   

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf}
%,wasysym}


% Taken from extarrows.sty by Chim Cut Canh
\makeatletter
\def\x@arrow{\DOTSB\Relbar}
\def\xlongrightarrowfill@{\arrowfill@\relbar\relbar\longrightarrow}
\newcommand{\xlongrightarrow}[2][]{%
        \ext@arrow 0099\xlongrightarrowfill@{#1}{#2}}
\makeatother


\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\��������{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\�����{\small}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\6{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{%
     {\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it ������ ����\scriptsize \hfil
  \tiny �. ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ������ ����, ������ 8:\\[2mm] ���� ����� (1)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ���������} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 25 ������ 2015\\ ���}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�������

{\�� \���� ����� �� ���������� ���������� (����������)}


\�����������
����� $M$ -- ����������� �������������� ������������.
{\�� \���� ������� ����������� ��������} ���� �����-�������,
����������� ����������� �������������� $M$. 


\�����������
����� ${\bf C}$ -- ��������� ���������� ����������� $M$.
{\��\���� �����} ���� ������� $\lambda:\; {\bf C}\arrow [0,\infty]$
������� ������������� ��������� ��������.\\
\phantom{AAA} {\bf \blue [������������:]}
 $\lambda(A)\leq \lambda(B)$ ��� $A\subset B$. \\
\phantom{AAA} {\bf \blue  [������������:]} $\lambda(A \coprod B) =
\lambda(A)+\lambda(B)$ \\
\phantom{AAA} {\bf \blue  [����������������:]} 
$\lambda(A \cup B) \leq \lambda(A)+\lambda(B)$.


%\�����������
%����� ���������� {\��\���� ����������}, ���� ��� ������
%����������� ��������� $K\subset M$, ����������� ��� ��������� ���������,
%����� ����� $\lambda(K)=\sup_{K'\subset K^\circ}\lambda(K')$,
%
%$\lambda(K)=\sup_{K'\subset K^\circ}\lambda(K')$,
%��� �������� ������� �� ���� ��������� $K'$, ������� �� ������������ $K$.
%
%\��������� {\�� \��� 
%� ���������� � ���� ������ ��� ������ �������������� �����������.}

\������
����� $\lambda(C)$ ���� 
����� ����� ����� �� ������������ ����������� ������������
$C\subset \R^n$. {\�� \������ ��� 
%���������� 
�����.}

\�������

{\�� \���� ������� ����������� � �����������}


\�����������
����� $M$ -- ����������� �������������� ������������.
{\�� \���� ������� ����������� ��������} ���� �����-�������,
����������� ����������� �������������� $M$. 

\�����������
����� �� �������������� ������������ $M$ ����� ����� $\lambda$.
��������� {\��\���� ���������� ����} ��������� ��������� $U$
��� $\lambda_*(U):=\sup_{K\subset U}\lambda(K)$, ��� �������� �������
�� ���� ��������� � $U$. ��������� {\��\���� ������� ����}
��������� $A$ ��� $\lambda^*(A):= \inf_{U\supset
A}\lambda_*(U)$, ��� ������� ������� �� ���� 
�������� ������������ $A$.



\�����������
�������������� ������������ ���������� 
{\��\���� �������� ����������}, ���� � ������ �����
���� �����������, ��������� ������� ���������.


�� ������� ������ ���� �������� ����� �������.

\������� {\�� \���� (������� ����������� � �����������)} \\
����� $M$ -- �������� ����������, ����������� ��������������
������������, ��� ������ �������� ��������� ��������
������� ������������ ���������, � $\lambda$ -- 
%���������� 
�����. 
{\�� \��� 
����� $\lambda^*$ ������ $\sigma$-���������� ���� �� ����������� ����������.}


\�������

{\�� \���� �������������� ������}



\�����������
����� $G$ -- �������������� ������������, ���������� ���������� ������.
$G$ ���������� {\��\���� �������������� �������}, ���� ����������� ���������
$G\times G\xlongrightarrow{g, g' \mapsto gg'} G$ � ������ ��������� 
$G\xlongrightarrow{g \mapsto g^{-1}} G$ ����������.


