\documentclass[12pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{def-listki.tex}

% version 1.0, 09.09.2010
% version 2.0, 23.09.2010, много ошибок
% version 2.1, 24.09.2010, еще несколько
% version 2.2, 10.10.2010, прибил указание к 1.19 на вывод объема из разбиений,
% навесил звездочку на 1.19
% version 2.3, 26.11.2010, исправления от Саши Ананьина
% version 3.0, 13.02.2015, redone volumes using limits
% version 4.0, 16.02.2015, redone the volume section entirely, 
%         put Dehn invariant to listok-mera-02.tex
% version 4.1, 4.04.2015, исправил кусок про вырожденные многогранники
% определение элементарной матрицы поправлено
% version 4.1.1, 11.04.2015, опечатка там же

\newcommand{\version}{version 4.1.1,\ \   11.4.2015}
\newcommand{\firstdate}{16.2.2015}



\begin{document}

{\small
Для зачета по каждому листку надо 
сдать все задачи со звездочками, кроме двух
либо все задачи без звездочек, кроме четырех. 
Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. 
Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем. }

\listok{1}{Теория меры 1: Объемы многогранников}



\subsection{Кольца подмножеств и конечно-аддитивные меры}

\определение
Пусть задано множество $S$. Множество всех подмножеств
$S$ обозначается $2^S$. Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ - некоторый набор
подмножеств $S$. $\goth U$ называется {\бф кольцом},
если для любых $A, B\in {\goth U}$, объединение $A\cup B$,
пересечение $A\cap B$ и дополнение $A\backslash B$
принадлежит ${\goth U}$. В этом случае ${\goth U}$
называется {\бф подкольцом} в $2^S$. 
\ео

\задача
Пусть $S$ конечно. Опишите все
подкольца в $2^S$ и найдите их число
для $|S|=5$ (множества из 5 элементов).
\ез

\определение
Характеристической функцией подмножества $U\subset S$ 
называется функция 
\begin{align*}
\chi_U:\; S \arrow \{0,1\}\ \ |\ \ & \chi_U(x) =1, \ \ \text{если}
\ \ x\in U
& \chi_U(x) =0, \ \ \text{если}
\ \ x\notin U.
\end{align*}
\ео

\задача
Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ - набор подмножеств,
а $R_{\goth U}=\{\chi_U\}$ множество всех характеристических
функций для всех $U\in {\goth U}$. Рассмотрим $\{0,1\}$
как поле из двух элементов. Это задает естественную аддитивную
и мультипликативную структуру на множестве всех
отображений из $S$ в $\{0,1\}$ (поточечное
сложение и умножение). Докажите, что 
$R_{\goth U}$ образует кольцо (возможно, без единицы)
тoгда и только тогда, когда ${\goth U}$ это кольцо.
\ез

\определение
Пусть ${\goth V}\subset 2^S$ - произвольный
набор подмножеств. Минимальное подкольцо в $2^S$,
содержащее ${\goth V}$, называется 
{\бф подкольцом, порожденным ${\goth V}$}.
\ео

\задача[**]
Пусть в ${\goth V} \subset 2^S$ $N$ элементов.
Какая максимальная мощность может
быть у подкольца, порожденного ${\goth V}$?
\ез

\определение
Пусть задано подмножество $S\subset \R^n$.
{\бф Выпуклой оболочкой} $S$ называется
наименьшее выпуклое подмножество, содержащее $S$.
\ео

\задача
\енум
\итем Докажите, что выпуклая оболочка 
$S$ это множество всех векторов вида
$\sum \alpha_i s_i$, где $\{s_i\}$
это конечный набор точек из $S$, а
$\alpha_i$ вещественные числа,
$0\leq\alpha_i\leq 1$, $\sum \alpha_i=1$.
\итем[*] Докажите, что любой вектор
в выпуклой оболочке $S\subset \R^n$,
представляется в виде
$\sum_{i=1}^{n+1} \alpha_i s_i$, 
где $s_1, ... s_{n+1}$ - точки $S$,
а $0\leq\alpha_i\leq 1$, $\sum \alpha_i=1$.
\ее
\ез

\определение
{\бф Симплексом} в $\R^n$ называется выпуклая
оболочка множества $\{ x_0, ... x_n\}$ из $n+1$ точек в $\R^n$. 
Такой симплекс называется {\бф натянутым на точки
$x_0, ... x_n$}.
\ео

\задача
Перечислите все классы гомеоморфизма 
симплексов в $\R$, $\R^2$, $\R^3$.
\ез

