   

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\6{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория меры, лекция 4:\\[2mm] мера Лебега}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 14 марта 2015\\ НМУ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

{\bf \blue Булевы кольца (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Булево кольцо} 
есть кольцо, все элементы которого - идемпотенты.

\замечание {\бф \пурпле
В булевом кольце $1+1=0$.} Действительно,
$(1+1)^2 = 1+1+1+1=1+1$.

\определение
{\бф \блуе Булева алгебра} есть булево кольцо, снабженное операциями
пересечения $x, y \arrow x \wedge y$ и объединения
$x, y \arrow x \vee y$, где $x\wedge y = xy$
и $x\vee y = xy+x+y$.

\теорема {\бф \блуе (Маршалл Стоун)}
Пусть ${\cal U}$ есть набор подмножеств в $S$,
замнутый относительно операций объединения, пересечения,
дополнения, и содержащий $S$ и $\emptyset$. Тогда
{\бф \ред ${\cal U}$ есть булева алгебра.} Более того, {\бф \ред все булевы
алгебры получаются таким образом.}


\newpage

{\bf \blue Булевы идеалы (повторение)}


\определение
Пусть $A$ -- булева алгебра, а $I\subsetneq A$ -- подмножество
в $A$. Оно назывется {\бф\блуе идеалом}, если $I$ замкнуто
относительно операций $\vee$, $\wedge$ и $\neg$,
и для каждых $a\in A, \xi \in I$, имеет место $a\wedge\xi \in I$.


\замечание
Если булева алгебра $A$ построена 
по булеву кольцу $R$, то {\бф \пурпле булевы идеалы в $A$ -- то же самое,
что обычные идеалы в кольце $R$} {\бф \ред (проверьте).}


\определение
Пусть $I\subsetneq A$ -- булев идеал. Определим
такое соотношение в $A$: $x\sim_I y$, если
для каких-то $\xi, \xi' \in I$,
имеем $x\vee \xi = y\vee \xi'$.

\замечание
{\бф \пурпле $\sim$ -- соотношение эквивалентности,
и на факторе $A/\sim_I$ возникает естественная
структура булевой алгебры} {\бф \ред (проверьте это).}
Такая булева алгебра называется {\бф\блуе фактор-алгеброй
по булеву идеалу $I$}, и обозначается $A/I$.

\замечание
{\бф \пурпле Булевы идеалы в $A/I$
взаимно-однозначно соответствуют булевым идеалам в $A$,
содержащим $I$} {\бф \ред (проверьте это).}

\newpage

{\bf \blue Неотрицательные меры (повторение)}

Пусть задано множество $S$. Множество всех подмножеств
$S$ обозначается $2^S$. Оно снабжено естественной структурой
булевой алгебры. Зафиксируем 
булеву подалгебру ${\goth U}\subset 2^S$.

\замечание
{\бф \блуе На множестве $\R  \cup \{\infty\}$
определена операция
сложения, таким образом, что $x+\infty = \infty$
и $\infty + \infty = \infty$. }

\определение
Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R \cup \{\infty\}$
называется {\бф\блуе конечно-адди\-тивной мерой},
если для любых непересекающихся 
$A, B\in {\goth U}$, $\mu(A\coprod B) = \mu(A)+\mu(B)$.
Мера называется {\бф\блуе  неотрицательной}, если
к тому же $\mu(A)\geq 0$, для любого $A$.


\замечание
Из неотрицательности следует, что $\mu$ монотонна по отношению
к частичному порядку: {\бф \пурпле если $a \subset b$, 
то $\mu(a)\leq \mu(b)$ (проверьте).}

\замечание
Также из аддитивности следует, что $\mu(\emptyset)=0$.
{\бф \пурпле Действительно, $\mu (\emptyset)=\mu (\emptyset\coprod \emptyset)= 
\mu (\emptyset)+\mu (\emptyset)$.}


\newpage

{\bf \blue Метрика, построенная по мере}


\замечание
Рассмотрим множество $I_\mu$ всех $a\in A$ с $\mu(a)=0$.
{\бф \пурпле Легко видеть, что это булев идеал.} В самом деле,
$\mu (a \vee b) +  \mu(a\wedge b) = \mu(a) + \mu(b)=0$
для $a,b \in I_\mu$. К тому же, для любого $x$ и $a\in I_\mu$,
$x\wedge a \preccurlyeq a$, значит $\mu(x\wedge a)\leq \mu(a)=0$
в силу монотонности меры по отношению к 
частичному порядку.


