   

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\6{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория меры, лекция 5:\\[2mm] полнота $L^1$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 4 апреля 2015\\ НМУ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

{\bf \blue Булевы кольца (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Булево кольцо} 
есть кольцо, все элементы которого - идемпотенты.

\замечание {\бф \пурпле
В булевом кольце $1+1=0$.} Действительно,
$(1+1)^2 = 1+1+1+1=1+1$.

\определение
{\бф \блуе Булева алгебра} есть булево кольцо, снабженное операциями
пересечения $x, y \arrow x \wedge y$ и объединения
$x, y \arrow x \vee y$, где $x\wedge y = xy$
и $x\vee y = xy+x+y$.

\теорема {\бф \блуе (Маршалл Стоун)}
Пусть ${\cal U}$ есть набор подмножеств в $S$,
замнутый относительно операций объединения, пересечения,
дополнения, и содержащий $S$ и $\emptyset$. Тогда
{\бф \ред ${\cal U}$ есть булева алгебра.} Более того, {\бф \ред все булевы
алгебры получаются таким образом.}


\newpage

{\bf \blue Булевы идеалы (повторение)}


\определение
Пусть $A$ -- булева алгебра, а $I\subsetneq A$ -- подмножество
в $A$. Оно назывется {\бф\блуе идеалом}, если $I$ замкнуто
относительно операций $\vee$, $\wedge$ и $\neg$,
и для каждых $a\in A, \xi \in I$, имеет место $a\wedge\xi \in I$.


\замечание
Если булева алгебра $A$ построена 
по булеву кольцу $R$, то {\бф \пурпле булевы идеалы в $A$ -- то же самое,
что обычные идеалы в кольце $R$} {\бф \ред (проверьте).}


\определение
Пусть $I\subsetneq A$ -- булев идеал. Определим
такое соотношение в $A$: $x\sim_I y$, если
для каких-то $\xi, \xi' \in I$,
имеем $x\vee \xi = y\vee \xi'$.

\замечание
{\бф \пурпле $\sim$ -- соотношение эквивалентности,
и на факторе $A/\sim_I$ возникает естественная
структура булевой алгебры} {\бф \ред (проверьте это).}
Такая булева алгебра называется {\бф\блуе фактор-алгеброй
по булеву идеалу $I$}, и обозначается $A/I$.

\замечание
{\бф \пурпле Булевы идеалы в $A/I$
взаимно-однозначно соответствуют булевым идеалам в $A$,
содержащим $I$} {\бф \ред (проверьте это).}

\newpage


{\bf \blue Метрика, построенная по мере (повторение)}


Пусть задано множество $S$. Множество всех подмножеств
$S$ обозначается $2^S$. Оно снабжено естественной структурой
булевой алгебры. Зафиксируем 
булеву подалгебру ${\goth U}\subset 2^S$.

\замечание
{\бф \блуе На множестве $\R  \cup \{\infty\}$
определена операция
сложения, таким образом, что $x+\infty = \infty$
и $\infty + \infty = \infty$. }

\определение
Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R \cup \{\infty\}$
называется {\бф\блуе конечно-адди\-тивной мерой},
если для любых непересекающихся 
$A, B\in {\goth U}$, $\mu(A\coprod B) = \mu(A)+\mu(B)$.
Мера называется {\бф\блуе  неотрицательной}, если
к тому же $\mu(A)\geq 0$, для любого $A$.


\теорема
Пусть $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная мера
на булевой алгебре $A$, а $I_\mu$ -- идеал всех $a$ с
$\mu(a)=0$.  Определим отображение 
$d:\; (A/I_\mu)\times (A/I_\mu)\arrow [0, \infty]$
формулой $d(a,b):= \mu(a\triangle b)$, где
$\triangle$ обозначает симметрическую разность. {\бф \ред Тогда
$d$ задает метрику на $A/I_\mu$.} Более того, булевы
операции $\wedge, \vee$ и $\neg$ непрерывны
в топологии, заданной такой метрикой.

\невпаге

{\бф \блуе $\sigma$-алгебры (повторение)}


\определение
{\блуе $\sigma$-алгебра} есть булева алгебра подмножеств $S$,
замкнутая относительно счетных объединений.


