
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url}

\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\ендпрооф{\endproof}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\Per}{\operatorname{Per}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Area}{\operatorname{Area}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{\sf diam}}
\newcommand{\const}{\operatorname{\sf const}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Метрическая геометрия\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}

\makeatother


\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Метрическая геометрия 10: \\[3mm]
 многогранник Рипса}\\[14mm]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 21 мая, 2016\\
НМУ}
\end{center}

\невпаге

{\бф \блуе Квазиизометрии (повторение)}

\определение
Отображение $f:\; X \arrow Y$ называется 
{\бф\блуе билипшицевым с константой $C$},
или просто {\бф\блуе билипшицевым}, если это биекция, причем $f$ и $f^{-1}$
$C$-липшицевы (то есть удовлетворяют $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)$).


\определение
Пространства $X$ и $Y$ {\бф \блуе квазиизометричны}, если
в $X$ и в $Y$ существуют $\epsilon$-сети $X_\epsilon$ и $Y_\epsilon$,
между которыми есть билипшицево отображение.


\определение
Отображение $f:\; X \arrow Y$ метрических пространств
называется {\бф\блуе квазиметрическим}, если для каких-то
констант $C$, $\epsilon>0$, имеем $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)+\delta$.

\теорема
Пусть $X, Y$ -- метрические пространства.
{\бф \ред Тогда следующие условия равносильны:}\\
(а) Существуют квазиметрические отображения
$f:\; X\arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$, и константа $A>0$ такая, что 
{\бф \пурпле $d(gf(x),x)<A$ и $d(fg(y),y)<A$ для любых $x\in X, y\in Y$.}\\
(б) {\бф \пурпле $X$ и $Y$ квазиизометричны.}

\невпаге


{\bf \blue Неравенство Громова (повторение)}

\определение
Пусть $X$ -- метрическое пространство с отмеченной
точкой $p$. {\бф \блуе Громовское произведение}
$(a,b)_p$ есть $1/2(|ap|+|bp|-|ab|)$. Это число, которое
измеряет отклонение неравенства треугольника от равенства.

\определение
{\бф \блуе Неравенство Громова} есть неравенство
на попарные громовские произведения:
\[
(a,b)_p\geq \min\left[(a,c)_p,(b,c)_p\right]-\delta.
\]
Когда нужно обозначить, о каком конкретно $\delta$ идет
речь, говорится {\бф \блуе $\delta$-неравенство Громова.}


\замечание
Неравенство Громова равносильно следующему
условию:
\[ \max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|,
   |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)\geq-\delta.
\]
\centerline{\epsfig{file=gromov-inequa.eps,width=0.35\linewidth}}


\newpage

{\bf \blue Гиперболичность по  Громову (повторение)}

\теорема
Пусть в $(X,p)$ выполнено $\delta$-неравенство Громова. 
{\бф \ред Тогда для любой точки $p'$, в $(X,p')$
выполнено $2\delta$-неравенство Громова.}

\теорема
{\бф \ред Пусть в $X$ выполнено $\delta$-неравенство
Громова. Тогда $X$ $6\delta$-гиперболично.}

\следствие
{\бф \ред В любом $\delta$-гиперболическом пространстве выполнено
$3\delta$-неравенство Громова.}

\следствие
{\бф \пурпле Гиперболичность по Громову эквивалентна
гиперболичности, определенной через тонкие треугольники}



\замечание
Kогда говорят
{\bf \blue "определение А гиперболичности эквивиалентно определению Б"}
это значит, что {\bf \purple для какого-то числа $C>0$ из
$\delta$-гиперболичности в смысле А следует
$C\delta$-гиперболичность в смысле Б, а из
$\delta$-гиперболичности в смысле Б следует
$C\delta$-гипербо\-личность в смысле А.}

\невпаге

{\бф\блуе Квазигеодезические (повторение)}

\определение
{\бф\блуе $C$-квазигеодезическая} в метрическом пространстве
$M$ есть спрямляемая кривая $\gamma:\; [0,a]\arrow M$,
которое удовлетворяет $L(\gamma\restrict{[x,y]})\leq Cd(x,y)$,
где $L(\gamma\restrict{[x,y]})$ обозначает длину отрезка кривой.

\замечание
Я буду по умолчанию
считать, что {\бф \пурпле квазигеодезические параметризованы длиной кривой,}
то есть $L(\gamma\restrict{[x,y]})=|x-y|$.


