\documentclass[12pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-15mm} \addtolength{\textheight}{30mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} \addtolength{\textwidth}{20mm} \input{def-listki.tex} % version 1.0, 09.09.2010 % version 2.0, 23.09.2010, много ошибок % version 2.1, 24.09.2010, еще несколько % version 2.2, 10.10.2010, прибил указание к 1.19 на вывод объема из разбиений, % навесил звездочку на 1.19 % version 2.3, 26.11.2010, исправления от Саши Ананьина % version 3.0, 13.02.2015, redone volumes using limits % version 4.0, 16.02.2015, redone the volume section entirely, % put Dehn invariant to listok-mera-02.tex % version 4.1, 4.04.2015, исправил кусок про вырожденные многогранники % определение элементарной матрицы поправлено % version 4.1.1, 11.04.2015, опечатка там же \newcommand{\version}{version 4.1.1,\ \ 11.4.2015} \newcommand{\firstdate}{16.2.2015} \begin{document} {\small Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками, кроме двух либо все задачи без звездочек, кроме четырех. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. } \listok{1}{Теория меры 1: Объемы многогранников} \subsection{Кольца подмножеств и конечно-аддитивные меры} \определение Пусть задано множество $S$. Множество всех подмножеств $S$ обозначается $2^S$. Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ - некоторый набор подмножеств $S$. $\goth U$ называется {\бф кольцом}, если для любых $A, B\in {\goth U}$, объединение $A\cup B$, пересечение $A\cap B$ и дополнение $A\backslash B$ принадлежит ${\goth U}$. В этом случае ${\goth U}$ называется {\бф подкольцом} в $2^S$. \ео \задача Пусть $S$ конечно. Опишите все подкольца в $2^S$ и найдите их число для $|S|=5$ (множества из 5 элементов). \ез \определение Характеристической функцией подмножества $U\subset S$ называется функция \begin{align*} \chi_U:\; S \arrow \{0,1\}\ \ |\ \ & \chi_U(x) =1, \ \ \text{если} \ \ x\in U & \chi_U(x) =0, \ \ \text{если} \ \ x\notin U. \end{align*} \ео \задача Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ - набор подмножеств, а $R_{\goth U}=\{\chi_U\}$ множество всех характеристических функций для всех $U\in {\goth U}$. Рассмотрим $\{0,1\}$ как поле из двух элементов. Это задает естественную аддитивную и мультипликативную структуру на множестве всех отображений из $S$ в $\{0,1\}$ (поточечное сложение и умножение). Докажите, что $R_{\goth U}$ образует кольцо (возможно, без единицы) тoгда и только тогда, когда ${\goth U}$ это кольцо. \ез \определение Пусть ${\goth V}\subset 2^S$ - произвольный набор подмножеств. Минимальное подкольцо в $2^S$, содержащее ${\goth V}$, называется {\бф подкольцом, порожденным ${\goth V}$}. \ео \задача[**] Пусть в ${\goth V} \subset 2^S$ $N$ элементов. Какая максимальная мощность может быть у подкольца, порожденного ${\goth V}$? \ез \определение Пусть задано подмножество $S\subset \R^n$. {\бф Выпуклой оболочкой} $S$ называется наименьшее выпуклое подмножество, содержащее $S$. \ео \задача \енум \итем Докажите, что выпуклая оболочка $S$ это множество всех векторов вида $\sum \alpha_i s_i$, где $\{s_i\}$ это конечный набор точек из $S$, а $\alpha_i$ вещественные числа, $0\leq\alpha_i\leq 1$, $\sum \alpha_i=1$. \итем[*] Докажите, что любой вектор в выпуклой оболочке $S\subset \R^n$, представляется в виде $\sum_{i=1}^{n+1} \alpha_i s_i$, где $s_1, ... s_{n+1}$ - точки $S$, а $0\leq\alpha_i\leq 1$, $\sum \alpha_i=1$. \ее \ез \определение {\бф Симплексом} в $\R^n$ называется выпуклая оболочка множества $\{ x_0, ... x_n\}$ из $n+1$ точек в $\R^n$. Такой симплекс называется {\бф натянутым на точки $x_0, ... x_n$}. \ео \задача Перечислите все классы гомеоморфизма симплексов в $\R$, $\R^2$, $\R^3$. \ез \определение Пусть $\Delta(x_0, ... x_n)$ - симплекс, натянутый на точки $\{ x_0, ... x_n\}$. {\бф Гранью} $\Delta$ размерности $k$ называется выпуклая оболочка $k+1$ точек из $\{ x_0, ... x_n\}$. \ео \задача Ребра (одномерные грани) $n$-мерного