\определение
Пусть $A\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств,
а $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная
мера. Мера $\mu$ называется {\бф\блуе $\sigma$-аддитивной,}
или же {\бф\блуе счетно-аддитивной},
если для любого покрытия $\bigcup X_i \supset X$
множества $X\in A$ счетным набором множеств,
имеет место $\mu(X) \leq \sum\mu(X_i)$.


\определение
{\бф\блуе $\sigma$-алгебра, порожденная набором подмножеств
$A\subset 2^S$}, есть кольцо подмножеств, порожденных
пересечениями, дополнениями и счетными объединениями
элементов $A$.


\утверждение
{\бф \пурпле Если $A\subset 2^{\R^n}$ -- алгебра многогранников, то 
порожденная ей $\sigma$-алгебра содержит
все открытые множества.} 


\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
{\бф\блуе Борелевская $\sigma$-алгебра} есть $\sigma$-алгебра,
порожденная всеми открытыми множествами. 


\теорема
Пусть $A$ -- булева алгебра подмножеств $S$,
а $\mu$ конечно-аддитивная мера, такая,
что $\mu(S)$ конечно. {\бф \ред Тогда пополнение
$\hat A_\mu$ является $\sigma$-алгеброй.}



\невпаге

{\бф \блуе Измеримые множества (повторение)}

\определение
Пусть $A\subset 2^S$ -- булева алгебра подмножеств $S$, снабженная
счетно-аддитивной, неотрицательной мерой $\mu$, 
а $R\subset S$ -- какое-то подмножество.
Мы говорим, что $R$ {\бф\блуе имеет меру 0},
если для каждого $\epsilon >0$,
множество $R$ можно покрыть счетным объединением
$X_i\in A$, с $\sum \mu(X_i) < \epsilon.$


\определение
{\бф\блуе Алгебра измеримых множеств}
есть $\sigma$-алгебра в $\R^n$, порожденная борелевскими
множествами и множествами меры 0.

\замечание
{\бф \пурпле Множества меры нуль образуют булев идеал в
алгебре измеримых множеств} {\бф \ред  (докажите это).}


\невпаге

{\бф \блуе Мера Лебега (повторение)}


\замечание
{\бф \блуе Псевдометрика} на $M$ есть функция 
$d:\; M \times M:\; \arrow \R^{\geq 0}\cup \infty$, удовлетворяющая
$d(x,y)= d(y, x)$, $d(x,x)=0$, $d(x,y) \leq d(y, z)+ d(x,z)$
(все те же условия, что у метрики, без строгой положительности).

\пример
Объем многогранника задает такую псевдометрику
на кольце многогранников: $d(X,Y)= \Vol(X\triangle Y)$.
 
\теорема
Пусть $A$ -- алгебра многогранников в единичном 
кубе, $\mu=\Vol$ объем многогранника, а $\hat A_\mu$ -- пополнение
$A/I_\mu$, построенное по псевдометрике  $d(X,Y)= \Vol(X\triangle Y)$.
{\бф \ред Тогда $\hat A_\mu$ изоморфно фактору $\hat A /I$ алгебры 
$\hat A$ измеримых множеств по идеалу множеств меры нуль.}

\доказательство
Достаточно доказать, что  в каждое открытое множество $U$
можно вписать последовательность увеличивающихся многогранников 
$U_i$, добиваясь, чтобы $\cup U_i=U$ {\бф \пурпле (проверьте это).}
\ендпрооф

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле функция $\Vol$ непрерывна (и даже 1-липшицева)
в топологии, заданной псевдометрикой, определенной выше.}

\определение
Функция $\Vol$, продолженная по непрерывности на 
алгебру измеримых множеств $\hat A_\mu$,
называется {\бф \блуе мера Лебега}. 



\невпаге

{\бф \блуе Свойства меры Лебега (повторение)}


\замечание {\бф \пурпле Мера Лебега конечно-аддитивна:}
для имеем $\mu(A\coprod B)=\mu(A)+\mu(B)$.
Это равенство верно для многогранников, значит,
сохраняется при переходе к пополнению.

\замечание {\бф \пурпле Мера Лебега монотонна:}
для $A\subset B$, имеем $\mu(A)\leq \mu(B)$.
Это следует из ее конечной аддитивности и неотрицательности.