\определение
Пусть $\gamma$ -- $C$-квазигеодезическая
в геодезическом пространстве, а $R(\gamma)$ есть
максимум расстояния от точек $\gamma$ до любой
из кратчайших $[a,b]$, соединяющих концы $\gamma$.
{\bf \blue Лемма Морса} утверждает, что {\бф \ред $R(\gamma)$ 
ограничено константой, которая зависит только
от $M$ и $C$, для любой $C$-квазигеодезической
в гиперболическом пространстве $M$.}

{\бф \блуе Лемма Морса была доказана на прошлой лекции.}

\замечание Также было доказано, что {\бф \пурпле максимум расстояния
от точек $[a,b]$ до $\gamma$ также ограничен константой,
которая зависит только
от $M$ и $C$.}

\невпаге

{\бф \блуе Полиэдр Рипса}


\определение
{\бф\блуе Прямоугольный сферический симплекс диаметра $d$}
есть пересечение $C_d$ сферы радиуса $2\pi^{-1}d$ в $\R^{n+1}$
и квадранта $x_1\geq 0, ..., x_{n+1}\geq 0$.

\определение
Пусть $М$ -- метрическое пространство.
{\бф \блуе Многогранник Рипса} есть полиэдральное пространство $P_d(M)$,
вершины которого - точки $M$, а $n$-симплексы натянуты
на любые $n$ различных точек, попарное расстояние
между которыми $\leq d$. Введем на многограннике
Рипса метрическую структуру таким образом, чтобы
{\bf \purple все стороны были равны $d$, а все симплексы - изометричны
прямоугольным сферическим симплексам диаметра $d$.}

\утверждение
Пусть $M$ -- геодезическое метрическое пространство,
а $M \stackrel \phi \arrow P_\delta (M)$ -- естественное вложение.
{\бф \пурпле Тогда $d(\phi(x),\phi(y)) =\delta \lceil \delta^{-1} d(x,y)\rceil$},
где $\lceil a \rceil$ обозначает минимальное целое число, которое 
$\geq a$. 

\доказательство
Используется следующее свойство прямоугольного 
сферического симплекса: {\бф \пурпле
расстояние
от вершины симплекса до любой точки противоположной стороны
равно $d$.} \ендпрооф


\невпаге

{\бф\блуе $+$-квазиизометрии}

\определение
Отображение $f:\; X \arrow Y$ называется
{\бф \блуе $\delta,+$-квази\-мет\-ри\-ческим}, 
если $d(f(x),f(y))\leq d(x,y)+\delta$.

\определение
{\бф \блуе $\delta,+$-квазиизометрия} есть $\delta,+$-квазиметрическое\\
ото\-бражение $f:\; X \arrow Y$, такое, что $\delta$-окрестность
$f(X)$ есть $Y$. Пространства называются {\бф \блуе 
$+$-квазиизометричными}, если между ними есть 
$\delta,+$-квазиизометрия, для какого-то $\delta$.

\лемма
{\бф\пурпле Естественное вложение 
$\phi:\; M \arrow P_\delta(M)$ есть 
$\delta,+$-квази\-изометрия.}

\доказательство В самом деле, $P_\delta(M)$ лежит
в $\delta$-окрестности $\phi(M)$, а $\phi$ искажает
расстояния меньше, чем на $\delta$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф\блуе $+$-квазиизометрии и гиперболичность}

\утверждение
Пусть $f:\; X \arrow Y$ $\epsilon,+$-квазиизометрия. Тогда
{\бф \ред 
$X$ $\delta$-гиперболично $\Rightarrow$ $Y$ $\delta+8\epsilon$-гиперболично.}

\доказательство
Неравенство Громова равносильно следующему
условию:
\[ \max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|,
   |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)\geq-\delta.
\]
Тогда для любых точек в $f(X)$, имеем $\max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|,
   |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)\geq-\delta-4\epsilon$, а любые
4 точки в $Y$ отстоят от каких-то точек в $f(X)$ не больше,
чем на $\epsilon$, что дает $\max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|,
   |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)\geq-\delta-8\epsilon$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф\блуе $+$-квазиизометрии и квазиизометрии}

\определение
$\epsilon$-сеть $N$ называется {\бф \блуе $\delta$-разделенной}, если
для любых неравных $a, b\in N$, имеем $d(a,b)> \delta$.

\утверждение
Пусть $N$ -- $\epsilon$-сеть в метрическом пространстве.
Тогда {\бф \ред из $N$ можно выбрать $\epsilon$-разделенную $2\epsilon$-сеть.}

\теорема\\
{\бф \ред $+$-квазиизометричные пространства квазиизометричны}.

