   

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\6{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория меры, лекция 6:\\[2mm] теорема Фубини}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 11 апреля 2015\\ НМУ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

{\bf \blue Булевы кольца (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Булево кольцо} 
есть кольцо, все элементы которого - идемпотенты.

\замечание {\бф \пурпле
В булевом кольце $1+1=0$.} Действительно,
$(1+1)^2 = 1+1+1+1=1+1$.

\определение
{\бф \блуе Булева алгебра} есть булево кольцо, снабженное операциями
пересечения $x, y \arrow x \wedge y$ и объединения
$x, y \arrow x \vee y$, где $x\wedge y = xy$
и $x\vee y = xy+x+y$.

\определение
Пусть $A$ -- булева алгебра, а $I\subsetneq A$ -- подмножество
в $A$. Оно назывется {\бф\блуе идеалом}, если $I$ замкнуто
относительно операций $\vee$, $\wedge$ и $\neg$,
и для каждых $a\in A, \xi \in I$, имеет место $a\wedge\xi \in I$.


\замечание
{\бф \пурпле $\sim$ -- соотношение эквивалентности,
и на факторе $A/\sim_I$ возникает естественная
структура булевой алгебры} {\бф \ред (проверьте это).}
Такая булева алгебра называется {\бф\блуе фактор-алгеброй
по булеву идеалу $I$}, и обозначается $A/I$.

\newpage


{\bf \blue Метрика, построенная по мере (повторение)}


Пусть задано множество $S$. Множество всех подмножеств
$S$ обозначается $2^S$. Оно снабжено естественной структурой
булевой алгебры. Зафиксируем 
булеву подалгебру ${\goth U}\subset 2^S$.

\замечание
{\бф \блуе На множестве $\R  \cup \{\infty\}$
определена операция
сложения, таким образом, что $x+\infty = \infty$
и $\infty + \infty = \infty$. }

\определение
Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R \cup \{\infty\}$
называется {\бф\блуе конечно-адди\-тивной мерой},
если для любых непересекающихся 
$A, B\in {\goth U}$, $\mu(A\coprod B) = \mu(A)+\mu(B)$.
Мера называется {\бф\блуе  неотрицательной}, если
к тому же $\mu(A)\geq 0$, для любого $A$.


\теорема
Пусть $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная мера
на булевой алгебре $A$, а $I_\mu$ -- идеал всех $a$ с
$\mu(a)=0$.  Определим отображение 
$d:\; (A/I_\mu)\times (A/I_\mu)\arrow [0, \infty]$
формулой $d(a,b):= \mu(a\triangle b)$, где
$\triangle$ обозначает симметрическую разность. {\бф \ред Тогда
$d$ задает метрику на $A/I_\mu$.} Более того, булевы
операции $\wedge, \vee$ и $\neg$ непрерывны
в топологии, заданной такой метрикой.

\невпаге

{\бф \блуе $\sigma$-алгебры (повторение)}


\определение
{\блуе $\sigma$-алгебра} есть булева алгебра подмножеств $S$,
замкнутая относительно счетных объединений.


\определение
Пусть $A\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств,
а $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная
мера. Мера $\mu$ называется {\бф\блуе $\sigma$-аддитивной,}
или же {\бф\блуе счетно-аддитивной},
если для любого покрытия $\bigcup X_i \supset X$
множества $X\in A$ счетным набором множеств,
имеет место $\mu(X) \leq \sum\mu(X_i)$.

\определение
{\бф\блуе Алгебра измеримых множеств}
есть $\sigma$-алгебра в $\R^n$, порожденная борелевскими
множествами и множествами меры 0.

\замечание
{\бф \пурпле Множества меры нуль образуют булев идеал в
алгебре измеримых множеств} {\бф \ред  (докажите это).}

\теорема
{\бф \ред $\sigma$-алгебра измеримых множеств полна относительно
метрики $d$, заданной $X, Y \arrow \mu(X\triangle Y)$.}

\невпаге

{\бф \блуе Измеримые функции (повторение)}

\определение
Пусть $(M, \mu)$ есть пространство с 
заданной на нем мерой.
Функция $M\stackrel f\arrow \R$
называется {\бф\блуе измеримой}, если
прообраз каждого борелевского множества
измерим.

