\documentclass[10pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-25mm}
\addtolength{\textheight}{50mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-18mm}
\addtolength{\textwidth}{35mm}

\input{def-listki.tex}

% version 1.0, 04.11.2010
% version 1.1, 13.11.2010, ������ ������ ��������
% version 1.2, 28.01.2012, ����������� �� ���� ��������
% version 2.0, 14.04.2015, ����� �������� �����
% version 3.0, 25.04.2015, ������������ ������� �����, � ��� �����!
% version 3.1, 25.04.2015, ������������ ������� ��������
% version 4.0, 09.05.2015, ne nuzhna ona! Takzhe, popravil opechatku

\newcommand{\version}{version 4.0,\ \   09.05.2015}
\newcommand{\firstdate}{18.4.2015}

\begin{document}


\listok{5}{������ ���� 5: ������� ����}

\subsection{���� � �����}

�� ���������� ����� �����, $M$ ���� 
����������� �������������� ������������, � ${\bf C}$ -
��������� ���������� ����������� $M$. 

\�����������
{\�� �������� ����������� �������� �� $M$}  ����������
$\sigma$-������� ${\bf S}$, ����������� ${\bf C}$. 
{\bf ���� ������} - ��� ���� �� $(M, {\bf S})$.
\��

\������
�����������, ��� $M$ - �������� ��������� � 
����� ������� ���� ��������
��������. ��������, ��� ${\bf S}$ -- $\sigma$-�������, 
����������� ��������� �����������.
\��

\������
�����������, ��� ����� ��������� ������������ � 
$M$ ����� ���� �������� ��� ������� �����������
��������� (� ����� ��������, ���������, ���
$M$ {\�� $\sigma$-���������}).  ��������, ���  
${\bf S}$ - $\sigma$-�������, 
����������� ��������� �����������.
\��

%\������[*]
%\����
%\����[*]
%��������� ������ �������� ����������� ���������������
%������������, ������� �������� ���������, �� �� $\sigma$-���������. 
%
%\����[*]
%�������� �� �� $\sigma$-������������ ��������� ������������?
%\��
%\��


\�����������
����� ������ ������� 
$\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$,
��� ${\bf C}$ ���� ��������� ���������� ����������� $M$.
�� �������, ��� $\lambda$
\����
\item {\�� ���������}, ���� $\lambda(A)\leq \lambda(B)$ ��� $A\subset B$
\item {\�� ���������}, ���� $\lambda(A \coprod B) = \lambda(A)+\lambda(B)$
\item {\�� �������������}, ���� $\lambda(A \cup B) \leq \lambda(A)+\lambda(B)$
\��
� ����� ������, $\lambda$ ���������� {\�� �������}. 

%����� ���������� {\�� ����������}, ���� ��� ������
%����������� ��������� $K\subset M$,
%����������� ��� ��������� ���������,  �����
%$\lambda(K)=\sup_{K'\subset K^\circ}\lambda(K')$,
%��� �������� ������� �� ���� ��������� $K'$, ������� �� ������������ $K$.
%� ����������, ��� ������ �������������� �� ��������� �����������.
\��

\�����������
����� �� $M$ ����� ����� 
$\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$.
{\bf ���������� �������} ������������ $S\subset M$
���������� ����� $\lambda_*(S):= \sup\limits_C \lambda(C)$,
��� �������� ������� �� ���� ���������� $C\subset S$.
{\�� ������� �����} ������������ $S\subset M$
���������� ����� $\lambda^*(S):= \inf\limits_U \lambda_*(U)$,
��� ������� ������� �� ���� �������� ���������� $U$,
���������� $S$.
\��

\������
��������, ��� ��� ������ ��������� ���������
$U\subset M$, $\lambda_*(U)=\lambda^*(U)$.
\��

\�����������
��������, ��� {\�� �������������} ������������ $A\subset M$
���������� ��������� ���� $x\in A$ �����, ��� ���������
����������� $x$ ���������� � $A$.
\��

\������
��������, ��� ������������ ������ ��������� �������.
��������, ��� ������������ $A\subset M$ ���������
� $M\backslash \overline{(M\backslash A)}$,
��� $\overline{(M\backslash A)}$ ����������
��������� $M\backslash A$ � $M$.
\��

\������
��������, ��� ��� ������ ����������� ������������
$C\subset M$, 
\[ \lambda^*(C)\geq \lambda(C) \geq \lambda_*(C_0),
\]
��� $C_0$ ���������� ������������ $C$.
\��

\������[*]
����� $M$ �������� ��������� � ����� ������� ����. ��������, ���
��� ������ �������� $C\subset M$,  
$C= \bigcap U_i$, ��� ��������� ������������������
�������� ��������, ���������� $C$. 
\��

