   

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf}
%,wasysym}


% Taken from extarrows.sty by Chim Cut Canh
\makeatletter
\def\x@arrow{\DOTSB\Relbar}
\def\xlongrightarrowfill@{\arrowfill@\relbar\relbar\longrightarrow}
\newcommand{\xlongrightarrow}[2][]{%
        \ext@arrow 0099\xlongrightarrowfill@{#1}{#2}}
\makeatother


\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\��������{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\�����{\small}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\6{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\const}{\operatorname{\sf const}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{%
     {\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it ������ ����\scriptsize \hfil
  \tiny �. ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ������ ����, ������ 10:\\[2mm] ������������ ����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ���������} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 9 ��� 2015\\ ���}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�������

{\�� \���� ������������ �������� ������}

\�����������
����� $(M, \mu)$ -- ������������ � �����,
� $G$ -- ������, ����������� �� $M$, �������� $\mu$.
�������� ���������� {\�� \���� ������������}, ����
��� ������� ���������� $G$-������������� ������������
$Z\subset M$, ���� $Z$, ���� $M \backslash Z$ �����
���� 0. � ���� �������� ���� $\mu$ ����������
{\�� \���� ������������}.

\�����������
�������� ����� � ��������� ������������ ���� 
�������� ������������, ������������ ������������
��������� �� $\lambda \in \R^{>0}$.

\��������� $G$-������������ ���� �������� 
�������� �����.

\�����������
����� $a$ -- ����� � �������� ������ $A$.
��� ���������� {\��\���� �������������},
���� ��� ������ ��������� ��������� 
$]x,y[$ � ������� � $A$, ����������� $a$,
$x$ � $y$ ��������������� $a$.

\�������
{\�� \��� ���� ��������� ����� � ������ �����, ����� ���
�������� ������������� ������ � ������ 
$G$-������������ ���.}

{\�� \����� �������������� ��. ����� �����.}

\�������

{\�� \���� ������������ ���� � ������������ �������}

\�����
{\�� \��� ���� $\mu$ �� $(M, G)$ ��������� ����� � ������ �����,
����� ��� ����� $G$-������������ ��������� ������� $f$ �� $M$,
$f$ ��������� ����� �����.}

\��������������
����� "�����, �����"  ��������, ���������� ����� �� $f$ ������������������
������� ���������� ���������.

{\�� \����� ["������ �����":]}
��������� $f$ ������������ ���������
���� \[ x\stackrel {f_n}\longrightarrow \frac 1 {2^n} [2^nf(x)],\]
��� � ������ 4. ������ �� ���� ������� $G$-�����������,
�������������, ���� �� �� ��������� ������� ���� ����� ��� $M$,
��������� ����� ���� 0. ������, ���  $f_n$ ���������
����� �����. ������ ���������� ������� ���� ����������.
\��������

\�������

{\�� \���� ������������ ���� � ������������� �����}


\�������
{\�� \��� ���� �� $M$ ��������� ����� � ������ �����, ����� ���
�������� ������������� ������ � ������ 
$G$-������������ ���.}

\����
����� $x, y$ ��� ����, � $a= tx + (1-t)y$
����� �� ��������� $]x,y[$. {\�� \���� 
����� $a \preccurlyeq x$ � $a \preccurlyeq y$.} 

{\�� \����� ��� 2:} �� ������� ������-��������, 
� ���� �������� ���������� ������� $f$ �� $M$ �����, ��� 
$a = f x$.

{\�� \����� ��� 3:} ���� $a$ ������������ � �����������
���������  $]x,y[$, ��������������� ������� $f$
��������� � ���� ����� ����. 
{\�� \��� ������� $a$ ��������������� $x$.}
\�������� 

\�������

{\�� \���� ������� ������-�������� (��� ��������������)}


\�����������
{\�� \���� $\delta$-�������� ������} � ����� $x$
���������� ���� $\mu_x$ �����, ��� $\mu_x(U)=1$
��� $x\in U$ � $\mu_x(U)=0$ ��� $x\notin U$.

