   

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, epstopdf}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\6{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория меры, лекция 2:\\[2mm] третья проблема Гильберта}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 21 февраля, 2015\\ матфак ВШЭ и НМУ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

{\bf \blue Кольцо многогранников (повторение)}

\определение
Пусть задано множество $S$. Множество всех подмножеств
$S$ обозначается $2^S$. Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ - некоторый набор
подмножеств $S$. $\goth U$ называется {\бф\блуе кольцом},
если для любых $A, B\in {\goth U}$, объединение $A\cup B$,
пересечение $A\cap B$ и дополнение $A\backslash B$
принадлежит ${\goth U}$. В этом случае ${\goth U}$
называется {\бф\блуе подкольцом} в $2^S$. 

\определение
Пусть ${\goth V}\subset 2^S$ - произвольный
набор подмножеств. Минимальное подкольцо в $2^S$,
содержащее ${\goth V}$, называется 
{\бф \блуе подкольцом, порожденным ${\goth V}$}.


\определение
Пусть задано подмножество $S\subset \R^n$.
{\бф\блуе Выпуклой оболочкой} $S$ называется
пересечение всех выпуклых подмножеств $\R^n$, 
содержащих $S$.

\определение
{\бф\блуе Симплексом} в $\R^n$ называется выпуклая
оболочка множества $\{ x_0, ... x_n\}$ из $n+1$ точек
в $\R^n$. Такой симплекс называется {\бф \блуе натянутым на точки
$x_0, ... x_n$}.


\определение
{\бф \блуе Кольцо полиэдров (многогранников)} есть
кольцо подмножеств в $\R^n$, порожденное
замкнутыми симплексами. {\бф \блуе Многогранником} называется 
элемент этого кольца.


\newpage

{\бф \блуе Разрезание многогранников}

\определение
{\бф \блуе Вырожденный симплекс} есть симплекс, лежащий
в какой-то гиперплоскости. {\бф \блуе Вырожденный многогранник}
есть элемент кольца подмножеств, порожденного 
вырожденными симплексами.

\определение
Многогранник называется {\бф\блуе приведенным},
если он является замыканием открытого многогранника.

\замечание
{\бф \пурпле В дальнейшем все многогранники предполагаются
по умолчанию приведенными.}

\определение
{\бф \блуе Разрезание} приведенного многогранника есть разбиение его 
замыкания в объединение многогранников $A_1, ..., A_n$
таким образом, что  все пересечения $A_i\cup A_j$, $i\neq j$
вырождены.

\определение
{\бф \блуе Триангуляция} многогранника есть разрезание его
на симплексы.

\newpage

{\bf \blue Конечно-аддитивные функции (повторение)}


\определение
Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств.
Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R$ называется
{\бф\блуе аддитивной}, или {\бф\блуе конечно-аддитивной}, если для любых
$A, B\in {\goth U}$, которые не пересекаются,
имеет место $\mu(A\coprod B)= \mu(A) + \mu(B)$
(объединение непересекающихся подмножеств
обозначают $A\coprod B$).

\замечание
Конечная аддитивность функции $\mu$ равносильно
выполнению соотношения
\[
   \mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B).
\]
{\бф \пурпле (докажите это)!}

\определение
Два подмножества называются {\бф\блуе конгруэнтными},
если одно в другое  можно перевести 
движением. Валюация $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$
называется {\бф\блуе инвариантной относительно движений}, если
$\mu(A)=\mu(B)$ для конгруэнтных
фигур $A, B\subset \R^n$.


\определение
{\бф \блуе Объем многогранника} есть конечно-аддитивная,
неотрицательная, ненулевая функция на кольце многогранников,
инвариантная относительно движений, зануляющаяся
на вырожденных многогранниках, и равная 1 на единичном кубе.

\newpage

{\bf \blue Равносоставленность}

\определение
Два многогранника $M, M'$ называются {\бф\блуе равносоставленными},
если они допускают разрезаниe на многогранники вида
$M=\bigcup A_i$, $M'=\bigcup A_i'$, причем $A_i$ и $B_i$
конгруэнтны.

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле 
равносоставленность есть отношение эквивалентности.}

\определение
Два многогранника называются {\бф\блуе равновеликими},
если они имеют одинаковый объем. 

