   

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\6{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория меры\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория меры, лекция 1:\\[2mm] объемы многогранников}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 14 февраля, 2015\\ матфак ВШЭ и НМУ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

{\bf \blue Кольца подмножеств}

\определение
Пусть задано множество $S$. Множество всех подмножеств
$S$ обозначается $2^S$. Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ - некоторый набор
подмножеств $S$. $\goth U$ называется {\бф\блуе кольцом},
если для любых $A, B\in {\goth U}$, объединение $A\cup B$,
пересечение $A\cap B$ и дополнение $A\backslash B$
принадлежит ${\goth U}$. В этом случае ${\goth U}$
называется {\бф\блуе подкольцом} в $2^S$. 

\определение
Пусть ${\goth V}\subset 2^S$ - произвольный
набор подмножеств. Минимальное подкольцо в $2^S$,
содержащее ${\goth V}$, называется 
{\бф \блуе подкольцом, порожденным ${\goth V}$}.


\newpage

{\bf \blue Характеристические функции}


\определение
{\бф \блуе Характеристической функцией} подмножества $U\subset S$ 
называется функция 
\begin{align*}
\chi_U:\; S \arrow \{0,1\}\ \ |\ \ & \chi_U(x) =1, \ \ \text{если}
\ \ x\in U
& \chi_U(x) =0, \ \ \text{если}
\ \ x\notin U.
\end{align*}
принимающая значения в кольце $\Z/2 \Z$.


\утверждение
${\goth U}\subset 2^S$ -- {\бф \ред кольцо подмножеств тогда и только тогда,}
когда множество $R$ характеристических функций элементов $W$
{\бф \ред замкнуто относительно сложения и умножения.}

{\бф \греен Доказательство:} Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ -- 
кольцо подмножеств. Чтобы убедиться, что $R$ замкнуто
относительно арифметических операций, мы напишем
$\chi_U \cdot \chi_V= \chi_{U\cap V}$ и
$\chi_U + \chi_V= \chi_{U\Delta V}$, где
$\triangle$ обозначает {\бф \блуе симметрическую
разность:} $U\triangle V= (U\cup V) \backslash (U \cap V)$
{\бф \пурпле (проверьте это)}.

Наоборот, если $R$ замкнуто, можно выразить 
$\chi_{U\cap V}$ и $\chi_{U\cup V}$ через арифметические операции:
$\chi_{U\cap V}= \chi_U \cdot \chi_V$ и
$\chi_{U\cup V}=\chi_U + \chi_V+\chi_U \cdot \chi_V$
{\бф \пурпле (проверьте)}.
\ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Кольцо многогранников}

\определение
Подмножество $\R^n$ называется {\бф \блуе выпуклым},
если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит 
соединяющий их отрезок.

\определение
Пусть задано подмножество $S\subset \R^n$.
{\бф\блуе Выпуклой оболочкой} $S$ называется
пересечение всех выпуклых подмножеств $\R^n$, 
содержащих $S$.

\определение
{\бф\блуе Симплексом} в $\R^n$ называется выпуклая
оболочка множества $\{ x_0, ... x_n\}$ из $n+1$ точек
в $\R^n$. Такой симплекс называется {\бф \блуе натянутым на точки
$x_0, ... x_n$}.


\определение
Пусть $\Delta(x_0, ... x_n)$ - симплекс, натянутый на
точки $\{ x_0, ... x_n\}$. {\бф\блуе Гранью}
$\Delta$ размерности $k$ называется 
выпуклая оболочка $k+1$ точек из $\{ x_0, ... x_n\}$. 


\определение
{\бф \блуе Кольцо полиэдров (многогранников)} есть
кольцо подмножеств в $\R^n$, порожденное
замкнутыми симплексами. {\бф \блуе Многогранником} называется 
элемент этого кольца.

%\определение
%Многогранник называется {\бф\блуе ограниченным}, 
%если он содержится в кубе. {\бф \ред В дальнейшем все многогранники
%предполагаются по умолчанию ограниченными.}


\newpage

{\bf \blue Разрезание многогранников}

\определение
{\бф \блуе Вырожденный симплекс} есть симплекс, лежащий
в какой-то гиперплоскости. {\бф \блуе Вырожденный многогранник}
есть элемент кольца подмножеств, порожденного 
вырожденными симплексами.

