\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url} \def\goth{\mathfrak} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\ендпрооф{\endproof} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\diam}{\operatorname{\sf diam}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Метрическая геометрия\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Метрическая геометрия 9: \\[3mm] лемма Морса}\\[14mm] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 14 мая, 2016\\ НМУ} \end{center} \невпаге {\бф \блуе Кратчайшие в метрическом прострастве (повторение)} {\bf \green Определение:} Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая, причем \[ d(\gamma(x),\gamma(y))= |x-y|\] для любых $x,y$. Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей геодезической}, а соответствующая параметризация - {\bf\blue геодезической параметризацией}. \замечание {\пурпле\бф Геодезическая кратчайшая -- то же самое, что изометрическое вложение из отрезка в $M$.} \теорема Пусть $M$ - локально компактное, полное пространство с внутренней метрикой, а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда существует кратчайшая геодезическая, соединяющая $x_0$ и $x_1$.} \ендпрооф \определение Кратчайшая, соединяющая две точки $a,b$ метрического пространства, обозначается $[a,b]$, а ее длина обозначается $|ab|:=d(a,b)$. \newpage {\бф \блуе Тонкие треугольники (повторение)} \определение {\бф\блуе Геодезический треугольник} $\triangle(abc)$ в метрическом пространстве есть треугольник, составленный из трех вершин $a,b,c$, соединенных кратчайшими, которые я буду обозначать за $[a,b],[b,c]$ и $[c,a]$ {\бф \блуе Талия} {\it (en: minsize, fr: taille minimale)} треугольника есть супремум расстояния от точки $z$, лежащей на одной из сторон, до объединения двух других. Треугольник называется {\бф \блуе $\delta$-тонким} (по Рипсу), если его талия не больше $\delta$. \centerline{\epsfig{file=tonkij-treugoln.eps,width=0.13\linewidth}} \определение Метрическое пространство $X$ со строго внутренней метрикой называется {\бф \блуе $\delta$-гиперболическим}, если все геодезические треугольники $\delta$-тонкие. Будем говорить, что $X$ {\бф \блуе гиперболично}, если оно $\delta$-гиперболично, для какой-то константы $\delta$. \утверждение {\бф \ред Каждое 0-гиперболическое геодезическое пространство изометрично дереву} (связному, односвязному графу). \теорема {\бф \ред Пространство Лобачевского гиперболично}. \невпаге {\bf \blue Неравенство Громова (повторение)} \определение Пусть $X$ -- метрическое пространство с отмеченной точкой $p$. {\бф \блуе Громовское произведение} $(a,b)_p$ есть $1/2(|ap|+|bp|-|ab|)$. Это число, которое измеряет отклонение неравенства треугольника от равенства. \определение {\бф \блуе Неравенство Громова} есть неравенство на попарные громовские произведения: \[ (a,b)_p\geq \min\left[(a,c)_p,(b,c)_p\right]-\delta. \] Когда нужно обозначить, о каком конкретно $\delta$ идет речь, говорится {\бф \блуе $\delta$-неравенство Громова.} \замечание Неравенство Громова равносильно следующему условию: \[ \max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|, |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)\geq-\delta. \] \centerline{\epsfig{file=gromov-inequa.eps,width=0.35\linewidth}} \newpage {\bf \blue Гиперболичность по Громову (повторение)} \теорема Пусть в $(X,p)$ выполнено $\delta$-неравенство Громова. {\бф \ред Тогда для любой точки $p'$, в $(X,p')$ выполнено $2\delta$-неравенство Громова.} \теорема {\бф \ред Пусть в $X$ выполнено $\delta$-неравенство Громова. Тогда $X$ $6\delta$-гиперболично.} \следствие {\бф \ред В любом $\delta$-гиперболическом пространстве выполнено $3\delta$-неравенство Громова.