\определение
Пусть $\Delta(x_0, ... x_n)$ - симплекс, натянутый на
точки $\{ x_0, ... x_n\}$. {\бф Гранью}
$\Delta$ размерности $k$ называется 
выпуклая оболочка $k+1$ точек из $\{ x_0, ... x_n\}$. 
\ео

\задача 
Ребра (одномерные грани) $n$-мерного симплекса
$\Delta(x_0, ... x_n)$ образуют граф. Предположим,
что внутренность симплекса $\Delta(x_0, ... x_n)$
не пустая. Сколько ребер в этом графе? Изобразите его.
Сколько разных $k$-мерных граней есть у
$\Delta(x_0, ... x_n)$?
\ез

\определение
Кольцо полиэдров (многогранников) есть
кольцо подмножеств в $\R^n$, порожденное
замкнутыми симплексами. Многогранником называется 
элемент этого кольца.
\ео

\задача
Докажите, что каждый замкнутый многогранник можно представить в виде
конечного объединения симплексов, пересекающихся по граням
(такое разбиение называется {\бф триангуляцией} многогранника).
\ез

\задача[*]
Докажите, что каждый выпуклый, замкнутый многогранник можно представить в виде
конечного пересечения симплексов.
\ез


\определение
Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств.
Отображение $\mu:\; {\goth U}\arrow \R$ называется
{\бф конечно аддитивной мерой}, или же
{\бф аддитивной функцией множества}, или {\бф валюацией},
если для любых
$A, B\in {\goth U}$, 
\[ 
   \mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B).
\]
Валюация называется {\бф неотрицательной},
если она принимает неотрицательные значения.
Очевидно, валюации образуют линейное пространство
над $\R$.
\ео

\задача
Пусть $S$ это отрезок $[0,1]$, а ${\goth U}$
множество конечных объединений отрезков, интервалов
и полуинтервалов.
Докажите, что ${\goth U}$ это кольцо.
Докажите, что отображение
$\coprod_i A_i \arrow \sum |A_i|$
(несвязное объединение отрезков переводится
в сумму их длин)
это неотрицательная конечно-аддитивная мера.
\ез

\задача[*]
Пусть ${\goth U} = 2^S$, где $S$ это конечное
множество. Обозначим за $L$ линейное пространство
всех конечно-аддитивных мер на ${\goth U}$. 
Найдите размерность $L$ над $\R$.
\ез

\задача
Пусть дан $\Q$-линейный гомоморфизм $\R\stackrel \xi\arrow
\R$,\footnote{Здесь $\R$ рассматривается как векторное
пространство над $\Q$.}
множество $S$ и кольцо подмножеств ${\goth U}\subset 2^S$.
Докажите, что для любой конечно-аддитивной меры $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$,
композиция $\mu\circ\xi$ это опять конечно-аддитивная мера.
\ез

\задача
Пусть задана точка $x\in S$,  
кольцо подмножеств ${\goth U}\subset 2^S$,
и функция $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$, принимающая
значения $\mu(U)=1$ для $x\in U$ и $\mu(U)=0$ для
$x\notin U$. Докажите, что это конечно-аддитивная мера.
\ез


\замечание
Напомним, что движением в $\R^n$ 
(или любом другом метрическом пространстве)
называется любая изометрическая биекция.
Два подмножества называются {\бф конгруэнтными},
если одно в другое  можно перевести 
движением.
\еза


\определение
Пусть ${\goth U}\subset 2^{\R^n}$ --
некоторое кольцо множеств. 
Конечно-аддитивная мера 
$\mu:\; {\goth U}\arrow\R$
называется {\бф инвариантной}, если
$\mu(A)=\mu(B)$ для конгруэнтных
фигур $A, B\subset \R^n$.
\ео

\задача
{\бф Вырожденный симплекс} -- 
это симплекс, лежащий внутри
какой-то гиперплоскости. Докажите,
что симплекс $\Delta(x_0, x_1, ... x_n)$ 
вырожденный тогда и только тогда, когда 
вектора $x_1-x_0, x_2-x_0, ... x_n -x_0$
линейно зависимы.
\ез



\subsection{Объем многогранника: аддитивность}

\определение
Два подмножества $\R^n$ называются {\бф конгруэнтными},
если одно в другое  можно перевести 
движением. Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$ на множестве 
многогранников
называется {\бф инвариантной относительно движений}, если
$\mu(A)=\mu(B)$ для конгруэнтных
фигур $A, B\subset \R^n$.
\ео

\определение
{\бф Объем} есть ненулевая, неотрицательная, конечно 
аддитивная функция
на кольце многогранников, инвариантная
относительно движений.
\ео

