  

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\6{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория меры, лекция 7:\\[2mm] мера Каратеодори}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 18 апреля 2015\\ НМУ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

{\бф \блуе Объем на борелевских множествах}


\определение
Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство.
{\бф \блуе Алгебра борелевских множеств} есть сигма-алгебра,
порожденная компактными подмножествами $M$. 


\определение
Пусть ${\bf C}$ -- множество компактных подмножеств $M$.
{\бф\блуе Объем} есть функция $\lambda:\; {\bf C}\arrow [0,\infty]$
которая удовлетворяет следующим условиям.\\
\phantom{AAA} {\bf \blue [Монотонность:]}
 $\lambda(A)\leq \lambda(B)$ для $A\subset B$. \\
\phantom{AAA} {\bf \blue  [Аддитивность:]} $\lambda(A \coprod B) =
\lambda(A)+\lambda(B)$ \\
\phantom{AAA} {\bf \blue  [Полуаддитивность:]} $\lambda(A \cup B) \leq \lambda(A)+\lambda(B)$.

%\определение
%Объем называется {\бф\блуе регулярным}, если для любого
%компактного множества $K\subset M$, полученного как замыкание открытого,
%имеет место $\lambda(K)=\sup_{K'\subset K^\circ}\lambda(K')$,
%где супремум берется по всем компактам $K'$, лежащим во внутренности $K$.

%\замечание {\бф \ред 
%В дальнейшем в этой лекции все объемы предполагаются регулярными.}

\newpage

{\бф \блуе Внешняя мера}

\пример
Пусть $\lambda(C)$ есть 
число целых точек во внутренности компактного подмножества
$C\subset \R^n$. {\бф \пурпле Это %регулярный 
объем.}

\определение
Пусть на топологическом пространстве $M$ задан объем $\lambda$.
Определим {\бф\блуе внутреннюю меру} открытого множества $U$
как $\lambda_*(U):=\sup_{K\subset U}\lambda(K)$, где супремум берется
по всем компактам в $U$. Определим {\бф\блуе внешнюю меру}
множества $A$ как $\lambda^*(A):= \inf_{U\supset
A}\lambda_*(U)$, где инфимум берется по всем 
открытым окрестностям $A$.


\newpage

{\бф \блуе Объем и мера Лебега}


\лемма
Пусть $\lambda$ есть мера Лебега на $\R^n$. {\бф \ред Тогда
$\lambda^*(K)=\lambda(K)$ для любого компакта $X\subset \R^n$. }


\дшаг
Неравенство $\lambda^*(K)\geq \lambda(K)$ очевидно.

{\бф\греен Шаг 2:} 
Из хаусдорфовости легко получить,
что $K = \bigcap_{U\supset K} U$ {\бф \пурпле (проверьте
это).}  Тогда $\lambda^*(K)= \lim_i \lambda(K_i)$, где
$U_1\supset U_2 \supset U_3 \supset ...$ --
последовательность  окрестностей $K$, удовлетворяющих
$\bigcap_i U_i=K$, а
$K_i \subset U_i$ -- подходящая последовательность компактных
подмножеств. Заменив $K_n$ на $K\cup \bigcap_{i=1}^n K_i$,
можно считать, что каждый $K_i$ содержит $K$
и $\bigcap K_i = K$. {\бф \пурпле Тогда $\lim_i\lambda(K_i)=
\lambda(K)$ в силу $\sigma$-аддитивности меры Лебега.}
\ендпрооф


Основной результат этой лекции есть теорема
Каратеодори о продолжении внешней меры
(``Caratheodory extension theorem''). Я докажу ее 
в конце лекции.

