\documentclass[10pt]{article} %\usepackage[UglyObsolete]{diagrams} \input{listki.tex} \def\6{\partial} \newcommand{\Symb}{\operatorname{\sf Symb}} % version 1.0 --- 16.04.2010 (начал файл) % version 2.0 --- 17.04.2010 (сильно переработал после % лекции) % version 2.1 --- 18.04.2010 -- добавил еще задачу \newcommand{\version}{version 2.1,\ \ 18.04.2010} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{11}{Анализ 11: Ряды Фурье} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Вейерштрасса об аппроксимации} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M$ -- компактное топологическое пространство. {\бф Топология равномерной сходимости,} она же {\бф $C^0$-топология} на $C^0M$ есть топология, заданная нормой $\sup_M |f|$ \ео \задача Докажите, что $C^0M$ полно в метрике, заданной нормой $\sup_M |f|$. \ез \задача[!] Рассмотрим последовательность $P_0$ полиномов на отрезке $[0,1]$, определенную рекурсивно, следующим образом: $P_0=0$, $P_i= \frac 1 2 (P_{i-1}^2+x)$. Докажите, что $\{P_i\}$ равномерно сходится к $1-\sqrt{1-x}$. \ез \задача \label{_module_approx_Zadacha_} Докажите, что на отрезке $[-1,1]$ найдется последовательность полиномов, равномерно сходящаяся к $|x|$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей \еу \задача Докажите, что любую кусочно-линейную функцию на отрезке можно выразить как сумму вида $\sum \alpha_i |x-c_i|$, где $c_i$ точки излома функции, а $\alpha_i$ какие-то вещественные числа. \ез \задача Докажите, что любую кусочно-линейную функцию можно равномерно приблизить полиномами. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] (теорема Вейерштрасса об аппроксимации)\\ Докажите, что любую непрерывную функцию на отрезке $[a,b]$ можно равномерно приблизить полиномами. \ез \задача[*] Пусть $f$ -- непрерывная функция на интервале $]0,1[$. Всегда ли можно равномерно приблизить $f$ полиномами? \ез \задача[*] Пусть $f$ -- непрерывная функция на интервале $]0,1[$. Всегда ли найдется последовательность полиномов, поточечно сходящихся к $f$? \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Стоуна-Вейерштрасса} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% На протяжении этого раздела, $M$ есть компактное топологическое пространство. \определение Пусть $A\subset C^0 M$ -- подпространство в пространстве непрерывных функций. Говорится, что $A$ {\бф разделяет точки}, если для любых двух точек $x,y\in M$ найдется функция $f\in A$ такая, что $f(x)\neq f(y)$. \ео \задача Пусть $A\subset C^0 M$ -- плотное в $C^0$-топологии подпространство. Докажите, что $A$ разделяет точки. \ез \задача[!] Пусть $A\subset C^0 M$ -- подкольцо, а $\bar A$ его замыкание в $C^0$-топологии. Докажите, что для любой функции $a\in A$, $|a|$ принадлежит $\bar A$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_module_approx_Zadacha_}. \еу \задача Пусть $A\subset C^0 M$ -- подкольцо, а $\bar A$ его замыкание в $C^0$-топологии. Докажите, что для любых $a,b\in A$, $\min(a,b)$ принадлежит $\bar A$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Пусть $A\subset C^0 M$ -- подкольцо, разделяющее точки, $\bar A$ -- его замыкание в $C^0$-\-то\-по\-ло\-гии, а $U\ni x$ -- окрестность $x\in M$. Докажите, что для любого $\epsilon >0$, найдется функция $a\in \bar A$ принимающая значения в $[0,1]$ и такая, что $a(x)=1$ и $a|_K<\epsilon$, где $K=M\backslash U$. \ез \указание айдите конечное покрытие компакта $K$ открытыми множествами $U_i$ и функции $f_i \in \bar A$ такие, что $f_i(x)=1$ и $f_i\restrict U_i < \epsilon$, и положите $a:= \min_i(f_i)$ \еу \задача Пусть $A\subset C^0 M$ -- подкольцо, разделяющее точки, $\bar A$ -- его замыкание в $C^0$-топологии, a $f \in C^0 M$. Докажите, что для каждой точки $x\in M$ найдется функция $f_x\in \bar A$ такая, что $f_x\leq f$ и $f_x(x) > f(x)-\epsilon$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] (теорема Стоуна-Вейерштрасса) Пусть $A\subset C^0 M$ -- подкольцо, разделяющее