   

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf}
%,wasysym}


% Taken from extarrows.sty by Chim Cut Canh
\makeatletter
\def\x@arrow{\DOTSB\Relbar}
\def\xlongrightarrowfill@{\arrowfill@\relbar\relbar\longrightarrow}
\newcommand{\xlongrightarrow}[2][]{%
        \ext@arrow 0099\xlongrightarrowfill@{#1}{#2}}
\makeatother


\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\6{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\const}{\operatorname{\sf const}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория меры, лекция 9:\\[2mm] мера Хаара (2)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 2 мая 2015\\ НМУ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\невпаге

{\бф \блуе Объем на компактных множествах (повторение)}


\определение
Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство.
{\бф \блуе Алгебра борелевских множеств} есть сигма-алгебра,
порожденная компактными подмножествами $M$. 


\определение
Пусть ${\bf C}$ -- множество компактных подмножеств $M$.
{\бф\блуе Объем} есть функция $\lambda:\; {\bf C}\arrow [0,\infty]$
которая удовлетворяет следующим условиям.\\
\phantom{AAA} {\bf \blue [Монотонность:]}
 $\lambda(A)\leq \lambda(B)$ для $A\subset B$. \\
\phantom{AAA} {\bf \blue  [Аддитивность:]} $\lambda(A \coprod B) =
\lambda(A)+\lambda(B)$ \\
\phantom{AAA} {\bf \blue  [Полуаддитивность:]} 
$\lambda(A \cup B) \leq \lambda(A)+\lambda(B)$.


%\определение
%Объем называется {\бф\блуе регулярным}, если для любого
%компактного множества $K\subset M$, полученного как замыкание открытого,
%имеет место $\lambda(K)=\sup_{K'\subset K^\circ}\lambda(K')$,
%где супремум берется по всем компактам $K'$, лежащим во внутренности $K$.

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Каратеодори о продолжении (повторение)}


\определение
Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство.
{\бф \блуе Алгебра борелевских множеств} есть сигма-алгебра,
порожденная компактными подмножествами $M$. 

\определение
Пусть на топологическом пространстве $M$ задан объем $\lambda$.
Определим {\бф\блуе внутреннюю меру} открытого множества $U$
как $\lambda_*(U):=\sup_{K\subset U}\lambda(K)$, где супремум берется
по всем компактам в $U$. Определим {\бф\блуе внешнюю меру}
множества $A$ как $\lambda^*(A):= \inf_{U\supset
A}\lambda_*(U)$, где инфимум берется по всем 
открытым окрестностям $A$.


\определение
Топологическое пространство называется 
{\бф\блуе локально компактным}, если у каждой точки
есть окрестность, замыкание которой компактно.


Ранее была доказана такая теорема.

\теорема {\бф \блуе (теорема Каратеодори о продолжении)} \\
Пусть $M$ -- локально компактное, хаусдорфово топологическое
пространство, где каждое открытое множество является
счетным объединением компактов, а $\lambda$ -- объем. 
{\бф \ред Тогда $\lambda^*$ задает $\sigma$-аддитивную 
меру на борелевских множествах,} и
%Если, к тому же,
%объем $\lambda$ регулярный, то 
$\lambda^*(K)=\lambda(K)$.


\невпаге

{\бф \блуе Топологические группы (повторение)}



\определение
Пусть $G$ -- топологическое пространство, снабженное структурой группы.
$G$ называется {\бф\блуе топологической группой}, если отображение умножения
$G\times G\xlongrightarrow{g, g' \mapsto gg'} G$ и взятия обратного 
$G\xlongrightarrow{g \mapsto g^{-1}} G$ непрерывны.


\пример
$\R^n$ с обычной групповой структурой является топологической
группой.


