\documentclass[10pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-10mm} \addtolength{\textheight}{20mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} \addtolength{\textwidth}{20mm} % Taken from extarrows.sty by Chim Cut Canh \makeatletter \def\x@arrow{\DOTSB\Relbar} \def\xlongrightarrowfill@{\arrowfill@\relbar\relbar\longrightarrow} \newcommand{\xlongrightarrow}[2][]{% \ext@arrow 0099\xlongrightarrowfill@{#1}{#2}} \makeatother \input{def-listki.tex} % version 1.0, 01.11.2010 % version 2.0, 19.11.2010 - правая мера Хаара не равна левой, % добавил про счетную базу % version 3.0, 15.04.2015, новая итерация курса \newcommand{\version}{version 3.0,\ \ 15.04.2015} \newcommand{\firstdate}{25.04.2015} \begin{document} \listok{6}{Теория Меры 6: Мера Хаара} \subsection{Топологические группы} \определение Пусть $G$ -- хаусдорфово топологическое пространство, снабженное структурой группы. $G$ называется {\бф топологической группой}, если отображение $G \xlongrightarrow{\text{\scriptsize $g \mapsto g^{-1}$}} G$ непрерывно, и отображение $G\times G \xlongrightarrow{\text{\scriptsize $f,g \mapsto fg$}} G$ тоже непрерывно. \ео \задача В этой ситуации, докажите, что отображение $G \xlongrightarrow{\text{\scriptsize $g \mapsto g^{-1}$}} G$ это гомеоморфизм. Докажите, что отображение $G\times G \xlongrightarrow{\text{\scriptsize $f,g \mapsto f,fg$}} G\times G$ это гомеоморфизм. \ез \задача Пусть $G$ -- топологическое пространство, снабженное структурой группы, таким образом, что $G\times G \xlongrightarrow{\text{\scriptsize $f,g \mapsto f,fg$}} G\times G$ это гомеоморфизм. Докажите, что $G$ - топологическая группа. \ез \задача Докажите, что $(\Z_p, +)$, $(1+\Z_p, *)$ компактные топологические группы ($\Z_p$ обозначает $p$-адические числа) \ез \задача Рассмотрим группу обратимых матриц $GL(n, \R)$, группу ортогональных матриц $O(n)$, группу $SL(n)$ матриц с детерминантом 1, с топологией, индуцированной из вложение в пространство матриц. Докажите, что это локально компактные топологические группы. \ез \задача Рассмотрим группу $GL(n, \Q_p)$ с топологией, индуцированной из вложения \[ GL(n, \Q_p)\hookrightarrow \Mat_n(\Q_p)\cong \Q_p^{n^2}.\] Докажите, что это локально компактная топологическая группа. \ез \задача Пусть $G_1\subset G_2$ замкнутая нормальная подгруппа локально компактной топологической группы. Введем на факторгруппе $G_1/G_2$ топологию таким образом, что $U\subset G_1/G_2$ открыто тогда и только тогда, когда его прообраз в $G_1$ открыт. Докажите, что $G_1/G_2$ - локально компактная топологическая группа. \ез \задача Постройте нетривиальный непрерывный гомоморфизм $\Z_p \arrow S^1$, либо докажите, что такого не существует. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Мера Хаара} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $(M, \mu), (N, \nu)$ - пространства с мерой. {\бф Морфизмом} пространств с мерой называется измеримое отображение $\phi:\; M\arrow N$ такое, что $\phi_* \mu = \nu$. {\bf Изоморфизмом} пространств с мерой называется такой морфизм $\phi:\; M\arrow N$, что существует морфизм $\psi:\; N \arrow M$, причем $\psi\circ \phi$ и $\phi\circ \psi$ тождественные. \ео \задача Докажите, что композиция изоморфизмов - опять изоморфизм. \ез \задача[*] Постройте изоморфизм отрезка с мерой Лебега и квадрата. \ез \задача[*] Пусть на $\R^n$ задана мера $\nu=f\mu$, где $f$ гладкая функция, принимающая значения в $[\epsilon, \infty[$, $\epsilon>0$, а $\mu$ - мера Лебега. Постройте изоморфизм $(\R^n, \nu)$ и $(\R^n, \mu)$. \ез \задача Решите приведенную выше задачу в случае $n=1$. \ез \определение Пусть группа $G$ действует на пространстве $(M, \mu)$ с мерой. Мы говорим, что $\mu$ {\бф $G$-инвариантна}, если для любого $g\in G$, отображение $m \arrow g(m)$ задает изоморфизм из $(M, \mu)$ в себя. \ео \определение Мера $\mu$ называется {\бф локально конечной}, если у каждой точки есть окрестность $U$, которая удовлетворяет $\mu(U)<\infty$. Пусть $G$ это группа. {\бф Левое действие группы на себе} задается формулой $g, x \arrow gx$, {\бф правое действие} - $g, x \arrow xg$. {\бф (Левая) мера Хаара} это ненулевая, локально конечная мера Бореля на $G$, инвариантная относительно левого действия группы, и положительная на каждом непустом открытом множестве. Правая мера Хаара -- мера, инвариантная относительно правого действия. \ео \задача Пусть $G$ -- компактная топологическая группа, а $\mu$ -- мера Хаара. Докажите, что $\mu(G)$ конечно. \ез \задача[!] Пусть $G$ топологическая группа, а $\mu$, $\nu$ меры Хаара, такие, что $\mu(G)<\infty$, $\nu(G)<\infty$. \енум \итем Докажите, что $\nu \ll \mu+\nu$. \итем Воспользовавшись теоремой Радона-Никодима, докажите, что $\nu = f (\mu+\nu)$, для какой-то измеримой функции $f:\; G \arrow \R^{\geq 0}$. \итем Докажите, что $f$ постоянна вне $\mu+\nu$-пренебрежимого множества. \итем Выведите из этого, что $\nu = c \mu$, для какой-то константы $c$. \ее \ез \определение Напомним, что подмножество $V\subset M$ хаусдорфова топологического пространства называется {\бф ограниченным}, или {\бф предкомпактным}, если $V$ содержится в компактном множестве. \ео \задача Докажите, что $V\subset M$ предкомпактно тогда и только тогда, когда замыкание $V$ компактно. \ез \определение Топологическое пространство $M$ называется {\бф пространством со счетной базой}, если есть счетный набор открытых множеств $\{U_i\}$ такой, что любое открытое множество представляется в виде объединения $U_i$. \ео \задача \енум \итем Докажите, что в $\R^n$ есть счетная база. \итем Докажите, что у компактного многообразия есть счетная база. \итем Пусть $\Z_p$ -- кольцо $p$-адических чисел, с обычной топологией. Докажите, что у $\Z_p$ есть счетная база. \ее \ез \задача[*] Пусть $E$ - борелевское множество в локально компактной, хаусдорфовой группе $G$, со счетной базой, а $\mu$ - мера Хаара на $G$. Обозначим за $E^{-1}$ множество элементов вида $g^{-1}$, $g\in E$. Докажите, что $E$ имеет меру нуль тогда и только тогда, когда $E^{-1}$ имеет меру нуль. \ез \задача[!] Пусть $G$ - локально компактная топологическая группа со счетной базой, $\mu$, $\nu$ меры Хаара, а $U$ предкомпактная окрестность единицы. \енум \итем Докажите, что существует измеримая функция $f:\; U \arrow \R^{\geq 0}$ такая, что $\nu = f (\mu+\nu)$. \итем Докажите, что вне $\mu+\nu$-пренебрежимого подмножества $U$, $f$ равна константе: $f=c$. \итем Выведите из этого, что \begin{equation}\label{_nu_mu_on_U_Equation_} \nu\restrict{U}=c\mu\restrict{U}, \end{equation} для какой-то константы $c\in \R$, и для любой предкомпактной окрестности единицы в $G$. \итем Воспользовавшись наличием счетной базы, выведите из \eqref{_nu_mu_on_U_Equation_} равенство $\nu(A)=c\mu(A)$ для любого борелевского $A$. \ее \ез \указание (к последнему пункту): воспользовавшись наличием счетной базы, докажите, что каждое борелевское подмножество $G$ есть объединение счетного числа компактов. \еу \замечание Мы доказали, что на локально компактной топологической группе со счетной базой (левая) мера Хаара единственна, с точностью до константы. \еза \задача[!] Пусть $r(g):\; G \arrow G$ -- действие группы (с счетной базой) справа на себя. Докажите, что для левой меры Хаара, $r(g)_* \mu$ тоже левоинвариантная мера Хаара, пропорциональная исходной, $r(g)_* \mu = \lambda_g(\mu)$. Докажите, что $g \arrow \lambda_g$ есть гомоморфизм группы в $\R^*$. \ез \задача[*] Постройте группу, для которой этот гомоморфизм нетривиален. \ез \задача[!] Докажите, что для компактной группы, мера Хаара инвариантна слева и справа. \ез %\задача[**] %Приведите пример, когда левая мера Хаара на группе %не пропорциональна правой. %\ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Построение меры Хаара} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание Как следует из результатов листка 5, чтобы сконструировать меру Хаара на локально компактной топологической