} \следствие {\бф \пурпле Гиперболичность по Громову эквивалентна гиперболичности, определенной через тонкие треугольники} \замечание Kогда говорят {\bf \blue "определение А гиперболичности эквивиалентно определению Б"} это значит, что {\bf \purple для какого-то числа $C>0$ из $\delta$-гиперболичности в смысле А следует $C\delta$-гиперболичность в смысле Б, а из $\delta$-гиперболичности в смысле Б следует $C\delta$-гипербо\-личность в смысле А.} \невпаге {\бф\блуе Слабая и сильная топология на пространстве отображений} \определение Пусть $X,Y$ -- метрические пространства, а $\Map(X,Y)$ -- множество всех отображений. Для точки $x\in X$ и открытого подмножества $W\subset Y$, рассмотрим подмножество $U_{x,W}\subset \Map(X,Y)$, состоящее из всех отображений, переводящих $x$ в $W$. {\бф\блуе Топология поточечной сходимости}, или же {\бф\блуе слабая топология} на $\Map(X,Y)$ задается предбазой вида $U_{x,W}$, $x\in X, W\subset Y$ для всех точек $x\in X$ и всех открытых подмножеств $W\subset Y$. {\бф\блуе Топология равномерной сходимости}, обозначенная $C^0$, задается базой вида $U_{f, \delta}$, где $f\in \Map(X,Y)$, $\delta>0$, а $U_{f, \delta}$ -- множество всех отображений $g\in \Map(X,Y)$, таких, что $d(f(x),g(x))<\delta$ для всех $x\in X$. \утверждение Последовательность $\{f_i\}\subset \Map(X,Y)$ сходится к $f$ в $C_0$ тогда и только тогда, когда $\lim_i \sup_{x\in X} d(f_i(x),f(x))=0$, и сходится к $f$ поточечно $\Leftrightarrow$ для каждого $x\in X$, имеем $\lim_i f_i(x) = f(x)$. \утверждение {\бф \пурпле В $C^0$ предел последовательности непрерывных отображений непрерывен, а предел $C$-липшицевых $C$-липшицев.} \утверждение В слабой топологии, предел последовательности непрерывных отображений не всегда непрерывен, а {\бф \ред предел $C$-липшицевых все же $C$-липшицев.} \невпаге {\бф\блуе Теорема Тихонова} \утверждение Пусть $X$ счетно, а $Y$ компактно. {\бф \ред Тогда $\Map(X,Y)$ компактно в топологии поточечной сходимости.} \доказательство Дана последовательность $\{y_i(n)\}$ последовательностей точек в $Y$; нужно выбрать из нее подпоследовательность, в которой $\lim_n y_i(n)$ существует $\forall i$. Выбираем подпоследовательность, в которой $\lim_n y_1(n)$ сходится, оставляем из нее первый элемент, потом выбираем у этой последовательности такую, чтоб сходилось $\lim_n y_2(n)$, выбираем второй элемент, и так далее. \ендпрооф \замечание Счетность $X$ не нужна; по теореме Тихонова, $\Map(X,Y)$ всегда компактно. \невпаге {\бф\блуе Теорема Арцела-Асколи} \определение Метрическое пространство {\бф \блуе сепарабельно}, если оно содержит всюду плотное, счетное множество, и {\бф\блуе ограниченно}, если у него конечный диаметр. \лемма Пусть $X_0\subset X$ -- счетное, полное подмножество, $Y$ компактны, $X$ ограниченно, а $\{f_i\in \Map(X,Y)\}$ -- последовательность $C$-липшицевых отображений. Предположим, что $f_i\restrict X_0$ поточечно сходится. {\бф \ред Тогда $f_i$ сходится в $C^0$-топологии, а предел $\{f_i\}$ тоже $C$-липшицев.} \доказательство Липшицевость предела очевидна, $C^0$-сходимость следует. \ендпрооф \следствие {\бф \блуе (теорема Арцела-Асколи для липшицевых отображений)} Пусть $X$ сепарабельное, ограниченное метрическое пространство, $Y$ компактно а $L_C(X,Y)\subset \Map(X,Y)$ -- пространство $C$-липшицевых отображений. {\бф \ред Тогда $L_C(X,Y)$ компактно в топологии равномерной сходимости.} \невпаге {\бф\блуе Квазигеодезические метрики на графах} \определение {\бф \блуе $C$-квазигеодезическая метрика} на графе $\Gamma$ есть метрика $d$, которая удовлетворяет $|x-y|\leq d(x,y)\leq C|x-y|$. \утверждение Рассмотрим $C$-квазигеодезическую метрику на $\Gamma$ как отображение $\Gamma\times \Gamma \stackrel d \arrow \R$. Тогда $d$ $C$-липшицева. \утверждение Рассмотрим пространство метрик на $\Gamma$ как метрическое пространство с метрикой $d(d_1, d_2):= \sup_{(x,y)\in \Gamma^2} |d_1(x,y)-d_2(x,y)|.