   

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\6{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория меры, лекция 3:\\[2mm] Булевы алгебры}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 28 февраля, 2015\\ матфак ВШЭ и НМУ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

{\bf \blue Решетки}


\определение
Пусть $(M, \succcurlyeq)$ -- частично упорядоченное множество,
а $S$ -- его подмножество. {\бф\блуе Верхняя грань}
$\inf S$ есть элемент $m\in M$, который удовлетворяет
$m\succcurlyeq s$ для каждого $s\in S$.
{\бф\блуе  Точная верхняя грань} $\sup S$ есть такая верхняя
грань $m\in M$, что для любой другой верхней грани
$m'$ имеем $m\preccurlyeq m'$. Аналогично
определяется {\бф\блуе  точная нижняя грань} $\inf S$.

\замечание
{\бф \пурпле ТВГ и ТНГ не всегда существуют.}


\определение
{\bf\блуе Решетка}  это частично упорядоченное множество $S$
такое, что для любых $s, s'\in S$ существует
точная верхняя грань $s\vee s'$ и
точная нижняя грань $s\wedge s'$.


\пример
{\бф \пурпле 
Множество $2^S$ подмножеств множества $S$, упорядоченных по включению,
образует решетку.}

\замечание
Эти операции удовлетворяют следующим условиям 
\\ \phantom{knut zaebal suka} \ \ \ \ {\бф \пурпле (докажите это).}\\
(*) Идемпотентность:
$a\wedge a = a \vee a =a$. \\
(**) Коммутативность:
$a\wedge b = b\wedge a, a\vee b = b\vee a$. \\
(***) Ассоциативность:
$a\wedge (b\wedge c) = (a\wedge b)\wedge c$, 
$a\vee (b\vee c) = (a\vee b)\vee c$. \\
(****) Абсорбция: $a \vee (a\wedge b) = a$,
$a \wedge (a\vee b) = a$.


\newpage

{\bf \blue Булевы алгебры}


\замечание
Пусть $(A, \vee, \wedge)$ множество, снабженное операциями $\vee, \wedge$,
удовлетворяющими (*)-(****). Определим частичный порядок на $A$
таким образом, что $x\preccurlyeq y$ когда $x \wedge y=y$ (в силу абсорбции, 
это эквивалентно $x \vee y=x$). {\бф \пурпле Тогда $(A, \preccurlyeq)$
это решетка} (проверьте это).

\определение
{\бф \блуе Единицей} решетки называется максимальный элемент,
{\бф\блуе нулем} -- минимальный. 
{\бф \блуе Дополнением} $\neg x$ для элемента решетки $x\in A$
называется такой $y\in A$, что $x\wedge y=0$, $x\vee y=1$

\определение
{\бф\блуе Булева алгебра}
есть решетка $A$, допускающая единицу, нуль и операцию дополнения,
и удовлетворяющая следующей {\бф \блуе аксиоме дистрибутивности:}
\[ (a\vee b)\wedge c = (a\wedge c) \vee (a\wedge c),
\ \ \ (a\wedge b)\vee c = (a\vee c) \wedge (b\vee c).
\]
\замечание
Из одной формулы для дистрибутивности,
приведенной выше, выводится другая {\бф \пурпле (проверьте это)}.

\newpage


{\em\small ...То, что символические процессы, изобретенные алгебраистами для
численных вычислений, окажутся применимы для выражения каждого
хода мысли, и предоставят грамматику и словарь для всеобъемлющей
логической системы, казалось невероятным, пока это не было доказано.
Когда Гоббс опубликовал свою книгу "Вычисление или логика", он
наблюдал отдаленный отблеск некоторых идей, из тех, которые были 
освещены в трудах мистера Буля... (Август де Морган)


\begin{center}
\epsfig{file=boole-3-600.jpg,width=0.29\linewidth}\\
George Boole\\ (2 November 1815 -- 8 December 1864)
\end{center}}

\newpage

{\bf \blue Идемпотенты в кольце}

\определение
{\бф \блуе Идемпотент} кольца есть элемент, который
удовлетворяет $a^2=a$.

