\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\6{\partial} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория меры, лекция 7:\\[2mm] мера Каратеодори} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 18 апреля 2015\\ НМУ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage {\бф \блуе Объем на борелевских множествах} \определение Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство. {\бф \блуе Алгебра борелевских множеств} есть сигма-алгебра, порожденная компактными подмножествами $M$. \определение Пусть ${\bf C}$ -- множество компактных подмножеств $M$. {\бф\блуе Объем} есть функция $\lambda:\; {\bf C}\arrow [0,\infty]$ которая удовлетворяет следующим условиям.\\ \phantom{AAA} {\bf \blue [Монотонность:]} $\lambda(A)\leq \lambda(B)$ для $A\subset B$. \\ \phantom{AAA} {\bf \blue [Аддитивность:]} $\lambda(A \coprod B) = \lambda(A)+\lambda(B)$ \\ \phantom{AAA} {\bf \blue [Полуаддитивность:]} $\lambda(A \cup B) \leq \lambda(A)+\lambda(B)$. %\определение %Объем называется {\бф\блуе регулярным}, если для любого %компактного множества $K\subset M$, полученного как замыкание открытого, %имеет место $\lambda(K)=\sup_{K'\subset K^\circ}\lambda(K')$, %где супремум берется по всем компактам $K'$, лежащим во внутренности $K$. %\замечание {\бф \ред %В дальнейшем в этой лекции все объемы предполагаются регулярными.} \newpage {\бф \блуе Внешняя мера} \пример Пусть $\lambda(C)$ есть число целых точек во внутренности компактного подмножества $C\subset \R^n$. {\бф \пурпле Это %регулярный объем.} \определение Пусть на топологическом пространстве $M$ задан объем $\lambda$. Определим {\бф\блуе внутреннюю меру} открытого множества $U$ как $\lambda_*(U):=\sup_{K\subset U}\lambda(K)$, где супремум берется по всем компактам в $U$. Определим {\бф\блуе внешнюю меру} множества $A$ как $\lambda^*(A):= \inf_{U\supset A}\lambda_*(U)$, где инфимум берется по всем открытым окрестностям $A$. \newpage {\бф \блуе Объем и мера Лебега} \лемма Пусть $\lambda$ есть мера Лебега на $\R^n$. {\бф \ред Тогда $\lambda^*(K)=\lambda(K)$ для любого компакта $X\subset \R^n$. } \дшаг Неравенство $\lambda^*(K)\geq \lambda(K)$ очевидно. {\бф\греен Шаг 2:} Из хаусдорфовости легко получить, что $K = \bigcap_{U\supset K} U$ {\бф \пурпле (проверьте это).} Тогда $\lambda^*(K)= \lim_i \lambda(K_i)$, где $U_1\supset U_2 \supset U_3 \supset ...$ -- последовательность окрестностей $K$, удовлетворяющих $\bigcap_i U_i=K$, а $K_i \subset U_i$ -- подходящая последовательность компактных подмножеств. Заменив $K_n$ на $K\cup \bigcap_{i=1}^n K_i$, можно считать, что каждый $K_i$ содержит $K$ и $\bigcap K_i = K$. {\бф \пурпле Тогда $\lim_i\lambda(K_i)= \lambda(K)$ в силу $\sigma$-аддитивности меры Лебега.} \ендпрооф Основной результат этой лекции есть теорема Каратеодори о продолжении внешней меры (``Caratheodory extension theorem''). Я докажу ее в конце лекции. \теорема {\бф \блуе (теорема Каратеодори о продолжении меры)}\\ Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство, а $\lambda$ -- объем на нем. {\бф \ред Тогда внешнюю меру $\lambda^*$ можно продолжить до счетно-аддитивной меры на борелевских множествах.