\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\6{\partial} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория меры, лекция 4:\\[2mm] мера Лебега} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 14 марта 2015\\ НМУ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage {\bf \blue Булевы кольца (повторение)} \определение {\бф \блуе Булево кольцо} есть кольцо, все элементы которого - идемпотенты. \замечание {\бф \пурпле В булевом кольце $1+1=0$.} Действительно, $(1+1)^2 = 1+1+1+1=1+1$. \определение {\бф \блуе Булева алгебра} есть булево кольцо, снабженное операциями пересечения $x, y \arrow x \wedge y$ и объединения $x, y \arrow x \vee y$, где $x\wedge y = xy$ и $x\vee y = xy+x+y$. \теорема {\бф \блуе (Маршалл Стоун)} Пусть ${\cal U}$ есть набор подмножеств в $S$, замнутый относительно операций объединения, пересечения, дополнения, и содержащий $S$ и $\emptyset$. Тогда {\бф \ред ${\cal U}$ есть булева алгебра.} Более того, {\бф \ред все булевы алгебры получаются таким образом.} \newpage {\bf \blue Булевы идеалы (повторение)} \определение Пусть $A$ -- булева алгебра, а $I\subsetneq A$ -- подмножество в $A$. Оно назывется {\бф\блуе идеалом}, если $I$ замкнуто относительно операций $\vee$, $\wedge$ и $\neg$, и для каждых $a\in A, \xi \in I$, имеет место $a\wedge\xi \in I$. \замечание Если булева алгебра $A$ построена по булеву кольцу $R$, то {\бф \пурпле булевы идеалы в $A$ -- то же самое, что обычные идеалы в кольце $R$} {\бф \ред (проверьте).} \определение Пусть $I\subsetneq A$ -- булев идеал. Определим такое соотношение в $A$: $x\sim_I y$, если для каких-то $\xi, \xi' \in I$, имеем $x\vee \xi = y\vee \xi'$. \замечание {\бф \пурпле $\sim$ -- соотношение эквивалентности, и на факторе $A/\sim_I$ возникает естественная структура булевой алгебры} {\бф \ред (проверьте это).} Такая булева алгебра называется {\бф\блуе фактор-алгеброй по булеву идеалу $I$}, и обозначается $A/I$. \замечание {\бф \пурпле Булевы идеалы в $A/I$ взаимно-однозначно соответствуют булевым идеалам в $A$, содержащим $I$} {\бф \ред (проверьте это).} \newpage {\bf \blue Неотрицательные меры (повторение)} Пусть задано множество $S$. Множество всех подмножеств $S$ обозначается $2^S$. Оно снабжено естественной структурой булевой алгебры. Зафиксируем булеву подалгебру ${\goth U}\subset 2^S$. \замечание {\бф \блуе На множестве $\R \cup \{\infty\}$ определена операция сложения, таким образом, что $x+\infty = \infty$ и $\infty + \infty = \infty$. } \определение Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R \cup \{\infty\}$ называется {\бф\блуе конечно-адди\-тивной мерой}, если для любых непересекающихся $A, B\in {\goth U}$, $\mu(A\coprod B) = \mu(A)+\mu(B)$. Мера называется {\бф\блуе неотрицательной}, если к тому же $\mu(A)\geq 0$, для любого $A$. \замечание Из неотрицательности следует, что $\mu$ монотонна по отношению к частичному порядку: {\бф \пурпле если $a \subset b$, то $\mu(a)\leq \mu(b)$ (проверьте).} \замечание Также из аддитивности следует, что $\mu(\emptyset)=0$. {\бф \пурпле Действительно, $\mu (\emptyset)=\mu (\emptyset\coprod \emptyset)= \mu (\emptyset)+\mu (\emptyset)$.} \newpage {\bf \blue Метрика, построенная по мере} \замечание Рассмотрим множество $I_\mu$ всех $a\in A$ с $\mu(a)=0$. {\бф \пурпле Легко видеть, что это булев идеал.} В самом деле, $\mu (a \vee b) + \mu(a\wedge b) = \mu(a) + \mu(b)=0$ для $a,b \in I_\mu$. К тому же, для любого $x$ и $a\in I_\mu$, $x\wedge a \preccurlyeq a$, значит $\mu(x\wedge a)\leq \mu(a)=0$ в силу монотонности меры по отношению к частичному порядку. \теорема Пусть $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная мера на булевой алгебре $A$, а $I_\mu$ -- идеал всех $a$ с $\mu(a)=0$. Определим отображение $d:\; (A/I_\mu)\times (A/I_\mu)\arrow [0, \infty]$ формулой $d(a,b):= \mu(a\triangle b)$, где $\triangle$ обозначает симметрическую разность. {\бф \ред Тогда $d$ задает метрику на $A/I_\mu$.