\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url} \def\goth{\mathfrak} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\ендпрооф{\endproof} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\Per}{\operatorname{Per}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Area}{\operatorname{Area}} \newcommand{\diam}{\operatorname{\sf diam}} \newcommand{\const}{\operatorname{\sf const}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Метрическая геометрия\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Метрическая геометрия 10: \\[3mm] многогранник Рипса}\\[14mm] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 21 мая, 2016\\ НМУ} \end{center} \невпаге {\бф \блуе Квазиизометрии (повторение)} \определение Отображение $f:\; X \arrow Y$ называется {\бф\блуе билипшицевым с константой $C$}, или просто {\бф\блуе билипшицевым}, если это биекция, причем $f$ и $f^{-1}$ $C$-липшицевы (то есть удовлетворяют $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)$). \определение Пространства $X$ и $Y$ {\бф \блуе квазиизометричны}, если в $X$ и в $Y$ существуют $\epsilon$-сети $X_\epsilon$ и $Y_\epsilon$, между которыми есть билипшицево отображение. \определение Отображение $f:\; X \arrow Y$ метрических пространств называется {\бф\блуе квазиметрическим}, если для каких-то констант $C$, $\epsilon>0$, имеем $d(f(x),f(y))\leq C d(x,y)+\delta$. \теорема Пусть $X, Y$ -- метрические пространства. {\бф \ред Тогда следующие условия равносильны:}\\ (а) Существуют квазиметрические отображения $f:\; X\arrow Y$, $g:\; Y \arrow X$, и константа $A>0$ такая, что {\бф \пурпле $d(gf(x),x)0$ из $\delta$-гиперболичности в смысле А следует $C\delta$-гиперболичность в смысле Б, а из $\delta$-гиперболичности в смысле Б следует $C\delta$-гипербо\-личность в смысле А.} \невпаге {\бф\блуе Квазигеодезические (повторение)} \определение {\бф\блуе $C$-квазигеодезическая} в метрическом пространстве $M$ есть спрямляемая кривая $\gamma:\; [0,a]\arrow M$, которое удовлетворяет $L(\gamma\restrict{[x,y]})\leq Cd(x,y)$, где $L(\gamma\restrict{[x,y]})$ обозначает длину отрезка кривой. \замечание Я буду по умолчанию считать, что {\бф \пурпле квазигеодезические параметризованы длиной кривой,} то есть $L(\gamma\restrict{[x,y]})=|x-y|$. \определение Пусть $\gamma$ -- $C$-квазигеодезическая в геодезическом пространстве, а $R(\gamma)$ есть максимум расстояния от точек $\gamma$ до любой из кратчайших $[a,b]$, соединяющих концы $\gamma$. {\bf \blue Лемма Морса} утверждает, что {\бф \ред $R(\gamma)$ ограничено константой, которая зависит только от $M$ и $C$, для любой $C$-квазигеодезической в гиперболическом пространстве $M$.} {\бф \блуе Лемма Морса была доказана на прошлой лекции.} \замечание Также было доказано, что {\бф \пурпле максимум расстояния от точек $[a,b]$ до $\gamma$ также ограничен константой, которая зависит только от $M$ и $C$.} \невпаге {\бф \блуе Полиэдр Рипса} \определение {\бф\блуе Прямоугольный сферический симплекс диаметра $d$} есть пересечение $C_d$ сферы радиуса $2\pi^{-1}d$ в $\R^{n+1}$ и квадранта $x_1\geq 0, ..., x_{n+1}\geq 0$. \определение Пусть $М$ -- метрическое пространство. {\бф \блуе Многогранник Рипса} есть полиэдральное пространство $P_d(M)$, вершины которого - точки $M$, а $n$-симплексы натянуты на любые $n$ различных точек, попарное расстояние между которыми $\leq d$. Введем на многограннике Рипса метрическую структуру таким образом, чтобы {\bf \purple все стороны были равны $d$, а все симплексы - изометричны прямоугольным сферическим симплексам диаметра $d$.