\documentclass[12pt]{article}

%\usepackage[UglyObsolete]{diagrams}


\input{listki.tex}

\def\6{\partial}
\newcommand{\Symb}{\operatorname{\sf Symb}}
% version 1.0 --- 08.04.2010 (начал файл)
% version 1.1 --- 09.04.2010, a few corrections after the
%                             lecture was given


\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   09.04.2010}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{10}{Анализ 10: Эллиптические операторы}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Дифференциальные операторы с коэффициентами в
  модуле}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $A, B$ --- модули над кольцом $R$, которое определено
над полем $k$.
Пространство $\Diff^i(A,B)$ дифференциальных операторов 
порядка $i$ определяется индуктивно.

Дифференциальные операторы нулевого порядка 
$\Diff^0(A,B)$ --- это $R$-линейные отображения 
из $A$ в $B$. $k$-линейное отображение $D:\; A \arrow B$ лежит в
$\Diff^i(A,B)$, если для любого $r\in R$, коммутатор
\[
[D, r](a) = D(ra) - r D(a) 
\]
лежит в $\Diff^{i-1}(A,B)$.
\ео

\задача
Пусть $A, B, C$ --- $R$-модули, а 
 $D_1:\ A \arrow B$, $D_2:\; B \arrow C$ -
дифференциальные операторы порядка $i$, $j$. Докажите, что
композиция $D_1D_2$ --- дифференциальный оператор порядка
$i+j$.
\ез

\задача 
Пусть $R$ --- кольцо полиномов $k[t]$,
а $B$ --- $R$-модуль, одномерный как векторное
пространство над $k$, с умножением, определенным
посредством $t R=0$. Докажите, что 
$\Diff^i(R, B)$ --- это пространство
всех $k$-линейных отображений из $k[t]$ 
в $k$, которые переводят $t^{i+j}$ в 0, 
для всех $j>0$.
\ез

\задача[*]
Пусть $R$ --- кольцо полиномов $k[t]$, а $A$ и $B$ -
$R$-модули, конечномерные над $k$. Докажите, что
$\Diff^*(A, B)$ --- это пространство всех $k$-линейных
отображений из $A$ в $B$.
\ез

\задача[*]
Рассмотрим пространство всех дифференциальных операторов
$\Diff^*(A,B)$ как пространство с фильтрацией, и пусть
$S^i(A, B):= \Diff^i(A,B)/\Diff^{i-1}(A,B)$ ---
присоединенные градуированнные компоненты. 
Определите на пространстве $\oplus_i S^i(A, B)$
естественную структуру модуля над алгеброй $\oplus_i S^i$
символов дифференциальных операторов.
\ез

\определение
Пространство
$\oplus_i S^i(A, B)$ называется {\бф пространством символов
дифференциальных операторов, действующих из $A$ в $B$}.
\ео


\задача[!]
В условиях предыдущей задачи,
 докажите, что 
\begin{equation}\label{_Symb_from_F_to_G_Equation_}
\oplus_i S^i(F, G)\cong \Sym^i TM \otimes
\Hom_{C^\infty M}(F, G),
\end{equation}
где $\Hom_{C^\infty M}(F, G)$ --- пространство сечений
расслоения гомоморфизмов из $F$ в $G$.
\ез

\указание 
Докажите этот факт для случая, когда расслоения $F$ и $G$
тривиальны, а их пространства сечений изоморфны свободным
модулям вида $C^\infty M^n$.
Реализовав $F$ и $G$ как прямые слагаемые
свободных модулей, выведите изоморфизм
\eqref{_Symb_from_F_to_G_Equation_} из того, что он
выполняется для тривиальных расслоений. 
\еу


\задача
Пусть $M$ --- гладкое многообразие, на котором заданы
два векторных расслоения $F$ и $G$. Докажите, что дифференциальные
операторы из $F$ в $G$ {\бф локальны}: если 
$f\in F$ --- сечение с носителем в $K\subset M$, то
носитель $D(f)$ тоже содержится в $K$, для любого
$D\in \Diff^i(F, G)$.
\ез