\теорема
{\бф \блуе (теорема Каратеодори о продолжении меры)}\\
Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство, а
$\lambda$ -- объем на нем. {\бф \ред 
Тогда внешнюю меру $\lambda^*$ можно продолжить
до счетно-аддитивной меры на борелевских
множествах.}


\newpage

{\бф \блуе Непересекающиеся окрестности компактов}


{\бф \греен Лемма 1:}
Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство,
а $A, B$ -- непересекающиеся компактные множества.
{\бф \ред Тогда у $A$ и $B$ есть непересекающиеся открытые окрестности.}



\дшаг
Достаточно доказать, что у $A$ есть окрестность,
замыкание которой не пересекается с $B$ {\бф\пурпле (докажите это).}


{\бф\греен Шаг 2:} Пусть $x\in B$. Для каждого $z\in A$, выберем окрестность
$U_z\ni z$, замыкание которой $\overline {U_z}$ не содержит $x$ 
{\бф \пурпле (такая
окрестность существует в силу хаусдорфовости --- докажите).}
Поскольку $A$ компактно, а $U_z$ --- открытое покрытие
$A$, из него можно выбрать конечное подпокрытие
$U_1, ..., U_n$. Замыкание множества $\bigcup U_i$
не содержит $x$, потому что 
$\overline{\bigcup_{i=1}^n  U_i} = \bigcup_{i=1}^n \overline {U_i}.$
{\бф \пурпле Мы получили, что у $A$ есть окрестность,
замыкание которой не содержит $x\in B$.}


{\бф \греен Шаг 3:} Из этого следует, что у любого
$x\in B$ есть окрестность $V_x$, которая не пересекает 
открытую окрестность $U_x\supset A$. Множества $V_x$
покрывают $B$; в силу компактности, можно выбрать
конечное подпокрытие $\{V_i\}$. Обозначим соответствующие
открытые окрестности $A$ за $U_i$. {\бф \пурпле Тогда $\bigcup V_i$
есть открытая окрестность $B$, которая не пересекает
$\bigcap U_i$.} \endproof

\newpage

{\бф \блуе Разбиение компакта в объединение компактов}


\лемма
Пусть $C\subset U \cup V$ компактное подмножество объединения
двух открытых множеств. {\бф \ред Тогда существуют компактные подмножества
$C_U \subset U$ и $C_V\subset V$, такие, что $C_U\cup C_V=C$.}


{\бф\греен Доказательство:}
$C\backslash U$ и $C \backslash V$ -- 
замкнутые подмножества компакта, значит, они компактны.
Поскольку они не пересекаются, у них есть непересекающиеся
окрестности, $V_1$ и $U_1$. Множества $C_U:= C\backslash V_1$
и $C_V:= C\backslash U_1$ также компактны и лежат в $U$ и $V$,
соответственно, их объединение
дает все $C$, как видно из приведенной иллюстрации.
\begin{center}
\epsfig{file=semiadditi.eps,width=0.45\linewidth}\\
{\em\scriptsize Разбиение компакта $C$ в объединение компактов
$C_U$ и $C_V$.}
\end{center}
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Полуадитивность внешней меры}

\утверждение
{\бф \пурпле Внешняя мера полуаддитивна:
$\lambda^*(A\cup B) \leq \lambda^*(A) + \lambda^*(B)$,
для любых $A, B$.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} {\бф \пурпле
Докажем полуаддитивность, когда $A$, $B$ открыты.}
В этой ситуации имеем имеем $\lambda^*(U\cup V)= 
\sup_{C\subset U\cup V}\lambda(C)\leq \lambda(C_U) + \lambda(C_V)$,
где $C_U$, $C_V$ -- компактные множества, построенные в предыдущей
лемме. С другой стороны, $\lambda(C_U)\leq \lambda^*(U)$ и 
$\lambda(C_V)\leq \lambda^*(V)$ по определению внешней меры.

{\бф \греен Шаг 2:} Для произвольных $A, B$, и любого $\epsilon >0$, имеем
$\lambda^*(A) + \lambda^*(B) \geq \lambda^*(U) + \lambda^*(V)-\epsilon$
для подходящих окрестностей $U\supset A$ и $V\supset B$.
Воспользовавшись предыдущим шагом, получаем
\[
\lambda^*(A) + \lambda^*(B) \geq \lambda^*(U) + \lambda^*(V)-\epsilon
\geq \lambda^*(U\cup V) - \epsilon \geq \lambda^*(A\cup B)- \epsilon.
\]
Поскольку $\epsilon$ произвольный, это дает 
$\lambda^*(A\cup B) \leq \lambda^*(A) + \lambda^*(B)$.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе $\sigma$-полуадитивность внешней меры}