\теорема
Пусть $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная мера
на булевой алгебре $A$, а $I_\mu$ -- идеал всех $a$ с
$\mu(a)=0$.  Определим отображение 
$d:\; (A/I_\mu)\times (A/I_\mu)\arrow [0, \infty]$
формулой $d(a,b):= \mu(a\triangle b)$, где
$\triangle$ обозначает симметрическую разность. {\бф \ред Тогда
$d$ задает метрику на $A/I_\mu$.} Более того, булевы
операции $\wedge, \vee$ и $\neg$ непрерывны
в топологии, заданной такой метрикой.

\дшаг
Симметричность и рефлексивность метрики очевидны.
Неравенство треугольника:
\[
d(a,b) + d(b, c) = \mu(a\triangle b) + 
\mu(b\triangle c) =  \geq  \mu(a)+ \mu(c) - \mu(a \cap b\cap c)
\geq \mu(a\triangle c) = d(a,c).
\]
Чтобы доказать непрерывность
$\wedge, \vee$ и $\neg$, достаточно доказать
непрерывность операций $\triangle,\cap=\wedge$ 
остальные через них выражаются. 

\newpage

{\bf \blue Метрика, построенная по мере (продолжение)}


\теорема
Пусть $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная мера
на булевой алгебре $A$, а $I_\mu$ -- идеал всех $a$ с
$\mu(a)=0$.  Определим отображение 
$d:\; (A/I_\mu)\times (A/I_\mu)\arrow [0, \infty]$
формулой $d(a,b):= \mu(a\triangle b)$, где
$\triangle$ обозначает симметрическую разность. {\бф \ред Тогда
$d$ задает метрику на $A/I_\mu$.} Более того, булевы
операции $\wedge, \vee$ и $\neg$ непрерывны
в топологии, заданной такой метрикой.


{\бф \греен Шаг 2:}
 Непрерывность
$\triangle$ очевидна, ибо для любой последовательности
$\{z_i\}$, сходящейся к $z$, имеем
\[ 
d(z_i\triangle y, z\triangle y)= \mu((z_i\triangle y) \triangle
(z\triangle y)) \leq \mu(z_i\triangle z) = d(z_i,z),
\]
значит, $z_i\triangle y$ сходится к $z\triangle y$.

Непрерывность $\wedge$ следует из того, что
$d(x\cap z_i,z\cap x) = \mu(x\cap (z_i\triangle z))\leq d(z,z_i)$,
в силу монотонности, значит, для любой
последовательности $\{z_i\}$, сходящейся к $z$,
последовательность  $x\wedge z_i$ сходится к $z\wedge x$.
\ендпрооф

\следствие
Пусть $A$ -- булево кольцо, снабженное 
неотрицательной, аддитивной мерой $\mu$,
$I_\mu$ -- идеал всех $a\in A$ с $\mu(a)=0$,
а $\hat A_\mu$ -- пополнение 
$A/I_\mu$ по метрике $d$, определенной выше.
{\бф \ред Тогда $\hat A_\mu$ -- тоже булево кольцо.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе $\sigma$-алгебры}


\определение
{\блуе $\sigma$-алгебра} есть булева алгебра подмножеств $S$,
замкнутая относительно счетных объединений.

\замечание
{\бф \пурпле Булева алгебра $(A, \preccurlyeq)$
является $\sigma$-алгеброй, если у каждого счетного
семейства элементов $A$ есть точная верхняя грань.}

\определение
Пусть $A\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств,
а $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная
мера. Мера $\mu$ называется {\бф\блуе $\sigma$-аддитивной,}
или же {\бф\блуе счетно-аддитивной},
если для любого покрытия $\bigcup X_i \supset X$
множества $X\in A$ счетным набором множеств,
имеет место $\mu(X) \leq \sum\mu(X_i)$.