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле $x$ является идемпотентом тогда и только тогда,
когда $1-x$ -- идемпотент.}

\замечание
Если $x,y$ -- идемпотенты в кольце,
то $xy$, $1-x$ и $1-y$ -- тоже идемпотенты.
{\бф \пурпле Значит, $x + y - xy = 1 - (1-x)(1-y)$ -- идемпотент.}

\упражнение
Пусть $R$ -- кольцо, а $S$ -- множество всех идемпотентов в $R$.
Определим соотношение $\preccurlyeq$ на $S$ следующим образом:
$x \preccurlyeq y$, если $xy=x$. {\бф \пурпле Докажите, что это отношение
частичного порядка.}

\newpage

{\bf \blue Идемпотенты и решетки}

\упражнение
Пусть $R$ -- кольцо, а $S$ -- множество всех идемпотентов в $R$.
Определим соотношение $\preccurlyeq$ на $S$ следующим образом:
$x \preccurlyeq y$, если $xy=x$. {\бф \пурпле Докажите, что это отношение
частичного порядка.}

\утверждение
Пусть $R$ -- кольцо. Тогда {\бф \ред идемпотенты с вышеописанным отношением
порядка образуют решетку,} где операции записываются так:
$x \wedge y= xy$, и $x \vee y= x+y-xy$.

\дшаг
Нужно доказать только, что $x, y \arrow xy$ дает ТНГ, а 
$x, y \arrow x+y-xy$ дает ТВГ.
Если $z\preccurlyeq x, y$, то $zx=z, zy=z$ значит $zxy=z$,
что дает $z\preccurlyeq xy$. {\бф \пурпле 
Поэтому $x, y \arrow xy$ это ТНГ.}

{\бф \греен Шаг 2:} Чтобы получить ТВГ, рассмотрим такую
инволюцию в множестве $I$ идемпотентов: $x\arrow 1-x$.
Эта инволюция меняет порядок на противоположный, потому что
если $xy=x$, то $(1-x)(1-y)= 1-x -y +xy =1-y$.
Также она меняет $\vee$ и $\wedge$. {\бф \пурпле Поэтому она делает
из ТНГ ТВГ и наоборот.} \ендпрооф

\newpage

{\bf \blue Булевы кольца}

\определение
{\бф \блуе Булево кольцо} 
есть кольцо, все элементы которого - идемпотенты.

\замечание {\бф \пурпле
В булевом кольце $1+1=0$.} Действительно,
$(1+1)^2 = 1+1+1+1=1+1$.

\теорема
{\бф \блуе (Маршалл Стоун)}\\
Пусть $R$ -- булево кольцо.
{\бф \ред Тогда его решетка идемпотентов -- булева
алгебра.} Более того, {\бф \ред любая булева алгебра 
получается таким образом.}

\дшаг
Наличие единицы, нуля и дополнения
в такой решетке очевидно: 1 есть 1 кольца,
0 есть 0, а дополнение к $x$ это $1-x$.
 Чтобы проверить дистрибутивность,
вычисляем
\begin{align*}
(a\wedge c) \vee (a\wedge c) = &
ac +bc +abc = (a\vee b)\wedge c,\\
(a\vee c) \wedge (b\vee c) = &(a+c+ac)(b+c+bc)=
ab +ac +abc + bc +c +bc + ac + 2 abc = \\ = &ab+ac+abc= 
(a\wedge b)\vee c.
\end{align*}

\newpage

{\bf \blue Булевы кольца (продолжение)}


\теорема
{\бф \блуе (Маршалл Стоун)}\\
Пусть $R$ -- булево кольцо.
{\бф \ред Тогда его решетка идемпотентов -- булева
алгебра.} Более того, {\бф \ред любая булева алгебра 
получается таким образом.}