\определение
Конечно-аддитивная мера $\mu$ на $\sigma$-алгебре
называется {\бф \блуе $\sigma$-аддитивной}
или {\бф \блуе счетно-аддитивной}, если
$\mu (\coprod_i A_i) = \sum \mu(A_i)$.

\утверждение
{\бф \ред Мера Лебега $\sigma$-аддитивна.}


\невпаге

{\бф \блуе Полнота алгебры измеримых множеств}

\теорема
{\бф \ред $\sigma$-алгебра $\hat A_\mu$ измеримых множеств полна относительно
метрики $d$, заданной $X, Y \arrow \mu(X\triangle Y)$.}

\дшаг
Пусть $\{X_i\}$ --  последовательность Коши в $\hat A_\mu$.
Выберем из нее подпоследовательность такую, что $d(X_i, X_j)< \frac 1{2^i}$
для каждого $i\geq j$. Пусть $Y_i:= \bigcup_{j\geq i} X_j$.
Тогда 
\[ Y_i \triangle Y_{i+k}\subset \bigcup_{j=0}^{k-1} X_{i+j}\triangle X_{i+j+1}
\text{\ \ \ и \ \ \ }
Y_i \triangle X_i \subset \bigcup_{j=0}^{\infty} X_{i+j}\triangle X_{i+j+1}
\]
Из первого следует, что $d(Y_i, Y_{i+k})\leq \frac 1 {2^{i-1}}$,
а из второго - что $d(X_i, Y_i) \leq \frac 1 {2^{i-1}}$,
то есть $\{Y_i\}$ есть последовательность Коши, эквивалентная
$X_i$. 

{\бф \греен Шаг 2:} Предел монотонно убывающей последовательности Коши
$Y_0\supset Y_1 \supset ... $ равен $\bigcap Y_i$, который измерим, если
$Y_i$ измеримы. Значит, $\sigma$-алгебра измеримых множеств полна.
\ендпрооф


\замечание Шаг 1 дает следующую полезную лемму.

{\small\лемма
Пусть $\mu$ -- неотрицательная мера на сигма-алгебре $A$, а $\{X_i\}$ -- последовательность
Коши на $A$ в метрике $d$, заданной $X, Y \arrow \mu(X\triangle Y)$.
Тогда $\{X_i\}$ эквивалентна последовательности Коши $\{Y_i\}\subset A$,
которая монотонно убывает.}

\невпаге

{\бф \блуе Измеримые функции (повторение)}

\определение
{\бф\блуе Мера} на сигма-алгебре $A$ есть
счетно-аддитивная функция $A\arrow \R^{\geq 0}$.
{\бф\блуе Мера} на топологическом пространстве
есть мера на его борелевской алгебре.

\определение
Мера $\mu$ на $\sigma$-алгебре $A$ называется 
{\бф\блуе $\sigma$-конечной}, если 
для любого $Z\in A$, можно покрыть
$Z$ объединением $Z_i\in A$, $Z\subset \bigcup_{i\in \Z} Z_i$,
где все $Z_i$ имеют конечную меру.

\замечание
Мера Лебега, очевидно, $\sigma$-конечна.
{\бф \пурпле В дальнейшем все меры по умолчанию
предполагаются $\sigma$-конечными.}


\определение
Пусть $(M, \mu)$ есть пространство с 
заданной на нем мерой.
Функция $M\stackrel f\arrow \R$
называется {\бф\блуе измеримой}, если
прообраз каждого борелевского множества
измерим.

\замечание
Непрерывные функции измеримы.

\замечание
Композиция измеримых функций 
{\бф \ред не обязательно измерима} {\бф \пурпле (найдите контрпример
самостоятельно)}.

