\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\6{\partial} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория меры, лекция 6:\\[2mm] теорема Фубини} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 11 апреля 2015\\ НМУ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage {\bf \blue Булевы кольца (повторение)} \определение {\бф \блуе Булево кольцо} есть кольцо, все элементы которого - идемпотенты. \замечание {\бф \пурпле В булевом кольце $1+1=0$.} Действительно, $(1+1)^2 = 1+1+1+1=1+1$. \определение {\бф \блуе Булева алгебра} есть булево кольцо, снабженное операциями пересечения $x, y \arrow x \wedge y$ и объединения $x, y \arrow x \vee y$, где $x\wedge y = xy$ и $x\vee y = xy+x+y$. \определение Пусть $A$ -- булева алгебра, а $I\subsetneq A$ -- подмножество в $A$. Оно назывется {\бф\блуе идеалом}, если $I$ замкнуто относительно операций $\vee$, $\wedge$ и $\neg$, и для каждых $a\in A, \xi \in I$, имеет место $a\wedge\xi \in I$. \замечание {\бф \пурпле $\sim$ -- соотношение эквивалентности, и на факторе $A/\sim_I$ возникает естественная структура булевой алгебры} {\бф \ред (проверьте это).} Такая булева алгебра называется {\бф\блуе фактор-алгеброй по булеву идеалу $I$}, и обозначается $A/I$. \newpage {\bf \blue Метрика, построенная по мере (повторение)} Пусть задано множество $S$. Множество всех подмножеств $S$ обозначается $2^S$. Оно снабжено естественной структурой булевой алгебры. Зафиксируем булеву подалгебру ${\goth U}\subset 2^S$. \замечание {\бф \блуе На множестве $\R \cup \{\infty\}$ определена операция сложения, таким образом, что $x+\infty = \infty$ и $\infty + \infty = \infty$. } \определение Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R \cup \{\infty\}$ называется {\бф\блуе конечно-адди\-тивной мерой}, если для любых непересекающихся $A, B\in {\goth U}$, $\mu(A\coprod B) = \mu(A)+\mu(B)$. Мера называется {\бф\блуе неотрицательной}, если к тому же $\mu(A)\geq 0$, для любого $A$. \теорема Пусть $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная мера на булевой алгебре $A$, а $I_\mu$ -- идеал всех $a$ с $\mu(a)=0$. Определим отображение $d:\; (A/I_\mu)\times (A/I_\mu)\arrow [0, \infty]$ формулой $d(a,b):= \mu(a\triangle b)$, где $\triangle$ обозначает симметрическую разность. {\бф \ред Тогда $d$ задает метрику на $A/I_\mu$.} Более того, булевы операции $\wedge, \vee$ и $\neg$ непрерывны в топологии, заданной такой метрикой. \невпаге {\бф \блуе $\sigma$-алгебры (повторение)} \определение {\блуе $\sigma$-алгебра} есть булева алгебра подмножеств $S$, замкнутая относительно счетных объединений. \определение Пусть $A\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств, а $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная мера. Мера $\mu$ называется {\бф\блуе $\sigma$-аддитивной,} или же {\бф\блуе счетно-аддитивной}, если для любого покрытия $\bigcup X_i \supset X$ множества $X\in A$ счетным набором множеств, имеет место $\mu(X) \leq \sum\mu(X_i)$. \определение {\бф\блуе Алгебра измеримых множеств} есть $\sigma$-алгебра в $\R^n$, порожденная борелевскими множествами и множествами меры 0. \замечание {\бф \пурпле Множества меры нуль образуют булев идеал в алгебре измеримых множеств} {\бф \ред (докажите это).} \теорема {\бф \ред $\sigma$-алгебра измеримых множеств полна относительно метрики $d$, заданной $X, Y \arrow \mu(X\triangle Y)$.