\задача[*] Пусть $x\in M$ точка, а ${\goth m}_x$ --- ее
максимальный идеал. Выполнен ли изоморфизм
\eqref{_Symb_from_F_to_G_Equation_} в случае
$F= C^\infty M$, $G= C^\infty M/{\goth m}_x$?
А в случае $G=C^\infty M$, $F=  C^\infty M/{\goth m}_x$?
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Эллиптические операторы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $F$, $G$ --- векторные расслоения над гладким
многообразием $M$, а $D\in \Diff^i(F,G)$ -
дифференциальный оператор порядка $i$ 
(мы обозначаем пространства сечений той же самой буквой, что 
и расслоения). Обозначим за $\Symb(D)$ класс
$D$ в 
\[
S^i(F,G):= \Diff^i(F,G)/\Diff^{i-1}(F,G)
\]
Этот класс называется {\бф символом}
дифференциального оператора $D$. 
Воспользовавшись изоморфизмом
\eqref{_Symb_from_F_to_G_Equation_},
мы можем считать $\Symb(D)$ сечением 
расслоения $\Sym^i TM \otimes\Hom (F, G).$
\ео 

\задача
Обозначим за $\pi:\; T^* M \arrow M$
стандартную проекцию.
Постройте взаимно однозначное
соответствие между сечениями 
$\Sym^i TM \otimes\Hom (F, G)$
и сечениями $\pi^* \Hom (F, G)$,
которые заданы $\Hom (F, G)$-значными
полиномами степени $i$
на слоях $\pi$.
\ез

\замечание
В дальнейшем, мы будем рассматривать символ
дифференциального оператора как
$\Hom (F, G)$-значную функцию на 
$T^* M$, полиномиальную на слоях.
\еза


\задача[!]\label{_kompozi_elli_Zadacha_}
Пусть $D_1:\ F \arrow G$, $D_2:\; G \arrow H$ -
дифференциальные операторы. Вычислите символ
композиции $D_1D_2$. Докажите, что символ 
$D_1D_2$ равен произведению символов $D_1$ и $D_2$,
где символы $D_1$, $D_2$ рассматриваются как сечения
$\pi^*\Hom(F, G)$, $\pi^*\Hom(G, H)$, полиномиальные
по слоям, $\pi:\; T^* M \arrow M$ это проекция, а
произведение 
\[
\pi^*\Hom(F, G) \times \pi^*\Hom(G, H)\arrow  \pi^*\Hom(F, H)
\]
задано композицией.
\ез

\определение
Пусть $B$ --- векторное расслоение над $M$, 
а $\Tot B$ его тотальное пространство.
{\бф Нулевым сечением} называется
множество всех нулевых векторов в $\Tot B$.
\ео


\определение
Пусть $F$, $G$ --- $n$-мерные векторные расслоения над гладким
многообразием $M$, $D\in \Diff^i(F,G)$ --- дифференциальный
оператор порядка $i$, а 
$\Symb(D)\in \Sym^i TM \otimes\Hom (F, G)$ --- его символ. 
Рассмотрим $\Symb(D)$ как $\Hom (F, G)$-значную функцию
на кокасательном пространстве $T^* M$, полиномиальную 
на слоях проекции $T^*M \stackrel \pi \arrow M$, то есть как сечение
$s_D\in \pi^* \Hom (F, G)$.  Оператор $D$ называется {\бф эллиптическим},
если $s_D$ обратим вне нулевого сечения $T^*M$.
\ео

\задача
Пусть $M= \R^n$, а 
$\Delta:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ --- 
{\бф классический оператор Лапласа}, заданный формулой
\[
\Delta(f) = \sum_i \frac{d^2f}{dx_i^2}
\]
где $x_i$ --- стандартные координаты на $\R^n$.
Найдите символ $\Delta$. Докажите, что он эллиптичен.
\ез

\задача[!]
Найдите символ оператора Лапласа 
$\Delta:\; \Lambda^* M \arrow \Lambda^* M$. Докажите, что
он эллиптичен.
\ез


\задача[!]
Пусть $D_1, D_2:\; B \arrow B$ --- дифференциальные
операторы на расслоении, такие, что композиция $D_1 D_2$
эллиптична. Докажите, что $D_1$ и $D_2$ --- тоже
эллиптические операторы.
\ез

\задача[!]
Докажите, что оператор $d+d^*:\; \Lambda^* M \arrow
\Lambda^* M$
эллиптический.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Связность на расслоении}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $V$ --- модуль над кольцом $R$.
Рассмотрим модуль $\End(V):=\Hom_R(V, V)$
и $V^*:=\Hom_R(V, R)$. Пусть 
$\chi:\; V\otimes V^* \arrow \Hom_R(V, V)$
переводит $v \otimes \xi$ в $\xi(v)$.
\енум
\итем Докажите, что эта формула задает корректно
определенный гомоморфизм $R$-модулей. Докажите, что
$\chi$ --- изоморфизм, если $k$ это поле, а $V$ ---
конечномерное векторное пространство.