\������
$\R^n$ � ������� ��������� ���������� �������� ��������������
�������.


\������
{\�� \������ ������ $GL(n,\R)$ � $GL(n,\C)$  ��������� ������ ���
$\R$ � $\C$ �������� �������������� �������.} �������������
��������� ��������, ������ ��� ��� ������������� (���������).
������������� ������ ��������� ������� �� ���� ����������:\\
\phantom{���} (i) $A^{-1}= \frac{A^\circ}{\det A}$, ���
$\det A$ ���� ������������, � $A^\circ$ -- �������,
������������ �� �������. \\
\phantom{���} (ii) ����������� $A \arrow A^\circ$ ����������,
������ ��� ��� �������������, � ������� $A \arrow \frac 1 {\det A}$
���������� �� ��������� ��������, ������ ��� ������� � ��������������
�� $GL(n)$ �������������� ������� $A \arrow \det A$. 


\�������

{\�� \���� �������������� ������ (2)}

\������
{\�� \������ ����� ��������� �������������� ������ � ��������������
���������� �������� �������������� �������.}


\�����������
{\�� \���� ������ ��} ���� ������� ������������,
���������� ���������� ������, ����� �������,
��� ��������� � ������ ��������� ����
������� �����������


\��������� ��������,
{\�� \������ ����� ������ �� �������� �������������� �������.}




\�������

{\�� \���� $p$-��������� �����}


\�����������
����� $p$ -- ������� �����.
{\��\���� $p$-��������� ������������} �� ����� ������
������������ �� ������� $\nu_p(p^k n)= p^{-k}$,
��� $n$ -- ����� �����, ������� ������� � $p$.


\����������
���������, ��� $x, y \arrow \nu_p(x-y)$
������ ������� �� $\Z$. 

\���������
����� ������� ���������� {\��\���� $p$-���������.}


\�����������
{\�� \���� ������ ����� $p$-��������� �����} (������������
$\Z_p$) ���� ���������� $\Z$ � $p$-��������� �������.


\���������� 
{\�� \������ ���������, ��� ��� ������.}


\���������
{\�� \������ ������� �� $p^k$ � �������� ���������� � $p$-���������
�������} (���������), ��� ���� ����������� �������������
$\Z_p \arrow \Z/(p^k \Z)$. $p$-��������� ����� ����������
{\�� ����������� �� $p$}, ���� ��� ����� ��� ������������
$\Z_p \arrow \Z/(p \Z)$ ���������.


\�������

{\�� \���� ������� � $\Z_p$}


\���������
{\�� \������ ������ $p$-��������� ����� $z\in \Z_p$ ����� $p$-���������
����� $\leq 1$.} � ���� �������� ���� ����������, ����� ���
$\sum_{i=0}^\infty p^i a_i$ ��������, ��� $a_i$ -- ����� $p$-���������.
� ���������, �������� ��� $\frac 1 {1+pA} = 1-pA+p^2A^2 - p^3A^3 + ...$


\�����������
{\�� \������ ����� ����� $p$-��������� ����� $A$, �� ��������� ��
$p$, �������� � $\Z_p$.}

{\��\����� ��������������:}
����� $a$ -- ������� �� $A$ �� ������ $p$.
��������� $\Z/p\Z$ -- ����, �������� ����� $b$, ���
$ab=1 \mod p$. ������, $C_1=AB-1$ ������� �� $p$
��� ������-�� $B\in \Z_p$. �������� $C_1=p C$
\[
\frac 1 A = \frac B {AB}= \frac B{pC +1}=
B(1-pC+p^2C^2 - p^3C^3 + ...).
\]
\endproof


\�����������
���� ������� $\Z_p$ ���������� {\��\���� ���� $p$-��������� �����},
� ������������ $\Q_p$.