\замечание
Легко видеть, что равносоставленные многогранники равновелики.
Обратное утверждение: "верно ли, что равновеликие многогранники
равносоставлени"? составляет "Третью проблему Гильберта" (1900).
Она была решена Максом Деном в 1901. 

\теорема
{\бф \блуе (Макс Ден)} \\
{\бф \ред Куб в $\R^3$ не равносоставлен равностороннему
тетраэдру того же объема.}

\newpage


\begin{center}
\epsfig{file=Max_Dehn.jpg,width=0.45\linewidth}\\
Max Dehn\\ (November 13, 1878 -- June 27, 1952)
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Третья проблема Гильберта}

{\it\пурпле ...Гаусс в двух своих письмах к Герлингу
выражает сожаление по поводу того, что некоторые
известные положения стереометрии зависят от метода исчерпывания,
т.е., говоря современным языком, от аксиомы непрерывности
(или от аксиомы Архимеда). 

Гаусс специально отмечает теорему Евклида, согласно
которой объемы треугольных пирамид, имеющих равные высоты,
относятся как площади их оснований. Аналогичная задача
планиметрии ныне полностью решена. Герлингу удалось также
доказать равенство объемов симметричных многогранников 
при помощи разбиения их на конгруэнтные части. 

Тем не менее, как мне кажется, в общем случае доказательство
упомянутой теоремы Евклида этим способом провести невозможно
и это, по-видимому, может быть подтверждено строгим доказательством
невозможности.

Такое доказательство можно было бы получить, если
бы удалось указать такие два тетраэдра с равными основаниями
и равными высотами, которые никаким способом не могут
быть разложены на конгруэнтные тетраэдры и которые
также не могут быть дополнены конгруэнтными тетраэдрами
до таких многогранников, для которыхй разложение
на конгруэнтные тетраэдры невозможно.
}

\невпаге


\begin{center}
\epsfig{file=hilbert4.jpg,width=0.55\linewidth}\\
David Hilbert \\ (January 23, 1862 -- February 14, 1943)
\end{center}


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Бойяи-Гервина}

В $\R^2$ равносоставленность следует из равновеликости. 
Напомню, что {\бф \блуе многоугольник} это многогранник на плоскости $\R^2$

\теорема
{\бф \блуе (теорема Бойяи-Гервина)} \\
{\бф \ред Равновеликие многоугольники равносоставлены.}

\замечание
Эта теорема доказана независимо Уильямом Уоллесом в 1807,
отцом Яноша Бойяи Фаркашем Бойяи в 1833, и Полем Гервином в 1835-м.

Мы выведем эту теорему из следующей леммы.

\лемма
{\бф \ред Любой треугольник 
равносоставлен прямоугольнику той же площади.}

\невпаге

{\бф \блуе Равносоставленность треугольников}


\лемма
{\бф \ред Любой треугольник 
равносоставлен прямоугольнику той же площади.}\\
{\смалл \begin{minipage}[t]{0.47\linewidth}
{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}\\
\epsfig{file=bo-ge-shag1.eps,width=0.35\linewidth}\\
Любой треугольник равносоставлен параллелограмму
с тем же основанием и одним из углов.


{\бф\греен  Шаг 2:}\\
\epsfig{file=bo-ge-shag2.eps,width=0.4\linewidth}\\
Любой параллелограмм равносоставлен прямоугольнику
с тем же основанием.

{\бф\греен  Шаг 3:}\\
\epsfig{file=bo-ge-shag3.eps,width=0.5\linewidth}\\
Прямоугольник со сторонами $a >b$
равносоставлен параллелограмму со сторонами $a$ и $\sqrt{ab}$.
\end{minipage}
\ \ \ \ \ \ \ \begin{minipage}[t]{0.47\linewidth}
{\бф \греен Шаг 4:}
 Применяя шаг 3, мы убеждаемся,
что любой прямоугольник с площадью $S=ab$ равносоставлен
параллелограмму с основанием $\sqrt S$. Применяя
шаг 2, находим прямоугольник, равносоставленный
этому параллелограмму (в частности, площади $S$)
и с основанием $\sqrt S$. Такой прямоугольник
будет квадратом. {\бф \пурпле Мы получили, что любой
прямоугольник равносоставлен квадрату той же
площади.} \ендпрооф
\end{minipage}}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Бойяи-Гервина (окончание)}

\теорема
{\бф \блуе (теорема Бойяи-Гервина)} \\
{\бф \ред Равновеликие многоугольники равносоставлены.}


