\documentclass[10pt]{article}

\input{def-listki.tex}

% version 1.0, 18.03.2015


\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   18.03.2015}

\newcommand{\firstdate}{21.07.2015}

\begin{document}

\listok{3}{Теория меры, тест 3}
\lhead{\small Теория меры, тест 3}


\замечание
Все меры в этом листочке предполагаются неотрицательными.
\еза


\задача[3 балла]
Приведите пример конечно-аддитивной борелевской меры на $\R$,
которая не счетно-аддитивна.
\ез

\замечание
Я не знаю, можно ли решить эту задачу без ультрафильтров.
\еза

\определение
Две борелевские меры $\mu$, $\mu'$ на топологическом пространстве
$M$ называются {\бф непрерывно эквивалентными}, если на $M$ заданы непрерывные функции 
$f, f':\; M \arrow ]0, \infty[$ такие, что для любого открытого множества $U$,
$\mu(U)=\int_U f'\mu'$ и $\mu'(U)=\int_U f\mu$
(здесь $\int_U f\mu$ обозначает интеграл функции $f$ по мере $\mu$ на $U$).
\ео

\задача
Пусть $\mu$ стандартная
борелевская мера на $\R^n$, а $\mu'$ непрерывно эквивалентна ей. 
Докажите, что для любого открытого множества, имеем $\mu(U)=0 \Leftrightarrow \mu'(U)=0$.
\ез

\задача
Пусть $\mu, \mu'$ непрерывно эквивалентны. Докажите, что для любого открытого множества,
имеем $\mu(U)=\infty \Leftrightarrow \mu'(U)=\infty$, или найдите контрпример.
\ез

\задача
Приведите пример гомеоморфизма $\Psi:\; \R^n \arrow \R^n$ такого, что 
не существует $\Psi$-инвариантной\footnote{$\Psi$-инвариантная -- это удовлетворяющая 
$\mu(U)=\mu(\Psi(U))$ для любого $U\subset \R^n$.} меры, непрерывно эквивалентной стандартной. 
\ез


\замечание
Пусть $A$ есть $\sigma$-алгебра с мерой $\mu$, а $\hat A_\mu$ ее пополнение
по мере $\mu$, факторизованное по множествам меры 0. Мы рассматриваем
$\hat A_\mu$ как метрическое пространство. Следующие задачи обсуждают
топологию этого пространства.
\еза

\задача
Пусть меры $\mu, \mu'$ на $A$ непрерывно эквивалентны.
Докажите, что пространства  $\hat A_\mu$ и $\hat A_{\mu'}$
гомеоморфны.
\ез


\определение
Многообразие есть топологическое пространство, локально гомеоморфное $\R^n$.
\ео

\определение
Топологическое пространство $M$ {\бф стягиваемо}, если задано
непрерывное отображение $\psi_t:\; M\times [0,1] \arrow M$ такое, что
$\psi_0$ тождественно, а $\psi_1$ отображает $M$ в точку.
\ео

\задача
Пусть $\mu$ есть стандартная борелевская мера на $\R^n$.
Докажите, что пространство $\hat A_\mu$ стягиваемо.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $\mu$ есть борелевская мера на многообразии, локально непрерывно
эквивалентная стандартной борелевской мере на $\R^n$.
Докажите, что пространство $\hat A_\mu$ стягиваемо.
\ез


\end{document}