\documentclass[12pt]{article} \input{listki.tex} % version 1.2, 12.02.2010 - false claims about paracompact manifolds deleted % version 1.3, 20.02 - modified the [**] problem about very % non-Hausdorff manifolds % version 1.4, 27.02 - много глупостей, поправлено % version 1.5, 05.03 - поправил пучки % version 1.5, 06.03 - еще несколько поправок от анонима % version 1.6, 09.03 - еще несколько поправок от анонима % version 2.0, 24.03 - исправления от Саши Ананьина % version 2.1, 28.03 - опечатка от ulysses4ever % version 2.2, 09.04 - забыл про счетность покрытия в одной задаче \newcommand{\version}{version 2.1,\ \ 09.04.2010} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{1}{Анализ 1: Гладкие многообразия.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Топологические многообразия} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Многообразия бывают {\ем гладкие} (с заданным ``классом гладкости``), {\ем вещественно аналитические} и {\ем топологические} (непрерывные). Эти классы многообразий определяются по-разному. Когда хотят уточнить класс многообразия, его указывают, но обыкновенно это ясно из контекста. \еза \определение {\бф Топологическое многообразие} размерности $n$ есть топологическое пространство, такое, что у каждой точки есть окрестность, гомеоморфная $\R^n$. \ео \замечание Пусть группа $G$ действует на множестве $M$. {\бф Стабилизатор} точки $x\in M$ есть подгруппа элементов в $G$, оставляющих на месте $x$, Действие группы на множестве {\бф свободно}, если стабилизатор любой точки тривиален. \еза \замечание Действие группы на топологическом пространстве предполагается по умолчанию непрерывным. \еза \задача Конечная группа $G$ свободно действует на хаусдорфовом многообразии $M$. Докажите, что факторпространство $M/G$ -- тоже многообразие. \ез \задача[!] Приведите пример конечной группы, несвободно действующей на многообразии $M$, таким образом, что $M/G$ не многообразие. \ез \задача Рассмотрим фактор $\R^2$ по действию группы $\{\pm 1\}$, отображающей $x$ в $-x$. Является ли факторпространство многообразием? \ез \задача[*] Докажите, что $n$-мерная сфера $S^n$, $n$-мерное вещественное проективное пространство $\R P^n$ и $n$-мерное комплексное проективное пространство $\C P^n$ -- многообразия. \ез \замечание В определении многообразия, данном выше, не требуется отделимость, то есть оно множет быть нехаусдорфовым. Тем не менее, в большинстве случаев многообразия по умолчанию предполагаются хаусдорфовыми. \еза \задача Приведите пример нехаусдорфова многообразия. \ез \задача Докажите, что $\R^2/\Z^2$ -- многообразие. \ез \задача Пусть $\alpha$ -- иррациональное число, а $\Z^2$ действует на $\R$ по формуле $t \arrow t + m+ n\alpha$. Докажите, что это действие свободно, но фактор $\R /\Z^2$ не является многообразием. \ез \задача[**] Приведите пример нехаусдорфова многообразия $M$ положительной размерности, такого, что для любых непустых открытых подмножеств $M$, их замыкания пересекаются, или докажите, что такого многообразия нет. \ез \задача[**] Пусть $G\subset GL(n, \R)$ -- компактная подгруппа. Докажите, что $G$ это многообразие, и факторпространство $GL(n, \R)/G$ -- тоже многообразие. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Гладкие многообразия} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Покрытием} топологического пространства называется набор открытых множеств $\{U_i\}$ такой, что $\bigcup_i U_i = U$. {\бф Измельчением} покрытия $\{U_i\}$ называется покрытие $\{V_i\}$ такое, что каждое $V_i$ лежит в каком-то из $U_i$. \ео \задача Докажите, что любые два покрытия топологического пространства имеют одинаковое измельчение. \ез \определение Покрытие $\{U_i\}$ многообразия называется {\бф атласом}, если для каждого $U_i$ задано