\определение\label{_integral_axioms_Definition_}
Рассмотрим множество $V$ всех измеримых функций
на $(M, \mu)$ со значениями в $\R^{\geq 0}$. 
{\бф\блуе Интеграл Лебега},
или просто {\бф\блуе интеграл} 
есть функционал $V \stackrel {\int_\mu}\arrow [0, \infty]$,
обладающий следующими свойствами.\\ 
\phantom{АААА} 1. {\бф \блуе Линейность: }
$\int_\mu (f+g) = \int_\mu f + \int_\mu g$, 
и $\int_\mu \lambda f = \lambda \int_\mu f$
для любого $\lambda \in \R^{\geq 0}$. \\ \phantom{АААА}
2. {\бф \блуе Неотрицательность: } 
$\int_\mu f\geq 0$ для каждой функции $f\geq 0$, причем
равенство имеет место только если $f=0$ вне множества
меры 0. \\ \phantom{АААА}
3. {\бф \блуе Совместимость с мерой:} если $\chi$ -- характеристическая
функция измеримого множества $Z$ с конечной мерой,
то $\int_\mu \chi = \mu(Z)$. \\ \phantom{АААА}
4. {\бф \блуе $\sigma$-аддитивность:} если
$f = \sum_{i=0}^\infty f_i$ -- разложение функции в бесконечную сумму
неотрицательных функций,
то $\int_\mu f = \sum_i \int_\mu f_i$.

\теорема
{\бф \ред Интеграл существует, и определен однозначно, исходя
из этих четырех аксиом.}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Фубини}


\предложение
Пусть $f$ -- неотрицательная, 
функция на $\R^n$, а $Z$ -- сегмент в $\R^{n+1}$,
ограниченный $x_{n+1}=0$ и ее графиком, который
представлен как отображение из оси плоскости
$x_{n+1}=0$ в прямую $x_{n+1}$. 
Тогда {\bf \ред мера $\mu(Z)$ 
участка под графиком $f$ равна ее интегралу,
если $f$ интегрируема.}

\доказательство
Легко следует из единственности интеграла:
{\бф \пурпле достаточно проверить свойства 1-4 из
определения интеграла,} и убедиться, что сегмент
под графиком измеримой функции 
измерим, что следует из приближения
измеримой функции ступенчатыми.
\ендпрооф

\замечание
Теорема Фубини есть обобщение этого факта на произведения
произвольных пространств с мерой.


\невпаге

{\бф \блуе Заряды (signed measures)}

\определение
{\бф\блуе Зарядом} (signed measure)
называется счетно-аддитивная
функция на $\sigma$-\-ал\-геб\-ре, принимающая значения в 
$]-\infty, \infty]$ или $[-\infty, \infty[$.


\определение
Пусть $\sigma$ -- заряд на сигма-алгебре $\goth A$ подмножеств $M$,
а $Z\in \goth A$ -- какое-то подмножество. Обозначим
за $\sigma \restrict Z$ {\бф\блуе ограничение заряда на $Z$},
то есть $\sigma$-аддитивную функцию, которая
делает из $X\in \goth A$ число $\sigma(X\cap Z)$.


\определение
Заряд $\sigma$ называется {\бф\блуе положительным}, если
$\sigma(X)\geq 0$ для любого $X$, и {\бф\блуе отрицательным},
если $-\sigma$ положительный. {\бф\блуе Разложение Хана}
для заряда $\sigma$ есть представление 
$M$ в виде дизьюнктной суммы $M=A \coprod B$,
где $\sigma \restrict A$ положительный,
а $\sigma\restrict B$ отрицательный.
%Заряд называется {\бф ограниченным}. если
%существует константа  $C$ такая, что $\sigma(X)\leq C$ для 
%любого $X$.