\дшаг
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- $\delta,+$-квазиизометрия.
Обозначим за $Z(\epsilon)$ $\epsilon$-окрестность множества $Z$.
{\бф \пурпле Поскольку образы точек, отстоящих на
$\lambda$, отстоят на расстояние
$\leq \lambda+\delta$, имеем $f(Z(\lambda))\subset
f(Z)(\lambda+\delta)$.}



{\бф \греен Шаг 2:}
Выберем в $X$ $4\delta$-разделенную $8\delta$-сеть $N_X$.
Поскольку $N_X(8\delta)=X$, имеем 
$Y= f(X)(\delta)=f(N_X(8\delta))(\delta)\subset f(N_X)(9\delta)(\delta)$.
{\бф \ред Значит, $f(N_X)$ есть $10\delta$-сеть.}

\невпаге

{\бф\блуе $+$-квазиизометрии и квазиизометрии (продолжение)}

\теорема\\
{\бф \ред $+$-квазиизометричные пространства квазиизометричны}.

\дшаг
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- $\delta,+$-квазиизометрия.
Обозначим за $Z(\epsilon)$ $\epsilon$-окрестность множества $Z$.
{\бф \пурпле Поскольку образы точек, отстоящих на
$\lambda$, отстоят на расстояние
$\leq \lambda+\delta$, имеем $f(Z(\lambda))\subset
f(Z)(\lambda+\delta)$.}



{\бф \греен Шаг 2:}
Выберем в $X$ $4\delta$-разделенную $8\delta$-сеть $N_X$.
Поскольку $N_X(8\delta)=X$, имеем 
$Y= f(X)(\delta)=f(N_X(8\delta))(\delta)\subset f(N_X)(9\delta)(\delta)$.
{\бф \ред Значит, $f(N_X)$ есть $10\delta$-сеть.}

{\бф \греен Шаг 3:}
Поскольку расстояние между точками $N_X$ $\geq 4\delta$,
а отображение $f$ $\delta,+$-квазиметрическое, 
$f:\; N_X \arrow f(N_X)$ 2-билипшицево: 
\begin{multline*} 
|d(f(z), f(z'))-2\delta| \leq d(z,z')\Rightarrow \\ \Rightarrow
2d(z,z')\geq 
d(z,z')+2\delta\geq
 d(f(z), f(z'))\geq d(z,z')-2\delta\geq 1/2 d(z,z')
\end{multline*}
для всех $z,z'\in N_X$.
{\бф \ред Мы построили 2-билипшицевы $\epsilon$-сети 
в $X$, $Y$.}
\ендпрооф

\упражнение {\бф \пурпле Докажите, что $+$-квазиизометрия есть отношение
эквивалентности.}

\невпаге

{\бф \блуе Полиэдр Рипса и разложение квазиизометрий}


\утверждение
Пусть $N_X$ есть $\epsilon$-сеть в геодезическом пространстве $X,d$.
Определим расстояние $d_{2\epsilon}$ на $N_X$ по формуле
$d_{2\epsilon}(x,y)=\inf_S\sum d(x_i, x_{i+1}),$ где
инфимум берется по всем последовательностям 
\[ S=\{x_0=x, x_1, ..., x_n=y\}\subset N_X,\]
в которых $d(x_i, x_{i+1})<2\epsilon$.
{\бф \ред Тогда метрики $d_{\epsilon}$ и $d$ на $N_X$ билипшицевы.}

\доказательство
Разобьем геодезическую, соединяющую $x$ и $y\in N_X$,
в $N=\lceil \epsilon^{-1}d(x,y)\rceil$ отрезков 
$[z_i, z_{i+1}]$ длины $\leq\epsilon$,
и пусть $x_i$ -- точки $N_X$, лежащие
на расстоянии $\leq \epsilon$ от $z_i$.
Тогда $d(x_i,x_{i+1})\leq 3\epsilon$,
значит, $d(x,y) \leq d_{2\epsilon}(x,y) \leq 3\epsilon N \leq 4\epsilon d(x,y)$.
\ендпрооф

\следствие
Пусть $X$ -- геодезическое пространство,
$N_X$ -- $\epsilon$-сеть, а $P_{2\epsilon}(N_X)$ -- ее 
многогранник Рипса. {\бф \ред Тогда $X$ и $P_{2\epsilon}(N_X)$
$+$-квази\-изомет\-ричны.}

\доказательство
Метрика на вершинах $P_d(N_X)$ равна $d_{2\epsilon}$,
значит, {\бф \пурпле $N_X$ билипшицево множеству вершин $P_d(N_X)$.}
\ендпрооф

\следствие
Пусть $X,Y$ -- квазиизометрические геодезические
пространства. {\бф \пурпле Тогда $X, Y$ $+$-квазиизометричны
геодезическим пространствам $X', Y'$, которые
билипшицево эквивалентны.}
\ендпрооф


\невпаге

{\бф\блуе $\delta$-гиперболичность и квазиизометрии}

\теорема
Пусть $X$, $Y$ -- квазиизометрические геодезические
пространства, причем $X$ гиперболично. {\bf \red Тогда $Y$ тоже
гиперболично.}

\доказательство
 Kвазиизометрия из $X$ в $Y$
может быть разложена в композицию +-квазиизометрий и билипшицева
отображения между полиэдрами Рипса соответствующих $\epsilon$-сетей.

