\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf} %,wasysym} % Taken from extarrows.sty by Chim Cut Canh \makeatletter \def\x@arrow{\DOTSB\Relbar} \def\xlongrightarrowfill@{\arrowfill@\relbar\relbar\longrightarrow} \newcommand{\xlongrightarrow}[2][]{% \ext@arrow 0099\xlongrightarrowfill@{#1}{#2}} \makeatother \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\6{\partial} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\const}{\operatorname{\sf const}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория меры, лекция 10:\\[2mm] эргодические меры} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 9 мая 2015\\ НМУ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \невпаге {\бф \блуе Эргодическое действие группы} \определение Пусть $(M, \mu)$ -- пространство с мерой, а $G$ -- группа, действующая на $M$, сохраняя $\mu$. Действие называется {\бф \блуе эргодическим}, если для каждого измеримого $G$-инвариантного подмножества $Z\subset M$, либо $Z$, либо $M \backslash Z$ имеет меру 0. В этой ситуации мера $\mu$ называется {\бф \блуе эргодической}. \определение Выпуклый конус в векторном пространстве есть выпуклое подмножество, инвариантное относительно умножения на $\lambda \in \R^{>0}$. \замечание $G$-инвариантные меры образуют выпуклый конус. \определение Пусть $a$ -- точка в выпуклом конусе $A$. Она называется {\бф\блуе экстремальной}, если для любого открытого интервала $]x,y[$ с концами в $A$, содержащего $a$, $x$ и $y$ пропорциональны $a$. \теорема {\бф \ред Мера эргодична тогда и только тогда, когда она является экстремальной точкой в конусе $G$-инвариантных мер.} {\бф \греен Доказательство см. через слайд.} \невпаге {\бф \блуе Эргодические меры и инвариантные функции} \лемма {\бф \ред Мера $\mu$ на $(M, G)$ эргодична тогда и только тогда, когда для любой $G$-инвариантной измеримой функции $f$ на $M$, $f$ постоянна почти везде.} \доказательство Часть "тогда, когда" очевидна, достаточно взять за $f$ характеристическую функцию измеримого множества. {\бф \греен ["только тогда":]} Приблизим $f$ ступенчатыми функциями вида \[ x\stackrel {f_n}\longrightarrow \frac 1 {2^n} [2^nf(x)],\] как в лекции 4. Каждая из этих функций $G$-инвариантна, следовательно, одно из ее множества уровней есть почти все $M$, остальные имеют меру 0. Значит, все $f_n$ постоянны почти везде. Предел постоянных функций тоже постоянный. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Эргодические меры и экстремальные точки} \теорема {\бф \ред Мера на $M$ эргодична тогда и только тогда, когда она является экстремальной точкой в конусе $G$-инвариантных мер.} \дшаг Пусть $x, y$ две меры, а $a= tx + (1-t)y$ точка на интервале $]x,y[$. {\бф \блуе Тогда $a \preccurlyeq x$ и $a \preccurlyeq y$.} {\бф \греен Шаг 2:} По теореме Радона-Никодима, в этой ситуации существует функция $f$ на $M$ такая, что $a = f x$. {\бф \греен Шаг 3:} Если $a$ экстремальна и принадлежит интервалу $]x,y[$, соответствующая функция $f$ постоянна в силу леммы выше. {\бф \ред Поэтому $a$ пропорциональна $x$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Крейна-Мильмана (без доказательства)} \определение {\бф \блуе $\delta$-функцией Дирака} в точке $x$ называется мера $\mu_x$ такая, что $\mu_x(U)=1$ для $x\in U$ и $\mu_x(U)=0$ для $x\notin U$. \утверждение Если действие $G$ на $M$ тривиально, {\бф \ред мера эргодична если и только если это дельта-функция.