} \утверждение Пусть $M$ -- геодезическое метрическое пространство, а $M \stackrel \phi \arrow P_\delta (M)$ -- естественное вложение. {\бф \пурпле Тогда $d(\phi(x),\phi(y)) =\delta \lceil \delta^{-1} d(x,y)\rceil$}, где $\lceil a \rceil$ обозначает минимальное целое число, которое $\geq a$. \доказательство Используется следующее свойство прямоугольного сферического симплекса: {\бф \пурпле расстояние от вершины симплекса до любой точки противоположной стороны равно $d$.} \ендпрооф \невпаге {\бф\блуе $+$-квазиизометрии} \определение Отображение $f:\; X \arrow Y$ называется {\бф \блуе $\delta,+$-квази\-мет\-ри\-ческим}, если $d(f(x),f(y))\leq d(x,y)+\delta$. \определение {\бф \блуе $\delta,+$-квазиизометрия} есть $\delta,+$-квазиметрическое\\ ото\-бражение $f:\; X \arrow Y$, такое, что $\delta$-окрестность $f(X)$ есть $Y$. Пространства называются {\бф \блуе $+$-квазиизометричными}, если между ними есть $\delta,+$-квазиизометрия, для какого-то $\delta$. \лемма {\бф\пурпле Естественное вложение $\phi:\; M \arrow P_\delta(M)$ есть $\delta,+$-квази\-изометрия.} \доказательство В самом деле, $P_\delta(M)$ лежит в $\delta$-окрестности $\phi(M)$, а $\phi$ искажает расстояния меньше, чем на $\delta$. \ендпрооф \невпаге {\бф\блуе $+$-квазиизометрии и гиперболичность} \утверждение Пусть $f:\; X \arrow Y$ $\epsilon,+$-квазиизометрия. Тогда {\бф \ред $X$ $\delta$-гиперболично $\Rightarrow$ $Y$ $\delta+8\epsilon$-гиперболично.} \доказательство Неравенство Громова равносильно следующему условию: \[ \max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|, |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)\geq-\delta. \] Тогда для любых точек в $f(X)$, имеем $\max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|, |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)\geq-\delta-4\epsilon$, а любые 4 точки в $Y$ отстоят от каких-то точек в $f(X)$ не больше, чем на $\epsilon$, что дает $\max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|, |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)\geq-\delta-8\epsilon$. \ендпрооф \невпаге {\бф\блуе $+$-квазиизометрии и квазиизометрии} \определение $\epsilon$-сеть $N$ называется {\бф \блуе $\delta$-разделенной}, если для любых неравных $a, b\in N$, имеем $d(a,b)> \delta$. \утверждение Пусть $N$ -- $\epsilon$-сеть в метрическом пространстве. Тогда {\бф \ред из $N$ можно выбрать $\epsilon$-разделенную $2\epsilon$-сеть.} \теорема\\ {\бф \ред $+$-квазиизометричные пространства квазиизометричны}. \дшаг Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- $\delta,+$-квазиизометрия. Обозначим за $Z(\epsilon)$ $\epsilon$-окрестность множества $Z$. {\бф \пурпле Поскольку образы точек, отстоящих на $\lambda$, отстоят на расстояние $\leq \lambda+\delta$, имеем $f(Z(\lambda))\subset f(Z)(\lambda+\delta)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Выберем в $X$ $4\delta$-разделенную $8\delta$-сеть $N_X$. Поскольку $N_X(8\delta)=X$, имеем $Y= f(X)(\delta)=f(N_X(8\delta))(\delta)\subset f(N_X)(9\delta)(\delta)$. {\бф \ред Значит, $f(N_X)$ есть $10\delta$-сеть.