{\бф \пурпле Пространство, которое +-квазиизометрично гиперболическому,
тоже гиперболично, как доказано выше}. Поэтому теорема
вытекает из следующего

\утверждение
Пусть $X\stackrel f \arrow Y$ -- $C$-билипшицево отображение
геодезических пространств. {\бф \ред Тогда $X$ гиперболично
$\Leftrightarrow$ $Y$ гиперболично.}

\дшаг Пусть $X$ $\delta$-гиперболическое (по Рипсу),\\
$T_1,T_2, T_3$ -- стороны геодезического треугольника,
соединяющего точки $a, b,c\in X$, а $S_1,S_2, S_3$ -- стороны
аналогичного треугольника в $Y$, соединяющего $f(a), f(b),f(c)$.
Тогда $f^{-1}(S_i)$  -- {\бф \пурпле $C$-квазигеодезическая. 
По лемме Морса, она лежит в $R$-окрестности 
$T_i$, и наоборот, $T_i\subset f^{-1}(S_i)(R)$.}


\невпаге

{\бф\блуе $\delta$-гиперболичность и билипшицевы отображения}

\утверждение
Пусть $X\stackrel f \arrow Y$ -- $C$-билипшицево отображение
геодезических пространств. {\бф \ред Тогда $X$ гиперболично
$\Leftrightarrow$ $Y$ гиперболично.}

\дшаг Пусть $X$ $\delta$-гиперболическое (по Рипсу),\\
$T_1,T_2, T_3$ -- стороны геодезического треугольника,
соединяющего точки $a, b,c\in X$, а $S_1,S_2, S_3$ -- стороны
аналогичного треугольника в $Y$, соединяющего $f(a), f(b),f(c)$.
Тогда $f^{-1}(S_i)$  -- {\бф \пурпле $C$-геодезическая, значит, она лежит
в $R$-окрестности $T_i$: $f^{-1}(S_i)\subset T_i(R)$,
и наоборот, $T_i\subset f^{-1}(S_i)(R)$.}


{\бф \греен Шаг 2:} В силу $\delta$-гиперболичности $X$,
$T_1 \subset T_2(\delta) \cup T_3(\delta)$. Это дает 
\begin{multline*} 
f^{-1}(S_1)\subset T_1(R)\subset  T_2(R+\delta) \cup
T_3(R+\delta)\subset \\
   \subset f^{-1}(S_2)(2R+\delta) \cup f^{-1}(S_3)(2R+\delta).
\end{multline*}
{\бф \греен Шаг 3:} Применяя $f$, получаем из предыдущего шага
$S_1\subset S_2(2CR+C\delta) \cup S_3(2CR+C\delta)$, {\бф \ред значит,
пространство $Y$ $2CR+C\delta$-гиперболично.}
\ендпрооф




\невпаге

{\бф \блуе Метрика слов на группе (повторение)}


\определение
{\бф \блуе Набор образующих} конечно-порожденной 
группы $G$ есть конечное
множество элементов $S$, мультипликативно порождающих $G$.
{\бф \ред В дальнейшем, мы будем всегда предполагать, что
$s\in S \Leftrightarrow s^{-1}\in S$.}


\определение
Пусть $G$ -- группа, $\{s_i\}$ -- набор образующих.
{\бф \блуе Граф Кэли} пары $(G, \{s_i\})$ есть граф, вершины
которого -- элементы $G$, а ребра соединяют точки вида
$g$ и $gs_i$. Положим длину ребер графа равной 1.
Этот метрический граф называется {\бф \ред графом Кэли.}

\определение
{\бф \блуе Метрика слов} на группе $\Gamma$ с набором
образующих $S$ есть метрика $d_S$, индуцированная с графа
Кэли.


\утверждение
Пусть самое короткое разложеие вида $\gamma=\prod_i s_i$ 
имеет длину $i$. {\бф \пурпле Тогда $d_S(1,\gamma)=i$.}

\следствие
Пусть $S, S'$ -- наборы образующих, причем
$\max_{s'\in S'} d_S(1, s')=C$. {\бф \ред Тогда тождественное
отображение $(\Gamma, d_S)\arrow \Gamma, d_{S'})$
$C$-липшицево}.
\ендпрооф

\следствие {\бф \ред Для любой конечно-порожденной группы,
все ее графы Кэли квазиизометричны.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Гиперболические группы (повторение)}

\определение
Группа $(\Gamma, S)$ с заданной системой образующих 
называется {\бф\блуе гиперболичной по Громову}, если
ее граф Кэли $\delta$-гиперболичен, для какого-то $\delta$.

