\documentclass[10pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\textheight}{40mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} \addtolength{\textwidth}{20mm} \input{def-listki.tex} % version 1.0, 16.02.2015, moved Dehn invariants % from listok-mera-01.tex and Boolean algebras from mera-2.tex % \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 16.2.2015} \newcommand{\firstdate}{21.2.2015} \begin{document} {\small Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, кроме двух либо все задачи без звездочек, кроме четырех. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. } \listok{2}{Теория меры 2: Инвариант Дена и булевы алгебры} \subsection{Равносоставленность многогранников} \определение {\бф Разрезание} многогранника есть разбиение его замыкания в объединение многогранников $A_1, ..., A_n, B$ таким образом, что все пересечения $A_i\cap A_j,$ $i\neq j$ вырождены, и $B$ тоже вырожден. {\бф Триангуляция} многогранника есть разрезание его на симплексы. \ео \задача Докажите, что любой выпуклый многогранник допускает триангуляцию. \ез \задача Докажите, что любой многогранник допускает триангуляцию. \ез \задача[*] Докажите, что для любого многогранника $D$ можно найти конечный набор гиперплоскостей $L_i$ такой, что все связные компоненты дополнения $D\backslash \bigcup_i L_i$ суть симплексы, или найдите контрпример. \ез \определение Два многогранника $A$, $B$ называются {\бф равносоставленными}, если их можно триангулировать, разрезав на многогранники $A_1, ... A_k$, $B_1, ... B_k$ таким образом, что $A_i$ конгруэнтен $B_i$ для любого $i$. \ео \задача Докажите, что равносоставленность это соотношение эквивалентности. \ез \задача Докажите, что любой треугольник $A$ равносоставлен паралеллограмму с таким же основанием и высотой в половину высоты $A$. \ез \задача Пусть $A, B$ -- два параллелепипеда в $\R^n$. Докажите, что $A$ равносоставлен паралеллограмму, который получается из $B$ гомотетией. \ез \задача Докажите, что любой паралеллограмм в $\R^2$ равносоставлен прямоугольнику с таким же основанием и же высотой. \ез \задача[*] Докажите, что прямоугольник в $\R^2$ со сторонами $a$ и $b$ и прямоугольник со сторонами $c$ и $d$ равносоставлены, при условии $ab=cd$. \ез \subsection{Третья проблема Гильберта} \замечание {\бф Объемом многогранника} называется функция $\Vol_\Lambda$, построенная в листке 1. \еза \определение Два многогранника называются {\бф равновеликими}, если они имеют одинаковый объем. Было доказано что равносоставленные многогранники равновелики. \ео {\бф Третья проблема Гильберта:} Постройте два равновеликих многогранника, которые не равносоставлены. \hfill \задача[*] Пусть $A$ и $B$ равновеликие многогранники на плоскости (многогранники на плоскости называются {\бф многоугольники}, или {\бф полигоны}). Докажите, что они равносоставлены. \ез \замечание Это утверждение называется {\бф теорема Бойяи-Гервина}. \еза \замечание Предположим, что существует конечно-аддитивная мера $\mu:\; {\goth U} \arrow \R$ на кольце многогранников, такая, что $\mu(A)\neq \mu(B)$, а $A$ и $B$ равновелики. Тогда $A$ и $B$ не равносоставлены. \еза \задача[!] Выведите из теоремы Бойяи-Гервина следующее утверждение. Пусть задана конечно-аддитивная мера $\mu:\; {\goth U} \arrow \R$, где ${\goth U}$ - кольцо многоугольников (многогранников в $\R^2$). Докажите, что $\mu=\Vol \circ \xi$, где $\Vol:\; {\goth U} \arrow \R$ конечно-аддитивная мера, заданная объемом, а $\xi:\; \R\arrow \R$ - $\Q$-линейный гомоморфизм абелевых групп. \ез \задача Постройте нетривиальный (не $\R$-линейный) $\Q$-линейный гомоморфизм $\xi:\; \R\arrow \R$. Используйте аксиому выбора. \ез \задача[!] Докажите, что такой гомоморфизм обязательно переводит некоторые положительные числа в отрицательные. \ез \определение Пусть задан $\Q$-линейный гомоморфизм $\phi:\; \R \arrow \R$, переводящий $\pi$ в 0, а $C$ - многогранник в $\R^3$, с ребрами длины $d_1, ... d_n$ и прилежащими им двугранными углами, выраженными (в радианах) как $\alpha_1, ... \alpha_n$. Инвариант