} \доказательство Других экстремальных точек в конусе всех мер нет {\бф \пурпле (проверьте это)}. \ендпрооф \теорема {\бф\blue (Крейн-Мильман)}\\ Пусть $S$ -- замкнутое, выпуклое подмножество в топологическом векторном пространстве. {\бф \ред Тогда $S$ есть замыкание выпуклой оболочки своих экстремальных точек.} \следствие {\бф \пурпле Эргодические меры существуют.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Шоке} \определение {\бф \блуе Вероятностная мера} есть такая мера $\mu$ на $M$, что $\mu(M)=1$. \определение Пусть $\mu$ -- вероятностная мера на векторном пространстве $X$. Обозначим за $\int_X \mu \cdot \Id$ интеграл от тождественной векторнозначной функции на $X$. Это центр тяжести множества $X$ по отношению к мере $\mu$, или же {\бф \блуе среднее по мере}. \теорема {\бф \блуе (теорема Шоке)} Пусть $A\subset V$ -- замкнутый выпуклый конус в полном топологическом векторном пространстве. {\бф \ред Тогда для каждой точки $x\in A$ существует вероятностная мера $\mu$ на множестве $Е$ экстремальных точек $A$ такая, что $x= \int_E \mu \Id$ (среднее по мере $\mu$).} Доказательство см. учебники. Другими словами, {\бф \пурпле любая $G$-инвариантная мера разлагается в (возможно, континуальную) линейную комбинацию эргодических.} \невпаге {\бф \блуе Эргодичность и плотные орбиты} \определение {\бф \блуе Мера Лебега} на многообразии $M$ есть мера, которая в каждой карте покрытия $M$ получается как $f \mu$, где $f$ обратимая непрерывная функция, а $\mu$ стандартная мера на $\R^n$. \теорема Пусть $G$ эргодично действует на $(M, \mu)$, где $M$ это многообразие, а $\mu$ есть мера Лебега. {\бф \ред Тогда почти все орбиты действия $G$ плотны.} \дшаг Пусть $U\subset M$ -- открытое множество. Тогда $G\cdot U$ $G$-инвариантно и имеет положительную меру, значит, его дополнение $Z_U$ имеет меру 0. По определению, {\бф \пурпле $Z_U$ есть множество точек, чьи орбиты не пересекают $U$.} {\бф \греен Шаг 2:} Выберем счетную базу $U_i$ топологии на $M$, и пусть $Z:= \bigcup Z_{U_i}$. {\бф \пурпле Для любого $m$ из дополнения к $Z$, орбита $m$ пересекает каждое $U_i$, и значит, плотна,} но $Z$ имеет меру нуль, будучи счетным объединением множеств меры 0. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Слабая $*$ топология на мерах} \определение Рассмотрим пространство $\goth A$ всех борелевских мер на метризуемом топологическом пространстве $M$. Предбаза {\бф\блуе слабой $*$ топологии} состоит из множеств $V_{U, ]x, y[}:= \{ \mu \in \goth A\ \ |\ \ \mu(U)\in ]x, y[\}$, где $U\subset M$ открытое подмножество, а $]x, y[\subset \R$ -- отрезок. \замечание Последовательность мер $\mu_i$ сходится к мере $\mu$ тогда и только тогда, когда $\lim_i \mu_i(U)=\mu(U)$ для любого открытого множества {\бф \пурпле (докажите это)}. \замечание Последовательность мер $\mu_i$ сходится к мере $\mu$ тогда и только тогда, когда $\lim_i \int f\mu_i=\int f\mu$ для любой непрерывной, ограниченной функции $f$ на $M$ {\бф \пурпле (докажите это)}. \невпаге {\бф \блуе Компактность пространства мер. } \теорема Пусть ${\goth A}_1$ -- пространство всех вероятностных мер на компакте, снабженное слабой $*$ топологией. {\бф \ред Тогда ${\goth A}_1$ компактно.