\замечание
Пусть $A$ -- кольцо подмножеств, снабженное
счетно-аддитивной мерой. {\бф \пурпле Тогда
для каждого набора непересекающихся
множеств $X_i\in A$, имеет место
$\mu(\coprod X_i) = \sum \mu(X_i)$.}
В самом деле, $\coprod X_i$ содержит
любое конечное объединение $X_i$,
и, в силу монотонности меры, удовлетворяет
$\mu(\coprod X_i)\geq \sum_{i\in {\goth S}} \mu(X_i)$
для любого конечного (а значит, и бесконечного)
набора индексов $\goth S$. Это дает неравенство
$\mu(\coprod X_i) \geq \sum \mu(X_i)$
для любой аддитивной, неотрицательной меры. 
Обратное неравенство следует из 
$\sigma$-аддитивности.

\невпаге

{\бф \блуе $\sigma$-алгебра борелевских множеств}


\определение
{\бф\блуе $\sigma$-алгебра, порожденная набором подмножеств
$A\subset 2^S$}, есть кольцо подмножеств, порожденных
пересечениями, дополнениями и счетными объединениями
элементов $A$.


\утверждение
{\бф \пурпле Если $A\subset 2^{\R^n}$ -- алгебра многогранников, то 
порожденная ей $\sigma$-алгебра содержит
все открытые множества.} 

\доказательство 
Возьмем какое-то открытое множество $U\subset \R^n$
и представим его в виде счетного объединения компактов $K_i$
(докажите, что это возможно).  Каждая точка
$z\in U$ имеет шарообразную окрестность $U\ni z$, содержащуюся
в $U$; вписывая куб в шар, мы получим покрытие
$U$ многогранниками, содержащимися в $U$.
Выбирая конечное покрытие у каждого $K_i$,
мы получим счетное покрытие $U$ многогранниками.
\ендпрооф


\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
{\бф\блуе Борелевская $\sigma$-алгебра} есть $\sigma$-алгебра,
порожденная всеми открытыми множествами. 


\замечание\label{_borel_mnogo_Zamechanie_}
Мы только что доказали, что
{\бф \ред кольцо многогранников порождает 
борелевскую $\sigma$-алгебру.}

\невпаге

{\бф \блуе Пополнение булевой алгебры относительно меры}

\теорема
Пусть $A$ -- булева алгебра подмножеств $S$,
а $\mu$ конечно-аддитивная мера, такая,
что $\mu(S)$ конечно. {\бф \ред Тогда пополнение
$\hat A_\mu$ является $\sigma$-алгеброй.}


\дшаг
Пусть $X_1, X_2, ...$ -- счетный набор непересекающихся
элементов $\hat A_\mu$. Чтобы доказать,
что $A_\mu$ есть сигма-алгебра,
достаточно продемонстрировать, что у него есть точная
верхняя грань. {\бф \пурпле Если
последовательность $\{Y_n:=\bigcup_{i=1}^n X_i\}$ является последовательностью
Коши, ее предел и будет такой
точной верхней гранью.} Действительно,
$a_n:=d(Y_n, \bigcup_{i=1}^\infty X_i)= \sum_{i=0}^\infty d(Y_{n+i}, Y_{n+i+1})$
а $\lim_n a_n=0$ тогда и только тогда, когда
$Y_n$ -- последовательность Коши. 


{\бф \греен Шаг 2:}
Поскольку $\mu(S)$ конечно, ряд $\sum \mu(X_i)$
сходится. Значит, $a_n:=\mu\left(\bigcup_{i=n}^\infty X_i\right )$
стремится к нулю. С другой стороны, для $k<l$, имеем
\[
d(Y_k, Y_l)= \sum_{i=k}^l \mu(X_i) \leq a_k
\]
значит $\{Y_i\}$ -- последовательность Коши.
\ендпрооф



\невпаге

{\бф \блуе Измеримые множества}


\определение
Пусть $A\subset 2^S$ -- булева алгебра подмножеств $S$, снабженная
счетно-аддитивной, неотрицательной мерой $\mu$, 
а $R\subset S$ -- какое-то подмножество.
Мы говорим, что $R$ {\бф\блуе имеет меру 0},
если для каждого $\epsilon >0$,
множество $R$ можно покрыть счетным объединением
$X_i\in A$, с $\sum \mu(X_i) < \epsilon.$


\упражнение
Докажите, что 
{\бф \пурпле счетное объединение множеств меры 0 имеет меру 0.}

\определение
{\бф\блуе Алгебра измеримых множеств}
есть $\sigma$-алгебра в $\R^n$, порожденная борелевскими
множествами и множествами меры 0.