} Более того, булевы операции $\wedge, \vee$ и $\neg$ непрерывны в топологии, заданной такой метрикой. \дшаг Симметричность и рефлексивность метрики очевидны. Неравенство треугольника: \[ d(a,b) + d(b, c) = \mu(a\triangle b) + \mu(b\triangle c) = \geq \mu(a)+ \mu(c) - \mu(a \cap b\cap c) \geq \mu(a\triangle c) = d(a,c). \] Чтобы доказать непрерывность $\wedge, \vee$ и $\neg$, достаточно доказать непрерывность операций $\triangle,\cap=\wedge$ остальные через них выражаются. \newpage {\bf \blue Метрика, построенная по мере (продолжение)} \теорема Пусть $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная мера на булевой алгебре $A$, а $I_\mu$ -- идеал всех $a$ с $\mu(a)=0$. Определим отображение $d:\; (A/I_\mu)\times (A/I_\mu)\arrow [0, \infty]$ формулой $d(a,b):= \mu(a\triangle b)$, где $\triangle$ обозначает симметрическую разность. {\бф \ред Тогда $d$ задает метрику на $A/I_\mu$.} Более того, булевы операции $\wedge, \vee$ и $\neg$ непрерывны в топологии, заданной такой метрикой. {\бф \греен Шаг 2:} Непрерывность $\triangle$ очевидна, ибо для любой последовательности $\{z_i\}$, сходящейся к $z$, имеем \[ d(z_i\triangle y, z\triangle y)= \mu((z_i\triangle y) \triangle (z\triangle y)) \leq \mu(z_i\triangle z) = d(z_i,z), \] значит, $z_i\triangle y$ сходится к $z\triangle y$. Непрерывность $\wedge$ следует из того, что $d(x\cap z_i,z\cap x) = \mu(x\cap (z_i\triangle z))\leq d(z,z_i)$, в силу монотонности, значит, для любой последовательности $\{z_i\}$, сходящейся к $z$, последовательность $x\wedge z_i$ сходится к $z\wedge x$. \ендпрооф \следствие Пусть $A$ -- булево кольцо, снабженное неотрицательной, аддитивной мерой $\mu$, $I_\mu$ -- идеал всех $a\in A$ с $\mu(a)=0$, а $\hat A_\mu$ -- пополнение $A/I_\mu$ по метрике $d$, определенной выше. {\бф \ред Тогда $\hat A_\mu$ -- тоже булево кольцо.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе $\sigma$-алгебры} \определение {\блуе $\sigma$-алгебра} есть булева алгебра подмножеств $S$, замкнутая относительно счетных объединений. \замечание {\бф \пурпле Булева алгебра $(A, \preccurlyeq)$ является $\sigma$-алгеброй, если у каждого счетного семейства элементов $A$ есть точная верхняя грань.} \определение Пусть $A\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств, а $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная мера. Мера $\mu$ называется {\бф\блуе $\sigma$-аддитивной,} или же {\бф\блуе счетно-аддитивной}, если для любого покрытия $\bigcup X_i \supset X$ множества $X\in A$ счетным набором множеств, имеет место $\mu(X) \leq \sum\mu(X_i)$. \замечание Пусть $A$ -- кольцо подмножеств, снабженное счетно-аддитивной мерой. {\бф \пурпле Тогда для каждого набора непересекающихся множеств $X_i\in A$, имеет место $\mu(\coprod X_i) = \sum \mu(X_i)$.} В самом деле, $\coprod X_i$ содержит любое конечное объединение $X_i$, и, в силу монотонности меры, удовлетворяет $\mu(\coprod X_i)\geq \sum_{i\in {\goth S}} \mu(X_i)$ для любого конечного (а значит, и бесконечного) набора индексов $\goth S$. Это дает неравенство $\mu(\coprod X_i) \geq \sum \mu(X_i)$ для любой аддитивной, неотрицательной меры. Обратное неравенство следует из $\sigma$-аддитивности. \невпаге {\бф \блуе $\sigma$-алгебра борелевских множеств} \определение {\бф\блуе $\sigma$-алгебра, порожденная набором подмножеств $A\subset 2^S$}, есть кольцо подмножеств, порожденных пересечениями, дополнениями и счетными объединениями элементов $A$. \утверждение {\бф \пурпле Если $A\subset 2^{\R^n}$ -- алгебра многогранников, то порожденная ей $\sigma$-алгебра содержит все открытые множества.