} \невпаге {\бф \блуе Измеримые функции (повторение)} \определение Пусть $(M, \mu)$ есть пространство с заданной на нем мерой. Функция $M\stackrel f\arrow \R$ называется {\бф\блуе измеримой}, если прообраз каждого борелевского множества измерим. \определение\label{_integral_axioms_Definition_} Рассмотрим множество $V$ всех измеримых функций на $(M, \mu)$ со значениями в $\R^{\geq 0}$. {\бф\блуе Интеграл Лебега}, или просто {\бф\блуе интеграл} есть функционал $V \stackrel {\int_\mu}\arrow [0, \infty]$, обладающий следующими свойствами.\\ \phantom{АААА} 1. {\бф \блуе Линейность: } $\int_\mu (f+g) = \int_\mu f + \int_\mu g$, и $\int_\mu \lambda f = \lambda \int_\mu f$ для любого $\lambda \in \R^{\geq 0}$. \\ \phantom{АААА} 2. {\бф \блуе Неотрицательность: } $\int_\mu f\geq 0$ для каждой функции $f\geq 0$, причем равенство имеет место только если $f=0$ вне множества меры 0. \\ \phantom{АААА} 3. {\бф \блуе Совместимость с мерой:} если $\chi$ -- характеристическая функция измеримого множества $Z$ с конечной мерой, то $\int_\mu \chi = \mu(Z)$. \\ \phantom{АААА} 4. {\бф \блуе $\sigma$-аддитивность:} если $f = \sum_{i=0}^\infty f_i$ -- разложение функции в бесконечную сумму неотрицательных функций, то $\int_\mu f = \sum_i \int_\mu f_i$. \теорема {\бф \ред Интеграл существует, и определен однозначно, исходя из этих четырех аксиом.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Фубини} \предложение Пусть $f$ -- неотрицательная, функция на $\R^n$, а $Z$ -- сегмент в $\R^{n+1}$, ограниченный $x_{n+1}=0$ и ее графиком, который представлен как отображение из оси плоскости $x_{n+1}=0$ в прямую $x_{n+1}$. Тогда {\bf \ред мера $\mu(Z)$ участка под графиком $f$ равна ее интегралу, если $f$ интегрируема.} \доказательство Легко следует из единственности интеграла: {\бф \пурпле достаточно проверить свойства 1-4 из определения интеграла,} и убедиться, что сегмент под графиком измеримой функции измерим, что следует из приближения измеримой функции ступенчатыми. \ендпрооф \замечание Теорема Фубини есть обобщение этого факта на произведения произвольных пространств с мерой. \невпаге {\бф \блуе Заряды (signed measures)} \определение {\бф\блуе Зарядом} (signed measure) называется счетно-аддитивная функция на $\sigma$-\-ал\-геб\-ре, принимающая значения в $]-\infty, \infty]$ или $[-\infty, \infty[$. \определение Пусть $\sigma$ -- заряд на сигма-алгебре $\goth A$ подмножеств $M$, а $Z\in \goth A$ -- какое-то подмножество. Обозначим за $\sigma \restrict Z$ {\бф\блуе ограничение заряда на $Z$}, то есть $\sigma$-аддитивную функцию, которая делает из $X\in \goth A$ число $\sigma(X\cap Z)$. \определение Заряд $\sigma$ называется {\бф\блуе положительным}, если $\sigma(X)\geq 0$ для любого $X$, и {\бф\блуе отрицательным}, если $-\sigma$ положительный. {\бф\блуе Разложение Хана} для заряда $\sigma$ есть представление $M$ в виде дизьюнктной суммы $M=A \coprod B$, где $\sigma \restrict A$ положительный, а $\sigma\restrict B$ отрицательный. %Заряд называется {\бф ограниченным}. если %существует константа $C$ такая, что $\sigma(X)\leq C$ для %любого $X$. \невпаге {\бф \блуе Разложение Хана} \теорема Пусть $\goth A$ -- сигма-алгебра подмножеств $M$, а $\sigma$ -- заряд на $\goth A$. %Предположим, что %$\sup_{X\subset M} \sigma(X)=C< \infty$ {\бф \ред Тогда для $\sigma$ существует разложение Хана.} \дшаг Определим функцию $\sigma_+$ на $\goth A$ по формуле $\sigma_+(X) = \sup_{Z\subset X} \sigma(Z)$. Легко видеть, что $\sigma_+$ сигма-аддитивна и задает меру на $\goth A$. Аналогично определим функцию $\sigma_-(X) = \inf_{Z\subset X} \sigma(Z)$. {\бф \греен Шаг 2:} Зафиксируем $Z\in {\goth A}$, и пусть для какого-то $Z_\epsilon\subset Z$ выполнено $\sigma(Z_\epsilon) \geq \sigma_+(Z) - \epsilon$. Тогда {\bf \purple для любого $V\subset Z \backslash Z_\epsilon$, имеем $\sigma(V) \leq \epsilon$.