\documentclass[12pt]{article}

\input{listki.tex}

% version 1.2, 12.02.2010 - false claims about paracompact manifolds deleted
% version 1.3, 20.02 - modified the [**] problem about very
%               non-Hausdorff manifolds
% version 1.4, 27.02 - много глупостей, поправлено
% version 1.5, 05.03 - поправил  пучки 
% version 1.5, 06.03 - еще несколько поправок от анонима
% version 1.6, 09.03 - еще несколько поправок от анонима
% version 2.0, 24.03 - исправления от Саши Ананьина
% version 2.1, 28.03 - опечатка от ulysses4ever
% version 2.2, 09.04 - забыл про счетность покрытия в одной задаче


\newcommand{\version}{version 2.1,\ \   09.04.2010}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{1}{Анализ 1: Гладкие многообразия.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Топологические многообразия}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
Многообразия бывают {\ем гладкие} (с заданным ``классом
гладкости``), {\ем вещественно аналитические} и {\ем топологические}
(непрерывные).
Эти классы многообразий определяются по-разному.
Когда хотят уточнить класс многообразия, его указывают,
но обыкновенно это ясно из контекста.
\еза

\определение
{\бф Топологическое многообразие} размерности $n$ 
есть топологическое пространство, такое, что у каждой
точки есть окрестность, гомеоморфная $\R^n$.
\ео


\замечание
Пусть группа $G$ действует на множестве $M$.
{\бф Стабилизатор} точки $x\in M$ есть подгруппа
элементов в $G$, оставляющих на месте $x$,
Действие группы на множестве
{\бф свободно}, если стабилизатор любой точки тривиален.
\еза

\замечание
Действие группы на топологическом пространстве
предполагается по умолчанию непрерывным.
\еза

\задача
Конечная группа $G$ свободно действует на хаусдорфовом
многообразии $M$. Докажите, что факторпространство $M/G$ --
тоже многообразие.
\ез

\задача[!]
Приведите пример конечной группы, несвободно действующей
на многообразии $M$, таким образом, что $M/G$ не многообразие. 
\ез

\задача 
Рассмотрим фактор $\R^2$ по действию группы $\{\pm 1\}$,
отображающей $x$ в $-x$. Является ли факторпространство 
многообразием?
\ез

\задача[*] Докажите, что $n$-мерная сфера $S^n$,
$n$-мерное вещественное проективное пространство
$\R P^n$ и $n$-мерное комплексное проективное
пространство $\C P^n$ -- многообразия.
\ез 

\замечание
В определении многообразия, данном выше, не требуется
отделимость, то есть оно множет быть нехаусдорфовым.
Тем не менее, в большинстве случаев многообразия
по умолчанию предполагаются хаусдорфовыми.
\еза

\задача
Приведите пример нехаусдорфова многообразия.
\ез

\задача
Докажите, что $\R^2/\Z^2$ -- многообразие.
\ез


\задача
Пусть $\alpha$ -- иррациональное число,
а $\Z^2$ действует на $\R$
по формуле $t \arrow t + m+ n\alpha$.
Докажите, что это действие свободно,
но фактор $\R /\Z^2$ не является 
многообразием. 
\ез

\задача[**]
Приведите пример нехаусдорфова многообразия $M$ положительной
размерности, такого, что для любых непустых открытых
подмножеств $M$, их замыкания пересекаются, или докажите, что
такого многообразия нет.
\ез

\задача[**] 
Пусть $G\subset GL(n, \R)$ -- компактная подгруппа.
Докажите, что $G$ это многообразие, и 
факторпространство $GL(n, \R)/G$ -- тоже многообразие.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Гладкие многообразия}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Покрытием} топологического пространства
называется набор открытых множеств $\{U_i\}$ такой, что
$\bigcup_i U_i = U$. {\бф Измельчением} покрытия $\{U_i\}$
называется покрытие $\{V_i\}$ такое, что каждое
$V_i$ лежит в каком-то из $U_i$. 
\ео

\задача
Докажите, что любые два покрытия топологического
пространства имеют одинаковое измельчение.
\ез

\определение
Покрытие $\{U_i\}$ многообразия называется
{\бф атласом}, если для каждого $U_i$ задано
отображение $\phi_i :\; U_i \arrow \R^n$, которое
задает гомеоморфизм из $U_i$ на открытое подмножество в $\R^n$. 
{\бф Отображения перехода} суть отображения
\[
\Phi_{ij}:\; \phi_i(U_i \cap U_j) \arrow \phi_i(U_i \cap U_j) 
\]
индуцированные этими гомеоморфизмами.
Атлас называется {\бф гладким}, если все 
отображения перехода гладкие (класса $C^\infty$, то есть
бесконечно дифференцируемые), {\бф гладким класса
$C^i$,} если они дифференцируемы $i$ раз, и
{\бф вещественно аналитическим}, если
все отображения перехода локально разлагаются
в ряд Тэйлора в каждой точке.
\ео

