\documentclass[11pt]{article}

\input{def-listki.tex}

% version 1.0, 15.05.2015, использованы старые задачи
% version 1.1, 16.05.2015, после экзамена


\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
%\addtolength{\textwidth}{30mm}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} 
\lhead{\tiny НМУ, весна 2015, второй курс} 
\lfoot{\tiny Теория меры, НМУ, второй курс } 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny Задачи для экзамена, \version}
\rhead{{\tiny  Миша Вербицкий}}


\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   16.05.2015}

\newcommand{\firstdate}{15.05.2015}

\begin{document}

\listok{0}{Теория меры, экзамен}
\lhead{\small Теория меры, экзамен}

{\small
Можно свободно пользоваться всеми
задачами и теоремами из листков и лекций, но
надо быть готовым предъявить доказательство 
для каждого утверждения. 

Каждому студенту выдаются задачи
на $k:=60-2N$ баллов, где $N$ -- число баллов
за контрольные. За каждый сданный листочек начисляется 
по 8 баллов, за каждый балл по контрольным - два балла. 
Для получения оценки $l$ необходимо набрать 
$10l$ баллов.
}


\section{ Задачи к листкам 1-2 (объем)}

\задача[5 баллов]
Дана булева алгебра $A$. Рассмотрим множество $Spec(A)$ 
всех максимальных идеалов $A$. Для каждого $a\in A$,
рассмотрим подмножество $U_a\subset Spec(A)$, состоящее
из всех идеалов, не содержащих $a$.
Определим на $Spec(A)$ топологию, с базой, состоящей
из всех $U_a$. Докажите, что $Spec(A)$ хаусдорфово и 
не содержит связных подмножеств, кроме точки.
\ез

%\задача
%Пусть ###
%\ез

%\задача 
%Докажите, что существуют два полиэдра одного объема в $\R^4$,
%которые не равносоставлены.
%\ез

%\задача
%Докажите, что любая призма равносоставлена кубу.
%\ез

\задача [10 баллов]
{\бф Полусфера} есть часть сферы \[ S^2=\{x,y,z\ \ | \ \ x^2 + y^2+z^2=1\},\]
конгруэнтная $\{(x,y,z)\in S^2 \ \ |\ \ x\geq 0\}$.
{\бф Двуугольник} на сфере $S^2$ есть пересечение двух полусфер.
{\бф Кольцо сферических многоугольников} на сфере есть кольцо,
порожденное полусферами. {\бф Треугольник}
есть пересечение трех полусфер. Равносоставленность
сферических многоугольников определяется
так же, как и для плоских многоугольников.
Верно ли, что любой сферический 
треугольник равносоставлен
двуугольнику?
\ез

\задача[10 баллов]
Пусть $M$ -- многоугольник на плоскости Лобачевского.
Докажите, что $M$ равносоставлен равностороннему треугольнику,
или найдите контрпример.
\ез


\задача [5 баллов]
Пусть $A$ есть $n$-угольник на сфере,
$\alpha$ сумма его углов, а $\delta(A)$ есть $\alpha-(n-2)\pi$.
Докажите, что $\delta(A)$ задает конечно-аддитивную
меру на кольце сферических многоугольников.
\ез

%\задача
%Пусть $\mu$ -- аддитивная, $O(3)$-инвариантная, неотрицательная 
%мера на алгебре сферических многоугольников, 
%причем такая, что некоторый двуугольник
%имеет конечную меру. Докажите, что 
%граница полусферы 
%имеет меру нуль. Докажите, что $\mu(S^2)< \infty$.
%\ез


%\задача
%Рассмотрим кольцо $R$ многоугольников в $\R^2$ (кольцо,
%порожденное замкнутыми треугольниками).
%Пусть на $R$ задана функция $\lambda$ со значениями в $[0, \infty[$,
%удовлетворяющая следующим свойствам
%
%\енум
%\итем $\lambda(I)=0$, где $I$ это отрезок, интервал или полуинтервал
%
%\итем $\lambda(A)=\lambda(B)$, если $A$ может быть
%получено из $B$ параллельным переносом.
%\итем $\lambda$ аддитивна: $\lambda(A\coprod B) = \lambda(A)+\lambda(B)$.
%\ее
%
%Докажите, что $\lambda$ задается этими свойствами
%однозначно, с точностью до постоянного множителя.
%\ез

