\documentclass[10pt]{article}

%\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}


\input{listki.tex}

\def\6{\partial}
\newcommand{\Symb}{\operatorname{\sf Symb}}
% version 1.0 --- 16.04.2010 (начал файл)
% version 2.0 --- 17.04.2010 (сильно переработал после
%                            лекции)
% version 2.1 --- 18.04.2010 -- добавил еще задачу


\newcommand{\version}{version 2.1,\ \   18.04.2010}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{11}{Анализ 11: Ряды Фурье}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Вейерштрасса об аппроксимации}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $M$ -- компактное топологическое пространство.
{\бф Топология равномерной сходимости,}
она же {\бф $C^0$-топология} на $C^0M$
есть топология, заданная нормой $\sup_M |f|$
\ео

\задача
Докажите, что 
$C^0M$ полно в метрике, заданной нормой
$\sup_M |f|$. 
\ез


\задача[!]
Рассмотрим последовательность
$P_0$ полиномов на отрезке $[0,1]$,
определенную рекурсивно, следующим
образом: $P_0=0$, $P_i= \frac 1 2 (P_{i-1}^2+x)$. 
Докажите, что $\{P_i\}$ равномерно сходится
к $1-\sqrt{1-x}$.
\ез

\задача
\label{_module_approx_Zadacha_}
Докажите, что на отрезке $[-1,1]$ найдется 
последовательность полиномов, равномерно
сходящаяся к $|x|$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

\задача
Докажите, что любую кусочно-линейную функцию
на отрезке можно выразить как сумму вида
$\sum \alpha_i |x-c_i|$, где $c_i$ точки
излома функции, а $\alpha_i$ какие-то вещественные
числа.
\ез

\задача
Докажите,
что любую кусочно-линейную функцию можно 
равномерно приблизить полиномами.
\ез


\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
(теорема Вейерштрасса об аппроксимации)\\
Докажите, что любую непрерывную функцию
на отрезке $[a,b]$ можно равномерно приблизить
полиномами.
\ез

\задача[*]
Пусть $f$ -- непрерывная  функция на интервале $]0,1[$.
Всегда ли можно равномерно приблизить $f$ полиномами?
\ез

\задача[*]
Пусть $f$ -- непрерывная  функция на интервале $]0,1[$.
Всегда ли найдется последовательность полиномов, 
поточечно сходящихся к $f$?
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Стоуна-Вейерштрасса}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

На протяжении этого раздела, $M$ есть
компактное топологическое пространство.


\определение
Пусть $A\subset C^0 M$ -- подпространство в 
пространстве непрерывных функций. Говорится, что $A$
{\бф разделяет точки}, если для любых 
двух точек $x,y\in M$ найдется функция $f\in A$
такая, что $f(x)\neq f(y)$.
\ео

\задача
Пусть $A\subset C^0 M$ -- плотное
в $C^0$-топологии подпространство.
Докажите, что $A$ разделяет точки.
\ез

\задача[!]
Пусть $A\subset  C^0 M$ -- подкольцо,
а $\bar A$ его замыкание в $C^0$-топологии.
Докажите, что для любой функции $a\in A$,
$|a|$ принадлежит $\bar A$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь 
задачей \ref{_module_approx_Zadacha_}.
\еу

\задача
Пусть $A\subset  C^0 M$ -- подкольцо,
а $\bar A$ его замыкание в $C^0$-топологии.
Докажите, что для любых $a,b\in A$,
$\min(a,b)$ принадлежит $\bar A$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача[!]
Пусть $A\subset  C^0 M$ -- подкольцо,
разделяющее точки, $\bar A$ -- его замыкание 
в $C^0$-\-то\-по\-ло\-гии, а $U\ni x$ -- окрестность $x\in M$.
Докажите, что для любого $\epsilon >0$, найдется функция $a\in \bar A$
принимающая значения в $[0,1]$ и 
такая, что $a(x)=1$ и $a|_K<\epsilon$, где $K=M\backslash U$.
\ез