\итем[*] Пусть $V$ --- конечнопорожденный модуль над
кольцом. Всегда ли $\chi$ --- изоморфизм?

\итем[*] Пусть $V$ --- бесконечномерное пространство над
полем. Всегда ли $\chi$ --- изоморфизм?
\ее
\ез

\задача 
Рассмотрим дифференциал де Рама 
$d:\;C^\infty M\arrow \Lambda^1 M$. Докажите, что его
символ 
\[ \Symb(d)
  \in TM\otimes \Hom(C^\infty M,\Lambda^1 M) = TM \otimes
  T^*M
\]
задается тождественным отображением
$\Id_{TM}\in \End(TM)= TM \otimes T^*M$.
\ез


\определение
Пусть $B$ --- гладкое расслоение над $M$,
а $\nabla:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$ --- 
оператор, удовлетворяющий соотношению
\[
\nabla(fb) = b \otimes df + f \nabla b,
\]
для любой функции $f\in C^\infty M$. 
Тогда $\nabla$ называется {\бф связностью} на расслоении $B$.
\ео

\задача
Постройте связность на тривиальном
расслоении $C^\infty M$.
\ез 

\задача
Докажите, что связность есть дифференциальный оператор
первого порядка.
\ез

\задача
Докажите, что символ $\Symb(\nabla)\in TM \otimes \Hom(B,
\Lambda^1 M \otimes B)$ связности 
$\nabla$ задается тождественным отображением
$\Id_{TM}\otimes \Id_B:\; TM \otimes T^* M \otimes
\Hom(B,B)$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что дифференциальный оператор
$\delta:\; B \arrow B \otimes \Lambda^1 M$
является связностью тогда и только тогда,
когда его символ равен $\Id_{TM}\otimes \Id_B$.
\ез

\задача
Пусть $\nabla_A, \nabla_B$ связности на расслоениях
$A$ и $B$. Зададим на $A\otimes B$ дифференциальный
оператор по формуле Лейбница:
\[
\nabla(a\otimes b):= \nabla_A(a) \otimes b + a\otimes \nabla_B(b).
\]
Докажите, что это связность.
\ез

\задача
Пусть $B:= B_1 \oplus B_2$ --- прямая сумма векторных
расслоений, причем на $B$ задана связность $\nabla$.
Обозначим за $\pi_1$ естественную проекцию из $B$
в $B_1$. Докажите, что 
\[ 
 \nabla\circ\pi_1\otimes \Id_{\Lambda^1 M}  :\; B_1 \arrow
 B_1 \otimes \Lambda^1 M
\]
это связность на $B_1$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что на любом расслоении существует связность.
\ез

\указание
Постройте связность для тривиального расслоения
и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Принцип максимума для эллиптических операторов второго порядка}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
Пусть $D:\; C^\infty \R^n \arrow C^\infty\R^n$ --
дифференциальный оператор второго порядка, а $x_1, ..., x_n$ --
координатные функции. Тогда $D$ можно записать в виде
\begin{equation}\label{_elli_gene_Equation_}
D(f) = \sum_{i, j} A^{ij} \frac{d^2f}{dx_i dx_j} +
\sum_i B^i \frac{df}{dx_i} + Cf,
\end{equation}
где $A^{ij}:\; \R^n \arrow \Sym^2 \R^n$
матричнозначная функция на $\R^n$, 
$B^i:\; \R^n\arrow \R^n$ --- 1-форма на $\R^n$, 
а $C$ --- функция
(докажите это).
\еза

\задача
Пусть $D$ --- дифференциальный оператор на $\R^n$,
заданный формулой \eqref{_elli_gene_Equation_}.
\енум
\итем Докажите, что $A^{ij}$ это его символ.
\итем Докажите, что $D$ эллиптический
тогда и только тогда, когда матрица $A^{ij}$
положительно или отрицательно определена
в каждой точке.
\ее
\ез