\невпаге

{\бф \блуе Разложение Хана}


\теорема
Пусть $\goth A$ -- сигма-алгебра подмножеств $M$,
а $\sigma$ -- заряд на $\goth A$. 
%Предположим, что
%$\sup_{X\subset M} \sigma(X)=C< \infty$
{\бф \ред Тогда для $\sigma$ существует разложение Хана.}

\дшаг
Определим функцию $\sigma_+$ на $\goth A$
по формуле $\sigma_+(X) = \sup_{Z\subset X} \sigma(Z)$.
Легко видеть, что $\sigma_+$ сигма-аддитивна и задает
меру на $\goth A$. Аналогично определим функцию
$\sigma_-(X) = \inf_{Z\subset X} \sigma(Z)$.

{\бф \греен Шаг 2:} 
Зафиксируем $Z\in {\goth A}$, и пусть для какого-то $Z_\epsilon\subset Z$
выполнено  $\sigma(Z_\epsilon) \geq \sigma_+(Z) - \epsilon$. 
Тогда {\bf \purple для любого $V\subset Z \backslash Z_\epsilon$, имеем
$\sigma(V) \leq \epsilon$.} Действительно, 
в противном случае мы бы имели
$\sigma (V \coprod Z_\epsilon) = 
\sigma(V) + \sigma(Z_\epsilon) > \sigma_+(Z)-\epsilon +\epsilon$.
Аналогично, {\bf \purple для любого $V\subset Z_\epsilon$, получаем
$\sigma(V) \geq -\epsilon$.}

{\бф \греен Шаг 3:} 
Пусть $Z_1, Z_2\subset Z$, причем
$\sigma(Z_1), \sigma(Z_2) \geq \sigma_+(Z)- \epsilon$.
Поскольку $Z_1 \backslash Z_2$ лежит в $Z \backslash Z_2$,
в силу предыдущего шага имеем 
$-\epsilon \leq \sigma(Z_1 \backslash Z_2) \leq \epsilon$.
Применяя тот же аргумент к $\sigma(Z_2 \backslash Z_1)$
и складывая, получаем $-2\epsilon \leq \sigma(Z_1 \triangle Z_2)\leq 2\epsilon$.
Для каждого подмножества $X \subset Z_1 \triangle Z_2$, верно то же самое:
$-2\epsilon \leq \sigma(X)\leq 2\epsilon$.

\невпаге

{\бф \блуе Разложение Хана (продолжение)}


{\бф \греен Шаг 3:} 
Пусть $Z_1, Z_2\subset Z$, причем
$\sigma(Z_1), \sigma(Z_2) \geq \sigma_+(Z)- \epsilon$.
Поскольку $Z_1 \backslash Z_2$ лежит в $Z \backslash Z_2$,
в силу предыдущего шага имеем 
$-\epsilon \leq \sigma(Z_1 \backslash Z_2) \leq \epsilon$.
Применяя тот же аргумент к $\sigma(Z_2 \backslash Z_1)$
и складывая, получаем $-2\epsilon \leq \sigma(Z_1 \triangle Z_2)\leq 2\epsilon$.
Для каждого подмножества $X \subset Z_1 \triangle Z_2$, верно то же самое:
$-2\epsilon \leq \sigma(X)\leq 2\epsilon$.


{\бф \греен Шаг 4:} 
Пусть $\{Z_i\}$ -- последовательность подмножеств $Z$
удовлетворяющих $\sigma(Z_i) \geq \sigma_+(Z) - \frac 1 {2^i}$.
В силу предыдущего шага, это последовательность Коши относительно
$\sigma_+$. Как было доказано на предыдущей
лекции, $\{Z_i\}$ эквивалентна монотонной последовательности
$Y_i:= \bigcup{j\geq i} Z_j$. {\бф \пурпле Пересечение $Y$ всех элементов
$Y_i$ удовлетворяет $\sigma_+(Y)= \lim_i \sigma_+(Z_i)=\sigma_+(Z)$.}

{\бф \греен Шаг 5:} {\бф 
\пурпле Для любого подмножества $Z_0\subset Z\backslash Y$, имеем
$\sigma(Z_0)\leq 0$.} Действительно, если $\sigma(Z_0)>0$,
то $\sigma (Z_0 \coprod Y)> \sigma_+(Z)$, что противоречит
определению $\sigma_+$. Аналогично, для любого $Y_0\subset Y$,
имеем $\sigma(Y_0)\geq 0$.

