\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\6{\partial} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория меры, лекция 1:\\[2mm] объемы многогранников} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 14 февраля, 2015\\ матфак ВШЭ и НМУ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage {\bf \blue Кольца подмножеств} \определение Пусть задано множество $S$. Множество всех подмножеств $S$ обозначается $2^S$. Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ - некоторый набор подмножеств $S$. $\goth U$ называется {\бф\блуе кольцом}, если для любых $A, B\in {\goth U}$, объединение $A\cup B$, пересечение $A\cap B$ и дополнение $A\backslash B$ принадлежит ${\goth U}$. В этом случае ${\goth U}$ называется {\бф\блуе подкольцом} в $2^S$. \определение Пусть ${\goth V}\subset 2^S$ - произвольный набор подмножеств. Минимальное подкольцо в $2^S$, содержащее ${\goth V}$, называется {\бф \блуе подкольцом, порожденным ${\goth V}$}. \newpage {\bf \blue Характеристические функции} \определение {\бф \блуе Характеристической функцией} подмножества $U\subset S$ называется функция \begin{align*} \chi_U:\; S \arrow \{0,1\}\ \ |\ \ & \chi_U(x) =1, \ \ \text{если} \ \ x\in U & \chi_U(x) =0, \ \ \text{если} \ \ x\notin U. \end{align*} принимающая значения в кольце $\Z/2 \Z$. \утверждение ${\goth U}\subset 2^S$ -- {\бф \ред кольцо подмножеств тогда и только тогда,} когда множество $R$ характеристических функций элементов $W$ {\бф \ред замкнуто относительно сложения и умножения.} {\бф \греен Доказательство:} Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств. Чтобы убедиться, что $R$ замкнуто относительно арифметических операций, мы напишем $\chi_U \cdot \chi_V= \chi_{U\cap V}$ и $\chi_U + \chi_V= \chi_{U\Delta V}$, где $\triangle$ обозначает {\бф \блуе симметрическую разность:} $U\triangle V= (U\cup V) \backslash (U \cap V)$ {\бф \пурпле (проверьте это)}. Наоборот, если $R$ замкнуто, можно выразить $\chi_{U\cap V}$ и $\chi_{U\cup V}$ через арифметические операции: $\chi_{U\cap V}= \chi_U \cdot \chi_V$ и $\chi_{U\cup V}=\chi_U + \chi_V+\chi_U \cdot \chi_V$ {\бф \пурпле (проверьте)}. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Кольцо многогранников} \определение Подмножество $\R^n$ называется {\бф \блуе выпуклым}, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит соединяющий их отрезок. \определение Пусть задано подмножество $S\subset \R^n$. {\бф\блуе Выпуклой оболочкой} $S$ называется пересечение всех выпуклых подмножеств $\R^n$, содержащих $S$. \определение {\бф\блуе Симплексом} в $\R^n$ называется выпуклая оболочка множества $\{ x_0, ... x_n\}$ из $n+1$ точек в $\R^n$. Такой симплекс называется {\бф \блуе натянутым на точки $x_0, ... x_n$}. \определение Пусть $\Delta(x_0, ... x_n)$ - симплекс, натянутый на точки $\{ x_0, ... x_n\}$. {\бф\блуе Гранью} $\Delta$ размерности $k$ называется выпуклая оболочка $k+1$ точек из $\{ x_0, ... x_n\}$. \определение {\бф \блуе Кольцо полиэдров (многогранников)} есть кольцо подмножеств в $\R^n$, порожденное замкнутыми симплексами. {\бф \блуе Многогранником} называется элемент этого кольца. %\определение %Многогранник называется {\бф\блуе ограниченным}, %если он содержится в кубе. {\бф \ред В дальнейшем все многогранники %предполагаются по умолчанию ограниченными.} \newpage {\bf \blue Разрезание многогранников} \определение {\бф \блуе Вырожденный симплекс} есть симплекс, лежащий в какой-то гиперплоскости. {\бф \блуе Вырожденный многогранник} есть элемент кольца подмножеств, порожденного вырожденными симплексами. \упражнение Пусть $A$ -- многогранник, а $\bar A$ его замыкание (в смысле обычной топологии на $\R^n$). Докажите, что {\бф \пурпле дополнение $\bar A \backslash A$ -- вырожденный многогранник.} \определение {\бф \блуе Разрезание} многогранника есть разбиение его замыкания в объединение многогранников $A_1, ..., A_n$ таким образом, что все пересечения $A_i$ вырождены. \определение {\бф \блуе Триангуляция} многогранника есть разрезание его на симплексы. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле любой многогранник допускает триангуляцию.} \newpage {\bf \blue Конечно-аддитивные функции} \определение Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств. Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R$ называется {\бф\блуе аддитивной}, или {\бф\блуе конечно-аддитивной}, если для любых $A, B\in {\goth U}$, которые не пересекаются, имеет место $\mu(A\coprod B)= \mu(A) + \mu(B)$ (объединение непересекающихся подмножеств обозначают $A\coprod B$). \замечание Конечная аддитивность функции $\mu$ равносильно выполнению соотношения \[ \mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B). \] {\бф \пурпле (докажите это)!