\documentclass[10pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-10mm}
\addtolength{\textheight}{20mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}



% Taken from extarrows.sty by Chim Cut Canh
\makeatletter
\def\x@arrow{\DOTSB\Relbar}
\def\xlongrightarrowfill@{\arrowfill@\relbar\relbar\longrightarrow}
\newcommand{\xlongrightarrow}[2][]{%
        \ext@arrow 0099\xlongrightarrowfill@{#1}{#2}}
\makeatother


\input{def-listki.tex}

% version 1.0, 01.11.2010
% version 2.0, 19.11.2010 - правая мера Хаара не равна левой,
%                           добавил про счетную базу
% version 3.0, 15.04.2015, новая итерация курса

\newcommand{\version}{version 3.0,\ \   15.04.2015}
\newcommand{\firstdate}{25.04.2015}

\begin{document}

\listok{6}{Теория Меры 6: Мера Хаара}

\subsection{Топологические группы}

\определение
Пусть $G$ -- хаусдорфово топологическое пространство, снабженное
структурой группы. $G$ называется {\бф топологической
группой}, если отображение 
$G \xlongrightarrow{\text{\scriptsize $g \mapsto g^{-1}$}} G$
непрерывно, и отображение
$G\times G \xlongrightarrow{\text{\scriptsize $f,g \mapsto fg$}} G$
тоже непрерывно.
\ео

\задача
В этой ситуации, докажите, что отображение
$G \xlongrightarrow{\text{\scriptsize $g \mapsto g^{-1}$}} G$
это гомеоморфизм. Докажите, что отображение
$G\times G \xlongrightarrow{\text{\scriptsize $f,g \mapsto f,fg$}}
G\times G$
это гомеоморфизм.
\ез

\задача 
Пусть $G$ -- топологическое пространство, снабженное
структурой группы, таким образом, что 
$G\times G \xlongrightarrow{\text{\scriptsize $f,g \mapsto f,fg$}}
G\times G$
это гомеоморфизм. Докажите, что $G$ - топологическая группа.
\ез

\задача
Докажите, что $(\Z_p, +)$, $(1+\Z_p, *)$ компактные
топологические группы ($\Z_p$ обозначает 
$p$-адические числа)
\ез

\задача
Рассмотрим группу обратимых матриц $GL(n, \R)$, 
группу ортогональных матриц $O(n)$, группу
$SL(n)$ матриц с детерминантом 1, с топологией,
индуцированной из вложение в пространство
матриц. Докажите, что это локально компактные
топологические группы.
\ез

\задача
Рассмотрим группу $GL(n, \Q_p)$ с топологией,
индуцированной из вложения 
\[ GL(n, \Q_p)\hookrightarrow \Mat_n(\Q_p)\cong \Q_p^{n^2}.\]
Докажите, что это локально компактная 
топологическая группа.
\ез

\задача
Пусть $G_1\subset G_2$ замкнутая нормальная
подгруппа локально компактной топологической
группы. Введем на факторгруппе $G_1/G_2$ топологию
таким образом, что $U\subset G_1/G_2$ открыто
тогда и только тогда, когда его прообраз в $G_1$
открыт. Докажите, что $G_1/G_2$ - локально
компактная топологическая группа.
\ез

\задача
Постройте нетривиальный непрерывный гомоморфизм
$\Z_p \arrow S^1$, либо докажите, что такого
не существует.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Мера Хаара}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $(M, \mu), (N, \nu)$ - пространства с мерой.
{\бф Морфизмом} пространств с мерой называется
измеримое отображение $\phi:\; M\arrow N$
такое, что $\phi_* \mu = \nu$. {\bf Изоморфизмом}
пространств с мерой называется такой морфизм
 $\phi:\; M\arrow N$, что существует морфизм
$\psi:\; N \arrow M$, причем $\psi\circ \phi$ и
$\phi\circ \psi$ тождественные.
\ео

\задача 
Докажите, что композиция изоморфизмов - опять изоморфизм.
\ез

\задача[*]
Постройте изоморфизм отрезка с мерой Лебега и квадрата.
\ез

\задача[*] Пусть на $\R^n$ задана мера $\nu=f\mu$,
где $f$ гладкая функция, принимающая значения в
$[\epsilon, \infty[$, $\epsilon>0$, а $\mu$ - мера
Лебега. Постройте изоморфизм $(\R^n, \nu)$
и $(\R^n, \mu)$.
\ез

\задача
Решите приведенную выше задачу в случае $n=1$.
\ез


\определение
Пусть группа $G$ действует на пространстве $(M, \mu)$ с
мерой. Мы говорим, что $\mu$ {\бф $G$-инвариантна}, если
для любого $g\in G$, отображение $m \arrow g(m)$
задает изоморфизм из $(M, \mu)$ в себя.
\ео

\определение
Мера $\mu$ называется {\бф локально конечной}, если у каждой
точки есть окрестность $U$, которая удовлетворяет $\mu(U)<\infty$.

