\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\6{\partial} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория меры, лекция 5:\\[2mm] полнота $L^1$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 4 апреля 2015\\ НМУ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage {\bf \blue Булевы кольца (повторение)} \определение {\бф \блуе Булево кольцо} есть кольцо, все элементы которого - идемпотенты. \замечание {\бф \пурпле В булевом кольце $1+1=0$.} Действительно, $(1+1)^2 = 1+1+1+1=1+1$. \определение {\бф \блуе Булева алгебра} есть булево кольцо, снабженное операциями пересечения $x, y \arrow x \wedge y$ и объединения $x, y \arrow x \vee y$, где $x\wedge y = xy$ и $x\vee y = xy+x+y$. \теорема {\бф \блуе (Маршалл Стоун)} Пусть ${\cal U}$ есть набор подмножеств в $S$, замнутый относительно операций объединения, пересечения, дополнения, и содержащий $S$ и $\emptyset$. Тогда {\бф \ред ${\cal U}$ есть булева алгебра.} Более того, {\бф \ред все булевы алгебры получаются таким образом.} \newpage {\bf \blue Булевы идеалы (повторение)} \определение Пусть $A$ -- булева алгебра, а $I\subsetneq A$ -- подмножество в $A$. Оно назывется {\бф\блуе идеалом}, если $I$ замкнуто относительно операций $\vee$, $\wedge$ и $\neg$, и для каждых $a\in A, \xi \in I$, имеет место $a\wedge\xi \in I$. \замечание Если булева алгебра $A$ построена по булеву кольцу $R$, то {\бф \пурпле булевы идеалы в $A$ -- то же самое, что обычные идеалы в кольце $R$} {\бф \ред (проверьте).} \определение Пусть $I\subsetneq A$ -- булев идеал. Определим такое соотношение в $A$: $x\sim_I y$, если для каких-то $\xi, \xi' \in I$, имеем $x\vee \xi = y\vee \xi'$. \замечание {\бф \пурпле $\sim$ -- соотношение эквивалентности, и на факторе $A/\sim_I$ возникает естественная структура булевой алгебры} {\бф \ред (проверьте это).} Такая булева алгебра называется {\бф\блуе фактор-алгеброй по булеву идеалу $I$}, и обозначается $A/I$. \замечание {\бф \пурпле Булевы идеалы в $A/I$ взаимно-однозначно соответствуют булевым идеалам в $A$, содержащим $I$} {\бф \ред (проверьте это).} \newpage {\bf \blue Метрика, построенная по мере (повторение)} Пусть задано множество $S$. Множество всех подмножеств $S$ обозначается $2^S$. Оно снабжено естественной структурой булевой алгебры. Зафиксируем булеву подалгебру ${\goth U}\subset 2^S$. \замечание {\бф \блуе На множестве $\R \cup \{\infty\}$ определена операция сложения, таким образом, что $x+\infty = \infty$ и $\infty + \infty = \infty$. } \определение Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R \cup \{\infty\}$ называется {\бф\блуе конечно-адди\-тивной мерой}, если для любых непересекающихся $A, B\in {\goth U}$, $\mu(A\coprod B) = \mu(A)+\mu(B)$. Мера называется {\бф\блуе неотрицательной}, если к тому же $\mu(A)\geq 0$, для любого $A$. \теорема Пусть $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная мера на булевой алгебре $A$, а $I_\mu$ -- идеал всех $a$ с $\mu(a)=0$. Определим отображение $d:\; (A/I_\mu)\times (A/I_\mu)\arrow [0, \infty]$ формулой $d(a,b):= \mu(a\triangle b)$, где $\triangle$ обозначает симметрическую разность. {\бф \ред Тогда $d$ задает метрику на $A/I_\mu$.