} \определение Два подмножества называются {\бф\блуе конгруэнтными}, если одно в другое можно перевести движением. Валюация $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$ называется {\бф\блуе инвариантной относительно движений}, если $\mu(A)=\mu(B)$ для конгруэнтных фигур $A, B\subset \R^n$. \определение {\бф \блуе Объем многогранника} есть конечно-аддитивная, неотрицательная, ненулевая функция на кольце многогранников, инвариантная относительно движений, и зануляющаяся на вырожденных многогранниках. {\бф \греен Существование объема будет доказано на этой лекции.} \newpage {\bf \blue Многогранники, заполненные либо покрытые кубами} \определение Пусть $v_1$, ..., $v_n$ -- стандартный базис в $\R^n$, $\Lambda$ -- порожденная им решетка, а $\epsilon \Lambda$ -- та же решетка, растянутая в $\epsilon$ раз. Обозначим за $\nu$ форму объема, полученную из двойственного базиса. Пусть $\underline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D)$ -- число $\epsilon$-кубов с вершинами в решетке $\epsilon\Lambda$, целиком содержащихся в $D$, а $\overline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D)$ -- число $\epsilon$-кубов с вершинами в решетке $\epsilon\Lambda$, пересекающихся с $D$. Обозначим за $\underline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D)$ и $\overline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D)$ и ``тотальный объем'' этих кубов ({\бф \ред объем мы пока не определили,} но понятно, что объем куба со стороной $\epsilon$ должен быть равен $\epsilon^n$), \[ \underline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D):= \epsilon^n \underline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D), \ \ \ \overline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D):= \epsilon^n \overline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D). \] \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле функция $N \arrow \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$ монотонно (возможно, нестрого) возрастает, а функция $N \arrow \overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$ монотонно (возможно, нестрого) убывает.} \определение Определим {\бф \блуе внутренний объем} $\underline{\Vol_\Lambda}(D)$ как предел $\lim_N \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$, а {\бф \блуе внешний объем} $\overline{\Vol_\Lambda}(D)$ как предел $\lim_N \overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$. \замечание Для каждого многогранника, содержащегося в кубе со стороной $A$ и вершинами в решетке $\Lambda$, имеем $\overline{\Vol_\Lambda(D)}\leq \overline{\Vol_\Lambda(A)}= A^n$. В частности, {\бф \пурпле предел $\overline{\Vol_\Lambda(D)}$ конечен.} \newpage {\bf \blue Объем вырожденного многоогранника} \утверждение {\бф \ред Для любого вырожденного многогранника $D$, имеем $\overline{\Vol_\Lambda(D)}=0$.} \доказательство Рассмотрим проекции $\Pi_i:\; D\arrow V_i$ на координатные гиперплоскости, с соответствующими решетками $\Lambda_i$. Тогда \[ \overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D) \leq \sum_i\overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda_i}} (\Pi_i(D)) \leq 2^{(n-1)N} \sum_i \overline{{\goth V}_{\Lambda_i}}(\Pi_i(D)), \] что дает \[ \overline{\Vol_\Lambda(D)}\leq 2^{(n-1)N}2^{-Nn} \sum_i \overline{\Vol_{\Lambda_i}}(\Pi_i(D)) \leq 2^{-N} \sum_i \Vol_\Lambda(\Pi_i(D)). \] \ендпрооф \newpage {\bf \blue Внутренний объем равен внешнему} \следствие {\бф \ред Для каждого многогранника, $\overline{\Vol_\Lambda}(D)=\underline{\Vol_\Lambda}(D)$.} \дшаг Докажите, что {\бф \блуе граница $D$} (объединение всех точек замыкания $D$, не лежащих в его внутренности) это вырожденный многогранник. {\бф \греен Шаг 2:} Каждый кубик, который не лежит в $D$, но пересекается с $D$, пересекается с его границей {\бф \пурпле (докажите это).} Поэтому $\overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)- \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)= \overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(\6 D)$, где $\6 D$ это граница $D$. {\бф \греен Шаг 3:} Из предыдущей формулы, получаем, что $\overline{\Vol_{\Lambda}}(D) - \underline{\Vol_\Lambda}(D)=\overline{\Vol_\Lambda}(\6 D)$, а этот объем равен нулю, как доказано выше. \ендпрооф \определение Обозначим $\overline{\Vol_\Lambda}(D)=\underline{\Vol_\Lambda}(D)$ за $\Vol_\Lambda(D)$. \newpage {\bf \blue Аддитивность объема} \теорема {\бф\ред Функция $D\arrow \Vol_\Lambda(D)$ аддитивна на кольце многогранников.