\�����������
���� �������� $G$ �� $M$ ����������, {\�� \��� ���� ���������
���� � ������ ���� ��� ������-�������.}

\��������������
������ ������������� ����� � ������ ���� ��� ���
{\�� \������ (��������� ���)}. \��������

\������� {\��\blue  (�����-�������)}\\
����� $S$ -- ���������, �������� ������������ � 
�������������� ��������� ������������. {\�� \��� ����� $S$
���� ��������� �������� �������� ����� ������������� �����.}

\���������
{\�� \������ ������������ ���� ����������.}




\�������

{\�� \���� ������� ����}

\�����������
{\�� \���� ������������� ����} ���� ����� ���� $\mu$ �� $M$,
��� $\mu(M)=1$.

\�����������
����� $\mu$ -- ������������� ���� �� ��������� ������������ $X$.
��������� �� $\int_X \mu \cdot \Id$ �������� �� �������������
��������������� ������� �� $X$. ��� ����� ������� ��������� $X$
�� ��������� � ���� $\mu$, ��� �� {\�� \���� ������� �� ����}.

\������� {\�� \���� (������� ����)}
����� $A\subset V$ -- ��������� �������� ����� � ������ ��������������
��������� ������������. {\�� \��� ����� ��� ������ ����� $x\in A$
���������� ������������� ���� $\mu$ �� ��������� $�$ ������������� ����� $A$
�����, ��� $x= \int_E \mu \Id$ (������� �� ���� $\mu$).}

�������������� ��. ��������.

������� �������, {\�� \������ ����� $G$-������������ ���� �����������
� (��������, �������������) �������� ���������� ������������.}

\�������

{\�� \���� ������������ � ������� ������}


\�����������
{\�� \���� ���� ������} �� ������������ $M$ ���� ����,
������� � ������ ����� �������� $M$ ���������� ��� $f \mu$,
��� $f$ ��������� ����������� �������, � $\mu$ �����������
���� �� $\R^n$.

\�������
����� $G$ ��������� ��������� �� $(M, \mu)$, ��� $M$ ��� ������������, � 
$\mu$ ���� ���� ������. {\�� \��� 
����� ����� ��� ������ �������� $G$ ������.}

\����
����� $U\subset M$ -- �������� ���������. ����� $G\cdot U$
$G$-����������� � ����� ������������� ����, ������, ���
���������� $Z_U$ ����� ���� 0. �� �����������, {\�� \������ $Z_U$ ����
��������� �����, ��� ������ �� ���������� $U$.}

{\�� \����� ��� 2:} 
������� ������� ���� $U_i$ ��������� �� $M$, � ����� 
$Z:= \bigcup Z_{U_i}$. {\�� \������ ��� ������ $m$ �� ���������� � $Z$,
������ $m$ ���������� ������ $U_i$, � ������, ������,}
�� $Z$ ����� ���� ����, ������ ������� ������������ ��������
���� 0.
\��������

\�������

{\�� \���� ������ $*$ ��������� �� �����}

\�����������
���������� ������������ $\goth A$  ���� ����������� ���
�� �����������
�������������� ������������ $M$. �������� {\��\���� ������ $*$ ���������}
������� �� �������� 
$V_{U, ]x, y[}:= \{ \mu \in \goth A\ \ |\ \ \mu(U)\in ]x, y[\}$,
��� $U\subset M$ �������� ������������, � $]x, y[\subset \R$ --
�������. 

\���������
������������������ ��� $\mu_i$ �������� � ���� $\mu$
����� � ������ �����, ����� $\lim_i \mu_i(U)=\mu(U)$
��� ������ ��������� ��������� {\�� \������ (�������� ���)}.

\��������� 
������������������ ��� $\mu_i$ �������� � ���� $\mu$
����� � ������ �����, ����� $\lim_i \int f\mu_i=\int f\mu$
��� ����� �����������, ������������ ������� $f$ �� $M$
 {\�� \������ (�������� ���)}.

\�������

{\�� \���� ������������ ������������ ���. }

\�������
����� ${\goth A}_1$ -- ������������ ���� ������������� ���
�� ��������, ���������� ������ $*$ ����������. 
{\�� \��� ����� ${\goth A}_1$ ���������.}

\���� 
��������� ������ $*$ ��������� ������������ �����������
����������� �� ������������ ${\goth C}$ ����������� �� ��������
�������� � $[0,1]$, ��������� ${\goth A}_1$ ���������.
������� ���������� ��������, ��� ${\goth A}_1$
�������� � ${\goth C}$.

