\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh, url} \def\goth{\mathfrak} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}}} \def\endproof{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\ендпрооф{\endproof} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\diam}{\operatorname{\sf diam}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Метрическая геометрия\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Метрическая геометрия 7: \\[3mm] пространства, гиперболичные по Громову}\\[14mm] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 28 марта, 2016\\ НМУ} \end{center} \невпаге {\бф \блуе Кратчайшие в метрическом прострастве (повторение)} {\bf \green Определение:} Непрерывное отображение $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ называется {\bf \blue кратчайшей}, если его длина равна $d(\gamma(0), \gamma(\alpha))$. {\bf \purple Любой отрезок кратчайшей - снова кратчайшая.} {\bf \green Определение:} Если $\phi:\; [0,\alpha] \arrow [0,\alpha]$ -- гомеоморфизм, а $\gamma$ - путь из $x$ в $y$, композиция $\phi \circ\gamma$ - тоже путь из $x$ в $y$. Такой путь называется {\bf\blue репараметризацией $\gamma$}. {\bf \red Параметризация $\gamma$} -- выбор пути в классе путей, эквивалентных с точностью до репараметризации. {\bf \green Определение:} Пусть $\gamma:\; [0,\alpha]\arrow M$ - кратчайшая, соединяющая $x$ и $y$, причем \[ d(\gamma(x), \gamma(y))= |x-y|.\] Такая кратчайшая называется {\bf \blue кратчайшей геодезической}, а соответствующая параметризация - {\bf\blue геодезической параметризацией}. \newpage {\бф \блуе Геодезические кратчайшие (повторение)} \замечание {\пурпле\бф Геодезическая кратчайшая -- то же самое, что изометрическое вложение из отрезка в $M$.} \теорема Пусть $M$ - локально компактное, полное пространство с внутренней метрикой, а $x_0, x_1\in M$. {\бф \ред Тогда существует кратчайшая геодезическая, соединяющая $x_0$ и $x_1$.} \ендпрооф \замечание Если не оговорено противного, {\бф \ред все метрические пространства предполагаются наделенными внутренней метрикой,} а {\бф \ред любые две точки соединяются кратчайшими с геодезической параметризацией.} \определение Кратчайшая, соединяющая две точки $a,b$ метрического пространства, обозначается $[a,b]$, а ее длина обозначается $|ab|:=d(a,b)$. \newpage {\бф \блуе Тонкие треугольники} \определение {\бф\блуе Геодезический треугольник} $\triangle(abc)$ в метрическом пространстве есть треугольник, составленный из трех вершин $a,b,c$, соединенных кратчайшими, которые я буду обозначать за $[a,b],[b,c]$ и $[c,a]$ {\бф \блуе Талия} {\it (en: minsize, fr: taile minimale)} треугольника есть супремум расстояния от точки $z$, лежащей на одной из сторон, до объединения двух других. Треугольник называется {\бф \блуе $\delta$-тонким} (по Рипсу), если его талия не больше $\delta$. \centerline{\epsfig{file=tonkij-treugoln.eps,width=0.33\linewidth}} \newpage {\бф \блуе Гиперболические пространства} \определение Метрическое пространство $X$ со строго внутренней метрикой называется {\бф \блуе $\delta$-гиперболическим}, если все геодезические треугольники $\delta$-тонкие. Будем говорить, что $X$ {\бф \блуе гиперболично}, если оно $\delta$-гиперболично, для какой-то константы $\delta$. \замечание Есть много разных определений гиперболичности. При этом, величина константы $\delta$ не имеет значения; когда говорят {\bf \blue "определение А гиперболичности эквивиалентно определению Б"} это значит, что {\bf \purple для какого-то числа $C>0$ из $\delta$-гиперболичности в смысле А следует $C\delta$-гиперболичность в смысле Б, а из $\delta$-гиперболичности в смысле Б следует $C\delta$-гиперболичность в смысле А.