отображение $\phi_i :\; U_i \arrow \R^n$, которое задает гомеоморфизм из $U_i$ на открытое подмножество в $\R^n$. {\бф Отображения перехода} суть отображения \[ \Phi_{ij}:\; \phi_i(U_i \cap U_j) \arrow \phi_i(U_i \cap U_j) \] индуцированные этими гомеоморфизмами. Атлас называется {\бф гладким}, если все отображения перехода гладкие (класса $C^\infty$, то есть бесконечно дифференцируемые), {\бф гладким класса $C^i$,} если они дифференцируемы $i$ раз, и {\бф вещественно аналитическим}, если все отображения перехода локально разлагаются в ряд Тэйлора в каждой точке. \ео \определение {\бф Измельчение атласа} есть измельчение соответствующего покрытия $V_i \subset U_i$, с отображениями $\phi_i:\; V_i \arrow \R^n$, полученными ограничением из $\phi_i:\; U_i \arrow \R^n$. Два атласа $(U_i, \phi_i)$ и $(U_i, \psi_i)$ (с одним и тем же покрытием) класса $C^\infty$ или $C^i$ называются {\бф эквивалентными} в этом классе, если $\phi_i^{-1} \circ \psi_i$ определяет отображение этого класса на открытом подмножестве в $\R^n$. Два произвольных атласа называются эквивалентными, если у соответствующих покрытий есть общее измельчение, и соответствующие измельчения атласов эквивалентны. \ео \определение \label{_gla_mno_Opredelenie_} {\бф Гладкая структура на многообразии} (класса $C^\infty$ или $C^i$) есть атлас класса $C^\infty$ или $C^i$, заданный с точностью до эквивалентности. {\бф Гладкое многообразие} есть топологическое многообразие с заданной на нем гладкой структурой. \ео \замечание Ужасно, правда? \еза \задача[*] Приведите пример двух неэквивалентных гладких структур на $\R^n$. \ез \определение {\бф Гладкая функция} на многообразии $M$ есть функция $f$, ограничение которой на карту $(U_i, \phi_i)$ дает гладкое отображение $\phi_i^{-1}\circ f$, заданное на открытом подмножестве $\phi(U_i)\subset \R^n$. \ео \замечание Есть довольно много способов определить гладкое многообразие. Вышеприведенный метод -- канонический, и его надо знать, но он не самый удобный. Два другие способа (через пучки функций и через теорему Уитни) приводятся дальше в листках. \еза \определение {\бф Предпучок функций} на топологическом пространстве $M$ задается следующими данными. Для каждого открытого подмножества $U\subset M$, задано подкольцо ${\cal F}(U)\subset F(U)$ в кольце $F(U)$ функций на $U$, причем ограничение функции $\gamma\in {\cal F}(U)$ с открытого множества $U$ на подмножество $U_1 \subset U$ принадлежит ${\cal F}(U_1)$. Предпучок функций называется {\бф пучком}, если эти подкольца удовлетворяют следующему условию. Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$ набор функций, заданных для каждого элемента покрытия, и удовлетворяющих условию \[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j}, \] для любой пары элементов покрытия. Тогда существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения $f$ на $U_i$ дает $f_i$. \ео \задача[!] Пусть ${\cal F}$ -- предпучок функций. Докажите, что он пучок тогда и только тогда, когда для любого покрытия $\{U_i\}$ множества $U\subset M$ имеет место точная последовательность \[ 0 \arrow {\cal F}(U) \arrow \prod_{i} {\cal F}(U_i) \arrow \prod_{i\neq j} {\cal F}(U_i\cap U_j) \] \ез \замечание {\бф Точная последовательность} есть последовательность абелевых групп и гомоморфизмов \[ ... \arrow A_1\arrow A_2\arrow A_3 \arrow ... \] такая, что ядро каждой стрелки совпадает с образом предыдущей стрелки. \еза \задача Докажите, что следующие пространства функций на $\R^n$ являются кольцами и задают пучки функций. \енум \итем Пространство непрерывных функций \итем Пространство бесконечно гладких функций. \итем Пространство $i$-кратно дифференцируемых функций \итем[*] Пространство функций, которые получаются как поточечный предел последовательности