} \дшаг Пусть $D$ разбит в объединение двух замкнутых многогранников, $D= D_1 \cup D_2$, пересекающихся по вырожденному. Достаточно доказать, что $\Vol_\Lambda(D)=\Vol_\Lambda(D_1)+ \Vol_\Lambda(D_2)$ {\бф \пурпле (проверьте это).} {\бф \греен Шаг 2:} \[\underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D)}- \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D_1)} - \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D_2)} \leq \overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D_1\cap D_2)} \] {\бф \пурпле (проверьте это).} {\бф \греен Шаг 3:} Из предыдущей формулы, следует, что $\underline{\Vol_\Lambda(D)}-\underline{\Vol_\Lambda(D_1)} -\underline{\Vol_\Lambda(D_2)} \leq \overline{\Vol_\Lambda(D_1 \cap D_2)}$. Но $\overline{\Vol_\Lambda(D_1 \cap D_2)}=0$, поскольку многогранник $D_1 \cap D_2$ вырожденный. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Объем и параллельные переносы} \утверждение Пусть $A$ получен из $B$ параллельным переносом. {\бф \ред Тогда $\Vol(A)=\Vol(B)$.} \дшаг {\бф \пурпле Достаточно проверить это утверждение для кубов,} дальше мы заполняем $A$ кубиками суммарного объема $\Vol_\Lambda(A)-\epsilon$ и параллельно переносим их. {\бф \греен Шаг 2:} Для единичного куба $D$, параллельно перенесенного в $D'$, имеем $\overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D')\geq 2^{Nn}\geq \underline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D')$, что дает $\overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D')\geq 1 \geq \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D')$. Переходя к пределу, получаем $\Vol_\Lambda(D')=1$. \ендпрооф \определение Два многогранника $A$, $B$ называются {\бф\блуе равносоставленными}, если их можно разрезать на многогранники $A_1, ... A_k$, $B_1, ... B_k$ таким образом, что $A_i$ конгруэнтен $B_i$ для любого $i$. Если к тому же $A_i$ переводятся в $B_i$ параллельными переносами, $A$ и $B$ называются {\бф \блуе параллельно равносоставленными.} \следствие {\бф \ред Два многогранника, которые параллельно равносоставлены, имеют одинаковый объем.} \newpage {\бф \блуе Параллелепипед} \определение {\бф \блуе Параллелепипед} в $\R^n$ есть многогранник, полученный как пересечение $n$ областей $D_i$, где каждая $D_i$ задается уравнением $b\leq L_i(x)\leq a$, для линейных функций $L_i$. {\бф \блуе Координатный параллелепипед} есть параллелепипед, заданный координатными проекциями $L_i$. {\бф \греен Теорема 1:} {\bf \red Объем $\Vol_\Lambda(D)$ параллелепипеда инвариантен при действии группы $SL(n, \R)$ матриц с определителем 1.} \дшаг Группа $SL(n, \R)$ порождена {\бф \блуе элементарными матрицами}, т.е. матрицами, у которых на диагонали стоит 1, на $i,j$-м месте стоит $z$, $i\neq j$, а на всех остальных местах -- $0$ {\бф \греен (см. следующий слайд).} {\бф \греен Шаг 2:} Каждая такая матрица {\бф \пурпле переводит координатный куб в параллелепипед, который параллельно равносоставлен ему,} а значит, не меняет объем. \ендпрооф \следствие {\бф \ред Два многогранника, которые равносоставлены, имеют одинаковый объем.} \newpage {\бф \блуе Элементарные матрицы порождают $SL(n,\R)$} {\бф \греен Теорема 2:} {\бф \ред Группа $SL(n, \R)$ порождена элементарными матрицами}, т.е. матрицами, у которых на диагонали стоит 1, на $i,j$-м месте стоит $z\in \R$, $i\neq j$, а на всех остальных местах -- $0$. \дшаг $SL(2, \R)$ порождена элементарными матрицами {\бф \пурпле (проверьте это).} Из этого следует, что {\пурпле любая диагональная матрица с определителем 1 порождена элементарными матрицами.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $A\in SL(n, \R)$ переводит стандартный базис $v_1, ..., v_n$ в $w_1, ..., w_n$. Для каждого из $w_i$, существует линейная комбинация $\sum_j a_j w_j, j\neq i$ такая, что $w_i -\sum a_j w_j=\lambda_k v_k $. {\бф \пурпле Поэтому базис $w_1, ..., w_n$ переводится в $w_1, ...,w_{j-1}, \lambda_k v_k, w_{j+1}, ..., w_n$ элементарными матрицами.} {\бф \греен Шаг 3:} Применив индукцию, мы переведем $w_1, ..., w_n$ элементарными матрицами в базис вида $\lambda_1 v_{i_1}, ..., \lambda_n v_{i_1}$, где $\prod \lambda_i=\pm 1$. Применив шаг 1, получим, что {\бф \пурпле $A$ после домножения на элементарные матрицы дает оператор $\Sigma$ вида $v_i \arrow \pm v_{\sigma_i}$, где $(\sigma_1, ..., \sigma_n)$ -- перестановка.} {\бф \греен Шаг 4:} Доказательства теоремы 1 на этом закончено, потому что $\Sigma$ переводит заданный параллелограмм в координатный. Для доказательства теоремы 2, осталось представить заданную четную перестановку в виде произведения элементарных матриц. {\бф \пурпле Сделайте это!} \ендпрооф \end{document}