} \дшаг Поскольку слабая $*$ топология эквивалентна ограничению тихоновской на пространство ${\goth C}$ отображений из открытых множеств в $[0,1]$, замыкание ${\goth A}_1$ компактно. Поэтому достаточно доказать, что ${\goth A}_1$ замкнуто в ${\goth C}$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\mu\in {\goth C}$ -- предел последовательности мер $\mu_i$. Нам осталось доказать, что это тоже мера {\бф \пурпле (докажите это)}. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Слабая $*$ топология на мерах и $L^1$-топология} \утверждение Рассмотрим пространство неотрицательных $L^1$-функций на многообразии $(M,\mu)$ с мерой Лебега. Каждой такой функции $f$ соответствует мера $f \mu$. Построенное таким образом $\Psi:\;L^1(M)_+\arrow {\goth A}$ из пространства $L^1(M)_+$ ограниченных, неотрицательных $L^1$-функций в пространство ${\goth A}$ мер со слабой $*$ топологией есть {\бф \ред гомеоморфизм $L^1(M)_+$ на его образ, состоящий из всех абсолютно непрерывных мер.} \доказательство Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность функций, сходящаяся к $f$ в $L^1$. Тогда $\int_M f_i \alpha\mu $ сходится к $\int_M f\alpha \mu$ для любой непрерывной функции $\alpha$ {\бф \пурпле (докажите это)}. Поэтому отображение $\Psi$ непрерывно. Наоборот, если $f_i \mu$ -- последовательность мер, сходящихся к $f\mu$ в слабой $*$ топологии, то $\lim_i \int |f-f_i|\mu =0$, значит, $f_i$ сходятся к $f$ в $L^1$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Интегральные операторы и слабая $*$ топология} \определение Пусть $(M, \mu)$ -- пространство с борелевской мерой, а $\rho$ -- мера на $M\times M$. {\бф\блуе Свертка с ядром $\rho$} есть операция $C_\rho$, переводящая ограниченную, интегрируемую функцию $f$ в ${\pi_1}_* (\rho \pi_2^* f)$, где $\pi_1, \pi_2:\; М \times М \arrow М$ -- проекции. {\бф \греен Утверждение 1:} Пусть $\rho_i$ -- последовательность ядер (мер на $M \times M$), которая сходится к ядру $\rho$ в слабой $*$ топологии. {\бф \ред Тогда $\lim_i C_{\rho_i}(f) = C_{\rho}(f)$ для любой ограниченной, интегрируемой функции $f$.} \доказательство {\бф \пурпле Докажите самостоятельно.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Плотность множества и производная интеграла} \определение Пусть $A$ -- измеримое подмножество в $\R^n,\mu$. {\бф\блуе Плотность} $A$ в $x$ есть предел $\lim\limits_{r\arrow 0} \nu_A^r$, где $\nu_A^r:=\frac {\mu(A \cap B_r(x))}{\mu(B_r(x))}$, а $B_r(x)$ суть шары с центром в $x$ радиуса $r$. \замечание Функции $\nu_A^r$ получаются из характеристическoй функции $\chi_A$ сдвигами на все вектора из шара $B_r(0)$ и усреднением по шару. {\бф \пурпле На языке свертки с ядром, это можно сказать так: $\mu \nu_A^r=(\pi_2)_*(\rho_r \cdot (\pi_1)^* \chi_A)$, где $\pi_i$ -- проекции из $\R^n \times \R^n$ в $\R^n$, а $\rho_r(x,y)= \chi_{B_r(0)}(x-y)\mu_{R^{2n}}$.