\documentclass[12pt]{article} %\usepackage[UglyObsolete]{diagrams} \input{listki.tex} \def\6{\partial} \newcommand{\Symb}{\operatorname{\sf Symb}} % version 1.0 --- 08.04.2010 (начал файл) % version 1.1 --- 09.04.2010, a few corrections after the % lecture was given \newcommand{\version}{version 1.1,\ \ 09.04.2010} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{10}{Анализ 10: Эллиптические операторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Дифференциальные операторы с коэффициентами в модуле} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $A, B$ --- модули над кольцом $R$, которое определено над полем $k$. Пространство $\Diff^i(A,B)$ дифференциальных операторов порядка $i$ определяется индуктивно. Дифференциальные операторы нулевого порядка $\Diff^0(A,B)$ --- это $R$-линейные отображения из $A$ в $B$. $k$-линейное отображение $D:\; A \arrow B$ лежит в $\Diff^i(A,B)$, если для любого $r\in R$, коммутатор \[ [D, r](a) = D(ra) - r D(a) \] лежит в $\Diff^{i-1}(A,B)$. \ео \задача Пусть $A, B, C$ --- $R$-модули, а $D_1:\ A \arrow B$, $D_2:\; B \arrow C$ - дифференциальные операторы порядка $i$, $j$. Докажите, что композиция $D_1D_2$ --- дифференциальный оператор порядка $i+j$. \ез \задача Пусть $R$ --- кольцо полиномов $k[t]$, а $B$ --- $R$-модуль, одномерный как векторное пространство над $k$, с умножением, определенным посредством $t R=0$. Докажите, что $\Diff^i(R, B)$ --- это пространство всех $k$-линейных отображений из $k[t]$ в $k$, которые переводят $t^{i+j}$ в 0, для всех $j>0$. \ез \задача[*] Пусть $R$ --- кольцо полиномов $k[t]$, а $A$ и $B$ - $R$-модули, конечномерные над $k$. Докажите, что $\Diff^*(A, B)$ --- это пространство всех $k$-линейных отображений из $A$ в $B$. \ез \задача[*] Рассмотрим пространство всех дифференциальных операторов $\Diff^*(A,B)$ как пространство с фильтрацией, и пусть $S^i(A, B):= \Diff^i(A,B)/\Diff^{i-1}(A,B)$ --- присоединенные градуированнные компоненты. Определите на пространстве $\oplus_i S^i(A, B)$ естественную структуру модуля над алгеброй $\oplus_i S^i$ символов дифференциальных операторов. \ез \определение Пространство $\oplus_i S^i(A, B)$ называется {\бф пространством символов дифференциальных операторов, действующих из $A$ в $B$}. \ео \задача[!] В условиях предыдущей задачи, докажите, что \begin{equation}\label{_Symb_from_F_to_G_Equation_} \oplus_i S^i(F, G)\cong \Sym^i TM \otimes \Hom_{C^\infty M}(F, G), \end{equation} где $\Hom_{C^\infty M}(F, G)$ --- пространство сечений расслоения гомоморфизмов из $F$ в $G$. \ез \указание Докажите этот факт для случая, когда расслоения $F$ и $G$ тривиальны, а их пространства сечений изоморфны свободным модулям вида $C^\infty M^n$. Реализовав $F$ и $G$ как прямые слагаемые свободных модулей, выведите изоморфизм \eqref{_Symb_from_F_to_G_Equation_} из того, что он выполняется для тривиальных расслоений. \еу \задача Пусть $M$ --- гладкое многообразие, на котором заданы два векторных расслоения $F$ и $G$. Докажите, что дифференциальные операторы из $F$ в $G$ {\бф локальны}: если $f\in F$ --- сечение с носителем в $K\subset M$, то носитель $D(f)$ тоже содержится в $K$, для любого $D\in \Diff^i(F, G)$. \ез \задача[*] Пусть $x\in M$ точка, а ${\goth m}_x$ --- ее максимальный идеал. Выполнен ли изоморфизм \eqref{_Symb_from_F_to_G_Equation_} в случае $F= C^\infty M$, $G= C^\infty M/{\goth m}_x$? А в случае $G=C^\infty M$, $F= C^\infty M/{\goth m}_x$? \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Эллиптические операторы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $F$, $G$ --- векторные расслоения над гладким многообразием $M$, а $D\in \Diff^i(F,G)$ - дифференциальный оператор порядка $i$ (мы обозначаем пространства сечений той же самой буквой, что и расслоения). Обозначим за $\Symb(D)$ класс $D$ в \[ S^i(F,G):= \Diff^i(F,G)/\Diff^{i-1}(F,G) \] Этот класс называется {\бф символом} дифференциального оператора $D$. Воспользовавшись изоморфизмом \eqref{_Symb_from_F_to_G_Equation_}, мы можем считать $\Symb(D)$ сечением расслоения $\Sym^i TM \otimes\Hom (F, G).