} \невпаге {\бф\блуе $+$-квазиизометрии и квазиизометрии (продолжение)} \теорема\\ {\бф \ред $+$-квазиизометричные пространства квазиизометричны}. \дшаг Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- $\delta,+$-квазиизометрия. Обозначим за $Z(\epsilon)$ $\epsilon$-окрестность множества $Z$. {\бф \пурпле Поскольку образы точек, отстоящих на $\lambda$, отстоят на расстояние $\leq \lambda+\delta$, имеем $f(Z(\lambda))\subset f(Z)(\lambda+\delta)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Выберем в $X$ $4\delta$-разделенную $8\delta$-сеть $N_X$. Поскольку $N_X(8\delta)=X$, имеем $Y= f(X)(\delta)=f(N_X(8\delta))(\delta)\subset f(N_X)(9\delta)(\delta)$. {\бф \ред Значит, $f(N_X)$ есть $10\delta$-сеть.} {\бф \греен Шаг 3:} Поскольку расстояние между точками $N_X$ $\geq 4\delta$, а отображение $f$ $\delta,+$-квазиметрическое, $f:\; N_X \arrow f(N_X)$ 2-билипшицево: \begin{multline*} |d(f(z), f(z'))-2\delta| \leq d(z,z')\Rightarrow \\ \Rightarrow 2d(z,z')\geq d(z,z')+2\delta\geq d(f(z), f(z'))\geq d(z,z')-2\delta\geq 1/2 d(z,z') \end{multline*} для всех $z,z'\in N_X$. {\бф \ред Мы построили 2-билипшицевы $\epsilon$-сети в $X$, $Y$.} \ендпрооф \упражнение {\бф \пурпле Докажите, что $+$-квазиизометрия есть отношение эквивалентности.} \невпаге {\бф \блуе Полиэдр Рипса и разложение квазиизометрий} \утверждение Пусть $N_X$ есть $\epsilon$-сеть в геодезическом пространстве $X,d$. Определим расстояние $d_{2\epsilon}$ на $N_X$ по формуле $d_{2\epsilon}(x,y)=\inf_S\sum d(x_i, x_{i+1}),$ где инфимум берется по всем последовательностям \[ S=\{x_0=x, x_1, ..., x_n=y\}\subset N_X,\] в которых $d(x_i, x_{i+1})<2\epsilon$. {\бф \ред Тогда метрики $d_{\epsilon}$ и $d$ на $N_X$ билипшицевы.} \доказательство Разобьем геодезическую, соединяющую $x$ и $y\in N_X$, в $N=\lceil \epsilon^{-1}d(x,y)\rceil$ отрезков $[z_i, z_{i+1}]$ длины $\leq\epsilon$, и пусть $x_i$ -- точки $N_X$, лежащие на расстоянии $\leq \epsilon$ от $z_i$. Тогда $d(x_i,x_{i+1})\leq 3\epsilon$, значит, $d(x,y) \leq d_{2\epsilon}(x,y) \leq 3\epsilon N \leq 4\epsilon d(x,y)$. \ендпрооф \следствие Пусть $X$ -- геодезическое пространство, $N_X$ -- $\epsilon$-сеть, а $P_{2\epsilon}(N_X)$ -- ее многогранник Рипса. {\бф \ред Тогда $X$ и $P_{2\epsilon}(N_X)$ $+$-квази\-изомет\-ричны.} \доказательство Метрика на вершинах $P_d(N_X)$ равна $d_{2\epsilon}$, значит, {\бф \пурпле $N_X$ билипшицево множеству вершин $P_d(N_X)$.} \ендпрооф \следствие Пусть $X,Y$ -- квазиизометрические геодезические пространства. {\бф \пурпле Тогда $X, Y$ $+$-квазиизометричны геодезическим пространствам $X', Y'$, которые билипшицево эквивалентны.} \ендпрооф \невпаге {\бф\блуе $\delta$-гиперболичность и квазиизометрии} \теорема Пусть $X$, $Y$ -- квазиизометрические геодезические пространства, причем $X$ гиперболично. {\bf \red Тогда $Y$ тоже гиперболично.} \доказательство Kвазиизометрия из $X$ в $Y$ может быть разложена в композицию +-квазиизометрий и билипшицева отображения между полиэдрами Рипса соответствующих $\epsilon$-сетей. {\бф \пурпле Пространство, которое +-квазиизометрично гиперболическому, тоже гиперболично, как доказано выше}. Поэтому теорема вытекает из следующего \утверждение Пусть $X\stackrel f \arrow Y$ -- $C$-билипшицево отображение геодезических пространств. {\бф \ред Тогда $X$ гиперболично $\Leftrightarrow$ $Y$ гиперболично.