\��������� � ���� ����������� �����������,
\[
\Q_p= \Z_p(p^{-1}) = \Z_p \cup p^{-1} \Z_p \cup p^{-2} \Z_p \cup ...
\]

\�������

{\�� \���� ������������ $\Z_p$}

\���������
������������������ $\{z_i\}$ ����� ����� �������� � $p$-��������� �������
����� � ������ �����, ����� ��� ������ ������ $n>0$ �������� $N$
�����, ��� ��� ���� $i,j>N$, $z_i=z_j \mod p^n$ (��������� ���).
������� �������, $\{z_i\}$ �������� $\Leftrightarrow$
��� ������ $n$ �������� $N$ �����, ��� 
� ������������� $z_i$, $i>N$  � $p$-����� ������� ��������� 
��� ����� ������ �� $n$-�� �����:
{\small \begin{equation*}\begin{array}{c}
...0000000000000000000000000000000000020\\
...0000000000093275091374509172340957210\\
...0000000000000026381637617631863181610\\
...0000000000007927931793719279129881610\\
...0000000000000000009812038102829881610\\
...0000082739812739127397038102829881610\\
...0003719237912723927397038102829881610\\
7213719237912723927397038102829881610\\
\end{array}
\end{equation*}}
\!\!�������� ����� ������������������ �����
����� ���� ���� $\sum_{i=0}^\infty a_i p^i$,
��� $0\leq a_i < p$. ����� ������, 
����� $p$-��������� ����� ���� �����,
���������� � $p$-����� ������� ���������,
�� � ����������� (��������) ������ ���������
��������. ����� ����� ����� ���������� � ��������
� �������, ��� � ������� �����.

\����������
{\�� \��� ��������, ��� $\Z_p$ ���������.}


\�������

{\�� \���� ���� �����: �����������}

%\�����������
%����� $M, M'$ -- ���������, ���������� �����-���������  $A,A'$. 
%�����������, ��� ����������� $\phi:\; M \arrow M'$ 
%{\��\���� ��������}, �� ���� ��� ������� $K\in A'$
%����� ����� $\phi^{-1}(K) \in A'$.
%��� ������ ���� $\mu$ �� $A$, ��������� �� $\phi_* \mu$ ���������������
%���� �� $A'$, $\phi_*\mu(K):= \mu(\phi^{-1}(K))$.

\�����������
����� $G$ -- �������������� ������, $g\in G$ �� �������. 
��������� �� $L^g:\; G \arrow G$ �������� {\��\���� �������� ������ �����}, 
$x\arrow gx$, � �� $R^g$ -- {\��\���� ������ ��������}, $x \arrow x g^{-1}$.
����������� ���� $\mu$ ���������� {\��\���� ����-������������},
���� $L^g_*(\mu)= \mu$, ��� ������ $g\in G$, � {\��\���� �����-������������},
���� $R^g_*(\mu)= \mu$.

\�����������
����������� ���� ���������� {\��\���� �������� ��������}, ����
� ������ ����� ���� �����������, ���� ������� �������.

\���������
����� $K$ ���������, � ���� $\mu$ �������� �������.
{\�� \������ ����� $\mu(K)$ ������� (�������� ���).}


\�����������
{\��\���� ����� (������) ���� �����} 
�� �������������� ������ ���� ����-  ��� ����������������� 
�������� �������� ����������� ���� �� $G$.


\������
���������� $\R^n$ ��� �������������� ������,
� ���������� ��������� ����������. {\�� \������ �����
���� ������ �� $\R^n$ �������� ����� �����}
(� ������, � �����, ��� ��� $\R^n$ ������������� ������).


\�������

{\�� \���� ���� ����� (2)}

\newcommand{\card}{\operatorname{\sf card}}

\������
����� $M=\Z_p$, � $\mu_d(K):= \card | \rho_d(K)|$,
��� $\rho_d:\; \Z_p \arrow \Z/p^d \Z$, � $\card$ ����������
����� ��������� ���������.
���������� ������� �� ��������� $\mu(K):= \sup\lim \frac{\mu_d(K)}{p^d}$.
��������, ��� {\�� \������ ��� ���������, ��������� � �������������,
�� ���� ������ ����� �� ���������.}
��������, ��� {\�� \������ ��������������� ����� ������ ���� 
����������� �� $\Z_p$ �������� ����� �����.}

�� ��������� ������ ����� �������� ����� �������.