\упражнение
Пусть $A$ -- многогранник, а $\bar A$ его замыкание
(в смысле обычной топологии на $\R^n$). Докажите, что
{\бф \пурпле
дополнение $\bar A \backslash A$ -- вырожденный многогранник.}

\определение
{\бф \блуе Разрезание} многогранника есть разбиение его 
замыкания в объединение многогранников $A_1, ..., A_n$
таким образом, что все пересечения $A_i$ вырождены.

\определение
{\бф \блуе Триангуляция} многогранника есть разрезание его
на симплексы.

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле 
любой многогранник допускает триангуляцию.}


\newpage

{\bf \blue Конечно-аддитивные функции}


\определение
Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств.
Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow \R$ называется
{\бф\блуе аддитивной}, или {\бф\блуе конечно-аддитивной}, если для любых
$A, B\in {\goth U}$, которые не пересекаются,
имеет место $\mu(A\coprod B)= \mu(A) + \mu(B)$
(объединение непересекающихся подмножеств
обозначают $A\coprod B$).

\замечание
Конечная аддитивность функции $\mu$ равносильно
выполнению соотношения
\[
   \mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B).
\]
{\бф \пурпле (докажите это)!}

\определение
Два подмножества называются {\бф\блуе конгруэнтными},
если одно в другое  можно перевести 
движением. Валюация $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$
называется {\бф\блуе инвариантной относительно движений}, если
$\mu(A)=\mu(B)$ для конгруэнтных
фигур $A, B\subset \R^n$.


\определение
{\бф \блуе Объем многогранника} есть конечно-аддитивная,
неотрицательная, ненулевая функция на кольце многогранников,
инвариантная относительно движений, и зануляющаяся
на вырожденных многогранниках.

{\бф \греен Существование объема будет доказано на 
этой лекции.}

\newpage

{\bf \blue Многогранники, заполненные либо покрытые кубами}

\определение
Пусть $v_1$, ..., $v_n$ -- стандартный базис в $\R^n$,
$\Lambda$ -- порожденная им решетка, а $\epsilon \Lambda$ -- та же
решетка, растянутая в $\epsilon$ раз. Обозначим за $\nu$
форму объема, полученную из двойственного базиса. 
Пусть $\underline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D)$ -- число $\epsilon$-кубов
с вершинами в решетке $\epsilon\Lambda$, 
целиком содержащихся в $D$, а $\overline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D)$ --
число $\epsilon$-кубов
с вершинами в решетке $\epsilon\Lambda$, 
пересекающихся с  $D$. Обозначим за 
$\underline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D)$ и 
$\overline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D)$ и 
``тотальный объем''
этих кубов ({\бф \ред объем мы пока не определили,} но 
понятно, что объем куба со стороной $\epsilon$
должен быть равен $\epsilon^n$),
\[ \underline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D):=
   \epsilon^n \underline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D),
   \ \ \ 
\overline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D):=
   \epsilon^n \overline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D).
\] 

\упражнение
Докажите, что
{\бф \пурпле функция $N \arrow \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$
монотонно (возможно, нестрого) возрастает,
а функция $N \arrow \overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$
монотонно (возможно, нестрого) убывает.}

\определение
Определим {\бф \блуе внутренний объем}
$\underline{\Vol_\Lambda}(D)$ 
как предел  $\lim_N \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$,
а {\бф \блуе внешний объем}
$\overline{\Vol_\Lambda}(D)$ как предел
$\lim_N \overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$.