} \дшаг Пусть $X$ $\delta$-гиперболическое (по Рипсу),\\ $T_1,T_2, T_3$ -- стороны геодезического треугольника, соединяющего точки $a, b,c\in X$, а $S_1,S_2, S_3$ -- стороны аналогичного треугольника в $Y$, соединяющего $f(a), f(b),f(c)$. Тогда $f^{-1}(S_i)$ -- {\бф \пурпле $C$-квазигеодезическая. По лемме Морса, она лежит в $R$-окрестности $T_i$, и наоборот, $T_i\subset f^{-1}(S_i)(R)$.} \невпаге {\бф\блуе $\delta$-гиперболичность и билипшицевы отображения} \утверждение Пусть $X\stackrel f \arrow Y$ -- $C$-билипшицево отображение геодезических пространств. {\бф \ред Тогда $X$ гиперболично $\Leftrightarrow$ $Y$ гиперболично.} \дшаг Пусть $X$ $\delta$-гиперболическое (по Рипсу),\\ $T_1,T_2, T_3$ -- стороны геодезического треугольника, соединяющего точки $a, b,c\in X$, а $S_1,S_2, S_3$ -- стороны аналогичного треугольника в $Y$, соединяющего $f(a), f(b),f(c)$. Тогда $f^{-1}(S_i)$ -- {\бф \пурпле $C$-геодезическая, значит, она лежит в $R$-окрестности $T_i$: $f^{-1}(S_i)\subset T_i(R)$, и наоборот, $T_i\subset f^{-1}(S_i)(R)$.} {\бф \греен Шаг 2:} В силу $\delta$-гиперболичности $X$, $T_1 \subset T_2(\delta) \cup T_3(\delta)$. Это дает \begin{multline*} f^{-1}(S_1)\subset T_1(R)\subset T_2(R+\delta) \cup T_3(R+\delta)\subset \\ \subset f^{-1}(S_2)(2R+\delta) \cup f^{-1}(S_3)(2R+\delta). \end{multline*} {\бф \греен Шаг 3:} Применяя $f$, получаем из предыдущего шага $S_1\subset S_2(2CR+C\delta) \cup S_3(2CR+C\delta)$, {\бф \ред значит, пространство $Y$ $2CR+C\delta$-гиперболично.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Метрика слов на группе (повторение)} \определение {\бф \блуе Набор образующих} конечно-порожденной группы $G$ есть конечное множество элементов $S$, мультипликативно порождающих $G$. {\бф \ред В дальнейшем, мы будем всегда предполагать, что $s\in S \Leftrightarrow s^{-1}\in S$.} \определение Пусть $G$ -- группа, $\{s_i\}$ -- набор образующих. {\бф \блуе Граф Кэли} пары $(G, \{s_i\})$ есть граф, вершины которого -- элементы $G$, а ребра соединяют точки вида $g$ и $gs_i$. Положим длину ребер графа равной 1. Этот метрический граф называется {\бф \ред графом Кэли.} \определение {\бф \блуе Метрика слов} на группе $\Gamma$ с набором образующих $S$ есть метрика $d_S$, индуцированная с графа Кэли. \утверждение Пусть самое короткое разложеие вида $\gamma=\prod_i s_i$ имеет длину $i$. {\бф \пурпле Тогда $d_S(1,\gamma)=i$.} \следствие Пусть $S, S'$ -- наборы образующих, причем $\max_{s'\in S'} d_S(1, s')=C$. {\бф \ред Тогда тождественное отображение $(\Gamma, d_S)\arrow \Gamma, d_{S'})$ $C$-липшицево}. \ендпрооф \следствие {\бф \ред Для любой конечно-порожденной группы, все ее графы Кэли квазиизометричны.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Гиперболические группы (повторение)} \определение Группа $(\Gamma, S)$ с заданной системой образующих называется {\бф\блуе гиперболичной по Громову}, если ее граф Кэли $\delta$-гиперболичен, для какого-то $\delta$. \замечание Универсальное накрытие свободной группы есть ее граф Кэли. {\бф \пурпле В силу односвязности универсального накрытия, это дерево.} Значит, {\бф \ред свободная группа 0-гиперболична}. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле $\Z^n$ со стандартным набором образующих не гиперболична.} \теорема Если группа $(\Gamma, S)$ с заданной системой образующих $S$ гиперболична, {\бф \ред она гиперболична для любой другой системы образующих $S'$.