\замечание Универсальное
накрытие свободной группы есть ее граф Кэли.
{\бф \пурпле В силу односвязности универсального накрытия, это дерево.}
Значит, {\бф \ред свободная группа 0-гиперболична}.

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле $\Z^n$ со стандартным набором образующих
не гиперболична.}

\теорема
Если группа $(\Gamma, S)$ с заданной системой образующих $S$
гиперболична, {\бф \ред она гиперболична для любой другой системы
образующих $S'$.}

\доказательство
Группа $\Gamma$ с метрикой слов $d_S$ квазиизометрична 
$\Gamma$ с метрикой слов $d_{S'}$. Также, $\Gamma$
+-квазиизометрична своему графу Кэли. {\бф \пурпле Значит, графы Кэли
для $(\Gamma, S)$ и $(\Gamma, S')$ квазиизометричны.}
Поэтому гиперболичность одного графа равносильна
гиперболичности другого. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Конечно-порожденные группы}

\определение
Конечно-порожденная группа $\Gamma$ называется {\бф \блуе конечно
представимой}, если $\Gamma$ есть фактор свободной группы
по  нормальной подгруппе, натянутой на конечной набор соотношений.

\упражнение {\бф \пурпле Постройте конечно-порожденную, но не
конечно-представимую группу.}

\определение
Пусть $\Gamma$ -- конечно-порожденная группа с образующими
$x_1, ..., x_n$. Говорится, что {\бф \блуе в $\Gamma$ разрешима
проблема слов}, если существует алгоритм, который
в ответ на два слова, составленных из букв $x_i$,
сообщает, равны ли соответствующие произведения $x_i$ в $\Gamma$.

\замечание П. С. Новиков в 1955-м году построил группу,
в которй не разрешима проблема слов. 

\невпаге

{\бф \блуе Свойства гиперболических групп}


{\small Collins, Donald J. (1986), {\ем "A simple presentation
of a group with unsolvable word problem",} Illinois Journal
of Mathematics 30 (2): 230-234, \\
John Pedersen's "A Catalogue of Algebraic Systems" 
{\em An explicit example of a reasonable short presentation
with insoluble word problem}
\[ \begin{array}{lllll}\langle & a,b,c,d,e,p,q,r,t,k & | & &\\ 
&p^{10}a = ap,  &pacqr = rpcaq,             &ra=ar, &\\
&p^{10}b = bp,  &p^2adq^2r = rp^2daq^2,     &rb=br, &\\
&p^{10}c = cp,  &p^3bcq^3r = rp^3cbq^3,     &rc=cr, &\\
&p^{10}d = dp,  &p^4bdq^4r = rp^4dbq^4,     &rd=dr, &\\
&p^{10}e = ep,  &p^5ceq^5r = rp^5ecaq^5,    &re=er, &\\
&aq^{10} = qa,  &p^6deq^6r = rp^6edbq^6,    &pt=tp, &\\
&bq^{10} = qb,  &p^7cdcq^7r = rp^7cdceq^7,  &qt=tq, &\\
&cq^{10} = qc,  &p^8ca^3q^8r = rp^8a^3q^8,  &&\\
&dq^{10} = qd,  &p^9da^3q^9r = rp^9a^3q^9,  &&\\
&eq^{10} = qe,  &a^{-3}ta^3k = ka^{-3}ta^3  &&\rangle
\end{array}\]}

\теорема
{\бф \ред Любая конечно-порожденная гиперболическая группа $\Gamma$
конечно-представима. Более того, в $\Gamma$ разрешима
проблема слов.}

{\бф \греен Доказательство дальше.}

\невпаге

{\бф \блуе Конечные полиэдральные пространства с
орбиособенностями}

\теорема Пусть $S$ -- стягиваемый метрический полиэдр
(с гиперболической, сферической, или плоской метрикой 
на симплексах), а $\Gamma$ -- группа, собственно действующая
на $S$ полиэдральными изометриями с конечными стабилизаторами (и свободно
в общей точке). Предположим, что
$X:=S/\Gamma$ компактно. {\бф \ред Тогда $\Gamma$ конечно порождена
и конечно представима.}

\дшаг  Обозначим за $D\subset S$
фундаментальный полиэдр действия $\Gamma$, и пусть
$\bigcup_{\gamma\in\Gamma} D_\gamma$ соответствующее 
полиэдральное разбиение $S$, $D_\gamma=\gamma(D)$.
Каждая стягиваемая петля $\xi$ в $S$ 
{\бф \пурпле разлагается в произведение стягиваемых петель
$\xi=\xi_1\xi_2\xi_3...\xi_n$, где каждый из
$\xi_i$ лежит в каком-то из $D_\gamma$, и там же
стягивается. }