{\бф \греен Шаг 5:} {\бф \пурпле
Мы разбили $Z$ в объединение двух подмножеств,
на одном из которых $\sigma$ задает неотрицательную меру, на другом -
положительную.}
\ендпрооф



\невпаге

\begin{center}
\epsfig{file=Hahn.jpeg,width=0.35\linewidth}\\
Hans Hahn\\ (September 27, 1879 - July 24, 1934)
\end{center}


\невпаге

{\бф \блуе Непрерывные меры}


\определение
Пусть $S$ - пространство с сигма-алгеброй, а 
$\mu$ и $\nu$ две меры. Мы говорим, что
$\nu$ {\бф\блуе абсолютно непрерывна} относительно
$\mu$ (обозначается $\nu \ll\mu$) если
для любого измеримого множества $A$, 
из $\mu(A)=0$ следует $\nu(A)=0$.


\определение
{\бф \блуе Непрерывная мера} на пространстве с мерой Лебега
есть мера, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега.

\пример
Пусть $x\in [0,1]$ -- точка на отрезке, а $\mu_x$ -- мера,
такая, что  $\mu_x(A)=0$, если $A \not\ni x$, и $\mu_x(A)=1$, если $A \ni x$.
{\бф \пурпле Легко видеть, что такая мера не непрерывна.}

\упражнение
Пусть $f$ -- измеримая, неотрицательная
функция на пространстве $M$ с сигма-алгеброй, 
а $\mu$ -- мера на $M$. Обозначим за $f\mu$ меру, которая
делает из измеримого множества
$A\subset M$ интеграл $\int_\mu f\restrict A$.
{\бф \пурпле Проверьте, что это действительно мера.
Проверьте, что $f\mu \ll \mu$.}


\замечание
Интеграл функции по множеству $A\subset M$  часто
обозначается $\int_A f \mu$. 
Смысл этого обозначения в том, что {\бф 
\пурпле $f\mu$ -- это заряд на $M$, а $\int_A \sigma$ 
обозначает $\sigma(A)$, для заряда $\sigma=f\mu$. }


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Радона-Никодима}



\теорема
{\бф \блуе (теорема Радона-Никодима)}\\
Пусть $M$ -- пространство с сигма-алгеброй, а
$\nu\ll \mu$ -- меры на $M$, причем $\mu(M), \nu(M)< \infty$.
{\бф \ред Тогда $\nu = f\mu$ для какой-то функции $f$
на $M$, интегрируемой относительно $\mu$.}

\дшаг
Пусть $x\in \R^{\geq 0}$, а 
$\nu - x\mu$ -- соответствующий заряд.
Обозначим за $A(\nu -х\mu)$ максимальное множество,
где заряд $\nu - x\mu$ положительный, полученное
из разложения Хана. Для отрезка $[x,y]\subset \R$,
обозначим за $A_{[x,y]}$ множество
$A(\nu -x\mu)\backslash A(\nu -y\mu)$.
{\бф \пурпле Тогда объединение 
\[ \bigcup_{i\in \Z} A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]}
\]
равно $M$, с точностью до множества меры нуль по $\mu$.}
В самом деле, дополнение $B$ к этому множеству лежит в 
$\bigcup_{n\in Z} A_{[n, \infty]}$, а значит, удовлетворяет 
$\nu(B) > C \mu(B), \ \ \forall C\in \Z$. Мы получаем, что $\mu(B)$
равно нулю, и $\nu(B)=0$ по абсолютной непрерывности.

