
\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url}

\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\��������{\endproof}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\�����{\small}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\diam}{\operatorname{\sf diam}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it ����������� ���������\scriptsize \hfil
  \tiny �. ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{%
     {\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}

\makeatother


\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ����������� ��������� 7: \\[3mm]
 ������������, ������������� �� �������}\\[14mm]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\small ���� ���������} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 28 �����, 2016\\
���}
\end{center}

\�������

{\�� \���� ���������� � ����������� ����������� (����������)}


{\bf \green �����������:}
����������� ����������� $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$
���������� {\bf \blue ����������}, ���� ��� ����� ����� 
$d(\gamma(0), \gamma(\alpha))$.

{\bf \purple ����� ������� ���������� - ����� ����������.}

{\bf \green �����������:}
���� $\phi:\; [0,\alpha] \arrow [0,\alpha]$ -- ������������,
� $\gamma$ - ���� �� $x$ � $y$, ���������� 
$\phi \circ\gamma$ - ���� ���� �� $x$ � $y$.
����� ���� ���������� {\bf\blue  ����������������� $\gamma$}.

{\bf \red �������������� $\gamma$} --  ����� ���� � ������
�����, ������������� � ��������� �� ����������������.

{\bf \green �����������:}
����� $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - ����������,
����������� $x$ � $y$, ������ \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\]
����� ���������� ���������� {\bf \blue ����������
�������������}, � ��������������� �������������� -
{\bf\blue ������������� ���������������}. 

\newpage

{\�� \���� ������������� ���������� (����������)}

\���������
{\������\�� ������������� ���������� -- �� ��
�����, ��� �������������� �������� �� ������� � $M$.}

\�������
����� $M$ - �������� ����������, ������ ������������
� ���������� ��������, � $x_0, x_1\in M$. {\�� \��� ����� ���������� ����������
�������������, ����������� $x_0$ � $x_1$.}
\��������

\��������� ���� �� ��������� ����������, {\�� \��� ��� ����������� ������������
�������������� ����������� ���������� ��������,} � {\�� \��� �����
��� ����� ����������� ����������� � ������������� ���������������.}

\�����������
����������, ����������� ��� ����� $a,b$ ������������
������������, ������������ $[a,b]$, � �� �����
������������ $|ab|:=d(a,b)$.

\newpage

{\�� \���� ������ ������������}


\�����������
{\��\���� ������������� �����������} $\triangle(abc)$  � �����������
������������ ���� �����������, ������������ �� ���� 
������ $a,b,c$, ����������� �����������, ������� � ����
���������� �� $[a,b],[b,c]$ � $[c,a]$
{\�� \���� �����} {\it (en: minsize, fr: taile minimale)}
������������ ���� ��������
���������� �� ����� $z$, ������� �� ����� �� ������,
�� ����������� ���� ������. ����������� ����������
{\�� \���� $\delta$-������} (�� �����), ���� ��� ����� �� ������ $\delta$.

\centerline{\epsfig{file=tonkij-treugoln.eps,width=0.33\linewidth}}

\newpage

{\�� \���� ��������������� ������������}


\�����������
����������� ������������ $X$ �� ������ ���������� ��������
���������� {\�� \���� $\delta$-���������������},
���� ��� ������������� ������������ $\delta$-������.
����� ��������, ��� $X$ {\�� \���� ������������}, ���� ���
$\delta$-������������, ��� �����-�� ��������� $\delta$.


\���������
���� ����� ������ ����������� ���������������.
��� ����, �������� ��������� $\delta$ �� ����� ��������; ����� �������
{\bf \blue "����������� � ��������������� ������������� ����������� �"}
��� ������, ��� {\bf \purple ��� ������-�� ����� $C>0$ ��
$\delta$-��������������� � ������ � �������
$C\delta$-��������������� � ������ �, � ��
$\delta$-��������������� � ������ � �������
$C\delta$-��������������� � ������ �.}

\���������
� ����� ���� ������ � �������� $\delta$-��������������� {\�� \������ ���
������������ ����������� �����������} (�� �����������
� ���������� ��������). ����������� � ������� ��������������
������ ������� ������� ����� ������.