непрерывных функций. \итем Пространство функций, которые равны нулю вне множества нулевой меры. \ее \ез \задача Докажите, что на $\R^n$ следующие пространства функций являются предпучками, но не являются пучками. \енум \итем Пространство постоянных функций \итем Пространство ограниченных функций \итем Пространство функций, зануляющихся вне ограниченного подмножества \итем[*] Пространство функций $f$, удовлетворяющих $|f| \leq |P|$ для какой-то полиномиальной функции $P$. \ее \ез \определение {\бф Окольцованное пространство} $(M, {\cal F})$ есть топологическое пространство с заданным на нем пучком функций. {\бф Морфизм} $(M, {\cal F}) \stackrel \Psi\arrow (N, {\cal F}')$ окольцованных пространств есть непрерывное отображение $M \stackrel \Psi\arrow N$ такое, что для каждого открытого множества $U\subset N$ и функции $f\in {\cal F}(U)$, функция $\Psi \circ f$ лежит в кольце ${\cal F}'(\Psi^{-1}(U))$. {\бф Изоморфизм} окольцованных пространств есть гомеоморфизм $\Psi$ такой, что $\Psi$ и $\Psi^{-1}$ удовлетворяет этому условию (то есть является морфизмом окольцованных пространств). \ео \замечание Довольно часто под "окольцованным пространством" понимают более общее понятие, где "пучок функций" не обязательно является подпучком в кольце функций на $M$, а является абстрактно заданным "пучком колец". Наше определение проще, но оно не вполне стандартное. \еза \задача Пусть $M, N$ -- открытые подмножества в $\R^n$, а $\Psi:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение. Докажите, что оно задает морфизм пространств, окольцованных гладкими функциями. \ез \задача Пусть $M$ -- гладкое многообразие какого-то класса гладкости, a ${\cal F}$ -- пространство функций этого класса гладкости. Докажите, что это пучок функций. \ез \задача[!] Пусть $M$ -- топологическое многообразие, а $(U_i, \phi_i)$, $(V_j, \psi_j)$ -- гладкие структуры на $M$. Докажите, что они эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие пучки гладких функций совпадают. \ез \замечание Из этой задачи сразу следует, что следующее определение равносильно Определению \ref{_gla_mno_Opredelenie_}. \еза \определение Пусть $(M, {\cal F})$ -- топологическое многообразие с заданным на нем пучком функций. Оно называется {\бф гладким многообразием класса $C^i$ или $C^\infty$}, если у каждой точки $(M, {\cal F})$ есть окрестность, изоморфная окольцованному пространству $(\R^n, {\cal F}')$, где ${\cal F}'$ -- функции той же гладкости на $\R^n$. \ео \определение {\бф Система координат} на открытом подмножестве $U$ многообразия $(M, {\cal F})$ есть изоморфизм между $(U, {\cal F})$ и открытым подмножеством в $\R^n, {\cal F}')$, где ${\cal F}'$ -- функции той же гладкости на $\R^n$. \ео \замечание Чтобы избежать усложнения обозначений, отныне мы будем предполагать все гладкие многообразия хаусдорфовыми и бесконечно гладкими. Случай других классов гладкости рассматривается аналогично. \еза \задача Пусть $(M, {\cal F})$ и $(N, {\cal F}')$ -- гладкие многообразия, а $\Psi:\; M \arrow N$ -- непрерывное отображение. Докажите, что следующие условия равносильны (а) В локальных координатах, $\Psi$ задается гладким отображением (б) $\Psi$ является морфизмом окольцованных пространств. \ез \замечание Изоморфизм гладких многообразий называется {\бф диффеоморфизмом}. Это гомеоморфизм, который переводит гладкие функции в гладкие. \еза \задача[*] Пусть ${\cal F}$ -- предпучок функций на $\R^n$. Найдите минимальный пучок, который содержит ${\cal F}$, для следующих случаев \енум \итем Постоянные функции \итем Функции, равные нулю вне ограниченного подмножества \итем Измеримые функции с конечной мерой (по Лебегу) \итем Ограниченные функции \ее \ез \задача[*] Рассмотрим окольцованное пространство $(\R^n, C^i)$, с функциями, которые $i$-кратно дифференцируемы. Опишите все морфизмы из $(\R^n, C^{i+1})$ в $(\R^n, C^{i})$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Вложенные многообразия} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Замкнутое вложение} $N \hookrightarrow M$ топологических пространств есть гомеоморфизм топологического пространства $N$ на его образ, который замкнут в $M$. \ео \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие размерности $m$ а $N \subset M$ -- его подмножество. Оно называется {\бф вложенным подмногообразием размерности $n$}, а $N \hookrightarrow M$ - {\бф гладким вложением}, если у каждой точки $x\in N$ есть окрестность $U\subset M$, диффеоморфная $\R^m$, и такая, что $U\cap N$ переходит при этом диффеоморфизме в линейное подпространство размерности $n$. Если к тому же образ $N$ замкнут, отображение $N \hookrightarrow M$ называется {\бф замкнутым вложением}. \ео \задача[!] Пусть $(M, {\cal F})$ -- гладкое многообразие, а $N \subset M$ -- вложенное подмногообразие. Рассмотрим пространство функций ${\cal F'}(U)$ на $U\subset N$, которые продолжаются до гладкой функции на $M$ в некоторой окрестности $U$. \енум \итем Докажите, что ${\cal F'}$ это пучок. \итем Докажите, что он задает структуру гладкого многообразия на $N$. \итем Докажите, что естественное вложение $(N, {\cal F'}) \arrow (M, {\cal F})$ является морфизмом многообразий. \ее \ез \задача Пусть $N_1, N_2$ два многообразия, $\phi_i:\; N_i \arrow M$ -- гладкие вложения. Предположим, что образ $N_1$ совпадает с образом $N_2$. Докажите, что эти многообразия изоморфны. \ез \замечание В силу предыдущей задачи, для задания гладкой структуры на $N$ достаточно гладко вложить его в $\R^n$. Как будет ясно из следующего листка, любое многообразие вкладывается в $\R^n$ (при соблюдении разумных условий), поэтому вместо гладкого многообразия можно пользоваться "многообразием, гладко вложенным в $\R^n$". \еза \задача Постройте гладкое вложение из $\R^2/\Z^2$ в $\R^3$. \ез \задача[*] Докажите, что $\R P^n$ нельзя гладко вложить в $\R^{n+1}$, для $n>1$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Разбиение единицы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие топологического пространства $M$. Оно называется {\бф локально конечным}, если каждая точка $M$ обладает окрестностью, которая содержится в конечном числе элементов покрытия. \ео \задача Пусть дано локально конечное покрытие $\{U_i\}$ многообразия $M$, причем каждое из $U_i$ гомеоморфно $\R^n$. Докажите, что у него есть локально конечное измельчение $\{V_i\}$, такое, что замыкание каждого $V_i$ компактно в $M$. \ез \указание Покройте каждое $U_i=\R^n$ объединением шаров радиуса 1 с центрами во всех целых точках. \еу \задача[!] Пусть дано счетное, локально конечное покрытие $\{U_i\}$ многообразия $M$, причем каждое из $U_i$ снабжено гомеоморфизмом $U_i \stackrel {\phi_i}\arrow \R^n$ и имеет компактное замыкание в $M$. Докажите, что существует набор чисел $r_i$ такой, что $\phi_i^{-1}(B_{r_i})$ -- тоже покрытие $M$, где $B_{r_i}$ -- открытый шар радиуса $r_i$ с центром в 0. \ез \задача[!] \label{_pokrytie_postroili_Zadacha_} Пусть $M$ -- многообразие, допускающее счетное, локально конечное покрытие, причем каждый из элементов покрытия гомеоморфен $\R^n$. Докажите, что у этого покрытия есть локально конечное измельчение $\{U_i\}$, причем каждое $U_i$ снабжено гомеоморфизмом $U_i \stackrel {\phi_i}\arrow \R^n$, а прообразы единичных шаров $\phi_i^{-1}(B_{1})$ тоже покрывают $M$. Проверьте, что можно выбрать отображения $\phi_i$ гладкими, если $M$ снабжено гладкой структурой. \ез \определение Пусть $M$ -- гладкое многообразие, а $\{U_i\}$ -- локально конечное покрытие. {\бф Разбиением единицы, подчиненным покрытию $\{U_i\}$} называется набор гладких