} \замечание В конце этой лекции я определю $\delta$-гиперболичность {\бф \пурпле для произвольных метрических пространств} (не обязательно с внутренней метрикой). Определение с тонкими треугольниками станет частным случаем более общего. \невпаге \centerline{\epsfig{file=rips_galv.jpg,width=0.70\linewidth}} \centerline{\bf \blue Eliyahu Rips (born 12 December 1948)} {\itshape\small A mathematician has discovered a hidden code in The Bible that appears to reveal the details of events that have taken place thousands of years after The Bible was written, Eliyahu Rips disclosed in a letter to Yitzhak Rabin, the Prime Minister of Israel. "The reason I'm telling you about this is that the only time your full name - Yitzhak Rabin - is encoded in The Bible, the words <> cross your name. That should not be ignored, because the assassinations of both John and Robert Kennedy and Anwar Sadat are also encoded in The Bible - in the case of Sadat with the first and last names of his killer, the date of the murder, the place, and how it was done. I think you are in real danger, but that the danger can be averted."} \невпаге {\бф \блуе Метрические графы (повторение)} \определение {\бф\блуе Несвязное объединение} метрических пространств $(X_\alpha, d_\alpha)$ есть $\coprod X_\alpha$ с метрикой $d(x,y)$ которая равна $d_\alpha(x,y)$, когда $x$ и $y$ лежат в $X_\alpha$, и $\infty$ в противном случае. \определение Пусть $I_\alpha$ -- набор отрезков, изометричных $[0,x_\alpha]$, а $\sim$ -- отношение эквивалентности, полученное склейкой некоторых вершин. Метрический фактор $\coprod_\alpha I_\alpha$ называется {\бф\блуе метрическим графом}. \утверждение {\бф \ред Метрика на метрическом графе всегда внутренняя.} \определение {\бф \blue Дерево} есть связный метрический граф с тривиальной фундаментальной группой. \упражнение Докажите, что любой связный подграф в дереве -- {\бф \пурпле снова дерево.} \невпаге {\бф \блуе Модельный гиперболический треугольник} \утверждение {\бф \ред Любое дерево $\Gamma$ 0-гиперболично.} \доказательство Пусть $\triangle(abc)$ -- геодезический треугольник в $\Gamma$. Поскольку кратчайшие суть объединения сегментов, {\бф \пурпле $\triangle(abc)$ -- связный подграф, то есть снова дерево:} \centerline{\epsfig{file=triskelion.eps,width=0.08\linewidth}} $\delta$-тонкость такого графа очевидна из картинки. \ендпрооф \определение \label{_model_triangle_Opredelenie_} Пусть $\triangle(abc)$ -- геодезический треугольник. Определим {\бф \блуе модельный 0-ги\-пер\-болический треугольник}, или же {\бф \блуе модельное дерево}, $\triangle(\bar a\bar b \bar c)$ как дерево с тремя вершинами\\ \centerline{\epsfig{file=triskelion-model.eps,width=0.45\linewidth}}\\ и тремя ребрами, соединенными в четвертой вершине, {\бф \пурпле таким образом, что соответствующие расстояния равны:} $|ab|=|\bar a\bar b|$, $|ac|=|\bar a\bar c|$, $|bc|=|\bar b\bar c|$. \невпаге {\бф \блуе Отображение сравнения} \утверждение Пусть $\triangle(abc)$ -- геодезический треугольник в метрическом пространстве, а $\triangle(\bar a\bar b \bar c)$ -- модельное дерево. {\bf \purple Тогда существует отображение $\Psi:\; \triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar b \bar c)$, задающее изометрию на каждой стороне, и переводящее вершины в соответствующие им вершины.