\documentclass[11pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-10mm} \addtolength{\textheight}{20mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-5mm} \addtolength{\textwidth}{10mm} \input{def-listki.tex} % version 1.1, 20.10.2010 % version 1.2, 20.01.2012, corrections from Sasha Anan'in % version 1.3, 02.04.2015, Spring 2015 version % version 1.3.1, 09.05.2015, indeks popravil \newcommand{\version}{version 1.3.1,\ \ 09.05.2015} \newcommand{\firstdate}{11.4.2015} \begin{document} \listok{4}{Теория меры 4: Теорема Радона-Никодима и теорема Фубини} \subsection{Разложение Хана} \определение Напомним, что {\бф зарядом} называется счетно-аддитивная функция на $\sigma$-\-ал\-геб\-ре, принимающая значения в $\R$. \ео \задача[!] \label{_beta_Han_Zadacha_} Пусть $\rho$ - заряд на сигма-алгебре ${\goth U}\subset 2^S$, а $\beta:= \inf \rho(B_\alpha)$, где $\inf$ берется по всем $B_\alpha$ таким, что $\rho(B_\alpha)<0$. \енум \итем Докажите, что $\beta > -\infty$. \итем Пусть $E$ измеримое множество, такое, что $\rho(E)\leq \beta +\epsilon$. Докажите, что для любого $E'\subset S\backslash E$, $\rho(E') \geq -\epsilon$. \итем Пусть $E_1, E_2$ измеримые множества, причем $\rho(E_i)\leq \beta +\epsilon_i$. Докажите, что $\rho(E_1\triangle E_2) \geq -\epsilon_1 -\epsilon_2$. Выведите из этого, что $\rho(E_1\cup E_2) \leq \beta +\epsilon_1 +\epsilon_2$ и $\rho(E_1\cap E_2) \leq \beta +\epsilon_1 +\epsilon_2$. \итем Пусть $E_i$ - последовательность измеримых множеств, такая, что $\rho(E_i) \leq \beta + \frac 1 {2^i}$. Докажите, что последовательность $B_{j}:= \cup_{i>j} E_i$ обладает тем же свойством. \итем В этих условиях, покажите, что $\rho(B)=\beta$, где $B=\bigcap B_i$. \ее \ез \указание Убедитесь, что $|\rho(B_j\backslash E_j)|\leq \frac{1}{2^{j-1}}$, $\rho(B_j\backslash B_{i+j})\leq \frac{1}{2^{j-3}}$, а $\rho(B_j\backslash B)\leq \frac{1}{2^{j-4}}$. \еу \задача В условиях предыдущей задачи, обозначим $S\backslash B$ за $A$. Докажите, что $\rho(V)\geq 0$ для любого измеримого $V\subset A$. \ез \определение В этой ситуации говорится, что заряд $\rho$ {\бф положителен на $A$}, обозначается $\rho \geq 0$. Ясно, что в таком случае $\rho\restrict A$ является мерой. Если $-\rho$ положителен, говорится, что $\rho$ отрицателен на $A$. Если же $\rho(V)=0$ для любого измеримого $V\subset A$, говорится, что множество $A$ {\bf $\rho$-пренебрежимо}. \ео \задача[!] В условиях Задачи \ref{_beta_Han_Zadacha_}, докажите, что $\rho$ отрицателен на $B$, положителен на $A:= S\backslash B$, и разложение $S=A\coprod B$ определено однозначно с точностью до $\rho$-пренебрежимого множества. \ез \определение Это разложение называется {\бф разложением Хана}. \ео \subsection{Абсолютная непрерывность} \определение Пусть $S$ -- пространство с сигма-алгеброй, а $\mu$ и $\nu$ -- две меры. Мы говорим, что $\nu$ {\бф абсолютно непрерывна} относительно $\mu$ (обозначается $\nu \ll\mu$) если для любого измеримого множества $A$, из $\mu(A)=0$ следует $\nu(A)=0$. \ео \замечание Алгебру измеримых (по Лебегу) подмножеств $\R^n$ мы предполагаем фиксированной. Когда говорится о мере на $\R^n$, всегда речь идет о мере на этой алгебре. \еза \задача Приведите пример меры на $\R^n$, не равномерно непрерывной относительно меры Лебега \ез \задача Найдите бесконечный набор $M$ мер на $\R^n$, таких, что никакая мера $\mu \in M$ не равномерно непрерывна относительно другой $\mu'\in M$. \ез \задача Пусть $\mu$ мера на пространстве с сигма-алгеброй, а $f$ -- интегрируемая функция со значениями в $\R^{\geq 0}$. Определим меру $f\mu$ как $A\arrow \int_A f \mu$. Докажите, что $f\mu \ll \mu$. \ез \задача Пусть на пространстве $S$ с сигма-алгеброй заданы меры $\nu\ll\mu$, причем $\nu(S)<\infty$. Предположим, что $\mu(S)<\infty$ и $\nu(S)>0$. Рассмотрим заряд $\nu - \epsilon \mu$, где $\epsilon >0$, и пусть $S= A_\epsilon \coprod B_\epsilon$ -- соответствующее ему разложение Хана. \енум \итем Докажите, что $\nu(B_\epsilon) \leq \epsilon \mu(S)$, и $\lim\limits_{\epsilon \arrow 0} \nu(B_\epsilon)=0$. \итем Выведите из этого, что $\nu(A_\epsilon)> \frac 1 2 \nu(S)$ для достаточно маленьких $\epsilon$. \итем Докажите, что $\mu(A_\epsilon)>0$ для какого-то $\epsilon$ \ее \ез \задача[!] \label{_ograni_abso_nepre_Zadacha_} Пусть на пространстве $S$ с сигма-алгеброй заданы меры $\nu\ll\mu$, причем $0<\nu(S)<\infty$ и $\mu(S)< \infty$. Докажите, что для какого-то измеримого множества $A$ с $\mu(A)>0$, и какого-то $\epsilon >0$ заряд $\nu - \epsilon \mu$ положителен на $A$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей \еу \задача[!] \label{_abso_nepre_epsilo_del_Zadacha_} Пусть на пространстве $S$ с сигма-алгеброй заданы меры $\nu\ll\mu$, причем $\nu(S)<\infty$. Докажите, что для любого $\delta>0$ найдется $\epsilon>0$ такой, что из $\mu(V)<\epsilon$ вытекает $\nu(V)<\delta$. \ез \указание Применим разложение Хана к $\nu-\alpha \mu$, и пусть $Z_\alpha$ -- множество, где заряд $\nu-\alpha \mu$ положителен. Докажитей что множества $Z_\alpha$ монотонно уменьшаются при увеличении $\alpha$, а их пересечение имеет меру нуль по $\mu$. Возьмите $\delta$ такой, что $\mu(Z_\delta)<\epsilon$. \еу \замечание Довольно часто это свойство предлагается в качестве определения абсолютной непрерывности, эквивалентного обычному. \еза \задача[*] Найдите контрпример к утверждению предыдущей задачи, в ситуации, когда $\nu(S)=\infty$. \ез \задача Приведите контрпример к утверждению задачи \ref{_ograni_abso_nepre_Zadacha_}, где $\mu$ -- мера Лебега на единичном кубе $S\subset \R^n$, а $\nu$ не обязательно удовлетворяет $\nu\ll\mu$. \ез \задача Пусть на пространстве $S$ с с сигма-алгеброй заданы меры $\nu\ll\mu$, причем $\mu(S)< \infty$ и $\nu(S)<\infty$. Рассмотрим множество ${\cal F}$ интегрируемых функций $f:\; S\arrow \R^{\geq 0}$ таких, что $\int_E f\mu \leq \nu(E)$ для любого измеримого множества $E\subset S$. Пусть $\alpha$ есть супремум $\sup\limits_{f\in \cal F} \int_S f\mu $. Докажите, что $\alpha =\int_S \nu$, и этот супремум реализуется для измеримой функции $f\in \cal F$. \ез \указание Рассмотрим последовательность $\{f_i\}\in {\cal F}$ таких, что \[ \lim_i \int_S f_i \mu = \alpha. \] Докажите, что $f:=\sup f_i$ это измеримая функция, лежащая в ${\cal F}$ и удовлетворяющая $\alpha =\int_S f\mu$. В предположении, что $\nu\neq f\mu$, воспользуйтесь задачей \ref{_ograni_abso_nepre_Zadacha_} и найдите $A$, $\mu(A)>0$ и $\epsilon$ такие, что $\nu' > \epsilon \mu$ на $A$, где $\nu' := \nu - f\mu$. Функция $f':= f+ \epsilon \chi_A$ принадлежит ${\cal F}$ и удовлетворяет $\int_S f' > \int_S f$. \еу \замечание На протяжении этого листка полезно пользоваться следующей леммой. Пусть $\{f_i\}$ - монотонно убывающая или возрастающая последовательность интегрируемых функций, ограниченная по норме $|\cdot|_1$. Тогда $\{f_i\}$ это последовательность Коши в смысле $L_1$-топологии, (топологии, заданной нормой $|\cdot|_1$), и сходится (в смысле $L_1$-топологии) к поточечному пределу $f_i$. Докажите ее. \еза \задача[!] (теорема Радона-Никодима) Пусть на пространстве $S$ с сигма-алгеброй заданы меры $\nu\ll\mu$, причем $\mu(S)< \infty$ и $\nu(S)<\infty$. Докажите, что существует интегрируемая функция $f:\; S\arrow \R^{\geq 0}$ такая, что $\nu = f\mu$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу %\задача[*] %Определите