\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf} %,wasysym} % Taken from extarrows.sty by Chim Cut Canh \makeatletter \def\x@arrow{\DOTSB\Relbar} \def\xlongrightarrowfill@{\arrowfill@\relbar\relbar\longrightarrow} \newcommand{\xlongrightarrow}[2][]{% \ext@arrow 0099\xlongrightarrowfill@{#1}{#2}} \makeatother \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\6{\partial} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\const}{\operatorname{\sf const}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория меры, лекция 9:\\[2mm] мера Хаара (2)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 2 мая 2015\\ НМУ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \невпаге {\бф \блуе Объем на компактных множествах (повторение)} \определение Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство. {\бф \блуе Алгебра борелевских множеств} есть сигма-алгебра, порожденная компактными подмножествами $M$. \определение Пусть ${\bf C}$ -- множество компактных подмножеств $M$. {\бф\блуе Объем} есть функция $\lambda:\; {\bf C}\arrow [0,\infty]$ которая удовлетворяет следующим условиям.\\ \phantom{AAA} {\bf \blue [Монотонность:]} $\lambda(A)\leq \lambda(B)$ для $A\subset B$. \\ \phantom{AAA} {\bf \blue [Аддитивность:]} $\lambda(A \coprod B) = \lambda(A)+\lambda(B)$ \\ \phantom{AAA} {\bf \blue [Полуаддитивность:]} $\lambda(A \cup B) \leq \lambda(A)+\lambda(B)$. %\определение %Объем называется {\бф\блуе регулярным}, если для любого %компактного множества $K\subset M$, полученного как замыкание открытого, %имеет место $\lambda(K)=\sup_{K'\subset K^\circ}\lambda(K')$, %где супремум берется по всем компактам $K'$, лежащим во внутренности $K$. \невпаге {\бф \блуе Теорема Каратеодори о продолжении (повторение)} \определение Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство. {\бф \блуе Алгебра борелевских множеств} есть сигма-алгебра, порожденная компактными подмножествами $M$. \определение Пусть на топологическом пространстве $M$ задан объем $\lambda$. Определим {\бф\блуе внутреннюю меру} открытого множества $U$ как $\lambda_*(U):=\sup_{K\subset U}\lambda(K)$, где супремум берется по всем компактам в $U$. Определим {\бф\блуе внешнюю меру} множества $A$ как $\lambda^*(A):= \inf_{U\supset A}\lambda_*(U)$, где инфимум берется по всем открытым окрестностям $A$. \определение Топологическое пространство называется {\бф\блуе локально компактным}, если у каждой точки есть окрестность, замыкание которой компактно. Ранее была доказана такая теорема. \теорема {\бф \блуе (теорема Каратеодори о продолжении)} \\ Пусть $M$ -- локально компактное, хаусдорфово топологическое пространство, где каждое открытое множество является счетным объединением компактов, а $\lambda$ -- объем. {\бф \ред Тогда $\lambda^*$ задает $\sigma$-аддитивную меру на борелевских множествах,} и %Если, к тому же, %объем $\lambda$ регулярный, то $\lambda^*(K)=\lambda(K)$. \невпаге {\бф \блуе Топологические группы (повторение)} \определение Пусть $G$ -- топологическое пространство, снабженное структурой группы. $G$ называется {\бф\блуе топологической группой}, если отображение умножения $G\times G\xlongrightarrow{g, g' \mapsto gg'} G$ и взятия обратного $G\xlongrightarrow{g \mapsto g^{-1}} G$ непрерывны. \пример $\R^n$ с обычной групповой структурой является топологической группой. \пример {\бф \пурпле Группа $GL(n,\R)$ и $GL(n,\C)$ обратимых матриц над $\R$ и $\C$ является топологической группой.