\�������


\centerline{\epsfig{file=rips_galv.jpg,width=0.70\linewidth}}

\centerline{\bf \blue Eliyahu Rips (born 12 December 1948)}

{\itshape\small  A mathematician has discovered a hidden
code in The Bible that appears to reveal the details of
events that have taken place thousands of years after The
Bible was written, Eliyahu Rips disclosed in a letter to
Yitzhak Rabin, the Prime Minister of Israel.

"The reason I'm telling you about this is that the only
time your full name - Yitzhak Rabin - is encoded in The
Bible, the words <<assassin that will assassinate>> cross
your name.

That should not be ignored, because the assassinations of
both John and Robert Kennedy and Anwar Sadat  
are also encoded in The Bible - in the case of
Sadat with the first and last names of his killer, the
date of the murder, the place, and how it was done.

I think you are in real danger, but that the danger can be
averted."}

\�������

{\�� \���� ����������� ����� (����������)}


\�����������
{\��\���� ��������� �����������} �����������
����������� $(X_\alpha, d_\alpha)$ ����
$\coprod X_\alpha$ � �������� $d(x,y)$
������� ����� $d_\alpha(x,y)$, ����� $x$ � $y$ �����
� $X_\alpha$, � $\infty$ � ��������� ������.

\�����������
����� $I_\alpha$ -- ����� ��������,
������������ $[0,x_\alpha]$, � $\sim$ -- ���������
���������������, ���������� �������� ��������� ������.
����������� ������ $\coprod_\alpha I_\alpha$
���������� {\��\���� ����������� ������}.

\�����������
{\�� \��� ������� �� ����������� ����� 
������ ����������.}

\�����������
{\�� \blue ������} ���� ������� ����������� ���� � �����������
��������������� �������.

\����������
��������, ��� ����� ������� ������� � 
������ -- {\�� \������ ����� ������.}

\�������

{\�� \���� ��������� ��������������� �����������}

\�����������
{\�� \��� ����� ������ $\Gamma$ 0-������������.}

\��������������
����� $\triangle(abc)$ -- ������������� ����������� � $\Gamma$.
��������� ���������� ���� ����������� ���������, {\�� \������ $\triangle(abc)$ --
������� �������, �� ���� ����� ������:}

\centerline{\epsfig{file=triskelion.eps,width=0.08\linewidth}}

$\delta$-�������� ������ ����� �������� �� ��������.  \��������


\�����������
\label{_model_triangle_Opredelenie_}
����� $\triangle(abc)$ -- ������������� �����������.
��������� {\�� \���� ��������� 0-��\-���\-���������� �����������},
��� �� {\�� \���� ��������� ������},
$\triangle(\bar a\bar b \bar c)$  ��� ������ � ����� ���������\\
\centerline{\epsfig{file=triskelion-model.eps,width=0.45\linewidth}}\\
� ����� �������, ������������ � ��������� �������,
{\�� \������ ����� �������, ��� ��������������� ���������� �����:}
$|ab|=|\bar a\bar b|$, $|ac|=|\bar a\bar c|$, $|bc|=|\bar b\bar c|$.



\�������

{\�� \���� ����������� ���������}

\�����������
����� $\triangle(abc)$ -- ������������� �����������
� ����������� ������������, � $\triangle(\bar a\bar b \bar c)$ --
��������� ������. {\bf \purple ����� ���������� �����������
$\Psi:\; \triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar b \bar c)$, ��������
��������� �� ������ �������, � ����������� �������
� ��������������� �� �������.} \endproof

\�����������
��� ����������� ���������� {\�� \���� ������������ ���������}.


\newcommand{\codiam}{\operatorname{\sf codiam}}
\�����������
����� $\phi:\; X\arrow Y$ -- ����������� ����������� �����������.
{\��\���� ���������} $\codiam\phi$ ������������ ��������
\[ \codiam(\phi):=\sup_{a,b\in X} |d(x,y)-d(\phi(x),\phi(y))|.\]
�� �������� ��, ��������� $\phi$ ���������� �� ���������.

