\documentclass[10pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{def-listki.tex}

% version 1.0, 16.02.2015, moved Dehn invariants 
% from listok-mera-01.tex and Boolean algebras from mera-2.tex 
%  

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   16.2.2015}
\newcommand{\firstdate}{21.2.2015}



\begin{document}

{\small
Для зачета по каждому листку надо 
сдать все задачи со звездочками, кроме двух
либо все задачи без звездочек, кроме четырех. 
Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. 
Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем. }

\listok{2}{Теория меры 2: Инвариант Дена и булевы алгебры}



\subsection{Равносоставленность многогранников}


\определение
{\бф Разрезание} многогранника есть разбиение его 
замыкания в объединение многогранников $A_1, ..., A_n, B$
таким образом, что все пересечения $A_i\cap A_j,$ $i\neq j$ 
вырождены, и $B$ тоже вырожден.
{\бф Триангуляция} многогранника есть разрезание его
на симплексы.
\ео

\задача
Докажите, что 
любой выпуклый многогранник допускает триангуляцию.
\ез

\задача
Докажите, что 
любой многогранник допускает триангуляцию.
\ез

\задача[*]
Докажите, что для любого многогранника $D$
можно найти конечный набор гиперплоскостей
$L_i$ такой, что все связные компоненты дополнения
$D\backslash \bigcup_i L_i$
суть симплексы, или найдите контрпример.
\ез


\определение
Два многогранника $A$, $B$ называются {\бф равносоставленными},
если их можно триангулировать, разрезав на многогранники
$A_1, ... A_k$, $B_1, ... B_k$ таким
образом, что $A_i$ конгруэнтен $B_i$ для любого $i$.
\ео

\задача
Докажите, что равносоставленность это соотношение
эквивалентности.
\ез

\задача
Докажите, что любой треугольник $A$ равносоставлен
паралеллограмму с таким же основанием и высотой
в половину высоты $A$.
\ез

\задача
Пусть $A, B$ -- два параллелепипеда в $\R^n$.
Докажите, что $A$ равносоставлен паралеллограмму,
который получается из $B$ гомотетией.
\ез



\задача
Докажите, что любой паралеллограмм в $\R^2$ равносоставлен
прямоугольнику с таким же основанием и же высотой.
\ез

\задача[*]
Докажите, что прямоугольник в $\R^2$
со сторонами $a$ и $b$ и прямоугольник
со сторонами $c$ и $d$ равносоставлены,
при условии $ab=cd$. 
\ез


\subsection{Третья проблема Гильберта}

\замечание
{\бф Объемом многогранника} называется
функция $\Vol_\Lambda$, построенная в листке 1.
\еза

\определение
Два многогранника называются {\бф равновеликими},
если они имеют одинаковый объем. Было доказано
что равносоставленные многогранники равновелики.
\ео

{\бф Третья проблема Гильберта:}
Постройте два равновеликих многогранника,
которые не равносоставлены.


\hfill

\задача[*]
Пусть $A$ и $B$ равновеликие многогранники на плоскости
(многогранники на плоскости называются
{\бф многоугольники}, или {\бф полигоны}).
Докажите, что они равносоставлены.
\ез

\замечание Это утверждение называется
{\бф теорема Бойяи-Гервина}.
\еза

\замечание
Предположим, что существует
конечно-аддитивная мера $\mu:\; {\goth U} \arrow \R$
на кольце многогранников, такая, что
$\mu(A)\neq \mu(B)$, а $A$ и $B$ равновелики.
Тогда $A$ и $B$ не равносоставлены.
\еза

\задача[!]
Выведите из теоремы Бойяи-Гервина следующее утверждение.
Пусть задана конечно-аддитивная мера $\mu:\; {\goth U} \arrow \R$,
где ${\goth U}$ - кольцо многоугольников
(многогранников в $\R^2$).
Докажите, что $\mu=\Vol \circ \xi$,
где $\Vol:\; {\goth U} \arrow \R$
конечно-аддитивная мера, заданная объемом, а 
$\xi:\; \R\arrow \R$ - $\Q$-линейный
гомоморфизм абелевых групп.
\ез