\определение
Пусть $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ --
 оператор второго порядка, а
$\Symb(D)\in S^2 TM$ его символ.
Мы говорим, что $\Symb(D)$
{\бф положительно определен},
если для каждого ненулевого вектора 
$\xi \in T^*$, имеем
$ \Symb(D)(\xi, \xi)>0$.
\ео

\задача[!]
Пусть $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ --
эллиптический оператор второго порядка.
Докажите, что символ $\Symb(D)$
положительно определен, либо
$\Symb(-D)$ положительно определен.
\ез


\замечание 
Отныне и до конца этого листочка,
$D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ --
эллиптический оператор второго порядка,
причем символ $D$ положительно определен,
а $D(1)=0$.
\еза

\задача
Пусть $f\in C^\infty M$ имеет локальный максимум
в точке $z$. Докажите, что $D(f) \leq 0$.
\ез

\задача[!]
Пусть $f\in C^\infty M$, а $D(f)>0$.
Докажите, что у $f$ не может быть локального максимума.
\ез

\задача
Пусть $D:\; C^\infty \R^n \arrow C^\infty\R^n$ --
эллиптический оператор, записанный 
по формуле \eqref{_elli_gene_Equation_},
причем $C=0$. Пусть $D(f)\geq 0$,
а $\lambda \in \R^{>0}$ удовлетворяет 
$\lambda A^{1,1}> B^1$. Докажите, что 
$D(f+ \phi_\epsilon)>0$, где 
$\phi_\epsilon =\epsilon e^{\lambda x_1}$,
для любого $\epsilon >0$.
\ез

\задача
Пусть $D:\; C^\infty \R^n \arrow C^\infty\R^n$ --
эллиптический оператор, записанный 
по формуле \eqref{_elli_gene_Equation_},
причем $C=0$, $\Omega\subset \R^n$
открытое множество с компактным
замыканием, а $f$ --- функция, которая
достигает максимума внутри $\Omega$.
\енум
\итем Докажите, что можно выбрать
$\lambda$ таким образом, чтобы
$\lambda A^{1,1}> B^1$ на $\Omega$.
\итем
Пусть $\delta:= \sup_\Omega f - \sup_{\6\Omega} f>0$.
Выберем $\epsilon$ таким образом, чтобы
$\sup_\Omega \phi_\epsilon< \frac \delta 2$.
Докажите, что $f+ \phi_\epsilon$ принимает
максимум внутри области $\Omega$.

\итем Докажите, что $D(f + \phi_\epsilon)> D(f)$
\ее
\ез

\задача[!]
(Слабый принцип максимума для эллиптических операторов).\\
Пусть $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$ --
эллиптический оператор второго порядка,
причем символ $D$ положительно определен,
а $D(1)=0$, а $f$ гладкая функция такая, что 
$D(f)\geq 0$. Тогда у $f$ не может быть локальных максимумов.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[**]
(Сильный принцип максимума).\\
В условиях предыдущей задачи,
докажите, что $f(m)< \sup_M f$
для каждой точки $m\in M$.
\ез

\задача
Докажите сильный принцип максимума,
если $M=\R^n$, а $D$ это оператор Лапласа.
\ез 

\задача[*]
Пусть  $B_R(0)\subset \R^n$ -- шар на 
пространстве $\R^n$ с обычной метрикой,
с центром в 0 и радиусом $R$,
а $x\in B_R(0)$ --- любая точка, такая, что
$3r<R$, где $r= |z|$. Докажите, что
для любой неотрицательной гармонической
функции $f$ на $B_R(0)$ имеют место неравенства
\[ f(x) \leq \frac{\int_{B_{2r}(0)} f}{\Vol(B_{r})}
\] 
и 
\[
   f(x) \geq \frac{\int_{B_{2r}(0)} f}{\Vol(B_{3r})}.
\]
\ез

\задача[*]
(Неравенство Харнака)
Пусть $\Omega$ --- область в $\R^n$, замыкание
которой компактно и содержится
в шаре $B\subset \R^n$.
Докажите,  что найдeтся константa $C$ такая, что
для любой неотрицательной гармонической функции $f\in C^\infty B$,
верно неравенство
\[ 
 \sup_\Omega f\geq C\inf_\Omega f
\]
\ез


\end{document}