{\бф\греен Доказательство:} Возьмем какой-то многоугольник
$M$ и триангулируем его. Каждый из полученных
треугольников $D_i$ разрежем на куски, получив
прямоугольник с основанием 1 и стороной $\Vol(D_i)$.
Составив их вместе, получим прямоугольник
со сторонами 1 и $\Vol(M)$, равносоставленный
$M$. Сделав такую же операцию с другим 
многоугольником с той же площадью, снова
получим прямоугольник со сторонами 1 и $\Vol(M)$.
Значит, они равносоставлены.
\endproof

\невпаге

{\бф \блуе Конечно-аддитивные меры}

\определение
{\бф \блуе Конечно-аддитивная мера} есть
конечно-аддитивная, инвариантная функция
$\mu:\; {\cal U} \arrow \R$
на кольце многогранников, которая равна
нулю на всех вырожденных многогранниках. 

\замечание
Если существует конечно-аддитивная мера такая, что $\mu(A) \neq \mu(B)$,
то эти многогранники очевидно не равносоставлены.
Поэтому, {\бф \пурпле чтобы получить контрпример к 
третьей проблеме Гильберта, достаточно
построить конечно-аддитивную меру, которая
будет различать равновеликие многогранники.}

\замечание
{\бф \пурпле В $\R^2$ конечно-аддитивной меры, различающей
равновеликие многоугольники, не бывает}, что следует
из теоремы Бойяи-Гервина.
Такая мера существует в $\R^3$, и называется
{\бф\блуе инвариантом Дена}, в честь Макса Дена,
построившего ее в 1900-м году.

\невпаге

{\бф \блуе Инвариант Дена}


Рассмотрим $\Q$-линейный гомоморфизм 
$\R\stackrel \theta\arrow \R$, зануляющийся на $\pi$.
Чтобы построить такой гомоморфизм, надо выбрать базис
в $\R$ как в векторном пространстве над $\Q$
(существование такого базиса следует из леммы Цорна)
и задать $\theta$ на базисных векторах, таким образом,
что $\theta(\pi)=0$.

\определение
Существует не один инвариант Дена, а целое семейство;
они параметризуются гомоморфизмами $\R\stackrel \theta\arrow \R$, 
где $\theta(\pi)=0$. Зафиксируем такой гомоморфизм, 
и пусть $A$ -- многогранник в $\R^3$, с ребрами
длины $d_1, ..., d_n$ и двугранными углами 
$\alpha_1, ..., \alpha_n$ в этих ребрах, измеренными
в радианах. Положим $D_\theta(A):= \sum_i d_i
\theta(\alpha_i)$. Эта функция называется
{\бф \блуе инвариантом Дена}.

\невпаге

{\бф \блуе Аддитивность инварианта Дена}

\утверждение
{\бф \ред Определенный выше инвариант Дена $D_\theta$ определяет
конечно-аддитивную меру на кольце 
многогранников.}


{\бф\греен Доказательство. Шаг 1:} Разрежем многогранник
$A$  на два многогранника $A_1$ и $A_2$.
Некоторые ребра $A$ окажутся целиком на $L$; в этом
случае соответствующие двугранные углы у $A_1$ и $A_2$
дают в сумме двугранный угол для $A$. Другие ребра
будут разрезаны на две части, и соответствующий двугранный 
угол в $A_1$ будет равен его аналогу у $A_2$. Значит,
эти ребра дают в инвариант Дена $A$ вклад, который
равен сумме их вкладов в инвариант Дена $A_1$ и $A_2$.
Наконец, для всех новых ребер, лежащих на $L$,
соответствующие двугранные углы дают в сумме $\pi$.
Значит, суммарные вклады этих ребер в $D_\theta(A_1)$ и
$D_\theta(A_2)$ сокращаются, что дает 
$D_\theta(A_1)+D_\theta(A_2)=D_\theta(A)$.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Вычисление инварианта Дена}

\упражнение
Докажите, что 
{\бф \ред инвариант Дена параллелепипеда равен нулю.}

\замечание
{\бф \пурпле Если мы найдем многогранник $M$ с нетривиальным 
инвариантом Дена $D_\theta$, это даст решение
третьей проблемы Гильберта,} потому что $D_\theta(M)\neq
0$, а $D_\theta(M')=0$ для параллелепипеда $M'$,
равновеликого $M$.