{\бф \греен Шаг 2:} За образующие $\Gamma$ можно взять
симпициальные пути в $X$, которые лежат в $D$, а за соотношения -
симплициальные 2-цепи, лежащие в $D$, со связной границей,
и поднимающиеся в $X$. {\бф \ред Их конечное число.} \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Полиэдр Рипса стягиваем}

\теорема
Пусть $X$ -- $\delta$-гиперболическое (в смысле неравенства Громова)
геодезическое пространство. {\бф \ред Тогда его полиэдр Рипса $P_d(X)$
стягиваем, для любого $d\geq 4\delta$.}

\дшаг Достаточно доказать, что каждый конечный 
подполиэдр $D\subset P_d(X)$ можно стянуть в точку в $P_d(X)$.

{\бф \греен Шаг 2:} Любой полиэдр $D\subset P_d(X)$ 
с вершинами, лежащими в области $U\subset X$
диаметра $\leq d$ стягиваем, ибо {\бф \пурпле в $P_d(X)$
присутствует симплекс, натянутый на любой набор точек
из $P_d(U)$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $p\in X$ -- фиксированная точка, 
$D\subset P_d(X)$ конечный подполиэдр, а $y_0$ -- вершина
$D$, такая, что $d(p,y_0)\geq d(p,z)$ для любой другой вершины $D$.
Возьмем точку $y_1$ на кратчайшей $[p,y_0]$, отстоящую от
$y_0$ на $\frac 1 2 d$. {\бф \пурпле Достаточно доказать, что $D$ можно
прогомотопировать в $D_1$, у которого все вершины кроме $y_0$ такие
же, а $y_0$ заменяется на $y_1$.}

{\бф \греен Шаг 4:} Вершины $z,y_0$ можно соединить
1-симплексом в $P_d(X)$, если $d(z,y_0) \leq d$. Значит,
{\бф \пурпле $D_1$ существует $\Leftarrow$ для каждой $z\in X$,
$d(y_1,z) \leq \min(d,d(y_0,z))$.}

\невпаге

{\бф \блуе Полиэдр Рипса стягиваем (продолжение)}

Мы свели стягиваемость $D$ к следующей лемме.

\лемма
Пусть $p,y_0,z$, $d(p,y_0)\geq d(p,z)$
-- точки геодезического пространства,
которое $\delta$-гиперболично, $d\geq 2\delta$, а 
$y_1$ -- точка на кратчайшей $[p,y_0]$, отстоящая от
$y_0$ на $\frac 1 2 d$. {\bf \red Тогда 
$d(y_1,z) \leq \min(d,d(y_0,z))$.}

\доказательство Применим неравенство Громова
для четверки точек $p,y_0,z, y_1$.\\
\centerline{\epsfig{file=gromov-inequa-vyrozhd.eps,width=0.55\linewidth}}\\
либо $\delta-|zy_1|-|py_0| + |y_1y_0|+|pz|\geq 0$, \\
либо $\delta-|zy_1|-|py_0| + |zy_0|+|py_1|\geq 0$\\
это дает: $\delta+|zp|-|py_1|-|zy_1| \geq 0$, либо
$\delta+|zy_0|-|zy_1|-|y_0y1|\geq 0$.

В первом случае с учетом $|py_0|=|py_1|+ \frac 1 2 d \geq |pz|$ 
получаем $|zy_1| \leq \delta + \frac 1 2 d \leq d$. Во втором случае
$|zy_0| \leq |zy_1| -\delta+\frac 1 2 d=|zy_1|$.
\endproof

\невпаге

{\бф \блуе Конечная порожденность гиперболических групп}

Этот же аргумент доказывает следующую теорему.

\теорема Пусть $Х$ -- дискретное $\delta$-гиперболическое
пространство, $\delta \in \Z$, $d\geq 2 \delta$, а $P_d(X)$ --
его многогранник Рипса. {\бф \ред Предположим, что $X$ есть
множество вершин метрического графа со сторонами 1.
Тогда $P_d(X)$ стягиваемый.}
\ендпрооф

\лемма 
Рассмотрим конечно-порожденную 
группу $\Gamma$ как метрическое пространство с метрикой слов.
{\бф \пурпле Тогда $\Gamma$ действует с конечными стабилизаторами
на многограннике $P_d(\Gamma)$.}

\доказательство Стабилизатор точки $z\in I$ в $k$-мерном симплексе
$I$ переставляет вершины этого симплекса, а любой элемент
$\gamma\in \Gamma$, сохраняющий какую-то из вершин, равен 1.
Значит, для каждого $s\in St(z)$, $s^N=\Id$, причем
$N\leq r(k+1)$, где $N$ есть максимальный порядок
в симметрической группе $S_{k+1}$. \ендпрооф

\замечание Применяя этот результат к графу Кэли, получаем,
что {\бф \пурпле
гиперболическая группа $\Gamma$ действует с конечными стабилизаторами
на стягиваемом многограннике $P_d(\Gamma)$,} причем $P_d(\Gamma)/\Gamma$
компактно. 