\замечание
Для каждого многогранника, содержащегося
в кубе со стороной $A$ и вершинами в решетке $\Lambda$, имеем
$\overline{\Vol_\Lambda(D)}\leq \overline{\Vol_\Lambda(A)}= A^n$.
В частности, {\бф \пурпле 
предел $\overline{\Vol_\Lambda(D)}$ конечен.}

\newpage

{\bf \blue Объем вырожденного многоогранника}

\утверждение
{\бф \ред Для любого вырожденного многогранника $D$,
имеем $\overline{\Vol_\Lambda(D)}=0$.}

\доказательство
Рассмотрим проекции $\Pi_i:\; D\arrow V_i$ на координатные
гиперплоскости, с соответствующими решетками $\Lambda_i$.
Тогда 
\[ \overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D) 
  \leq \sum_i\overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda_i}} (\Pi_i(D)) 
 \leq 2^{(n-1)N} \sum_i \overline{{\goth V}_{\Lambda_i}}(\Pi_i(D)),
\]
что дает
\[
\overline{\Vol_\Lambda(D)}\leq 2^{(n-1)N}2^{-Nn}   
\sum_i \overline{\Vol_{\Lambda_i}}(\Pi_i(D)) \leq 2^{-N}
\sum_i \Vol_\Lambda(\Pi_i(D)).
\]
\ендпрооф

\newpage

{\bf \blue Внутренний объем равен внешнему}


\следствие
{\бф \ред Для каждого многогранника, 
$\overline{\Vol_\Lambda}(D)=\underline{\Vol_\Lambda}(D)$.}

\дшаг
Докажите, что {\бф \блуе граница $D$}
(объединение всех точек замыкания $D$, не лежащих
в его внутренности) это вырожденный многогранник.

{\бф \греен Шаг 2:}
Каждый кубик, который не лежит в $D$, но пересекается
с $D$, пересекается с его границей {\бф \пурпле (докажите это).}
Поэтому 
$\overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)- \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)=
\overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(\6 D)$, где $\6 D$ это граница $D$.

{\бф \греен Шаг 3:} 
Из предыдущей формулы, получаем, что
$\overline{\Vol_{\Lambda}}(D) - 
\underline{\Vol_\Lambda}(D)=\overline{\Vol_\Lambda}(\6 D)$,
а этот объем равен нулю, как доказано выше.
\ендпрооф

\определение
Обозначим $\overline{\Vol_\Lambda}(D)=\underline{\Vol_\Lambda}(D)$
за $\Vol_\Lambda(D)$.

\newpage

{\bf \blue Аддитивность объема}

\теорема
{\бф\ред Функция $D\arrow \Vol_\Lambda(D)$
аддитивна на кольце многогранников.}

\дшаг
Пусть $D$ разбит в объединение двух замкнутых
многогранников, $D= D_1 \cup D_2$, пересекающихся
по вырожденному. Достаточно доказать, что
$\Vol_\Lambda(D)=\Vol_\Lambda(D_1)+ \Vol_\Lambda(D_2)$
{\бф \пурпле (проверьте это).}

{\бф \греен Шаг 2:} 
\[\underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D)}-
\underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D_1)} - 
\underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D_2)} \leq 
\overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D_1\cap D_2)}
\]
{\бф \пурпле (проверьте это).}

{\бф \греен Шаг 3:} Из предыдущей формулы, следует, что
$\underline{\Vol_\Lambda(D)}-\underline{\Vol_\Lambda(D_1)}
-\underline{\Vol_\Lambda(D_2)} \leq 
\overline{\Vol_\Lambda(D_1 \cap D_2)}$.
Но $\overline{\Vol_\Lambda(D_1 \cap D_2)}=0$,
поскольку многогранник $D_1 \cap D_2$ вырожденный.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Объем и параллельные переносы}

\утверждение
Пусть $A$ получен из $B$ параллельным
переносом. {\бф \ред Тогда $\Vol(A)=\Vol(B)$.}

\дшаг {\бф \пурпле Достаточно 
проверить это утверждение для кубов,} дальше
мы заполняем $A$ кубиками суммарного
объема $\Vol_\Lambda(A)-\epsilon$ и параллельно переносим их.

