\documentclass[10pt]{article}

\input{def-listki.tex}

% version 1.0, 06.03.2015
% version 1.1, 06.03.2015 пара опечаток
% version 1.2, 13.03.2015 нечеткие формулировки, 
% неправильное определение вершины


\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}


\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   06.03.2015}

\newcommand{\firstdate}{03.07.2015}

\begin{document}

\listok{1}{Теория меры, тест 2}
\lhead{\small Теория меры, тест 2}


\определение
Пусть $S^n\subset \R^{n+1}$ -- сфера. {\бф Большая полусфера}
есть подмножество сферы, заданное $\{x\in S^n \ \ |\ \ l(x)>0\}$,
где $l$ есть линейный функционал на $\R^{n+1}$.
Кольцо сферических многогранников есть кольцо подмножеств,
порожденное большими полусферами. {\бф Большая окружность}
в $S^n$ есть пересечение $S^n$ с 2-мерной гиперплоскостью,
проходящей через 0. Точка сферического многогранника $R$
называетсяа {\бф внутренней}, если $R$ содержит ее окрестность.
\ео

\задача
Докажите, что множество внутренних точек
сферического многогранника -- многогранник.
\ез

\задача
Докажите, что замыкание сферического многогранника --
многогранник.
\ез

\определение
Многогранник называется {\бф приведенным}, если 
он совпадает с замыканием множества его внутренних точек.
{\бф Вершина} приведенного многогранника $R$ есть точка
$x\in R$, такая, что для любой большой окружности $S$,
проходящей через $x$, никакая окрестность $x$ в $S$
не содержится в границе $R$.
\ео

\задача
Найдите все приведенные сферические многогранники в $S^2$, не имеющие вершин.
\ез

\задача
Найдите континуальное семейство неконгруэнтных многогранников
в $S^3$, не имеющих вершин.
\ез

\задача
Пусть $x\in R$ -- точка на границе приведенного многогранника.
Докажите, что существует $C >0$ такой, что
пересечение $\epsilon$-сферы с центром в $x$ и $R$ --
 многогранник в $S^{n-1}$ для любого $\epsilon <C$. 
\ез

\задача
Приведите пример, когда это неверно для произвольного
$\epsilon$.
\ез

\определение
Функция {\бф объема}
на сфере есть конечно аддитивная, неотрицательная мера, инвариантная
относительно поворотов.
\ео

\определение
Пусть на многогранниках в $S^{n-1}$ задана функция объема $\Vol$.
{\бф Телесный угол} многогранника $R$ в $S^n$ в точке $x$
есть 
\[ \lim_{\epsilon\to 0}\frac{\Vol (R\cap
S_\epsilon(x))}{\Vol(S_\epsilon)},
\]
где $S_\epsilon$ есть сфера с центром $x$ и радиусом
$\epsilon$.
\ео

\задача
Докажите, что функция 
\[ \epsilon \arrow \frac{\Vol (R\cap
S_\epsilon(x))}{\Vol(S_\epsilon)}
\]
постоянна для достаточно малых $\epsilon$.
\ез

\задача
Пусть на многогранниках в $S^{n-1}$ задана функция объема $\Vol$.
Пусть $R$ -- приведенный многогранник в $S^{n}$ с вершинами $r_1, ..., r_k$
и телесными углами $\alpha_1, ..., \alpha_k$, не равный самой сфере.
\енум
\итем 
Докажите, что функция $R \arrow \frac 1 2 + \sum_i \alpha_i - \frac 1 2 k$
продолжается до 
конечно-аддитивной функции на кольце сферических многогранников в $S^n$ для $n=2$.
\итем Докажите это утверждение для произвольного $n$,
или найдите контрпример.
\ее
\ез




\end{document}