} \доказательство Возьмем какое-то открытое множество $U\subset \R^n$ и представим его в виде счетного объединения компактов $K_i$ (докажите, что это возможно). Каждая точка $z\in U$ имеет шарообразную окрестность $U\ni z$, содержащуюся в $U$; вписывая куб в шар, мы получим покрытие $U$ многогранниками, содержащимися в $U$. Выбирая конечное покрытие у каждого $K_i$, мы получим счетное покрытие $U$ многогранниками. \ендпрооф \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство. {\бф\блуе Борелевская $\sigma$-алгебра} есть $\sigma$-алгебра, порожденная всеми открытыми множествами. \замечание\label{_borel_mnogo_Zamechanie_} Мы только что доказали, что {\бф \ред кольцо многогранников порождает борелевскую $\sigma$-алгебру.} \невпаге {\бф \блуе Пополнение булевой алгебры относительно меры} \теорема Пусть $A$ -- булева алгебра подмножеств $S$, а $\mu$ конечно-аддитивная мера, такая, что $\mu(S)$ конечно. {\бф \ред Тогда пополнение $\hat A_\mu$ является $\sigma$-алгеброй.} \дшаг Пусть $X_1, X_2, ...$ -- счетный набор непересекающихся элементов $\hat A_\mu$. Чтобы доказать, что $A_\mu$ есть сигма-алгебра, достаточно продемонстрировать, что у него есть точная верхняя грань. {\бф \пурпле Если последовательность $\{Y_n:=\bigcup_{i=1}^n X_i\}$ является последовательностью Коши, ее предел и будет такой точной верхней гранью.} Действительно, $a_n:=d(Y_n, \bigcup_{i=1}^\infty X_i)= \sum_{i=0}^\infty d(Y_{n+i}, Y_{n+i+1})$ а $\lim_n a_n=0$ тогда и только тогда, когда $Y_n$ -- последовательность Коши. {\бф \греен Шаг 2:} Поскольку $\mu(S)$ конечно, ряд $\sum \mu(X_i)$ сходится. Значит, $a_n:=\mu\left(\bigcup_{i=n}^\infty X_i\right )$ стремится к нулю. С другой стороны, для $k0$, множество $R$ можно покрыть счетным объединением $X_i\in A$, с $\sum \mu(X_i) < \epsilon.$ \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле счетное объединение множеств меры 0 имеет меру 0.} \определение {\бф\блуе Алгебра измеримых множеств} есть $\sigma$-алгебра в $\R^n$, порожденная борелевскими множествами и множествами меры 0. \замечание {\бф \пурпле Множества меры нуль образуют булев идеал в алгебре измеримых множеств} {\бф \ред (докажите это).} \невпаге {\бф \блуе Мера Лебега} \замечание {\бф \блуе Псевдометрика} на $M$ есть функция $d:\; M \times M:\; \arrow \R^{\geq 0}\cup \infty$, удовлетворяющая $d(x,y)= d(y, x)$, $d(x,x)=0$, $d(x,y) \leq d(y, z)+ d(x,z)$ (все те же условия, что у метрики, без строгой положительности). \пример Объем многогранника задает такую псевдометрику на кольце многогранников: $d(X,Y)= \Vol(X\triangle Y)$. \теорема Пусть $A$ -- алгебра многогранников в единичном кубе, $\mu=\Vol$ объем многогранника, а $\hat A_\mu$ -- пополнение $A/I_\mu$, построенное по псевдометрике $d(X,Y)= \Vol(X\triangle Y)$. {\бф \ред Тогда $\hat A_\mu$ изоморфно фактору $\hat A /I$ алгебры $\hat A$ измеримых множеств по идеалу множеств меры нуль.} \доказательство Достаточно доказать, что в каждое открытое множество $U$ можно вписать последовательность увеличивающихся многогранников $U_i$, добиваясь, чтобы $\cup U_i=U$ {\бф \пурпле (проверьте это).} \ендпрооф \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле функция $\Vol$ непрерывна (и даже 1-липшицева) в топологии, заданной псевдометрикой, определенной выше.