Дена $D_\phi(C)$ записывается как \[ D_\phi(C):= \sum_{i=1}^n d_i \phi(\alpha_i). \] \ео \задача[!] Докажите, что пространство $\Q$-линейных гомоморфизмов, переводящих $\pi$ в 0, не пусто, и его мощность больше континуума. \ез \определение Это множество наделяется структурой векторного пространства над $\R$: \[ \lambda(\phi)(c)= \lambda\phi(c). \] Оно называется {\бф пространством инвариантов Дена}. \ео \задача Докажите, что пространство инвариантов Дена бесконечномерно над $\R$. Докажите, что для любого числа $\lambda\in R$ существует гомоморфизм $\phi:\; \R \arrow \R$, такой, что $\phi(\lambda)\neq 0$, при условии, что $\lambda/\pi$ иррационально. Воспользуйтесь аксиомой выбора. \ез \задача[!] Пусть симплекс $\Delta$ представлен в виде объединения симплексов $\Delta =\bigcup_i \Delta_i$, пересекающихся по граням. Докажите, что \[ D_\phi(\Delta) = \sum_i D_\phi(\Delta_i) \] \ез \задача[*] Докажите, что инвариант Дена $D_\phi$ является конечно-аддитивной мерой на пространстве многогранников в $\R^3$. \ез \задача Рассмотрим правильный тетраэдр. Докажите, что его двугранные углы равны $\operatorname{arccos}(1/3)$. \ез \задача Пусть $\cos(\pi \alpha) = 1/n$, а $\alpha$ рационально. Выведите из этого, что \[ e^{\1\pi k\alpha} = \left(\frac 1 n + \1 \frac{\sqrt{n^2-1}} n\right)^k =1. \] для какого-то целого $k>0$. \ез \задача[*] Пусть $n=3$, а $\left(\frac 1 n + \1 \frac{\sqrt{n^2-1}} n\right)^k =1$. Докажите, что $k=0$. \ез \указание Докажите однозначность разложения на множители в кольце $\Z[\sqrt {-2}]$ и воспользуйтесь ею. \еу \задача[*] Обозначим за $\alpha$ двугранный угол правильного тетраэдра. Докажите, что $\frac{\alpha}{\pi}$ иррационально. \ез \задача[*] Найдите такое $D_\phi$ в пространстве инвариантов Дена что $D_\phi(\alpha)\neq 0$, где $\alpha$ - двугранный угол правильного тетраэдра. \ез \задача[*] В условиях предыдущей задачи, докажите, что $D_\phi(\Delta)\neq 0$, где $\Delta$ есть правильный тетраэдр. \ез \задача Докажите, что $D_\phi(C)=0$ для любого параллелепипеда. \ез \задача[*] Докажите, что равновеликие правильный тетраэдр и правильный куб не равносоставлены. \ез %\задача[**] %(теорема Дена-Сидлера) %Пусть два многогранника $A$ и $B$ в $\R^3$ равновелики, %и $D_\phi(A)=D_\phi(B)$ для любого инварианта Дена. %Докажите, что $A$ и $B$ равносоставлены. %\ез \subsection{Булевы алгебры} \определение {\bf Решетка} это множество $L$, наделенное алгебраическими бинарными операциями $\wedge$ и $\vee:\; L\times L \arrow L$, которые удовлетворяют следующим условиям. \енум \item Идемпотентность: $a\wedge a = a \vee a =a$. \item Коммутативность: $a\wedge b = b\wedge a, a\vee b = b\vee a$. \item Ассоциативность: $a\wedge (b\wedge c) = (a\wedge b)\wedge c$, $a\vee (b\vee c) = (a\vee b)\vee c$. \item Абсорбция: $a \vee (a\wedge b) = a$, $a \wedge (a\vee b) = a$. \ее \ео \задача \label{_chasti_upo_reshe_Zadacha_}. Пусть $(S, \preceq)$ частично упорядоченное множество, такое, что для любых $x, y$, задана {\бф точная верхняя грань} (такой элемент $(x\vee y)\succeq x, y$, что любой $z\succeq x, y$ удовлетворяет $z\succeq(x\vee y)$) и {\бф точная нижняя грань} (такой элемент $(x\wedge y)\preceq x, y$, что любой $z\preceq x, y$ удовлетворяет $z\preceq(x\wedge y)$). Докажите, что это решетка. \ез \задача[!] Пусть $L$ решетка. Введем на $L$ соотношение $x\preceq y$, если $x\wedge y = x$. \енум \итем Докажите, что $x\preceq y$ тогда и только тогда, когда $x\vee y = y$. \итем Докажите, что $x\preceq y$ есть соотношение частичного порядка. \итем Рассмотрим $(L, \preceq)$ как частично упорядоченное множество. Докажите, что в нем есть точная верхняя и нижняя грань. Докажите, что они выражаются как $(x\vee y)$, $(x \wedge y)$. \итем Докажите, что любую решетку можно получить из частично упорядоченного множества способом, описанным в задаче \ref{_chasti_upo_reshe_Zadacha_}. \ее \ез \задача Пусть $R$ факториальное кольцо. Постройте решетку, пользуясь операцией взятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя. \ез \задача