\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf} %,wasysym} % Taken from extarrows.sty by Chim Cut Canh \makeatletter \def\x@arrow{\DOTSB\Relbar} \def\xlongrightarrowfill@{\arrowfill@\relbar\relbar\longrightarrow} \newcommand{\xlongrightarrow}[2][]{% \ext@arrow 0099\xlongrightarrowfill@{#1}{#2}} \makeatother \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\6{\partial} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория меры, лекция 8:\\[2mm] мера Хаара (1)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 25 апреля 2015\\ НМУ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \невпаге {\бф \блуе Объем на компактных множествах (повторение)} \определение Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство. {\бф \блуе Алгебра борелевских множеств} есть сигма-алгебра, порожденная компактными подмножествами $M$. \определение Пусть ${\bf C}$ -- множество компактных подмножеств $M$. {\бф\блуе Объем} есть функция $\lambda:\; {\bf C}\arrow [0,\infty]$ которая удовлетворяет следующим условиям.\\ \phantom{AAA} {\bf \blue [Монотонность:]} $\lambda(A)\leq \lambda(B)$ для $A\subset B$. \\ \phantom{AAA} {\bf \blue [Аддитивность:]} $\lambda(A \coprod B) = \lambda(A)+\lambda(B)$ \\ \phantom{AAA} {\bf \blue [Полуаддитивность:]} $\lambda(A \cup B) \leq \lambda(A)+\lambda(B)$. %\определение %Объем называется {\бф\блуе регулярным}, если для любого %компактного множества $K\subset M$, полученного как замыкание открытого, %имеет место $\lambda(K)=\sup_{K'\subset K^\circ}\lambda(K')$, % %$\lambda(K)=\sup_{K'\subset K^\circ}\lambda(K')$, %где супремум берется по всем компактам $K'$, лежащим во внутренности $K$. % %\замечание {\бф \ред %В дальнейшем в этой лекции все объемы предполагаются регулярными.} \пример Пусть $\lambda(C)$ есть число целых точек во внутренности компактного подмножества $C\subset \R^n$. {\бф \пурпле Это %регулярный объем.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Каратеодори о продолжении} \определение Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство. {\бф \блуе Алгебра борелевских множеств} есть сигма-алгебра, порожденная компактными подмножествами $M$. \определение Пусть на топологическом пространстве $M$ задан объем $\lambda$. Определим {\бф\блуе внутреннюю меру} открытого множества $U$ как $\lambda_*(U):=\sup_{K\subset U}\lambda(K)$, где супремум берется по всем компактам в $U$. Определим {\бф\блуе внешнюю меру} множества $A$ как $\lambda^*(A):= \inf_{U\supset A}\lambda_*(U)$, где инфимум берется по всем открытым окрестностям $A$. \определение Топологическое пространство называется {\бф\блуе локально компактным}, если у каждой точки есть окрестность, замыкание которой компактно. На прошлой лекции была доказана такая теорема. \теорема {\бф \блуе (теорема Каратеодори о продолжении)} \\ Пусть $M$ -- локально компактное, хаусдорфово топологическое пространство, где каждое открытое множество является счетным объединением компактов, а $\lambda$ -- %регулярный объем. {\бф \ред Тогда $\lambda^*$ задает $\sigma$-аддитивную меру на борелевских множествах.} \невпаге {\бф \блуе Топологические группы} \определение Пусть $G$ -- топологическое пространство, снабженное структурой группы. $G$ называется {\бф\блуе топологической группой}, если отображение умножения $G\times G\xlongrightarrow{g, g' \mapsto gg'} G$ и взятия обратного $G\xlongrightarrow{g \mapsto g^{-1}} G$ непрерывны. \пример $\R^n$ с обычной групповой структурой является топологической группой. \пример {\бф \пурпле Группа $GL(n,\R)$ и $GL(n,\C)$ обратимых матриц над $\R$ и $\C$ является топологической группой.