\замечание
{\бф \пурпле Множества меры нуль образуют булев идеал в
алгебре измеримых множеств} {\бф \ред  (докажите это).}


\невпаге

{\бф \блуе Мера Лебега}

\замечание
{\бф \блуе Псевдометрика} на $M$ есть функция 
$d:\; M \times M:\; \arrow \R^{\geq 0}\cup \infty$, удовлетворяющая
$d(x,y)= d(y, x)$, $d(x,x)=0$, $d(x,y) \leq d(y, z)+ d(x,z)$
(все те же условия, что у метрики, без строгой положительности).

\пример
Объем многогранника задает такую псевдометрику
на кольце многогранников: $d(X,Y)= \Vol(X\triangle Y)$.
 
\теорема
Пусть $A$ -- алгебра многогранников в единичном 
кубе, $\mu=\Vol$ объем многогранника, а $\hat A_\mu$ -- пополнение
$A/I_\mu$, построенное по псевдометрике  $d(X,Y)= \Vol(X\triangle Y)$.
{\бф \ред Тогда $\hat A_\mu$ изоморфно фактору $\hat A /I$ алгебры 
$\hat A$ измеримых множеств по идеалу множеств меры нуль.}

\доказательство
Достаточно доказать, что  в каждое открытое множество $U$
можно вписать последовательность увеличивающихся многогранников 
$U_i$, добиваясь, чтобы $\cup U_i=U$ {\бф \пурпле (проверьте это).}
\ендпрооф

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле функция $\Vol$ непрерывна (и даже 1-липшицева)
в топологии, заданной псевдометрикой, определенной выше.}

\определение
Функция $\Vol$, продолженная по непрерывности на 
алгебру измеримых множеств $\hat A_\mu$,
называется {\бф \блуе мера Лебега}. 



\невпаге

{\бф \блуе Свойства меры Лебега}



\замечание {\бф \пурпле Мера Лебега конечно-аддитивна:}
для имеем $\mu(A\coprod B)=\mu(A)+\mu(B)$.
Это равенство верно для многогранников, значит,
сохраняется при переходе к пополнению.

\замечание {\бф \пурпле Мера Лебега монотонна:}
для $A\subset B$, имеем $\mu(A)\leq \mu(B)$.
Это следует из ее конечной аддитивности и неотрицательности.

\определение
Конечно-аддитивная мера $\mu$ на $\sigma$-алгебре
называется {\бф \блуе $\sigma$-аддитивной}
или {\бф \блуе счетно-аддитивной}, если
$\mu (\coprod_i A_i) = \sum \mu(A_i)$.

\утверждение
{\бф \ред Мера Лебега $\sigma$-аддитивна.}

\дшаг
Если $\sum \mu(A_i)=\infty$, то $\mu (\coprod_i A_i)=\infty$
в силу монотонности $\mu$. 

{\бф \греен Шаг 2:}
Если  $\sum \mu(A_i)<\infty$, то
последовательность $B_n=\coprod_{i=0}^N A_i$ есть последовательность
Коши, потому что $\mu (B_n\triangle B_{n+k})= \sum_{i=0}^{k} \mu(B_{n+i})$,
а эта сумма стремится к нулю при $n \arrow \infty$.
Значит, $\mu (\coprod_i A_i)=\lim_i \mu(B_i)= \sum \mu(A_i)$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Измеримые функции}

\определение
{\бф\блуе Мера} на сигма-алгебре $A$ есть
счетно-аддитивная функция $A\arrow \R^{\geq 0}$.
{\бф\блуе Мера} на топологическом пространстве
есть мера на его борелевской алгебре.