{\бф \греен Шаг 2:}
Расмотрим ступенчатую функцию
$ \Psi_n(\nu):= \sum_{i\in \Z^{\geq 0}} \frac i n 
|_ {A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]}}.$
Эта функция равна $\frac i n$ на каждом
множестве вида $A_{\left[\frac i n ,\frac {i+1} n\right]}$.
{\бф \пурпле Мы докажем, что $\{\Psi_n(\nu)\}$  сходится к функции
$f$ такой, что $\nu = f\mu$.}


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Радона-Никодима (продолжение)}


\теорема
{\бф \блуе (теорема Радона-Никодима)}\\
Пусть $M$ -- пространство с сигма-алгеброй, а
$\nu\ll \mu$ -- меры на $M$, причем $\mu(M), \nu(M)< \infty$.
{\бф \ред Тогда $\nu = f\mu$ для какой-то функции $f$
на $M$, интегрируемой относительно $\mu$.}


{\бф \греен Шаг 2:}
Расмотрим ступенчатую функцию
$ \Psi_n(\nu):= \sum_{i\in \Z^{\geq 0}} \frac i n 
|_ {A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]}}.$
Эта функция равна $\frac i n$ на каждом
множестве вида $A_{\left[\frac i n ,\frac {i+1} n\right]}$.
{\бф \пурпле Мы докажем, что $\{\Psi_n(\nu)\}$  сходится к функции
$f$ такой, что $\nu = f\mu$.}


{\бф \греен Шаг 3:}
На каждом из $A_{\left[\frac i n, \frac {i+1} n\right]}$,
имеем $\frac i n\mu \leq \nu \leq \frac {i+1} n \mu$,
значит, 
\[
0 \leq \nu - \Psi_n \mu \leq \frac 1 n \mu.
\]
Поэтому $\Psi_n$ -- последовательность Коши в
$L^1$-топологии,  заданной $\mu$, и ее
предел удовлетворяет $\nu - \lim \Psi_n \mu=0$.
\endproof

\упражнение
{\бф \пурпле Докажите, что последовательность $\{\Psi_n(\nu)\}$
равномерно сходится.}



\невпаге

{\бф \блуе Цилиндрические множества}


\определение
Пусть $W = M \times N$ -- произведение множеств,
снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$.
Определим {\бф\блуе  цилиндрическое множество}
как множество вида $X\times Y$, где 
$X\in A_M$ и $Y\in A_N$ -- подмножества
$M$ и $N$, лежащие в $\sigma$-алгебре.
{\бф \блуе Алгебра цилиндрических множеств}
есть кольцо множеств, порожденное
конечными объединениями цилиндрических.
{\бф\блуе Произведение сигма-алгебр}
есть сигма-алгебра подмножеств 
$M\times N$, порожденная цилиндрическими
множествами. 


\утверждение
Пусть $\mu, \nu$ -- аддитивные меры на сигма-алгебрах
$A_M$ и $A_N$, $\mu(M), \nu(N) < \infty$. Рассмотрим функцию $\xi$
на множестве цилиндрических подмножеств $M\times N$,
определенную формулой $\xi(X\times Y)= \xi(X)\times \xi(Y)$.
{\бф \ред Тогда $\xi$ можно продолжить до сигма-аддитивной
функции на алгебре цилиндрических множеств,
которую мы обозначаем за $\mu\times \nu$.}

\невпаге

{\бф \блуе Цилиндрические множества (продолжение)}



{\бф\греен Доказательство:} 
Легко видеть, что пересечение цилиндрических
множеств цилиндрическое. Поэтому
достаточно доказать, что если цилиндрическое
множество $Z$ разбито в конечное объединение цилиндрических,
$Z= \bigcup Z_i$, то $\xi(Z)= \sum \xi(Z_i)$. Это
видно из следующей картинки.
\begin{center}
\epsfig{file=pokry-subbase.eps,width=0.25\linewidth}\\
{\small \em Разбиение множества $M\times N$
в объединение цилиндрических}
\end{center}