} Непрерывность умножения очевидна, потому что оно полиномиально (проверьте). Непрерывность взятия обратного следует из двух наблюдений:\\ \phantom{ААА} (i) $A^{-1}= \frac{A^\circ}{\det A}$, где $\det A$ есть определитель, а $A^\circ$ -- матрица, составленная из миноров. \\ \phantom{ААА} (ii) Отображение $A \arrow A^\circ$ непрерывно, потому что оно полиномиально, а функция $A \arrow \frac 1 {\det A}$ непрерывна на обратимых матрицах, потому что обратна к незануляющейся на $GL(n)$ полиномиальной функции $A \arrow \det A$. \невпаге {\бф \блуе Топологические группы (2)} \пример {\бф \пурпле Любая подгруппа топологической группы с индуцированной топологией является топологической группой.} \определение {\бф \блуе Группа Ли} есть гладкое многообразие, снабженное структурой группы, таким образом, что умножение и взятие обратного суть гладкие отображения \замечание Очевидно, {\бф \пурпле любая группа Ли является топологической группой.} \невпаге {\бф \блуе $p$-адические числа} \определение Пусть $p$ -- простое число. {\бф\блуе $p$-адическое нормирование} на целых числах определяется по формуле $\nu_p(p^k n)= p^{-k}$, где $n$ -- целое число, взаимно простое с $p$. \упражнение Проверьте, что $x, y \arrow \nu_p(x-y)$ задает метрику на $\Z$. \замечание Такая метрика называется {\бф\блуе $p$-адической.} \определение {\бф \блуе Кольцо целых $p$-адических чисел} (обозначается $\Z_p$) есть пополнение $\Z$ в $p$-адической метрике. \упражнение {\бф \пурпле Проверьте, что это кольцо.} \замечание {\бф \пурпле Деление на $p^k$ с остатком непрерывно в $p$-адической метрике} (проверьте), что дает непрерывный гомомоморфизм $\Z_p \arrow \Z/(p^k \Z)$. $p$-адическое число называется {\бф неделящимся на $p$}, если его образ при гомоморфизме $\Z_p \arrow \Z/(p \Z)$ ненулевой. \невпаге {\бф \блуе Деление в $\Z_p$} \замечание {\бф \пурпле Каждое $p$-адическое число $z\in \Z_p$ имеет $p$-адическую норму $\leq 1$.} В силу критерия Коши сходимости, любой ряд $\sum_{i=0}^\infty p^i a_i$ сходится, где $a_i$ -- целые $p$-адические. В частности, сходится ряд $\frac 1 {1+pA} = 1-pA+p^2A^2 - p^3A^3 + ...$ \утверждение {\бф \пурпле Любое целое $p$-адическое число $A$, не делящееся на $p$, обратимо в $\Z_p$.} {\бф\греен Доказательство:} Пусть $a$ -- остаток от $A$ по модулю $p$. Поскольку $\Z/p\Z$ -- поле, найдется такое $b$, что $ab=1 \mod p$. Значит, $C_1=AB-1$ делится на $p$ для какого-то $B\in \Z_p$. Получаем $C_1=p C$ \[ \frac 1 A = \frac B {AB}= \frac B{pC +1}= B(1-pC+p^2C^2 - p^3C^3 + ...). \] \endproof \определение Поле частных $\Z_p$ называется {\бф\блуе поле $p$-адических чисел}, и обозначается $\Q_p$. \замечание В силу предыдущего утверждения, \[ \Q_p= \Z_p(p^{-1}) = \Z_p \cup p^{-1} \Z_p \cup p^{-2} \Z_p \cup ... \] \невпаге {\бф \блуе Компактность $\Z_p$} \замечание Последовательность $\{z_i\}$ целых чисел сходится в $p$-адической метрике тогда и только тогда, когда для любого целого $n>0$ найдется $N$ такое, что для всех $i,j>N$, $z_i=z_j \mod p^n$ (проверьте это). Другими словами, $\{z_i\}$ сходится $\Leftrightarrow$ для любого $n$ найдется $N$ такое, что в представлении $z_i$, $i>N$ в $p$-ичной системе счисления все знаки вплоть до $n$-го равны: {\small \begin{equation*}\begin{array}{c} ...0000000000000000000000000000000000020\\ ...0000000000093275091374509172340957210\\ ...0000000000000026381637617631863181610\\ ...0000000000007927931793719279129881610\\ ...0000000000000000009812038102829881610\\ ...0000082739812739127397038102829881610\\ ...0003719237912723927397038102829881610\\ 7213719237912723927397038102829881610\\ \end{array} \end{equation*}} \!\!Пределом такой последовательности будет сумма ряда вида $\sum_{i=0}^\infty a_i p^i$, где $0\leq a_i < p$. Иначе говоря, целое $p$-адическое число есть число, записанное в $p$-ичной системе счисления, но с бесконечным (возможно) числом ненулевых разрядов. Такие числа можно складывать и умножать в столбик, как и обычные целые. \упражнение {\бф \ред Докажите, что $\Z_p$ компактно.