{\�� \����� ��� 2:}
����� $\mu\in {\goth C}$ -- ������ ������������������ ��� $\mu_i$.
��� �������� ��������, ��� ��� ���� ����  {\�� \������ (�������� ���)}.
\��������


\�������

{\�� \���� ������ $*$ ��������� �� ����� � $L^1$-���������}



\�����������
���������� ������������ ��������������� $L^1$-�������
�� ������������ $(M,\mu)$ � ����� ������. ������ �����
������� $f$ ������������� ���� $f \mu$.
����������� ����� �������
$\Psi:\;L^1(M)_+\arrow {\goth A}$ 
�� ������������ $L^1(M)_+$ ������������, 
��������������� $L^1$-�������
� ������������ ${\goth A}$ ��� �� ������ $*$ ���������� 
���� {\�� \��� ������������ $L^1(M)_+$ �� ��� �����, ���������
�� ���� ��������� ����������� ���.}

\��������������
����� $\{f_i\}$ -- ������������������ �������,
���������� � $f$ � $L^1$. ����� $\int_M f_i \alpha\mu $ ��������
� $\int_M f\alpha \mu$ ��� ����� ����������� ������� $\alpha$ 
{\�� \������ (�������� ���)}. ������� ����������� $\Psi$ 
����������. 

��������, ���� $f_i \mu$ -- ������������������
���, ���������� � $f\mu$ � ������ $*$ ���������,
�� $\lim_i \int |f-f_i|\mu =0$, ������,
$f_i$ �������� � $f$ � $L^1$. \��������



\�������

{\�� \���� ������������ ��������� � ������ $*$ ���������}

\�����������
����� $(M, \mu)$ -- ������������ � �����������
�����, � $\rho$ -- ���� �� $M\times M$.
{\��\���� ������� � ����� $\rho$} ���� �������� $C_\rho$,
����������� ������������, �������������
������� $f$ � ${\pi_1}_* (\rho \pi_2^* f)$, ���
$\pi_1, \pi_2:\; � \times � \arrow �$ -- ��������.

{\�� \����� ����������� 1:}
����� $\rho_i$ -- ������������������ ����
(��� �� $M \times M$), ������� �������� � ���� $\rho$
� ������ $*$ ���������. {\�� \��� ����� $\lim_i C_{\rho_i}(f) = C_{\rho}(f)$
��� ����� ������������, ������������� ������� $f$.}

\�������������� 
{\�� \������ �������� ��������������.} \��������




\�������

{\�� \���� ��������� ��������� � ����������� ���������}

\�����������
����� $A$ -- ��������� ������������ � $\R^n,\mu$.
{\��\���� ���������} $A$ � $x$ ���� ������
$\lim\limits_{r\arrow 0} \nu_A^r$, ���
$\nu_A^r:=\frac {\mu(A \cap B_r(x))}{\mu(B_r(x))}$, �
$B_r(x)$ ���� ���� � ������� � $x$ ������� $r$.

\���������
������� $\nu_A^r$ ���������� �� ����������������o�
������� $\chi_A$ �������� �� ��� ������� �� ����
$B_r(0)$ � ����������� �� ����. {\�� \������ �� ����� ������� � �����, ���
����� ������� ���: $\mu \nu_A^r=(\pi_2)_*(\rho_r \cdot (\pi_1)^* \chi_A)$,
��� $\pi_i$ -- �������� �� $\R^n \times \R^n$ � $\R^n$,
� $\rho_r(x,y)= \chi_{B_r(0)}(x-y)\mu_{R^{2n}}$.}

\�����������
{\�� \���� �����������} ��������� $\int_{B_r(x)} f$
���� ������� 
\[ R_f(x):= 
\lim\limits _{r\mapsto 0} \frac {\int_{B_r(x)} f\mu}{\mu(B_r(x))}.
\]

\��������� 
{\�� \������ ����������� ��������� ������������������ ������� ���� ���������:
$R_{\chi_A}= \nu_A$.}



\�������

{\�� \���� ������� ������ � �����������������}


\���������
��� � $\nu_A^r$, {\�� \������
 ������� $R^r_f(x):=\frac {\int_{B_r(x)} f\mu }{\mu(B_r(x))}$
���������� ����� ������� � �����:} 
$\mu R^r_f(x)= (\pi_2)_*(\rho_r \cdot (\pi_1)^* f)$.