\определение
Мера $\mu$ на $\sigma$-алгебре $A$ называется 
{\бф\блуе $\sigma$-конечной}, если 
для любого $Z\in A$, можно покрыть
$Z$ объединением $Z_i\in A$, $Z\subset \bigcup_{i\in \Z} Z_i$,
где все $Z_i$ имеют конечную меру.


\замечание
Мера Лебега, очевидно, $\sigma$-конечна.
{\бф \пурпле В дальнейшем все меры по умолчанию
предполагаются $\sigma$-конечными.}


\определение
Пусть $(M, \mu)$ есть пространство с 
заданной на нем мерой.
Функция $M\stackrel f\arrow \R$
называется {\бф\блуе измеримой}, если
прообраз каждого борелевского множества
измерим.

\замечание
Непрерывные функции измеримы.

\замечание
Композиция измеримых функций 
{\бф \ред не обязательно измерима} {\бф \пурпле (найдите контрпример
самостоятельно)}.



\невпаге

{\бф \блуе Определение интеграла}

\определение\label{_integral_axioms_Definition_}
Рассмотрим множество $V$ всех измеримых функций
на $(M, \mu)$ со значениями в $\R^{\geq 0}$. 
{\бф\блуе Интеграл Лебега},
или просто {\бф\блуе интеграл} 
есть функционал $V \stackrel {\int_\mu}\arrow [0, \infty]$,
обладающий следующими свойствами.\\ 
\phantom{АААА} 1. {\бф \блуе Линейность: }
$\int_\mu (f+g) = \int_\mu f + \int_\mu g$, 
и $\int_\mu \lambda f = \lambda \int_\mu f$
для любого $\lambda \in \R^{\geq 0}$. \\ \phantom{АААА}
2. {\бф \блуе Неотрицательность: } 
$\int_\mu f\geq 0$ для каждой функции $f\geq 0$, причем
равенство имеет место только если $f=0$ вне множества
меры 0. \\ \phantom{АААА}
3. {\бф \блуе Совместимость с мерой:} если $\chi$ -- характеристическая
функция измеримого множества $Z$ с конечной мерой,
то $\int_\mu \chi = \mu(Z)$. \\ \phantom{АААА}
4. {\бф \блуе $\sigma$-аддитивность:} если
$f = \sum_{i=0}^\infty f_i$ -- разложение функции в бесконечную сумму
неотрицательных функций,
то $\int_\mu f = \sum_i \int_\mu f_i$.

\теорема
{\бф \ред Интеграл существует, и определен однозначно, исходя
из этих четырех аксиом.}

{\it \греен (доказательство будет дальше.)}


\невпаге

{\бф \блуе Определение интеграла (продолжение)}



\определение
{\бф\блуе Интеграл измеримой функции} $f:\; M \arrow \R$
определяется как 
\[ \int_\mu f = \frac 1 2 \left[\int_\mu(|f| + f) - 
   \int_\mu(|f| - f)\right].
\] {\бф \ред Эта формула задает линейный функционал
на пространстве всех измеримых функций, для которых $\int_\mu |f|$
конечен} {\бф \пурпле (проверьте это).} Интеграл принимает конечное
значение, если оба члена в квадратных
скобках конечны, он равен $\infty$ если первый
из них бесконечен, а второй конечен, и $-\infty$,
если первый конечен, а второй бесконечен.
Если они оба равны $\infty$, интеграл не определен.

\невпаге

{\бф \блуе Ступенчатые функции}

\определение
{\бф\блуе Ступенчатая функция} на множестве с заданной на
нем $\sigma$-алгеброй $\goth A$ есть функция $f$, принимающая
счетное (или конечное) число значений, причем
$f^{-1}(c)$ лежит в $\goth A$ для любого $c$.

\определение
Пусть $f:\; M \arrow \R^{\geq 0}$ -- ступенчатая
функция на пространстве $(M, \mu)$ с мерой, $\{c_i\}$ --
множество ее значений, а $Z_i:= f^{-1}(c_i)$ -- 
соответствующие подмножества $M$. Определим
{\бф\блуе интеграл $f$} как сумму
$\int_\mu f:= \sum_i c_i \mu(Z_i)$.
Интеграл принимает значения в $[0, \infty]$.