\задача
Постройте нетривиальный (не $\R$-линейный)
$\Q$-линейный гомоморфизм $\xi:\; \R\arrow \R$.
Используйте аксиому выбора.
\ез

\задача[!]
Докажите, что такой гомоморфизм обязательно переводит
некоторые положительные числа в отрицательные.
\ез

\определение
Пусть задан $\Q$-линейный гомоморфизм $\phi:\; \R \arrow \R$,
переводящий $\pi$ в 0, а $C$ - многогранник в $\R^3$,
с ребрами длины $d_1, ... d_n$ и прилежащими им
двугранными углами, выраженными (в радианах)
как $\alpha_1, ... \alpha_n$. Инвариант Дена
$D_\phi(C)$ записывается как
\[
D_\phi(C):= \sum_{i=1}^n d_i \phi(\alpha_i).
\]
\ео

\задача[!]
Докажите, что пространство $\Q$-линейных
гомоморфизмов, переводящих $\pi$ в 0, 
не пусто, и его мощность больше континуума.
\ез

\определение
Это множество наделяется структурой
векторного пространства над $\R$:
\[ \lambda(\phi)(c)= \lambda\phi(c).
\]
Оно называется {\бф пространством 
инвариантов Дена}.
\ео

\задача
Докажите, что пространство инвариантов Дена
бесконечномерно над $\R$. Докажите, что
для любого числа $\lambda\in R$
существует гомоморфизм $\phi:\; \R \arrow \R$,
такой, что $\phi(\lambda)\neq 0$, 
при условии, что $\lambda/\pi$ иррационально.
Воспользуйтесь аксиомой выбора.
\ез


\задача[!]
Пусть симплекс $\Delta$ представлен в виде объединения
симплексов $\Delta =\bigcup_i \Delta_i$, пересекающихся по граням.
Докажите, что 
\[
D_\phi(\Delta) = \sum_i D_\phi(\Delta_i)
\]
\ез

\задача[*]
Докажите, что
инвариант Дена $D_\phi$ 
является конечно-аддитивной мерой на пространстве 
многогранников в $\R^3$.
\ез

\задача
Рассмотрим правильный тетраэдр. Докажите, что
его двугранные углы равны $\operatorname{arccos}(1/3)$.
\ез

\задача
Пусть $\cos(\pi \alpha) = 1/n$, а $\alpha$ рационально.
Выведите из этого, что 
\[ e^{\1\pi k\alpha} = \left(\frac 1 n + \1 \frac{\sqrt{n^2-1}} n\right)^k =1.
\]
для какого-то целого $k>0$.
\ез

\задача[*]
Пусть $n=3$, а $\left(\frac 1 n + \1 \frac{\sqrt{n^2-1}} n\right)^k =1$.
Докажите, что $k=0$. 
\ез

\указание Докажите однозначность
разложения на множители в кольце $\Z[\sqrt {-2}]$
и воспользуйтесь ею.
\еу

\задача[*] Обозначим за $\alpha$ двугранный
угол правильного тетраэдра.
Докажите, что $\frac{\alpha}{\pi}$ иррационально.
\ез

\задача[*]
Найдите такое $D_\phi$ в пространстве инвариантов Дена
что $D_\phi(\alpha)\neq 0$, где $\alpha$ - двугранный
угол правильного тетраэдра.
\ез

\задача[*]
В условиях предыдущей задачи, докажите, что
$D_\phi(\Delta)\neq 0$, где $\Delta$ есть правильный
тетраэдр.
\ез

\задача
Докажите, что $D_\phi(C)=0$ для любого 
параллелепипеда.
\ез

\задача[*] 
Докажите, что равновеликие
правильный тетраэдр и правильный
куб не равносоставлены.
\ез