\указание
айдите конечное покрытие компакта $K$ открытыми множествами
$U_i$ и функции $f_i \in \bar A$ такие, что
$f_i(x)=1$ и $f_i\restrict U_i < \epsilon$,
и положите $a:= \min_i(f_i)$
\еу

\задача
Пусть $A\subset  C^0 M$ -- подкольцо,
разделяющее точки, $\bar A$ -- его замыкание 
в $C^0$-топологии, a $f \in C^0 M$.
Докажите, что для каждой точки $x\in M$ 
найдется функция $f_x\in \bar A$ такая, что
$f_x\leq f$ и $f_x(x) > f(x)-\epsilon$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
(теорема Стоуна-Вейерштрасса)
Пусть $A\subset  C^0 M$ -- подкольцо,
разделяющее точки, а $\bar A$ -- его замыкание 
в $C^0$-топологии. Докажите, что $\bar A= C^0M$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей и найдите
у каждой точки $x$ окрестность $U_x$ и функцию
$f_x\leq f$ такую, что 
$(f_x+\epsilon)\restrict{U_x}  >f\restrict{U_x}$.
Выберите конечное подпокрытие $\{U_{x_i}\}$ в $\{U_x\}$.
Докажите, что $f \geq \max_i f_{x_i}> f-\epsilon$.
\еу

\задача[**]
Пусть $M$ -- компакт, а $A\subset  C^0 M$ -- подкольцо,
не обязательно разделяющее точки. Пусть
$\{f_\alpha\}\subset A$
семейство функций, таких, что $\sup f_\alpha$ существует
и непрерывен. Докажите, что $\sup f_\alpha\in A$.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Ряды Фурье}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Гильбертово пространство} есть 
полное топологическое векторное пространство
со счетной базой, где норма задана положительно
определенным скалярным произведением по формуле
$|x|= \sqrt{g(x,x)}$. 
\ео

\замечание
Гильбертовы пространства по определению
предполагаются бесконечномерными.
\еза

\определение
{\бф Гильбертов базис} в гильбертовом пространстве $H$
есть счетный набор ортонормированных векторов $\{a_i\}$
такой, что $H$ совпадает с замыканием подпространства,
порожденного $a_i$.
\ео

\задача
Докажите, что у любого гильбертова пространства есть
гильбертов базис.
\ез

\указание
Воспользовавшись леммой Цорна, найдите в $H$
максимальный набор ортонормированных векторов.
Чтобы убедиться, что он счетный, воспользуйтесь
тем, что $H$ имеет счетную базу.
\еу

\задача[!]
Докажите, что все гильбертовы пространства изоморфны.
\ез

\задача
{\бф Полином Фурье} на окружности
$S^1= \R/\Z$ есть функция вида 
\[ a_1 e^{2\pi \1 n_1t} + a_2 e^{2\pi \1 n_2t} + ... + a_k e^{2\pi \1 n_kt}.\]
Докажите, что полиномы Фурье плотны в $C^0$-топологии.
\ез

\задача[!]
Пусть $L^2(S^1)$ есть гильбертово пространство,
порожденное непрерывными функциями на окружности,
со скалярным произведением $(f,g) = \int_{S^1} fg$.
Докажите, что функции $t\mapsto e^{2\pi \1 nt}$
образуют гильбертов базис в $L^2 (S^1)$
\ез

\указание
Чтобы доказать, что замыкание
$\langle e^{2\pi \1 nt}\rangle$ совпадает с $L^2(S^1)$,
воспользуйтесь теоремой Стоуна-Вейерштрасса.
\еу

\определение
{\бф Ряд Фурье} есть элемент $f\in L^2(S^1)$, записанный 
в виде $f(t)=\sum_{n\in\Z} a_n e^{2\pi \1 nt}$,
где $\sum |a_n|^2 < \infty$.
\ео