} \newpage {\бф \блуе Непересекающиеся окрестности компактов} {\бф \греен Лемма 1:} Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство, а $A, B$ -- непересекающиеся компактные множества. {\бф \ред Тогда у $A$ и $B$ есть непересекающиеся открытые окрестности.} \дшаг Достаточно доказать, что у $A$ есть окрестность, замыкание которой не пересекается с $B$ {\бф\пурпле (докажите это).} {\бф\греен Шаг 2:} Пусть $x\in B$. Для каждого $z\in A$, выберем окрестность $U_z\ni z$, замыкание которой $\overline {U_z}$ не содержит $x$ {\бф \пурпле (такая окрестность существует в силу хаусдорфовости --- докажите).} Поскольку $A$ компактно, а $U_z$ --- открытое покрытие $A$, из него можно выбрать конечное подпокрытие $U_1, ..., U_n$. Замыкание множества $\bigcup U_i$ не содержит $x$, потому что $\overline{\bigcup_{i=1}^n U_i} = \bigcup_{i=1}^n \overline {U_i}.$ {\бф \пурпле Мы получили, что у $A$ есть окрестность, замыкание которой не содержит $x\in B$.} {\бф \греен Шаг 3:} Из этого следует, что у любого $x\in B$ есть окрестность $V_x$, которая не пересекает открытую окрестность $U_x\supset A$. Множества $V_x$ покрывают $B$; в силу компактности, можно выбрать конечное подпокрытие $\{V_i\}$. Обозначим соответствующие открытые окрестности $A$ за $U_i$. {\бф \пурпле Тогда $\bigcup V_i$ есть открытая окрестность $B$, которая не пересекает $\bigcap U_i$.} \endproof \newpage {\бф \блуе Разбиение компакта в объединение компактов} \лемма Пусть $C\subset U \cup V$ компактное подмножество объединения двух открытых множеств. {\бф \ред Тогда существуют компактные подмножества $C_U \subset U$ и $C_V\subset V$, такие, что $C_U\cup C_V=C$.} {\бф\греен Доказательство:} $C\backslash U$ и $C \backslash V$ -- замкнутые подмножества компакта, значит, они компактны. Поскольку они не пересекаются, у них есть непересекающиеся окрестности, $V_1$ и $U_1$. Множества $C_U:= C\backslash V_1$ и $C_V:= C\backslash U_1$ также компактны и лежат в $U$ и $V$, соответственно, их объединение дает все $C$, как видно из приведенной иллюстрации. \begin{center} \epsfig{file=semiadditi.eps,width=0.45\linewidth}\\ {\em\scriptsize Разбиение компакта $C$ в объединение компактов $C_U$ и $C_V$.} \end{center} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Полуадитивность внешней меры} \утверждение {\бф \пурпле Внешняя мера полуаддитивна: $\lambda^*(A\cup B) \leq \lambda^*(A) + \lambda^*(B)$, для любых $A, B$.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} {\бф \пурпле Докажем полуаддитивность, когда $A$, $B$ открыты.} В этой ситуации имеем имеем $\lambda^*(U\cup V)= \sup_{C\subset U\cup V}\lambda(C)\leq \lambda(C_U) + \lambda(C_V)$, где $C_U$, $C_V$ -- компактные множества, построенные в предыдущей лемме. С другой стороны, $\lambda(C_U)\leq \lambda^*(U)$ и $\lambda(C_V)\leq \lambda^*(V)$ по определению внешней меры. {\бф \греен Шаг 2:} Для произвольных $A, B$, и любого $\epsilon >0$, имеем $\lambda^*(A) + \lambda^*(B) \geq \lambda^*(U) + \lambda^*(V)-\epsilon$ для подходящих окрестностей $U\supset A$ и $V\supset B$. Воспользовавшись предыдущим шагом, получаем \[ \lambda^*(A) + \lambda^*(B) \geq \lambda^*(U) + \lambda^*(V)-\epsilon \geq \lambda^*(U\cup V) - \epsilon \geq \lambda^*(A\cup B)- \epsilon. \] Поскольку $\epsilon$ произвольный, это дает $\lambda^*(A\cup B) \leq \lambda^*(A) + \lambda^*(B)$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе $\sigma$-полуадитивность внешней меры} \утверждение {\бф \ред Внешняя мера $\sigma$-полуаддитивна: \\ $\lambda^*(\bigcup A_i) \leq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i)$.