  $F:\; H_1\arrow H_2$,  $G:\; H_2\arrow H_3$ -
������������ ���������. 
\����
\���� ��������, ��� $GF$ �����������, ���� $F$ � $G$
������������.
\���� ����� $GF$ � $FG$ ������������. ��������, ��� $F$ � $G$ 
��� ������������.
\��\��

\������
����� $GF$ �����������. ����� ��, ��� $F$ � $G$ ������������?
\��


\��������� 
��� ��������� �����������, ������ �� ����� �������������
������ ������������ ���������, ����������� �� ������������
$H$ � ����. 
\���


\������[!]\label{_Id+K_Fredholm_Zadacha_}
����� $K:\; H \arrow H$ --- ���������� ��������. ��������,
��� $\Id_H+K$ �����������.
\��

\��������
�������������� �������
\ref{_1-K_im_closed_Zadacha_}, ����� ���������,
��� ����� $1+K$  �������.
��� ��������������� $\ker(1+K)$, ��������� ������� �����.
��� ��������������� $\coker(1+K)$, ��������������
������������� $K^*$, � ��������� \ref{_ker_F^*_Zadacha_}.
\��




\����������� {\�� ������������ �����} � ������� $A$
��� ����� ��������������� $I\subset A$, ��� $aI\subset I$
� $Ia\subset I$ ��� ���� $a\in A$. ������������������
$A/I$ �� ������������� ������ �������� ������������
���������� �������. 
\�� 


\������
����� $\cal C$ --- ������� ������������ ���������� �� ������������
������������ $H$, � ${\cal K}\subset{\cal C}$ --- ������������
���� ���������� ����������. ��������, ��� $\cal K$ --- ������������
�����.
\��

\�����������
������������� ${\cal C}/{\cal K}$ ���������� {\�� �������� �������}
����������� ������������ $H$ (Calkin).
\��

\������[*]
��������, ��� ������� ������� ������ (�� ��������
������������� ������������ �������).
\��


\������[!]
����� $F:\; H \arrow H$ --- ������������ ��������. ��������, 
��� $F$ ����������� ����� � ������ �����, ����� ���
����� $[F]$ � ������� ������� �������.\footnote{��� ������, ���
���������� $G_1, G_2:\; H \arrow H$, ��� $FG_1-1$ � $G_2F-1$ ���������.}
\��

\��������
�������������� ������� \ref{_Fredho_invertible_Zadacha_}
� ������� \ref{_compo_fredho_Zadacha_}.
\��

\�����������
��������, ��� {\�� ��������� ����������} �� ������������
������������ ���������� ������������ �������� $F\in \End(H)$
�����, ��� ���������� ������������ �������� $F_1:\; H \arrow H$,
������ $FF_1 = F_1F =\Id_H$.
\��

\������[*] ����� $F:\; H \arrow H$ --- ����������� ��������,
$[F]$ --- ��� ����� � ������� �������. ������ �� 
� $[F]$ ���������� ������������� $F'$, ������� �������?
\��

\��������
{\�� ��������} ������������ ��������� $F$ ����������
����� \[ \dim \ker F-\dim \coker F.\] ��������, ���
������ $F'$ �� ������� �� ������ ������������� � ������ $[F]$.
\��


\������[!] \label{_Fredho_otkryto_Zadacha_}
����� �������� $F:\; H \arrow H$
�����������. ��������, ��� ���������� $\epsilon>0$ �����,
��� ��� ������ ��������� $G\in \End(H)$, ����������������
$|G-F|<\epsilon$, �������� $G$ ����� �����������.
\��

\��������
��������� ��� ��� ������ �������������� $F$, �������
\[
(Id_H+G_1)^{-1} = Id_H- G_1 + G_1^2 - G_1^3 + ...
\]
��� $G_1= G-F$. �����
�������������� ���, ���
\[
GF_1 = \Id_H + G_1 F + G_1 K
\]
��� $F_1$ --- ��������, ���������������
$FF_1 = \Id_H + K$. 
\��

\������[*] ����� ${\cal C}$ --- ������� ���� ������������
���������� �� ������������ ������������, � 
${\cal F}\subset {\cal C}$ --- ��������� ���� ������������� ����������.
�� ���������� ������ �������, ��� ${\cal F}$ �������, � ���������,
�������� ������. ������� ��� ������� ���������� ${\cal F}$.
\��

\��������
���������� ��������, ��� ��������� �������������
���������� � ������������� �������� ������.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������������ �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\����������� 
����� $F:\; H\arrow H$ --- ������������ ��������
�� ������������ ������������. {\�� ��������} $F$
���������� ��������� $\Spec F\subset \C$ ���� �����
$\lambda\in \C$ �����, ��� �������� $F-\lambda\Id_H$ ��
�������.
\��

\������ 
����� $F:\; H\arrow H$ --- ������������ ��������,
$\lambda\in \C$ �����.
��������, ��� ��������� ������� �����������.
\begin{description}
\item[(i)] $\lambda\notin \Spec F$ 
\item[(ii)] ���� $F-\lambda\Id_H$ �����, a �����
$F-\lambda\Id H$ ��������� � $H$
\end{description}
\��

\������[!]
����� $F:\; H\arrow H$ --- ������������ ��������, �
$\lambda\in \C$ �����, �� ������� � ��� �������.
��������, ��� ���������� $C>0$ �����, ��� 
$|F(x)-\lambda x|> C |x|$, ��� ������ $x\in H$.
\��

\������[!]
��������, ��� $\Spec F$
������� � $\C$.
\��

\�������� �������������� ������� \ref{_Fredho_otkryto_Zadacha_}.
\eu

\������[!]
��������, ��� $\Spec F$ ��������� (���������� � 
�����).
\��

\������[*]
��������� ��������, ������ �������� --- ��� 
��������� ����.
\��


\������[!]\label{_finite_dim_eigensp_Zadacha_}
\label{_eigenspa_compa_Zadacha_}
����� $K:\; H\arrow H$ ���������, $\lambda\in \Spec K$, 
$\lambda\neq 0$. ��������, ��� ������������ 
$H_{\lambda,n}:=\ker(K-\lambda \Id_H)^n$ ������� � ������������,
��� ������ ������ $n$, ������ ��� ����������� ����������
���������� $\operatorname{mult}(\lambda)$,
�� ��������� �� $n$. ��������, ��� $K(H_{\lambda,n})\subset H_{\lambda,n}$.
\��

\��������
�������������� ���, ��� $K-\lambda \Id_H$ �����������.
\��

\������
����� $\epsilon$ --- ������������� ������������ �����,
� $K$ --- ���������� ��������. ��������, ��� ���������
$\{ \lambda\in \Spec K\ \ \ | \ \ |\lambda| > \epsilon\}$
�������.
\��

\��������
�������������� �������� �����.
\��

\���������
�������� ���������� ������, ������ ����������� ���������
������ � �� ����� ���������� �����, ����� ����. ��������
������ \ref{_eigenspa_compa_Zadacha_}, ������ ��������� �����
$\alpha\in \Spec K$ �������� ����������� ��������� $K$.
��� ����������� � ������������ �������� "������������ ��������
��� ���������� ����������".
\���




\������[*]
��������� ����������� ���������� �������� 
$K:\; H \arrow H$ � ������� ��������.
����� �� ����� $K$ ���� ������ � $H$?
\��

\������
����� $K$ -- ����������� �������� �� ������������ ������������,
������� �������� ���������. ����� ��, ��� $K$ ����
���������? 
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{��������������� ���������� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\����������� 
�������� $A:\; H \arrow H$ �� ������������ ������������ ����������
{\�� ���������������}, ���� $(Ax,y)= (x, Ay)$ ��� �����
$x,y\in H$. 
\��

\������
�����  $A:\; H \arrow H$ ���������������. ��������,
��� $(A(x), x)$ ����������� ��� ������ $x\in H$.
\��

\������ 
����� $H_1\subset H$ --- ��������������� � ������������
������������, $A$ ��������������� ��������,
������ $A(H_1)\subset H_1$. ��������, ��� $A$
��������� ������������� ���������� $H^\bot_1$.
\��

\������[!]
��������, ��� ������ ���������������� ��������� 
{\�� ������������}, �� ���� ����� �
$\R\subset \C$.
\��

\��������
�� �������������� $(A(x), x)$ ��������, ���
\[ |{\sf Im}(A(x)-\lambda x, x)| > |{\sf
   Im}(\lambda)|\cdot |x|.
\]
�������� �� �����, ��� $|A(x)-\lambda x| > C |x|$, ��� ������-��
$C>0$. �� ����� ��������, ���  ����� $A$ �������, � ����
�����. ������ ������������� ���, ��� ������ 
$A$ ����� ���� $A^*$. 
\��

\�����������
��������������� �������� $A$ ���������� {\�� �������������},
���� $(A(x), x)\geq 0$, � {\�� ������ �������������},
���� ��� ����������� ������� ��� ������ ���������� $x$.
\��

\������
��������, ��� ������� ���������������� ��������� 
������ �����������.
\��

\������
��������, ��� ������ �������������� ����������� ���������
����� �� ������������� ������������ ���.
\��

\�������� �������������� ������������ ��������
\��

\������
����� $K$ ���������� �������� �� $H$, � $\{x_i\}$
������������������ ��������� ��������, �������
�������� � ������ ��������� � $x\in H$. ��������, ���
$\lim (K(x_i), x_i) = (K(x), x)$.
\��

\��������
��������, ��� � ������� ��������� $\{K(x_i)\}$ �������� � $K(x)$.
�������� �� �����, ��� $\lim (K(x_i), x_i) =\lim (K(x),
x_i)$. �������� ����������� ������ ���������, ���������,
��� $\lim (K(x), x_i) = (K(x), x)$.
\��


\������[!]
����� $K$ --- ���������� ��������, � $s$ ---
�������� ������� $x\arrow (K(x),�)$ �� ��������� ���� $B_1$.
��������, ��� $s= (K(x_0),x_0)$ ��� ������-�� $x_0\in B_1$
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��

\������
����� $K$ --- ��������������� ���������� �������� �� $H$,  $s>0$ ---
�������� ������� $x\arrow \frac{(K(x),�)}{|x|^2}$,
� $S\subset H$ --- ��������� ��������, ��� �� �����������.
��������, ��� $S$ ���� �������� ����������� ������������
��������� $K$, ��������������� ������������ �������� $s$.
\��

\��������
��������, ��� $S$ ���� ����-������������
�������������� ������������ ���������� ��������������
����� $z\arrow (x,x) -\frac 1 s (K(x),x)$.
\��


\������[!]
����� $A$ --- ���������������, ���������� ��������,
������ $\Spec A$ ����� �� ������������� ������������ ���.
��������, ��� $A$ �����������. 
\��

\��������
����� $(A(x), x)<0$ ��� ������-�� $x$. �������� ���������� ������
� ��������� $-A$, �� ������� ��������� �����������
������������, ��������������� ��������������
������������ ��������.
\��

\���������
�� ��������, ��� ������ ����������� ����������������
��������� �����
� $[0,\infty[$ {\�� ����� � ������ �����},
����� �� �����������.
\���

\������
����� $A$ --- ��������������� ���������� �������� �
������� ��������. ��������, ��� $A=0$.
\��

\�������� 
�������������� ���������� �������.
\��

\������[!]
����� $A$ --- ����������, ��������������� ��������
�� ������������ ������������ $H$. ��������� �� $H_\alpha$
������������ \[ \bigcup_{n\in \N} \ker (A-\alpha\Id_H)^n\]
(��������� $A$ ���������, ��� ����������� ���������������
�� �������� ����, �, ������, ��� $H_\alpha$ ������������).
��������, ���
\[
\bigoplus\limits_{\alpha\in\Spec A} H_\alpha
\]
������ � $H$. 
\��

\��������
�������������� ������������ ��������, � ���������
���������� ������.
\��

\������[*]
����� �� ��� ��� �������������
� ����������������� $A$?
\��

\������[!]
�����  $A:\; H \arrow H$ --- ����������, ���������������
��������. �������� {\�� ������������ ������� 
��� ��������������� ����������}:
� �����-�� �������������� ������ ������ $x_1, x_2, ...$, ��������
$A$ ������������ �����������: $A(x_i)=\alpha_i x_i$.
\��

\��������
�������� ����������� ������� ��� ���������������
���������� � ������������� �������������,
� �������������� �����������
\[
\bigoplus\limits_{\alpha\in\Spec A} H_\alpha.
\]
\��

\������[*]
����� $A_\alpha$ --- ��������� ������� �������������
��������������� ���������� (��������, �����������).
��������, ��� �������� ����������������� �����,
� ������� ��� $A_\alpha$ �����������.
\��

\������[*]
�������� $U$ �� ������������ ������������ 
���������� {\�� ���������},
���� $UU^*= U^*U=\Id$. ��������, ��� ������ ����������
��������� ����� �� ��������� ����������.
\��

\�������� ��������, ���
\[ (U+\alpha Id(x), U-\bar \alpha Id(x))= (1-|\alpha|^2)|x|^2
\]
\��

\������[*]
����� $U$ --- ��������� ��������, �����, ��� 
$U-\Id$ ���������. ��������, ��� $U$
������������� � �����-�� ����������������� ������.
\��

\������[*]
����� �� ��� ��� �������������, ��� $U-\Id$ ���������?
\��

\end{document}