\определение
Обозначим за $T^k$ $k$-мерный тор, $T^k = (S^1)^k$.
{\бф $k$-мерный ряд Фурье} есть элемент в $L^2(T^k)$,
заданный в виде
\[
\sum_{(i_1, ..., i_k)\in \Z^k} a_{i_1,..., i_k} e^{2\pi \1 \sum_{l=1}^k i_l t_l}.
\]
где $\sum_{(i_1, ..., i_k)\in \Z^k} |a_{i_1,..., i_k}|^2 < \infty$. 
\ео

\задача[!]
Постройте естественный изоморфизм между 
$L^2(T^k)$ и пространством $k$-мер\-ных рядов Фурье.
\ез


\задача[!]
Пусть $f$ -- непрерывная функция на
$S^1$. Запишем {\бф ряд Фурье $f$} формулой
\[ \sum _{n\in\Z} a_n e^{2\pi \1 nt},\]
где $a_n=\int_{S^1} f e^{-2\pi \1 nt}$.
Докажите, что сумма ряда Фурье $f$ 
равномерно сходится к $f$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь $\sum |a_i|^2 <\infty$
и докажите, что сумма ряда Фурье $f$
непрерывна.
\еу

\задача[*]
(лемма Римана-Лебега)\\
Пусть $f$ -- интегрируемая функция на $S^1$,
a $\sum_{n\in\Z} a_n e^{2\pi \1 nt}$ --- ее ряд Фурье.
Докажите, что $\lim a_n =0$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Компактные операторы}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
{\бф Единичной сферой} в пространстве с нормой называется
множество всех векторов, для которых $|x|=1$.
\ео

\задача[*]
Докажите, что единичная сфера в бесконечномерном 
гильбертовом пространстве стягиваема (допускает гомотопическую
эквивалентность с точкой).
\ез

\определение
Пусть $V_1$, $V_2$ - пространства с нормой.
Линейный оператор $E:\; V_1 \arrow V_2$ называется
{\бф ограниченным}, если существует константа $C$ такая,
что
\[
\frac {|E(v)|}{|v|}< C
\]
для любого ненулевого $v\in V_1$.
\ео


\задача
Докажите, что ограниченные операторы из $V_1$ в $V_2$ 
образуют линейное пространство. Докажите, что оператор
ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен 
в топологии, заданной нормой.
\ез


\замечание
Довольно часто термин {\ем непрерывный оператор}
употре\-бля\-ют как синоним к {\ем ограниченный оператор}.
\еза


\замечание 
{\бф Единичный шар} в пространстве с нормой - это 
множество точек $v\in V$ таких, что $|v|\leq 1$
("замкнутый шар") или $|v|< 1$ ("открытый шар").
"Шар радиуса $r$" в пространстве с нормой - 
множество точек $v\in V$ таких, что $|v|\leq r$
или $|v|< r$. "Ограниченное множество" - подмножество $V$,
содержащееся в каком-то шаре.
В этих терминах, определение ограниченного
оператора можно переговорить так: "ограниченный
оператор это оператор, переводящий ограниченые
множества в ограниченные".
\еза

\задача
(теорема Рисса) \\
Пусть $H$ --- гильбертово пространство (по умолчанию, все
гильбертовы пространства предполагаются бесконечномерными).
Докажите, что единичный  замкнутый шар в $H$ не компактен.
\ез

\указание
Пусть $\{z_i\}$ гильбертов базис. Докажите, что
в $\{z_i\}$ нет сходящихся подпоследовательностей.
\еу

\задача[*]
Пусть $V$ -- бесконечномерное векторное пространство,
с топологией, заданной нормой. Докажите, что
единичный  замкнутый шар в $V$ не компактен.
\ез

\определение 
Множества, содержащиеся в компакте,
называются {\бф предкомпактными}.
\ео


\определение
Пусть $V_1$, $V_2$ - топологическое векторное
пространство с нормой. 
Оператор $E;\; V_1\arrow V_2$ называется {\бф компактным},
если образ любого ограниченного множества предкомпактен.
\ео