$ {\бф \пурпле Тогда предел $C$-квазигеодических метрик -- $C$-квазигеодическая метрика.} \следствие {\бф \ред Пространство $C$-квазигеодических метрик компактно.} \невпаге {\бф\блуе Квазигеодезические} \определение {\бф\блуе $C$-квазигеодезическая} в метрическом пространстве $M$ есть спрямляемая кривая $\gamma:\; [0,a]\arrow M$, которое удовлетворяет $L(\gamma\restrict{[x,y]})\leq Cd(x,y)$, где $L(\gamma\restrict{[x,y]})$ обозначает длину отрезка кривой. \замечание Я буду по умолчанию считать, что {\бф \пурпле квазигеодезические параметризованы длиной кривой,} то есть $L(\gamma\restrict{[x,y]})=|x-y|$. \замечание <<Лемма Морса>> (в классической формулировке) есть утверждение о геометрии плоскости (или пространства) Лобачевского $H$. {\бф \блуе Для каждого $C>1$ найдется $R$ такое, что любая $C$-квазигеодезическая, соединяющая $a$ и $b$, лежит в $R$-окрестности отрезка $[a,b]$.} Harold Marston Morse, {\ем A fundamental class of geodesics on any closed surface of genus greater than one,} Trans. Amer. Math. Soc. 26 (1924), 25-60 \определение Пусть $\gamma$ -- $C$-квазигеодезическая в геодезическом пространстве, а $R(\gamma)$ есть максимум расстояния от точек $\gamma$ до любой из кратчайших, соединяющих концы $\gamma$. Лемма Морса утверждает, что {\бф \ред $R(\gamma)$ ограничено константой, которая зависит только от $M$ и $C$, для любой $C$-квазигеодезической в гиперболическом пространстве $M$.} \невпаге \begin{center} {\бф \блуе Harold Calvin Marston Morse \\ (24 March 1892 - 22 June 1977) } \epsfig{file=marston-morse.jpg,width=0.45\linewidth} {\ем \small Marston Morse and colleague at the dedication\\ of the Institute for Advanced Study at Princeton, 1938. } \end{center} \невпаге {\бф\блуе } \невпаге {\бф\блуе Квазигеодезические в $\delta$-гиперболических пространствах} \утверждение Пусть $\gamma:\; [0,a]\arrow M$ -- $C$-квазигеодезическая, соединяющая $a$ и $b$. {\бф \пурпле Тогда метрика на отрезке $[0,1]$ $d(x,y):= \frac{|\gamma(ax), \gamma(ay)|}a$ является $C$-квазигеодезической. } Если к тому же $М$ $\delta$-гиперболично, то {\бф \ред пространство $([0,1], d)$ $\delta/a$-гиперболично.} \доказательство Первое утверждение - тавтология, а второе очевидно, потому что неравенство Громова выполнено на $\gamma([0,a]) \subset M$. \ендпрооф \замечание {\бф \ред Метрика $d$, построенная выше - не внутренняя!} \определение Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- последовательность $C$-квази\-геодезических. {\бф\блуе Предельная метрика} есть (любой из) пределов последовательности $d(x,y):= \frac{|\gamma_i(a_ix), \gamma_i(a_iy)|}{a_i}$.\\ \замечание {\бф \пурпле Предел существует,} так как метрика $d(x,y):= \frac{|\gamma(ax), \gamma(ay)|}a$ на $\gamma_i([0, a_i])$ квазигеодезична. \невпаге {\бф\блуе Свойства предельных метрик} \утверждение Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- последовательность $C$-квази\-геодезических в $\delta$-гиперболическом пространстве, причем $\lim_i a_i=\infty$, а $([0,1], d)$ -- соответствующая предельная метрика. {\бф \ред Тогда пространство $([0,1], d)$ 0-гиперболично.} \доказательство Метрика $\frac{d_i}{a_i}$ $\frac{\delta}{a_i}$-гиперболична, значит, $d$ удовлетворяет 0-неравенству Громова. \ендпрооф \утверждение Пусть $X$ -- 0-гиперболическое пространство, а $[0,1]:\; \stackrel\gamma\arrow X$ -- $C$-квазигеодезическая. {\бф \пурпле Тогда $\gamma$ инъективно и осуществляет гомеоморфизм отрезка $[0,1]$ на его образ.