\�������
{\�� \��� ���� ����� ���������� � �����������
� ��������� �� ��������� �� ������ �������� ���������� 
������ $G$.}


\�������

{\�� \���� ������� ������-�������� (����������)}


\�����������
����� $\nu, \mu$ -- ���� �� ������������ �
$\sigma$-��������. ��������� $Z$ ���������� {\��\���� 
$\mu$-�������������}, ���� $\mu(Z)=0$. ���� $\nu$
���������� {\��\���� ��������� �����������} ������������
$\mu$ (������������ $\nu \preccurlyeq \mu$)
���� ������ $\mu$-������������� ���������
$\nu$-������������.


\�����������
����� $f$ -- ��������������� ���������
������� �� ������������ � �����-�������� � ����� $\mu$.
{\�� \���� ��������� ����� ���� $f\mu$ �������� $f\mu(U) = \int_U
f\mu$, ��� $\int_U f\mu$ ���� �������� �� $f$ �� $U$.}


\�������
�����  $\nu, \mu$ -- ���� �� ������������ $M$ �
$\sigma$-��������, ������ $\nu \preccurlyeq \mu$,
� $\nu(M), \mu(M) < \infty$.
{\�� \��� ����� ���������� ��������� �������
$f$ �����, ��� $\nu= f\mu$, ������
$f$ ���������� ���������� ��� $\mu$-��������������
���������.}


\�������

{\�� \���� ������������ ���������}


\�����������
�������������� ������������ $M$ ����������
{\��\���� ������������� �����̣��}, ���� ����� 
�������� $M$ ����� ������� �����������.


\������
���������� ������� ������������, �� ���������������
������� ���������.

\������
��������, ��� {\�� \������ ����� ������������ ������������ �����̣��
�������� ������������� �����̣��.}


\�����������
����� $M$ -- �������������� ������������
� $\sigma$-�������� � ����� $\mu$. ��������� ������������
 $K\subset M$  ���������� {\��\���� �������� �������������},
���� � ������ ����� ���� ����������� $U$
�����, ��� ����������� $K\cap U$ $\mu$-������������. 

\���������
���� $M$ -- ������������ ���������, �� 
{\�� \������ �� ��������� ��������������� $K$ �������
���������������} (�������� ���).

\�������

{\�� \���� �������������� ���� �����}

\��������� {\�� \������ �������������� ���� ����� ����� ��������
�� ��������� �����.} �������������, ���� ������ ��� ���� �����
$\mu$ � $\mu'$, �� $\mu$ ��������� ���������� ������������
$\mu+\mu'$. ����� ������� ������-�������� ���� ������� $f$
�����, ��� $\mu=f(\mu+\mu')$ � $\mu+\mu'$ -- ��� ���� �����.

\�����
����� $G$ -- �������� ���������� ������,
���������� ����� ����� ����� $\mu\neq 0$, � $f\geq 0$ --
��������� �������, �����, ��� $f\mu$ -- ����
����� ���� �����. {\�� \��� ����� $f$ ��������� ���
 �������� $\mu$-��������������
���������.}


{\��\����� ��������������. ��� 1:} 
��������� {\��\���� ��������������} ��������� $Z$ ��� ���������,
��������� �������� ���������. ����� $\mu(Z) < \infty$.
�������� ��� �� ������������  � ��������� ����������
$\mu$.


{\��\����� ��� 2:} ����� $U\subset G$ -- �������������� 
�������� ������������, �����, ��� $\mu(U)\neq 0$.
{\�� \������ ����� ������������ ������ ����������,} ������ ���
�������� ������������ $U$ � ���������� ����������
��������� ����������� �������,
� $\mu \neq 0$. ��������� �� $K$ ��������� $U$.


