\documentclass[11pt]{article}

\input{def-listki.tex}

% version 1.0, 15.05.2015, ������������ ������ ������
% version 1.1, 16.05.2015, ����� ��������


\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
%\addtolength{\textwidth}{30mm}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} 
\lhead{\tiny ���, ����� 2015, ������ ����} 
\lfoot{\tiny ������ ����, ���, ������ ���� } 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny ������ ��� ��������, \version}
\rhead{{\tiny  ���� ���������}}


\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   16.05.2015}

\newcommand{\firstdate}{15.05.2015}

\begin{document}

\listok{0}{������ ����, �������}
\lhead{\small ������ ����, �������}

{\small
����� �������� ������������ �����
�������� � ��������� �� ������� � ������, ��
���� ���� ������� ���������� �������������� 
��� ������� �����������. 

������� �������� �������� ������
�� $k:=60-2N$ ������, ��� $N$ -- ����� ������
�� �����������. �� ������ ������� �������� ����������� 
�� 8 ������, �� ������ ���� �� ����������� - ��� �����. 
��� ��������� ������ $l$ ���������� ������� 
$10l$ ������.
}


\section{ ������ � ������� 1-2 (�����)}

\������[5 ������]
���� ������ ������� $A$. ���������� ��������� $Spec(A)$ 
���� ������������ ������� $A$. ��� ������� $a\in A$,
���������� ������������ $U_a\subset Spec(A)$, ���������
�� ���� �������, �� ���������� $a$.
��������� �� $Spec(A)$ ���������, � �����, ���������
�� ���� $U_a$. ��������, ��� $Spec(A)$ ����������� � 
�� �������� ������� �����������, ����� �����.
\��

%\������
%����� ###
%\��

%\������ 
%��������, ��� ���������� ��� �������� ������ ������ � $\R^4$,
%������� �� ���������������.
%\��

%\������
%��������, ��� ����� ������ ��������������� ����.
%\��

\������ [10 ������]
{\�� ���������} ���� ����� ����� \[ S^2=\{x,y,z\ \ | \ \ x^2 + y^2+z^2=1\},\]
������������ $\{(x,y,z)\in S^2 \ \ |\ \ x\geq 0\}$.
{\�� �����������} �� ����� $S^2$ ���� ����������� ���� ��������.
{\�� ������ ����������� ���������������} �� ����� ���� ������,
����������� �����������. {\�� �����������}
���� ����������� ���� ��������. �������������������
����������� ��������������� ������������
��� ��, ��� � ��� ������� ���������������.
����� ��, ��� ����� ����������� 
����������� ��������������
������������?
\��

\������[10 ������]
����� $M$ -- ������������� �� ��������� ������������.
��������, ��� $M$ �������������� ��������������� ������������,
��� ������� �����������.
\��


\������ [5 ������]
����� $A$ ���� $n$-�������� �� �����,
$\alpha$ ����� ��� �����, � $\delta(A)$ ���� $\alpha-(n-2)\pi$.
��������, ��� $\delta(A)$ ������ �������-����������
���� �� ������ ����������� ���������������.
\��

%\������
%����� $\mu$ -- ����������, $O(3)$-������������, ��������������� 
%���� �� ������� ����������� ���������������, 
%������ �����, ��� ��������� �����������
%����� �������� ����. ��������, ��� 
%������� ��������� 
%����� ���� ����. ��������, ��� $\mu(S^2)< \infty$.
%\��


%\������
%���������� ������ $R$ ��������������� � $\R^2$ (������,
%����������� ���������� ��������������).
%����� �� $R$ ������ ������� $\lambda$ �� ���������� � $[0, \infty[$,
%��������������� ��������� ���������
%
%\����
%\���� $\lambda(I)=0$, ��� $I$ ��� �������, �������� ��� ������������
%
%\���� $\lambda(A)=\lambda(B)$, ���� $A$ ����� ����
%�������� �� $B$ ������������ ���������.
%\���� $\lambda$ ���������: $\lambda(A\coprod B) = \lambda(A)+\lambda(B)$.
%\��
%
%��������, ��� $\lambda$ �������� ����� ����������
%����������, � ��������� �� ����������� ���������.
%\��

\������[5 ������]
����� $H$ -- ����������� ������������, ${\goth S}$ --
��������� ������������, �������� ����������� $H$, � 
$\mu:\; {\goth S}\arrow [0, \infty[$ -- �������-��������������������,
���������� �������, ������������ ������������ �������. 
��������, ��� $\mu=0$.
\��



\������[10 ������]
����� $B_i$ -- ����� ����� � $\R^n$.
��������, ��� ���� $\mu\left(\bigcup B_i\right)$ ������
��� �����, ��� $3^n\sum \mu(B_i)$.
\��


\section{ ������ � ������ 3 (���� ������)}

%\������ 
%��������, ��� ��������� ��������� ����������� $\R$
%����� ����������� ������ ����������. ��������, ���
%��������� ����������� ����������� � $\R$ ������������.
%\��

\������[5 ������]
����� $M$ -- �������� ���������� ����������� ������������,
$A_o$ - $\sigma$-������� �����������, ����������� ���������,
$A_c$ - $\sigma$-������� �����������, ����������� ����������.
������ �� $A_o$ ����� $A_c$? 
\��

\������[5 ������]
����� $M$ -- ��������� ������������ $n$-������� ����.
��������, ��� $M$ ���������� �� ����������� ���������
�� ��������� ����������� ����� ����.
\��

\������[5 ������]
����� $\pi:\; [0, 1]^n \arrow [0,1]$ -- ��������.
��������, ��� ����� ������������ ��������� -- �����������.
\��

\������[5 ������]
����� $\pi:\; [0, 1]^n \arrow [0,1]$ -- ��������.
��������, ��� ����� ���������� ��������� �������,
��� ������� �����������.
\��

\������[10 ������]
��������, ��� ������ ����� ������� $f:\; \R\arrow \R$ �������,
��� ������� �����������.
\��




%\������
%����� $f$ -- ��������� ����������� ������� �� $\R$.
%��������, ��� �������� ���� $\mu_f$ �����,
%��� $\mu_f(]a,b[) = 
%\lim_{\epsilon \rightarrow +0} f(b-\epsilon) - f (a+\epsilon)$.
%\��
%
%\������ 
%��������, ��� ������ ���� �� �����,
%��� $\nu([a,b]) < \infty$ ��� ����� $a,b$, 
%���������� ����� �������. 
%\��


%\������ [2 �����]
%{\�� ��������� ������} ���� ������������ $Q \subset \R^n$
%�����, ��� $\R^n$ �������������� � ���� �����������
%�������� ����� ���������������� ����������� $Q_0, Q_1, ..., Q_n, ...$
%������������ $Q$, ������ � ������ ����� $x$ ���� ����� ������������
%$U_i$ �����, ��� $Q_i\cap U_i$ ����������� ��� ���� $i$. 
%��������, ��� ��������� ������ ����������, ���
%������ $n$. ��������, ��� ��� ����������.
%\��

%\������
%��������� ����������� $S^1$ � ����, �����������
%��������� ���� ���� � ��������� ��������� ����.
%\��

\section{ ������ � ������ 3 (��������� �������)}

\������[5 ������]
������� ������������������ ����������� ������� ��
$\R^n$, ������� �������� � $L^1$, �� �� ��������
����������. ������� ������������������ ����������� ������� ��
$\R^n$, ������� �������� ����������, �� �� �������� � $L^1$.
\��

\������[5 ������]
������� ������������������ ����������� �������
�� $[0,1]$, ������� �������� ���������, �� �� ��������
� $L^1$. 
\��

%\�����������
%{\�� ��������� �������} �� $\R^n$ ���� �����, ���
%�������� ������������ ������� (�� ������).
%{\�� ����������� �������} ���� �����,
%��� �������� ������������ ��������� �����������.
%\��
%
%\������ [2 �����]
%��������, ��� ��������� ��������� ������� �� $\R$
%����� ����������� ������ ����������. ��������, ���
%��������� ����������� ������� �� $\R$ ������������.
%\��
%
%\������
%��������, ��� ����� ��������� �������
%����� ��������� ����������� ������� 
%��� ���������� ��������� ���� 0.
%\��

\������[5 ������]
��������, ��� ������������ ��������� ������� 
�� $\R^n$ ��������.
\��

\������[5 ������]
����� $f$ -- ��������� ������� �� $M=\R^n$ �����,
��� $\int_M fg=0$ ��� ����� ����������� ������� $g$
� ���������� ���������. ��������, ��� 
$f=0$ ����� �����.
\��



\������[5 ������]
��������, ��� ����������� $L^1$-������� �� $\R^n$ ������ � $L^1(\R^n)$.
\��

\section{ ������ � ������ 3 (���������� ���������)}

%\������[15 ������]
%��������, ��� ��� ������ $\epsilon >0$, ����� $L^1$-������� $f$ �� $R^n$
%���������� ��� ��������� $E_{f, \epsilon}$ ���� $\epsilon$.
%\��

\������[5 ������]
����� $f_n$ -- ������������������ ��������������� $L^1$-������� �� $\R^n$,
���������� ���������� � 0. ��������, ��� $\lim_i \int_{\R^n} f_i \mu=0$
��� ������� �����������.
\��

\������[5 ������]
����� $f_n$ -- ������������������ ��������������� $L^1$-������� 
�� $\R^n$. ��������, ��� $\lim\inf_i \int_{\R^n} f_i \mu=
\lim\int_{\R^n} \inf_i f_i \mu$, ��� ������� �����������.
\��

\������[5 ������]
�����  $f_n$ -- ������������������ ��������������� $L^1$-������� 
�� $\R^n$. ��������, ��� 
\[ \lim_j\sum_{i=0}^j \int_{\R^n} f_i \mu=
 \int_{\R^n} \lim_j\sum_{i=0}^j f_i \mu.
\]
\��


\������[5 ������]
�����  $f_n$ -- ������������������ $L^1$-������� 
(�� ����������� ���������������)
�� $\R^n$, ������ ��� $\sum_{i=0}^n f_i$ ��������
� ������ �����. ��������, ��� $\lim_j\sum_{i=0}^j \int_{\R^n} f_i \mu=
\lim_j\int_{\R^n}  \sum_{i=0}^j f_i\mu$, ��� ������� 
�����������.
\��


\������[5 ������]
����� ������������������ ��������������� 
$L^1$-������� $\{f_i\}$ �� $\R^n$ ���������� �������� � 0,
������ ���������� $g\in L^1(R^n)$ �����, ��� 
��� $f_i$ ������������� $f_i \leq g$. ��������, ���
$\lim_i \int_{\R^n} f_i \mu=
\int_{\R^n} \lim_i f_i \mu$.
\��


\section{ ������ � ������ 4 (������� ������)}



\������[5 ������]
���� $\mu, \nu$ ���������� {\�� ��������������},
���� $\mu$ ��������� ���������� ������������ $\nu$, �
$\nu$ ��������� ���������� ������������ $\mu$.
����� �� $\R^n$ ������ ���� $\mu$, �����, ���
��� ������� ������ $P:\; \R^n \arrow \R^n$,
$P_*\mu$ ������������ $\mu$. ��������, ���
$\mu$ ������������ ���� ������.
\��


%\������[5 ������]
%����� $f$ -- ��������������� ������� �� $\R^n$, �
%$D_f$ -- ������������ � $\R^{n+1}$, ��������� �� �����
%$\{(x_1, ..., x_n, t) \ \ |\ \ 0 < t < f(x_1, ..., x_n)\}$.
%��������, ��� $f$ ������������ ����� � ������ �����,
%����� $D_f$ �������� � ����� �������� ����.
%\��


\������[10 ������]
����� $\nu$ -- �������� �������� ���� �� $\R^n$,
$\mu$ -- ���� ������. ��������, ��� 
$\nu \preccurlyeq \mu$ ��� ��������� ���� ���� �� $\mu$.
\��

\������ [10 �����]
����� $f$ -- ��������� ����������� ������� �� $\R$.
��������, ��� $f$ ��������������� ���
��������� ���� 0.
\��

\������ [10 ������]
������� $\phi:\; \R \arrow\R$ ���������� {\�� ��������},
���� ��������� $\{(x, y)\ \ |\ \ y\geq f(x) \}$ �������.
��������, ��� ����� �������� ������� ����������, 
��������������� ��� ��������� ���� 0, � �� �����������
��������� �� �� ��������� �����������.
\��


\������[10 ������]
��������, ��� � $\R^n$ �� ���������� ���������� ���������
$A$ ������, ��� $\mu(A\cap B)=\frac 1 2 \mu(B)$ ��� ������ ����
$B$ ($\mu$ - ���� ������).
\��


\������[5 ������]
{\�� ���������-��������} ����������, ��� 
�� ���������� $C$ ����� ������ ��������� �������
������� $\preccurlyeq$, �����, ��� ������ ����������� ������� $C$
�������. �����������, ��� �����
��������� ������� ������� ����, � 
���������� � $\R^2$ ������������ $\{(x,y)\ \  |\ \ x\preccurlyeq y\}$.
��������, ��� ��� ����������.
\��




\section{ ������ � ������� 5-6 (���� �����)}


%\������
%��������� ������������ ���� 0 � $\R$, ������� �����
%����������� ����������� 1.
%\��
%
%
%\������
%����� $c\in \R$ ���������� {\�� ������ ��������},
%���� ��� ������� $n>0$ ����������
%$p,q\in \Z$, �����, ��� $|c- p/q| < q^{-n}$.
%��������, ��� ��������� ����� �������� ����� �������
%����������� ���������.
%\��

\�����������
(�����������) 
���� $\mu$ �� $X$ ���������� {\�� �������������}, ���� 
$\mu(X)=1$. ���� ���������� {\��
�������������-������������},
���� ��� ����������� ������������� ����������.
\�� 

\������[5 ������]
��������, ��� �� $\R$ �� ���������� ���������
�������������-������������ ������������� ����.
\��

\������[10 ������]
��������, ��� ������ ��������� ������������ $\R^n$ ������������� ���� 
�������� ��������� ���������� ������������.
\��


%\������ [10 ������]
%{\�� ��������� ����������} ���� ������������ $A\subset \R^n$
%�����, ��� ��� ������ ���������� �������� $K$, ���������
%$A \cap K$ �  $K\backslash A$ �������. 
%��������, ��� ��������� ���������� ����������.
%��������, ��� ��� ����������.
%\�� 


%\������
%����� $V$ ���� $n$-������ ����������� ������������
%� ������������� ��������� �������� � ���������� $(n,1)$,
%� $B\subset {\Bbb P}V$ -- �������������� ��������� ����
%�������� � ������������� ���������. ��������, ���
%$B$ ����������� ����, � �������� ������������
%��������� ������ $G=U(n,1)$ ��������� �������������
%������������ $V$. ��������� �������������
%$G$-������������ ���� �� $B$.
%\��

%\������
%��������� ������������ �������� $U(n+1)$ �� $\C P^n$.
%��������� ������������� $U(n+1)$-������������ ���� �� $\C P^n$.
%\��

%\������
%��������� ������������� $O(n+1)$-������������ ���� �� $n$-������
%����� �� ����������� ��������� $O(n+1)$.
%��������, ��� ����� ���� ����������� � ��������� �� ���������.
%\��

\�����������
{\�� ����������� ��������} ���������� $\sigma$-������� 
����������� ��������������� ������������, �����������
����������.
\��


\������[10 ������]
����� $C$ ���� ������������ ����������� ������������������
������� �� ������� $[0,1]$, � ����������, �������� ������
$|f|_2 = \sqrt{\int_{[0,1]} f^2\mu}$, ($\mu$ - ����
������ �� �������), � $L_2([0,1])$ ���
���������� �� ���� �����. ����� �� ��������
��� � $L_2([0,1])$ ����������� ����������?
\��


%\������[5 ������]
%����� $X$ -- ����������� �������� � $\R^n$.
%��������, ��� ����������� $X$ � ������������
%���������������� $\R^m \subset R^n$ ����������� � $\R^m$.
%������� ��������� ������������ $\R^n$ �����, ���
%��� ����������� � $\R^m$ �� �������� � $\R^m$.
%\��



\������[5 ������]
����� $G$ -- ���������� ������, ���������� �����������
�� �������������� ������������ $M$. ��������, ���
�� $M$ ���������� ������������� $G$-������������
����������� ����.
\��

\������ [5 ������]
����� $G$ ���� �������� ����������, �����������
�������������� ������, ������� �������� ���������
�� ��������. ��������, ��� � ��� ������ ���� ����� 
��������������� �����, ��� ������� �����������.
\��


\������[5 ������]
���������� ������ $G$ ��������� ����������������� 
������ $2\times 2$ 
\[ A = \begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12} \\
0 & a_{22}
\end{pmatrix}
\]
����������� $A \arrow (a_{11}, a_{12}, a_{22})$
������������� $G$ � �������� ������������ � $\R^3$,
�������� ��������� $a_{11}\neq 0, a_{22}\neq 0$. 
��������, ��� ���� ����� $h$ �� $G$ ��������� ����������
������������ ���� ������ $\mu$ �� $\R^3$. �������
������� $f$ �����, ��� $h = f \mu$. 
\��



\end{document}
 