\определение
{\бф Измельчение атласа} есть измельчение соответствующего
покрытия $V_i \subset U_i$, с отображениями 
$\phi_i:\; V_i \arrow \R^n$, полученными ограничением
из $\phi_i:\; U_i \arrow \R^n$. 
Два атласа $(U_i, \phi_i)$ и $(U_i, \psi_i)$
(с одним и тем же покрытием) класса $C^\infty$ или
$C^i$ называются {\бф эквивалентными} в этом классе,
если $\phi_i^{-1} \circ \psi_i$ определяет отображение
этого класса на открытом подмножестве в $\R^n$.
Два произвольных атласа называются эквивалентными,
если у соответствующих покрытий есть общее
измельчение, и соответствующие измельчения
атласов эквивалентны.
\ео

\определение
\label{_gla_mno_Opredelenie_}
{\бф Гладкая структура на многообразии} (класса $C^\infty$ или
$C^i$) есть атлас класса $C^\infty$ или
$C^i$, заданный с точностью до эквивалентности.
{\бф Гладкое многообразие} есть топологическое многообразие
с заданной на нем гладкой структурой.
\ео

\замечание
Ужасно, правда?
\еза

\задача[*]
Приведите пример двух неэквивалентных гладких
структур на $\R^n$.
\ез

\определение
{\бф Гладкая функция} на многообразии $M$ есть функция $f$,
ограничение которой на карту $(U_i, \phi_i)$
дает гладкое отображение $\phi_i^{-1}\circ f$, заданное 
на открытом подмножестве $\phi(U_i)\subset \R^n$.
\ео

\замечание
Есть довольно много способов определить гладкое
многообразие. Вышеприведенный метод -- канонический, и
его надо знать, но он не самый удобный. Два другие способа
(через пучки функций и через теорему Уитни) приводятся 
дальше в листках.
\еза

\определение
{\бф Предпучок функций} на топологическом пространстве
$M$ задается следующими данными. Для каждого
открытого подмножества $U\subset M$, задано
подкольцо ${\cal F}(U)\subset F(U)$ в кольце
$F(U)$ функций на $U$, причем ограничение
функции $\gamma\in {\cal F}(U)$ с открытого множества 
$U$ на подмножество $U_1 \subset U$ принадлежит 
${\cal F}(U_1)$. Предпучок функций называется
{\бф пучком}, если эти подкольца
удовлетворяют следующему
условию. Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие 
множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$
набор функций, заданных для каждого элемента
покрытия, и удовлетворяющих условию
\[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},
\]
для любой пары элементов покрытия. Тогда
существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения
$f$ на $U_i$ дает $f_i$.
\ео


\задача[!]
Пусть ${\cal F}$ -- предпучок функций. Докажите, что
он пучок тогда и только тогда, когда для любого
покрытия $\{U_i\}$ множества $U\subset M$  имеет место точная
последовательность
\[
0 \arrow {\cal F}(U) \arrow \prod_{i} {\cal F}(U_i)
\arrow \prod_{i\neq j} {\cal F}(U_i\cap U_j) 
\]
\ез

\замечание
{\бф Точная последовательность}
есть последовательность абелевых групп и гомоморфизмов
\[
... \arrow A_1\arrow A_2\arrow A_3 \arrow ...
\]
такая, что ядро каждой стрелки совпадает с образом
предыдущей стрелки.
\еза

\задача 
Докажите, что следующие пространства функций на $\R^n$
являются кольцами и задают пучки функций.
\енум 
\итем
Пространство непрерывных функций
\итем
Пространство  бесконечно гладких функций.
\итем
Пространство $i$-кратно дифференцируемых функций 
\итем[*]
Пространство функций, которые получаются как 
поточечный предел последовательности непрерывных функций.
\итем  Пространство функций, которые равны нулю вне
множества нулевой меры. 
\ее
\ез

\задача
Докажите, что на $\R^n$ следующие пространства функций
являются предпучками, но не являются пучками.
\енум
\итем Пространство постоянных функций
\итем Пространство ограниченных функций
\итем Пространство функций, зануляющихся вне ограниченного
подмножества
\итем[*] Пространство функций $f$, удовлетворяющих
$|f| \leq |P|$ для какой-то полиномиальной функции $P$.
\ее
\ез