\определение
Пусть $H$ -- гильбертово пространство с базисом 
$\{z_i\}$, $\sum a_i \leq \infty$ -- абсолютно
сходящийся ряд, а $K\subset H$ -- подмножество,
заданное рядами вида $\sum_i \lambda_i z_i$,
где $\lambda_i^2 \leq a_i$. 
Тогда $K$ называется {\бф гильбертовым кубом}.
\ео

\задача[!]
Докажите, что гильбертов куб компактен.
\ез

\задача[*]
Докажите, что гильбертов куб гомеоморфен
счетному произведению единичного отрезка на себя,
с топологией произведения ({\ем тихоновскому кубу}).
\ез

\задача
Пусть $H$ --- гильбертово пространство, $\{z_i\}$ его 
ортонормированный базис, а $K:\; H \arrow H$
оператор, переводящий $z_i$ в $\alpha_i z_i$.
Докажите, что $K$ компактный тогда и только
тогда, когда $\sum |\alpha_i|^2\leq \infty$.
\ез


\задача[*]
Пусть $A:\; H \arrow H$ - компактный оператор, а
$B_1$ - замкнутый шар радиуса 1 в $H$.
Для каких $A$ его образ $A(B_1)$ компактен?
\ез


\задача[*]
Пусть $E= E_1+K$ --- инъективный линейный оператор,
такой, что $E_1$ это гомеоморфизм, а $K$ компактно.
Докажите, что $E$ --- тоже гомеоморфизм.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Соболевские пространства}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $f:\; \R^n \arrow \R$ - гладкая функция с компактным
носителем. Для каждого монома 
\[
   P_\alpha = \frac
   {\partial ^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\frac {\partial ^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}}... \frac{\partial ^{k_n}}{\partial x_1^{k_n}}
\]
рассмотрим соответствующую частную производную $f$
\[
P_\alpha(f) = \frac
   {\partial ^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\frac{\partial ^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}}... 
   \frac{\partial ^{k_n}}{\partial x_1^{k_n}}f
\]
{\бф $s$-я соболевская норма} $|f|_s$ определяется так:
\[
|f|_s^2= \sum_{\deg P_\alpha\leq s} 
 \int  \left|P_\alpha(f) \right|^2\Vol
\]
где сумма пробегает все мономы степени от нуля до $s$,
$\Vol= dx_1\wedge dx_2\wedge ... dx_n$ - стандартная
форма объема. Очевидно, что это билинейная, квадратичная форма на 
пространстве функций; ее корень и задает соболевскую норму.
\ео

\задача 
Eстественное отображение $\R^n \arrow T^n$ из $\R^n$ в тор
инъективно на шаре $B$ радиуса $1/2$. Это позволяет
 рассматривать функции с носителем в $B$ как функции на
$T^n$. Рассмотрим ряд Фурье для функции $f$:
\[
f = \sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n} \tau_{k_1, ... k_n} 
e^{2\pi\1 \sum_{i=1}^n k_i t_i}
\]
Докажите, что
\[
|f|_s^2 = \sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n} 
  \bigg(|\tau_{k_1, ... k_n}|^2 \sum_{i=1}^n(1+k_i^2+k_i^4+
  ... + k_i^{2s}\bigg)
\]
\ез

\задача[!]
(Лемма Реллиха) \\
Докажите, что естественное отображение
$L^2_s(\R^n)\arrow L^2_{s-i}(\R^n)$ компактно на функциях
со значениями в шаре $B\subset \R^n$, для любого $i>0$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей
\еу

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Соболевские нормы на многообразии}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $F$ и $G$ --- векторные расслоения 
на многообразии $M$, снабженные связностями
$\nabla_F:\; F \arrow  F\otimes\Lambda^1M$,
$\nabla_G:\; G \arrow  G\otimes\Lambda^1M$.
Зададим на $F\otimes G$ оператор 
$\nabla:\; F\otimes G  \arrow  F\otimes G \otimes\Lambda^1M$
формулой Лейбница,
\[
\nabla(f\otimes g = \nabla_F(f) \otimes g + f \otimes \nabla_G(g).
\]
Докажите, что это связность.
\ез