} \дшаг Обозначим объединение $\bigcup A_i$ за $A$. Пусть все $A_i$ открыты. Тогда $\lambda^*(A)= \sup_{K\subset A}\lambda(K)$, где супремум берется по всем компактам, содержащимся в $A$. Каждый такой компакт имеет конечное подпокрытие, $K\subset \bigcup_{i=1}^N A_i$, что дает $\lambda(K)\leq \lambda^*(K) \leq \sum_{i=1}^N \lambda^*(A_i)$ в силу полуаддитивности. Получаем: \[ \lambda^*(A)= \sup_{K\subset A}\lambda(K) \leq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i). \] {\бф\греен Шаг 2:} Для произвольных $A_i$, и любого $\epsilon >0$, имеем $\sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i)\geq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(U_i)-\epsilon$ для подходящих окрестностей $U_i \supset A_i$ (проверьте это). Воспользовавшись предыдущим шагом, получаем \[ \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(A_i) \geq \sum_{i=1}^\infty\lambda^*(U_i)-\epsilon \geq \lambda^*\left(\bigcup U_i\right)-\epsilon \geq \lambda^*(A)-\epsilon. \] \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Измеримость по Каратеодори} \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство, $\lambda$ -- объем, а $\lambda^*$ -- соответствующая ему внешняя мера. Подмножество $A\subset M$ называется {\бф\блуе измеримым по Каратеодори}, если для любого $X\subset M$, имеем $\lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A) =\lambda^*(X)$. \замечание {\бф \ред Условие $\lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A) =\lambda^*(X)$ достаточно проверять для открытых $X$.} Действительно, пусть $U\supset X$ -- открыто, и для всех таких $U$, имеем $\lambda^*(U\backslash A) + \lambda^*(U \cap A) =\lambda^*(U)$. Тогда \[ \lambda^*(X) = \inf_{U\supset X} \lambda^*(U) = \inf_{U\supset X}\big[\lambda^*(U\backslash A) + \lambda^*(U \cap A)\big] \geq \lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A). \] Это дает $\lambda^*(X\backslash A) + \lambda^*(X \cap A) \leq \lambda^*(X)$. Противоположное неравенство следует из полуаддитивности внешней меры. \невпаге {\бф \блуе Компакты измеримы по Каратеодори} \утверждение {\бф \ред Любое компактное множество измеримо по Каратеодори. } {\бф\греен Доказательство:} Пусть $C$ -- компактное, а $U$ открыто. В силу предыдущего замечания, достаточно проверить, что $\lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U \cap C) =\lambda^*(U)$. Возьмем компактное подмножество $D\subset U\backslash C$, и пусть $V_D\supset C$ -- открытая окрестность, замыкание которой не пересекает $D$ (она существует в силу Леммы 1) \begin{center} \epsfig{file=cara-measu-co.eps,width=0.25\linewidth}\\ {\em\scriptsize Вычисление $\lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U \cap C)$, где $C$ -- компакт, $U$ -- открытое множество.} \end{center} \невпаге {\бф \блуе Компакты измеримы по Каратеодори (продолжение)} \begin{center} \epsfig{file=cara-measu-co.eps,width=0.25\linewidth}\\ {\em\scriptsize Вычисление $\lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U \cap C)$, где $C$ -- компакт, $U$ -- открытое множество.