\определение
{\бф Окольцованное пространство} $(M, {\cal F})$ есть топологическое
пространство с заданным на нем пучком функций.
{\бф Морфизм} $(M, {\cal F}) \stackrel \Psi\arrow (N,
{\cal F}')$  окольцованных пространств
есть непрерывное отображение $M \stackrel \Psi\arrow N$ 
такое, что для каждого открытого множества
$U\subset N$ и функции $f\in {\cal F}(U)$,
функция $\Psi \circ f$ лежит в кольце
${\cal F}'(\Psi^{-1}(U))$. {\бф Изоморфизм}
окольцованных пространств есть гомеоморфизм
$\Psi$ такой, что $\Psi$ и $\Psi^{-1}$
удовлетворяет этому условию (то есть является
морфизмом окольцованных пространств). 
\ео

\замечание
Довольно часто под "окольцованным пространством"
понимают более общее понятие, где "пучок функций"
не обязательно является подпучком в кольце функций
на $M$, а является абстрактно заданным "пучком колец". 
Наше определение проще, но оно не вполне стандартное.
\еза

\задача
Пусть $M, N$ -- открытые подмножества в $\R^n$,
а $\Psi:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение.
Докажите, что оно задает морфизм пространств,
окольцованных гладкими функциями.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- гладкое многообразие какого-то класса
гладкости, a ${\cal F}$ -- пространство функций этого
класса гладкости. Докажите, что это пучок функций.
\ез

\задача[!]
Пусть $M$ -- топологическое многообразие,
а $(U_i, \phi_i)$, $(V_j, \psi_j)$ -- гладкие
структуры на $M$. Докажите, что они эквивалентны
тогда и только тогда, когда соответствующие
пучки гладких функций совпадают.
\ез

\замечание
Из этой задачи сразу следует, что
следующее определение равносильно
Определению \ref{_gla_mno_Opredelenie_}.
\еза

\определение
Пусть $(M, {\cal F})$ -- топологическое многообразие
с заданным на нем пучком функций.
Оно называется {\бф гладким многообразием класса
$C^i$ или $C^\infty$}, если у каждой точки $(M, {\cal F})$
есть окрестность, изоморфная окольцованному пространству
$(\R^n, {\cal F}')$, где ${\cal F}'$ -- функции той же гладкости
на $\R^n$.
\ео

\определение
{\бф Система координат}  на открытом подмножестве $U$
многообразия $(M, {\cal F})$ есть изоморфизм между 
$(U, {\cal F})$ и открытым подмножеством в $\R^n, {\cal F}')$, 
где ${\cal F}'$ -- функции той же гладкости на $\R^n$.
\ео

\замечание
Чтобы избежать усложнения
обозначений, отныне мы будем предполагать все 
гладкие многообразия хаусдорфовыми и бесконечно гладкими.
Случай других классов гладкости рассматривается
аналогично.
\еза

\задача
Пусть $(M, {\cal F})$ и $(N, {\cal F}')$ -- гладкие
многообразия, а $\Psi:\; M \arrow N$ -- непрерывное
отображение. Докажите, что следующие
условия равносильны

(а) В локальных координатах, $\Psi$ задается гладким
отображением

(б) $\Psi$ является морфизмом окольцованных пространств.
\ез

\замечание
Изоморфизм гладких многообразий называется {\бф
  диффеоморфизмом}. Это гомеоморфизм, который
переводит гладкие функции в гладкие.
\еза



\задача[*]
Пусть ${\cal F}$ -- предпучок функций на $\R^n$.
Найдите минимальный пучок, который содержит 
${\cal F}$, для следующих случаев
\енум
\итем Постоянные функции
\итем Функции, равные нулю вне ограниченного подмножества
\итем Измеримые функции с конечной мерой (по Лебегу)
\итем Ограниченные функции
\ее 
\ез

\задача[*]
Рассмотрим окольцованное пространство
$(\R^n, C^i)$, с функциями, которые $i$-кратно
дифференцируемы. Опишите все морфизмы
из $(\R^n, C^{i+1})$ в $(\R^n, C^{i})$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Вложенные многообразия}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Замкнутое вложение} $N \hookrightarrow M$
топологических пространств
есть гомеоморфизм топологического пространства $N$
на его образ, который замкнут в $M$.
\ео