} \невпаге {\бф \блуе Мера Хаара: определение} %\определение %Пусть $M, M'$ -- множества, снабженные сигма-алгебрами $A,A'$. %Предположим, что отображение $\phi:\; M \arrow M'$ %{\бф\блуе измеримо}, то есть для каждого $K\in A'$ %имеет место $\phi^{-1}(K) \in A'$. %Для каждой меры $\mu$ на $A$, обозначим за $\phi_* \mu$ соответствующую %меру на $A'$, $\phi_*\mu(K):= \mu(\phi^{-1}(K))$. \определение Пусть $G$ -- топологическая группа, $g\in G$ ее элемент. Обозначим за $L^g:\; G \arrow G$ операцию {\бф\блуе действия группы слева}, $x\arrow gx$, а за $R^g$ -- {\бф\блуе правое действие}, $x \arrow x g^{-1}$. Борелевская мера $\mu$ называется {\бф\блуе лево-инвариантной}, если $L^g_*(\mu)= \mu$, для любого $g\in G$, и {\бф\блуе право-инвариантной}, если $R^g_*(\mu)= \mu$. \определение Борелевская мера называется {\бф\блуе локально конечной}, если у каждой точки есть окрестность, мера которой конечна. \замечание Пусть $K$ компактно, а мера $\mu$ локально конечна. {\бф \пурпле Тогда $\mu(K)$ конечно (докажите это).} \определение {\бф\блуе Левая (правая) мера Хаара} на топологической группе есть лево- или правоинвариантная локально конечная борелевская мера на $G$. \пример Рассмотрим $\R^n$ как топологическую группу, с аддитивной групповой структурой. {\бф \пурпле Тогда мера Лебега на $\R^n$ является мерой Хаара} (и правой, и левой, так как $\R^n$ коммутативная группа). \невпаге {\бф \блуе Мера Хаара (2)} \newcommand{\card}{\operatorname{\sf card}} \задача Пусть $M=\Z_p$, а $\mu_d(K):= \card | \rho_d(K)|$, где $\rho_d:\; \Z_p \arrow \Z/p^d \Z$, а $\card$ обозначает число элементов множества. Рассмотрим функцию на компактах $\mu(K):= \sup\lim \frac{\mu_d(K)}{p^d}$. Докажите, что {\бф \пурпле она монотонна, аддитивна и полуаддитивна, то есть задает объем на компактах.} Докажите, что {\бф \пурпле соответствующая этому объему мера Каратеодори на $\Z_p$ является мерой Хаара.} На следующей лекции будет доказана такая теорема. \теорема {\бф \ред Мера Хаара существует и единственна с точностью до константы на каждой локально компактной группе $G$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Радона-Никодима (повторение)} \определение Пусть $\nu, \mu$ -- меры на пространстве с $\sigma$-алгеброй. Множество $Z$ называется {\бф\блуе $\mu$-пренебрежимым}, если $\mu(Z)=0$. Мера $\nu$ называется {\бф\блуе абсолютно непрерывной} относительно $\mu$ (обозначается $\nu \preccurlyeq \mu$) если каждое $\mu$-пренебрежимое множество $\nu$-пренебрежимо. \определение Пусть $f$ -- неотрицательная измеримая функция на пространстве с сигма-алгеброй и мерой $\mu$. {\бф \блуе Определим новую меру $f\mu$ формулой $f\mu(U) = \int_U f\mu$, где $\int_U f\mu$ есть интеграл от $f$ по $U$.} \теорема Пусть $\nu, \mu$ -- меры на пространстве $M$ с $\sigma$-алгеброй, причем $\nu \preccurlyeq \mu$, и $\nu(M), \mu(M) < \infty$. {\бф \ред Тогда существует измеримая функция $f$ такая, что $\nu= f\mu$, причем $f$ определено однозначно вне $\mu$-пренебрежимого множества.} \невпаге {\бф \блуе Пространства Линделефа} \определение Топологическое пространство $M$ называется {\бф\блуе пространством Линделёфа}, если любое покрытие $M$ имеет счетное подпокрытие. \задача Придумайте связное пространство, не удовлетворяющее условию Линделефа. \задача Докажите, что {\бф \пурпле любое подмножество пространства Линделёфа является пространством Линделёфа.} \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство с $\sigma$-алгеброй и мерой $\mu$. Измеримое подмножество $K\subset M$ называется {\бф\блуе локально пренебрежимым}, если у каждой точки есть окрестность $U$ такая, что пересечение $K\cap U$ $\mu$-пренебрежимо. \замечание Если $M$ -- пространство Линделефа, то {\бф \пурпле из локальной пренебрежимости $K$ следует пренебрежимость} (докажите это). \невпаге {\бф \блуе Единственность меры Хаара} \замечание {\бф \пурпле Единственность меры Хаара сразу вытекает из следующей леммы.