} \пример {\бф \пурпле Любая подгруппа топологической группы с индуцированной топологией является топологической группой.} \определение {\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие, снабженное структурой группы, таким образом, что умножение и взятие обратного суть гладкие отображения \замечание Очевидно, {\бф \пурпле любая группа Ли является топологической группой.} \невпаге {\бф \блуе Мера Хаара (повторение)} %\определение %Пусть $M, M'$ -- множества, снабженные сигма-алгебрами $A,A'$. %Предположим, что отображение $\phi:\; M \arrow M'$ %{\бф\блуе измеримо}, то есть для каждого $K\in A'$ %имеет место $\phi^{-1}(K) \in A'$. %Для каждой меры $\mu$ на $A$, обозначим за $\phi_* \mu$ соответствующую %меру на $A'$, $\phi_*\mu(K):= \mu(\phi^{-1}(K))$. \определение Пусть $G$ -- топологическая группа, $g\in G$ ее элемент. Обозначим за $L^g:\; G \arrow G$ операцию {\бф\блуе действия группы слева}, $x\arrow gx$, а за $R^g$ -- {\бф\блуе правое действие}, $x \arrow x g^{-1}$. Борелевская мера $\mu$ называется {\бф\блуе лево-инвариантной}, если $L^g_*(\mu)= \mu$, для любого $g\in G$, и {\бф\блуе право-инвариантной}, если $R^g_*(\mu)= \mu$. \определение Борелевская мера называется {\бф\блуе локально конечной}, если у каждой точки есть окрестность, мера которой конечна. \замечание Пусть $K$ компактно, а мера $\mu$ локально конечна. {\бф \пурпле Тогда $\mu(K)$ конечно (докажите это).} \определение {\бф\блуе Левая (правая) мера Хаара} на топологической группе есть лево- или правоинвариантная локально конечная борелевская мера на $G$. \пример Рассмотрим $\R^n$ как топологическую группу, с аддитивной групповой структурой. {\бф \пурпле Тогда мера Лебега на $\R^n$ является мерой Хаара} (и правой, и левой, так как $\R^n$ коммутативная группа). \невпаге {\бф \блуе Теорема Радона-Никодима (повторение)} \определение Пусть $\nu, \mu$ -- меры на пространстве с $\sigma$-алгеброй. Множество $Z$ называется {\бф\блуе $\mu$-пренебрежимым}, если $\mu(Z)=0$. Мера $\nu$ называется {\бф\блуе абсолютно непрерывной} относительно $\mu$ (обозначается $\nu \preccurlyeq \mu$) если каждое $\mu$-пренебрежимое множество $\nu$-пренебрежимо. \определение Пусть $f$ -- неотрицательная измеримая функция на пространстве с сигма-алгеброй и мерой $\mu$. {\бф \блуе Определим новую меру $f\mu$ формулой $f\mu(U) = \int_U f\mu$, где $\int_U f\mu$ есть интеграл от $f$ по $U$.} \теорема Пусть $\nu, \mu$ -- меры на пространстве $M$ с $\sigma$-алгеброй, причем $\nu \preccurlyeq \mu$, и $\nu(M), \mu(M) < \infty$. {\бф \ред Тогда существует измеримая функция $f$ такая, что $\nu= f\mu$, причем $f$ определено однозначно вне $\mu$-пренебрежимого множества.