\невпаге

{\бф \блуе Применения стягиваемости полиэдра Рипса}

\следствие
{\бф \ред 
Любая конечно-порожденная гиперболическая группа $\Gamma$ конечно представима.}
\ендпрооф

\упражнение
Докажите, что рациональные когомологии $\Gamma$ конечномерны.

\теорема
Пусть $\Gamma$ -- конечно-порожденная гиперболическая группа.
{\бф \ред Тогда число классов сопряженности элементов
конечного порядка в $\Gamma$ конечно.}

{\бф \греен Доказательство:}
Каждый такой элемент $\gamma$ сохраняет точку $P_d(\Gamma)$, 
сопряженные элементы соответствуют одинаковым точкам
в $P_d(\Gamma)/\Gamma$. Это задает {\бф \пурпле биекцию между
элементами конечного порядка и компонентами особого множества
в $P_d(\Gamma)/\Gamma$,} но $P_d(\Gamma)/\Gamma$ -- конечный
полиэдр, а компоненты особого множества суть подполиэдры
в барицентрическом разбиении полиэдра $P_d(\Gamma)/\Gamma$,
значит, их конечное число. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Треугольные копредставления}

\замечание
Пусть $\Gamma$ -- конечно-порожденная, конечно-представимая
группа. Тогда существует такой набор образующих $\{x_i\}$,
что соотношения в $\Gamma$ "порождены треугольниками", то есть
{\бф \пурпле $\Gamma$ есть фактор свободной группы по нормальной подгруппе, 
натянутой на соотношения вида $w_{abc}:=x_ax_bx_c=1$.}

\определение
Такой набор образующих называется {\бф\блуе треугольным
копредставлением}.

\замечание
Петли в графе Кэли группы $\Gamma$ суть соотношения вида
$x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_N}=1$. Если каждое
соотношение в $\Gamma$ есть произведение соотношений вида
$gw_{abc}g^{-1}$, {\бф \ред каждая петля может быть разрезана на треугольники
со сторонами 1,1,1.} Это {\бф \пурпле геометрическая интерпретация
понятия треугольного копредставления.}

\невпаге

{\бф \блуе Площадь ломаной}

\определение
Пусть $\Gamma$ -- группа, снабженная треугольным копредставлением.
{\бф \блуе Площадь} петли $\gamma$ в графе Кэли 
есть минимальное число  треугольников
со сторонами 1,1,1, на которые можно разрезать $\gamma$.
Иначе говоря, площадь замкнутой ломаной в графе Кэли есть
число треугольников, потребных, чтобы затянуть
эту ломаную, то есть выразить соответствующее
соотношение как произведение треугольных:
$W=\prod_i L_{k} w_{a_kb_kc_k}L_k^{-1}$.


\утверждение
Пусть $\Gamma$ -- группа, снабженная треугольным
копредставлением $\Gamma=Fr(x_1, ...,x_d)/
\langle w_{a_1b_1c_1}, ..., w_{a_{d'}b_{d'}c_{d'}}\rangle,$
а $\Psi:\; {\Bbb N} \arrow {\Bbb N}$ вычислимая функция такая, что
любая петля длины $N$ имеет площадь $\leq \Psi(N)$. {\бф
\ред Тогда
в $\Gamma$ разрешима проблема слов.}



\невпаге

{\бф \блуе Разрешимость проблемы слов}

\дшаг
Пусть петля $x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_n}$,
разрезана на треугольники $w_{a_1b_1c_1}$,
$w_{a_2b_2c_2}$, ..., причем треугольник
$w_{a_{i+1}b_{i+1}c_{i+1}}$ приделывается к вершине
$\psi(i)\in \Gamma$ треугольника за номером $i$.
Тогда $\psi_i\psi_{i-1}^{-1}$ соответствует
ломаной, соединяющей отмеченные вершины 
соседних треугольников, значит, $\psi_i\psi_{i-1}^{-1}$ 
представляется словом $h_i$ длины $\leq 2$.
Пусть теперь $L_k:=\prod_{i=1}^k h_k$ -- 
ломаная, соединяющая 1 и вершину $\psi_k$,
и идущая через вершины $\psi_1, ..., \psi_{k-1}$.
Воспользовавшись индукцией,
обозначим за $g_{k}$ петлю вида $g_{k-1} L_{k} w_{a_kb_kc_k}L_k^{-1}$.
{\бф \пурпле
Это петля в графе Кэли, ограниченная треугольниками с 1-го до $k$-й.}