%\������[*]
%� ���� ��������, �����������, ��� 
%$\lambda(\bigcap C_i) = \lim \lambda(C_i)$
%��� ����� ������������������ ���������� ��������
%$C_0\supset C_1\supset ...$ �����, ��� $\bigcap C_i$
%���������. ��������,
%��� ��� ������ ����������� ������������
%$C\subset M$, $\lambda^*(C)=\lambda(C)$, 
%\��

\������[!]
�����  $M=\R^n$.
��������, ��� ���� ������ �� $M$ ������ ����� 
\[ \lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}. \]
��������, ��� � ����� ��������  
$\lambda^*(C)=\lambda(C)$
��� ������ ����������� ������������ $C\subset M$.
\��

\������
����� $M$ - ����������� �������������� ������������,
�� �������  ����� ����� $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$.
�����������, ��� $C\subset U\cup V$ -- 
���������� ������������ ����������� ��������
�������� $U$ � $V$. ��������, ��� ��������
���������� ������������ $C_U\subset U$,
$C_V\subset V$ �����, ��� $C_U\cup C_V = C$.
\��

\��������
��������, ��� ��� ���������������� ����������
������������ ����������� ������������ �����
���������������� �����������. ��������������
����, ����� ����� ���������������� ��������
����������� $U_1$ � $C\backslash V$ �
$V_1$ � $C\backslash U$. ��������, ���
$C_V:=C\backslash U_1$, $C_U:=C\backslash V_1\subset U$
������������� �������� ������.
\��

\������[!]
����� $M$ - ����������� �������������� ������������,
�� �������  ����� ����� $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$.
����� $U, V$ �������� ���������. ��������, ���
$\lambda_*(U\cup V) \leq \lambda_*(U)+\lambda_*(V)$.
\��

\�������� �������������� ���������� �������.
\��

\������
�������� �� �����, ��� $\lambda^*$ �������������, �� ����
$\lambda^*(\bigcup A_i) \leq \sum \lambda^*(A_i)$
��� ������ ��������� ������ $A_i\subset M$.
\��


\������[!]
��������, ��� $\lambda^*$ ������ �������������, �� ����
������������� $\lambda^*(\bigcup A_i) \leq \sum \lambda^*(A_i)$
��� ������ �������� ������ $A_i\subset M$.
\��

\�������� ������� ����������� � 
$\lambda_*(\bigcup U_i) \leq \sum \lambda^*(U_i)$, ��� $U_i$ ���
�������. ���� $C\subset \bigcup U_i$ �������, ��
$C$ ����������� �������� ������� $U_i$. 
�������������, 
\[ \lambda^*\left(\bigcup U_i\right)\leq \lambda^*(U_1\cup U_2 \cup ... U_n)
\]
��� ��������� ���������. �������������� ����������
�������, ����� ��������
$\lambda^*(U_1\cup U_2 \cup ... U_n)\leq \sum_{i=1}^n\lambda^*(U_i)$.
\��

\������[!]
����� $U$ �������, $C$ ���������. ��������, ���
\[ \lambda^*(U) = \lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U\cap C).\]
\��

\��������
� ���� ��� �����������, ���������� ����������
\[ \lambda^*(U) \geq \lambda^*(U\backslash C) + \lambda^*(U\cap C).\]
$\lambda_*(U\backslash C)$ ���� 
$\sup \lambda(D)$, ��� �������� ������� �� ���� ���������� 
$D$, ������� � $U\backslash C$. ��� ������� ������ $D$, 
$U\backslash D$ ��� ����������� $C\cap U$, � 
$\lambda^*(C\cap U)\leq \lambda_*(U\backslash D) =\sup\lambda(E)$,
��� �������� ������� �� ���� ��������� $E$, ������� �
$U\backslash D$. �� ���������� $D$ � $E$ �� ������������.
��������, ���
\[ 
  \lambda^*(U\backslash C)+\lambda^*(U\cap C)=
  \sup_{D} \lambda(D) + \lambda^*(U\cap C)
    \leq \sup_{D,E}\lambda(E)+\lambda(D)= 
    \sup_{D,E}\lambda(D\cup E) \leq \lambda^*(U) 
\]
\��

\�����������
����� $M$ - ����������� �������������� ������������,
�� �������  ����� ����� $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$.
������������ $A\subset M$ ���������� {\�� $\lambda^*$-���������},
��� �� {\�� ��������� �� �����������}, ���� 
\[ 
\lambda^*(B) = \lambda^*(B\backslash A) + \lambda^*(B\cap A)
\]
��� ������ ������������ $B\subset M$.
\��

\������[!]
����� 
\begin{equation}\label{_izmerimo_otn_otkr_Equation_}
\lambda^*(U) = \lambda^*(U\backslash A) + \lambda^*(U\cap A)
\end{equation}
��� ������ ��������� $U\subset M$.
��������, ��� $A$ $\lambda^*$-��������.
\��

\��������
$\lambda^*(B)= \inf\lambda^*(V)$, ��� ������� �������
�� ���� �������� ������������ $V\supset B$. ������� �� 
\eqref{_izmerimo_otn_otkr_Equation_} �������
\begin{align*}
\lambda^*(B)= \inf_V\lambda^*(V)= 
\inf_V \bigg(\lambda^*(V\backslash A) + \lambda^*(V\cap A)\bigg) % \\
\geq \lambda^*(V\backslash A)+\lambda^*(V\cap A)\geq
\lambda^*(B\backslash A) + \lambda^*(B\cap A)
\end{align*}
�������� ����������� �������� �� ����������������.
\��

\������[!]
��������, ��� $\lambda^*$-��������� ��������� �������� �������.
\��

\��������
���� $\lambda^*(X\coprod Y)= \lambda^*(X) + \lambda^*(Y)$,
�� $\lambda^*(X\coprod Y)= \lambda^*(X\backslash A) + 
\lambda^*(X\cap A)+ \lambda^*(Y\backslash
A)+\lambda^*(Y\cap A)$, ��� ������ $\lambda^*$-���������� 
��������� $A$. 
\��

\������
\label{_limit_them_measura_Zadacha_}
����� $A= \coprod_{i=1}^\infty A_i$ -- �������
����������� ���������������� $\lambda^*$-���������
��������. �����������, ��� ��� ������
��������� $X$ � $\lambda^*(X)< \infty$, �����
$\lim_N \lambda^*(X\cap \coprod_{i=N}^\infty A_i)=0$.
��������, ��� $A$ ���� $\lambda^*$-��������.
\��

\��������
��������, ��� 
\[ \lambda^*(A\cap X) = 
\lambda^*\left (X\cap \coprod_{i=1}^{N-1} A_i\right)+\lambda^*\left(X\cap
\coprod_{i=N}^\infty A_i\right), \ \ \ \text{�}\ \  \ \lambda^*(X\backslash A) \leq  
\lambda^*\left( X \backslash\left(\coprod_{i=1}^{N-1} A_i\right)\right),
\]
� ��������
\[
\lambda^*(A\cap X)+ \lambda^*(X\backslash A)\leq 
\lambda^*(X) + \lambda^*\left(X\cap \coprod_{i=N}^\infty A_i\right).
\]
\��


\������ \label{_union_then_limit_Zadacha_}
����� $X$ ��������, $\lambda^*(X\cap A)< \infty$,
���  $A= \coprod_{i=1}^\infty A_i$ -- �������
����������� ���������������� $\lambda^*$-���������
��������. ��������, ��� $\lim_N \lambda^*(X\cap \coprod_{i=N}^\infty A_i)=0$.
\��

\��������
������� $X$ ��  $X\cap A$, 
� $A_i$ �� $A_i\cap X$, ����� �������, ��� 
$X=A$ � $\lambda^*(X)<\infty$. ����� $U_i$ --
����������� $A_i$, �����, ��� 
$\lambda^*(U_i) \leq \lambda^*(A_i) + \frac 1 {2^i}\epsilon$.
��������, ��� $\lambda^*(U_i\backslash A_i) \leq \frac 1
{2^i}\epsilon$. ������� � $\bigcup_i U_i$ ������� $K$,
�����, ��� $\lambda^*(A) = \lambda(K) -\epsilon$, � �����
$U_1, ..., U_N$ -- �������� �������� $K$.  ��������, ���
\[
\lambda^*(A)=\lambda(K) -\epsilon \leq 
\lambda^*\left (\bigcup_{i=1}^N U_i\right) 
\leq \sum_{i=1}^N \lambda^*(A_i) +
\lambda^*(U_i\backslash A_i) \leq \sum_{i=1}^N
\lambda^*(A_i)+ \epsilon.
\]
���������������� $\lambda^*(A) =\sum_{i=1}^N
\lambda^*(A_i) +\lambda^*\left(\coprod_{i=N}^\infty
A_i\right)$,
���������, ��� $\lambda^*\left(\coprod_{i=N}^\infty
A_i\right)\leq 2\epsilon$.
\��

\������
��������, ��� ������� ����������� $\lambda^*$-���������
�������� ����� ����������� ��� ������� �����������
���������������� $\lambda^*$-��������� ��������.
\��

\������[!]
��������, ��� ������� ����������� $\lambda^*$-���������
�������� $\lambda^*$-��������. �������� �� �����,
��� ����� ����������� ��������� $\lambda^*$-��������.
��������, ��� $\lambda^*$ ������ ����
�� ������� ����������� ��������.
\��

\��������
�������� $\bigcup A_i$ �� ������� ����������� 
���������������� $\lambda^*$-���������
��������, � ��������� ������
\ref{_limit_them_measura_Zadacha_} � 
\ref{_union_then_limit_Zadacha_}.
\��

\�����������
��� ���� ���������� {\�� ����������� �����, ���������
� ������� $\lambda :\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$}.
\��

%\�����������
%����� $\lambda$ ���������� {\�� ����������},
%���� ��� ������� ����������� ��������� $K$,
%$\inf_{U\supset K} \lambda^*(U) = \lambda(K)$.
%\��

\������[!]
����� $M=\R^n$, � $\lambda:\; {\bf C}\arrow \R^{\geq 0}$
��� ���� ������.  
%��������, ��� $\lambda$ -- ����������
%�����. 
��������, ��� ��������������� ��� ������� ���� 
$\lambda^*$ �� ����������� ���������� ����� ���� ������.
\��

\������[!]
��������, ��� ��������� �� ������ ������������ $\R^n$ ��������
�� �����������.
\��

\������[**]
��������, ��� ��������� �� ����������� ������������ $\R^n$
�������� �� ������.
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{����������� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
����� $M$ -- ����������� ������������. {\�� �������}
$\diam(M)\in [0, \infty]$ ���� ����� $\sup_{x,y\in M} d(x,y)$
\��

\�����������
{\�� �����} � ������� � $x$ ������� $\epsilon$
� ����������� ������������ ���������� ���������
$B_\epsilon(x)$ ���� ����� $y$ � $d(x,y)<\epsilon$.
\��

\������
���� ����� ���� ����� ������� ���� ������� $\epsilon$
� ����������� ������������?
\��

\������
����� $M$ -- ����������� ������������, $\epsilon >0$.
��������, ��� � $M$ ���� ��������, ���������
�� ����� �������� $\leq \epsilon$.
\��


\�����������
����� $\{S_i\}$ -- �������� ������������ $M$,
��������� �� ����� ������� $r$ � $r < \epsilon$.
��������� $\mu_{d, \epsilon} \in [0, \infty]$ ���
\[
\mu_{d, \epsilon}:= \inf_{\{S_i\}} \sum_i (\diam S_i)^d
\]
��� ������� ������� �� ���� ����� ���������.
������ $\mu_d(M):= \sup \lim_{\epsilon \rightarrow 0}\mu_{d,
   \epsilon}(M)$
���������� {\�� $d$-������ ����� ���������} 
������������ $M$.
\��

\������[!]
��������, ��� ��� ������ ������������
������������, $\mu_d(M)$ -- ���������
�������������� ������� �� $d$, ������ ��� 
 ����� ���� ��� �������������
�����, �����, ���� �����, ������ �������� $d$.
\��

\��������
��������, ��� ��� ������ �������� ������
� ��������� $\leq \epsilon$, �����
$\sum_i (\diam S_i)^d\leq \epsilon^{d-d'}\sum_i (\diam S_i)^{d'}$
��� $d> d'$. �������� �� �����, ���
$\mu_{d}(M)\leq \epsilon^{d-d'}\sum_i (\diam S_i)^{d'}$,
� �� ����� -- ��� $\mu_d(M) \leq \epsilon^{d-d'}\mu_{d'}(M)$
\��

\�����������
{\�� ����������� ���������} $\dim_h(M)$ ������������
������������ ���� �������� $\sup\  \{ d\in \R \  |\ 
\mu_d(M)=\infty\}$. {\�� ���� ���������} $\Vol_h(M)$
���� ��� ���� ��������� ����������� $\dim_h(M)$.
\�� 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{���� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\������ 
��������, ��� $\dim_h([0,1])=1$.
\��

\������[**]
����� $M_1$, $M_2$ - ���������� ����������� ������������. 
��������, ��� 
\[ \dim_h(M_1\times M_2) = \dim_h(M_1) + \dim_h(M_2).
\]
\��

\������[*]
������� ����������� ��������� ���������� ���� � $\R^n$.
\��

\������[*]
��������� ��������� ��������� ��� ������������ $K\subset [0,1]$,
��������� �� ���� �����, � �������� ���������� ������� ��� 1.
������� $\dim_h(K)$.
\��

\������[**]
��������� ����������� ������������ �����������
����������� ���������.
\��


\������
�����������, ��� $M$ -- �������� ����������
����������� ������������ ������������ �����������
$d$, ������ ��������������� $d$-������ ���� 
$\mu_d(K)$ ������� ��� ������ ��������.
��������, ��� $\mu_d(K)$  �������� �������, � ������
�����������, ������� � ������ ������.
\��


\������[*]
����� $M=\R^n$, � ������� ��������. 
��������, ��� ����� $\Vol_h(K)$, �������� ����� 
��������� �� ���������� ������������� $M$,
�������������� ���� ������.
\��


\end{document}