%\задача[**]
%(теорема Дена-Сидлера)
%Пусть два многогранника $A$ и $B$ в $\R^3$ равновелики,
%и $D_\phi(A)=D_\phi(B)$ для любого инварианта Дена.
%Докажите, что $A$ и $B$ равносоставлены.
%\ез

\subsection{Булевы алгебры}

\определение
{\bf Решетка}  это множество $L$, наделенное алгебраическими
бинарными операциями $\wedge$ и 
$\vee:\; L\times L \arrow L$, которые
удовлетворяют следующим условиям.

\енум
\item Идемпотентность:
$a\wedge a = a \vee a =a$.
\item Коммутативность:
$a\wedge b = b\wedge a, a\vee b = b\vee a$.
\item Ассоциативность:
$a\wedge (b\wedge c) = (a\wedge b)\wedge c$, 
$a\vee (b\vee c) = (a\vee b)\vee c$.
\item Абсорбция: $a \vee (a\wedge b) = a$,
$a \wedge (a\vee b) = a$.
\ее
\ео

\задача
\label{_chasti_upo_reshe_Zadacha_}.
Пусть $(S, \preceq)$ частично упорядоченное множество,
такое, что для любых $x, y$, задана {\бф точная 
верхняя грань} (такой элемент $(x\vee y)\succeq x, y$, что
любой $z\succeq x, y$ удовлетворяет $z\succeq(x\vee y)$)
и {\бф точная 
нижняя грань} (такой элемент $(x\wedge y)\preceq x, y$, что
любой $z\preceq x, y$ удовлетворяет $z\preceq(x\wedge y)$).
Докажите, что это решетка.
\ез

\задача[!]
Пусть $L$ решетка. Введем на $L$ соотношение
$x\preceq y$, если $x\wedge y = x$.
\енум
\итем Докажите, что $x\preceq y$ тогда и только
тогда, когда $x\vee y = y$. 
\итем Докажите, что $x\preceq y$  есть соотношение
частичного порядка.
\итем Рассмотрим $(L, \preceq)$ как частично
упорядоченное множество. Докажите, что в нем
есть точная верхняя и нижняя грань.
Докажите, что они выражаются как $(x\vee y)$,
$(x \wedge y)$.
\итем Докажите, что любую решетку можно
получить из частично упорядоченного
множества способом, описанным в задаче 
\ref{_chasti_upo_reshe_Zadacha_}.
\ее
\ез

\задача
Пусть $R$ факториальное кольцо. Постройте
решетку, пользуясь операцией взятия наименьшего
общего кратного и наибольшего общего делителя.
\ез

\задача
Рассмотрим такое соотношение частичного порядка
на $2^S$: $ x\preceq y$, если $x\subset y$.
Докажите, что в $(2^S, \preceq)$ существуют точная верхняя и нижняя
грань. Докажите, что соответствующие операции
это пересечение и объединение множеств.
\ез


\определение
Булева алгебра это способ аксиоматизации операций
пересечения и объединения в алгебре подмножеств.
Булевы алгебры названы так по имени английского
математика Джорджа Буля. \\

{\бф Булева алгебра} $(A,\vee, \wedge)$ это решетка,
удовлетворяющая следующим условиям

\енум
\item Ограниченность снизу: в $A$ есть элемент
$0$ такой, что $x\wedge 0=0$.
\item Ограниченность сверху: в $A$ есть элемент
$1$ такой, что $x\vee 1=1$.
\item Дистрибутивность:
$(a\vee b)\wedge c = (a\wedge c) \vee (a\wedge c)$.
\item Существование дополнений:
для любого $x\in A$ существует $\neg x$
такой, что $x\wedge \neg x=0$, $x\vee \neg x=1$.
\ее
\ео

\задача
Докажите, что 0, 1, $\neg x$ однозначно определяются
структурой решетки на $A$.
\ез