} Действительно, в противном случае мы бы имели $\sigma (V \coprod Z_\epsilon) = \sigma(V) + \sigma(Z_\epsilon) > \sigma_+(Z)-\epsilon +\epsilon$. Аналогично, {\bf \purple для любого $V\subset Z_\epsilon$, получаем $\sigma(V) \geq -\epsilon$.} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $Z_1, Z_2\subset Z$, причем $\sigma(Z_1), \sigma(Z_2) \geq \sigma_+(Z)- \epsilon$. Поскольку $Z_1 \backslash Z_2$ лежит в $Z \backslash Z_2$, в силу предыдущего шага имеем $-\epsilon \leq \sigma(Z_1 \backslash Z_2) \leq \epsilon$. Применяя тот же аргумент к $\sigma(Z_2 \backslash Z_1)$ и складывая, получаем $-2\epsilon \leq \sigma(Z_1 \triangle Z_2)\leq 2\epsilon$. Для каждого подмножества $X \subset Z_1 \triangle Z_2$, верно то же самое: $-2\epsilon \leq \sigma(X)\leq 2\epsilon$. \невпаге {\бф \блуе Разложение Хана (продолжение)} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $Z_1, Z_2\subset Z$, причем $\sigma(Z_1), \sigma(Z_2) \geq \sigma_+(Z)- \epsilon$. Поскольку $Z_1 \backslash Z_2$ лежит в $Z \backslash Z_2$, в силу предыдущего шага имеем $-\epsilon \leq \sigma(Z_1 \backslash Z_2) \leq \epsilon$. Применяя тот же аргумент к $\sigma(Z_2 \backslash Z_1)$ и складывая, получаем $-2\epsilon \leq \sigma(Z_1 \triangle Z_2)\leq 2\epsilon$. Для каждого подмножества $X \subset Z_1 \triangle Z_2$, верно то же самое: $-2\epsilon \leq \sigma(X)\leq 2\epsilon$. {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\{Z_i\}$ -- последовательность подмножеств $Z$ удовлетворяющих $\sigma(Z_i) \geq \sigma_+(Z) - \frac 1 {2^i}$. В силу предыдущего шага, это последовательность Коши относительно $\sigma_+$. Как было доказано на предыдущей лекции, $\{Z_i\}$ эквивалентна монотонной последовательности $Y_i:= \bigcup{j\geq i} Z_j$. {\бф \пурпле Пересечение $Y$ всех элементов $Y_i$ удовлетворяет $\sigma_+(Y)= \lim_i \sigma_+(Z_i)=\sigma_+(Z)$.} {\бф \греен Шаг 5:} {\бф \пурпле Для любого подмножества $Z_0\subset Z\backslash Y$, имеем $\sigma(Z_0)\leq 0$.} Действительно, если $\sigma(Z_0)>0$, то $\sigma (Z_0 \coprod Y)> \sigma_+(Z)$, что противоречит определению $\sigma_+$. Аналогично, для любого $Y_0\subset Y$, имеем $\sigma(Y_0)\geq 0$. {\бф \греен Шаг 5:} {\бф \пурпле Мы разбили $Z$ в объединение двух подмножеств, на одном из которых $\sigma$ задает неотрицательную меру, на другом - положительную.} \ендпрооф \невпаге \begin{center} \epsfig{file=Hahn.jpeg,width=0.35\linewidth}\\ Hans Hahn\\ (September 27, 1879 - July 24, 1934) \end{center} \невпаге {\бф \блуе Непрерывные меры} \определение Пусть $S$ - пространство с сигма-алгеброй, а $\mu$ и $\nu$ две меры. Мы говорим, что $\nu$ {\бф\блуе абсолютно непрерывна} относительно $\mu$ (обозначается $\nu \ll\mu$) если для любого измеримого множества $A$, из $\mu(A)=0$ следует $\nu(A)=0$. \определение {\бф \блуе Непрерывная мера} на пространстве с мерой Лебега есть мера, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега. \пример Пусть $x\in [0,1]$ -- точка на отрезке, а $\mu_x$ -- мера, такая, что $\mu_x(A)=0$, если $A \not\ni x$, и $\mu_x(A)=1$, если $A \ni x$. {\бф \пурпле Легко видеть, что такая мера не непрерывна.} \упражнение Пусть $f$ -- измеримая, неотрицательная функция на пространстве $M$ с сигма-алгеброй, а $\mu$ -- мера на $M$. Обозначим за $f\mu$ меру, которая делает из измеримого множества $A\subset M$ интеграл $\int_\mu f\restrict A$. {\бф \пурпле Проверьте, что это действительно мера. Проверьте, что $f\mu \ll \mu$.