} \доказательство Группа $\Gamma$ с метрикой слов $d_S$ квазиизометрична $\Gamma$ с метрикой слов $d_{S'}$. Также, $\Gamma$ +-квазиизометрична своему графу Кэли. {\бф \пурпле Значит, графы Кэли для $(\Gamma, S)$ и $(\Gamma, S')$ квазиизометричны.} Поэтому гиперболичность одного графа равносильна гиперболичности другого. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Конечно-порожденные группы} \определение Конечно-порожденная группа $\Gamma$ называется {\бф \блуе конечно представимой}, если $\Gamma$ есть фактор свободной группы по нормальной подгруппе, натянутой на конечной набор соотношений. \упражнение {\бф \пурпле Постройте конечно-порожденную, но не конечно-представимую группу.} \определение Пусть $\Gamma$ -- конечно-порожденная группа с образующими $x_1, ..., x_n$. Говорится, что {\бф \блуе в $\Gamma$ разрешима проблема слов}, если существует алгоритм, который в ответ на два слова, составленных из букв $x_i$, сообщает, равны ли соответствующие произведения $x_i$ в $\Gamma$. \замечание П. С. Новиков в 1955-м году построил группу, в которй не разрешима проблема слов. \невпаге {\бф \блуе Свойства гиперболических групп} {\small Collins, Donald J. (1986), {\ем "A simple presentation of a group with unsolvable word problem",} Illinois Journal of Mathematics 30 (2): 230-234, \\ John Pedersen's "A Catalogue of Algebraic Systems" {\em An explicit example of a reasonable short presentation with insoluble word problem} \[ \begin{array}{lllll}\langle & a,b,c,d,e,p,q,r,t,k & | & &\\ &p^{10}a = ap, &pacqr = rpcaq, &ra=ar, &\\ &p^{10}b = bp, &p^2adq^2r = rp^2daq^2, &rb=br, &\\ &p^{10}c = cp, &p^3bcq^3r = rp^3cbq^3, &rc=cr, &\\ &p^{10}d = dp, &p^4bdq^4r = rp^4dbq^4, &rd=dr, &\\ &p^{10}e = ep, &p^5ceq^5r = rp^5ecaq^5, &re=er, &\\ &aq^{10} = qa, &p^6deq^6r = rp^6edbq^6, &pt=tp, &\\ &bq^{10} = qb, &p^7cdcq^7r = rp^7cdceq^7, &qt=tq, &\\ &cq^{10} = qc, &p^8ca^3q^8r = rp^8a^3q^8, &&\\ &dq^{10} = qd, &p^9da^3q^9r = rp^9a^3q^9, &&\\ &eq^{10} = qe, &a^{-3}ta^3k = ka^{-3}ta^3 &&\rangle \end{array}\]} \теорема {\бф \ред Любая конечно-порожденная гиперболическая группа $\Gamma$ конечно-представима. Более того, в $\Gamma$ разрешима проблема слов.} {\бф \греен Доказательство дальше.} \невпаге {\бф \блуе Конечные полиэдральные пространства с орбиособенностями} \теорема Пусть $S$ -- стягиваемый метрический полиэдр (с гиперболической, сферической, или плоской метрикой на симплексах), а $\Gamma$ -- группа, собственно действующая на $S$ полиэдральными изометриями с конечными стабилизаторами (и свободно в общей точке). Предположим, что $X:=S/\Gamma$ компактно. {\бф \ред Тогда $\Gamma$ конечно порождена и конечно представима.} \дшаг Обозначим за $D\subset S$ фундаментальный полиэдр действия $\Gamma$, и пусть $\bigcup_{\gamma\in\Gamma} D_\gamma$ соответствующее полиэдральное разбиение $S$, $D_\gamma=\gamma(D)$. Каждая стягиваемая петля $\xi$ в $S$ {\бф \пурпле разлагается в произведение стягиваемых петель $\xi=\xi_1\xi_2\xi_3...\xi_n$, где каждый из $\xi_i$ лежит в каком-то из $D_\gamma$, и там же стягивается. } {\бф \греен Шаг 2:} За образующие $\Gamma$ можно взять симпициальные пути в $X$, которые лежат в $D$, а за соотношения - симплициальные 2-цепи, лежащие в $D$, со связной границей, и поднимающиеся в $X$. {\бф \ред Их конечное число.