\documentclass[12pt]{article}

%\addtolength{\topmargin}{-20mm}
%\addtolength{\textheight}{45mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
%\addtolength{\textwidth}{30mm}

%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
%\addtolength{\textwidth}{10mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   10.03.2012
%version 1.0,\ \   03.04.2012, oshibka v odnoj zadache


\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   03.04.2016}
\newcommand{\firstdate}{14.03.2016}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{1}{Метрические пространства: контрольная 1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




{\scriptsize
{\бф Правила:} Пожалуйста, запишите задачи и сдайте ваше
решение до 19:30, 14 марта. Число очков за это задание 
 равно утроенной сумме баллов за задачи.
Пожалуйста, сформулируйте (не опуская деталей) все 
нетривиальные теоремы, которыми вы пользуетесь, и укажите ссылку 
либо набросок доказательства. Успешно учащиеся студенты должны получать
по 10 баллов в неделю.
 }

\задача
Докажите, что каждое метрическое пространство
допускает изометрическое вложение в нормированное
векторное пространство.
\ез


\задача
Пусть $X$ -- пространство с внутренней метрикой, гомеоморфное
окружности. Докажите, что не существует изометрического
вложения $X \arrow \R^n$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $\gamma_i:\; [0, 1] \arrow M$ -- последовательность
кратчайших с геодезической
параметризацией в пространстве с внутренней метрикой, 
$\gamma_i(0)=p$. Предположим, что их классы образуют
последовательность Коши в пространстве направлений в точке $p$.
Докажите, что предел $\lim_i \gamma_i(t)$ существует
для любого $t$ и задает кратчайшую $\gamma(t)$, или найдите контрпример.
\ез


\задача[3 балла]
Пусть $M$ -- компактное метрическое пространство с внутренней метрикой,
а $\gamma$ -- путь через точку $p$, имеющий
направление. Докажите, что найдется геодезическая
$\gamma_1$ через точку $p$ такая, что
$\measuredangle(\gamma,p,\gamma_1)=0$, или
найдите контрпример.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $M$ -- компактное метрическое пространство,
а $f:\; M \arrow M$ 1-липшицево, сюрьективное
отображение. Докажите, что $f$ -- изометрия.
\ез

%\задача[3 балла]
%Пусть $M$ -- компактное метрическое пространство.
%Докажите, что пространство направлений в точке $x\in M$
%тоже компактно, или найдите контпример.
%\ез

\end{document}