\пример
{\бф \пурпле Группа $GL(n,\R)$ и $GL(n,\C)$  обратимых матриц над
$\R$ и $\C$ является топологической группой.} 

\пример
{\бф \пурпле Любая подгруппа топологической группы с индуцированной
топологией является топологической группой.}


\определение
{\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие,
снабженное структурой группы, таким образом,
что умножение и взятие обратного суть
гладкие отображения


\замечание Очевидно,
{\бф \пурпле любая группа Ли является топологической группой.}


\невпаге

{\бф \блуе Мера Хаара (повторение)}

%\определение
%Пусть $M, M'$ -- множества, снабженные сигма-алгебрами  $A,A'$. 
%Предположим, что отображение $\phi:\; M \arrow M'$ 
%{\бф\блуе измеримо}, то есть для каждого $K\in A'$
%имеет место $\phi^{-1}(K) \in A'$.
%Для каждой меры $\mu$ на $A$, обозначим за $\phi_* \mu$ соответствующую
%меру на $A'$, $\phi_*\mu(K):= \mu(\phi^{-1}(K))$.

\определение
Пусть $G$ -- топологическая группа, $g\in G$ ее элемент. 
Обозначим за $L^g:\; G \arrow G$ операцию {\бф\блуе действия группы слева}, 
$x\arrow gx$, а за $R^g$ -- {\бф\блуе правое действие}, $x \arrow x g^{-1}$.
Борелевская мера $\mu$ называется {\бф\блуе лево-инвариантной},
если $L^g_*(\mu)= \mu$, для любого $g\in G$, и {\бф\блуе право-инвариантной},
если $R^g_*(\mu)= \mu$.

\определение
Борелевская мера называется {\бф\блуе локально конечной}, если
у каждой точки есть окрестность, мера которой конечна.

\замечание
Пусть $K$ компактно, а мера $\mu$ локально конечна.
{\бф \пурпле Тогда $\mu(K)$ конечно (докажите это).}


\определение
{\бф\блуе Левая (правая) мера Хаара} 
на топологической группе есть лево-  или правоинвариантная 
локально конечная борелевская мера на $G$.


\пример
Рассмотрим $\R^n$ как топологическую группу,
с аддитивной групповой структурой. {\бф \пурпле Тогда
мера Лебега на $\R^n$ является мерой Хаара}
(и правой, и левой, так как $\R^n$ коммутативная группа).


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Радона-Никодима (повторение)}


\определение
Пусть $\nu, \mu$ -- меры на пространстве с
$\sigma$-алгеброй. Множество $Z$ называется {\бф\блуе 
$\mu$-пренебрежимым}, если $\mu(Z)=0$. Мера $\nu$
называется {\бф\блуе абсолютно непрерывной} относительно
$\mu$ (обозначается $\nu \preccurlyeq \mu$)
если каждое $\mu$-пренебрежимое множество
$\nu$-пренебрежимо.


\определение
Пусть $f$ -- неотрицательная измеримая
функция на пространстве с сигма-алгеброй и мерой $\mu$.
{\бф \блуе Определим новую меру $f\mu$ формулой $f\mu(U) = \int_U
f\mu$, где $\int_U f\mu$ есть интеграл от $f$ по $U$.}


\теорема
Пусть  $\nu, \mu$ -- меры на пространстве $M$ с
$\sigma$-алгеброй, причем $\nu \preccurlyeq \mu$,
и $\nu(M), \mu(M) < \infty$.
{\бф \ред Тогда существует измеримая функция
$f$ такая, что $\nu= f\mu$, причем
$f$ определено однозначно вне $\mu$-пренебрежимого
множества.}

\невпаге

{\бф \блуе Единственность меры Хаара и свертка с ядром}

\замечание Если заданы две меры Хаара
$\mu$ и $\mu'$, то $\mu$ абсолютно непрерывна относительно
$\mu+\mu'$. Тогда теорема Радона-Никодима дает функцию $f$
такую, что $\mu=f(\mu+\mu')$ и $\mu+\mu'$ -- две меры
Хаара. Для доказательства единственности меры Хаара
достаточно убедиться, что $f$ постоянна.

\определение
Пусть $\rho:\; G\times G \arrow \R^{\geq 0}$ -- 
ограниченная $L^1$-функция.
{\бф\блуе Свертка с ядром $\rho$} есть операция $C_\rho$,
переводящая $f\in L^1(G)$ в ${\pi_1}_* (\rho \pi_2^* f)$, где
$\pi_1, \pi_2:\; G \times G \arrow G$ -- проекции.