{\бф \греен Шаг 2:}
 Чтобы доказать, что
каждая булева алгебра получается таким образом,
напишем произведение
формулой $xy:= x\wedge y$, а сумму $x+y:= x\triangle y$,
где $x\triangle y:= (x\vee y) \wedge \neg(x\wedge y)$
обозначает операцию в булевой алгебре, известную как
"симметрическая разность" или же "исключающее ИЛИ".
Ассоциативность и коммутативность умножения
очевидна, а равно и коммутативность симметрической
разности. Единица и 0 в булевом кольце
те же, что и в алгебре. 
Дистрибутивность умножения следует из 
дистрибутивности $\wedge$ и $\vee$, но проверка
чуть менее тривиальна.

Вместо прямого вычисления (которое элементарно,
но не слишком красиво) я применю чуть более
концептуальный аргумент, основанный на понятии
идеала в булевой алгебре.

\newpage

{\bf \blue Булевы идеалы}


\определение
Пусть $A$ -- булева алгебра, а $I\subsetneq A$ -- подмножество
в $A$. Оно назывется {\бф\блуе идеалом}, если $I$ замкнуто
относительно операций $\vee$, $\wedge$ и $\neg$,
и для каждых $a\in A, \xi \in I$, имеет место $a\wedge\xi \in I$.


\замечание
Отметим, что если булева алгебра $A$ построена 
по булеву кольцу $R$, то {\бф \пурпле булевы идеалы в $A$ -- то же самое,
что обычные идеалы в кольце $R$} {\бф \ред (проверьте).}


\определение
Пусть $I\subsetneq A$ -- булев идеал. Определим
такое соотношение в $A$: $x\sim_I y$, если
для каких-то $\xi, \xi' \in I$,
имеем $x\vee \xi = y\vee \xi'$.

\замечание
{\бф \пурпле $\sim$ -- соотношение эквивалентности,
и на факторе $A/\sim_I$ возникает естественная
структура булевой алгебры} {\бф \ред (проверьте это).}
Такая булева алгебра называется {\бф\блуе фактор-алгеброй
по булеву идеалу $I$}, и обозначается $A/I$.

\замечание
{\бф \пурпле Булевы идеалы в $A/I$
взаимно-однозначно соответствуют булевым идеалам в $A$,
содержащим $I$} {\бф \ред (проверьте это).}

\newpage

{\bf \blue Максимальные идеалы}



\определение
Булев идеал $I\subset A$ называется {\бф\блуе максимальным},
если $I\neq A$, и не существует иделов $I'$, промежуточных
между $I$ и $A$, то есть удовлетворяющих
$I\subsetneq I' \subsetneq A$.

\пример
Пусть $A, \preccurlyeq$ -- булева алгебра, а
$a\in A$ -- какой-то неединичный элемент. {\бф \пурпле Тогда
множество $I_a:=\{ b\in A \ \ | \ \ b \preccurlyeq a \}$
есть идеал в $A$.}

\определение Такой идеал называется {\бф \блуе главным идеалом}.

\утверждение
{\бф \ред Если $I\subset A$ -- максимальный идеал, 
то булева алгебра $A/I$ состоит из двух элементов.}

\доказательство 
Если в $A\backslash I$ есть неединичный, ненулевой элемент $t$,
тогда $I_t$ -- нетривиальный идеал в $A/I$, а его прообраз
в $A$ удовлетворяет $I\subsetneq I' \subsetneq A$.
\ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Вложение булевой алгебры в функции на ее спектре}

\лемма
Пусть $A$ -- булева алгебра, а $x\in A$ -- ненулевой элемент.
Тогда {\bf \ред существует максимальный идеал, не содержащий $x$.}

\доказательство
Это максимальный идеал, содержащий $\neg x$.
\ендпрооф

\теорема
Пусть $A$ -- булева алгебра, а ${\goth S}$ -- множество
всех максимальных идеалов $A$. Рассмотрим произведение
булевых алгебр $\prod_{I\in {\goth S}} A/I$
и пусть $A\stackrel \Psi \arrow \prod_{I\in {\goth S}} A/I$ --
естественное отображение. {\бф \ред Тогда $\Psi$ есть 
инъективный гомоморфизм булевых алгебр.}