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Полиэдр Рипса стягиваем} \теорема Пусть $X$ -- $\delta$-гиперболическое (в смысле неравенства Громова) геодезическое пространство. {\бф \ред Тогда его полиэдр Рипса $P_d(X)$ стягиваем, для любого $d\geq 4\delta$.} \дшаг Достаточно доказать, что каждый конечный подполиэдр $D\subset P_d(X)$ можно стянуть в точку в $P_d(X)$. {\бф \греен Шаг 2:} Любой полиэдр $D\subset P_d(X)$ с вершинами, лежащими в области $U\subset X$ диаметра $\leq d$ стягиваем, ибо {\бф \пурпле в $P_d(X)$ присутствует симплекс, натянутый на любой набор точек из $P_d(U)$.} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $p\in X$ -- фиксированная точка, $D\subset P_d(X)$ конечный подполиэдр, а $y_0$ -- вершина $D$, такая, что $d(p,y_0)\geq d(p,z)$ для любой другой вершины $D$. Возьмем точку $y_1$ на кратчайшей $[p,y_0]$, отстоящую от $y_0$ на $\frac 1 2 d$. {\бф \пурпле Достаточно доказать, что $D$ можно прогомотопировать в $D_1$, у которого все вершины кроме $y_0$ такие же, а $y_0$ заменяется на $y_1$.} {\бф \греен Шаг 4:} Вершины $z,y_0$ можно соединить 1-симплексом в $P_d(X)$, если $d(z,y_0) \leq d$. Значит, {\бф \пурпле $D_1$ существует $\Leftarrow$ для каждой $z\in X$, $d(y_1,z) \leq \min(d,d(y_0,z))$.} \невпаге {\бф \блуе Полиэдр Рипса стягиваем (продолжение)} Мы свели стягиваемость $D$ к следующей лемме. \лемма Пусть $p,y_0,z$, $d(p,y_0)\geq d(p,z)$ -- точки геодезического пространства, которое $\delta$-гиперболично, $d\geq 2\delta$, а $y_1$ -- точка на кратчайшей $[p,y_0]$, отстоящая от $y_0$ на $\frac 1 2 d$. {\bf \red Тогда $d(y_1,z) \leq \min(d,d(y_0,z))$.} \доказательство Применим неравенство Громова для четверки точек $p,y_0,z, y_1$.\\ \centerline{\epsfig{file=gromov-inequa-vyrozhd.eps,width=0.55\linewidth}}\\ либо $\delta-|zy_1|-|py_0| + |y_1y_0|+|pz|\geq 0$, \\ либо $\delta-|zy_1|-|py_0| + |zy_0|+|py_1|\geq 0$\\ это дает: $\delta+|zp|-|py_1|-|zy_1| \geq 0$, либо $\delta+|zy_0|-|zy_1|-|y_0y1|\geq 0$. В первом случае с учетом $|py_0|=|py_1|+ \frac 1 2 d \geq |pz|$ получаем $|zy_1| \leq \delta + \frac 1 2 d \leq d$. Во втором случае $|zy_0| \leq |zy_1| -\delta+\frac 1 2 d=|zy_1|$. \endproof \невпаге {\бф \блуе Конечная порожденность гиперболических групп} Этот же аргумент доказывает следующую теорему. \теорема Пусть $Х$ -- дискретное $\delta$-гиперболическое пространство, $\delta \in \Z$, $d\geq 2 \delta$, а $P_d(X)$ -- его многогранник Рипса. {\бф \ред Предположим, что $X$ есть множество вершин метрического графа со сторонами 1. Тогда $P_d(X)$ стягиваемый.} \ендпрооф \лемма Рассмотрим конечно-порожденную группу $\Gamma$ как метрическое пространство с метрикой слов. {\бф \пурпле Тогда $\Gamma$ действует с конечными стабилизаторами на многограннике $P_d(\Gamma)$.} \доказательство Стабилизатор точки $z\in I$ в $k$-мерном симплексе $I$ переставляет вершины этого симплекса, а любой элемент $\gamma\in \Gamma$, сохраняющий какую-то из вершин, равен 1. Значит, для каждого $s\in St(z)$, $s^N=\Id$, причем $N\leq r(k+1)$, где $N$ есть максимальный порядок в симметрической группе $S_{k+1}$. \ендпрооф \замечание Применяя этот результат к графу Кэли, получаем, что {\бф \пурпле гиперболическая группа $\Gamma$ действует с конечными стабилизаторами на стягиваемом многограннике $P_d(\Gamma)$,} причем $P_d(\Gamma)/\Gamma$ компактно. \невпаге {\бф \блуе Применения стягиваемости полиэдра Рипса} \следствие {\бф \ред Любая конечно-порожденная гиперболическая группа $\Gamma$ конечно представима.