\утверждение
{\бф \ред Внешняя мера $\sigma$-полуаддитивна: \\
$\lambda^*(\bigcup A_i) \leq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i)$.}

\дшаг
 Обозначим объединение
$\bigcup A_i$ за $A$.
Пусть все $A_i$ открыты.
Тогда $\lambda^*(A)= \sup_{K\subset A}\lambda(K)$,
где супремум берется по всем компактам, содержащимся в $A$.
Каждый такой компакт имеет конечное подпокрытие,
$K\subset \bigcup_{i=1}^N A_i$, что дает 
$\lambda(K)\leq \lambda^*(K) \leq \sum_{i=1}^N \lambda^*(A_i)$ в силу
полуаддитивности. Получаем:
\[
\lambda^*(A)= \sup_{K\subset A}\lambda(K) \leq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i).
\]
{\бф\греен Шаг 2:} Для произвольных $A_i$, и любого $\epsilon >0$, имеем
$\sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i)\geq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(U_i)-\epsilon$
для подходящих окрестностей $U_i \supset A_i$ (проверьте это).
Воспользовавшись предыдущим шагом, получаем
\[
\sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i)
\geq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(U_i)-\epsilon 
\geq \lambda^*\left(\bigcup U_i\right)-\epsilon
\geq \lambda^*(A)-\epsilon.
\]
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Измеримость по Каратеодори}


\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство, $\lambda$ -- объем, а
$\lambda^*$ -- соответствующая ему внешняя мера. Подмножество
$A\subset M$ называется {\бф\блуе измеримым по Каратеодори}, если
для любого $X\subset M$, имеем
$\lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A) =\lambda^*(X)$.


\замечание
{\бф \ред Условие $\lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A) =\lambda^*(X)$
достаточно проверять для открытых $X$.} Действительно, пусть
$U\supset X$ -- открыто, и для всех таких $U$, имеем
$\lambda^*(U\backslash A) + \lambda^*(U \cap A) =\lambda^*(U)$.
Тогда 
\[
\lambda^*(X) = \inf_{U\supset X} \lambda^*(U) = 
\inf_{U\supset X}\big[\lambda^*(U\backslash A) + \lambda^*(U \cap A)\big] 
\geq \lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A).
\]
Это дает $\lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A) \leq \lambda^*(X)$.
Противоположное неравенство следует из полуаддитивности внешней меры.


\невпаге

{\бф \блуе Компакты измеримы по Каратеодори}


\утверждение 
{\бф \ред Любое компактное множество измеримо по Каратеодори. }

{\бф\греен Доказательство:} Пусть $C$ -- компактное, а $U$ открыто.
В силу предыдущего замечания, достаточно проверить, что 
$\lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U \cap C) =\lambda^*(U)$.
Возьмем компактное подмножество $D\subset U\backslash C$,
и пусть $V_D\supset C$ -- открытая 
окрестность, замыкание которой не пересекает $D$
(она существует в силу Леммы 1)
\begin{center}
\epsfig{file=cara-measu-co.eps,width=0.25\linewidth}\\
{\em\scriptsize Вычисление $\lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U
\cap C)$, где $C$ -- компакт, $U$ -- открытое множество.}
\end{center}


\невпаге

{\бф \блуе Компакты измеримы по Каратеодори (продолжение)}

\begin{center}
\epsfig{file=cara-measu-co.eps,width=0.25\linewidth}\\
{\em\scriptsize Вычисление $\lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U
\cap C)$, где $C$ -- компакт, $U$ -- открытое множество.}
\end{center}
Тогда $\lambda^*(U\cap C) \leq \lambda^*(U \cap V_D)= 
\sup_{E\subset U \cap V_D} \lambda(E),$ 
где $E$ -- компакт, лежащий в $U_D:=U \cap V_D$.
Это дает
\[ 
\lambda^*(U\cap C) + \lambda^*(U\backslash C)
\leq \sup_{D\subset U\backslash C}\lambda(D) +
\sup_{E\subset U_D} \lambda(E). \ \ \ (*)
\]
Поскольку $E$ и $D$ -- непересекающиеся компакты,
лежащие в $U$, имеем
\[ \lambda(D) + \lambda(E) = \lambda(E\cup D) \leq \lambda^*(U).
\]
Вместе с (*)
это дает $\lambda^*(U\cap C) + \lambda^*(U\backslash
C)\leq \lambda^*(U)$. Обратное неравенство
следует из полуаддитивности внешней меры. \endproof