\�����������
����� $\Psi:\;\triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar b \bar c)$ --
����������� � ��������� �����������, ����������� ����. �����

(�) {\bf \purple ����  $\codiam\Psi\leq \delta$, 
�� $\triangle(abc)$ $\delta$-������.}

(�) {\bf \red E��� $\triangle(abc)$ $\delta$-������, 
�� $\codiam\Psi\leq 2\delta$.}


\�������

{\�� \���� ����������� ��������� (�����������)}

\�����������
����� $\Psi:\;\triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar b \bar c)$ --
����������� � ��������� �����������, ����������� ����. �����

(�) {\bf \purple ����  $\codiam\Psi\leq \delta$, 
�� $\triangle(abc)$ $\delta$-������.}

(�) {\bf \red E��� $\triangle(abc)$ $\delta$-������, 
�� $\codiam\Psi\leq 2\delta$.}

\��������������
{\bf \purple (�) ��������.} ����� �������� (�), ����������  �����
$b'\in[ab]$, $c',c_1\in[ac]$ �� �������� ������������.

{\�� \����� ��� 1:} $|b'c_1|<\delta$ ������
$|d(a,b')-d(a,c_1)|<\delta$ � ���� ����������� ������������.

{\�� \����� ��� 2:}
����� $d(b',[ac])<\delta$, $|ac'|=|ab'|$,
� $c_1\in [ac]$ -- �����, ��������� �� $b'$ �� ���������� $\leq \delta$.
� ���� ����������� ����, $|d(a,b')-d(ac_1)|<\delta$,
������, $d(c_1,c')<\delta$, �� ����� $d(c',b')<2\delta$.
\��������

\�����������
����������� ���������� {\�� \���� $\delta$-������ (��
�������)}, ���� $\codiam \Psi \leq \delta$.


\�������

{\�� \���� ��������������� ������������ ������������}

\������� {\�� \��� ������������ ������������ ������������}.

\����
��������� ����� ������������� ����������� ����� � ���������,
����� ������������ ���������� ������������.

{\�� \����� ��� 2:} ����� $\triangle(abc)$ -- �������������
����������� �� ��������� ������������, � $B$ -- ��������� �
���� ����������. �� ������ ������� ������������ (��������, $[ab]$)
�������� ���������� �� ����������� ���� ������ ������ ���������
���������� ���������� � ������ ������� ��������� ����������.

\centerline{\epsfig{file=vpisannaya.eps,width=0.40\linewidth}}
�� ����� �������, ��� {\�� \������ ����� ������������ �������������
$T(abc)<2 R$, ��� $R$ -- ������ ��������� ����������.}

\�������

{\�� \���� ��������������� ������������ ������������ (�����������)}

{\�� \����� ��� 2 (������):}
����� ������������ �������������
$T(abc)<2 R$, ��� $R$ -- ������ ��������� ����������.

{\�� \����� ��� 3:} {\�� \������ ������� ����� ������� $R$ ������ � �����������
$R$ �������������,} ������ ��� {\�� \��� ������� ���������
������������ ����������}
(�� ����� ��������� ����������� �����������
������������� ���������������).

{\�� \����� ��� 4:} ������� $n$-��������� �� ���������
������������ ����� $\pi(n-2)-\sum\alpha_i$, ���
$\alpha_i$ -- ��� ����. ������, ������� ������������
$\leq \pi$. �������, {\�� \��� ������ �����, ����������
� �����������, ���������.} \��������


\newpage

{\bf \blue ���� ���� (����������)}


\�����������
{\�� \���� ����� ����������} ������ $G$ ���� 
��������� ��������� $S$, ���������������� ����������� $G$.
{\�� \��� � ����������, �� ����� ������ ������������, ���
$s\in S \Leftrightarrow s^{-1}\in S$.}


\�����������
����� $G$ -- ������, $\{s_i\}$ -- ����� ����������.
{\�� \���� ���� ����} ���� $(G, \{s_i\})$ ���� ����, �������
�������� -- �������� $G$, � ����� ��������� ����� ����
$g$ � $gs_i$. ������� ����� ����� ����� ������ 1,
�� {\�� \��� ���������� ���� ���� ��� ����������� ������������
� ���������� ��������.}

\������
���� ���� ��� $\Z^n$ � ������� ������� ���������� 
���� ���������� �������.
\begin{center}
\epsfig{file=recipr5.png,width=0.25\linewidth}
\end{center}

\�������

{\�� \���� ��������������� ������}

\�����������
������ � �������� �������� ���������� 
���������� {\��\���� ������������� �� �������}, ����
�� ���� ���� $\delta$-������������, ��� ������-�� $\delta$.