} \доказательство Вложив $X$ в его аппроксимационное дерево $X_{tr}$, сведем утверждение к случаю, когда метрика на $X$ геодезическая, и тогда $X$ -- дерево. \ендпрооф \невпаге {\бф\блуе Лемма Морса: случай двуугольника} \утверждение Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- последовательность $C$-квази\-геодезических в гиперболическом пространстве, причем $\lim_i a_i=\infty$. Обозначим за $X_i$ объединение образа $\gamma_i$ и отрезка, соединяющего концы $\gamma_i$. Рассмотрим метрику $d_i$ на графе-<<двуугольнике>> $\lozenge$ из двух вершин и двух ребер, полученную из $d\restrict{X_i}$ делением на $a_i$. {\бф \ред Тогда у $d_i$ есть подпоследовательность, равномерно сходящаяся к какой-то полуметрике $\tilde d$, и в полуметрическом пространстве $(\lozenge, \tilde d)$ выполнено 0-неравенство Громова.} \доказательство Первое утверждение следует из Арцела-Асколи, второе - из того, что $d_i$ удовлетворяют $\frac{\delta}{a_i}$-неравенству Громова. \ендпрооф \следствие Пусть $\gamma_i$, -- последовательность $C$-геодезических в $\delta$-гиперболическом пространстве, соединяющих $x_i$ с $y_i$. Пусть $\lim_i a_i=\infty$, где $a_i:=d(x_i, y_i)$. Обозначим за $R(\gamma_i)$ расстояние от $\gamma_i$ до геодезической $[x_i, y_i]$, соединяющей $x_i$ с $y_i$. {\бф \ред Тогда $\lim_i\frac{R(\gamma_i)}{a_i}=0$.} \доказательство В двуугольнике $(\lozenge, d)$, плолученном как предел двуугольников $[x_i, y_i]\cup \gamma_i$, одна из сторон отстоит от другой на $\lim_i\frac{R(\gamma_i)}{a_i}$. Но поскольку $(\lozenge, d)$ -- дерево, {\бф \пурпле этот двуугольник является отрезком, то есть две его стороны склеены.} \ендпрооф \невпаге {\бф\блуе Лемма Морса: случай треугольника} Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- последовательность $C$-квазигеодезических в гиперболическом пространстве, причем $\lim_i a_i=\infty$ и $\lim_i R(\gamma_i)=\infty$, но $R(\gamma_i)< \frac {a_i}{2C}$. Обозначим за $t_i\in [0, a_i]$ точку, где реализуется максимум расстояния между $\gamma_i(t_i)$ и отрезком кратчайшей, соединяющим концы $\gamma_i$. Предположим, что $d(t_i,\gamma_i(0))\leq 2C R(\gamma_i)$ для всех $i$, и возьмем точку $x_i \in\gamma_i([0,a_i])$ на расстоянии $4C R(\gamma_i)$ от $\gamma(0)$. Пусть $x_i'$ -- ближайшая точка к $x_i$ на отрезке кратчайшей, соединяющем концы $\gamma_i$. Рассмотрим криволинейный треугольник $Y_i$, одна сторона которого, обозначенная $U_i$, есть отрезок $\gamma_i$ от $\gamma_i(0)$ до $x_i$, другая, обозначенная $V_i$, есть отрезок геодезической, соединяющий $x_i'$ с $\gamma_i(0)$, третья, обозначенная $T_i$ -- отрезок геодезической, соединяющий $x_i'$ с $x_i$. \\ \centerline{\epsfig{file=krivo-trekhu.eps,width=0.45\linewidth}}\\ Треугольник $Y_i$ естественно отождествляется с графом $\triangle$, у которого 3 стороны и 3 вершины, соединенные последовательно. Обозначим за $d_i$ метрику на $\triangle$, индуцированную из $(Y_i, \frac{d}{R(\gamma_i)})$. \невпаге {\бф\блуе Лемма Морса: случай треугольника (продолжение)} Сторона $U_i$ в $(\triangle, d_i)$ есть $C$-квазигеодезическая, расстояние между концами которой равно $4C$, a прилежащие к ней стороны $V_i$ и $T_i$ -- геодезические длины $V_i\leq 1$, $T_i\leq 4C+1$. Значит, {\бф \пурпле у $\{d_i\}$ есть подпоследовательность, которая равномерно сходится к полуметрике $\tilde d$ на $\triangle$, и $\tilde d$ удовлетворяет 0-неравенству Громова.