Пусть $G$ это группа. {\бф Левое действие группы на себе}
задается формулой $g, x \arrow gx$, {\бф правое
действие} - $g, x \arrow xg$. {\бф (Левая) мера Хаара}
это ненулевая, локально конечная 
мера Бореля на $G$, инвариантная относительно
левого действия группы, и положительная на
каждом непустом открытом множестве.
Правая мера Хаара -- мера,
инвариантная относительно правого действия.
\ео

\задача
Пусть $G$ -- компактная топологическая группа, а $\mu$ -- мера Хаара.
Докажите, что $\mu(G)$ конечно.
\ез

\задача[!]
 Пусть 
$G$ топологическая 
группа, а $\mu$, $\nu$ меры Хаара, такие,
что $\mu(G)<\infty$, $\nu(G)<\infty$. 
\енум
\итем 
Докажите, что $\nu \ll \mu+\nu$.

\итем 
Воспользовавшись теоремой Радона-Никодима,
докажите, что $\nu = f (\mu+\nu)$, для какой-то измеримой функции
$f:\; G \arrow \R^{\geq 0}$.

\итем Докажите, что $f$ постоянна
вне $\mu+\nu$-пренебрежимого множества.

\итем Выведите из этого, что $\nu = c \mu$,
для какой-то константы $c$.
\ее
\ез

\определение
Напомним, что подмножество $V\subset M$ 
хаусдорфова топологического
пространства называется {\бф ограниченным}, или 
{\бф предкомпактным}, если $V$ содержится в 
компактном множестве.
\ео

\задача
Докажите, что $V\subset M$  предкомпактно тогда и только тогда,
когда замыкание $V$ компактно.
\ез

\определение
Топологическое пространство $M$ называется
{\бф пространством со счетной базой}, если есть
счетный набор открытых множеств $\{U_i\}$ такой, что
любое открытое множество представляется в виде
объединения $U_i$.
\ео

\задача
\енум 
\итем Докажите, что в $\R^n$ есть счетная база.
\итем Докажите, что у компактного многообразия есть счетная база.
\итем
Пусть $\Z_p$ -- кольцо $p$-адических чисел, с обычной
топологией. Докажите, что у $\Z_p$ есть счетная база.
\ее
\ез

\задача[*] Пусть $E$ - борелевское множество в 
локально компактной, хаусдорфовой группе $G$, со счетной 
базой, а $\mu$ - мера Хаара на $G$. Обозначим за
$E^{-1}$ множество элементов вида $g^{-1}$, $g\in E$.
Докажите, что $E$ имеет меру нуль
тогда и только тогда, когда $E^{-1}$
имеет меру нуль.
\ез

\задача[!]
Пусть $G$ - локально компактная топологическая
группа со счетной базой, $\mu$, $\nu$ меры Хаара,
а $U$ предкомпактная окрестность единицы.
\енум

\итем Докажите, что существует измеримая
функция $f:\; U \arrow \R^{\geq 0}$  такая, что $\nu = f
(\mu+\nu)$.

\итем
Докажите, что вне $\mu+\nu$-пренебрежимого подмножества $U$,
$f$ равна константе: $f=c$.

\итем
Выведите из этого, что
\begin{equation}\label{_nu_mu_on_U_Equation_}
\nu\restrict{U}=c\mu\restrict{U}, 
\end{equation}
для какой-то константы $c\in \R$, и для
любой предкомпактной окрестности единицы в $G$.

\итем Воспользовавшись наличием счетной базы,
выведите из \eqref{_nu_mu_on_U_Equation_}
равенство $\nu(A)=c\mu(A)$ для любого
борелевского $A$.
\ее
\ез

\указание
(к последнему пункту): воспользовавшись
наличием счетной базы, докажите, что
каждое борелевское подмножество $G$ есть
объединение счетного числа компактов.
\еу

\замечание
Мы доказали, что на локально компактной 
топологической группе со счетной базой (левая)
мера Хаара единственна, с точностью до константы.
\еза

\задача[!]
Пусть $r(g):\; G \arrow G$ -- действие группы 
(с счетной базой) справа на себя.
Докажите, что для левой меры Хаара, $r(g)_* \mu$
тоже левоинвариантная мера Хаара, пропорциональная
исходной, $r(g)_* \mu = \lambda_g(\mu)$.
Докажите, что $g \arrow \lambda_g$ есть 
гомоморфизм группы в $\R^*$.
\ез

\задача[*]
Постройте группу, для которой этот гомоморфизм нетривиален.
\ез

\задача[!]
Докажите, что для компактной группы, мера Хаара инвариантна
слева и справа.
\ез


%\задача[**]
%Приведите пример, когда левая мера Хаара на группе
%не пропорциональна правой.
%\ез 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Построение меры Хаара}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
Как следует из результатов листка 5,
чтобы сконструировать меру Хаара на локально
компактной топологической группе $G$, 
достаточно сконструировать левоинвариантный
объем $\lambda:\; {\bf C} \arrow \R^{\geq 0}$
на компактных подмножествах $G$.
\еза