\задача[*]
Докажите, что объем вырожденного многогранника равен нулю.
\ез

\задача
\енум 
\итем[*] Пусть на кольце многогранников в $\R^n$ задана функция объема, причем 
объем единичного куба равен 1. Докажите, что объем
куба со стороной $a$ равен $a^n$.
\итем[*]
Докажите, что все функции объема на кольце многогранников пропорциональны.
\ее\ез


\определение
Пусть $v_1$, ..., $v_n$ -- стандартный базис в $\R^n$,
$\Lambda=\Z^n$ -- порожденная им решетка, а $\epsilon \Lambda$ -- та же
решетка, растянутая в $\epsilon$ раз. Обозначим за $\nu$
форму объема, полученную из двойственного базиса. 
Пусть $\underline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D)$ -- число $\epsilon$-кубов
с вершинами в решетке $\epsilon\Lambda$, 
целиком содержащихся в $D$, а $\overline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D)$ --
число $\epsilon$-кубов
с вершинами в решетке $\epsilon\Lambda$, 
пересекающихся с  $D$. Исходя из формулы, приведенной
в предыдущей задаче, можно считать, что объем куба со стороной $\epsilon$
должен быть равен $\epsilon^n$ на объем единичного куба.
Исходя из этого, определим числа
\[ \underline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D):=
   \epsilon^n \underline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D),
   \ \ \ 
\overline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D):=
   \epsilon^n \overline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D).
\] 
которые вычисляют "суммарный объем" 
кубиков решетки $\epsilon \Lambda$, 
содержащихся в $D$ и пересекающихся с $D$
(сам объем мы пока не определили, поэтому кавычки).
\ео

\задача
Докажите, что
\енум
\итем функция $N \arrow \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$
монотонно (возможно, нестрого) возрастает,
\итем а функция $N \arrow \overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$
монотонно (возможно, нестрого) убывает.
\ее
\ез

\определение
Определим {\бф внутренний объем}
$\underline{\Vol_\Lambda}(D)$ многогранника 
как предел  $\lim_N \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$,
а {\бф внешний объем}
$\overline{\Vol_\Lambda}(D)$ как предел
$\lim_N \overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$.
\ео

\задача
Докажите, что внешний объем любого многогранника конечен.
\ез

\задача
Пусть $D$ -- вырожденный многогранник,
содержащийся в плоскости $L\subset \R^n$,
$\Pi_i:\; \R^n\arrow \R^{n-1}$ координатная
проекция, а $\Lambda_i$ -- соответствующая
решетка в $\R^{n-1}$. 
%Предположим, что
%ограничение $\Pi_i$ на $L$ биективно.
\енум 
\итем Докажите, что 
$\overline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D)\leq\sum_i
\overline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda_i}}(\Pi_i(D))$.
\итем Докажите, что 
$\overline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D)\leq
\epsilon \sum_i \overline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda_i}}(\Pi_i(D))$.
\итем[!] Докажите, что $\overline{\Vol_\Lambda}(D)=0$.
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть $D$ -- вырожденный многогранник. Докажите, что
$\overline{\Vol_\Lambda}(D)=0$.
\ез

\определение
Точка многогранника $D$ называется {\бф внутренней},
если она лежит в $D$ вместе со своей окрестностью.
\ео

\задача
\енум
\итем Докажите, что замыкание многогранника есть многогранник.
\итем[!] Докажите, что совокупность всех внутренних точек
многогранника есть многогранник.
\ее
\ез

\определение
{\бф Граница} многогранника $D$ есть $\bar D\backslash D^\circ$,
где $D^\circ$ есть совокупность всех внутренних точек
$D$, а $\bar D$ -- его замыкание.
\ео

\задача
\енум
\итем[!]
Докажите, что граница многогранника это многогранник.
\итем[!] Докажите, что граница - вырожденный многогранник.
\ее
\ез

\задача
Докажите, что для любого многогранника $D$ выполнено
\[ \overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)- 
\underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)=
\overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(\6 D),\] где $\6 D$ это граница $D$.
\ез

\задача
Докажите, что внутренний объем равен внешнему
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\определение
Обозначим $\overline{\Vol_\Lambda}(D)=\underline{\Vol_\Lambda}(D)$
за $\Vol_\Lambda(D)$.
\ео

\задача
Пусть многогранник $D$ разбит в объединение двух замкнутых
многогранников, $D= D_1 \cup D_2$, пересекающихся
по вырожденному. Докажите, что
\[\underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D)}-
\underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D_1)} - 
\underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D_2)} \leq 
\overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D_1\cap D_2)}
\]
\ез