} Действительно, если заданы две меры Хаара $\mu$ и $\mu'$, то $\mu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu+\mu'$. Тогда теорема Радона-Никодима дает функцию $f$ такую, что $\mu=f(\mu+\mu')$ и $\mu+\mu'$ -- две меры Хаара. \лемма Пусть $G$ -- локально компактная группа, снабженная левой мерой Хаара $\mu\neq 0$, а $f\geq 0$ -- измеримая функция, такая, что $f\mu$ -- тоже левая мера Хаара. {\бф \ред Тогда $f$ постоянна вне локально $\mu$-пренебрежимого множества.} {\бф\греен Доказательство. Шаг 1:} Определим {\бф\блуе предкомпактное} множество $Z$ как множество, замыкание которого компактно. Тогда $\mu(Z) < \infty$. Выведите это из монотонности и локальной конечности $\mu$. {\бф\греен Шаг 2:} Пусть $U\subset G$ -- предкомпактное открытое подмножество, такое, что $\mu(U)\neq 0$. {\бф \пурпле Такие подмножества всегда существуют,} потому что открытые подмножества $U$ с компактным замыканием порождают борелевскую алгебру, а $\mu \neq 0$. Обозначим за $K$ замыкание $U$. \невпаге {\бф \блуе Единственность меры Хаара (2)} {\бф \смалл \греен Пусть $K\subset G$ -- компакт ненулевой меры, а $\mu$ и $f\mu$ -- меры Хаара на группе $G$.} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $\pi:\; K \times G \arrow G$ -- проекция, $T:\; K \times G \arrow K \times G$ отображение, переводящее $(k, g)$ в $(k, k^{-1}g)$, а $\tau:\; K \times G \arrow K \times G$ переводит $(k, g)$ в $k^{-1}g$. Поскольку $T$ -- гомеоморфизм, это отображение измеримо (прообраз борелевского борелевский). Поскольку $K$ компактно, проекция $\pi$ собственная (прообраз компакта компактен), значит, она тоже измерима. Наконец, $\tau= T \circ \pi$ измеримо как композиция измеримых отображений. {\бф\греен Шаг 4:} Рассмотрим меру произведения $\mu\times \mu$ на $K\times G$, определенную как в теореме Фубини, и пусть $\tilde f:= \pi^* f$. Поскольку $\int_{K\times V} \tilde f \mu\times \mu = \mu(K) \int_V \tilde f \mu,$ имеем $\pi_*(\tilde f \mu\times \mu) = f \mu(K) \mu$, где $\pi_*$ обозначает прямой образ меры. {\бф\греен Шаг 5:} По теореме Фубини, {\бф \пурпле мера $\tilde f \mu\times \mu$ $T$-инвариантна.} Действительно, образ $T(Z)$ цилиндра проектируется в $K$ с теми же слоями, с которыми проектируется $Z$, и ограничение $f$ на эти слои одинаково. {\бф\греен Шаг 6:} В силу $T$-инвариантности меры $\tilde f \mu\times \mu$, имеем \[ \tau_*(\tilde f \mu\times \mu) = \pi_* T_*(\tilde f \mu\times \mu) = \pi_*(\tilde f \mu\times \mu)= \mu(K) f \mu, \] где $\tau= T \circ \pi$. С другой стороны, теорема Фубини, примененная к $\tau$, дает $\tau_*(\tilde f \mu\times \mu)= \Psi \mu,$ где $\Psi(x) = \int_{xK} f\mu$. Мы получаем, что $\mu(K) f = \int_{xK} f\mu$ для почти всех $x$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Унимодулярные группы} Поскольку правое действие группы на себе коммутирует с левым, для левой меры Хаара $\mu$ и любого $g\in G$ имеем $L_g^* \mu = \lambda_g \mu$, где $\lambda_g\in\R^{>0}$ -- какая-то константа. Легко видеть, что {\бф \пурпле отображение $g\arrow \lambda_g$ задает гомоморфизм групп $G \arrow \R^{>0}$.} \определение Гомоморфизм $g\arrow \lambda_g$, определенный выше, называется {\бф\блуе модулярной фун\-кцией}, или же {\бф \блуе модулярным характером}. Если $\lambda_g=1$ для всех $g$, группа $G$ называется {\бф\блуе унимодулярной}. \пример Поскольку на абелевой группе правое действие равно (с точностью до знака) левому, правоинвариантная мера Хаара равна левоинвариантной. Значит, {\бф \пурпле любая абелева группа унимодулярна.} \пример {\бф \пурпле Если группа $G$ равна своему коммутанту, все характеры этой группы тривиальны.} Значит, $G$ унимодулярна. \пример Если $G$ компактна, то $\mu(G)< \infty$ в силу локальной конечности. Поскольку $\mu$ $G$-инвариантно, имеем $\mu(G) = L^g_* \mu(G) = \lambda_g \mu(G)$, значит, $\lambda_g=1$. Мы получили, что {\бф \пурпле любая компактная группа унимодулярна.} %\упражнение %Пусть $G$ -- локально компактная группа, а $K\subset G$ -- %компактное подмножество ненулевой меры Хаара, инвариантное %относительно присоединенного действия $G$. %{\бф \пурпле Докажите, что $G$ унимодулярна.} \end{document}