{\бф \греен Шаг 2:}
Обход петли $x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_N}$ можно
получить из обхода маленьких треугольников.
{\бф \пурпле Поэтому в свободной группе $Fr(x_1, ..., x_d)$
имеет место соотношение
$x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_n}=g_N$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_n}=1$ --
соотношение в группе, которое надо проверить. Напишем
все последовательности вида 
$g_1=L_1w_{a_1b_1c_1}L_1^{-1}$, $g_2=g_1L_2w_{a_2b_2c_2}L_2^{-1}$,
..., $g_N=g_{N-1}L_Nw_{a_Nb_Nc_N}L_N^{-1}$. Число таких последовательностей
конечно, ибо на каждом шаге мы делаем конечное
число выборов: выбираем треугольник $w_{a_ib_ic_i}$
и слово $h_i=\psi_i\psi_{i-1}^{-1}$ длины $\leq 2$.
{\бф \ред Поэтому нам нужно перебрать не больше ${(2d+d')}^{\Psi(N)}$
вариантов.} \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Разрешимость проблемы слов в гиперболических группах}

\теорема
Пусть $\Gamma$ -- конечно-порожденная 
гиперболическая группа. {\бф \ред Тогда в $\Gamma$
разрешима проблема слов.}

\дшаг Выберем у $\Gamma$ треугольное
копредставление. 
Предположим, что граф Кэли $\Gamma$
$\delta$-гиперболичен (по Рипсу). {\bf \red Достаточно доказать, что
площадь кусочно-геодезической ломаной в графе Кэли с $N$ звеньями и
периметром $P$ ограничена $\const \cdot NP+ \const'N$}. Тогда
площадь петли с $d$ звеньями ограничена $\const \cdot
d^2 $,
и разрешимость проблемы слов следует.

{\бф \греен Шаг 2:}
{\бф \блуе Пусть $C$ -- максимальная площадь
треугольника, все стороны которого $\leq \delta$}. {\бф
\пурпле Число
таких треугольников конечно,} значит, $C$ конечна. 


{\бф \греен Шаг 3:}
Пусть треугольник $\triangle$ в графе Кэли $\Gamma$
с периметром $P$ весь лежит
в $\delta$-окрестности одной стороны (такой треугольник
называется {\бф \блуе $\delta$-вырожденным}). {\бф \пурпле
Тогда его площадь
ограничена $C \lceil \delta^{-1} P\rceil$}. В самом деле, $\triangle$ можно
разрезать на $\lceil\delta^{-1} P\rceil$ треугольников со стороной
$\leq \delta$. 



\невпаге

{\бф \блуе Разрешимость проблемы слов  (продолжение)}

{\bf \red Достаточно доказать, что
площадь $\Area(\gamma)$
кусочно-геодезической ломаной $\gamma$ в графе Кэли с $N$ звеньями и
периметром $\Per(\gamma)$ ограничена $\const \cdot N\Per(\gamma)+\const'N$}.

{\бф \греен Шаг 4:} В силу $\delta$-гиперболичности,
каждый треугольник можно разрезать на три
$\delta$-вырожденных
треугольника, и еще один со сторонами $\leq
\delta$. \\
\centerline{\epsfig{file=vyrozhd-tri.eps,width=0.19\linewidth}}\\
Значит, {\бф \пурпле площадь треугольника  
$\leq C\lceil\delta^{-1}P\rceil+C\leq C\delta^{-1}P+2C$,
где $P$ -- его периметр.}

{\бф \греен Шаг 5:} Пусть $\gamma$ -- 
кусочно-геодезическая ломаная в графе Кэли с $N$ звеньями и
периметром $P$, а $\gamma'$ -- ломаная с $\lceil \frac N 2\rceil$ звеньями, 
полученная из $\gamma$ удалением четных вершин, с
заменой прилежащих звеньев на отрезок. Тогда
\[ \Area(\gamma)-\Area(\gamma') 
\leq C\lceil\delta^{-1}[\Per(\gamma)-\Per(\gamma')]\rceil
+ 2C\lceil\delta^{-1}\Per(\gamma')\rceil\leq 2C\left\lceil\frac N 2\right\rceil +
C\delta^{-1}\Per(\gamma)
\]
значит $\Area(\gamma)\leq 2C\delta^{-1}
N\Per(\gamma)+2C N$.
\ендпрооф


\end{document}