\�����������
������ $G$ ���������� {\�� \���� ���������},
���� ��� ��������������� ������ ������ �����������.

\��������� �������������
�������� ��������� ������ ���� �� ���� ����.
{\�� \������ � ���� ������������� �������������� ��������, ��� ������.}
������, {\�� \��� ��������� ������ 0-������������}.

\����������
��������, ��� {\�� \������ $\Z^n$ �� ����������� ������� ����������
�� ������������.}

\�����������
{\bf \���� ��������� ������������} $(\Z/n_1\Z)* (\Z/n_2\Z)* ... *(\Z/n_k\Z)$
���� ������ ��������� ������ �� $k$ ���������� $x_1, ..., x_k$
�� ����������� ���������� ���������, ���������� 
$x_1^{n_1}, x_2^{n_2}, ..., x_k^{n_k}$.

\����������
��������, ��� {\�� \��� $(\Z/n_1\Z)* (\Z/n_2\Z)* ... *(\Z/n_k\Z)$
������ ������������.}

\newpage

{\bf \blue ���� ���� ��� ��������� ������}

\������ 
���� ���� ��� ��������� ������ -- ���������� ������
\begin{center}
\epsfig{file=F2_Cayley_Graph.png,width=0.45\linewidth}\\[5mm]
{\�� \��\small ���� ���� ��������� ������ ${\Bbb F}_2$
� ����������� $a$, $b$, $a^{-1}$, $b^{-1}$.}
\end{center}

\�����������
���� ���� ���� {\�� \������ ����������, ������, 0-������������.} \��������

\newpage

{\bf \blue ���� ���� ��� $\Z/2\Z * \Z/3\Z$}

\begin{center}
\epsfig{file=Kelli_graph_free_prod.png,width=0.45\linewidth}\\[5mm]
{\�� \��\small ���� ���� ��� $\Z/2\Z * \Z/3\Z$.}
\end{center}


\����������
��������, ��� ���� ���� ���� {\�� \��� �� ����������, �� ��� �� ������������.}

\newpage

{\bf \blue ���������� ������������}

\�����������
����� $X$ -- ����������� ������������ � ����������
������ $p$. {\�� \���� ���������� ������������}
$(a,b)_p$ ���� $1/2(|ap|+|bp|-|ab|)$. ��� �����, �������
�������� ���������� ����������� ������������ �� ���������.

{\��  \��� ���������� ����� ���������� � �������� �����������
������������.}

\�����������
����� $(X,p)$ -- ��������� � ���������� ������.
����� ������, ��� ���������� �� $X$ ����� ���������� � ��������
����������� ������������ $(a,b)_p$, ���������� ����������
���������� ������ ������. ���������, ��� ������� 
$(\cdot,\cdot)_p:\; X\times X\arrow \R^{\geq 0}$ {\�� \���� �������������
�������� ����������� ������������}, ���� ��������� ��������� �������.

[{\�� \����� ��������������:}] $(a,b)_p=(b,a)_p$.\\ \ 
[{\�� \����� ���������������:}] $(a,a)_p=(a,b)_p=(b,b)_p$ \ $\Leftrightarrow$
$a=b$.\\ \ 
[{\�� \����� ����������� ������������}] $(a,b)_p+(b,c)_p\leq (a,c)_p+(b,b)_p$.

\�����������
����� ���� �������, ��������������� �������� ����������� ������������.
{\�� \������ ����� $d(a,b):=(a,a)_p + (b,b)_p -2(a,b)_p$ -- 
��� ������� �� $X$.} � ���������� ������� ���������������,
��� ������� ������ �����������. \��������

\newpage

{\bf \blue ���������� ������������ � ���������� �� ����������}

{\�� \����� ����������� 1:}
����� ����������� $\triangle(abp)$ $\delta$-������. {\�� \��� �����
$d(p,[ab])\geq (a,b)_p\geq d(p,[ab])-2\delta.$}

\����
����� $c$ -- ����� $[ab]$, ��������� � $p$.
� ���� ����������� ������������, $|ap|-|cp| + |bp|-|cp|\leq |ac|+|cb|=|ab|$.
��� ���� $|ap|+|bp|-|ab|\leq 2|cp|$,  �� ���� $d(p,[ab])\geq (a,b)_p$.