} \невпаге {\бф \блуе Единственность меры Хаара и свертка с ядром} \замечание Если заданы две меры Хаара $\mu$ и $\mu'$, то $\mu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu+\mu'$. Тогда теорема Радона-Никодима дает функцию $f$ такую, что $\mu=f(\mu+\mu')$ и $\mu+\mu'$ -- две меры Хаара. Для доказательства единственности меры Хаара достаточно убедиться, что $f$ постоянна. \определение Пусть $\rho:\; G\times G \arrow \R^{\geq 0}$ -- ограниченная $L^1$-функция. {\бф\блуе Свертка с ядром $\rho$} есть операция $C_\rho$, переводящая $f\in L^1(G)$ в ${\pi_1}_* (\rho \pi_2^* f)$, где $\pi_1, \pi_2:\; G \times G \arrow G$ -- проекции. \замечание {\бф \пурпле Если $f, \rho$ инвариантны относительно левых сдвигов, то функция $C_\rho(f)$ тоже инвариантна.} \невпаге {\бф \блуе Единственность меры Хаара} \утверждение Пусть $\mu, \mu_1$ -- левоинвариантные меры Хаара на $G$, причем $\mu_1 = f\mu$, где $f$ -- измеримая функция на $G$, a $\rho(x,y) = v(y^{-1} x)$, где $v$ -- измеримая функция на $G$. {\бф \ред Тогда $C_\rho(f)=\const$.} \доказательство $C_\rho(f) = {\pi_1}_*(\rho \pi_2^* f \mu\times \mu)$; интеграл этой функции по открытому множеству $U$ записывается как \[ \int_U C_\rho(f)\mu = \int_{U\times G} \rho \mu\times\mu_1 \] что позволяет вычислить ее в точке: $C_\rho(f)(x)=\int_G v_x \mu_1$, где $v_x (z)= v(z^{-1} x)$. Отмечу, что, в отличие от $f$, которая определена вне множества меры нуль, {\бф \пурпле функция $C_\rho(f)$ хорошо определена на всем $G$ и по построению левоинвариантна, а значит постоянна}. Мы получаем, что $f$ может быть получена как предел функций вида $C_\rho(f)$, где $v=\chi_{U_i}$ есть характеристическая функция множества $U_i$, пробегающего базу окрестностей единицы. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Функции $A:U$ и $\mu_{U,W}(A)$.} Пусть $G$ -- локально компактная топологическая группа, $U\subset G$ -- открытое подмножество $G$, $A\subset G$ -- компактное подмножество. Рассмотрим покрытие $A$ всеми открытыми множествами вида $Ux$, где $x\in G$, и {\бф \блуе пусть $A\!:\!U$ есть наименьшее число $N$, для которого $A$ покрывается $N$ открытыми подмножествами вида $xU$. } \утверждение Пусть $G$ -- топологическая группа. Зафиксируем компактное множество $W\subset G$, которое является замыканием открытой окрестности единицы $W^\circ$, и {\бф \блуе пусть $\mu_{U,W}(A):= \frac{A:U}{W:U}$ есть соответствующая функция на компактах.} {\бф \пурпле Тогда $\mu_{U,W}(A)$ левоинвариантна, полуаддитивна и монотонна как функция $A$}. \ендпрооф {\бф \греен Замечание 1:} Для непересекающихся компактных $A$ и $B$, имеем $(A\coprod B)\!:\!U= A\!:\!U+B\!:\!U$, если $U^{-1}A \cap U^{-1}B = \emptyset$. {\бф \пурпле В этом предположении имеем $\mu_{U,W}(A)+ \mu_{U,W}(B) = \mu_{U,W}(A\coprod B)$.} \невпаге {\бф \блуе Функции $A:U$ и $\mu_{U,W}(A)$ (продолжение).} {\бф \греен Утверждение 1:} {\бф \ред $\mu_{U,W}(A) \leq A:W^\circ$,} где $W^\circ$ -- внутренность $W$. Это утверждение сразу следует из такой леммы. \лемма {\бф \пурпле Для любого компактного $A$, прекомпактного открытого $U$ и открытого $V$, имеем $(A:U)(\bar U:V)\geq A:V$.} \доказательство Покроем $\bar U$ открытыми множествами вида $Vx_i$, которых $\bar U:V$ штук а $A$ -- открытыми множествами вида $Uy_j$, которых $A:U$ штук. Тогда $A$ покроется открытыми множествами вида $ Vx_iy_j$, и будет их ровно $(A:U)(\bar U:V)$ штук. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Лемма Кантора} {\бф \греен Лемма Кантора:} Пусть $\{R_\alpha\}$ -- какой-то набор компактных подмножеств топологического пространства $М$, причем любое конечное пересечение $R_\alpha$ непусто. {\бф \ред Тогда пересечение всех $R_\alpha$ тоже непусто.} {\бф\греен Доказательство:} Пусть $\bigcap_\alpha R_\alpha$ пусто. Тогда для любого индекса $\alpha_0$, дополнения $M\backslash R_\alpha$ покрывают $R_{\alpha_0}$. Выбрав из этого покрытия конечное подпокрытие $R_{\alpha_1}, ..., R_{\alpha_n}$, мы получим конечный набор подмножеств $R_{\alpha_0}, R_{\alpha_1}, ..., R_{\alpha_n}$, пересечение которых пусто. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Функции на множестве всех компактов} \newcommand{\bC}{{\boldsymbol{\boldsymbol{\goth C}}}} Рассмотрим теперь множество $\bC$ всех компактов в $G$, и множество ${\cal R}_W$ всех функций $\lambda:\; \bC \arrow [0, \infty[$, принимающих на компакте $A\in \bC$ значение $\lambda(A) \in [0, A:W^\circ]$. В силу Утверждения 1, любая функция $\mu_{U,W}$ принадлежит ${\cal R}_W$. Отождествив ${\cal R}_W$ с произведением вида $\prod_{A\in \bC}[0, A:W^\circ]$, введем на ${\cal R}_W$ топологию произведения (тихоновского). {\бф \пурпле По теореме Тихонова, ${\cal R}_W$ компактно, как произведение компактов.} Для произвольной окрестности $V\ni e$ единицы $e\in G$, обозначим за ${\cal R}_{V,W}$ замыкание множества всех функций вида $\mu_{U,W}\in {\cal R}_W$, где $U\subset V$ -- открытое подмножество. {\бф \пурпле Поскольку ${\cal R}_{V,W}$ замкнуто в компакте, оно компактно.} Отметим, что для любого конечного набора $U_i$, $\bigcap_i {\cal R}_{V_i,W} \subset {\cal R}_{\cap_i V,W}$, то есть непусто. В силу леммы Кантора пересечение $\bigcap_V {\cal R}_{V,W}$ тоже непусто. \невпаге {\бф \блуе Объем как предел $\mu_{U,W}$ } \утверждение Пусть $\mu_W\in \bigcap_V {\cal R}_{V,W}$ -- функция на компактах, которая лежит в пересечении ${\cal R}_{V,W}$, для всех открытых окрестностей $V\ni e$. {\бф \ред Тогда $\mu_{W}(A)$ левоинвариантна, полуаддитивна, аддитивна и монотонна как функция $A$, и удовлетворяет $\mu_{W}(W) =1$.} \доказательство По определению, $\mu_U$ есть предельная точка множества функций вида $\mu_{U,W}$. Левоинвариантность и полуаддитивность $\mu_W$ следует из аналогичных свойств $\mu_{U,W}$. Аддитивность $\mu_U$ следует из Замечания 1. Наконец, $\mu_{W}(W) =1$ следует из $\mu_{U,W}(W)=1$, что ясно из определения. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Функция объема $\mu_{W}$} Функция $\mu_W$ задает объем на компактах в $G$. %возможно, нерегулярный. Соответствующая борелевская мера, построенная по теореме Каратеодори, левоинвариантна и локально конечна. {\бф \пурпле Чтобы доказать, что это мера Хаара, достаточно убедиться, что она ненулевая.} \утверждение Пусть $\mu_{W}^*$ есть внешняя мера на локально компактной топологической группе, построенная по $\mu_{W}$. {\бф \ред Тогда $\mu_{W}^*\neq 0$.} \доказательство Пусть $U\supset W$. Тогда $1 = \mu_W(W) \leq \mu^*_W(U)$. \ендпрооф \end{document}