\невпаге

{\бф \блуе Определение интеграла (повторение)}

\определение\label{_integral_axioms_Definition_}
Рассмотрим множество $V$ всех измеримых функций
на $(M, \mu)$ со значениями в $\R^{\geq 0}$. 
{\бф\блуе Интеграл Лебега},
или просто {\бф\блуе интеграл} 
есть функционал $V \stackrel {\int_\mu}\arrow [0, \infty]$,
обладающий следующими свойствами.\\ 
\phantom{АААА} 1. {\бф \блуе Линейность: }
$\int_\mu (f+g) = \int_\mu f + \int_\mu g$, 
и $\int_\mu \lambda f = \lambda \int_\mu f$
для любого $\lambda \in \R^{\geq 0}$. \\ \phantom{АААА}
2. {\бф \блуе Неотрицательность: } 
$\int_\mu f\geq 0$ для каждой функции $f\geq 0$, причем
равенство имеет место только если $f=0$ вне множества
меры 0. \\ \phantom{АААА}
3. {\бф \блуе Совместимость с мерой:} если $\chi$ -- характеристическая
функция измеримого множества $Z$ с конечной мерой,
то $\int_\mu \chi = \mu(Z)$. \\ \phantom{АААА}
4. {\бф \блуе $\sigma$-аддитивность:} если
$f = \sum_{i=0}^\infty f_i$ -- разложение функции в бесконечную сумму
неотрицательных функций,
то $\int_\mu f = \sum_i \int_\mu f_i$.

\теорема
{\бф \ред Интеграл существует, и определен однозначно, исходя
из этих четырех аксиом.}


\невпаге

{\бф \блуе $L^1$-норма}

\определение
Пусть $M$ -- пространство с мерой Лебега,
а $L^1(M)$ -- факторпространства измеримых функций
по функциям, которые равны 0 вне множества меры 0.
{\бф \блуе $L^1$-норма} на пространстве $L^1(M)$ есть норма,
определенная формулой $\|f\|=\int_M |f|$.

\теорема
{\бф \ред Пространство $L^1(M)$ полно относительно $L^1$-нормы.}

{\бф \греен (будет доказано в конце лекции)}

\замечание
Доказательство устроено так: строится поточечный предел последовательности, 
а потом доказывается, что он является пределом и по $L^1$-норме.



\невпаге

{\бф \блуе Измеримость поточечного предела}


\определение
Последовательность $\{f_i\}$ функций {\bf \блуе поточечно сходится}
к $f$, если $\lim_i f_i(x) = f(x)$ для любого $x$.

\утверждение
{\бф \ред Поточечный предел измеримых функций всегда измерим.}

\дшаг
Пусть $f_i$ -- монотонно возрастающая последовательность, поточечно сходящаяся к $f$.
Тогда $f^{-1}(]-\infty, a[)= \bigcap f_i^{-1}(]-\infty, a[)$; счетное пересечение
измеримых множеств измеримо. С другой стороны, $\sigma$-алгебра борелевских подмножеств
$\R$ порождается полупрямыми вида $]-\infty, a[$. Это доказывает, что
$f^{-1}$ от борелевского множества измеримо.

{\бф \греен Шаг 2:} Предел любой последовательности
$f_i$ получается как предел $g_n:= \sup_{i>n} f_i$,
причем последовательность $\{g_n\}$ невозрастает, и 
каждое $g_n$ получено
как предел неубывающей последовательности:
$g_n= \lim_N \sup_{i=n+1}^N f_i$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Поточечный предел и интеграл}


\лемма
Пусть $M$ -- пространство с конечной мерой, а $\{f_i\}$ --
монотонная последовательность 
измеримых функций $f_i:\; M \arrow [0, C]$, поточечно сходящаяся к нулю.
{\бф \ред Тогда $\lim_i \int f_i =0$. }

\дшаг
Если $f_i$ монотонно убывает и сходится к 0, для каждого
$\epsilon >0$ имеем
$\emptyset = f^{-1}(]\epsilon, \infty [)= \bigcap
f_i^{-1}(]\epsilon, \infty [)$,
значит, мера множества $V_i:= f_i^{-1}(]\epsilon, \infty [$
стремится к 0.