\задача[5 баллов]
Пусть $H$ -- гильбертово пространство, ${\goth S}$ --
множество ограниченных, открытых подмножеств $H$, а 
$\mu:\; {\goth S}\arrow [0, \infty[$ -- конечно-аддитивнаяаддитивная,
монотонная функция, инвариантная относительно сдвигов. 
Докажите, что $\mu=0$.
\ез



\задача[10 баллов]
Пусть $B_i$ -- набор шаров в $\R^n$.
Докажите, что мера $\mu\left(\bigcup B_i\right)$ меньше
или равна, чем $3^n\sum \mu(B_i)$.
\ез


\section{ Задачи к листку 3 (мера Лебега)}

%\задача 
%Докажите, что множество измеримых подмножеств $\R$
%имеет размерность больше континуума. Докажите, что
%множество борелевских подмножеств в $\R$ континуально.
%\ез

\задача[5 баллов]
Пусть $M$ -- локально компактное хаусдорфово пространство,
$A_o$ - $\sigma$-алгебра подмножеств, порожденная открытыми,
$A_c$ - $\sigma$-алгебра подмножеств, порожденная компактами.
Всегда ли $A_o$ равно $A_c$? 
\ез

\задача[5 баллов]
Пусть $M$ -- измеримое подмножество $n$-мерного шара.
Докажите, что $M$ отличается от компактного множества
на множество произвольно малой меры.
\ез

\задача[5 баллов]
Пусть $\pi:\; [0, 1]^n \arrow [0,1]$ -- проекция.
Докажите, что образ борелевского множества -- борелевский.
\ез

\задача[5 баллов]
Пусть $\pi:\; [0, 1]^n \arrow [0,1]$ -- проекция.
Докажите, что образ измеримого множества измерим,
или найдите контрпример.
\ез

\задача[10 баллов]
Докажите, что график любой функции $f:\; \R\arrow \R$ измерим,
или найдите контрпример.
\ез




%\задача
%Пусть $f$ -- монотонно неубывающая функция на $\R$.
%Докажите, что найдется мера $\mu_f$ такая,
%что $\mu_f(]a,b[) = 
%\lim_{\epsilon \rightarrow +0} f(b-\epsilon) - f (a+\epsilon)$.
%\ез
%
%\задача 
%Докажите, что каждая мера на такая,
%что $\nu([a,b]) < \infty$ для любых $a,b$, 
%получается таким образом. 
%\ез


%\задача [2 балла]
%{\бф Множество Витали} есть подмножество $Q \subset \R^n$
%такое, что $\R^n$ представляется в виде объединения
%счетного числа непересекающихся подмножеств $Q_0, Q_1, ..., Q_n, ...$
%конгруэнтных $Q$, причем у каждой точки $x$ есть набор окрестностей
%$U_i$ таких, что $Q_i\cap U_i$ конгруэнтны для всех $i$. 
%Докажите, что множество Витали существует, для
%любого $n$. Докажите, что оно неизмеримо.
%\ез

%\задача
%Постройте гомеомофизм $S^1$ в себя, переводящий
%множество меры нуль в множество ненулевой меры.
%\ез

\section{ Задачи к листку 3 (измеримые функции)}

\задача[5 баллов]
Найдите последовательность непрерывных функций на
$\R^n$, которая сходится в $L^1$, но не сходится
равномерно. Найдите последовательность непрерывных функций на
$\R^n$, которая сходится равномерно, но не сходится в $L^1$.
\ез

\задача[5 баллов]
Найдите последовательность непрерывных функций
на $[0,1]$, которая сходится поточечно, но не сходится
в $L^1$. 
\ез

%\определение
%{\бф Измеримая функция} на $\R^n$ есть такая, что
%прообраз борелевского измерим (по Лебегу).
%{\бф Борелевская функция} есть такая,
%что прообраз борелевского множества борелевский.
%\ео
%
%\задача [2 балла]
%Докажите, что множество измеримых функций на $\R$
%имеет размерность больше континуума. Докажите, что
%множество борелевских функций на $\R$ континуально.
%\ез
%
%\задача
%Докажите, что любая измеримая функция
%равна некоторой борелевской функции 
%вне некоторого множества меры 0.
%\ез

\задача[5 баллов]
Докажите, что произведение измеримых функций 
на $\R^n$ измеримо.
\ез

\задача[5 баллов]
Пусть $f$ -- измеримая функция на $M=\R^n$ такая,
что $\int_M fg=0$ для любой непрерывной функции $g$
с компактным носителем. Докажите, что 
$f=0$ почти всюду.
\ез



\задача[5 баллов]
Докажите, что непрерывные $L^1$-функции на $\R^n$ плотны в $L^1(\R^n)$.
\ез