Для формального доказательства, 
рассмотрим измельчение разбиения $Z=M\times N= \bigcup Z_i$
такое, что $M=\coprod M_p$, $N=\coprod N_q$, 
и $M\times N= \coprod_{p,q} M_p \times N_q$.
Назовем такое разбиение {\бф\блуе простым}.
Для простого разбиения, аддитивность меры следует
сразу из определения. С другой стороны, каждый
из $Z_i$ будет объединением нескольких элементов
вида $M_p \times N_q$, причем такое разбиение
$Z_i$ тоже будет простым, значит,
$\xi(Z)= \sum \xi(Z_i)$ следует из 
$\xi(Z) = \sum_{p,q}\xi(M_p \times N_q)$.
\endproof


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Фубини}

\определение
Пусть $\mu, \nu$ -- $\sigma$-аддитивные меры на $A_M$ и $A_N$.
{\бф\блуе Измеримое подмножество} в $M\times N$ есть подмножество,
которое, с точностью до меры нуль, лежит
в алгебре подмножеств $M\times N$, порожденной цилиндрическими множествами.

\теорема {\бф \блуе (теорема Фубини)}\\
Пусть $M, N$ -- пространства, снабженные сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$
и $\sigma$-конечной
мерой $\mu, \nu$, а $\xi= \mu\times \nu$ -- мера произведения
на $M\times N$. 
Рассмотрим интегрируемую функцию $f:\; M\times N \arrow \R$,
и пусть $M\times N \stackrel \pi\arrow M$ - проекция.
Тогда \\
{\бф \ред 
\phantom{ааа} (i) Для почти всех $m\in M$, ограничение
$f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ -- интегрируемая функция
на $\pi^{-1}(m)\cong N$. \\
\phantom{ааа} (ii) 
Пусть $\phi:\; M \arrow \R$ -- функция, заданная формулой
$\phi(m):= \int_N f\restrict{\pi^{-1}(m)}\nu$
вне множества меры 0, где интеграл 
$\int_\nu f\restrict{\pi^{-1}(m)}$ не определен.
Тогда $\phi$ интегрируема, и
$\int_{M\times N} f\xi= \int_{M} \phi\mu$.
}


\невпаге



\begin{center}
\epsfig{file=fubini_2.jpeg,width=0.35\linewidth}\\
Guido Fubini\\ (January 19, 1879 - June 6, 1943)
\end{center}


\невпаге

{\бф \блуе Функции с измеримыми ограничениями на  $\{m\} \times N$}

{\бф \греен Утверждение 1:}
Обозначим за ${\goth A}$ $\sigma$-алгебру в $M\times N$,
порожденную цилиндрическими множествами.
{\бф \ред Тогда для любой измеримой
функция $f$ найдется $f'$, которая получается как предел
монотонной последовательности  $f'_n = \sum c_i
\chi(Z_i')$, где все $Z_i'$ принадлежат ${\goth A}$,
а $f-f'=0$ почти всюду.}

\доказательство
Каждая измеримая функция $f$
получается как предел монотонно неубывающей последовательности
$f_n:=\Psi_n(f)$ ступенчатых функций вида $f_n=\sum c_i \chi(Z_i)$,
где $\chi(Z_i)$ есть характеристическая
функция измеримого множества $Z_i$.
Заменив каждое $Z_i$ на $Z_i'$, лежащее в ${\goth A}$,
и продолжив $f_i'$ нулем на дополнении, мы
получим  монотонную последовательность $f'_n = \sum c_i \chi(Z_i')$.
\endproof

{\бф \греен Доказательство теоремы Фубини, (i):}
Применяя Утверждение 1 к $f$ из теоремы Фубини, 
 мы получим, что  функция
$f'\restrict{\pi^{-1}(m)}$ измерима для каждого
$m\in M$. В самом деле, {\бф \пурпле $f'\restrict{\pi^{-1}(m)}$
получено как предел монотонной
последовательности ступенчатых функций,
ограничение каждой из которых на $\pi^{-1}(m)$
измеримо.}


\невпаге

{\бф \блуе Прямой образ меры}


\определение
Пусть $M, N$ -- пространства с $\sigma$-алгебрами $A_M$ и $A_N$.
{\бф \блуе Измеримое отображение} есть такое отображение
$f:\; M \arrow N$, что прообраз множества,
лежащего в $A_N$, содержится в $A_M$.