} \endproof \определение Это отображение называется {\бф \блуе отображением сравнения}. \newcommand{\codiam}{\operatorname{\sf codiam}} \определение Пусть $\phi:\; X\arrow Y$ -- отображение метрических пространств. {\бф\блуе Кодиаметр} $\codiam\phi$ определяется формулой \[ \codiam(\phi):=\sup_{a,b\in X} |d(x,y)-d(\phi(x),\phi(y))|.\] Он измеряет то, насколько $\phi$ отличается от изометрии. \утверждение Пусть $\Psi:\;\triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar b \bar c)$ -- отображение в модельный треугольник, построенное выше. Тогда (а) {\bf \purple Если $\codiam\Psi\leq \delta$, то $\triangle(abc)$ $\delta$-тонкий.} (б) {\bf \red Eсли $\triangle(abc)$ $\delta$-тонкий, то $\codiam\Psi\leq 2\delta$.} \невпаге {\бф \блуе Отображение сравнения (продолжение)} \утверждение Пусть $\Psi:\;\triangle(abc)\arrow \triangle(\bar a\bar b \bar c)$ -- отображение в модельный треугольник, построенное выше. Тогда (а) {\bf \purple Если $\codiam\Psi\leq \delta$, то $\triangle(abc)$ $\delta$-тонкий.} (б) {\bf \red Eсли $\triangle(abc)$ $\delta$-тонкий, то $\codiam\Psi\leq 2\delta$.} \доказательство {\bf \purple (а) очевидно.} Чтобы доказать (б), рассмотрим точки $b'\in[ab]$, $c',c_1\in[ac]$ на сторонах треугольника. {\бф \греен Шаг 1:} $|b'c_1|<\delta$ влечет $|d(a,b')-d(a,c_1)|<\delta$ в силу неравенства треугольника. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $d(b',[ac])<\delta$, $|ac'|=|ab'|$, а $c_1\in [ac]$ -- точка, отстоящая от $b'$ на расстояние $\leq \delta$. В силу предыдущего шага, $|d(a,b')-d(ac_1)|<\delta$, значит, $d(c_1,c')<\delta$, но тогда $d(c',b')<2\delta$. \ендпрооф \определение Треугольник называется {\бф \блуе $\delta$-тонким (по Громову)}, если $\codiam \Psi \leq \delta$. \невпаге {\бф \блуе Гиперболичность пространства Лобачевского} \теорема {\бф \ред Пространство Лобачевского гиперболично}. \дшаг Поскольку любой геодезический треугольник лежит в плоскости, можно ограничиться плоскостью Лобачевского. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\triangle(abc)$ -- геодезический треугольник на плоскости Лобачевского, а $B$ -- вписанная в него окружность. На каждой стороне треугольника (например, $[ab]$) максимум расстояния до объединения двух других сторон ограничен максимумом расстияния в точках касания вписанной окружности. \centerline{\epsfig{file=vpisannaya.eps,width=0.40\linewidth}} Из этого следует, что {\бф \пурпле талия треугольника удовлетворяет $T(abc)<2 R$, где $R$ -- радиус вписанной окружности.} \невпаге {\бф \блуе Гиперболичность пространства Лобачевского (продолжение)} {\бф \греен Шаг 2 (повтор):} Талия треугольника удовлетворяет $T(abc)<2 R$, где $R$ -- радиус вписанной окружности. {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Площадь круга радиуса $R$ растет с увеличением $R$ неограниченно,} потому что {\бф \ред площадь плоскости Лобачевского бесконечна} (ее можно замостить бесконечным количеством прямоугольных шестиугольников). {\бф \греен Шаг 4:} Площадь $n$-угольника на плоскости Лобачевского равна $\pi(n-2)-\sum\alpha_i$, где $\alpha_i$ -- его углы. Значит, площадь треугольника $\leq \pi$. Поэтому, {\бф \ред радиус круга, вписанного в треугольник, ограничен.