\задача
Докажите, что $\neg 0=1$, $\neg 1=0$.
\ез

\задача
Докажите законы де Моргана:
$\neg(a\vee b) = (\neg a) \wedge (\neg b)$, 
$\neg(a\wedge b) = (\neg a) \vee (\neg b)$.
\ез

\задача
(двойственность булевых алгебр)
Дана булева алгебра  $(A,\vee, \wedge)$.
Рассмотрим операции $\vee_1:=\wedge$,
$\wedge_1:=\vee$. Докажите, что $(A,\wedge, \vee)$
это тоже булева алгебра.
\ез

\задача
Постройте булеву алгебру из двух элементов.
\ез

\задача
\label{_idempo_boolean_Zadacha_}
Пусть $R$ (коммутативное) кольцо, а $V$ множество идемпотентов
(элементов, удовлетворяющих $a^2=a$).
Рассмотрим операции $e\vee f= e+f-ef$, 
$e\wedge f= ef$. Докажите, что это
булева алгебра.
\ез



\определение
{\бф Симметрическая разность}
в булевой алгебре задается по формуле
$a\triangle b:= (a\vee b) \wedge \neg (a\wedge b)$.
\ео

\задача
\енум

\итем 
Докажите, что симметрическая разность ассоциативна.

\итем 
Докажите, что операция 
$\wedge$ дистрибутивна относительно симметрической
разности. 

\итем Докажите, что $(A, \wedge, \triangle)$
это кольцо (роль сложения выполняется
$\triangle$, роль умножения - $\wedge$).

\итем Докажите, что все элементы полученного
кольца суть идемпотенты.
\ее
\ез

\задача[!]
Дано коммутативное кольцо $R$ над $\Z/2\Z$,
все элементы которого суть идемпотенты.
Рассмотрим структуру булевой алгебры на множестве
идемпотентов, определенную в задаче \ref{_idempo_boolean_Zadacha_}.
Докажите, что $R$ получается вышеописанным
способом из этой булевой алгебры. 
\ез

\определение
{\бф Идеалом} булевой алгебры называется
замкнутое относительно операции $\vee$ подмножество
$I\subset A$,  которое удовлетворяет $a\wedge i\in I$
для любого $a\in A, i\in I$.
\ео

\задача
Дана  булева алгебра $A$, у которой больше
двух элементов. Докажите, что в $A$ есть нетривиальный
идеал. 
\ез

\задача[!]
Пусть $(A,\wedge, \vee)$ булева алгебра, а
$I\subset A$ идеал. Определим такое соотношение:
$a\sim_I b$, если $a\triangle b\in I$.
Докажите, что это соотношение эквивалентности.
Докажите, что операции $\wedge$ и $\vee$
сохраняют классы эквивалентности, 
и индуцируют на множесте $A'$ классов эквивалентности 
структуру булевой алгебры.
\ез

\определение
В этих условиях $A'$ называется
{\бф факторалгеброй}, и обозначается $A/I$.
%Идеал называется {\бф максимальным}, если
%фактор по нему - булева алгебра из двух элементов.
\ео

%\задача[*]
%Дан нетривиальный идеал булевой алгебры.
%Докажите, что он содержится в максимальном.
%\ез


%\определение
%{\bf Представлением}, или же
%{\бф инъективным представлением} булевой алгебры $A$ называется
%инъективный гомоморфизм $A\arrow 2^S$, определенный для какого-то
%множества $S$. Иначе говоря, представление булевой алгебры есть
%реализация ее в качестве подалгебры множеств.
%\ео
%
%
%\задача[*] 
%\енум 
%\итем Докажите, что любая булева алгебра допускает
%инъективное представление.
%\итем 
%Дана конечная булева алгебра. Докажите, что в ней $2^n$
%элементов. Докажите, что она изоморфна алгебре всех
%подмножеств $S$, где $S$ конечное множество из $n$
%элементов.
%\ее
%\ез


\end{document}