группе $G$, достаточно сконструировать левоинвариантный объем $\lambda:\; {\bf C} \arrow \R^{\geq 0}$ на компактных подмножествах $G$. \еза \определение Пусть $E\subset G$ предкомпактное подмножество, $F\subset G$ подмножество с непустой внутренностью. $F$-сеть на $E$ это такой конечный набор точек $\{x_i\}\subset G$ (называемых узлами $F$-сети), что $\bigcup x_i F$ покрывает $E$. Минимальное число узлов в $F$-сети обозначается $E:F$. \ео \задача Докажите, что в этих условиях $F$-сеть всегда существует. \ез \задача Пусть $A$ предкомпактное и с непустой внутренностью. Докажите, что $(E:A)(A:F)\geq E:F$. \ез \задача \label{_lambda_U_Zadacha_} Зафиксируем предкомпактное подмножество $A\subset G$ с непустой внутренностью. Для заданного открытого подмножества $U\subset G$, определим функцию $\lambda_U:\; {\bf C}\arrow \R$ на множестве всех компактов $C\subset G$, $\lambda_U(C):= \frac {C:U}{A:U}.$ Докажите, что эта функция счетно-полуаддитивна, левоинвариантна, и для любых $C$, $D$, таких, что $CU^{-1}\cap DU^{-1}=\emptyset$, верно \[ \lambda_U(C\cup D) = \lambda_U(C)+\lambda_U(D) \] \ез \указание Воспользуйтесь тем, что для каждого $x$ такого, что $C$ пересекает $xU$, $D$ не пересекает $xU$. \еу \задача В условиях предыдущей задачи, рассмотрим произведение ${\cal K}:= \prod_{C\in {\bf C}} I_C$ отрезков $I_C:= [0, C:A]$, проиндексированное всеми компактными множествами $C\in {\bf C}$, с топологией тихоновского произведения. Можно рассматривать ${\cal K}$ как пространство функций $f:\; {\bf C}\arrow \R$, принимающих значения в $[0, C:A]$, с топологией поточечной сходимости. Это пространство компактно, по теореме Тихонова. Обозначим за $\Delta_U$ множество всех $\lambda_V\in {\cal K}$ таких, что $V\subset U$. \енум \итем Докажите, что $\bigcap \Delta_{U_i}=\Delta_{\cap U_i}$, где пересечение берется по конечному набору окрестностей единицы $U_i\subset G$. Докажите, что это множество непусто. \итем Обозначим за $\overline{\Delta_U}$ замыкание $\Delta_U$ в ${\cal C}$. Это множество компактно, по теореме Тихонова. Докажите, что $\bigcap_U \overline{\Delta_U}$ непусто, где пересечение берется по всем открытым окрестностям единицы в $G$. \итем[!] Пусть $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R$ лежит в $\bigcap_U \overline{\Delta_U}$. Докажите, что $\lambda$ - ненулевой, левоинвариантный объем на ${\bf C}$ \ее \ез \указание Проверьте, что левоинвариантность, монотонность и полуаддитивность это замкнутые условия в ${\cal K}$. Выведите из этого, что им удовлетворяют все $f \in \overline{\Delta_U}$. Чтобы доказать, что $\lambda$ это объем, надо проверить аддитивность. Из локальной компактности выведите, что для любых непересекающихся компактов $C$ и $D$ существует окрестность $U$ единицы в $G$ такая, что $CU^{-1}$ не пересекается с $DU^{-1}$. Условие $f(C\coprod D)= f(C)+ f(D)$ замкнутое, и ему в силу задачи \ref {_lambda_U_Zadacha_} удовлетворяют все $f\in\Delta_U$. Выведите из этого, что $\lambda$ тоже удовлетворяет этому условию. \еу \задача Пусть $\mu$ - мера Хаара на локально компактной топологической группе $G$. Докажите, что $\mu(e)\neq 0$ тогда и только тогда, когда $G$ дискретна. \ез \задача Рассмотрим мультипликативную группу $\R^{>0}$ как локально компактную топологическую группу. Докажите, что мера Хаара $\lambda$ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега $\mu$ на $\R^{>0}$. Выведите из этого соотношение $\lambda=f\mu$ и найдите функцию $f$. \ез \задача Решите такую же задачу для мультипликативной группы $\C^*$ ненулевых комплексных чисел. \ез \задача[*] Рассмотрим группу $GL(n, \R)\subset \Mat(n, \R)$ с топологией и мерой Лебега $\mu$, индуцированной из $\Mat(n, \R)$. Докажите, что мера Хаара $\lambda$ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на $GL(n, \R)$. Выведите из этого соотношение $\lambda=f\mu$ и найдите функцию $f$. \ез \задача[*] То же самое для $GL(n, \C)\subset \Mat(n, \C)$. \ез \end{document}