\определение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие размерности $m$ а
$N \subset M$ -- его  подмножество.
Оно называется {\бф вложенным подмногообразием 
размерности $n$}, а $N \hookrightarrow M$ - {\бф гладким вложением},
если у каждой точки $x\in N$ есть окрестность $U\subset M$,
диффеоморфная $\R^m$, и такая, что $U\cap N$ переходит
при этом диффеоморфизме в линейное подпространство размерности $n$.
Если к тому же образ $N$ замкнут, отображение $N \hookrightarrow M$
называется {\бф замкнутым вложением}.
\ео

\задача[!]
Пусть $(M, {\cal F})$ -- гладкое многообразие,
а $N \subset M$ -- вложенное подмногообразие.
Рассмотрим пространство функций ${\cal F'}(U)$ на $U\subset N$, которые
продолжаются до гладкой функции на $M$ в некоторой
окрестности $U$. 
\енум
\итем Докажите, что ${\cal F'}$ это пучок.
\итем Докажите, что он задает структуру 
гладкого многообразия на $N$.
\итем Докажите, что естественное вложение
$(N, {\cal F'}) \arrow (M, {\cal F})$
является морфизмом многообразий.
\ее
\ез

\задача
Пусть $N_1, N_2$ два многообразия,
$\phi_i:\; N_i \arrow M$ -- гладкие вложения.
Предположим, что образ $N_1$ совпадает с образом $N_2$.
Докажите, что эти многообразия изоморфны.
\ез

\замечание
В силу предыдущей задачи, для 
задания гладкой структуры на 
$N$ достаточно гладко вложить его в $\R^n$.
Как будет ясно из следующего листка, любое
многообразие вкладывается в $\R^n$
(при соблюдении разумных условий),
поэтому вместо гладкого многообразия
можно пользоваться "многообразием,
гладко вложенным в $\R^n$".
\еза

\задача
Постройте гладкое вложение
из $\R^2/\Z^2$ в $\R^3$.
\ез

\задача[*]
Докажите, что $\R P^n$ нельзя 
гладко вложить в $\R^{n+1}$, для $n>1$.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Разбиение единицы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие топологического пространства
$M$. Оно называется {\бф локально конечным}, если 
каждая точка $M$ обладает окрестностью, которая
содержится в конечном числе элементов покрытия.
\ео


\задача
Пусть дано локально конечное покрытие
$\{U_i\}$ многообразия $M$, причем каждое из
$U_i$ гомеоморфно $\R^n$. Докажите, что у 
него есть локально конечное измельчение $\{V_i\}$, 
такое, что замыкание каждого $V_i$ компактно в $M$.
\ез

\указание
Покройте каждое $U_i=\R^n$ объединением шаров радиуса 1
с центрами во всех целых точках.
\еу


\задача[!]
Пусть дано счетное, локально конечное покрытие
$\{U_i\}$ многообразия $M$, причем каждое из
$U_i$ снабжено гомеоморфизмом $U_i \stackrel {\phi_i}\arrow \R^n$ 
и имеет компактное замыкание в $M$. Докажите, что 
существует набор чисел $r_i$ такой, что 
$\phi_i^{-1}(B_{r_i})$ -- тоже покрытие $M$,
где $B_{r_i}$ -- открытый шар радиуса $r_i$
с центром в 0.
\ез

\задача[!] 
\label{_pokrytie_postroili_Zadacha_}
Пусть $M$ -- многообразие, допускающее
счетное, локально конечное покрытие, причем каждый
из элементов покрытия гомеоморфен $\R^n$.
Докажите, что у этого покрытия есть локально
конечное измельчение $\{U_i\}$, причем каждое
$U_i$ снабжено гомеоморфизмом 
$U_i \stackrel {\phi_i}\arrow \R^n$, 
а прообразы единичных шаров 
$\phi_i^{-1}(B_{1})$ тоже покрывают $M$.
Проверьте, что можно выбрать отображения
$\phi_i$ гладкими, если $M$ снабжено
гладкой структурой.
\ез


\определение
Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $\{U_i\}$ -- локально
конечное покрытие. {\бф Разбиением единицы, подчиненным
покрытию $\{U_i\}$} называется набор гладких
функций $f_i:\; M \arrow [0,1]$ с компактным носителем, 
пронумерованный тем же набором индексов, что $U_i$, 
и удовлетворяющий следующим условиям.

