\documentclass[12pt]{article}

\input{def-listki.tex}

% version 1.0, 14.02.2015


\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   14.02.2015}

\newcommand{\firstdate}{14.02.2015}

\begin{document}

\listok{1}{Теория меры, тест 1}
\lhead{\small Теория меры, тест 1}


\задача
Найдите группу автоморфизмов поля $\R$ над $\Q$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $M$ -- полное метрическое пространство
без изолированных точек. Докажите, что $M$ несчетно,
или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $R$ -- кольцо непрерывных функций
на отрезке $[0,1]$. Докажите, что каждый
простой идеал в $R$ максимален.
\ез

\задача
Функция $f:\; M \arrow \R$ на метрическом пространстве называется
{\бф 1-липшицевой}, если $|f(x)-f(y)| \leq d(x,y)$. Для заданного замкнутого
подмножества $X\subset M$, найдите 1-липшицеву функцию,
которая равна 0 на $X$ и не равна 0 вне $X$.
\ез

\задача[3 балла]
Пусть $X$ -- минимальное несчетное множество.
Докажите, что $X$ равномощно $X\times X$.
\ез


\end{document}