} \ендпрооф \упражнение Докажите, что рациональные когомологии $\Gamma$ конечномерны. \теорема Пусть $\Gamma$ -- конечно-порожденная гиперболическая группа. {\бф \ред Тогда число классов сопряженности элементов конечного порядка в $\Gamma$ конечно.} {\бф \греен Доказательство:} Каждый такой элемент $\gamma$ сохраняет точку $P_d(\Gamma)$, сопряженные элементы соответствуют одинаковым точкам в $P_d(\Gamma)/\Gamma$. Это задает {\бф \пурпле биекцию между элементами конечного порядка и компонентами особого множества в $P_d(\Gamma)/\Gamma$,} но $P_d(\Gamma)/\Gamma$ -- конечный полиэдр, а компоненты особого множества суть подполиэдры в барицентрическом разбиении полиэдра $P_d(\Gamma)/\Gamma$, значит, их конечное число. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Треугольные копредставления} \замечание Пусть $\Gamma$ -- конечно-порожденная, конечно-представимая группа. Тогда существует такой набор образующих $\{x_i\}$, что соотношения в $\Gamma$ "порождены треугольниками", то есть {\бф \пурпле $\Gamma$ есть фактор свободной группы по нормальной подгруппе, натянутой на соотношения вида $w_{abc}:=x_ax_bx_c=1$.} \определение Такой набор образующих называется {\бф\блуе треугольным копредставлением}. \замечание Петли в графе Кэли группы $\Gamma$ суть соотношения вида $x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_N}=1$. Если каждое соотношение в $\Gamma$ есть произведение соотношений вида $gw_{abc}g^{-1}$, {\бф \ред каждая петля может быть разрезана на треугольники со сторонами 1,1,1.} Это {\бф \пурпле геометрическая интерпретация понятия треугольного копредставления.} \невпаге {\бф \блуе Площадь ломаной} \определение Пусть $\Gamma$ -- группа, снабженная треугольным копредставлением. {\бф \блуе Площадь} петли $\gamma$ в графе Кэли есть минимальное число треугольников со сторонами 1,1,1, на которые можно разрезать $\gamma$. Иначе говоря, площадь замкнутой ломаной в графе Кэли есть число треугольников, потребных, чтобы затянуть эту ломаную, то есть выразить соответствующее соотношение как произведение треугольных: $W=\prod_i L_{k} w_{a_kb_kc_k}L_k^{-1}$. \утверждение Пусть $\Gamma$ -- группа, снабженная треугольным копредставлением $\Gamma=Fr(x_1, ...,x_d)/ \langle w_{a_1b_1c_1}, ..., w_{a_{d'}b_{d'}c_{d'}}\rangle,$ а $\Psi:\; {\Bbb N} \arrow {\Bbb N}$ вычислимая функция такая, что любая петля длины $N$ имеет площадь $\leq \Psi(N)$. {\бф \ред Тогда в $\Gamma$ разрешима проблема слов.} \невпаге {\бф \блуе Разрешимость проблемы слов} \дшаг Пусть петля $x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_n}$, разрезана на треугольники $w_{a_1b_1c_1}$, $w_{a_2b_2c_2}$, ..., причем треугольник $w_{a_{i+1}b_{i+1}c_{i+1}}$ приделывается к вершине $\psi(i)\in \Gamma$ треугольника за номером $i$. Тогда $\psi_i\psi_{i-1}^{-1}$ соответствует ломаной, соединяющей отмеченные вершины соседних треугольников, значит, $\psi_i\psi_{i-1}^{-1}$ представляется словом $h_i$ длины $\leq 2$. Пусть теперь $L_k:=\prod_{i=1}^k h_k$ -- ломаная, соединяющая 1 и вершину $\psi_k$, и идущая через вершины $\psi_1, ..., \psi_{k-1}$. Воспользовавшись индукцией, обозначим за $g_{k}$ петлю вида $g_{k-1} L_{k} w_{a_kb_kc_k}L_k^{-1}$. {\бф \пурпле Это петля в графе Кэли, ограниченная треугольниками с 1-го до $k$-й.