\задача[!]
Докажите, что функция $D\arrow \Vol_\Lambda(D)$
конечно-аддитивна.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\subsection{Объем многогранника: инвариантность объема}


\задача[!]
Пусть $D$ -- куб, полученный параллельным переносом
из единичного. Докажите, что $\Vol_\Lambda(D)=1$.
\ез

\определение
{\бф  Параллелепипед} в $\R^n$
есть многогранник, полученный как пересечение
$n$ областей $D_i$, где каждая $D_i$ задается
уравнением $b\leq L_i(x)\leq a$, для набора
линейных функций $L_i$. {\бф Координатный
параллелепипед} есть параллелепипед, заданный
координатными проекциями $L_i$.
\ео


\определение
Два многогранника $A$, $B$ называются {\бф
параллельно равносоставленными},
если их можно разрезать на многогранники
$A_1, ... A_k$, $B_1, ... B_k$ таким
образом, что $A_i$ получается из $B_i$
параллельным переносом.
\ео

\задача[!]
Докажите, что два многогранника, которые параллельно равносоставлены,
имеют одинаковый объем.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $D$ -- координатный
параллепипед с ребрами $a_1, ..., a_n$.
Докажите, что $\Vol_\Lambda(D)=\prod_i a_i$.
\ез

\определение
{\бф Элементарная матрица}
есть линейный оператор \\ $A_{i,j}^\lambda:\; \R^n\arrow \R^n$, заданный формулой 
\[ A_{i,j}^\lambda\left(\sum_i a_i v_i\right) = \sum_i a_i v_i + \lambda a_j v_i,
\]
где $v_i$ обозначает стандартный базис в $\R^n$.
\ео

\задача
Докажите, что элементарная матрица переводит
координатный параллелепипед в параллелепипед,
параллельно равносоставленный ему.
\ез

\задача[!]
Пусть $A$ -- элементарная матрица,
переводящая многогранник $D$ в $D'$.
Докажите, что $\Vol_\Lambda(D)= \Vol_\Lambda(D')$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача \label{_diagon_elem_Zadacha_}
\енум
\итем Докажите, что матрицы 
\[ 
\begin{pmatrix}
\alpha & 0 \\
0 & \alpha^{-1}
\end{pmatrix} \ \text{ и } \ \begin{pmatrix}
0 & - \alpha \\
\alpha^{-1} & 0 
\end{pmatrix} 
\] можно выразить через
элементарные матрицы $2\times 2$.
\итем[!] 
Докажите, что любую диагональную матрицу
с определителем 1 можно выразить через
элементарные матрицы.
\ее
\ез


\определение
Группа обратимых матриц на $\R^n$ обозначается
$GL(n,\R)$ либо $GL(R^n)$, а группа обратимых
матриц с определителем 1 за $SL(n,\R)$ либо
$SL(R^n)$.
\ео

\задача
Предположим, что матрица $A\in GL(\R^n)$ переводит $v_1, ..., v_n$
в $w_1, ..., w_n$, а вектора $v_k, w_2, w_3, ..., w_n$
линейно независимы. Докажите, что существует
матрица $B$, разлагающаяся в произведение элементарных,
такая, что $AB$ переводит $v_1, ..., v_n$
в $\lambda v_k, w_2, w_3, ..., w_n$.
\ез

\указание
Решите уравнение $\lambda v_k = v_1 - \sum_{i-2}^n a_i w_i$
и запишите $B= \prod_{i-2}^n A_{1,i}^{a_i}$.
\еу

\задача
Пусть $A\in GL(\R^n)$. Докажите, что найдется
матрица $B$, разлагающаяся в произведение элементарных,
такая, что $AB$ переводит $v_1, ..., v_n$
в $a_1 v_{\sigma_1}, ..., a_n v_{\sigma_n}$, где
$\sigma_1, ..., \sigma_n$ -- перестановка.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Пусть $A\in GL(\R^n)$. Докажите, что найдется
матрица $B$, разлагающаяся в произведение элементарных,
такая, что $AB$ переводит $v_1, ..., v_n$
в $v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_n}$ , где
$\sigma_1, ..., \sigma_n$ -- четная перестановка.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей,
а затем примените задачу \ref{_diagon_elem_Zadacha_}.
\еу


\задача[!]
Докажите, что каждый параллелепипед параллельно равносоставлен
координатному.
\ез


\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Докажите, что группа $SL(n,\R)$
сохраняет объемы многогранников.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Докажите, что группа $SL(n,\R)$
порождена элементарными матрицами.
\ез





\end{document}