} \end{center} Тогда $\lambda^*(U\cap C) \leq \lambda^*(U \cap V_D)= \sup_{E\subset U \cap V_D} \lambda(E),$ где $E$ -- компакт, лежащий в $U_D:=U \cap V_D$. Это дает \[ \lambda^*(U\cap C) + \lambda^*(U\backslash C) \leq \sup_{D\subset U\backslash C}\lambda(D) + \sup_{E\subset U_D} \lambda(E). \ \ \ (*) \] Поскольку $E$ и $D$ -- непересекающиеся компакты, лежащие в $U$, имеем \[ \lambda(D) + \lambda(E) = \lambda(E\cup D) \leq \lambda^*(U). \] Вместе с (*) это дает $\lambda^*(U\cap C) + \lambda^*(U\backslash C)\leq \lambda^*(U)$. Обратное неравенство следует из полуаддитивности внешней меры. \endproof \невпаге {\бф \блуе Пересечение множеств, измеримых по Каратеодори} \утверждение {\бф \ред Пересечение, объединение, дополнение множеств, измеримых по Каратеодори, снова измеримо по Каратеодори.} \дшаг Для дополнения $A_1:=M\backslash A$ это особенно очевидно, потому что $X\backslash A= X \cap A_1$, а $X\cap A= X\backslash A_1$. {\бф \греен Шаг 2:} Докажем, что $A \cap B$ измеримо, если $A$ и $B$ измеримы. \невпаге {\бф \блуе Пересечение измеримых по Каратеодори (продолжение)} {\бф \греен Шаг 2:} Чтобы доказать, что $A \cap B$ измеримо, отметим, что\\ $X = \bigg( (X\backslash A)\backslash B\bigg) \coprod \bigg((X\backslash A)\cap B\bigg) \coprod \bigg((X\cap A)\backslash B\bigg) \coprod \bigg((X\cap A)\cap B\bigg)$,\\ и в силу измеримости $A$ и $B$ это дает \[ \lambda^*(X) = \lambda^*((X\backslash A)\backslash B) + \lambda^*((X\backslash A)\cap B) + \lambda^*((X\cap A)\backslash B) +\lambda^*( (X\cap A)\cap B). \ \ \ (**) \] Поскольку $X \backslash (A \cap B) = \bigg( (X\backslash A)\backslash B\bigg) \coprod \bigg((X\backslash A)\cap B\bigg) \coprod \bigg((X\cap A)\backslash B\bigg)$, из полуаддитивности следует \[ \lambda^*(X \backslash (A \cap B)) \leq \lambda^*((X\backslash A)\backslash B)+ \lambda^*((X\backslash A)\cap B) + \lambda^*((X\cap A)\backslash B). \] Сравнивая это с (**) получаем \begin{align*} \lambda^*(X) & = \lambda^*(X\backslash (A \cap B)) +\lambda^*((X\backslash A)\cap B) + \lambda^*((X\cap A)\backslash B) +\lambda^*( (X\cap A)\cap B)\\ & \geq \lambda^*(X\backslash (A \cap B)) +\lambda^*(X \cap (A \cap B)). \end{align*} Противоположное неравенство следует из полуаддитивности внешей меры. Доказательство для $A\cup B$ аналогично. \endproof \невпаге {\бф \блуе Счетное объединение множеств, измеримых по Каратеодори} \утверждение {\бф \ред Счетное объединение множеств, измеримых по Каратеодори, снова измеримо по Каратеодори.} \дшаг Пусть $\{A_i, i = 1, 2, 3, ...\}$ -- счетный набор множеств, измеримых по Каратеодори. Заменив каждый $A_i$ на дополнение ко всем предыдущим, можно считать, что они попарно не пересекаются. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $X$ произвольное множеством $U$ -- окрестность $A\cap X$, где $A:= \bigcup A_i$, а $U_i \supset A_i\cap X$ окрестности, содержащиеся в $U$. Для любого компакта $K\subset A\cap X$, $K$ содержится в конечном объединении $U_i$, что дает \[ \lambda^*(A\cap X) \geq \lim_N \lambda^*\left(\bigcup_{i=0}^N U_i\right) \geq \lim_N\lambda^*\left(\bigcup_{i=0}^N A_i\cap X\right) = \lim_N\sum_{i=1}^N \lambda^*(A_i\cap X) \] (последнее равенство вытекает из измеримости $A_i$). Из этого следует $\lambda^*(A\cap X)\geq \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X)$; противоположное неравенство вытекает из $\sigma$-аддитивности внешней меры, что дает \[ \lambda^*\left(\left(\coprod A_i\right)\cap X\right) = \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X). \] \невпаге {\бф \блуе Счетное объединение множеств, измеримых по Каратеодори (2)} \утверждение {\бф \ред Счетное объединение множеств, измеримых по Каратеодори, снова измеримо по Каратеодори.} {\бф \греен Шаг 2 (заключение):} $A_i$ -- счетный набор попарно непересекающихся множеств, измеримых по Каратеодоры; для любого $X$ получаем \[ \lambda^*\left(\left(\coprod A_i\right)\cap X\right) = \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X). \] {\бф \греен Шаг 3:} Из этого следует \[ \lambda^*(A\cap X) = \sum_{i=1}^\infty \lambda^*(A_i\cap X)= \lambda^*(X) - \lim_N\lambda^*\left(X\backslash \left(\coprod_{i=1}^N A_i\right)\right) \leq \lambda^*(X) - \lambda^*(X\backslash A) \] (последнее неравенство следует из монотонности внешней меры). Получаем $\lambda^*(A\cap X)+ \lambda^*(X\backslash A)\leq \lambda^*(X)$; противоположное неравенство следует из полуаддитивности, что дает $\lambda^*(A\cap X)+ \lambda^*(X\backslash A)= \lambda^*(X)$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Множества меры нуль измеримы по Каратеодори} \лемма Пусть $A$ -- множество внешней меры 0. {\бф \ред Тогда $\lambda^*(X\cup A)= \lambda^*(X)$ и $\lambda^*(X\backslash A)= \lambda^*(X)$ для любого $X$.} \доказательство $\lambda^*(X\cup A)= \lambda^*(X)$ следует из полуаддитивности. Чтобы убедиться в том, что $\lambda^*(X\backslash A)= \lambda^*(X)$, возьмем у $A$ окрестность $U$ внешней меры $\leq \epsilon$, а в $X$ впишем компакт $K$ объема $\lambda^*(X)-\epsilon$. В силу измеримости $U$ по Каратеодори, $K\backslash U$ удовлетворяет $\lambda^*(K\backslash U)\geq\lambda^*(X)-2\epsilon$, значит, \[ \lambda^*(X\backslash A)\geq \lambda^*(K\backslash U) \geq \lambda^*(X)-2\epsilon, \] для любого $\epsilon>0$. \ендпрооф \следствие Пусть $A$ -- множество внешней меры 0. {\бф \ред Тогда $A$ измеримо по Каратеодори.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Мера Каратеодори и мера Лебега} \утверждение {\бф \ред Измеримое по Лебегу множество измеримо по Каратеодори.} \доказательство Компакты измеримы по Каратеодори, а также их объединения, дополнения, пересечения, значит, {\бф \пурпле все борелевские множества измеримы по Каратеодори.} В силу предыдущей леммы, все множества меры нуль тоже измеримы по Каратеодори. $\sigma$-алгебра множеств, измеримых по Лебегу, порождена борелевскими и меры нуль. \ендпрооф \теорема Пусть $\mu$ -- объем компакта по Лебегу, а $\mu^*$ -- связанная с этим объемом внешняя мера. {\бф \ред Тогда для каждого измеримого по Лебегу множества, $\mu^*(X)$ есть мера Лебега множества $X$.} \доказательство На измеримых по Каратеодори множествах, $\mu^*$ $\sigma$-аддитивна и равна $\mu$ на компактах и на множествах меры 0. С другой стороны, $\sigma$-аддитивная мера однозначно задается своими значениями на любом наборе образующих. \ендпрооф \end{document}