\доказательство
В силу леммы Цорна, каждый неединичный элемент
булевой алгебры содержится в максимальном идеале,
В силу предыдущей леммы, каждый ненулевой
элемент лежит вне другого максимального идеала.
Поэтому $\Psi$ инъективен.
\ендпрооф


\замечание
{\бф \ред Теперь мы можем доказать 
теорему об эквивалентности булевых алгебр и колец.}
Чтобы завершить ее доказательство, нам
нужно было проверить два тождества
в булевых алгебрах: ассоциативность
симметрической разности, и дистрибутивность
$\wedge$ относительно симметрической разности.
{\бф \пурпле В булевой алгебре из двух элементов эти тождества
тривиально выполняются (проверьте), а в силу предыдущего
утверждения, этого уже достаточно.}



\newpage

{\bf \blue Неотрицательные меры}


Пусть задано множество $S$. Множество всех подмножеств
$S$ обозначается $2^S$. Оно снабжено естественной структурой
булевой алгебры. Зафиксируем 
булеву подалгебру ${\goth U}\subset 2^S$.

\замечание
{\бф \блуе На множестве $\R  \cup \{\infty\}$
определена операция
сложения, таким образом, что $x+\infty = \infty$
и $\infty + \infty = \infty$. }

\определение
Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R \cup \{\infty\}$
называется {\бф\блуе конечно-адди\-тивной мерой},
если для любых непересекающихся 
$A, B\in {\goth U}$, $\mu(A\coprod B) = \mu(A)+\mu(B)$.
Мера называется {\бф\блуе  неотрицательной}, если
к тому же $\mu(A)\geq 0$, для любого $A$.

%\замечание
%На протяжении этой лекции, я буду считать, что {\бф \пурпле все
%меры неотрицательны и ко\-неч\-но-\-ад\-ди\-тивны.}

\замечание
Из неотрицательности следует, что $\mu$ монотонна по отношению
к частичному порядку: {\бф \пурпле если $a \subset b$, 
то $\mu(a)\leq \mu(b)$ (проверьте).}

\замечание
Также из аддитивности следует, что $\mu(\emptyset)=0$.
{\бф \пурпле Действительно, $\mu (\emptyset)=\mu (\emptyset\coprod \emptyset)= 
\mu (\emptyset)+\mu (\emptyset)$.}


\newpage

{\bf \blue Метрика, построенная по мере}


\замечание
Рассмотрим множество $I_\mu$ всех $a\in A$ с $\mu(a)=0$.
{\бф \пурпле Легко видеть, что это булев идеал.} В самом деле,
$\mu (a \vee b) +  \mu(a\wedge b) = \mu(a) + \mu(b)=0$
для $a,b \in I_\mu$. К тому же, для любого $x$ и $a\in I_\mu$,
$x\wedge a \preccurlyeq a$, значит $\mu(x\wedge a)\leq \mu(a)=0$
в силу монотонности меры по отношению к 
частичному порядку.


\теорема
Пусть $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная мера
на булевой алгебре $A$, а $I_\mu$ -- идеал всех $a$ с
$\mu(a)=0$.  Определим отображение 
$d:\; (A/I_\mu)\times (A/I_\mu)\arrow [0, \infty]$
формулой $d(a,b):= \mu(a\triangle b)$, где
$\triangle$ обозначает симметрическую разность. {\бф \ред Тогда
$d$ задает метрику на $A/I_\mu$.} Более того, булевы
операции $\wedge, \vee$ и $\neg$ непрерывны
в топологии, заданной такой метрикой.