} \определение {\бф \блуе Производная} интеграла $\int_{B_r(x)} f$ есть функция \[ R_f(x):= \lim\limits _{r\mapsto 0} \frac {\int_{B_r(x)} f\mu}{\mu(B_r(x))}. \] \замечание {\бф \пурпле Производная интеграла характеристической функции есть плотность: $R_{\chi_A}= \nu_A$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Лебега о дифференцировании} \замечание Как и $\nu_A^r$, {\бф \пурпле функция $R^r_f(x):=\frac {\int_{B_r(x)} f\mu }{\mu(B_r(x))}$ выражается через свертку с ядром:} $\mu R^r_f(x)= (\pi_2)_*(\rho_r \cdot (\pi_1)^* f)$. \теорема {\бф \блуе (теорема Лебега о дифференцировании)}\\ Пусть $f$ -- $L^1$-функция на $R^n$. {\бф \ред Тогда производная интеграла $R_f$ определена почти всюду, и почти всюду равна $f$.} \дшаг Определим {\бф \блуе дельта-функцию диагонали $\Delta$} формулой $\Delta(A) = \mu(A\cap \Delta)$, где $A\cap \Delta$ отождествляется с подмножеством $\R^n$ проекцией. Тогда $\lim\limits_{r\mapsto 0} \rho_r = \Delta$ в смысле слабой $*$ топологии {\бф \пурпле (проверьте это).} {\бф \греен Шаг 2:} Легко видеть, что свертка с $\Delta$ это тождественный оператор. {\бф \греен Шаг 3:} Из Утверждения 1 следует, что результат свертки $f$ с $\rho_r$ при стремлении $r$ к 0 сходится к результату свертки $f$ с $\Delta$, то есть к $f$, что и требовалось доказать. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Эргодичность поворотов} \теорема {\бф \блуе (Теорема Лебега о плотности)}\\ {\бф \ред Почти все точки измеримого множества $A$ имеют плотность 1.} \доказательство Следует из теоремы Лебега о дифференцировании, примененной к характеристической функции $A$. \ендпрооф \теорема Пусть $\alpha$ -- иррациональный поворот окружности $S^1$, а $G=\Z$ -- порожденная им группа. {\бф \блуе Тогда действие $G$ эргодично.} \доказательство Пусть $A$ есть $G$-инвариантное множество ненулевой меры, такое, что его дополнение тоже имеет ненулевую меру. Возьмем точку $x\in A$ плотности 1 и точку $y\in S^1 \backslash A$ плотности 1. Пусть $I_1$ и $I_2$ -- отрезки одной и той же длины, содержащие $x$ и $y$ такие, что $\frac {\mu(I_1 \cap A)}{\mu(I_1)}= 1-\epsilon$, а $\frac {\mu(I_2 \backslash A)}{\mu(I_2)}= 1-\epsilon$. Поскольку поворот на угол $\alpha$ иррациональный, можно найти элемент $g\in G= \{n\alpha\}$ такой, что $\mu(g(I_1) \triangle I_2) < \epsilon\mu(I_1)$. Но это противоречит тому, что $g(I_1)$ почти весь состоит из точек $A$, а $I_2$ почти весь состоит из точек $S^1\backslash A$. \ендпрооф %\невпаге % % %\newpage % % %{\бф\блуе Среднее по времени, среднее по пространству} % %\теорема \\ %{\бф \блуе (эргодическая теорема Биркгоффа, она же "теорема о среднем")}\\ %Пусть $M$ -- компакт, %$\rho_t:\; M\times \R \arrow M$ -- действие $\R$ на $M$ %гомеоморфизмами, $x\in M$ точка, %а $f$ -- ограниченная, непрерывная функция на $M$. %Определим вероятностную меру на $M$ по формуле %\[ %\mu_{a,x}(f):= \frac{1}{a} \int_0^a f(\rho_t(x))dt %\] %{\бф \ред Тогда предел $\lim\limits_{a\arrow\infty} \mu_{a,x}(f)$ %существует и равен $\rho_t$-инвариантной вероятностной %мере на $M$.} % % %\замечание %Слово "эргодический" было изобретено Больцманом, от %греческих корней, обозначающих "работу" и "путь". %Первоначально эргодичность относилась к системам, %зависящим от времени, которое исполняло роль группы %$\R$, действующей диффеоморфизмами. {\бф \блуе Для таких %систем эргодичность означает "среднее по времени равно %среднему по пространству". } \end{document}