абсолютную непрерывность для зарядов. %Сформулируйте и докажите теорему Радона-Никодима %в такой ситуации. %\ез \subsection{Прямой образ меры} \определение Пусть $M$, $N$ пространства с заданными на них сигма-алгебрами ${\goth U}_M$ и ${\goth U}_N$, а $f:\; M \arrow N$ - измеримое отображение. Определим {\бф прямой образ меры} $f_*\mu:\; {\goth U}_N\arrow \R$ посредством \[ f_*\mu (Z):= \mu (f^{-1}(Z))). \] \ео \задача Докажите, что это определение задает меру на $N$. \ез \задача[!] Пусть $f:\; I \arrow I$ -- измеримая функция, $\pi:\; I\times I \arrow I$ проекция на первый множитель, а $K\subset I\times I$ -- область под графиком $f$ в $I\times I$. Формально, $K$ определяется как подмножество $I\times I$, состоящее из всех пар \[ K:=\{ x, y\in I\times I\ \ | \ \ f(x)\geq y\}. \] В предположении, что мера произведения на $I\times I$ $\sigma$-аддитивна, докажите, что $K$ измеримо, а $\pi_* \mu= f\mu$, где $\mu$ это мера Лебега. \ез \определение Пусть $M$, $N$ топологические пространства, ${\goth U}_M$ и ${\goth U}_N$ алгебры борелевских множеств, а $f:\; M \arrow N$ - непрерывное отображение. Пусть на $M$ задана мера $\mu$. Определим {\бф прямой образ меры} $f_*\mu:\; {\goth U}_N\arrow \R$ так: \[ f_*\mu (Z):= \mu (f^{-1}(Z))). \] Прямой образ меры Лебега при непрерывном отображении компактных подмножеств из $\R^n$ продолжается до меры на алгебре измеримых множеств. Полученная мера называется {\бф прямым образом меры Лебега}. \ео \задача Приведите пример непрерывного отображения $f:\; M \arrow N$ открытых подмножеств $\R^n$ такого, что прямой образ меры Лебега не абсолютно непрерывен по отношению к мере Лебега на $N$. \ез \задача[!] Пусть $L:\; \R^n \arrow \R^n$ невырожденный линейный оператор. Докажите, что $L_* \mu = |\det L| \mu$. \ез \задача[*] Пусть $\phi:\; [0,1] \arrow [0,1]\times [0,1]$ - отображение Пеано (непрерывное сюрьективное отображение из отрезка в квадрат, построенное в листке Топология 6). Докажите, что $\phi_*\mu=\mu$, где $\mu$ это мера Лебега. \ез \задача[*] Пусть $(A, \mu_A)$, $(B, \mu_B)$ пространства с мерой, а $\phi:\; A\arrow B$, $\psi:\; B\arrow A$ инъективные измеримые отображения, которые удовлетворяют $\psi_* \mu_B=\mu_A$, $\phi_* \mu_A=\mu_B$. Предположим, что образ $\psi$ и $\phi$ также измерим, и обратные отображения (определенные на образе) измеримы. Докажите, что есть биекция $\xi:\; A\arrow B$, которая удовлетворяет $\xi_* \mu_A=\mu_B$. \ез \указание Воспользуйтесь тем же аргументом, который доказывает теорему Кантора-Бернштейна. \еу \задача[**] Пусть $(A, \mu_A)$, $(B, \mu_B)$ -- единичные кубы в $\R^n$ и в $\R^m$, с мерой Лебега. Постройте измеримую биекцию $\xi:\; A\arrow B$, которая удовлетворяет $\xi_* \mu_A=\mu_B$, $\xi^{-1}_* \mu_B=\mu_A$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Фубини} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $(X, \mu_X)$ и $(Y, \mu_Y)$ -- пространства с $\sigma$-алгеброй и счетно-аддитивной мерой. Напомним, что цилиндрическим множеством называется подмножество вида $A\times B\subset X\times Y$, где $A$ и $B$ измеримы в $X$, $Y$. Рассмотрим алгебру, порожденную цилиндрическими подмножествами в $X\times Y$, и положим $\mu(A\times B):= \mu_X(A)\mu_Y(B)$. Пусть $L(X\times Y)$ - пополнение этой алгебры, по внешней мере $\mu^*$, связанной с $\mu$, определенное в листке 2. \ео \задача В этих условиях, обозначим за $\pi:\; X\times Y\arrow Y$ естественную проекцию. Рассмотрим измеримое подмножество $A\subset X\times Y$, и пусть $\pi_* \mu_A:= \pi_* (\chi_A \mu^*)$ прямой образ меры с $A$. Предположим, что $X$ является счетным объединением подмножеств конечной меры (такие пространства называются {\бф $\sigma$-конечными}). Докажите, что $\pi_* \mu_A$ абсолютно непрерывно относительно $\mu_Y$. \ез \замечание \label{_prya_obra_R_N_Zamechanie_} Согласно теореме Радона-Никодима, $\pi_* \mu_A= f_A \mu_Y$, для какой-то измеримой функции $f_A$ на $Y$. \еза \задача Пусть $A\subset X\times Y$ - цилиндрическое измеримое множество, представленное в виде счетного объединения цилиндрических: $A = \coprod A_i$. Докажите, что $\pi_*(\chi_A \mu)=\sum\pi_*( \chi_{A_i}\mu)$. Выведите из этого, что мера $\mu$ на $X\times Y$ $\sigma$-аддитивна. \ез \задача Пусть $A\subset X\times Y$ -- множество меры нуль. Докажите, что $f_A=0$, где $f_A$ - функция, определенная выше. \ез %\указание %Воспользуйтесь тем, что $\int_Y f_A \mu_Y= \int_A \mu^*=0$. %\еу \задача Пусть задана последовательность Коши измеримых множеств $A_i\subset X\times Y$, сходящаяся к $A\subset X\times Y$, а $f_{A_i}$, $f_A$ - функции на $Y$, построенные выше. Докажите, что $f_{A_i}$ сходится к $f_A$ в метрике, заданной $|\cdot |_1$. \ез \указание Если $\mu(B)=\epsilon$, то $\int_Y f_B \mu_Y=\epsilon$. \еу \определение Пусть $A\subset X\times Y$ измеримо. Рассмотрим функцию $f_A$ на $Y$ (Замечание \ref{_prya_obra_R_N_Zamechanie_}). Подмножество $A\subset X\times Y$ называется {\bf $\pi$-измеримым,} если $A_y:= A\cap \pi^{-1}(y)\subset X\times \{y\}$ измеримо для почти всех $y\in Y$ (т.е. вне множества меры нуль на $Y$), и $\mu_X(A_y) = f_A(y)$ почти везде. \ео \задача Докажите, что цилиндрические множества $\pi$-измеримы. Докажите, что конечные объединения и пересечения $\pi$-измеримых множеств $\pi$-измеримы. Докажите, что множества меры нуль $\pi$-измеримы. \ез \определение Последовательность подмножеств $\{A_i\}\subset S$ называется {\бф монотонной}, если $A_i\subset A_j$ для всех $j>i$, либо $A_i\supset A_j$ для всех $j>i$. В первом случае говорится, что $\{A_i\}$ возрастающая последовательность, во втором случае - убывающая. \ео \задача \енум \итем Пусть задана монотонная последовательность $A_i\subset X\times Y$ $\pi$-измеримых множеств. Докажите, что функция $y\arrow \mu_X({A_i}_y)$ сходится к $y \arrow \mu_X(A_y)$, где $A=\bigcup A_i$ для возрастающей последовательности и $A=\bigcap A_i$ для убывающей последовательности. \итем Выведите из этого, что монотонная последовательность Коши $\pi$-измеримых множеств сходится к $\pi$-измеримому множеству \ее \ез \задача[!] Докажите, что все измеримые подмножества в $X\times Y$ $\pi$-измеримы. \ез \указание Докажите, что любое измеримое множество приближается последовательностью Коши вида $\bigcup_{j} \bigcap_{i>j} A_i$, где все $A_i$ - конечные объединения цилиндрических. Выведите из этого, что любое измеримое подмножество (с точностью до множества меры нуль) получается монотонными пределами из $\pi$-измеримых множеств. \еу \задача[*] Пусть $I$ есть единичный интервал, а $\phi:\; I \arrow I^n$ отображает число $x$ с десятичной записью $0,a_1 a_2, ...$ в $(x_1, ... x_n)$, где $x_ i$ записывается в десятичном виде как $0,a_i a_{i+n} a_{i+2n} ...$. Обозначим за $\mu_I$ меру Лебега на $I^n$. Докажите, что $\phi_*\mu_{I}$ есть мера Лебега на кубе $I^n$ \ез \задача[!] (теорема Фубини) Пусть $\phi$ -- интегрируемая функция на $X\times Y$, с мерой, заданной выше. Для $y\in Y$, рассмотрим ограничение $\phi$ на $X\times \{y\}$ как функцию $\phi_y:\; X\arrow \R$. Докажите, что $\phi_y$ измеримо для почти всех $y\in Y$, и \[ \int_{X\times Y} f \mu = \int_Y \left(\int_X \phi_y \mu_X\right)\mu_Y. \] \ез \задача Приведите пример неизмеримой функции $f:\; \R \arrow \R$, график которой измерим. \ез \задача[**] Существует ли функция $f:\; \R \arrow \R$, график которой неизмерим? \ез \end{document}