} \определение Функция $\Vol$, продолженная по непрерывности на алгебру измеримых множеств $\hat A_\mu$, называется {\бф \блуе мера Лебега}. \невпаге {\бф \блуе Свойства меры Лебега} \замечание {\бф \пурпле Мера Лебега конечно-аддитивна:} для имеем $\mu(A\coprod B)=\mu(A)+\mu(B)$. Это равенство верно для многогранников, значит, сохраняется при переходе к пополнению. \замечание {\бф \пурпле Мера Лебега монотонна:} для $A\subset B$, имеем $\mu(A)\leq \mu(B)$. Это следует из ее конечной аддитивности и неотрицательности. \определение Конечно-аддитивная мера $\mu$ на $\sigma$-алгебре называется {\бф \блуе $\sigma$-аддитивной} или {\бф \блуе счетно-аддитивной}, если $\mu (\coprod_i A_i) = \sum \mu(A_i)$. \утверждение {\бф \ред Мера Лебега $\sigma$-аддитивна.} \дшаг Если $\sum \mu(A_i)=\infty$, то $\mu (\coprod_i A_i)=\infty$ в силу монотонности $\mu$. {\бф \греен Шаг 2:} Если $\sum \mu(A_i)<\infty$, то последовательность $B_n=\coprod_{i=0}^N A_i$ есть последовательность Коши, потому что $\mu (B_n\triangle B_{n+k})= \sum_{i=0}^{k} \mu(B_{n+i})$, а эта сумма стремится к нулю при $n \arrow \infty$. Значит, $\mu (\coprod_i A_i)=\lim_i \mu(B_i)= \sum \mu(A_i)$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Измеримые функции} \определение {\бф\блуе Мера} на сигма-алгебре $A$ есть счетно-аддитивная функция $A\arrow \R^{\geq 0}$. {\бф\блуе Мера} на топологическом пространстве есть мера на его борелевской алгебре. \определение Мера $\mu$ на $\sigma$-алгебре $A$ называется {\бф\блуе $\sigma$-конечной}, если для любого $Z\in A$, можно покрыть $Z$ объединением $Z_i\in A$, $Z\subset \bigcup_{i\in \Z} Z_i$, где все $Z_i$ имеют конечную меру. \замечание Мера Лебега, очевидно, $\sigma$-конечна. {\бф \пурпле В дальнейшем все меры по умолчанию предполагаются $\sigma$-конечными.} \определение Пусть $(M, \mu)$ есть пространство с заданной на нем мерой. Функция $M\stackrel f\arrow \R$ называется {\бф\блуе измеримой}, если прообраз каждого борелевского множества измерим. \замечание Непрерывные функции измеримы. \замечание Композиция измеримых функций {\бф \ред не обязательно измерима} {\бф \пурпле (найдите контрпример самостоятельно)}. \невпаге {\бф \блуе Определение интеграла} \определение\label{_integral_axioms_Definition_} Рассмотрим множество $V$ всех измеримых функций на $(M, \mu)$ со значениями в $\R^{\geq 0}$. {\бф\блуе Интеграл Лебега}, или просто {\бф\блуе интеграл} есть функционал $V \stackrel {\int_\mu}\arrow [0, \infty]$, обладающий следующими свойствами.\\ \phantom{АААА} 1. {\бф \блуе Линейность: } $\int_\mu (f+g) = \int_\mu f + \int_\mu g$, и $\int_\mu \lambda f = \lambda \int_\mu f$ для любого $\lambda \in \R^{\geq 0}$. \\ \phantom{АААА} 2. {\бф \блуе Неотрицательность: } $\int_\mu f\geq 0$ для каждой функции $f\geq 0$, причем равенство имеет место только если $f=0$ вне множества меры 0. \\ \phantom{АААА} 3. {\бф \блуе Совместимость с мерой:} если $\chi$ -- характеристическая функция измеримого множества $Z$ с конечной мерой, то $\int_\mu \chi = \mu(Z)$. \\ \phantom{АААА} 4. {\бф \блуе $\sigma$-аддитивность:} если $f = \sum_{i=0}^\infty f_i$ -- разложение функции в бесконечную сумму неотрицательных функций, то $\int_\mu f = \sum_i \int_\mu f_i$. \теорема {\бф \ред Интеграл существует, и определен однозначно, исходя из этих четырех аксиом.} {\it \греен (доказательство будет дальше.)} \невпаге {\бф \блуе Определение интеграла (продолжение)} \определение {\бф\блуе Интеграл измеримой функции} $f:\; M \arrow \R$ определяется как \[ \int_\mu f = \frac 1 2 \left[\int_\mu(|f| + f) - \int_\mu(|f| - f)\right]. \] {\бф \ред Эта формула задает линейный функционал на пространстве всех измеримых функций, для которых $\int_\mu |f|$ конечен} {\бф \пурпле (проверьте это).