$ \ео \задача Обозначим за $\pi:\; T^* M \arrow M$ стандартную проекцию. Постройте взаимно однозначное соответствие между сечениями $\Sym^i TM \otimes\Hom (F, G)$ и сечениями $\pi^* \Hom (F, G)$, которые заданы $\Hom (F, G)$-значными полиномами степени $i$ на слоях $\pi$. \ез \замечание В дальнейшем, мы будем рассматривать символ дифференциального оператора как $\Hom (F, G)$-значную функцию на $T^* M$, полиномиальную на слоях. \еза \задача[!]\label{_kompozi_elli_Zadacha_} Пусть $D_1:\ F \arrow G$, $D_2:\; G \arrow H$ - дифференциальные операторы. Вычислите символ композиции $D_1D_2$. Докажите, что символ $D_1D_2$ равен произведению символов $D_1$ и $D_2$, где символы $D_1$, $D_2$ рассматриваются как сечения $\pi^*\Hom(F, G)$, $\pi^*\Hom(G, H)$, полиномиальные по слоям, $\pi:\; T^* M \arrow M$ это проекция, а произведение \[ \pi^*\Hom(F, G) \times \pi^*\Hom(G, H)\arrow \pi^*\Hom(F, H) \] задано композицией. \ез \определение Пусть $B$ --- векторное расслоение над $M$, а $\Tot B$ его тотальное пространство. {\бф Нулевым сечением} называется множество всех нулевых векторов в $\Tot B$. \ео \определение Пусть $F$, $G$ --- $n$-мерные векторные расслоения над гладким многообразием $M$, $D\in \Diff^i(F,G)$ --- дифференциальный оператор порядка $i$, а $\Symb(D)\in \Sym^i TM \otimes\Hom (F, G)$ --- его символ. Рассмотрим $\Symb(D)$ как $\Hom (F, G)$-значную функцию на кокасательном пространстве $T^* M$, полиномиальную на слоях проекции $T^*M \stackrel \pi \arrow M$, то есть как сечение $s_D\in \pi^* \Hom (F, G)$. Оператор $D$ называется {\бф эллиптическим}, если $s_D$ обратим вне нулевого сечения $T^*M$. \ео \задача Пусть $M= \R^n$, а $\Delta:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ --- {\бф классический оператор Лапласа}, заданный формулой \[ \Delta(f) = \sum_i \frac{d^2f}{dx_i^2} \] где $x_i$ --- стандартные координаты на $\R^n$. Найдите символ $\Delta$. Докажите, что он эллиптичен. \ез \задача[!] Найдите символ оператора Лапласа $\Delta:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^* M$. Докажите, что он эллиптичен. \ез \задача[!] Пусть $D_1, D_2:\; B \arrow B$ --- дифференциальные операторы на расслоении, такие, что композиция $D_1 D_2$ эллиптична. Докажите, что $D_1$ и $D_2$ --- тоже эллиптические операторы. \ез \задача[!] Докажите, что оператор $d+d^*:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^* M$ эллиптический. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Связность на расслоении} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $V$ --- модуль над кольцом $R$. Рассмотрим модуль $\End(V):=\Hom_R(V, V)$ и $V^*:=\Hom_R(V, R)$. Пусть $\chi:\; V\otimes V^* \arrow \Hom_R(V, V)$ переводит $v \otimes \xi$ в $\xi(v)$. \енум \итем Докажите, что эта формула задает корректно определенный гомоморфизм $R$-модулей. Докажите, что $\chi$ --- изоморфизм, если $k$ это поле, а $V$ --- конечномерное векторное пространство. \итем[*] Пусть $V$ --- конечнопорожденный модуль над кольцом. Всегда ли $\chi$ --- изоморфизм? \итем[*] Пусть $V$ --- бесконечномерное пространство над полем. Всегда ли $\chi$ --- изоморфизм? \ее \ез \задача Рассмотрим дифференциал де Рама $d:\;C^\infty M\arrow \Lambda^1 M$. Докажите, что его символ \[ \Symb(d) \in TM\otimes \Hom(C^\infty M,\Lambda^1 M) = TM \otimes T^*M \] задается тождественным отображением $\Id_{TM}\in \End(TM)= TM \otimes T^*M$. \ез \определение Пусть $B$ --- гладкое расслоение над $M$, а $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ --- оператор, удовлетворяющий соотношению \[ \nabla(fb) = b \otimes df + f \nabla b, \] для любой функции $f\in C^\infty M$. Тогда $\nabla$ называется {\бф связностью} на расслоении $B$. \ео \задача Постройте связность на тривиальном расслоении $C^\infty M$. \ез \задача Докажите, что связность есть дифференциальный оператор первого порядка. \ез \задача Докажите, что символ $\Symb(\nabla)\in TM \otimes \Hom(B, \Lambda^1 M \otimes B)$ связности $\nabla$ задается тождественным отображением $\Id_{TM}\otimes \Id_B:\; TM \otimes T^* M \otimes \Hom(B,B)$. \ез \задача[!] Докажите, что дифференциальный оператор $\delta:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ является связностью тогда и только тогда, когда его символ равен $\Id_{TM}\otimes \Id_B$. \ез \задача Пусть $\nabla_A, \nabla_B$ связности на расслоениях $A$ и $B$. Зададим на $A\otimes B$ дифференциальный оператор