функций $f_i:\; M \arrow [0,1]$ с компактным носителем, пронумерованный тем же набором индексов, что $U_i$, и удовлетворяющий следующим условиям. (а) Каждая из функций $f_i$ зануляется вне соответствующего $U_i$ (б) $\sum_i f_i =1$ \ео \замечание Отметим, что сумма $\sum_i f_i$ определена, потому что покрытие $U_i$ локально конечно. \еза \задача Докажите, что все производные функции $e^{-\frac 1 {x^2}}$ в нуле равны нулю. \ез \задача Рассмотрим функцию $\lambda$ на $\R^n$, \[ \lambda(x) := \begin{cases} \text{$\lambda(x) =e^{\frac{1}{|x|^2-1}}$ если $|x|<1$}\\ \text{$\lambda(x) =0$, если $|x|\geq 1$} \end{cases} \] Докажите, что $\lambda$ гладкая, а все ее производные в точках единичной сферы равны нулю. \ез \задача Пусть $\{U_i, \phi_i U_i \tilde \arrow \R^n\}$ -- атлас на гладком многообразии $M$. Рассмотрим функцию $\lambda_i:\; M \arrow [0,1]$, \[ \lambda_i(m) := \begin{cases} \text{$\lambda_i(m)=\lambda(\phi_i(m))$, если $m \in U_i$}\\ \text{$\lambda(m) =0$, если $m\notin U_i$} \end{cases} \] Докажите, что это гладкая функция. \ез \задача[!] Пусть $\{U_i, \phi_i:\; U_i \tilde \arrow \R^n\}$ локально конечный атлас на многообразии $M$, такой, что $\{\phi_i^{-1}(B_1)\}$ тоже покрытие (такой атлас был построен в задаче \ref{_pokrytie_postroili_Zadacha_}). Рассмотрим функцию $\lambda_i:\; M \arrow [0,1]$, построенную в предыдущей задаче. Докажите, что сумма $\sum_j \lambda_j$ нигде не равна нулю, а функции $\left\{f_i:=\frac{\lambda_i}{\sum_j \lambda_j}\right\}$ задают разбиение единицы на $M$. \ез \задача[!] Докажите, что любое многообразие со счетной базой допускает разбиение единицы. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Уитни для компактных многообразий} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Определим $\R^\infty$ как объединение всех $\R^i$, вложенных друг в друга отображениями $(x_1, ..., x_n)\hookrightarrow (x_1, ..., x_n, 0)$ \ео \задача[*] Докажите, что это пространство не локально компактно \ез \задача Докажите, что $\R^\infty$ является топологической абелевой группой (т.е. наделено коммутативной групповой операцией, в которой сложение непрерывно). \ез \задача[*] Рассмотрим единичную сферу $S^\infty \subset \R^\infty$. Докажите, что она стягиваема. \ез \задача[*] Будет ли стягиваемо соответствующее проективное пространство $\R P^\infty=S^\infty/\{\pm 1\}$? \ез \задача Пусть $M$ -- гладкое многообразие, $\{U_i, \phi_i:\; U_i \tilde \arrow \R^n\}$ локально конечный атлас, а $f_i$ -- подчиненное этому атласу разбиение единицы, такое, что $f_i=0$ вне некоторого компактного подмножества $U_i$. Рассмотрим отображение $\Psi_i:\; M \arrow \R^{n+1}$, \[ \Psi_i(m) := \begin{cases} \text{$\Psi_i(m) =\bigg(f_i(m)\phi_i(m), f_i(m)\bigg)$, если $m \in U_i$}\\ \text{$\Psi_i(m) =(0, ..., 0)$ если $m\notin U_i$} \end{cases} \] \енум \итем Докажите, что $\Psi_i$ инъективно на множестве, где $f_i\neq 0$. \итем Пусть атлас $\{U_i\}$ конечен и состоит из $m$ карт. Докажите, что $\bigoplus_i \Psi_i$ задает замкнутое вложение из $M$ в $\R^{(n+1)m}$. \итем[*] Докажите, что $\bigoplus_i \Psi_i$ задает замкнутое вложение из $M$ в $\R^{\infty}$, если число карт в атласе $\{U_i\}$ бесконечно. \ее \ез \задача[!] Докажите {\бф теорему Уитни} (для компактных многообразий): каждое компактное многообразие допускает замкнутое, гладкое вложение в $\R^n$. \ез \задача[*] Пусть $U\subset M$ -- открытое подмножество гладкого многообразия, гомеоморфное $\R^n$, а $V\subset U$ - образ единичного шара. Постройте гладкое отображение $M$ на единичную сферу $S^n$ в $\R^{n+1}$, которое инъективно на $V$, и отображает дополнение к $U_i$ в $(0,0,0,0, ..., 1)$. \ез \задача[**] Докажите, что отображение, построенное в предыдущей задаче, обязательно сюрьективно. \ез \end{document}