симплекса $\Delta(x_0, ... x_n)$ образуют граф. Предположим, что внутренность симплекса $\Delta(x_0, ... x_n)$ не пустая. Сколько ребер в этом графе? Изобразите его. Сколько разных $k$-мерных граней есть у $\Delta(x_0, ... x_n)$? \ез \определение Кольцо полиэдров (многогранников) есть кольцо подмножеств в $\R^n$, порожденное замкнутыми симплексами. Многогранником называется элемент этого кольца. \ео \задача Докажите, что каждый замкнутый многогранник можно представить в виде конечного объединения симплексов, пересекающихся по граням (такое разбиение называется {\бф триангуляцией} многогранника). \ез \задача[*] Докажите, что каждый выпуклый, замкнутый многогранник можно представить в виде конечного пересечения симплексов. \ез \определение Пусть ${\goth U}\subset 2^S$ -- кольцо подмножеств. Отображение $\mu:\; {\goth U}\arrow \R$ называется {\бф конечно аддитивной мерой}, или же {\бф аддитивной функцией множества}, или {\бф валюацией}, если для любых $A, B\in {\goth U}$, \[ \mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B). \] Валюация называется {\бф неотрицательной}, если она принимает неотрицательные значения. Очевидно, валюации образуют линейное пространство над $\R$. \ео \задача Пусть $S$ это отрезок $[0,1]$, а ${\goth U}$ множество конечных объединений отрезков, интервалов и полуинтервалов. Докажите, что ${\goth U}$ это кольцо. Докажите, что отображение $\coprod_i A_i \arrow \sum |A_i|$ (несвязное объединение отрезков переводится в сумму их длин) это неотрицательная конечно-аддитивная мера. \ез \задача[*] Пусть ${\goth U} = 2^S$, где $S$ это конечное множество. Обозначим за $L$ линейное пространство всех конечно-аддитивных мер на ${\goth U}$. Найдите размерность $L$ над $\R$. \ез \задача Пусть дан $\Q$-линейный гомоморфизм $\R\stackrel \xi\arrow \R$,\footnote{Здесь $\R$ рассматривается как векторное пространство над $\Q$.} множество $S$ и кольцо подмножеств ${\goth U}\subset 2^S$. Докажите, что для любой конечно-аддитивной меры $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$, композиция $\mu\circ\xi$ это опять конечно-аддитивная мера. \ез \задача Пусть задана точка $x\in S$, кольцо подмножеств ${\goth U}\subset 2^S$, и функция $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$, принимающая значения $\mu(U)=1$ для $x\in U$ и $\mu(U)=0$ для $x\notin U$. Докажите, что это конечно-аддитивная мера. \ез \замечание Напомним, что движением в $\R^n$ (или любом другом метрическом пространстве) называется любая изометрическая биекция. Два подмножества называются {\бф конгруэнтными}, если одно в другое можно перевести движением. \еза \определение Пусть ${\goth U}\subset 2^{\R^n}$ -- некоторое кольцо множеств. Конечно-аддитивная мера $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$ называется {\бф инвариантной}, если $\mu(A)=\mu(B)$ для конгруэнтных фигур $A, B\subset \R^n$. \ео \задача {\бф Вырожденный симплекс} -- это симплекс, лежащий внутри какой-то гиперплоскости. Докажите, что симплекс $\Delta(x_0, x_1, ... x_n)$ вырожденный тогда и только тогда, когда вектора $x_1-x_0, x_2-x_0, ... x_n -x_0$ линейно зависимы. \ез \subsection{Объем многогранника: аддитивность} \определение Два подмножества $\R^n$ называются {\бф конгруэнтными}, если одно в другое можно перевести движением. Функция $\mu:\; {\goth U}\arrow\R$ на множестве многогранников называется {\бф инвариантной относительно движений}, если $\mu(A)=\mu(B)$ для конгруэнтных фигур $A, B\subset \R^n$. \ео \определение {\бф Объем} есть ненулевая, неотрицательная, конечно аддитивная функция на кольце многогранников, инвариантная относительно движений. \ео \задача[*] Докажите, что объем вырожденного многогранника равен нулю. \ез \задача \енум \итем[*] Пусть на кольце многогранников в $\R^n$ задана функция объема, причем объем единичного куба равен 1. Докажите, что объем куба со стороной $a$ равен $a^n$. \итем[*] Докажите, что все функции объема на кольце многогранников