\замечание
Интегралы ступенчатых функций
{\бф \ред удовлетворяют условиям 1-4 из определения
интеграла} {\бф \пурпле (проверьте это).}

\невпаге

{\бф \блуе $L^1$-норма}


\определение
{\бф\блуе Почти всюду} значит "вне множества меры 0".


\определение
Определим {\бф\блуе $L^1$-норму} на пространстве
ступенчатых функций формулой $\Vert f\Vert := \int_\mu |f|.$
Она принимает значения в $[0, \infty]$.
Определим {\бф\блуе $L^1$-метрику} формулой
$d(f,g):= \Vert f-g\Vert $.


\замечание
На самом деле $L^1$-норма и $L^1$-метрика 
не являются нормой и метрикой на пространстве
ступенчатых функций: они зануляются
на функциях, которые равны нулю почти всюду. 
Нормы и метрики, которым разрешается зануляться,
называются {\бф \блуе псевдометрики} и {\бф \блуе псевдонормы}.
Корректнее было бы сказать, что 
{\бф \блуе $\Vert f\Vert := \int_\mu |f|$ это псевдонорма,}
задающая {\бф \пурпле норму
 на факторпространстве ступенчатых
функций по пространству ступенчатых функций, которые 
равны нулю почти всюду. }

\невпаге

{\бф \блуе Равномерная сходимость}


\определение
Пусть $f_i:\; M \arrow \R$ -- последовательность функций.
Напомним, что $f_i$ {\бф\блуе равномерно сходится} к $f:\; M \arrow \R$,
если для каждого $\epsilon>0$ найдется $N$ такой, что
$|f-f_i| <\epsilon$ при $i>N$.


\предложение
Пусть $f$ -- измеримая функция на пространстве $M$
с $\sigma$-алгеброй. {\бф \ред Тогда существует последовательность
$\{f_i\}$ ступенчатых функций, $f_1\leq f_2\leq f_3 \leq ...$
которая равномерно сходится к $f$.} Если, к тому же, само пространство
$M$ имеет конечную меру, то
$f_i$ есть последовательность
Коши относительно $L^1$-метрики, и все такие последовательности
Коши эквивалентны.


{\бф\греен Доказательство:} 
Обозначим за $f_n$ функцию вида
$x\stackrel {f_n}\arrow \frac 1 {2^n} [2^nf(x)]$, где $[\cdot]$ обозначает
целую часть. {\бф \пурпле Тогда $f_n$ равномерно сходится к $f$.} \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Существование и единственность интеграла}



\определение
Пусть $f$ -- измеримая функция на пространстве $M$
с $\sigma$-алгеброй и сигма-аддитивной мерой $\mu$,
такой, что $\mu(M)< \infty$.
{\бф \блуе Определим $\int_\mu f$ как $\lim_i \int_\mu f_i$,
где $\{f_i\}$ -- последовательность ступенчатых функций,
равномерно сходящихся к $f$.}

\замечание
$\int_\mu f$ не зависит от выбора аппроксимирующей
последовательности $f_i$. Действительно, каждая такая
$f_i$ является последовательностью Коши в норме $L^1$,
следовательно, {\бф \пурпле $\int_\mu f$ получается как продолжение
$L^1$-нормы на метрическое пополнение пространства
ступенчатых функций.}

\замечание
Таким образом определенный интеграл
{\бф \пурпле $f\to \int_\mu f$ удовлетворяет условиям 1--4 из
определения интеграла,} потому что ступенчатые
функции им удовлетворяют, а при переходе к пополнению
эти условия сохраняются.


\замечание
Единственность интеграла, заданного условиями 1--4, 
тоже очевидна. В самом деле, если $0 \leq f-f_i \leq \epsilon$, имеем
$0\leq \int_\mu (f-f_i) \leq\epsilon \mu(M)$,
а значит, $\lim_i \int_\mu f_i=\int_\mu f$. Но 
$\int_\mu f_i$ задан условиями 1--4 однозначно,
потому что $f_i$ ступенчатая.

{\бф \ред Мы доказали существование и единственность интеграла.}






\end{document}