{\бф \греен Шаг 2:} По определению, 
$\int f_i \leq C\mu (V_i) + \epsilon \mu(M\backslash V_i)$.
Переходя к пределу по $i$ и пользуясь $\lim_i \mu(V_i)=0$,
получаем $\lim_i \int f_i \leq \epsilon \mu(M)$.
\ендпрооф

\лемма
Пусть $M$ -- пространство с конечной мерой, а $\{f_i\}$ --
(не обязательно монотонная)
последовательность измеримых функций $f_i:\; M \arrow [0, C]$, поточечно сходящаяся к нулю.
{\бф \ред Тогда $\lim_i \int f_i =0$. }

\доказательство 
Пусть $g_n:= \sup_{i\geq n} f_i$. Очевидно, что 
 последовательность $\{g_n\}$ невозрастает, и тоже
 сходится к 0. В силу предыдущей леммы, это дает
$0 = \lim_i \int g_i$. С другой стороны, $g_n \geq f_n$, 
а значит $0 \geq \lim_i \int g_i\geq \lim_i \int f_i$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Поточечный предел и интеграл (продолжение)}


\теорема
Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность измеримых функций на 
$(M,\mu)$, принимающих значения в отрезке $[-C,C]$,
которая поточечно сходится к $f$, причем мера $M$ конечна.
{\бф \ред Тогда $f$ тоже измерима, и $\int_\mu f= \lim_i \int f_i$.}

\доказательство
Следует из предыдущей леммы, примененной к 
$f_i -f + C$. \ендпрооф

\упражнение
Найдите контрпример к этой теореме, если 
$\mu(M)$ бесконечна, или же если $f$ неограничена.



%{\бф \греен Теорема 1:}
%Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность измеримых функций на 
%$(M,\mu)$, которая поточечно сходится к ограниченной
%функции $f$.
%Тогда $f$ тоже измерима, и $\Vert f\Vert \geq \lim_i \Vert
%f_i\Vert$.
%
%\доказательство 
%Пусть $M_C$ есть множество всех $x\in M$ таких, что все
%$|f_i|$, начиная с какого-то номера, ограниченны константой
%$C$ на $x$. Поскольку $f$ ограниченно, объединение всех $M_C$
%дает $M$. Разбив $M$ в объединение областей
%$Z_\alpha$ конечного объема таким образом, чтобы каждая
%$Z_\alpha$ лежала в каком-то из $M_C$, мы окажемся в ситуации
%предыдущей теоремы и получим 
%$\Vert f\restrict{Z_\alpha}\Vert = \lim_i \Vert
%f_i\restrict{Z_\alpha}\Vert$. Это дает
%\[
%\Vert f\Vert =\sum_\alpha \Vert f\restrict{Z_\alpha}\Vert
%=  \sum_\alpha \lim_i\Vert f_i\restrict{Z_\alpha}\Vert\leq
% \lim_i \sum_\alpha\Vert f_i\restrict{Z_\alpha}\Vert= \lim_i \Vert
%f_i\Vert.
%\]
%\ендпрооф



\невпаге

{\бф \блуе Интеграл и супремум}


\предложение
Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность ограниченных, интегрируемых
функций на пространстве конечной меры, причем $\Vert f_i - f_{i+1}\Vert = \alpha_i$.
Предположим, что ряд $\sum \alpha_i$ сходится.
Обозначим за $g$ функцию $\sup_i f_i$. {\бф \ред Тогда
$\Vert g-f_n\Vert \leq 2\sum \alpha_i$, для любого $n$.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Пусть $a,b$ - интегрируемые функции,
а $g= \max(a,b)$. Поскольку $|g-a| \leq |a-b|$,
имеем $\Vert a - g\Vert\leq \Vert a-b\Vert$.

{\бф\green Шаг 2:}
Обозначим за $g_n$ функцию $\max_{i=1}^n f_i$.
Тогда $\Vert g_n, f_n\Vert \leq \sum_{i=1}^{n-1}\alpha_i$.
Доказательство этого утверждения
ведется по индукции; пусть это уже
верно для $n$. Поскольку 
$g_n = \max(g_{n-1}, f_n)$, в силу предыдущего шага,
неравенства треугольника и предположения индукции, имеем
\[
  \Vert g_n -f_n\Vert \leq \Vert g_{n-1} -f_n\Vert
  \leq \Vert g_{n-1} - f_{n-1}\Vert + \alpha_{n-1}
  \leq \sum_{i=1}^{n-2}\alpha_i + \alpha_{n-1}.
\]
{\бф \греен Шаг 3:}
Для любого $n$,  $\{g_i-f_n\}$ -- неубывающая последовательность,
поточечно сходящаяся к $g-f_n$. В силу теоремы об интеграле от поточечного предела,
$\Vert g-f_n\Vert = \lim_i \int_\mu |g_i -f_n|.$
С другой стороны, $\Vert g_k-f_n\Vert \leq \Vert
g_k-f_k\Vert+  \Vert
f_k-f_n\Vert\leq 2\sum \alpha_i$
для всех $k$.  Значит, $\Vert g-f_n\Vert\leq  2\sum \alpha_i$.
\endproof