\замечание
В качестве $M$ можно взять, например, правильный тетраэдр
$\Delta$. Все ребра и все двугранные углы тетраэдра равны,
что дает $D_\theta(\Delta) = 6\theta(\alpha)$,
где $\alpha$ -- двугранный угол правильного тетраэдра.
Нетрудно убедиться, что $\alpha = \arccos(1/3)$,
но чтобы найти $\theta$, удовлетворяющий
$\theta(\alpha)\neq 0$,
{\бф \ред надо доказать, что $\frac \alpha\pi$ иррационально.}
Решение этой теоретико-числовой задачи
излагаеся в листочке 2.

\невпаге

{\бф \блуе Обобщение инварианта Дена}

\определение
Пусть $\xi:\; \R \arrow \R$ -- $\Q$-линейный гомоморфизм,
а $\R\stackrel \theta\arrow \R$ гомоморфизм, удовлетворяющий 
$\theta(\pi)=0$.
Для многогранника $A$ в $\R^3$, с ребрами
длины $d_1, ..., d_n$ и двугранными углами 
$\alpha_1, ..., \alpha_n$ в этих ребрах, положим
$D_{\xi, \theta}:= \sum_i \xi(d_i) \theta(\alpha_i)$.
Этот инвариант называется {\бф \блуе обобщенным
инвариантом Дена}.

\замечание
Аргумент, который использовали для
вывода конечной аддитивности инварианта Дена, доказывает, что 
{\бф \ред $D_{\xi, \theta}$ тоже задает конечно-аддитивную меру
на многогранниках.}

\упражнение
Докажите, что существуют $\Q$-линейные гомоморфизмы 
$\xi, \theta:\; \R\arrow \R$ такие, что
что $\ker(\xi) = \Q \subset \R$, а $\ker(\theta) = \Q\pi
\subset \R$. 

{\бф \греен Выберем $\xi, \theta$ как в этом упражнении.}

\невпаге

{\бф \блуе Обобщенный инвариант Дена и квадратная пирамидка}

\замечание
Следующее утверждение доказывает,
что {\бф \пурпле в $\R^3$ существуют равновеликие и не равносоставленные
многогранники.}

\утверждение
 Пусть $A_c$ -
четырехгранная симметричная пирамидка, с квадратным 
основанием и высотой $c$, причем ребро при основании
имеет длину 1. {\бф \ред Тогда $D_{\xi, \theta}(A_c)\neq 0$ 
для почти всех $c\in \R^{>0}$.}

\epsfig{file=pyramid.eps,width=0.3\linewidth}\\
{\em\scriptsize Пирамида с квадратным основанием}


\невпаге

{\бф \блуе Квадратная пирамидка (продолжение)}

\утверждение
 Пусть $A_c$ -
четырехгранная симметричная пирамидка, с квадратным 
основанием и высотой $c$, причем ребро при основании
имеет длину 1. {\бф \ред Тогда $D_{\xi, \theta}(A_c)\neq 0$ 
для почти всех $c\in \R^{>0}$.}\\
\centerline{\epsfig{file=pyramid.eps,width=0.17\linewidth}}
\дшаг
У этой пирамидки есть два вида ребер,
четыре ребра длины 1 у основания, и 4 длины $l(c)$ ,
соединяющие основание и вершину. Обозначим 
двугранные углы у этих ребер за $\alpha(c)$,
Поскольку $\xi(1)=0$, получаем
\[ D_{\xi, \theta}(A_c) = 4 \xi(l(c)) \theta(\alpha(c)).\]
В силу того, что $\ker \xi=\Q$, а $\ker\theta=\pi\Q$, получаем, что
{\бф \пурпле $D_{\xi, \theta}(A_c)= \frac 1 4 \xi(l(c)) \theta(\alpha(c))=0$,
только если $l(c)$ либо $\frac{\alpha(c)}{\pi}$ 
рациональны. }

{\бф \греен Шаг 2:} Поскольку числа $l(c)$ и $\alpha(c)$
 монотонно возрастают и убывают при увеличении $c$, $l(c)$ может быть рационально
только для счетного набора $c$, и то же самое
верно для $\frac{\alpha(c)}{\pi}$. 
{\бф \пурпле Выбрав $c$ вне этих счетных подмножеств,
мы отыщем пирамидку с нетривиальным 
инвариантом $D_{\xi, \theta}$.}
\ендпрооф







\end{document}