\�������

{\�� \���� �������������� ���� ����� (2)}

{\�� \����� \����� ����� $K\subset G$ -- ������� ��������� ����,
� $\mu$ � $f\mu$ -- ���� ����� �� ������ $G$.}


{\�� \����� ��� 3:} ����� $\pi:\; K \times G \arrow G$ --
��������, $T:\; K \times G \arrow K \times G$
�����������, ����������� $(k, g)$ � $(k, k^{-1}g)$,
� $\tau:\; K \times G \arrow K \times G$ 
��������� $(k, g)$ � $k^{-1}g$. ���������
$T$ -- ������������, ��� �����������
�������� (�������� ������������ �����������).
��������� $K$ ���������, �������� $\pi$
����������� (�������� �������� ���������),
������, ��� ���� ��������. �������,
$\tau= T \circ \pi$ �������� ��� ����������
��������� �����������.


{\��\����� ��� 4:} ���������� ���� ������������ 
$\mu\times \mu$ �� $K\times G$, ������������ ���
� ������� ������, � ����� $\tilde f:= \pi^* f$. 
��������� 
$\int_{K\times V} \tilde f \mu\times \mu = \mu(K) \int_V
\tilde f \mu,$
����� $\pi_*(\tilde f \mu\times \mu) = f \mu(K) \mu$,
��� $\pi_*$ ���������� ������ ����� ����.

{\��\����� ��� 5:} �� ������� ������, {\�� \������ 
���� $\tilde f \mu\times \mu$
$T$-�����������.} �������������, ����� $T(Z)$ ��������
������������� � $K$ � ���� �� ������, � ��������
������������� $Z$, � ����������� $f$ �� ��� ���� ���������.

{\��\����� ��� 6:} � ���� $T$-�������������� ����
 $\tilde f \mu\times \mu$, �����
\[
 \tau_*(\tilde f \mu\times \mu) = \pi_* T_*(\tilde f
 \mu\times \mu) = \pi_*(\tilde f \mu\times \mu)= \mu(K) f
 \mu,
\]
��� $\tau= T \circ \pi$. � ������ �������,
������� ������, ����������� � $\tau$, ����
$\tau_*(\tilde f \mu\times \mu)= \Psi \mu,$
��� $\Psi(x) = \int_{xK} f\mu$. �� ��������, ���
$\mu(K) f = \int_{xK} f\mu$ ��� ����� ���� $x$.
\��������

\�������

{\�� \���� ������������� ������}


��������� ������ �������� ������ �� ���� ����������� �
�����, ��� ����� ���� ����� $\mu$ � ������ $g\in G$ 
����� $L_g^* \mu = \lambda_g \mu$, ��� $\lambda_g\in\R^{>0}$ 
-- �����-�� ���������. ����� ������, ��� {\�� \������ �����������
$g\arrow \lambda_g$ ������ ����������� ����� $G \arrow \R^{>0}$.}


\�����������
����������� $g\arrow \lambda_g$,
������������ ����, ���������� {\��\���� ���������� ���\-�����},
��� �� {\�� \���� ���������� ����������}.
���� $\lambda_g=1$ ��� ���� $g$, ������ $G$ ����������
{\��\���� �������������}.


\������
��������� �� �������� ������
������ �������� ����� (� ��������� �� �����)
������, ����������������� ���� ����� ����� 
����������������. ������, {\�� \������ �����
������� ������ ������������.}


\������
{\�� \������ ���� ������ $G$ ����� ������ ����������,
��� ��������� ���� ������ ����������.}
������, $G$ ������������.


\������
���� $G$ ���������, �� $\mu(G)< \infty$ � ���� ���������
����������. ��������� $\mu$ $G$-�����������, �����
$\mu(G) = L^g_* \mu(G) = \lambda_g \mu(G)$, ������,
$\lambda_g=1$. �� ��������, ��� {\�� \������ �����
���������� ������ ������������.}



%\����������
%����� $G$ -- �������� ���������� ������, � $K\subset G$ --
%���������� ������������ ��������� ���� �����, ������������
%������������ ��������������� �������� $G$.
%{\�� \������ ��������, ��� $G$ ������������.}







\end{document}