\невпаге

{\бф \блуе Полнота $L^1(M)$}


{\бф \греен Следствие 1:}
Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность Коши интегрируемых,
ограниченных функций, а $g_n:=\sup_{i\geq n} f_i$.
{\бф \ред Тогда $\{g_i\}$ -- последовательность Коши, эквивалентная
$\{f_i\}$.}

\доказательство Пусть  $\Vert f_i - f_{i+1}\Vert =
\alpha_i$. Поскольку $\{f_i\}$ -- последовательность Коши,
ряд $\sum \alpha_i $ сходится. В силу предыдущей теоремы,
имеем $\Vert g_n-f_n\Vert \leq 2 \sum_{i=n}^\infty \alpha_i$,
значит, $\{g_i\}$ эквивалентна $\{f_i\}$.
\ендпрооф

\теорема
{\бф \ред Пространство $L^1(M)$ интегрируемых функций на $(M, \mu)$ 
полно относительно $L^1$-метрики.}

\дшаг
Разбив $M$ в счетное объединение подмножеств $M_i$ конечной
меры, мы получим, что достаточно доказать полноту
$L^1(M_i)$; действительно, произведение $\prod_i (M_i,
d_i)$ полных метрических пространств с метрикой $\sum d_i$
полно. Поэтому {\бф \пурпле можно считать, что $M$ -- пространство
конечной меры.}

Мы свели теорему к такому утверждению.

\невпаге

{\бф \блуе Полнота $L^1(M)$ (конечная мера)}


\теорема
{\бф \ред Пространство $L^1(M)$ интегрируемых функций на
на пространстве  $(M, \mu)$ конечной меры полно
относительно $L^1$-метрики.}

{\бф\греен Доказательство. Шаг 1:}
Пусть $\{f_i\}$ -- последовательность Коши в $L^1(M)$.
Тогда $|f_i|$ тоже последовательность Коши {\бф \пурпле
(проверьте это)}. Поэтому $\frac{f_i + |f_i|}{2}$ и
$\frac{|f_i|-f_i}{2}$ -- тоже последовательности Коши.
Достаточно доказать сходимость последовательности Коши 
для этих функций, но они обе неотрицательны.
Поэтому можно считать, что $f_i \geq 0$.

{\бф \греен Шаг 2:}
Расмотрим функцию
$f^N_i$, которая равна $f_i$ в тех точках, где 
$f_i\in [N, N+1]$, равна $N$ в тех точках, где 
$f_i\leq N$ и равна $N+1$ в тех точках, где $f_i \geq N+1$.
Для каждого $N$, $\{f^N_i\}$ -- последовательность Коши;
если мы докажем, что она сходится к $f^N$, возьмем
функцию $f$, которая равна $f^N$ в тех точках $x$, где
$N<f^N(х)< N+1$, и эта функция будет пределом $f_i$.
Поэтому {\бф \пурпле можно считать, что функции $f_i$ принимают значения
в $[N, N+1]$.}

Мы свели теорему к такому утверждению.

\невпаге

{\бф \блуе Полнота $L^1(M)$ (конечная мера)}


\теорема
{\бф \ред Пространство $L^1(M)$ интегрируемых, ограниченных функций на
на пространстве  $(M, \mu)$ конечной меры полно
относительно $L^1$-метрики.}


{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
В силу Следствия 1, последовательность $\{f_i\}$
эквивалентна монотонно невозрастающей последовательности
$\{g_i\}$. Заменив одну на другую, мы можем предположить,
что $\{f_i\}$ монотонно невозрастает.

{\бф \греен Шаг 2:} Обозначим за $f$ поточечный предел
$f_i$ (он существует, потому что эта последовательность
монотонна).  По теореме об интеграле от поточечного
предела, последовательность $\{f_i\}$ сходится к $f$.
\ендпрооф




\end{document}