} Более того, булевы операции $\wedge, \vee$ и $\neg$ непрерывны в топологии, заданной такой метрикой. \невпаге {\бф \блуе $\sigma$-алгебры (повторение)} \определение {\блуе $\sigma$-алгебра} есть булева алгебра подмножеств $S$, замкнутая относительно счетных объединений. \определение Пусть $A\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств, а $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная мера. Мера $\mu$ называется {\бф\блуе $\sigma$-аддитивной,} или же {\бф\блуе счетно-аддитивной}, если для любого покрытия $\bigcup X_i \supset X$ множества $X\in A$ счетным набором множеств, имеет место $\mu(X) \leq \sum\mu(X_i)$. \определение {\бф\блуе $\sigma$-алгебра, порожденная набором подмножеств $A\subset 2^S$}, есть кольцо подмножеств, порожденных пересечениями, дополнениями и счетными объединениями элементов $A$. \утверждение {\бф \пурпле Если $A\subset 2^{\R^n}$ -- алгебра многогранников, то порожденная ей $\sigma$-алгебра содержит все открытые множества.} \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство. {\бф\блуе Борелевская $\sigma$-алгебра} есть $\sigma$-алгебра, порожденная всеми открытыми множествами. \теорема Пусть $A$ -- булева алгебра подмножеств $S$, а $\mu$ конечно-аддитивная мера, такая, что $\mu(S)$ конечно. {\бф \ред Тогда пополнение $\hat A_\mu$ является $\sigma$-алгеброй.} \невпаге {\бф \блуе Измеримые множества (повторение)} \определение Пусть $A\subset 2^S$ -- булева алгебра подмножеств $S$, снабженная счетно-аддитивной, неотрицательной мерой $\mu$, а $R\subset S$ -- какое-то подмножество. Мы говорим, что $R$ {\бф\блуе имеет меру 0}, если для каждого $\epsilon >0$, множество $R$ можно покрыть счетным объединением $X_i\in A$, с $\sum \mu(X_i) < \epsilon.$ \определение {\бф\блуе Алгебра измеримых множеств} есть $\sigma$-алгебра в $\R^n$, порожденная борелевскими множествами и множествами меры 0. \замечание {\бф \пурпле Множества меры нуль образуют булев идеал в алгебре измеримых множеств} {\бф \ред (докажите это).} \невпаге {\бф \блуе Мера Лебега (повторение)} \замечание {\бф \блуе Псевдометрика} на $M$ есть функция $d:\; M \times M:\; \arrow \R^{\geq 0}\cup \infty$, удовлетворяющая $d(x,y)= d(y, x)$, $d(x,x)=0$, $d(x,y) \leq d(y, z)+ d(x,z)$ (все те же условия, что у метрики, без строгой положительности). \пример Объем многогранника задает такую псевдометрику на кольце многогранников: $d(X,Y)= \Vol(X\triangle Y)$. \теорема Пусть $A$ -- алгебра многогранников в единичном кубе, $\mu=\Vol$ объем многогранника, а $\hat A_\mu$ -- пополнение $A/I_\mu$, построенное по псевдометрике $d(X,Y)= \Vol(X\triangle Y)$. {\бф \ред Тогда $\hat A_\mu$ изоморфно фактору $\hat A /I$ алгебры $\hat A$ измеримых множеств по идеалу множеств меры нуль.} \доказательство Достаточно доказать, что в каждое открытое множество $U$ можно вписать последовательность увеличивающихся многогранников $U_i$, добиваясь, чтобы $\cup U_i=U$ {\бф \пурпле (проверьте это).} \ендпрооф \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле функция $\Vol$ непрерывна (и даже 1-липшицева) в топологии, заданной псевдометрикой, определенной выше.} \определение Функция $\Vol$, продолженная по непрерывности на алгебру измеримых множеств $\hat A_\mu$, называется {\бф \блуе мера Лебега}. \невпаге {\бф \блуе Свойства меры Лебега (повторение)} \замечание {\бф \пурпле Мера Лебега конечно-аддитивна:} для имеем $\mu(A\coprod B)=\mu(A)+\mu(B)$. Это равенство верно для многогранников, значит, сохраняется при переходе к пополнению. \замечание {\бф \пурпле Мера Лебега монотонна:} для $A\subset B$, имеем $\mu(A)\leq \mu(B)$. Это следует из ее конечной аддитивности и неотрицательности. \определение Конечно-аддитивная мера $\mu$ на $\sigma$-алгебре называется {\бф \блуе $\sigma$-аддитивной} или {\бф \блуе счетно-аддитивной}, если $\mu (\coprod_i A_i) = \sum \mu(A_i)$. \утверждение {\бф \ред Мера Лебега $\sigma$-аддитивна.} \невпаге {\бф \блуе Полнота алгебры измеримых множеств} \теорема {\бф \ред $\sigma$-алгебра $\hat A_\mu$ измеримых множеств полна относительно метрики $d$, заданной $X, Y \arrow \mu(X\triangle Y)$.