Рассмотрим такое соотношение частичного порядка на $2^S$: $ x\preceq y$, если $x\subset y$. Докажите, что в $(2^S, \preceq)$ существуют точная верхняя и нижняя грань. Докажите, что соответствующие операции это пересечение и объединение множеств. \ез \определение Булева алгебра это способ аксиоматизации операций пересечения и объединения в алгебре подмножеств. Булевы алгебры названы так по имени английского математика Джорджа Буля. \\ {\бф Булева алгебра} $(A,\vee, \wedge)$ это решетка, удовлетворяющая следующим условиям \енум \item Ограниченность снизу: в $A$ есть элемент $0$ такой, что $x\wedge 0=0$. \item Ограниченность сверху: в $A$ есть элемент $1$ такой, что $x\vee 1=1$. \item Дистрибутивность: $(a\vee b)\wedge c = (a\wedge c) \vee (a\wedge c)$. \item Существование дополнений: для любого $x\in A$ существует $\neg x$ такой, что $x\wedge \neg x=0$, $x\vee \neg x=1$. \ее \ео \задача Докажите, что 0, 1, $\neg x$ однозначно определяются структурой решетки на $A$. \ез \задача Докажите, что $\neg 0=1$, $\neg 1=0$. \ез \задача Докажите законы де Моргана: $\neg(a\vee b) = (\neg a) \wedge (\neg b)$, $\neg(a\wedge b) = (\neg a) \vee (\neg b)$. \ез \задача (двойственность булевых алгебр) Дана булева алгебра $(A,\vee, \wedge)$. Рассмотрим операции $\vee_1:=\wedge$, $\wedge_1:=\vee$. Докажите, что $(A,\wedge, \vee)$ это тоже булева алгебра. \ез \задача Постройте булеву алгебру из двух элементов. \ез \задача \label{_idempo_boolean_Zadacha_} Пусть $R$ (коммутативное) кольцо, а $V$ множество идемпотентов (элементов, удовлетворяющих $a^2=a$). Рассмотрим операции $e\vee f= e+f-ef$, $e\wedge f= ef$. Докажите, что это булева алгебра. \ез \определение {\бф Симметрическая разность} в булевой алгебре задается по формуле $a\triangle b:= (a\vee b) \wedge \neg (a\wedge b)$. \ео \задача \енум \итем Докажите, что симметрическая разность ассоциативна. \итем Докажите, что операция $\wedge$ дистрибутивна относительно симметрической разности. \итем Докажите, что $(A, \wedge, \triangle)$ это кольцо (роль сложения выполняется $\triangle$, роль умножения - $\wedge$). \итем Докажите, что все элементы полученного кольца суть идемпотенты. \ее \ез \задача[!] Дано коммутативное кольцо $R$ над $\Z/2\Z$, все элементы которого суть идемпотенты. Рассмотрим структуру булевой алгебры на множестве идемпотентов, определенную в задаче \ref{_idempo_boolean_Zadacha_}. Докажите, что $R$ получается вышеописанным способом из этой булевой алгебры. \ез \определение {\бф Идеалом} булевой алгебры называется замкнутое относительно операции $\vee$ подмножество $I\subset A$, которое удовлетворяет $a\wedge i\in I$ для любого $a\in A, i\in I$. \ео \задача Дана булева алгебра $A$, у которой больше двух элементов. Докажите, что в $A$ есть нетривиальный идеал. \ез \задача[!] Пусть $(A,\wedge, \vee)$ булева алгебра, а $I\subset A$ идеал. Определим такое соотношение: $a\sim_I b$, если $a\triangle b\in I$. Докажите, что это соотношение эквивалентности. Докажите, что операции $\wedge$ и $\vee$ сохраняют классы эквивалентности, и индуцируют на множесте $A'$ классов эквивалентности структуру булевой алгебры. \ез \определение В этих условиях $A'$ называется {\бф факторалгеброй}, и обозначается $A/I$. %Идеал называется {\бф максимальным}, если %фактор по нему - булева алгебра из двух элементов. \ео %\задача[*] %Дан нетривиальный идеал булевой алгебры. %Докажите, что он содержится в максимальном. %\ез %\определение %{\bf Представлением}, или же %{\бф инъективным представлением} булевой алгебры $A$ называется %инъективный гомоморфизм $A\arrow 2^S$, определенный для какого-то %множества $S$. Иначе говоря, представление булевой алгебры есть %реализация ее в качестве подалгебры множеств. %\ео % % %\задача[*] %\енум %\итем Докажите, что любая булева алгебра допускает %инъективное представление. %\итем %Дана конечная булева алгебра. Докажите, что в ней $2^n$ %элементов. Докажите, что она изоморфна алгебре всех %подмножеств $S$, где $S$ конечное множество из $n$ %элементов. %\ее %\ез \end{document}