} \замечание Интеграл функции по множеству $A\subset M$ часто обозначается $\int_A f \mu$. Смысл этого обозначения в том, что {\бф \пурпле $f\mu$ -- это заряд на $M$, а $\int_A \sigma$ обозначает $\sigma(A)$, для заряда $\sigma=f\mu$. } \невпаге {\бф \блуе Теорема Радона-Никодима} \теорема {\бф \блуе (теорема Радона-Никодима)}\\ Пусть $M$ -- пространство с сигма-алгеброй, а $\nu\ll \mu$ -- меры на $M$, причем $\mu(M), \nu(M)< \infty$. {\бф \ред Тогда $\nu = f\mu$ для какой-то функции $f$ на $M$, интегрируемой относительно $\mu$.} \дшаг Пусть $x\in \R^{\geq 0}$, а $\nu - x\mu$ -- соответствующий заряд. Обозначим за $A(\nu -х\mu)$ максимальное множество, где заряд $\nu - x\mu$ положительный, полученное из разложения Хана. Для отрезка $[x,y]\subset \R$, обозначим за $A_{[x,y]}$ множество $A(\nu -x\mu)\backslash A(\nu -y\mu)$. {\бф \пурпле Тогда объединение \[ \bigcup_{i\in \Z} A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]} \] равно $M$, с точностью до множества меры нуль по $\mu$.} В самом деле, дополнение $B$ к этому множеству лежит в $\bigcup_{n\in Z} A_{[n, \infty]}$, а значит, удовлетворяет $\nu(B) > C \mu(B), \ \ \forall C\in \Z$. Мы получаем, что $\mu(B)$ равно нулю, и $\nu(B)=0$ по абсолютной непрерывности. {\бф \греен Шаг 2:} Расмотрим ступенчатую функцию $ \Psi_n(\nu):= \sum_{i\in \Z^{\geq 0}} \frac i n |_ {A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]}}.$ Эта функция равна $\frac i n$ на каждом множестве вида $A_{\left[\frac i n ,\frac {i+1} n\right]}$. {\бф \пурпле Мы докажем, что $\{\Psi_n(\nu)\}$ сходится к функции $f$ такой, что $\nu = f\mu$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Радона-Никодима (продолжение)} \теорема {\бф \блуе (теорема Радона-Никодима)}\\ Пусть $M$ -- пространство с сигма-алгеброй, а $\nu\ll \mu$ -- меры на $M$, причем $\mu(M), \nu(M)< \infty$. {\бф \ред Тогда $\nu = f\mu$ для какой-то функции $f$ на $M$, интегрируемой относительно $\mu$.} {\бф \греен Шаг 2:} Расмотрим ступенчатую функцию $ \Psi_n(\nu):= \sum_{i\in \Z^{\geq 0}} \frac i n |_ {A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]}}.$ Эта функция равна $\frac i n$ на каждом множестве вида $A_{\left[\frac i n ,\frac {i+1} n\right]}$. {\бф \пурпле Мы докажем, что $\{\Psi_n(\nu)\}$ сходится к функции $f$ такой, что $\nu = f\mu$.} {\бф \греен Шаг 3:} На каждом из $A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]}$, имеем $\frac i n\mu \leq \nu \leq \frac {i+1} n \mu$, значит, \[ 0 \leq \nu - \Psi_n \mu \leq \frac 1 n \mu. \] Поэтому $\Psi_n$ -- последовательность Коши в $L^1$-топологии, заданной $\mu$, и ее предел удовлетворяет $\nu - \lim \Psi_n \mu=0$. \endproof \упражнение {\бф \пурпле Докажите, что последовательность $\{\Psi_n(\nu)\}$ равномерно сходится.} \невпаге {\бф \блуе Цилиндрические множества} \определение Пусть $W = M \times N$ -- произведение множеств, снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$. Определим {\бф\блуе цилиндрическое множество} как множество вида $X\times Y$, где $X\in A_M$ и $Y\in A_N$ -- подмножества $M$ и $N$, лежащие в $\sigma$-алгебре. {\бф \блуе Алгебра цилиндрических множеств} есть кольцо множеств, порожденное конечными объединениями цилиндрических. {\бф\блуе Произведение сигма-алгебр} есть сигма-алгебра подмножеств $M\times N$, порожденная цилиндрическими множествами. \утверждение Пусть $\mu, \nu$ -- аддитивные меры на сигма-алгебрах $A_M$ и $A_N$, $\mu(M), \nu(N) < \infty$. Рассмотрим функцию $\xi$ на множестве цилиндрических подмножеств $M\times N$, определенную формулой $\xi(X\times Y)= \xi(X)\times \xi(Y)$. {\бф \ред Тогда $\xi$ можно продолжить до сигма-аддитивной функции на алгебре цилиндрических множеств, которую мы обозначаем за $\mu\times \nu$.