\определение
Пусть $E\subset G$ предкомпактное подмножество,
$F\subset G$ подмножество с непустой внутренностью.
$F$-сеть на $E$ это такой конечный набор точек
$\{x_i\}\subset G$ (называемых узлами $F$-сети),
что $\bigcup x_i F$ покрывает $E$. Минимальное
число узлов в $F$-сети обозначается $E:F$.
\ео

\задача
Докажите, что в этих условиях 
$F$-сеть всегда существует.
\ез

\задача
Пусть $A$ предкомпактное и с непустой внутренностью.
Докажите, что $(E:A)(A:F)\geq E:F$.
\ез

\задача 
\label{_lambda_U_Zadacha_}
Зафиксируем предкомпактное подмножество
$A\subset G$ с непустой внутренностью. Для заданного
открытого подмножества $U\subset G$, определим функцию
$\lambda_U:\; {\bf C}\arrow \R$ на множестве всех компактов $C\subset G$,
$\lambda_U(C):= \frac {C:U}{A:U}.$
Докажите, что эта функция счетно-полуаддитивна, 
левоинвариантна, и для любых $C$, $D$, таких, что
$CU^{-1}\cap DU^{-1}=\emptyset$, верно
\[
\lambda_U(C\cup D) = \lambda_U(C)+\lambda_U(D)
\]
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что для каждого $x$ такого,
что $C$ пересекает $xU$, $D$ не пересекает $xU$.
\еу

\задача
В условиях предыдущей задачи, рассмотрим произведение
${\cal K}:= \prod_{C\in {\bf C}} I_C$
отрезков $I_C:= [0, C:A]$, проиндексированное
всеми компактными множествами $C\in {\bf C}$,
с топологией тихоновского произведения.
Можно рассматривать ${\cal K}$ как пространство
функций $f:\; {\bf C}\arrow \R$, принимающих
значения в $[0, C:A]$, с топологией
поточечной сходимости. Это пространство
компактно, по теореме Тихонова.

Обозначим за $\Delta_U$
множество всех $\lambda_V\in {\cal K}$
таких, что $V\subset U$.

\енум

\итем Докажите, что $\bigcap \Delta_{U_i}=\Delta_{\cap U_i}$,
где пересечение берется по конечному набору окрестностей единицы
$U_i\subset G$. Докажите, что это множество непусто.

\итем Обозначим за $\overline{\Delta_U}$ замыкание
$\Delta_U$ в ${\cal C}$. Это множество компактно, 
по теореме Тихонова. Докажите, что
$\bigcap_U \overline{\Delta_U}$ непусто, где
пересечение берется по всем открытым окрестностям единицы в $G$.

\итем[!] Пусть $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R$ лежит 
в $\bigcap_U \overline{\Delta_U}$. Докажите, что $\lambda$ - ненулевой,
левоинвариантный объем на ${\bf C}$
\ее
\ез

\указание
Проверьте, что левоинвариантность, монотонность и полуаддитивность
это замкнутые условия  в ${\cal K}$. Выведите из этого, что им
удовлетворяют все $f \in \overline{\Delta_U}$.
Чтобы доказать, что $\lambda$ это объем, надо
проверить аддитивность. Из локальной компактности
выведите, что для любых непересекающихся компактов $C$ и $D$
существует окрестность $U$ единицы в $G$ такая, что
$CU^{-1}$ не пересекается с $DU^{-1}$. Условие
$f(C\coprod D)= f(C)+ f(D)$ замкнутое, и ему
в силу задачи \ref {_lambda_U_Zadacha_} 
удовлетворяют все $f\in\Delta_U$. Выведите из 
этого, что $\lambda$ тоже удовлетворяет
этому условию. 
\еу

\задача 
Пусть $\mu$ - мера Хаара на локально компактной 
топологической группе $G$. Докажите, что $\mu(e)\neq 0$
тогда и только тогда, когда $G$ дискретна.
\ез

\задача
Рассмотрим мультипликативную группу 
$\R^{>0}$ как локально компактную топологическую
группу. Докажите, что мера Хаара $\lambda$ абсолютно
непрерывна относительно меры Лебега $\mu$ на $\R^{>0}$.
Выведите из этого соотношение 
$\lambda=f\mu$ и найдите функцию $f$.
\ез

\задача
Решите такую же задачу для мультипликативной группы
$\C^*$ ненулевых комплексных чисел.
\ез


\задача[*]
Рассмотрим группу $GL(n, \R)\subset \Mat(n, \R)$
с топологией и мерой Лебега $\mu$, 
индуцированной из $\Mat(n, \R)$.
Докажите, что мера Хаара $\lambda$ абсолютно
непрерывна относительно меры Лебега на $GL(n, \R)$.
Выведите из этого соотношение 
$\lambda=f\mu$ и найдите функцию $f$.
\ез

\задача[*]
То же самое для $GL(n, \C)\subset \Mat(n, \C)$.
\ез


\end{document}