\определение
Пусть $F$ - расслоение с метрикой и связностью на $M$, а $g$ -
метрика на $M$. Предположим, что на $\Lambda^1 M$ тоже
задана связность. Пользуясь формулой Лейбница,
мы получаем связность 
\[
\nabla :\; F\otimes 
   \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i-1$ раз} \arrow F\otimes 
   \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ раз}
\]
Определим {\бф соболевскую норму, ассоциированную 
со связностью и метрикой} по формуле
\[
|f|^2_s= \sum_{i=0}^s \int |\nabla^i f|\Vol
\]
где 
\[ \nabla^i :\; F \arrow F\otimes 
   \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ раз}
\]
$i$-я степень связности,
а $|\cdot|$ - естественная метрика на расслоении $F\otimes 
   \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ раз}$,
индуцированная метрикой на $M$ и $F$. Соответствующее
гильбертово пространство обозначается $L^2_s(F)$.
Если $M=\R^n$, а связность на $F$ тривиальна,
это определение совпадает с приведенным выше.
\ео



\задача
Пусть $F$ - тривиальное расслоение на $\R^n$, 
снабженное какой-то связностью. Возьмен
какую-то связность на $\Lambda^1\R^n$.
Пусть ${}^1|\ |^2_s$ ---
обычная метрика Соболева, 
а ${}^2|\ |^2_s$ --- метрика, определенная
по связности как указано 
выше. Докажите, что для сечений с носителем в шаре
$B\subset \R^n$, имеем
\[
{}^2|f|^2_s = {}^1|f|^2_s + C {}^1|f|^2_{s-1}
\]
где константа $C$ зависит от связности на $F$ и 
$\Lambda^1\R^n$.
\ез

\определение
Две нормы на векторном пространстве
называются {\бф эквивалентными}, если они индуцируют
одинаковую топологию.
\ео

\задача
Пусть $K:\; H \arrow H_1$ --- компактный оператор
на гильбертовых пространствах $(H, g)$ и $(H_1, g_1)$.
Докажите, что $\sup_{v\neq 0} \frac{g_1(K(v), K(v))}{g(v,v)}<\infty$.
\ез


\задача
Пусть $K:\; H \arrow H_1$ --- компактный оператор
на гильбертовых пространствах $(H, g)$ и $(H_1, g_1)$.
Определим метрику $g'$ на $H$ по формуле
$g'(v,v) = g(v,v) + g_1(K(v), K(v))$.
Докажите, что $g$ и $g'$ эквивалентны.
\ез

\указание
Имеем
\[
 g(v,v) \leq g'(v,v)\leq (1+C) g(v,v),
\]
где $C = \sup_{v\neq 0} \frac{g_1(K(v), K(v))}{g(v,v)}$.
\еу

\задача[!]
Докажите, что метрика
Соболева на тривиальном расслоении,
определенная через частные производные,
эквивалентна метрике Соболева, 
определенной через связности.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $F$ - расслоение со связностью на $M$,
$g_1, g_2$ - метрики на $TM$, ${}^1|\ |^2_s$, ${}^2|\
|^2_s$ -  нормы Соболева, связанные с $g_1$, $g_2$. 
Докажите, что для сечений с носителем в компакте
$B\subset M$, имеет место
\[
C_2{}^1|f|^2_s \leq {}^2|f|^2_s \leq C_1{}^1|f|^2_s 
\]
где константы $C_1, C_2$ выбраны таким образом, чтобы
в любой точке $B$ имело место неравенство
\[
   C_2 |T|_{g_1} \leq |T|_{g_2} \leq C_1 |T|_{g_1}
\]
для любого тензора $T$ над $\Lambda^1(M)$ валентности
не больше $s$.
\ез


\задача[*]
(Лемма Реллиха) Пусть $M$ - компактное многообразие.
Тогда естественное вложение $L^2_s(F)\arrow L^2_{s-i}(F)$
компактно, для любого $i>0$.
\ез

\указание 
Воспользуйтесь разбиением единицы и леммой Реллиха для $\R^n$.
\еу






\end{document}