\������� {\�� \���� (������� ������ � �����������������)}\\
����� $f$ -- $L^1$-������� �� $R^n$. {\�� \��� ����� �����������
��������� $R_f$ ���������� ����� �����, � ����� �����
����� $f$.}

\����
��������� {\�� \���� ������-������� ��������� $\Delta$} ��������
$\Delta(A) = \mu(A\cap \Delta)$, ��� $A\cap \Delta$
��������������� � ������������� $\R^n$ ���������.
����� $\lim\limits_{r\mapsto 0} \rho_r = \Delta$ � ������
������ $*$ ��������� {\�� \������ (��������� ���).}

{\�� \����� ��� 2:} ����� ������, ��� ������� � 
$\Delta$ ��� ������������� ��������.

{\�� \����� ��� 3:} �� ����������� 1 �������, ���
��������� ������� $f$ � $\rho_r$ ��� ���������� $r$ � 0
�������� � ���������� ������� $f$ � $\Delta$, �� ����
� $f$, ��� � ����������� ��������. 
\��������






\�������

{\�� \���� ������������ ���������}


\������� {\�� \���� (������� ������ � ���������)}\\
{\�� \��� ����� ��� ����� ���������� ��������� $A$ ����� ��������� 1.}

\�������������� ������� �� ������� ������ �
�����������������, ����������� � ������������������
������� $A$. \��������


\�������
����� $\alpha$ -- �������������� ������� ���������� $S^1$,
� $G=\Z$ -- ����������� �� ������. {\�� \���� ����� �������� $G$ ���������.}

\��������������
����� $A$ ���� $G$-������������ ��������� ��������� ����,
�����, ��� ��� ���������� ���� ����� ��������� ����.
������� ����� $x\in A$ ��������� 1 � ����� $y\in S^1 \backslash A$
��������� 1. ����� $I_1$ � $I_2$ -- ������� ����� � ��� �� �����,
���������� $x$ � $y$ �����, ��� 
$\frac {\mu(I_1 \cap A)}{\mu(I_1)}= 1-\epsilon$, � 
$\frac {\mu(I_2 \backslash A)}{\mu(I_2)}= 1-\epsilon$.
��������� ������� �� ���� $\alpha$ ��������������,
����� ����� ������� $g\in G= \{n\alpha\}$ �����, ���
$\mu(g(I_1) \triangle I_2) < \epsilon\mu(I_1)$. �� ��� 
������������ ����, ��� $g(I_1)$ ����� ���� �������
�� ����� $A$, � $I_2$ ����� ���� ������� �� �����
$S^1\backslash A$. \��������

%\�������
%
%
%\newpage
%
%
%{\��\���� ������� �� �������, ������� �� ������������}
%
%\������� \\
%{\�� \���� (������������ ������� ���������, ��� �� "������� � �������")}\\
%����� $M$ -- �������, 
%$\rho_t:\; M\times \R \arrow M$ -- �������� $\R$ �� $M$
%���������������, $x\in M$ �����, 
%� $f$ -- ������������, ����������� ������� �� $M$.
%��������� ������������� ���� �� $M$ �� �������
%\[
%\mu_{a,x}(f):= \frac{1}{a} \int_0^a f(\rho_t(x))dt
%\]
%{\�� \��� ����� ������ $\lim\limits_{a\arrow\infty} \mu_{a,x}(f)$
%���������� � ����� $\rho_t$-������������ �������������
%���� �� $M$.}
%
%
%\���������
%����� "������������" ���� ���������� ����������, ��
%��������� ������, ������������ "������" � "����".
%������������� ������������ ���������� � ��������,
%��������� �� �������, ������� ��������� ���� ������
%$\R$, ����������� ����������������. {\�� \���� ��� �����
%������ ������������ �������� "������� �� ������� ����� 
%�������� �� ������������". }



\end{document}