\замечание
Обыкновенная "измеримая функция" есть {\бф \пурпле измеримое
отображение из пространства с $\sigma$-алгеброй
в $\R$ с сигма-алгеброй борелевских множеств.}



\замечание
Пусть $W = M \times N$ -- произведение множеств,
снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$,
а $A_W$ -- сигма-алгебра, порожденная
цилиндрическими подмножествами в $W$.
Рассмотрим проекцию $M \times N \stackrel \pi \arrow M$.
Поскольку прообраз $\pi^{-1}(Z)$ измеримого
множества $Z\subset M$ цилиндрический,
он измерим, значит, {\бф \ред $\pi$ есть измеримое
отображение.}



\определение
Пусть $f:\; M \arrow N$ -- измеримое
отображение пространств,
снабженных сигма-алгебрами $A_M$ и $A_N$,
а $\mu$ есть сигма-аддитивная мера на $A_M$.
Рассмотрим функцию $\pi_*\mu$ на $A_N$, заданную
формулой $\pi_*\mu(Z):= \mu(\pi^{-1}(Z))$.
Легко видеть, что $\pi_*\mu$ есть
$\sigma$-аддитивная мера на $A_N$
(проверьте это). Мера $\pi_* \mu$
называется {\бф\блуе прямым образом меры $\mu$.}



\невпаге

{\бф \блуе Теорема Фубини и теорема Радина-Никодима}


\утверждение
В условиях теоремы Фубини,
{\бф \ред мера $\pi_*(f\xi)$ является абсолютно непрерывной:
$\pi_*(f\xi)\ll \mu$.}

\доказательство
$\pi_*(f\xi)(Z)=0$ для любого множества
меры нуль, потому что прообраз множества меры нуль
цилиндрический и имеет меру нуль. \endproof

{\бф \греен Доказательство теоремы Фубини, (ii), шаг 1:}\\
Применяя теорему Радона-Никодима, мы
находим, что $\pi_* (f\xi)= t \mu$,
где $t$ есть интегрируемая функция,
удовлетворяющая $\int_\mu t = \int_\xi f$.
{\бф \пурпле Для доказательства теоремы Фубини
осталось доказать, что $t=\phi$,
где $\phi$ -- функция, определенная
в теореме Фубини (ii). }


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Фубини и теорема Радина-Никодима}

{\бф \греен Доказательство теоремы Фубини, (ii), шаг 1:}\\
Применяя теорему Радона-Никодима, мы
находим, что $\pi_* (f\xi)= t \mu$,
где $t$ есть интегрируемая функция,
удовлетворяющая $\int_\mu t = \int_\xi f$.
{\бф \пурпле Для доказательства теоремы Фубини
осталось доказать, что $t=\phi$,
где $\phi$ -- функция, определенная
в теореме Фубини (ii). }


{\бф \греен Шаг 2:}
Заменив $f$ на монотонно неубывающий предел
ступенчатых функций $f= \lim f_i$, мы получим,
что соотвествующие функции $t(f_i)$
и $\phi(f_i)$ тоже монотонно неубывают.
Поскольку интеграл перестановочен с 
пределом монотонно неубывающих функций
(см. в прошлой лекции),
мы получаем, что {\бф \пурпле достаточно доказать,
что $t=\phi$ для ступенчатой
функции $f$.} Это, в свою очередь,
следует, если мы докажем теорему Фубини
для $f = \chi(U)$.


{\бф \греен Шаг 3:}
Измеримое подмножество в $M\times N$
получается как предел счетных 
объединений  цилиндрических;
{\бф \пурпле снова переходя к пределу, убеждаемся,
что достаточно доказать, что $\phi=t$
для $f = \chi(U)$, где $U$ -- цилиндрическое
множество.} Это сразу следует из определения меры
на произведении. \ендпрооф






\end{document}