\section{ Задачи к листку 3 (сходимость интеграла)}

%\задача[15 баллов]
%Докажите, что для любого $\epsilon >0$, любая $L^1$-функция $f$ на $R^n$
%непрерывна вне множества $E_{f, \epsilon}$ меры $\epsilon$.
%\ез

\задача[5 баллов]
Пусть $f_n$ -- последовательность неотрицательных $L^1$-функций на $\R^n$,
равномерно сходящихся к 0. Докажите, что $\lim_i \int_{\R^n} f_i \mu=0$
или найдите контрпример.
\ез

\задача[5 баллов]
Пусть $f_n$ -- последовательность неотрицательных $L^1$-функций 
на $\R^n$. Докажите, что $\lim\inf_i \int_{\R^n} f_i \mu=
\lim\int_{\R^n} \inf_i f_i \mu$, или найдите контрпример.
\ез

\задача[5 баллов]
Пусть  $f_n$ -- последовательность неотрицательных $L^1$-функций 
на $\R^n$. Докажите, что 
\[ \lim_j\sum_{i=0}^j \int_{\R^n} f_i \mu=
 \int_{\R^n} \lim_j\sum_{i=0}^j f_i \mu.
\]
\ез


\задача[5 баллов]
Пусть  $f_n$ -- последовательность $L^1$-функций 
(не обязательно неотрицательных)
на $\R^n$, причем ряд $\sum_{i=0}^n f_i$ сходится
в каждой точке. Докажите, что $\lim_j\sum_{i=0}^j \int_{\R^n} f_i \mu=
\lim_j\int_{\R^n}  \sum_{i=0}^j f_i\mu$, или найдите 
контрпример.
\ез


\задача[5 баллов]
Пусть последовательность неотрицательных 
$L^1$-функций $\{f_i\}$ на $\R^n$ равномерно сходится к 0,
причем существует $g\in L^1(R^n)$ такая, что 
все $f_i$ удовлетворяют $f_i \leq g$. Докажите, что
$\lim_i \int_{\R^n} f_i \mu=
\int_{\R^n} \lim_i f_i \mu$.
\ез


\section{ Задачи к листку 4 (теорема Фубини)}



\задача[5 баллов]
Меры $\mu, \nu$ называются {\бф эквивалентными},
если $\mu$ абсолютно непрерывна относительно $\nu$, а
$\nu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$.
Пусть на $\R^n$ задана мера $\mu$, такая, что
для каждого сдвига $P:\; \R^n \arrow \R^n$,
$P_*\mu$ эквивалентна $\mu$. Докажите, что
$\mu$ эквивалентна мере Лебега.
\ез


%\задача[5 баллов]
%Пусть $f$ -- неотрицательная функция на $\R^n$, а
%$D_f$ -- подмножество в $\R^{n+1}$, состоящее из точек
%$\{(x_1, ..., x_n, t) \ \ |\ \ 0 < t < f(x_1, ..., x_n)\}$.
%Докажите, что $f$ интегрируема тогда и только тогда,
%когда $D_f$ измеримо и имеет конечную меру.
%\ез


\задача[10 баллов]
Пусть $\nu$ -- локально конечная мера на $\R^n$,
$\mu$ -- мера Лебега. Докажите, что 
$\nu \preccurlyeq \mu$ вне множества меры нуль по $\mu$.
\ез

\задача [10 балла]
Пусть $f$ -- монотонно неубывающая функция на $\R$.
Докажите, что $f$ дифференцируема вне
множества меры 0.
\ез

\задача [10 баллов]
Функция $\phi:\; \R \arrow\R$ называется {\бф выпуклой},
если множество $\{(x, y)\ \ |\ \ y\geq f(x) \}$ выпукло.
Докажите, что любая выпуклая функция непрерывна, 
дифференцируема вне множества меры 0, и ее производная
монотонна на ее множестве определения.
\ез


\задача[10 баллов]
Докажите, что в $\R^n$ не существует измеримого множества
$A$ такого, что $\mu(A\cap B)=\frac 1 2 \mu(B)$ для любого куба
$B$ ($\mu$ - мера Лебега).
\ез


\задача[5 баллов]
{\бф Континуум-гипотеза} утверждает, что 
на континууме $C$ можно задать отношение полного
порядка $\preccurlyeq$, такое, что каждый собственный отрезок $C$
счетный. Предположим, что такое
отношение полного порядка есть, и 
рассмотрим в $\R^2$ подмножество $\{(x,y)\ \  |\ \ x\preccurlyeq y\}$.
Докажите, что оно неизмеримо.
\ез