пропорциональны. \ее\ез \определение Пусть $v_1$, ..., $v_n$ -- стандартный базис в $\R^n$, $\Lambda=\Z^n$ -- порожденная им решетка, а $\epsilon \Lambda$ -- та же решетка, растянутая в $\epsilon$ раз. Обозначим за $\nu$ форму объема, полученную из двойственного базиса. Пусть $\underline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D)$ -- число $\epsilon$-кубов с вершинами в решетке $\epsilon\Lambda$, целиком содержащихся в $D$, а $\overline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D)$ -- число $\epsilon$-кубов с вершинами в решетке $\epsilon\Lambda$, пересекающихся с $D$. Исходя из формулы, приведенной в предыдущей задаче, можно считать, что объем куба со стороной $\epsilon$ должен быть равен $\epsilon^n$ на объем единичного куба. Исходя из этого, определим числа \[ \underline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D):= \epsilon^n \underline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D), \ \ \ \overline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D):= \epsilon^n \overline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D). \] которые вычисляют "суммарный объем" кубиков решетки $\epsilon \Lambda$, содержащихся в $D$ и пересекающихся с $D$ (сам объем мы пока не определили, поэтому кавычки). \ео \задача Докажите, что \енум \итем функция $N \arrow \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$ монотонно (возможно, нестрого) возрастает, \итем а функция $N \arrow \overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$ монотонно (возможно, нестрого) убывает. \ее \ез \определение Определим {\бф внутренний объем} $\underline{\Vol_\Lambda}(D)$ многогранника как предел $\lim_N \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$, а {\бф внешний объем} $\overline{\Vol_\Lambda}(D)$ как предел $\lim_N \overline{{\goth N}_{2^{-N} \Lambda}}(D)$. \ео \задача Докажите, что внешний объем любого многогранника конечен. \ез \задача Пусть $D$ -- вырожденный многогранник, содержащийся в плоскости $L\subset \R^n$, $\Pi_i:\; \R^n\arrow \R^{n-1}$ координатная проекция, а $\Lambda_i$ -- соответствующая решетка в $\R^{n-1}$. %Предположим, что %ограничение $\Pi_i$ на $L$ биективно. \енум \итем Докажите, что $\overline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda}}(D)\leq\sum_i \overline{{\goth N}_{\epsilon \Lambda_i}}(\Pi_i(D))$. \итем Докажите, что $\overline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda}}(D)\leq \epsilon \sum_i \overline{{\goth V}_{\epsilon \Lambda_i}}(\Pi_i(D))$. \итем[!] Докажите, что $\overline{\Vol_\Lambda}(D)=0$. \ее \ез \задача[!] Пусть $D$ -- вырожденный многогранник. Докажите, что $\overline{\Vol_\Lambda}(D)=0$. \ез \определение Точка многогранника $D$ называется {\бф внутренней}, если она лежит в $D$ вместе со своей окрестностью. \ео \задача \енум \итем Докажите, что замыкание многогранника есть многогранник. \итем[!] Докажите, что совокупность всех внутренних точек многогранника есть многогранник. \ее \ез \определение {\бф Граница} многогранника $D$ есть $\bar D\backslash D^\circ$, где $D^\circ$ есть совокупность всех внутренних точек $D$, а $\bar D$ -- его замыкание. \ео \задача \енум \итем[!] Докажите, что граница многогранника это многогранник. \итем[!] Докажите, что граница - вырожденный многогранник. \ее \ез \задача Докажите, что для любого многогранника $D$ выполнено \[ \overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)- \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(D)= \overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}}(\6 D),\] где $\6 D$ это граница $D$. \ез \задача Докажите, что внутренний объем равен внешнему \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение Обозначим $\overline{\Vol_\Lambda}(D)=\underline{\Vol_\Lambda}(D)$ за $\Vol_\Lambda(D)$. \ео \задача Пусть многогранник $D$ разбит в объединение двух замкнутых многогранников, $D= D_1 \cup D_2$, пересекающихся по вырожденному. Докажите, что \[\underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D)}- \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D_1)} - \underline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D_2)} \leq \overline{{\goth V}_{2^{-N} \Lambda}(D_1\cap D_2)} \] \ез \задача[!] Докажите, что функция $D\arrow \Vol_\Lambda(D)$ конечно-аддитивна. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \subsection{Объем многогранника: инвариантность объема} \задача[!] Пусть $D$ -- куб, полученный параллельным переносом из единичного. Докажите, что $\Vol_\Lambda(D)=1$. \ез \определение {\бф Параллелепипед} в $\R^n$ есть многогранник, полученный как пересечение $n$ областей $D_i$, где каждая $D_i$ задается уравнением $b\leq L_i(x)\leq a$, для набора линейных функций $L_i$. {\бф Координатный параллелепипед} есть параллелепипед, заданный координатными проекциями $L_i$. \ео \определение Два многогранника $A$, $B$ называются {\бф параллельно равносоставленными}, если их можно разрезать на многогранники $A_1, ... A_k$, $B_1, ... B_k$ таким образом, что $A_i$ получается из $B_i$ параллельным переносом. \ео \задача[!] Докажите, что два многогранника, которые параллельно равносоставлены, имеют одинаковый объем. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $D$ -- координатный параллепипед с ребрами $a_1, ..., a_n$. Докажите, что $\Vol_\Lambda(D)=\prod_i a_i$. \ез \определение {\бф Элементарная матрица} есть линейный оператор \\ $A_{i,j}^\lambda:\; \R^n\arrow \R^n$, заданный формулой \[ A_{i,j}^\lambda\left(\sum_i a_i v_i\right) = \sum_i a_i v_i + \lambda a_j v_i, \] где $v_i$ обозначает стандартный базис в $\R^n$. \ео \задача Докажите, что элементарная матрица переводит координатный параллелепипед в параллелепипед, параллельно равносоставленный ему. \ез \задача[!] Пусть $A$ -- элементарная матрица, переводящая многогранник $D$ в $D'$. Докажите, что $\Vol_\Lambda(D)= \Vol_\Lambda(D')$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача \label{_diagon_elem_Zadacha_} \енум \итем Докажите, что матрицы \[ \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \alpha^{-1} \end{pmatrix} \ \text{ и } \ \begin{pmatrix} 0 & - \alpha \\ \alpha^{-1} & 0 \end{pmatrix} \] можно выразить через элементарные матрицы $2\times 2$. \итем[!] Докажите, что любую диагональную матрицу с определителем 1 можно выразить через элементарные матрицы. \ее \ез \определение Группа обратимых матриц на $\R^n$ обозначается $GL(n,\R)$ либо $GL(R^n)$, а группа обратимых матриц с определителем 1 за $SL(n,\R)$ либо $SL(R^n)$. \ео \задача Предположим, что матрица $A\in GL(\R^n)$ переводит $v_1, ..., v_n$ в $w_1, ..., w_n$, а вектора $v_k, w_2, w_3, ..., w_n$ линейно независимы. Докажите, что существует матрица $B$, разлагающаяся в произведение элементарных, такая, что $AB$ переводит $v_1, ..., v_n$ в $\lambda v_k, w_2, w_3, ..., w_n$. \ез \указание Решите уравнение $\lambda v_k = v_1 - \sum_{i-2}^n a_i w_i$ и запишите $B= \prod_{i-2}^n A_{1,i}^{a_i}$. \еу \задача Пусть $A\in GL(\R^n)$. Докажите, что найдется матрица $B$, разлагающаяся в произведение элементарных, такая, что $AB$ переводит $v_1, ..., v_n$ в $a_1 v_{\sigma_1}, ..., a_n v_{\sigma_n}$, где $\sigma_1, ..., \sigma_n$ -- перестановка. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Пусть $A\in GL(\R^n)$. Докажите, что найдется матрица $B$, разлагающаяся в произведение элементарных, такая, что $AB$ переводит $v_1, ..., v_n$ в $v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_n}$ , где $\sigma_1, ..., \sigma_n$ -- четная перестановка. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей, а затем примените задачу \ref{_diagon_elem_Zadacha_}. \еу \задача[!] Докажите, что каждый параллелепипед параллельно равносоставлен координатному. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Докажите, что группа $SL(n,\R)$ сохраняет объемы многогранников. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Докажите, что группа $SL(n,\R)$ порождена элементарными матрицами. \ез \end{document}