(а) Каждая из функций $f_i$ зануляется вне 
соответствующего $U_i$

(б) $\sum_i f_i =1$
\ео

\замечание 
Отметим, что сумма  $\sum_i f_i$ определена,
потому что покрытие $U_i$ локально конечно.
\еза

\задача
Докажите, что все производные функции $e^{-\frac 1 {x^2}}$
в нуле равны нулю.
\ез

\задача
Рассмотрим функцию $\lambda$ на $\R^n$,
\[
 \lambda(x) := \begin{cases} 
\text{$\lambda(x) =e^{\frac{1}{|x|^2-1}}$ если $|x|<1$}\\
              \text{$\lambda(x) =0$, если $|x|\geq 1$}
\end{cases}
\]
Докажите, что $\lambda$ гладкая, а все ее производные
в точках единичной сферы равны нулю.
\ез

\задача
Пусть $\{U_i, \phi_i U_i \tilde \arrow \R^n\}$ --
атлас на гладком многообразии $M$.
Рассмотрим функцию $\lambda_i:\; M \arrow [0,1]$,
\[
 \lambda_i(m) := \begin{cases} 
\text{$\lambda_i(m)=\lambda(\phi_i(m))$, если $m \in U_i$}\\
              \text{$\lambda(m) =0$, если $m\notin U_i$}
\end{cases}
\]
Докажите, что это гладкая функция.
\ез


\задача[!]
Пусть $\{U_i, \phi_i:\; U_i \tilde \arrow \R^n\}$
локально конечный атлас на многообразии $M$, такой, что
$\{\phi_i^{-1}(B_1)\}$ тоже покрытие (такой атлас
был построен в задаче \ref{_pokrytie_postroili_Zadacha_}).
Рассмотрим функцию $\lambda_i:\; M \arrow [0,1]$,
построенную в предыдущей задаче.
Докажите, что сумма $\sum_j \lambda_j$ нигде не равна нулю,
а функции $\left\{f_i:=\frac{\lambda_i}{\sum_j
\lambda_j}\right\}$
задают разбиение единицы на $M$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что любое многообразие со счетной базой 
допускает разбиение единицы.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Уитни для компактных многообразий}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Определим $\R^\infty$ как 
объединение всех $\R^i$, вложенных друг в друга
отображениями $(x_1, ..., x_n)\hookrightarrow (x_1, ..., x_n, 0)$
\ео

\задача[*]
Докажите, что это пространство не локально компактно
\ез

\задача 
Докажите, что $\R^\infty$ является
топологической абелевой группой (т.е. наделено 
коммутативной групповой операцией, в которой 
сложение непрерывно).
\ез

\задача[*]
Рассмотрим единичную сферу $S^\infty \subset \R^\infty$.
Докажите, что она стягиваема.
\ез

\задача[*]
Будет ли стягиваемо соответствующее проективное
пространство $\R P^\infty=S^\infty/\{\pm 1\}$?
\ез

\задача
Пусть $M$ -- гладкое многообразие, 
$\{U_i, \phi_i:\; U_i \tilde \arrow \R^n\}$
локально конечный атлас, а $f_i$ -- подчиненное
этому атласу разбиение единицы, такое, что
$f_i=0$ вне некоторого компактного подмножества
$U_i$. Рассмотрим отображение
$\Psi_i:\; M \arrow \R^{n+1}$, 
\[
 \Psi_i(m) := \begin{cases} \text{$\Psi_i(m) =\bigg(f_i(m)\phi_i(m), f_i(m)\bigg)$, если $m \in U_i$}\\
              \text{$\Psi_i(m) =(0, ..., 0)$ если $m\notin U_i$}
\end{cases}
\]
\енум
\итем 
Докажите, что $\Psi_i$ инъективно на множестве,
где $f_i\neq 0$.

\итем Пусть атлас $\{U_i\}$ конечен и состоит
из $m$ карт.
Докажите, что $\bigoplus_i \Psi_i$ задает 
замкнутое вложение из $M$ в $\R^{(n+1)m}$.

\итем[*] Докажите, что $\bigoplus_i \Psi_i$ задает 
замкнутое вложение из $M$ в $\R^{\infty}$,
если число карт в атласе $\{U_i\}$ бесконечно.
\ее
\ез

\задача[!]
Докажите {\бф теорему Уитни} (для компактных многообразий):
каждое компактное многообразие допускает замкнутое, гладкое 
вложение в $\R^n$.
\ез

\задача[*]
Пусть $U\subset M$ -- открытое подмножество гладкого
многообразия, гомеоморфное $\R^n$, а $V\subset U$ -
образ единичного шара.
Постройте гладкое отображение $M$ на единичную сферу $S^n$ в
$\R^{n+1}$, которое инъективно на 
$V$, и отображает дополнение к $U_i$
в $(0,0,0,0, ..., 1)$.
\ез

\задача[**] Докажите, что отображение, построенное
в предыдущей задаче, обязательно сюрьективно.
\ез



\end{document}