\дшаг
Симметричность и рефлексивность метрики очевидны.
Неравенство треугольника:
\[
d(a,b) + d(b, c) = \mu(a\triangle b) + 
\mu(b\triangle c) =  \geq  \mu(a)+ \mu(c) - \mu(a \cap b\cap c)
\geq \mu(a\triangle c) = d(a,c).
\]
Чтобы доказать непрерывность
$\wedge, \vee$ и $\neg$, достаточно доказать
непрерывность операций $\triangle,\cap=\wedge$ 
остальные через них выражаются. 

\newpage

{\bf \blue Метрика, построенная по мере (продолжение)}


\теорема
Пусть $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная мера
на булевой алгебре $A$, а $I_\mu$ -- идеал всех $a$ с
$\mu(a)=0$.  Определим отображение 
$d:\; (A/I_\mu)\times (A/I_\mu)\arrow [0, \infty]$
формулой $d(a,b):= \mu(a\triangle b)$, где
$\triangle$ обозначает симметрическую разность. {\бф \ред Тогда
$d$ задает метрику на $A/I_\mu$.} Более того, булевы
операции $\wedge, \vee$ и $\neg$ непрерывны
в топологии, заданной такой метрикой.


{\бф \греен Шаг 2:}
 Непрерывность
$\triangle$ очевидна, ибо для любой последовательности
$\{z_i\}$, сходящейся к $z$, имеем
\[ 
d(z_i\triangle y, z\triangle y)= \mu((z_i\triangle y) \triangle
(z\triangle y)) \leq \mu(z_i\triangle z) = d(z_i,z),
\]
значит, $z_i\triangle y$ сходится к $z\triangle y$.

Непрерывность $\wedge$ следует из того, что
$d(x\cap z_i,z\cap x) = \mu(x\cap (z_i\triangle z))\leq d(z,z_i)$,
в силу монотонности, значит, для любой
последовательности $\{z_i\}$, сходящейся к $z$,
последовательность  $x\wedge z_i$ сходится к $z\wedge x$.
\ендпрооф

\следствие
Пусть $A$ -- булево кольцо, снабженное 
неотрицательной, аддитивной мерой $\mu$,
$I_\mu$ -- идеал всех $a\in A$ с $\mu(a)=0$,
а $\hat A_\mu$ -- пополнение 
$A/I_\mu$ по метрике $d$, определенной выше.
{\бф \ред Тогда $\hat A_\mu$ -- тоже булево кольцо.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе $\sigma$-алгебры}



\определение
{\блуе $\sigma$-алгебра} есть булева алгебра подмножеств $S$,
замкнутая относительно счетных объединений.

\замечание
{\бф \пурпле Булева алгебра $(A, \preccurlyeq)$
является $\sigma$-алгеброй, если у каждого счетного
семейства элементов $A$ есть точная верхняя грань.}

%\замечание 
%{\бф \пурпле Это равносильное определение $\sigma$-алгебры}
%(докажите).


\определение
Пусть $A\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств,
а $\mu$ -- конечно-аддитивная, неотрицательная
мера. Мера $\mu$ называется {\бф\блуе $\sigma$-аддитивной,}
или же {\бф\блуе счетно-аддитивной},
если для любого покрытия $\bigcup X_i \supset X$
множества $X\in A$ счетным набором множеств,
имеет место $\mu(X) \leq \sum\mu(X_i)$.


\замечание
Пусть $A$ -- кольцо подмножеств, снабженное
счетно-аддитивной мерой. {\бф \пурпле Тогда
для каждого набора непересекающихся
множеств $X_i\in A$, имеет место
$\mu(\coprod X_i) = \sum \mu(X_i)$.}
В самом деле, $\coprod X_i$ содержит
любое конечное объединение $X_i$,
и, в силу монотонности меры, удовлетворяет
$\mu(\coprod X_i)\geq \sum_{i\in {\goth S}} \mu(X_i)$
для любого конечного (а значит, и бесконечного)
набора индексов $\goth S$. Это дает неравенство
$\mu(\coprod X_i) \geq \sum \mu(X_i)$
для любой аддитивной, неотрицательной меры. 
Обратное неравенство следует из 
$\sigma$-аддитивности.