} \\ \centerline{\epsfig{file=krivo-trekhu.eps,width=0.55\linewidth}}\\ Обозначим за $U\subset (\triangle, \tilde d)$ предел криволинейной стороны $U_i\in Y_i$, $V$, $T$ -- предел $V_i$, $T_i$. Тогда $|U|=4C$, $|V|\leq 4C+1$, $|T|\leq 1$, а $(\triangle, \tilde d)$ -- дерево. Пусть $t\in U$ -- предел $t_i\in U_i$. Поскольку $d(\gamma(0), t_i)\leq 2CR(\gamma_i)$, точка $t$ лежит на расстоянии $\leq 2C$ от одного из концов $U$. \невпаге {\бф\блуе Лемма Морса: случай треугольника (окончание)} \утверждение Пусть $\triangle \arrow {\Bbb T}$ есть отображение треугольника с сторонами $U,V,T$ в дерево, причем $U$ переходит в отрезок длины $4C$, а $T$ - в отрезок длины $\leq 1$. {\бф \пурпле Тогда образ любой точки $U$, отстоящей от точки, соединяющей $V$ и $U$ на расстояние $\leq 2C$, содержится в образе $V$.}\\ \centerline{\epsfig{file=krivo-trekhu.eps,width=0.55\linewidth}}\\ \ендпрооф Мы получили $d(t,V)=0$, но по построению, $d_i(t_i, U_i)=1$, что приводит к противоречию. {\бф \ред Значит, из $\lim_i\frac{R(\gamma_i)}{a_i}=0$ и $R(\gamma_i)< \frac {a_i}{2C}$ следует $\lim_i R(\gamma_i)< R <\infty$.} \невпаге {\бф\блуе Лемма Морса: криволинейный четырехугольник} Пусть $\gamma_i:\; [0,a_i]\arrow M$ -- последовательность $C$-квазигеодезических в гиперболическом пространстве, причем $\lim_i a_i=\infty$ и $\lim_i R(\gamma_i)=\infty$, но $R(\gamma_i)< \frac {a_i}{2C}$. Обозначим за $t_i\in [0, a_i]$ точку, где реализуется максимум расстояния между $\gamma(t_i)$ и отрезком кратчайшей, соединяющим концы $\gamma_i$. Возьмем точки $x_i, y_i$ на $\gamma_i([0,a_i])$, такие что $d(x_i, y_i) =4CR(\gamma_i)$, а $t_i$ лежит в середине отрезка $\gamma_i$, соединяющего $x_i, y_i$. Рассмотрим четырехугольник $\Pi_i$, с одной криволинейной стороной, представляющей из себя отрезок $\gamma_i$ от $x_i$ до $y_i$, три другие стороны которого -- отрезки геодезических $[x_i,\tilde x_i]$, $[\tilde x_i, \tilde y_i]$, $[\tilde y_i, y_i]$, где $\tilde x_i, \tilde y_i$ -- ближайшие к $x_i, y_i$ точки кратчайшей $[\gamma_i(0), \gamma_i(a_i)]$.\\ \centerline{\epsfig{file=krivo-chetyrekhu.eps,width=0.55\linewidth}}\\ Четырехугольник $\Pi_i$ естественно отождествляется с графом $\square$, у которого 4 стороны и 4 вершины, соединенные последовательно. Обозначим за $d_i$ метрику на $\square$, индуцированную из $(\Pi_i, \frac{d}{R(\gamma_i)})$. \невпаге {\бф\блуе Лемма Морса: криволинейный четырехугольник (продолжение)} \centerline{\epsfig{file=krivo-chetyrekhu.eps,width=0.5\linewidth}} Одна из сторон $(\square, d_i)$ есть $C$-квазигеодезическая, расстояние между концами которой равно $4C$, две прилежащие к ней стороны имеют длину $\leq 1$, а противолежащая сторона -- геодезическая, которая не длиннее $4C+1$. Значит, {\бф \пурпле у $\{d_i\}$ есть подпоследовательность, которая равномерно сходится к полуметрике $\tilde d$ на $\square$, и $d$ удовлетворяет 0-неравенству Громова.} Обозначим за $U\subset (\square, \tilde d)$ предел криволинейной стороны $U_i\in \Pi_i$, $V$ -- предел противолежащей ей стороны $V_i$, а $S, T$ -- оставшиеся две стороны. Тогда $|U|=4C$, $|V|\leq 4C+2$, $|S|, |T|\leq 1$, а $(\square, \tilde d)$ -- дерево. Пусть $t\in U$ -- предел $t_i\in U_i$. Поскольку $Cd(\gamma(x_i), t_i)\geq |x_i-t_i|= 2CR(\gamma_i)$, точка $t$ лежит на расстоянии $\geq 2$ от концов $U$. \невпаге {\бф\блуе Лемма Морса: криволинейный четырехугольник (окончание)} \centerline{\epsfig{file=krivo-chetyrekhu.eps,width=0.5\linewidth}} \утверждение Пусть $\square \arrow {\Bbb T}$ есть отображение квадрата в дерево, причем верхняя сторона $U$ переходит в отрезок длины $4C$, прилежащие к ней стороны - в отрезки длины $\leq 1$. {\бф \пурпле Тогда образ любой точки $U$, отстоящей от концов на расстояние $>1$, содержится в образе $V$.} \ендпрооф Мы получили $d(t,V)=0$, но по построению, $d_i(t_i, U_i)=1$, что приводит к противоречию. {\бф \ред Значит, из $\lim_i\frac{R(\gamma_i)}{a_i}=0$ следует $\lim_i R(\gamma_i)