} \невпаге {\бф \блуе Цилиндрические множества (продолжение)} {\бф\греен Доказательство:} Легко видеть, что пересечение цилиндрических множеств цилиндрическое. Поэтому достаточно доказать, что если цилиндрическое множество $Z$ разбито в конечное объединение цилиндрических, $Z= \bigcup Z_i$, то $\xi(Z)= \sum \xi(Z_i)$. Это видно из следующей картинки. \begin{center} \epsfig{file=pokry-subbase.eps,width=0.25\linewidth}\\ {\small \em Разбиение множества $M\times N$ в объединение цилиндрических} \end{center} Для формального доказательства, рассмотрим измельчение разбиения $Z=M\times N= \bigcup Z_i$ такое, что $M=\coprod M_p$, $N=\coprod N_q$, и $M\times N= \coprod_{p,q} M_p \times N_q$. Назовем такое разбиение {\бф\блуе простым}. Для простого разбиения, аддитивность меры следует сразу из определения. С другой стороны, каждый из $Z_i$ будет объединением нескольких элементов вида $M_p \times N_q$, причем такое разбиение $Z_i$ тоже будет простым, значит, $\xi(Z)= \sum \xi(Z_i)$ следует из $\xi(Z) = \sum_{p,q}\xi(M_p \times N_q)$. \endproof \невпаге {\бф \блуе Теорема Фубини} \определение Пусть $\mu, \nu$ -- $\sigma$-аддитивные меры на $A_M$ и $A_N$. {\бф\блуе Измеримое подмножество} в $M\times N$ есть подмножество, которое, с точностью до меры нуль, лежит в алгебре подмножеств $M\times N$, порожденной цилиндрическими множествами. \теорема {\бф \блуе (теорема Фубини)}\\ Пусть $M, N$ -- пространства, снабженные сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$ и $\sigma$-конечной мерой $\mu, \nu$, а $\xi= \mu\times \nu$ -- мера произведения на $M\times N$. Рассмотрим интегрируемую функцию $f:\; M\times N \arrow \R$, и пусть $M\times N \stackrel \pi\arrow M$ - проекция. Тогда \\ {\бф \ред \phantom{ааа} (i) Для почти всех $m\in M$, ограничение $f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ -- интегрируемая функция на $\pi^{-1}(m)\cong N$. \\ \phantom{ааа} (ii) Пусть $\phi:\; M \arrow \R$ -- функция, заданная формулой $\phi(m):= \int_N f\restrict{\pi^{-1}(m)}\nu$ вне множества меры 0, где интеграл $\int_\nu f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ не определен. Тогда $\phi$ интегрируема, и $\int_{M\times N} f\xi= \int_{M} \phi\mu$. } \невпаге \begin{center} \epsfig{file=fubini_2.jpeg,width=0.35\linewidth}\\ Guido Fubini\\ (January 19, 1879 - June 6, 1943) \end{center} \невпаге {\бф \блуе Функции с измеримыми ограничениями на $\{m\} \times N$} {\бф \греен Утверждение 1:} Обозначим за ${\goth A}$ $\sigma$-алгебру в $M\times N$, порожденную цилиндрическими множествами. {\бф \ред Тогда для любой измеримой функция $f$ найдется $f'$, которая получается как предел монотонной последовательности $f'_n = \sum c_i \chi(Z_i')$, где все $Z_i'$ принадлежат ${\goth A}$, а $f-f'=0$ почти всюду.} \доказательство Каждая измеримая функция $f$ получается как предел монотонно неубывающей последовательности $f_n:=\Psi_n(f)$ ступенчатых функций вида $f_n=\sum c_i \chi(Z_i)$, где $\chi(Z_i)$ есть характеристическая функция измеримого множества $Z_i$. Заменив каждое $Z_i$ на $Z_i'$, лежащее в ${\goth A}$, и продолжив $f_i'$ нулем на дополнении, мы получим монотонную последовательность $f'_n = \sum c_i \chi(Z_i')$. \endproof {\бф \греен Доказательство теоремы Фубини, (i):} Применяя Утверждение 1 к $f$ из теоремы Фубини, мы получим, что функция $f'\restrict{\pi^{-1}(m)}$ измерима для каждого $m\in M$. В самом деле, {\бф \пурпле $f'\restrict{\pi^{-1}(m)}$ получено как предел монотонной последовательности ступенчатых функций, ограничение каждой из которых на $\pi^{-1}(m)$ измеримо.