\section{ Задачи к листкам 5-6 (мера Хаара)}


%\задача
%Постройте подмножество меры 0 в $\R$, которое имеет
%хаусдорфову размерность 1.
%\ез
%
%
%\задача
%Число $c\in \R$ называется {\бф числом Лиувилля},
%если для каждого $n>0$ существует
%$p,q\in \Z$, такие, что $|c- p/q| < q^{-n}$.
%Докажите, что множество чисел Лиувилля имеет нулевую
%размерность Хаусдорфа.
%\ез

\определение
(Борелевская) 
мера $\mu$ на $X$ называется {\бф вероятностной}, если 
$\mu(X)=1$. Мера называется {\бф
трансляционно-инвариантной},
если она сохраняется параллельными переносами.
\ео 

\задача[5 баллов]
Докажите, что на $\R$ не существует ненулевой
трансляционно-инвариантной вероятностной меры.
\ез

\задача[10 баллов]
Докажите, что каждое измеримое подмножество $\R^n$ положительной меры 
содержит несчетное компактное подмножество.
\ез


%\задача [10 баллов]
%{\бф Множество Бернштейна} есть подмножество $A\subset \R^n$
%такое, что для любого несчетного компакта $K$, множества
%$A \cap K$ и  $K\backslash A$ непусты. 
%Докажите, что множества Бернштейна существуют.
%Докажите, что они неизмеримы.
%\ез 


%\задача
%Пусть $V$ есть $n$-мерное комплексное пространство
%с невырожденной эрмитовой метрикой с сигнатурой $(n,1)$,
%а $B\subset {\Bbb P}V$ -- проективизация множества всех
%векторов с отрицательным квадратом. Докажите, что
%$B$ гомеоморфно шару, и снабжено транзитивным
%действием группы $G=U(n,1)$ унитарных эндоморфизмов
%пространства $V$. Постройте нетривиальную
%$G$-инвариантную меру на $B$.
%\ез

%\задача
%Постройте транзитивное действие $U(n+1)$ на $\C P^n$.
%Постройте нетривиальную $U(n+1)$-инвариантную меру на $\C P^n$.
%\ез

%\задача
%Постройте нетривиальную $O(n+1)$-инвариантную меру на $n$-мерной
%сфере со стандартным действием $O(n+1)$.
%Докажите, что такая мера единственна с точностью до константы.
%\ез

\определение
{\бф Борелевской алгеброй} называется $\sigma$-алгебра 
подмножеств топологического пространства, порожденная
компактами.
\ео


\задача[10 баллов]
Пусть $C$ есть пространство непрерывных вещественнозначных
функций на отрезке $[0,1]$, с топологией, заданной нормой
$|f|_2 = \sqrt{\int_{[0,1]} f^2\mu}$, ($\mu$ - мера
Лебега на отрезке), а $L_2([0,1])$ его
пополнение по этой норме. Будет ли открытый
шар в $L_2([0,1])$ борелевским множеством?
\ез


%\задача[5 баллов]
%Пусть $X$ -- борелевское множство в $\R^n$.
%Докажите, что пересечение $X$ с координатным
%подпространством $\R^m \subset R^n$ борелевское в $\R^m$.
%Найдите измеримое подмножество $\R^n$ такое, что
%его пересечение с $\R^m$ не измеримо в $\R^m$.
%\ез



\задача[5 баллов]
Пусть $G$ -- компактная группа, непрерывно действующая
на топологическом пространстве $M$. Докажите, что
на $M$ существует нетривиальная $G$-инвариантная
борелевская мера.
\ез

\задача [5 баллов]
Пусть $G$ есть локально компактная, хаусдорфова
топологическая группа, которая свободно действует
на компакте. Докажите, что у нее правая мера Хаара 
пропорциональна левой, или найдите контрпример.
\ез


\задача[5 баллов]
Рассмотрим группу $G$ обратимых верхнетреугольных 
матриц $2\times 2$ 
\[ A = \begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12} \\
0 & a_{22}
\end{pmatrix}
\]
Отображение $A \arrow (a_{11}, a_{12}, a_{22})$
отождествляет $G$ и открытое подмножество в $\R^3$,
заданное условиями $a_{11}\neq 0, a_{22}\neq 0$. 
Докажите, что мера Хаара $h$ на $G$ абсолютно непрерывна
относительно меры Лебега $\mu$ на $\R^3$. Найдите
функцию $f$ такую, что $h = f \mu$. 
\ез



\end{document}