\невпаге

{\бф \блуе $\sigma$-алгебра борелевских множеств}



\определение
{\бф\блуе $\sigma$-алгебра, порожденная набором подмножеств
$A\subset 2^S$}, есть кольцо подмножеств, порожденных
пересечениями, дополнениями и счетными объединениями
элементов $A$.


\утверждение
{\бф \пурпле Если $A\subset 2^{\R^n}$ -- алгебра многогранников, то 
порожденная ей $\sigma$-алгебра содержит
все открытые множества.} 

\доказательство 
Возьмем какое-то открытое множество $U\subset \R^n$
и представим его в виде счетного объединения компактов $K_i$
(докажите, что это возможно).  Каждая точка
$z\in U$ имеет шарообразную окрестность $U\ni z$, содержащуюся
в $U$; вписывая куб в шар, мы получим покрытие
$U$ многогранниками, содержащимися в $U$.
Выбирая конечное покрытие у каждого $K_i$,
мы получим счетное покрытие $U$ многогранниками.
\ендпрооф


\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
{\бф\блуе Борелевская $\sigma$-алгебра} есть $\sigma$-алгебра,
порожденная всеми открытыми множествами. 


\замечание\label{_borel_mnogo_Zamechanie_}
Мы только что доказали, что
{\бф \ред кольцо многогранников порождает 
борелевскую $\sigma$-алгебру.}

\невпаге

{\бф \блуе Пополнение булевой алгебры относительно меры}

\теорема
Пусть $A$ -- булева алгебра подмножеств $S$,
а $\mu$ конечно-аддитивная мера, такая,
что $\mu(S)$ конечно. {\бф \ред Тогда пополнение
$\hat A_\mu$ является $\sigma$-алгеброй.}


\дшаг
Пусть $X_1, X_2, ...$ -- счетный набор непересекающихся
элементов $\hat A_\mu$. Чтобы доказать,
что $A_\mu$ есть сигма-алгебра,
достаточно продемонстрировать, что у него есть точная
верхняя грань. {\бф \пурпле Если
последовательность $\{Y_n:=\bigcup_{i=1}^n X_i\}$ является последовательностью
Коши, ее предел и будет такой
точной верхней гранью.} Действительно,
$a_n:=d(Y_n, \bigcup_{i=1}^\infty X_i)= \sum_{i=0}^\infty d(Y_{n+i}, Y_{n+i+1})$
а $\lim_n a_n=0$ тогда и только тогда, когда
$Y_n$ -- последовательность Коши. 


{\бф \греен Шаг 2:}
Поскольку $\mu(S)$ конечно, ряд $\sum \mu(X_i)$
сходится. Значит, $a_n:=\mu\left(\bigcup_{i=n}^\infty X_i\right )$
стремится к нулю. С другой стороны, для $k<l$, имеем
\[
d(Y_k, Y_l)= \sum_{i=k}^l \mu(X_i) \leq a_k
\]
значит $\{Y_i\}$ -- последовательность Коши.
\ендпрооф



\невпаге

{\бф \блуе Измеримые множества}


\определение
Пусть $A\subset 2^S$ -- булева алгебра подмножеств $S$, снабженная
счетно-аддитивной, неотрицательной мерой $\mu$, 
а $R\subset S$ -- какое-то подмножество.
Мы говорим, что $R$ {\бф\блуе имеет меру 0},
если для каждого $\epsilon >0$,
множество $R$ можно покрыть счетным объединением
$X_i\in A$, с $\sum \mu(X_i) < \epsilon.$


\упражнение
Докажите, что 
{\бф \пурпле счетное объединение множеств меры 0 имеет меру 0.}

\определение
{\бф\блуе Алгебра измеримых множеств}
есть $\sigma$-алгебра в $\R^n$, порожденная борелевскими
множествами и множествами меры 0.

\замечание
{\бф \пурпле Множества меры нуль образуют булев идеал в
алгебре измеримых множеств} {\бф \ред  (докажите это).}





\end{document}