\невпаге

{\бф \блуе Пересечение множеств, измеримых по Каратеодори}

\утверждение
{\бф \ред Пересечение, объединение, дополнение множеств,
измеримых по Каратеодори, снова измеримо по Каратеодори.}


\дшаг Для дополнения $A_1:=M\backslash A$ это
особенно очевидно, потому что $X\backslash A= X \cap A_1$,
а $X\cap A= X\backslash A_1$. 

{\бф \греен Шаг 2:} Докажем, что $A \cap B$ измеримо,
если $A$ и $B$ измеримы.


\невпаге

{\бф \блуе Пересечение  измеримых по Каратеодори (продолжение)}

{\бф \греен Шаг 2:}
Чтобы доказать, что 
$A \cap B$ измеримо, отметим, что\\
$X = \bigg( (X\backslash A)\backslash B\bigg) 
\coprod  \bigg((X\backslash A)\cap B\bigg)
\coprod  \bigg((X\cap A)\backslash B\bigg) \coprod  \bigg((X\cap A)\cap B\bigg)$,\\
и в силу измеримости $A$ и $B$ это дает
\[
\lambda^*(X) = \lambda^*((X\backslash A)\backslash B) + 
\lambda^*((X\backslash A)\cap B) + \lambda^*((X\cap
A)\backslash B) +\lambda^*( (X\cap A)\cap B). \ \ \  (**)
\]
Поскольку $X \backslash (A \cap B) = \bigg( (X\backslash A)\backslash B\bigg) 
\coprod  \bigg((X\backslash A)\cap B\bigg)
\coprod  \bigg((X\cap A)\backslash B\bigg)$,
из полуаддитивности следует
\[
\lambda^*(X \backslash (A \cap B)) \leq  
\lambda^*((X\backslash A)\backslash B)+
\lambda^*((X\backslash A)\cap B) + \lambda^*((X\cap A)\backslash B).
\]
Сравнивая это с (**)
получаем
\begin{align*}
\lambda^*(X) & =  \lambda^*(X\backslash (A \cap B)) +\lambda^*((X\backslash A)\cap B) + \lambda^*((X\cap A)\backslash B) +\lambda^*( (X\cap A)\cap B)\\ & \geq
\lambda^*(X\backslash (A \cap B)) +\lambda^*(X \cap (A \cap B)).
\end{align*}
Противоположное неравенство следует из полуаддитивности
внешей меры.
Доказательство для $A\cup B$ аналогично.
\endproof

\невпаге

{\бф \блуе Счетное объединение множеств, измеримых по
Каратеодори}



\утверждение
{\бф \ред Счетное объединение множеств,
измеримых по Каратеодори, снова измеримо по Каратеодори.}


\дшаг Пусть $\{A_i, i = 1, 2, 3, ...\}$ -- 
счетный набор множеств, измеримых по Каратеодори. Заменив
каждый $A_i$ на дополнение ко всем предыдущим, можно
считать, что они попарно не пересекаются. 