} Интеграл принимает конечное значение, если оба члена в квадратных скобках конечны, он равен $\infty$ если первый из них бесконечен, а второй конечен, и $-\infty$, если первый конечен, а второй бесконечен. Если они оба равны $\infty$, интеграл не определен. \невпаге {\бф \блуе Ступенчатые функции} \определение {\бф\блуе Ступенчатая функция} на множестве с заданной на нем $\sigma$-алгеброй $\goth A$ есть функция $f$, принимающая счетное (или конечное) число значений, причем $f^{-1}(c)$ лежит в $\goth A$ для любого $c$. \определение Пусть $f:\; M \arrow \R^{\geq 0}$ -- ступенчатая функция на пространстве $(M, \mu)$ с мерой, $\{c_i\}$ -- множество ее значений, а $Z_i:= f^{-1}(c_i)$ -- соответствующие подмножества $M$. Определим {\бф\блуе интеграл $f$} как сумму $\int_\mu f:= \sum_i c_i \mu(Z_i)$. Интеграл принимает значения в $[0, \infty]$. \замечание Интегралы ступенчатых функций {\бф \ред удовлетворяют условиям 1-4 из определения интеграла} {\бф \пурпле (проверьте это).} \невпаге {\бф \блуе $L^1$-норма} \определение {\бф\блуе Почти всюду} значит "вне множества меры 0". \определение Определим {\бф\блуе $L^1$-норму} на пространстве ступенчатых функций формулой $\Vert f\Vert := \int_\mu |f|.$ Она принимает значения в $[0, \infty]$. Определим {\бф\блуе $L^1$-метрику} формулой $d(f,g):= \Vert f-g\Vert $. \замечание На самом деле $L^1$-норма и $L^1$-метрика не являются нормой и метрикой на пространстве ступенчатых функций: они зануляются на функциях, которые равны нулю почти всюду. Нормы и метрики, которым разрешается зануляться, называются {\бф \блуе псевдометрики} и {\бф \блуе псевдонормы}. Корректнее было бы сказать, что {\бф \блуе $\Vert f\Vert := \int_\mu |f|$ это псевдонорма,} задающая {\бф \пурпле норму на факторпространстве ступенчатых функций по пространству ступенчатых функций, которые равны нулю почти всюду. } \невпаге {\бф \блуе Равномерная сходимость} \определение Пусть $f_i:\; M \arrow \R$ -- последовательность функций. Напомним, что $f_i$ {\бф\блуе равномерно сходится} к $f:\; M \arrow \R$, если для каждого $\epsilon>0$ найдется $N$ такой, что $|f-f_i| <\epsilon$ при $i>N$. \предложение Пусть $f$ -- измеримая функция на пространстве $M$ с $\sigma$-алгеброй. {\бф \ред Тогда существует последовательность $\{f_i\}$ ступенчатых функций, $f_1\leq f_2\leq f_3 \leq ...$ которая равномерно сходится к $f$.} Если, к тому же, само пространство $M$ имеет конечную меру, то $f_i$ есть последовательность Коши относительно $L^1$-метрики, и все такие последовательности Коши эквивалентны. {\бф\греен Доказательство:} Обозначим за $f_n$ функцию вида $x\stackrel {f_n}\arrow \frac 1 {2^n} [2^nf(x)]$, где $[\cdot]$ обозначает целую часть. {\бф \пурпле Тогда $f_n$ равномерно сходится к $f$.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Существование и единственность интеграла} \определение Пусть $f$ -- измеримая функция на пространстве $M$ с $\sigma$-алгеброй и сигма-аддитивной мерой $\mu$, такой, что $\mu(M)< \infty$. {\бф \блуе Определим $\int_\mu f$ как $\lim_i \int_\mu f_i$, где $\{f_i\}$ -- последовательность ступенчатых функций, равномерно сходящихся к $f$.} \замечание $\int_\mu f$ не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности $f_i$. Действительно, каждая такая $f_i$ является последовательностью Коши в норме $L^1$, следовательно, {\бф \пурпле $\int_\mu f$ получается как продолжение $L^1$-нормы на метрическое пополнение пространства ступенчатых функций.} \замечание Таким образом определенный интеграл {\бф \пурпле $f\to \int_\mu f$ удовлетворяет условиям 1--4 из определения интеграла,} потому что ступенчатые функции им удовлетворяют, а при переходе к пополнению эти условия сохраняются. \замечание Единственность интеграла, заданного условиями 1--4, тоже очевидна. В самом деле, если $0 \leq f-f_i \leq \epsilon$, имеем $0\leq \int_\mu (f-f_i) \leq\epsilon \mu(M)$, а значит, $\lim_i \int_\mu f_i=\int_\mu f$. Но $\int_\mu f_i$ задан условиями 1--4 однозначно, потому что $f_i$ ступенчатая. {\бф \ред Мы доказали существование и единственность интеграла.} \end{document}