{\��\����� ��� 2:} ��������� $\triangle(abp)$ $\delta$-������,
���������� ����� $c'$ �� ������ ������� $\triangle(abp)$,
������� ������� �� $c$ �� ������ ��� �� $\delta$. ���
��������������, �����������, ��� $c'$ ����� �� $[pa]$.
����� $2(c,a)_p=|ap|+|cp|-|ac|\leq 2\delta + |ap|+|c'p|-|ac'|=
2\delta +2|c'p|\leq
4\delta+ 2|cp|=4\delta +2d(p,[ab])$.

{\��\����� ��� 3:} 
\[
  (a,b)_p= (a,c)_p+ (b,c)_p-|pc| \geq (a,c)_p+ \frac1 2(|pb|-|pc|-|bc|)\geq
(a,c)_p
\]
(� ���� ����������� ������������). �������� ����������� ��
����������� ����, �������� $(a,b)_p\geq d(p,[ab])-2\delta.$
\endproof

\���������
{\�� \������ ���� $X,p$ 0-������������, ����� $d(p,[ab])=(a,b)_p$.}
\endproof

\newpage

{\bf \blue 0-��������������� ������������}

\�������
����� $X$ -- 
 0-��������������� ������������ � ���������� ������ $p$. 
���������� ����������� �������� $[\bar p, \bar x]$ ����� $|px|$,
��� $x\in X$ ��������� ��� ����� $X$. ������������ $X_{tr}$
���������� �� ������ ����������� �������� $[\bar p,\bar x]$ 
� $[\bar p,\bar y]$ �� �������, ������������� � $\bar p$, ����� 
$d(p,[xy])$. {\�� \��� ����� $X_{tr}$ ��� ������, � ������������ �����������
$\Psi:\; X\arrow X_{tr}$ -- ���������.}

\��������������
��, ��� ����� ������ ���� ������, ����: {\�� \������ ���������
� $p$  �������� �������������� ������� ������� ������� � $p$.}
�������������� � $X$ ������� �� ����, ��� {\�� \������ $\Psi$ ��������� 
���������� ������������.} \��������

\���������
{\�� \red
����� 0-��������������� �� ������� ����������� ������������
�� ������ ���������� �������� -- ������.} \��������


\newpage

{\bf \blue ����������� �������}

\�����������
����� $(X,p)$ -- ����������� ������������ � ����������
������, � $a,b,c\in X$. {\�� \���� ����������� �������} ���� �����������
�� �������� ���������� ������������:
\[
(a,b)_p\geq \min\left[(a,c)_p,(b,c)_p\right]-\delta.
\]
����� ����� ����������, � ����� ��������� $\delta$ ����
����, ��������� {\�� \���� $\delta$-����������� �������.}


{\�� \����� ��������� 1:}
����������� ������� ����������� ����������
�������:
\[ \max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|,
   |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)\geq-\delta.
\]
\centerline{\epsfig{file=gromov-inequa.eps,width=0.35\linewidth}}


\newpage

{\bf \blue ����������� �������: ����������� �� ������ $p$}

\�������
����� � $(X,p)$ ��������� $\delta$-����������� �������. 
{\�� \��� ����� ��� ����� ����� $p'$, � $(X,p')$
��������� $2\delta$-����������� �������.}

\����
������������� ����������� ������� ��� ����� $(t,y,z)$
� $(z,x,y)$ ��������
\[
(t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p,
2 (y,z)_p\right]\geq -2 \delta
\]
��� $(t,x,y)$ � $(z,x,t)$ 
\[
(t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p,
2 (x,t)_p\right]\geq -2 \delta.
\]
{\�� \����� ��� 2:}
���� ��������� ���� ����������, ��������
\[
(t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p,
(y,z)_p+(x,t)_p\right]\geq -2 \delta.
\]
{\�� \����� ��� 3:} ��������� ����������� ����
\[ -|ty| -|zx| +\max(|tz| +|zy|, |yz|+xt|)\geq -2\delta
\]
�� ��� � �������� $(t,y)_x-\min[(t,z)_x,(y,z)_x]\geq -2\delta$
(��������� 1).
\��������

%\newpage
%
%{\bf \blue ����������� ������� ��� $\delta=0$}
%
%\���������
%����� � ����������� ������������ $(X,p)$
%��������� ����������� ������� ��� $\delta=0$.
%{\�� \������ ����� ��� ����� $a,b,c\in X$, � ������
%$(a,b)_p, (a,c)_p, (b,c)_p$ �����-�� ��� ����� �����,
%� ������ $\geq$ ������ ����.}
%
%\�����������
%����� � ����������� ������������ $(X,p)$
%��������� ����������� ������� ��� $\delta=0$.
%{\�� \��� ����� ���������� �� $p$ �� ������� ���������� $[a,b]$
%����� $(a,b)_p$}.
%
%\����
%{\�� \������ ����������, ����������� $a,p$,
%�����������.} �������������, ���� �� ���, �������
%$b, c$ � �������� ����� ����������, � �������
%$(a,b)_p=|bp|=(a,c)_p=|cp|$, � $(b,c)_p=|pc|-1/2|bc|$,
%��� ������������ ������� ���������.
%
%{\�� \����� ��� 2:} 
%������� ����� $c$ �� $[a,b]$.
%����������� �������:
%$|pa|+|cb| \geq |pc|+|ab|$, ���� $|pb|+|ac| \geq
%|pc|+|ab|$ (��������� 1).
%
%
%\newpage
%
%{\bf \blue ����������� ������� ��� $\delta=0$ (�����������)}
%
%{\�� \����� ��� 2:} 
%������� ����� $c$ �� $[a,b]$.
%����������� �������:
%$|pa|+|cb| \geq |pc|+|ab|$, ���� $|pb|+|ac| \geq
%|pc|+|ab|$ (��������� 1).
%������, ��� $(X,p')$ ���� ������������� 0-�����������,
%��� ������ $p'$.
%
%{\�� \����� ��� 3:} 
%�������� $|pa|\geq |pc| + |ac|$ ���� $|pb|\geq |pc| + |bc|$. 
%���� ��� ����������� ���������, ��� �������� ����������,
%������, {\�� \������ $c$ ����� �� ������� $[pa]$ ���� �� �������
%$[pb]$. }
%
%{\�� \����� ��� 4:} ������, ��� $(X,p')$ ���� ������������� 0-�����������,
%��� ������ $p'$, � ���� ����������� ����.
% ��������, ��� ��� ����� ���� �����
%$a,b,p$ � $X$, � ����� ����� $c$ �� ���������� $[ab]$,
%$c$ ����� �� ���������� $[ap]$ ���� �� $[bp]$.
%{\�� \��� ������, ������� $[ab]$ ����� � ����������� $[bp]$ �
%$[cp]$, � $\triangle(abc)$ -- ������.}
%\��������
%
%% KARTINKU TUT NADO!
%
%\�������
%
%{\�� \���� ��������������� �� �������}
%
%
%\�������
%����� � $X$ ��������� ����������� ������� ��� $\delta=0$.
%���������� ����������� �������� $[\bar p, \bar x]$ ����� $|px|$,
%��� $x\in X$ ��������� ��� ����� $X$, � ������ $[\bar p,\bar x]$ 
%� $[\bar p,\bar y]$ �� �������, ������������� � $\bar p$, ����� 
%$d(p,[xy])$. ��������� ��������� ������� �� $X_{tr}$.
%{\�� \��� 
%������������ ����������� $\Psi:\; X \arrow X_{tr}$ -- ���������.}
%
%\��������������
%��� ����������� ��������� ����������
%������������, ������ ��� $(a,b)_p= d(p, [ab])$. 
%\��������
%
%\��������� 
%{\�� \������ ������ ������������ � ���������� ��������, 
%� ������� ����� 0-����������� �������, ����������� ������.}
%


\newpage

{\bf \���� ��������������� �� �������}

\�����������
����� $X$ -- ����������� ������������, 
�� ����������� �������������. ������������
$X$ {\��\���� ������������ �� �������}, ���� ���������
$\delta$-����������� �������, ��� ������-�� $\delta$.

\�������
{\�� \��� ��������������� �� ������� �����������
��������������� � ������ ������ �������������.}

\�������������� �� ��������� ������.

\���������
����������� ������� ��� $\delta=0$ {\�� \������ ��� ��������}.



\end{document}