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $X$ произвольное множеством
 $U$ -- окрестность $A\cap X$, где $A:= \bigcup A_i$,
а  $U_i \supset A_i\cap X$ окрестности, содержащиеся в
 $U$.
Для любого компакта $K\subset A\cap X$,
$K$ содержится в конечном объединении $U_i$, что дает
\[
  \lambda^*(A\cap X) \geq 
   \lim_N \lambda^*\left(\bigcup_{i=0}^N U_i\right)
  \geq \lim_N\lambda^*\left(\bigcup_{i=0}^N A_i\cap X\right) =
  \lim_N\sum_{i=1}^N \lambda^*(A_i\cap X)
\]
(последнее равенство вытекает из измеримости $A_i$).
Из этого следует 
$\lambda^*(A\cap X)\geq \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X)$;
противоположное неравенство вытекает из $\sigma$-аддитивности
внешней меры, что дает
\[
\lambda^*\left(\left(\coprod A_i\right)\cap X\right)
= \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X).
\]

\невпаге

{\бф \блуе Счетное объединение множеств, измеримых по
Каратеодори (2)}

\утверждение
{\бф \ред Счетное объединение множеств,
измеримых по Каратеодори, снова измеримо по Каратеодори.}

{\бф \греен Шаг 2 (заключение):} $A_i$ -- счетный набор попарно
непересекающихся множеств, измеримых по Каратеодоры; для
любого $X$ получаем
\[
\lambda^*\left(\left(\coprod A_i\right)\cap X\right)
= \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X).
\]
{\бф \греен Шаг 3:} Из этого следует
\[ \lambda^*(A\cap X) = \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X)=
    \lambda^*(X) -
  \lim_N\lambda^*\left(X\backslash \left(\coprod_{i=1}^N A_i\right)\right) 
  \leq  \lambda^*(X) - \lambda^*(X\backslash A)
\]
(последнее неравенство следует из монотонности внешней меры). 
Получаем $\lambda^*(A\cap X)+ \lambda^*(X\backslash A)\leq \lambda^*(X)$;
противоположное неравенство следует из полуаддитивности, что
дает $\lambda^*(A\cap X)+ \lambda^*(X\backslash A)= \lambda^*(X)$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Множества меры нуль измеримы по Каратеодори}

\лемма
Пусть $A$ -- множество внешней меры 0.
{\бф \ред Тогда $\lambda^*(X\cup A)= \lambda^*(X)$
и $\lambda^*(X\backslash A)= \lambda^*(X)$
для любого $X$.}

\доказательство $\lambda^*(X\cup A)= \lambda^*(X)$
следует из полуаддитивности. Чтобы убедиться
в том, что $\lambda^*(X\backslash A)= \lambda^*(X)$,
возьмем у $A$ окрестность $U$ внешней меры $\leq \epsilon$,
а в $X$ впишем компакт $K$ объема $\lambda^*(X)-\epsilon$.
В силу измеримости $U$ по Каратеодори, 
$K\backslash U$  удовлетворяет
$\lambda^*(K\backslash U)\geq\lambda^*(X)-2\epsilon$, значит, 
\[ \lambda^*(X\backslash A)\geq \lambda^*(K\backslash U)
\geq \lambda^*(X)-2\epsilon,
\]
для любого $\epsilon>0$.
\ендпрооф

\следствие
Пусть $A$ -- множество внешней меры 0.
{\бф \ред Тогда $A$ измеримо по Каратеодори.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Мера Каратеодори и мера Лебега}

\утверждение
{\бф \ред Измеримое по Лебегу множество измеримо по
Каратеодори.}

\доказательство
Компакты измеримы по Каратеодори, а также их объединения,
дополнения, пересечения, значит, {\бф \пурпле  все борелевские множества
измеримы по Каратеодори.} В силу предыдущей леммы,
все множества меры нуль тоже измеримы по Каратеодори.
$\sigma$-алгебра множеств, измеримых по Лебегу, порождена
борелевскими и меры нуль.
\ендпрооф

\теорема 
Пусть $\mu$ -- объем компакта по Лебегу, а
$\mu^*$ -- связанная с этим объемом внешняя мера.
{\бф \ред Тогда для каждого измеримого по Лебегу множества,
$\mu^*(X)$ есть мера Лебега множества $X$.}

\доказательство
На измеримых по Каратеодори множествах, $\mu^*$
$\sigma$-аддитивна и равна $\mu$ на компактах и на множествах меры 0. 
С другой стороны, $\sigma$-аддитивная мера однозначно
задается своими значениями на любом наборе образующих.
\ендпрооф

\end{document}