\замечание
{\бф \пурпле Если $f, \rho$ инвариантны относительно левых сдвигов, 
то функция $C_\rho(f)$ тоже инвариантна.}


\невпаге

{\бф \блуе Единственность меры Хаара}


\утверждение
Пусть $\mu, \mu_1$ -- левоинвариантные меры Хаара на $G$,
причем $\mu_1 = f\mu$, где $f$ -- измеримая функция на $G$,
a $\rho(x,y) = v(y^{-1} x)$, где $v$ -- измеримая функция на $G$.
{\бф \ред Тогда $C_\rho(f)=\const$.}

\доказательство 
$C_\rho(f) = {\pi_1}_*(\rho \pi_2^* f \mu\times \mu)$;
интеграл этой функции по открытому множеству $U$ записывается как
\[
\int_U C_\rho(f)\mu = \int_{U\times G} \rho \mu\times\mu_1
\]
что позволяет вычислить ее в точке:
$C_\rho(f)(x)=\int_G v_x \mu_1$,
где $v_x (z)= v(z^{-1} x)$. Отмечу, что, в отличие от $f$,
которая определена вне множества меры нуль, {\бф \пурпле
функция $C_\rho(f)$
хорошо определена на всем $G$ и по построению
левоинвариантна, а значит постоянна}.

Мы получаем, что $f$ может быть получена
как предел функций вида $C_\rho(f)$, где $v=\chi_{U_i}$
есть характеристическая функция множества $U_i$,
пробегающего базу окрестностей единицы.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Функции $A:U$ и $\mu_{U,W}(A)$.}


Пусть $G$ -- локально компактная топологическая
группа, $U\subset G$ -- открытое подмножество $G$, 
$A\subset G$ -- компактное подмножество. 
Рассмотрим покрытие $A$ всеми открытыми множествами
вида $Ux$, где $x\in G$, и {\бф \блуе пусть $A\!:\!U$ есть наименьшее
число $N$, для которого $A$ покрывается $N$ открытыми
подмножествами вида $xU$. }

\утверждение
Пусть $G$ -- топологическая группа.
Зафиксируем
компактное множество $W\subset G$, которое является
замыканием открытой окрестности единицы $W^\circ$,
и {\бф \блуе пусть $\mu_{U,W}(A):= \frac{A:U}{W:U}$
есть соответствующая функция на компактах.}
{\бф \пурпле Тогда $\mu_{U,W}(A)$ левоинвариантна,
полуаддитивна и монотонна
как функция $A$}.
\ендпрооф

{\бф \греен Замечание 1:}
Для непересекающихся компактных $A$ и $B$,
имеем $(A\coprod B)\!:\!U= A\!:\!U+B\!:\!U$, если $U^{-1}A \cap U^{-1}B = \emptyset$.
{\бф \пурпле В этом предположении имеем
$\mu_{U,W}(A)+ \mu_{U,W}(B) = \mu_{U,W}(A\coprod B)$.}



\невпаге

{\бф \блуе Функции $A:U$ и $\mu_{U,W}(A)$ (продолжение).}


{\бф \греен Утверждение 1:}
{\бф \ред $\mu_{U,W}(A) \leq A:W^\circ$,} 
где $W^\circ$ -- внутренность $W$.

Это утверждение сразу следует из такой леммы.

\лемма
{\бф \пурпле Для любого компактного
$A$, прекомпактного открытого $U$ и открытого
$V$, имеем $(A:U)(\bar U:V)\geq A:V$.}

\доказательство
 Покроем
$\bar U$ открытыми множествами вида $Vx_i$,
которых $\bar U:V$ штук
а $A$ -- открытыми множествами вида $Uy_j$,
которых $A:U$ штук. Тогда $A$ покроется 
открытыми множествами вида $ Vx_iy_j$, и будет их
ровно $(A:U)(\bar U:V)$ штук.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Лемма Кантора}