} \дшаг Пусть $\{X_i\}$ -- последовательность Коши в $\hat A_\mu$. Выберем из нее подпоследовательность такую, что $d(X_i, X_j)< \frac 1{2^i}$ для каждого $i\geq j$. Пусть $Y_i:= \bigcup_{j\geq i} X_j$. Тогда \[ Y_i \triangle Y_{i+k}\subset \bigcup_{j=0}^{k-1} X_{i+j}\triangle X_{i+j+1} \text{\ \ \ и \ \ \ } Y_i \triangle X_i \subset \bigcup_{j=0}^{\infty} X_{i+j}\triangle X_{i+j+1} \] Из первого следует, что $d(Y_i, Y_{i+k})\leq \frac 1 {2^{i-1}}$, а из второго - что $d(X_i, Y_i) \leq \frac 1 {2^{i-1}}$, то есть $\{Y_i\}$ есть последовательность Коши, эквивалентная $X_i$. {\бф \греен Шаг 2:} Предел монотонно убывающей последовательности Коши $Y_0\supset Y_1 \supset ... $ равен $\bigcap Y_i$, который измерим, если $Y_i$ измеримы. Значит, $\sigma$-алгебра измеримых множеств полна. \ендпрооф \замечание Шаг 1 дает следующую полезную лемму. {\small\лемма Пусть $\mu$ -- неотрицательная мера на сигма-алгебре $A$, а $\{X_i\}$ -- последовательность Коши на $A$ в метрике $d$, заданной $X, Y \arrow \mu(X\triangle Y)$. Тогда $\{X_i\}$ эквивалентна последовательности Коши $\{Y_i\}\subset A$, которая монотонно убывает.} \невпаге {\бф \блуе Измеримые функции (повторение)} \определение {\бф\блуе Мера} на сигма-алгебре $A$ есть счетно-аддитивная функция $A\arrow \R^{\geq 0}$. {\бф\блуе Мера} на топологическом пространстве есть мера на его борелевской алгебре. \определение Мера $\mu$ на $\sigma$-алгебре $A$ называется {\бф\блуе $\sigma$-конечной}, если для любого $Z\in A$, можно покрыть $Z$ объединением $Z_i\in A$, $Z\subset \bigcup_{i\in \Z} Z_i$, где все $Z_i$ имеют конечную меру. \замечание Мера Лебега, очевидно, $\sigma$-конечна. {\бф \пурпле В дальнейшем все меры по умолчанию предполагаются $\sigma$-конечными.} \определение Пусть $(M, \mu)$ есть пространство с заданной на нем мерой. Функция $M\stackrel f\arrow \R$ называется {\бф\блуе измеримой}, если прообраз каждого борелевского множества измерим. \замечание Непрерывные функции измеримы. \замечание Композиция измеримых функций {\бф \ред не обязательно измерима} {\бф \пурпле (найдите контрпример самостоятельно)}. \невпаге {\бф \блуе Определение интеграла (повторение)} \определение\label{_integral_axioms_Definition_} Рассмотрим множество $V$ всех измеримых функций на $(M, \mu)$ со значениями в $\R^{\geq 0}$. {\бф\блуе Интеграл Лебега}, или просто {\бф\блуе интеграл} есть функционал $V \stackrel {\int_\mu}\arrow [0, \infty]$, обладающий следующими свойствами.\\ \phantom{АААА} 1. {\бф \блуе Линейность: } $\int_\mu (f+g) = \int_\mu f + \int_\mu g$, и $\int_\mu \lambda f = \lambda \int_\mu f$ для любого $\lambda \in \R^{\geq 0}$. \\ \phantom{АААА} 2. {\бф \блуе Неотрицательность: } $\int_\mu f\geq 0$ для каждой функции $f\geq 0$, причем равенство имеет место только если $f=0$ вне множества меры 0. \\ \phantom{АААА} 3. {\бф \блуе Совместимость с мерой:} если $\chi$ -- характеристическая функция измеримого множества $Z$ с конечной мерой, то $\int_\mu \chi = \mu(Z)$. \\ \phantom{АААА} 4. {\бф \блуе $\sigma$-аддитивность:} если $f = \sum_{i=0}^\infty f_i$ -- разложение функции в бесконечную сумму неотрицательных функций, то $\int_\mu f = \sum_i \int_\mu f_i$. \теорема {\бф \ред Интеграл существует, и определен однозначно, исходя из этих четырех аксиом.} \невпаге {\бф \блуе $L^1$-норма} \определение Пусть $M$ -- пространство с мерой Лебега, а $L^1(M)$ -- факторпространства измеримых функций по функциям, которые равны 0 вне множества меры 0. {\бф \блуе $L^1$-норма} на пространстве $L^1(M)$ есть норма, определенная формулой $\|f\|=\int_M |f|$. \теорема {\бф \ред Пространство $L^1(M)$ полно относительно $L^1$-нормы.