} \ендпрооф \newpage {\bf \blue Граф Кэли (повторение)} \определение {\бф \блуе Набор образующих} группы $G$ есть множество элементов $S$, мультипликативно порождающих $G$. {\бф \ред В дальнейшем, мы будем всегда предполагать, что $s\in S \Leftrightarrow s^{-1}\in S$.} \определение Пусть $G$ -- группа, $\{s_i\}$ -- набор образующих. {\бф \блуе Граф Кэли} пары $(G, \{s_i\})$ есть граф, вершины которого -- элементы $G$, а ребра соединяют точки вида $g$ и $gs_i$. Полагая длину ребер графа равной 1, мы {\бф \ред определяем граф Кэли как метрическое пространство с внутренней метрикой.} \пример Граф Кэли для $\Z^n$ с обычным набором образующих есть кубическая решетка. \begin{center} \epsfig{file=recipr5.png,width=0.25\linewidth} \end{center} \невпаге {\бф \блуе Гиперболические группы} \определение Группа с заданной системой образующих называется {\бф\блуе гиперболичной по Громову}, если ее граф Кэли $\delta$-гиперболичен, для какого-то $\delta$. \определение Группа $G$ называется {\бф \блуе свободной}, если это фундаментальная группа букета окружностей. \замечание Универсальное накрытие свободной группы есть ее граф Кэли. {\бф \пурпле В силу односвязности универсального накрытия, это дерево.} Значит, {\бф \ред свободная группа 0-гиперболична}. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле $\Z^n$ со стандартным набором образующих не гиперболична.} \определение {\bf \блуе Свободное произведение} $(\Z/n_1\Z)* (\Z/n_2\Z)* ... *(\Z/n_k\Z)$ есть фактор свободной группы от $k$ образующих $x_1, ..., x_k$ по минимальной нормальной подгруппе, содержащей $x_1^{n_1}, x_2^{n_2}, ..., x_k^{n_k}$. \упражнение Докажите, что {\бф \ред $(\Z/n_1\Z)* (\Z/n_2\Z)* ... *(\Z/n_k\Z)$ всегда гиперболична.} \newpage {\bf \blue Граф Кэли для свободной группы} \пример Граф Кэли для свободной группы -- регулярное дерево \begin{center} \epsfig{file=F2_Cayley_Graph.png,width=0.45\linewidth}\\[5mm] {\ем \бф\small Граф Кэли свободной группы ${\Bbb F}_2$ с образующими $a$, $b$, $a^{-1}$, $b^{-1}$.} \end{center} \утверждение Этот граф Кэли {\бф \пурпле односвязен, значит, 0-гиперболичен.} \ендпрооф \newpage {\bf \blue Граф Кэли для $\Z/2\Z * \Z/3\Z$} \begin{center} \epsfig{file=Kelli_graph_free_prod.png,width=0.45\linewidth}\\[5mm] {\ем \бф\small Граф Кэли для $\Z/2\Z * \Z/3\Z$.} \end{center} \упражнение Докажите, что этот граф Кэли {\бф \ред не односвязен, но все же гиперболичен.} \newpage {\bf \blue Громовское произведение} \определение Пусть $X$ -- метрическое пространство с отмеченной точкой $p$. {\бф \блуе Громовское произведение} $(a,b)_p$ есть $1/2(|ap|+|bp|-|ab|)$. Это число, которое измеряет отклонение неравенства треугольника от равенства. {\бф \ред Расстояние можно определить в терминах громовского произведения.} \определение Пусть $(X,p)$ -- множество с отмеченной точкой. Легко видеть, что расстояние на $X$ можно определить в терминах громовского произведения $(a,b)_p$, потребовав выполнения недлинного списка аксиом. Говорится, что функция $(\cdot,\cdot)_p:\; X\times X\arrow \R^{\geq 0}$ {\бф \блуе удовлетворяет аксиомам громовского произведения}, если выполнены следующие условия. [{\бф \греен симметричность:}] $(a,b)_p=(b,a)_p$.\\ \ [{\бф \греен невырожденность:}] $(a,a)_p=(a,b)_p=(b,b)_p$ \ $\Leftrightarrow$ $a=b$.