{\бф \греен Лемма Кантора:}
Пусть $\{R_\alpha\}$ -- какой-то набор компактных 
подмножеств топологического пространства 
$М$, причем любое конечное пересечение $R_\alpha$
непусто. {\бф \ред Тогда пересечение всех $R_\alpha$ тоже непусто.}


{\бф\греен Доказательство:} 
Пусть $\bigcap_\alpha R_\alpha$ пусто. Тогда
для любого индекса $\alpha_0$, дополнения
$M\backslash R_\alpha$ покрывают $R_{\alpha_0}$.
Выбрав из этого покрытия конечное подпокрытие
$R_{\alpha_1}, ..., R_{\alpha_n}$, мы получим
конечный набор подмножеств 
$R_{\alpha_0}, R_{\alpha_1}, ..., R_{\alpha_n}$,
пересечение которых пусто. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Функции на множестве всех компактов}

\newcommand{\bC}{{\boldsymbol{\boldsymbol{\goth C}}}}


Рассмотрим теперь множество $\bC$ всех компактов в $G$,
и множество ${\cal R}_W$ всех функций $\lambda:\; \bC
\arrow [0, \infty[$, принимающих на компакте $A\in \bC$
значение $\lambda(A) \in [0, A:W^\circ]$. 
В силу Утверждения 1, любая функция $\mu_{U,W}$ принадлежит ${\cal R}_W$.

Отождествив ${\cal R}_W$ с произведением вида
$\prod_{A\in \bC}[0, A:W^\circ]$, введем на
${\cal R}_W$ топологию произведения (тихоновского).
{\бф \пурпле По теореме Тихонова, ${\cal R}_W$ компактно, 
как произведение компактов.}

Для произвольной
окрестности $V\ni e$ единицы $e\in G$,
обозначим за ${\cal R}_{V,W}$
замыкание множества всех функций вида $\mu_{U,W}\in {\cal R}_W$,
где $U\subset V$ -- открытое подмножество.
{\бф \пурпле Поскольку ${\cal R}_{V,W}$ замкнуто в компакте, оно компактно.}


Отметим, что для любого конечного набора $U_i$,
$\bigcap_i {\cal R}_{V_i,W} \subset {\cal R}_{\cap_i V,W}$,
то есть непусто. В силу леммы Кантора
пересечение $\bigcap_V {\cal R}_{V,W}$ тоже непусто.

\невпаге

{\бф \блуе Объем как предел $\mu_{U,W}$ }

\утверждение
Пусть $\mu_W\in \bigcap_V {\cal R}_{V,W}$ -- функция
на компактах, которая лежит в пересечении
${\cal R}_{V,W}$, для всех открытых окрестностей
$V\ni e$. {\бф \ред Тогда  $\mu_{W}(A)$ левоинвариантна,
полуаддитивна, аддитивна и монотонна
как функция $A$, и удовлетворяет $\mu_{W}(W) =1$.}

\доказательство
По определению, $\mu_U$ есть предельная
точка множества функций вида $\mu_{U,W}$.
Левоинвариантность и полуаддитивность
$\mu_W$ следует из аналогичных свойств $\mu_{U,W}$.
Аддитивность $\mu_U$ следует из Замечания 1.
Наконец, $\mu_{W}(W) =1$ следует из $\mu_{U,W}(W)=1$,
что ясно из определения.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Функция объема $\mu_{W}$}

Функция $\mu_W$ задает объем на компактах в $G$.
%возможно, нерегулярный. 
Соответствующая борелевская мера, построенная
по теореме Каратеодори, левоинвариантна и локально
конечна. {\бф \пурпле Чтобы доказать,
что это мера Хаара, достаточно убедиться, что она ненулевая.}

\утверждение
Пусть $\mu_{W}^*$ есть внешняя мера на 
локально компактной топологической группе, построенная по $\mu_{W}$.
{\бф \ред Тогда $\mu_{W}^*\neq 0$.}

\доказательство
Пусть $U\supset W$. Тогда $1 = \mu_W(W) \leq \mu^*_W(U)$.
\ендпрооф







\end{document}