точки, а $\bar A$ -- его замыкание в $C^0$-топологии. Докажите, что $\bar A= C^0M$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей и найдите у каждой точки $x$ окрестность $U_x$ и функцию $f_x\leq f$ такую, что $(f_x+\epsilon)\restrict{U_x} >f\restrict{U_x}$. Выберите конечное подпокрытие $\{U_{x_i}\}$ в $\{U_x\}$. Докажите, что $f \geq \max_i f_{x_i}> f-\epsilon$. \еу \задача[**] Пусть $M$ -- компакт, а $A\subset C^0 M$ -- подкольцо, не обязательно разделяющее точки. Пусть $\{f_\alpha\}\subset A$ семейство функций, таких, что $\sup f_\alpha$ существует и непрерывен. Докажите, что $\sup f_\alpha\in A$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Ряды Фурье} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Гильбертово пространство} есть полное топологическое векторное пространство со счетной базой, где норма задана положительно определенным скалярным произведением по формуле $|x|= \sqrt{g(x,x)}$. \ео \замечание Гильбертовы пространства по определению предполагаются бесконечномерными. \еза \определение {\бф Гильбертов базис} в гильбертовом пространстве $H$ есть счетный набор ортонормированных векторов $\{a_i\}$ такой, что $H$ совпадает с замыканием подпространства, порожденного $a_i$. \ео \задача Докажите, что у любого гильбертова пространства есть гильбертов базис. \ез \указание Воспользовавшись леммой Цорна, найдите в $H$ максимальный набор ортонормированных векторов. Чтобы убедиться, что он счетный, воспользуйтесь тем, что $H$ имеет счетную базу. \еу \задача[!] Докажите, что все гильбертовы пространства изоморфны. \ез \задача {\бф Полином Фурье} на окружности $S^1= \R/\Z$ есть функция вида \[ a_1 e^{2\pi \1 n_1t} + a_2 e^{2\pi \1 n_2t} + ... + a_k e^{2\pi \1 n_kt}.\] Докажите, что полиномы Фурье плотны в $C^0$-топологии. \ез \задача[!] Пусть $L^2(S^1)$ есть гильбертово пространство, порожденное непрерывными функциями на окружности, со скалярным произведением $(f,g) = \int_{S^1} fg$. Докажите, что функции $t\mapsto e^{2\pi \1 nt}$ образуют гильбертов базис в $L^2 (S^1)$ \ез \указание Чтобы доказать, что замыкание $\langle e^{2\pi \1 nt}\rangle$ совпадает с $L^2(S^1)$, воспользуйтесь теоремой Стоуна-Вейерштрасса. \еу \определение {\бф Ряд Фурье} есть элемент $f\in L^2(S^1)$, записанный в виде $f(t)=\sum_{n\in\Z} a_n e^{2\pi \1 nt}$, где $\sum |a_n|^2 < \infty$. \ео \определение Обозначим за $T^k$ $k$-мерный тор, $T^k = (S^1)^k$. {\бф $k$-мерный ряд Фурье} есть элемент в $L^2(T^k)$, заданный в виде \[ \sum_{(i_1, ..., i_k)\in \Z^k} a_{i_1,..., i_k} e^{2\pi \1 \sum_{l=1}^k i_l t_l}. \] где $\sum_{(i_1, ..., i_k)\in \Z^k} |a_{i_1,..., i_k}|^2 < \infty$. \ео \задача[!] Постройте естественный изоморфизм между $L^2(T^k)$ и пространством $k$-мер\-ных рядов Фурье. \ез \задача[!] Пусть $f$ -- непрерывная функция на $S^1$. Запишем {\бф ряд Фурье $f$} формулой \[ \sum _{n\in\Z} a_n e^{2\pi \1 nt},\] где $a_n=\int_{S^1} f e^{-2\pi \1 nt}$. Докажите, что сумма ряда Фурье $f$ равномерно сходится к $f$. \ез \указание Воспользуйтесь $\sum |a_i|^2 <\infty$ и докажите, что сумма ряда Фурье $f$ непрерывна. \еу \задача[*] (лемма Римана-Лебега)\\ Пусть $f$ -- интегрируемая функция на $S^1$, a $\sum_{n\in\Z} a_n e^{2\pi \1 nt}$ --- ее ряд Фурье. Докажите, что $\lim a_n =0$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Компактные операторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Единичной сферой} в пространстве с нормой называется множество всех векторов, для которых $|x|=1$. \ео \задача[*] Докажите, что единичная сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве стягиваема (допускает гомотопическую эквивалентность с точкой). \ез \определение Пусть $V_1$, $V_2$ - пространства с нормой. Линейный оператор $E:\; V_1 \arrow V_2$ называется {\бф ограниченным}, если существует константа $C$ такая, что \[ \frac {|E(v)|}{|v|}< C \] для любого ненулевого $v\in V_1$. \ео \задача Докажите, что ограниченные операторы из $V_1$ в $V_2$ образуют линейное пространство. Докажите, что оператор ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен в топологии, заданной нормой. \ез \замечание Довольно часто термин {\ем непрерывный оператор} употре\-бля\-ют как синоним к {\ем ограниченный оператор}. \еза \замечание {\бф Единичный шар} в пространстве с нормой - это множество точек $v\in V$ таких, что $|v|\leq 1$ ("замкнутый шар") или $|v|< 1$ ("открытый шар"). "Шар радиуса $r$" в пространстве с нормой - множество точек $v\in V$ таких, что $|v|\leq r$ или $|v|< r$. "Ограниченное множество" - подмножество $V$, содержащееся в каком-то шаре. В этих терминах, определение ограниченного оператора можно переговорить так: "ограниченный оператор это оператор, переводящий ограниченые множества в ограниченные". \еза \задача (теорема Рисса) \\ Пусть $H$ --- гильбертово пространство (по умолчанию, все гильбертовы пространства предполагаются бесконечномерными). Докажите, что единичный замкнутый шар в $H$ не компактен. \ез \указание Пусть $\{z_i\}$ гильбертов базис. Докажите, что в $\{z_i\}$ нет сходящихся подпоследовательностей. \еу \задача[*] Пусть $V$ -- бесконечномерное векторное пространство, с топологией, заданной нормой. Докажите, что единичный замкнутый шар в $V$ не компактен. \ез \определение Множества, содержащиеся в компакте, называются {\бф предкомпактными}. \ео \определение Пусть $V_1$, $V_2$ - топологическое векторное пространство с нормой. Оператор $E;\; V_1\arrow V_2$ называется {\бф компактным}, если образ любого ограниченного множества предкомпактен. \ео \определение Пусть $H$ -- гильбертово пространство с базисом $\{z_i\}$, $\sum a_i \leq \infty$ -- абсолютно сходящийся ряд, а $K\subset H$ -- подмножество, заданное рядами вида $\sum_i \lambda_i z_i$, где $\lambda_i^2 \leq a_i$. Тогда $K$ называется {\бф гильбертовым кубом}. \ео \задача[!] Докажите, что гильбертов куб компактен. \ез \задача[*] Докажите, что гильбертов куб гомеоморфен счетному произведению единичного отрезка на себя, с топологией произведения ({\ем тихоновскому кубу}). \ез \задача Пусть $H$ --- гильбертово пространство, $\{z_i\}$ его ортонормированный базис, а $K:\; H \arrow H$ оператор, переводящий $z_i$ в $\alpha_i z_i$. Докажите, что $K$ компактный тогда и только тогда, когда $\sum |\alpha_i|^2\leq \infty$. \ез \задача[*] Пусть $A:\; H \arrow H$ - компактный оператор, а $B_1$ - замкнутый шар радиуса 1 в $H$. Для каких $A$ его образ $A(B_1)$ компактен? \ез \задача[*] Пусть $E= E_1+K$ --- инъективный линейный оператор, такой, что $E_1$ это гомеоморфизм, а $K$ компактно. Докажите, что $E$ --- тоже гомеоморфизм. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Соболевские пространства} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $f:\; \R^n \arrow \R$ - гладкая функция с компактным носителем. Для каждого монома \[ P_\alpha = \frac {\partial ^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\frac {\partial ^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}}... \frac{\partial ^{k_n}}{\partial x_1^{k_n}} \] рассмотрим соответствующую частную производную $f$ \[ P_\alpha(f) = \frac {\partial ^{k_1}}{\partial x_1^{k_1}}\frac{\partial ^{k_2}}{\partial x_2^{k_2}}... \frac{\partial ^{k_n}}{\partial x_1^{k_n}}f \] {\бф $s$-я соболевская норма} $|f|_s$ определяется так: \[ |f|_s^2= \sum_{\deg P_\alpha\leq s} \int \left|P_\alpha(f) \right|^2\Vol \] где сумма пробегает все мономы степени от нуля до $s$, $\Vol= dx_1\wedge dx_2\wedge ... dx_n$ - стандартная форма объема. Очевидно, что это билинейная, квадратичная форма на пространстве функций; ее корень и задает соболевскую норму. \ео \задача Eстественное отображение $\R^n \arrow T^n$ из $\R^n$ в тор инъективно на шаре $B$ радиуса $1/2$. Это позволяет рассматривать функции с носителем в $B$ как функции на $T^n$. Рассмотрим ряд Фурье для функции $f$: \[ f = \sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n} \tau_{k_1, ... k_n} e^{2\pi\1 \sum_{i=1}^n k_i t_i} \] Докажите, что \[ |f|_s^2 = \sum_{k_1, ... k_n \in \Z^n} \bigg(|\tau_{k_1, ... k_n}|^2 \sum_{i=1}^n(1+k_i^2+k_i^4+ ... + k_i^{2s}\bigg) \] \ез \задача[!] (Лемма Реллиха) \\ Докажите, что естественное отображение $L^2_s(\R^n)\arrow L^2_{s-i}(\R^n)$ компактно на функциях со значениями в шаре $B\subset \R^n$, для любого $i>0$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Соболевские нормы на многообразии} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $F$ и $G$ --- векторные расслоения на многообразии $M$, снабженные связностями $\nabla_F:\; F \arrow F\otimes\Lambda^1M$, $\nabla_G:\; G \arrow G\otimes\Lambda^1M$. Зададим на $F\otimes G$ оператор $\nabla:\; F\otimes G \arrow F\otimes G \otimes\Lambda^1M$ формулой Лейбница, \[ \nabla(f\otimes g = \nabla_F(f) \otimes g + f \otimes \nabla_G(g). \] Докажите, что это связность. \ез \определение Пусть $F$ - расслоение с метрикой и связностью на $M$, а $g$ - метрика на $M$. Предположим, что на $\Lambda^1 M$ тоже задана связность. Пользуясь формулой Лейбница, мы получаем связность \[ \nabla :\; F\otimes \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i-1$ раз} \arrow F\otimes \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ раз} \] Определим {\бф соболевскую норму, ассоциированную со связностью и метрикой} по формуле \[ |f|^2_s= \sum_{i=0}^s \int |\nabla^i f|\Vol \] где \[ \nabla^i :\; F \arrow F\otimes \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ раз} \] $i$-я степень связности, а $|\cdot|$ - естественная метрика на расслоении $F\otimes \underbrace{\Lambda^1M\otimes ...}_\text{$i$ раз}$, индуцированная метрикой на $M$ и $F$. Соответствующее гильбертово пространство обозначается $L^2_s(F)$. Если $M=\R^n$, а связность на $F$ тривиальна, это определение совпадает с приведенным выше. \ео \задача Пусть $F$ - тривиальное расслоение на $\R^n$, снабженное какой-то связностью. Возьмен какую-то связность на $\Lambda^1\R^n$. Пусть ${}^1|\ |^2_s$ --- обычная метрика Соболева, а ${}^2|\ |^2_s$ --- метрика, определенная по связности как указано выше. Докажите, что для сечений с носителем в шаре $B\subset \R^n$, имеем \[ {}^2|f|^2_s = {}^1|f|^2_s + C {}^1|f|^2_{s-1} \] где константа $C$ зависит от связности на $F$ и $\Lambda^1\R^n$. \ез \определение Две нормы на векторном пространстве называются {\бф эквивалентными}, если они индуцируют одинаковую топологию. \ео \задача Пусть $K:\; H \arrow H_1$ --- компактный оператор на гильбертовых пространствах $(H, g)$ и $(H_1, g_1)$. Докажите, что $\sup_{v\neq 0} \frac{g_1(K(v), K(v))}{g(v,v)}<\infty$. \ез \задача Пусть $K:\; H \arrow H_1$ --- компактный оператор на гильбертовых пространствах $(H, g)$ и $(H_1, g_1)$. Определим метрику $g'$ на $H$ по формуле $g'(v,v) = g(v,v) + g_1(K(v), K(v))$. Докажите, что $g$ и $g'$ эквивалентны. \ез \указание Имеем \[ g(v,v) \leq g'(v,v)\leq (1+C) g(v,v), \] где $C = \sup_{v\neq 0} \frac{g_1(K(v), K(v))}{g(v,v)}$. \еу \задача[!] Докажите, что метрика Соболева на тривиальном расслоении, определенная через частные производные, эквивалентна метрике Соболева, определенной через связности. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $F$ - расслоение со связностью на $M$, $g_1, g_2$ - метрики на $TM$, ${}^1|\ |^2_s$, ${}^2|\ |^2_s$ - нормы Соболева, связанные с $g_1$, $g_2$. Докажите, что для сечений с носителем в компакте $B\subset M$, имеет место \[ C_2{}^1|f|^2_s \leq {}^2|f|^2_s \leq C_1{}^1|f|^2_s \] где константы $C_1, C_2$ выбраны таким образом, чтобы в любой точке $B$ имело место неравенство \[ C_2 |T|_{g_1} \leq |T|_{g_2} \leq C_1 |T|_{g_1} \] для любого тензора $T$ над $\Lambda^1(M)$ валентности не больше $s$. \ез \задача[*] (Лемма Реллиха) Пусть $M$ - компактное многообразие. Тогда естественное вложение $L^2_s(F)\arrow L^2_{s-i}(F)$ компактно, для любого $i>0$. \ез \указание Воспользуйтесь разбиением единицы и леммой Реллиха для $\R^n$. \еу \end{document}