по формуле Лейбница: \[ \nabla(a\otimes b):= \nabla_A(a) \otimes b + a\otimes \nabla_B(b). \] Докажите, что это связность. \ез \задача Пусть $B:= B_1 \oplus B_2$ --- прямая сумма векторных расслоений, причем на $B$ задана связность $\nabla$. Обозначим за $\pi_1$ естественную проекцию из $B$ в $B_1$. Докажите, что \[ \nabla\circ\pi_1\otimes \Id_{\Lambda^1 M} :\; B_1 \arrow B_1 \otimes \Lambda^1 M \] это связность на $B_1$. \ез \задача[!] Докажите, что на любом расслоении существует связность. \ез \указание Постройте связность для тривиального расслоения и воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Принцип максимума для эллиптических операторов второго порядка} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Пусть $D:\; C^\infty \R^n \arrow C^\infty\R^n$ -- дифференциальный оператор второго порядка, а $x_1, ..., x_n$ -- координатные функции. Тогда $D$ можно записать в виде \begin{equation}\label{_elli_gene_Equation_} D(f) = \sum_{i, j} A^{ij} \frac{d^2f}{dx_i dx_j} + \sum_i B^i \frac{df}{dx_i} + Cf, \end{equation} где $A^{ij}:\; \R^n \arrow \Sym^2 \R^n$ матричнозначная функция на $\R^n$, $B^i:\; \R^n\arrow \R^n$ --- 1-форма на $\R^n$, а $C$ --- функция (докажите это). \еза \задача Пусть $D$ --- дифференциальный оператор на $\R^n$, заданный формулой \eqref{_elli_gene_Equation_}. \енум \итем Докажите, что $A^{ij}$ это его символ. \итем Докажите, что $D$ эллиптический тогда и только тогда, когда матрица $A^{ij}$ положительно или отрицательно определена в каждой точке. \ее \ез \определение Пусть $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ -- оператор второго порядка, а $\Symb(D)\in S^2 TM$ его символ. Мы говорим, что $\Symb(D)$ {\бф положительно определен}, если для каждого ненулевого вектора $\xi \in T^*$, имеем $ \Symb(D)(\xi, \xi)>0$. \ео \задача[!] Пусть $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ -- эллиптический оператор второго порядка. Докажите, что символ $\Symb(D)$ положительно определен, либо $\Symb(-D)$ положительно определен. \ез \замечание Отныне и до конца этого листочка, $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ -- эллиптический оператор второго порядка, причем символ $D$ положительно определен, а $D(1)=0$. \еза \задача Пусть $f\in C^\infty M$ имеет локальный максимум в точке $z$. Докажите, что $D(f) \leq 0$. \ез \задача[!] Пусть $f\in C^\infty M$, а $D(f)>0$. Докажите, что у $f$ не может быть локального максимума. \ез \задача Пусть $D:\; C^\infty \R^n \arrow C^\infty\R^n$ -- эллиптический оператор, записанный по формуле \eqref{_elli_gene_Equation_}, причем $C=0$. Пусть $D(f)\geq 0$, а $\lambda \in \R^{>0}$ удовлетворяет $\lambda A^{1,1}> B^1$. Докажите, что $D(f+ \phi_\epsilon)>0$, где $\phi_\epsilon =\epsilon e^{\lambda x_1}$, для любого $\epsilon >0$. \ез \задача Пусть $D:\; C^\infty \R^n \arrow C^\infty\R^n$ -- эллиптический оператор, записанный по формуле \eqref{_elli_gene_Equation_}, причем $C=0$, $\Omega\subset \R^n$ открытое множество с компактным замыканием, а $f$ --- функция, которая достигает максимума внутри $\Omega$. \енум \итем Докажите, что можно выбрать $\lambda$ таким образом, чтобы $\lambda A^{1,1}> B^1$ на $\Omega$. \итем Пусть $\delta:= \sup_\Omega f - \sup_{\6\Omega} f>0$. Выберем $\epsilon$ таким образом, чтобы $\sup_\Omega \phi_\epsilon< \frac \delta 2$. Докажите, что $f+ \phi_\epsilon$ принимает максимум внутри области $\Omega$. \итем Докажите, что $D(f + \phi_\epsilon)> D(f)$ \ее \ез \задача[!] (Слабый принцип максимума для эллиптических операторов).\\ Пусть $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ -- эллиптический оператор второго порядка, причем символ $D$ положительно определен, а $D(1)=0$, а $f$ гладкая функция такая, что $D(f)\geq 0$. Тогда у $f$ не может быть локальных максимумов. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[**] (Сильный принцип максимума).\\ В условиях предыдущей задачи, докажите, что $f(m)< \sup_M f$ для каждой точки $m\in M$. \ез \задача Докажите сильный принцип максимума, если $M=\R^n$, а $D$ это оператор Лапласа. \ез \задача[*] Пусть $B_R(0)\subset \R^n$ -- шар на пространстве $\R^n$ с обычной метрикой, с центром в 0 и радиусом $R$, а $x\in B_R(0)$ --- любая точка, такая, что $3r