\\ \ [{\бф \греен неравенство треугольника}] $(a,b)_p+(b,c)_p\leq (a,c)_p+(b,b)_p$. \утверждение Пусть дана функция, удовлетворяющая аксиомам громовского произведения. {\бф \пурпле Тогда $d(a,b):=(a,a)_p + (b,b)_p -2(a,b)_p$ -- это метрика на $X$.} В отсутствии условия невырожденности, эта формула задает полуметрику. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Громовское произведение и расстояние до кратчайшей} {\бф \греен УТВЕРЖДЕНИЕ 1:} Пусть треугольник $\triangle(abp)$ $\delta$-тонкий. {\бф \ред Тогда $d(p,[ab])\geq (a,b)_p\geq d(p,[ab])-2\delta.$} \дшаг Пусть $c$ -- точка $[ab]$, ближайшая к $p$. В силу неравенства треугольника, $|ap|-|cp| + |bp|-|cp|\leq |ac|+|cb|=|ab|$. Это дает $|ap|+|bp|-|ab|\leq 2|cp|$, то есть $d(p,[ab])\geq (a,b)_p$. {\бф\греен Шаг 2:} Поскольку $\triangle(abp)$ $\delta$-тонкий, существует точка $c'$ на другой стороне $\triangle(abp)$, которая отстоит от $c$ не больше чем на $\delta$. Для определенности, предположим, что $c'$ лежит на $[pa]$. Тогда $2(c,a)_p=|ap|+|cp|-|ac|\leq 2\delta + |ap|+|c'p|-|ac'|= 2\delta +2|c'p|\leq 4\delta+ 2|cp|=4\delta +2d(p,[ab])$. {\бф\греен Шаг 3:} \[ (a,b)_p= (a,c)_p+ (b,c)_p-|pc| \geq (a,c)_p+ \frac1 2(|pb|-|pc|-|bc|)\geq (a,c)_p \] (в силу неравенства треугольника). Применяя неравенство из предыдущего шага, получаем $(a,b)_p\geq d(p,[ab])-2\delta.$ \endproof \следствие {\бф \пурпле Если $X,p$ 0-гиперболично, имеем $d(p,[ab])=(a,b)_p$.} \endproof \newpage {\bf \blue 0-гиперболические пространства} \теорема Пусть $X$ -- 0-гиперболическое пространство с отмеченной точкой $p$. Рассмотрим объединение отрезков $[\bar p, \bar x]$ длины $|px|$, где $x\in X$ пробегает все точки $X$. Пространство $X_{tr}$ получается из такого объединения склейкой $[\bar p,\bar x]$ с $[\bar p,\bar y]$ по отрезку, начинающемуся с $\bar p$, длины $d(p,[xy])$. {\бф \ред Тогда $X_{tr}$ это дерево, и естественное отображение $\Psi:\; X\arrow X_{tr}$ -- изометрия.} \доказательство То, что такой фактор есть дерево, ясно: {\бф \пурпле ретракция к $p$ задается гомотетическим сжатием каждого отрезка к $p$.} Изометричность с $X$ следует из того, что {\бф \пурпле $\Psi$ сохраняет громовское произведение.} \ендпрооф \следствие {\бф \red Любое 0-гиперболическое по Громову метрическое пространство со строго внутренней метрикой -- дерево.} \ендпрооф \newpage {\bf \blue Неравенство Громова} \определение Пусть $(X,p)$ -- метрическое пространство с отмеченной точкой, а $a,b,c\in X$. {\бф \блуе Неравенство Громова} есть неравенство на попарные громовские произведения: \[ (a,b)_p\geq \min\left[(a,c)_p,(b,c)_p\right]-\delta. \] Когда нужно обозначить, о каком конкретно $\delta$ идет речь, говорится {\бф \блуе $\delta$-неравенство Громова.} {\бф \греен ЗАМЕЧАНИЕ 1:} Неравенство Громова равносильно следующему условию: \[ \max(|bp|+|ac|-|cp|-|ab|, |ap|+|bc|-|cp|-|ab|)\geq-\delta. \] \centerline{\epsfig{file=gromov-inequa.eps,width=0.35\linewidth}} \newpage {\bf \blue Неравенство Громова: зависимость от выбора $p$} \теорема Пусть в $(X,p)$ выполнено $\delta$-неравенство Громова. {\бф \ред Тогда для любой точки $p'$, в $(X,p')$ выполнено $2\delta$-неравенство Громова.