} {\бф \греен Шаг 2:} Обход петли $x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_N}$ можно получить из обхода маленьких треугольников. {\бф \пурпле Поэтому в свободной группе $Fr(x_1, ..., x_d)$ имеет место соотношение $x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_n}=g_N$.} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_n}=1$ -- соотношение в группе, которое надо проверить. Напишем все последовательности вида $g_1=L_1w_{a_1b_1c_1}L_1^{-1}$, $g_2=g_1L_2w_{a_2b_2c_2}L_2^{-1}$, ..., $g_N=g_{N-1}L_Nw_{a_Nb_Nc_N}L_N^{-1}$. Число таких последовательностей конечно, ибо на каждом шаге мы делаем конечное число выборов: выбираем треугольник $w_{a_ib_ic_i}$ и слово $h_i=\psi_i\psi_{i-1}^{-1}$ длины $\leq 2$. {\бф \ред Поэтому нам нужно перебрать не больше ${(2d+d')}^{\Psi(N)}$ вариантов.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Разрешимость проблемы слов в гиперболических группах} \теорема Пусть $\Gamma$ -- конечно-порожденная гиперболическая группа. {\бф \ред Тогда в $\Gamma$ разрешима проблема слов.} \дшаг Выберем у $\Gamma$ треугольное копредставление. Предположим, что граф Кэли $\Gamma$ $\delta$-гиперболичен (по Рипсу). {\bf \red Достаточно доказать, что площадь кусочно-геодезической ломаной в графе Кэли с $N$ звеньями и периметром $P$ ограничена $\const \cdot NP+ \const'N$}. Тогда площадь петли с $d$ звеньями ограничена $\const \cdot d^2 $, и разрешимость проблемы слов следует. {\бф \греен Шаг 2:} {\бф \блуе Пусть $C$ -- максимальная площадь треугольника, все стороны которого $\leq \delta$}. {\бф \пурпле Число таких треугольников конечно,} значит, $C$ конечна. {\бф \греен Шаг 3:} Пусть треугольник $\triangle$ в графе Кэли $\Gamma$ с периметром $P$ весь лежит в $\delta$-окрестности одной стороны (такой треугольник называется {\бф \блуе $\delta$-вырожденным}). {\бф \пурпле Тогда его площадь ограничена $C \lceil \delta^{-1} P\rceil$}. В самом деле, $\triangle$ можно разрезать на $\lceil\delta^{-1} P\rceil$ треугольников со стороной $\leq \delta$. \невпаге {\бф \блуе Разрешимость проблемы слов (продолжение)} {\bf \red Достаточно доказать, что площадь $\Area(\gamma)$ кусочно-геодезической ломаной $\gamma$ в графе Кэли с $N$ звеньями и периметром $\Per(\gamma)$ ограничена $\const \cdot N\Per(\gamma)+\const'N$}. {\бф \греен Шаг 4:} В силу $\delta$-гиперболичности, каждый треугольник можно разрезать на три $\delta$-вырожденных треугольника, и еще один со сторонами $\leq \delta$. \\ \centerline{\epsfig{file=vyrozhd-tri.eps,width=0.19\linewidth}}\\ Значит, {\бф \пурпле площадь треугольника $\leq C\lceil\delta^{-1}P\rceil+C\leq C\delta^{-1}P+2C$, где $P$ -- его периметр.} {\бф \греен Шаг 5:} Пусть $\gamma$ -- кусочно-геодезическая ломаная в графе Кэли с $N$ звеньями и периметром $P$, а $\gamma'$ -- ломаная с $\lceil \frac N 2\rceil$ звеньями, полученная из $\gamma$ удалением четных вершин, с заменой прилежащих звеньев на отрезок. Тогда \[ \Area(\gamma)-\Area(\gamma') \leq C\lceil\delta^{-1}[\Per(\gamma)-\Per(\gamma')]\rceil + 2C\lceil\delta^{-1}\Per(\gamma')\rceil\leq 2C\left\lceil\frac N 2\right\rceil + C\delta^{-1}\Per(\gamma) \] значит $\Area(\gamma)\leq 2C\delta^{-1} N\Per(\gamma)+2C N$. \ендпрооф \end{document}