} \невпаге {\бф \блуе Прямой образ меры} \определение Пусть $M, N$ -- пространства с $\sigma$-алгебрами $A_M$ и $A_N$. {\бф \блуе Измеримое отображение} есть такое отображение $f:\; M \arrow N$, что прообраз множества, лежащего в $A_N$, содержится в $A_M$. \замечание Обыкновенная "измеримая функция" есть {\бф \пурпле измеримое отображение из пространства с $\sigma$-алгеброй в $\R$ с сигма-алгеброй борелевских множеств.} \замечание Пусть $W = M \times N$ -- произведение множеств, снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$, а $A_W$ -- сигма-алгебра, порожденная цилиндрическими подмножествами в $W$. Рассмотрим проекцию $M \times N \stackrel \pi \arrow M$. Поскольку прообраз $\pi^{-1}(Z)$ измеримого множества $Z\subset M$ цилиндрический, он измерим, значит, {\бф \ред $\pi$ есть измеримое отображение.} \определение Пусть $f:\; M \arrow N$ -- измеримое отображение пространств, снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$, а $\mu$ есть сигма-аддитивная мера на $A_M$. Рассмотрим функцию $\pi_*\mu$ на $A_N$, заданную формулой $\pi_*\mu(Z):= \mu(\pi^{-1}(Z))$. Легко видеть, что $\pi_*\mu$ есть $\sigma$-аддитивная мера на $A_N$ (проверьте это). Мера $\pi_* \mu$ называется {\бф\блуе прямым образом меры $\mu$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Фубини и теорема Радина-Никодима} \утверждение В условиях теоремы Фубини, {\бф \ред мера $\pi_*(f\xi)$ является абсолютно непрерывной: $\pi_*(f\xi)\ll \mu$.} \доказательство $\pi_*(f\xi)(Z)=0$ для любого множества меры нуль, потому что прообраз множества меры нуль цилиндрический и имеет меру нуль. \endproof {\бф \греен Доказательство теоремы Фубини, (ii), шаг 1:}\\ Применяя теорему Радона-Никодима, мы находим, что $\pi_* (f\xi)= t \mu$, где $t$ есть интегрируемая функция, удовлетворяющая $\int_\mu t = \int_\xi f$. {\бф \пурпле Для доказательства теоремы Фубини осталось доказать, что $t=\phi$, где $\phi$ -- функция, определенная в теореме Фубини (ii). } \невпаге {\бф \блуе Теорема Фубини и теорема Радина-Никодима} {\бф \греен Доказательство теоремы Фубини, (ii), шаг 1:}\\ Применяя теорему Радона-Никодима, мы находим, что $\pi_* (f\xi)= t \mu$, где $t$ есть интегрируемая функция, удовлетворяющая $\int_\mu t = \int_\xi f$. {\бф \пурпле Для доказательства теоремы Фубини осталось доказать, что $t=\phi$, где $\phi$ -- функция, определенная в теореме Фубини (ii). } {\бф \греен Шаг 2:} Заменив $f$ на монотонно неубывающий предел ступенчатых функций $f= \lim f_i$, мы получим, что соотвествующие функции $t(f_i)$ и $\phi(f_i)$ тоже монотонно неубывают. Поскольку интеграл перестановочен с пределом монотонно неубывающих функций (см. в прошлой лекции), мы получаем, что {\бф \пурпле достаточно доказать, что $t=\phi$ для ступенчатой функции $f$.} Это, в свою очередь, следует, если мы докажем теорему Фубини для $f = \chi(U)$. {\бф \греен Шаг 3:} Измеримое подмножество в $M\times N$ получается как предел счетных объединений цилиндрических; {\бф \пурпле снова переходя к пределу, убеждаемся, что достаточно доказать, что $\phi=t$ для $f = \chi(U)$, где $U$ -- цилиндрическое множество.} Это сразу следует из определения меры на произведении. \ендпрооф \end{document}