} {\бф \греен (будет доказано в конце лекции)} \замечание Доказательство устроено так: строится поточечный предел последовательности, а потом доказывается, что он является пределом и по $L^1$-норме. \невпаге {\бф \блуе Измеримость поточечного предела} \определение Последовательность $\{f_i\}$ функций {\bf \блуе поточечно сходится} к $f$, если $\lim_i f_i(x) = f(x)$ для любого $x$. \утверждение {\бф \ред Поточечный предел измеримых функций всегда измерим.} \дшаг Пусть $f_i$ -- монотонно возрастающая последовательность, поточечно сходящаяся к $f$. Тогда $f^{-1}(]-\infty, a[)= \bigcap f_i^{-1}(]-\infty, a[)$; счетное пересечение измеримых множеств измеримо. С другой стороны, $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств $\R$ порождается полупрямыми вида $]-\infty, a[$. Это доказывает, что $f^{-1}$ от борелевского множества измеримо. {\бф \греен Шаг 2:} Предел любой последовательности $f_i$ получается как предел $g_n:= \sup_{i>n} f_i$, причем последовательность $\{g_n\}$ невозрастает, и каждое $g_n$ получено как предел неубывающей последовательности: $g_n= \lim_N \sup_{i=n+1}^N f_i$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Поточечный предел и интеграл} \лемма Пусть $M$ -- пространство с конечной мерой, а $\{f_i\}$ -- монотонная последовательность измеримых функций $f_i:\; M \arrow [0, C]$, поточечно сходящаяся к нулю. {\бф \ред Тогда $\lim_i \int f_i =0$. } \дшаг Если $f_i$ монотонно убывает и сходится к 0, для каждого $\epsilon >0$ имеем $\emptyset = f^{-1}(]\epsilon, \infty [)= \bigcap f_i^{-1}(]\epsilon, \infty [)$, значит, мера множества $V_i:= f_i^{-1}(]\epsilon, \infty [$ стремится к 0. {\бф \греен Шаг 2:} По определению, $\int f_i \leq C\mu (V_i) + \epsilon \mu(M\backslash V_i)$. Переходя к пределу по $i$ и пользуясь $\lim_i \mu(V_i)=0$, получаем $\lim_i \int f_i \leq \epsilon \mu(M)$. \ендпрооф \лемма Пусть $M$ -- пространство с конечной мерой, а $\{f_i\}$ -- (не обязательно монотонная) последовательность измеримых функций $f_i:\; M \arrow [0, C]$, поточечно сходящаяся к нулю. {\бф \ред Тогда $\lim_i \int f_i =0$. } \доказательство Пусть $g_n:= \sup_{i\geq n} f_i$. Очевидно, что последовательность $\{g_n\}$ невозрастает, и тоже сходится к 0. В силу предыдущей леммы, это дает $0 = \lim_i \int g_i$. С другой стороны, $g_n \geq f_n$, а значит $0 \geq \lim_i \int g_i\geq \lim_i \int f_i$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Поточечный предел и интеграл (продолжение)} \теорема Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность измеримых функций на $(M,\mu)$, принимающих значения в отрезке $[-C,C]$, которая поточечно сходится к $f$, причем мера $M$ конечна. {\бф \ред Тогда $f$ тоже измерима, и $\int_\mu f= \lim_i \int f_i$.} \доказательство Следует из предыдущей леммы, примененной к $f_i -f + C$. \ендпрооф \упражнение Найдите контрпример к этой теореме, если $\mu(M)$ бесконечна, или же если $f$ неограничена. %{\бф \греен Теорема 1:} %Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность измеримых функций на %$(M,\mu)$, которая поточечно сходится к ограниченной %функции $f$. %Тогда $f$ тоже измерима, и $\Vert f\Vert \geq \lim_i \Vert %f_i\Vert$. % %\доказательство %Пусть $M_C$ есть множество всех $x\in M$ таких, что все %$|f_i|$, начиная с какого-то номера, ограниченны константой %$C$ на $x$. Поскольку $f$ ограниченно, объединение всех $M_C$ %дает $M$. Разбив $M$ в объединение областей %$Z_\alpha$ конечного объема таким образом, чтобы каждая %$Z_\alpha$ лежала в каком-то из $M_C$, мы окажемся в ситуации %предыдущей теоремы и получим %$\Vert f\restrict{Z_\alpha}\Vert = \lim_i \Vert %f_i\restrict{Z_\alpha}\Vert$. Это дает %\[ %\Vert f\Vert =\sum_\alpha \Vert f\restrict{Z_\alpha}\Vert %= \sum_\alpha \lim_i\Vert f_i\restrict{Z_\alpha}\Vert\leq % \lim_i \sum_\alpha\Vert f_i\restrict{Z_\alpha}\Vert= \lim_i \Vert %f_i\Vert. %\] %\ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Интеграл и супремум} \предложение Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность ограниченных, интегрируемых функций на пространстве конечной меры, причем $\Vert f_i - f_{i+1}\Vert = \alpha_i$. Предположим, что ряд $\sum \alpha_i$ сходится. Обозначим за $g$ функцию $\sup_i f_i$. {\бф \ред Тогда $\Vert g-f_n\Vert \leq 2\sum \alpha_i$, для любого $n$.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $a,b$ - интегрируемые функции, а $g= \max(a,b)$. Поскольку $|g-a| \leq |a-b|$, имеем $\Vert a - g\Vert\leq \Vert a-b\Vert$. {\бф\green Шаг 2:} Обозначим за $g_n$ функцию $\max_{i=1}^n f_i$. Тогда $\Vert g_n, f_n\Vert \leq \sum_{i=1}^{n-1}\alpha_i$. Доказательство этого утверждения ведется по индукции; пусть это уже верно для $n$. Поскольку $g_n = \max(g_{n-1}, f_n)$, в силу предыдущего шага, неравенства треугольника и предположения индукции, имеем \[ \Vert g_n -f_n\Vert \leq \Vert g_{n-1} -f_n\Vert \leq \Vert g_{n-1} - f_{n-1}\Vert + \alpha_{n-1} \leq \sum_{i=1}^{n-2}\alpha_i + \alpha_{n-1}. \] {\бф \греен Шаг 3:} Для любого $n$, $\{g_i-f_n\}$ -- неубывающая последовательность, поточечно сходящаяся к $g-f_n$. В силу теоремы об интеграле от поточечного предела, $\Vert g-f_n\Vert = \lim_i \int_\mu |g_i -f_n|.$ С другой стороны, $\Vert g_k-f_n\Vert \leq \Vert g_k-f_k\Vert+ \Vert f_k-f_n\Vert\leq 2\sum \alpha_i$ для всех $k$. Значит, $\Vert g-f_n\Vert\leq 2\sum \alpha_i$. \endproof \невпаге {\бф \блуе Полнота $L^1(M)$} {\бф \греен Следствие 1:} Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность Коши интегрируемых, ограниченных функций, а $g_n:=\sup_{i\geq n} f_i$. {\бф \ред Тогда $\{g_i\}$ -- последовательность Коши, эквивалентная $\{f_i\}$.} \доказательство Пусть $\Vert f_i - f_{i+1}\Vert = \alpha_i$. Поскольку $\{f_i\}$ -- последовательность Коши, ряд $\sum \alpha_i $ сходится. В силу предыдущей теоремы, имеем $\Vert g_n-f_n\Vert \leq 2 \sum_{i=n}^\infty \alpha_i$, значит, $\{g_i\}$ эквивалентна $\{f_i\}$. \ендпрооф \теорема {\бф \ред Пространство $L^1(M)$ интегрируемых функций на $(M, \mu)$ полно относительно $L^1$-метрики.} \дшаг Разбив $M$ в счетное объединение подмножеств $M_i$ конечной меры, мы получим, что достаточно доказать полноту $L^1(M_i)$; действительно, произведение $\prod_i (M_i, d_i)$ полных метрических пространств с метрикой $\sum d_i$ полно. Поэтому {\бф \пурпле можно считать, что $M$ -- пространство конечной меры.} Мы свели теорему к такому утверждению. \невпаге {\бф \блуе Полнота $L^1(M)$ (конечная мера)} \теорема {\бф \ред Пространство $L^1(M)$ интегрируемых функций на на пространстве $(M, \mu)$ конечной меры полно относительно $L^1$-метрики.} {\бф\греен Доказательство. Шаг 1:} Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность Коши в $L^1(M)$. Тогда $|f_i|$ тоже последовательность Коши {\бф \пурпле (проверьте это)}. Поэтому $\frac{f_i + |f_i|}{2}$ и $\frac{|f_i|-f_i}{2}$ -- тоже последовательности Коши. Достаточно доказать сходимость последовательности Коши для этих функций, но они обе неотрицательны. Поэтому можно считать, что $f_i \geq 0$. {\бф \греен Шаг 2:} Расмотрим функцию $f^N_i$, которая равна $f_i$ в тех точках, где $f_i\in [N, N+1]$, равна $N$ в тех точках, где $f_i\leq N$ и равна $N+1$ в тех точках, где $f_i \geq N+1$. Для каждого $N$, $\{f^N_i\}$ -- последовательность Коши; если мы докажем, что она сходится к $f^N$, возьмем функцию $f$, которая равна $f^N$ в тех точках $x$, где $N