\documentclass[12pt]{article}

%\addtolength{\topmargin}{-20mm}
%\addtolength{\textheight}{45mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
%\addtolength{\textwidth}{30mm}

%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
%\addtolength{\textwidth}{10mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   04.04.2012



\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   04.04.2016}
\newcommand{\firstdate}{04.04.2016}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{2}{Метрические пространства: контрольная 2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




{\scriptsize
{\бф Правила:} Пожалуйста, запишите задачи и сдайте ваше
решение до 19:30, 14 марта. Число очков за это задание 
(и за предыдущее задание) равно утроенной сумме баллов за задачи.
Пожалуйста, сформулируйте (не опуская деталей) все 
нетривиальные теоремы, которыми вы пользуетесь, и укажите ссылку 
либо набросок доказательства. Успешно учащиеся студенты должны получать
по 10 баллов в неделю. 
 }

\замечание 
Все метрические пространства в этом листке предполагаются 
с внутренней метрикой.
\еза

\задача[3 балла]
Пусть $T$ есть двумерный тор с плоской метрикой.
Докажите, что $T$ имеет неотрицательную кривизну в целом
(в смысле Александрова).
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $M$ -- компактное метрическое пространство с конечной, нетривиальной
фундаментальной группой. Докажите, что в $M$ есть замкнутая геодезическая.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- метрическое пространство диаметра $\leq \pi$, а
$C(M)$ его конус. Докажите, что $M$ полно тогда и только тогда,
когда его конус полон.
\ез

\задача
Пусть $M$, $M'$ -- CAT(0)-пространства (пространства с неположительной
кривизной в целом). Докажите, что $M\times M'$ с метрикой произведения --
тоже CAT(0)-пространство.
\ез

\задача
Пусть $G$ -- группа симметрий платонова многогранника (тетраэдра,
куба, икосаэдра), действующая на $\R^3$. Докажите, что $G$ порождена
отражениями, а фактор $\R^3/G$ является CAT(0)-пространством.
\ез

\задача[3 балла]
Пусть $X$ и $Y$ -- CAT(0)-пространства, $Z_1\subset X$ и $Z_2\subset Y$ 
изометричные, выпуклые замкнутые подмножества, а $U$ получено
из $X$ и $Y$ склейкой $Z_1$ и $Z_2$. Докажите, что 
$U$ -- тоже CAT(0)-пространство.
\ез



\end{document}