} \дшаг Суммированием неравенства Громова для троек $(t,y,z)$ и $(z,x,y)$ получаем \[ (t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p, 2 (y,z)_p\right]\geq -2 \delta \] для $(t,x,y)$ и $(z,x,t)$ \[ (t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p, 2 (x,t)_p\right]\geq -2 \delta. \] {\бф \греен Шаг 2:} Взяв полусумму этих неравенств, получаем \[ (t,y)_p+(z,x)_p- \min\left[(t,z)_p+(x,y)_p, (y,z)_p+(x,t)_p\right]\geq -2 \delta. \] {\бф \греен Шаг 3:} Последнее неравенство дает \[ -|ty| -|zx| +\max(|tz| +|zy|, |yz|+xt|)\geq -2\delta \] Но это в точности $(t,y)_x-\min[(t,z)_x,(y,z)_x]\geq -2\delta$ (Замечание 1). \ендпрооф %\newpage % %{\bf \blue Неравенство Громова для $\delta=0$} % %\замечание %Пусть в метрическом пространстве $(X,p)$ %выполнено неравенство Громова для $\delta=0$. %{\бф \пурпле Тогда для любых $a,b,c\in X$, в тройке %$(a,b)_p, (a,c)_p, (b,c)_p$ какие-то два числа равны, %а третье $\geq$ первых двух.} % %\утверждение %Пусть в метрическом пространстве $(X,p)$ %выполнено неравенство Громова для $\delta=0$. %{\бф \ред Тогда расстояние от $p$ до отрезка кратчайшей $[a,b]$ %равно $(a,b)_p$}. % %\дшаг %{\бф \пурпле Кратчайшая, соединяющая $a,p$, %единственна.} Действительно, если их две, выберем %$b, c$ в середине обоих кратчайших, и получим %$(a,b)_p=|bp|=(a,c)_p=|cp|$, а $(b,c)_p=|pc|-1/2|bc|$, %что противоречит первому замечанию. % %{\бф \греен Шаг 2:} %Выберем точку $c$ на $[a,b]$. %Неравенство Громова: %$|pa|+|cb| \geq |pc|+|ab|$, либо $|pb|+|ac| \geq %|pc|+|ab|$ (Замечание 1). % % %\newpage % %{\bf \blue Неравенство Громова для $\delta=0$ (продолжение)} % %{\бф \греен Шаг 2:} %Выберем точку $c$ на $[a,b]$. %Неравенство Громова: %$|pa|+|cb| \geq |pc|+|ab|$, либо $|pb|+|ac| \geq %|pc|+|ab|$ (Замечание 1). %Отмечу, что $(X,p')$ тоже удовлетворяет 0-неравенству, %для любого $p'$. % %{\бф \греен Шаг 3:} %Получаем $|pa|\geq |pc| + |ac|$ либо $|pb|\geq |pc| + |bc|$. %Если это неравенство выполнено, оно является равенством, %значит, {\бф \пурпле $c$ лежит на отрезке $[pa]$ либо на отрезке %$[pb]$. } % %{\бф \греен Шаг 4:} Отмечу, что $(X,p')$ тоже удовлетворяет 0-неравенству, %для любого $p'$, в силу доказанного выше. % Получаем, что для любых трех точек %$a,b,p$ в $X$, и любой точки $c$ на кратчайшей $[ab]$, %$c$ лежит на кратчайшей $[ap]$ либо на $[bp]$. %{\бф \ред Значит, сторона $[ab]$ лежит в объединении $[bp]$ и %$[cp]$, и $\triangle(abc)$ -- дерево.} %\ендпрооф % %% KARTINKU TUT NADO! % %\невпаге % %{\бф \блуе Гиперболичность по Громову} % % %\теорема %Пусть в $X$ выполнено неравенство Громова для $\delta=0$. %Рассмотрим объединение отрезков $[\bar p, \bar x]$ длины $|px|$, %где $x\in X$ пробегает все точки $X$, и склеим $[\bar p,\bar x]$ %с $[\bar p,\bar y]$ по отрезку, начинающемуся с $\bar p$, длины %$d(p,[xy])$. Обозначим результат склейки за $X_{tr}$. %{\бф \ред %Естественное отображение $\Psi:\; X \arrow X_{tr}$ -- изометрия.} % %\доказательство %Это отображение сохраняет громовское %произведение, потому что $(a,b)_p= d(p, [ab])$. %\ендпрооф % %\следствие %{\бф \пурпле Каждое пространство с внутренней метрикой, %в котором верно 0-неравенство Громова, изометрично дереву.} % \newpage {\bf \блуе Гиперболичность по Громову} \определение Пусть $X$ -- метрическое пространство, не обязательно геодезическое. Пространство $X$ {\бф\блуе гиперболично по Громову}, если выполнено $\delta$-неравенство Громова, для какого-то $\delta$. \теорема {\бф \ред Гиперболичность по Громову равносильна гиперболичности в смысле тонких треугольников.} \доказательство на следующей лекции. \замечание Утверждение теоремы для $\delta=0$ {\бф \пурпле уже доказано}. \end{document}