{\бф \греен Шаг 2:}
Для единичного куба $D$, параллельно перенесенного в $D'$, имеем
$\overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D')\geq 2^{Nn}\geq
\underline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D')$, что дает 
$\overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D')\geq 1 \geq 
\underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D')$. Переходя к пределу, получаем
$\Vol_\Lambda(D')=1$.
\ендпрооф

\определение
Два многогранника $A$, $B$ называются {\бф\блуе равносоставленными},
если их можно разрезать на многогранники
$A_1, ... A_k$, $B_1, ... B_k$ таким
образом, что $A_i$ конгруэнтен $B_i$ 
для любого $i$. Если к тому же $A_i$ переводятся в $B_i$
параллельными переносами, $A$ и $B$ называются
{\бф \блуе параллельно равносоставленными.}

\следствие
{\бф \ред Два многогранника, которые параллельно равносоставлены,
имеют одинаковый объем.}

\newpage

{\бф \блуе Параллелепипед}

\определение
{\бф \блуе Параллелепипед} в $\R^n$
есть многогранник, полученный как пересечение
$n$ областей $D_i$, где каждая $D_i$ задается
уравнением $b\leq L_i(x)\leq a$, для 
линейных функций $L_i$. {\бф \блуе Координатный
параллелепипед} есть параллелепипед, заданный
координатными проекциями $L_i$.

{\бф \греен Теорема 1:}
{\bf \red Объем $\Vol_\Lambda(D)$ параллелепипеда 
инвариантен при действии
группы $SL(n, \R)$ матриц с определителем 1.}

\дшаг
Группа $SL(n, \R)$ порождена
{\бф \блуе элементарными матрицами}, 
т.е. матрицами, у которых на диагонали стоит 1,  на 
$i,j$-м месте стоит $z$, $i\neq j$, а на всех остальных
местах -- $0$ {\бф \греен (см. следующий слайд).}

{\бф \греен Шаг 2:}
Каждая такая матрица {\бф \пурпле переводит координатный куб в параллелепипед,
который параллельно равносоставлен ему,}
а значит, не меняет объем.
\ендпрооф


\следствие
{\бф \ред Два многогранника, которые равносоставлены,
имеют одинаковый объем.}


\newpage

{\бф \блуе Элементарные матрицы порождают $SL(n,\R)$}

{\бф \греен Теорема 2:}
{\бф \ред Группа $SL(n, \R)$ порождена
элементарными матрицами}, 
т.е. матрицами, у которых на диагонали стоит 1,  на 
$i,j$-м месте стоит $z\in \R$, $i\neq j$, а на всех остальных
местах -- $0$.

\дшаг
$SL(2, \R)$ порождена элементарными матрицами
{\бф \пурпле (проверьте это).} Из этого следует,
что {\пурпле любая диагональная матрица с определителем 1
порождена элементарными матрицами.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $A\in SL(n, \R)$
переводит стандартный базис $v_1, ..., v_n$ в 
$w_1, ..., w_n$. Для каждого из $w_i$, существует
линейная комбинация $\sum_j a_j w_j, j\neq i$ такая, что
$w_i -\sum a_j w_j=\lambda_k v_k $. {\бф \пурпле Поэтому базис $w_1, ..., w_n$
переводится в $w_1, ...,w_{j-1}, \lambda_k v_k, w_{j+1}, ..., w_n$ 
элементарными матрицами.}

{\бф \греен Шаг 3:} Применив индукцию, мы переведем
$w_1, ..., w_n$ элементарными матрицами в
базис вида $\lambda_1 v_{i_1}, ..., \lambda_n v_{i_1}$,
где $\prod \lambda_i=\pm 1$. Применив шаг 1, получим,
что {\бф \пурпле $A$ после домножения на элементарные матрицы дает
оператор $\Sigma$ вида $v_i \arrow \pm v_{\sigma_i}$, где
$(\sigma_1, ..., \sigma_n)$ -- перестановка.}

{\бф \греен Шаг 4:} Доказательства теоремы 1 на этом
закончено, потому что $\Sigma$ переводит заданный
параллелограмм в координатный. Для доказательства
теоремы 2, осталось представить заданную четную
перестановку в виде произведения элементарных матриц.
{\бф \пурпле Сделайте это!}
\ендпрооф


 


\end{document}

